現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49
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“現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”
数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。
皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾ ）
このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾
High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。） >>87
どうも。スレ主です。
ID:9ORABeV3くんは、ピエロかな？
まあ、今年もよろしくね（＾＾
（参考）
https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl
サイコパスのピエロ（＝不遇な「一石」 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」） >>100
ID:okX91MtSさん、どうも。スレ主です。
レスありがとう
なるほど、”Since it is the intersection of countably many such open dense sets”からは、開集合は言えないのか？
でも、”「422に書いた定理」の系1.8の背理法証明に使えるような、区間(a, b)が取れると言えかどうか”については、どうですか？ >>100
ID:okX91MtSさん、あなたはレベルが高いね〜（＾＾
ひょっとして、「ぷふ」さん？（＾＾ >>102
>でも、”「422に書いた定理」の系1.8の背理法証明に使えるような、区間(a, b)が取れると言えかどうか”については、どうですか？
前にも書きましたが
無理数で微分可能→開区間で連続→矛盾→無理数で微分可能ではない
という証明の流れですよ >>104
やっぱ、「ぷふ」さんか（＾＾
あなたと、例の「422に書いた定理」の人は、本当にレベル高いね
（書かれた証明にいちゃもんを付けるのは、数十分の一の能力できる。作曲や演奏はできないのに、音楽の批評ができるみたいにね（＾＾ （当然、数学の証明はそれで良いのだが・・。敬意を表して一言））
>無理数で微分可能→開区間で連続→矛盾→無理数で微分可能ではない
>という証明の流れですよ
ところで、いままでも散々出ているし、>>90などにもあるけど
トマエ関数の改良版が実例としてあって、
有理数の1/q^n で、n>2 で、nを十分大きく取ると、無理数の殆どで微分可能になる。リュービル数だけは、微分不能で残る
この場合、有理数の1/q^nで不連続点は、稠密分散のまま
だから、”無理数で微分可能→開区間（a, b）で連続”のところが、厳密な証明になっていないのでは？ と思っています >>100
ところで、追加質問で悪いが
>まずリュービル数全体は
>Since it is the intersection of countably many such open dense sets
>のようですので
>開集合とは言えませんし実際開集合ではありません
>内点を持たないからです
とすると、リュービル数全体は
「422に書いた定理」中の
「S は内点を持たない閉集合で被覆できる」（非可算に緩和してだが）に当てはまりますか？ >>105
それも散々指摘されていたと思いますが
微分可能点全体の補集合が非可算であり
可算この疎な閉集合で覆えませんので
件の定理は使えないのです >>107
いや、定理を離れて、数学として考えて
１．リュービル数全体は、「S は内点を持たない閉集合で被覆できる」
２．ただし、非可算を要する
ということでいいですね？ >>106
非可算に緩和したら証明の根幹が崩れますよ >>108 追加
それで、
１．Qは、「内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」
２．R＼Qは、「内点を持たない閉集合」では、被覆できない。（「内点を持つ開集合の高々可算和で被覆できる」？ 当たり前か・・）
ですかね？ >>91
いえいえ、遥か後方から追いかけていくつもりですので、お気が向かわれるようでしたら、相手してやってください‥ >>111
>１．Qは、「内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」
はい
>２．R＼Qは、「内点を持たない閉集合」では、被覆できない。
高々可算個ではできそうにありませんね
>（「内点を持つ開集合の高々可算和で被覆できる」？ 当たり前か・・）
それはムリです >>109-110
レスありがとう
数学的イメージをはっきりさせたかったので・・（＾＾ >>113
ご丁寧にレスありがとうございます。ちょっと、考えてみます（＾＾
お手間を取らせて悪いが
で、「422に書いた定理」中の定理1.7の証明中で
「系1.4 により， あるi に対してAiは内点を持つか， もし
くは， あるN，M >= 1 に対してB_N，M は内点を持つかのいずれかである. 各Aiは内点を持たないの
だったから， あるN，M >= 1 に対してB_N，M が内点を持つことになる.
特に， (a， b) ⊆ B_N，M なる開区間(a， b) が取れる.」
の
B_N，M が内点を持つことになる.
↓
(a， b) ⊆ B_N，M なる開区間(a， b) が取れる.
にギャップないですか？
つまり、R−BfがQのような稠密分散集合で、よって、BfがR＼Qのような集合になりますと
このような場合、「内点を持つから、開区間(a， b) が取れる」と言えますか？ >>112
C++さん、レスありがとう
深謝！（＾＾ >>115
>にギャップないですか？
内点を持つことの定義です
>つまり、R−BfがQのような稠密分散集合で、よって、BfがR＼Qのような集合になりますと
>このような場合、「内点を持つから、開区間(a， b) が取れる」と言えますか？
もしかすると
背理法による証明を理解していないのかも知れませんね
Aを仮定して矛盾が起こるためAが否定されるのですよ
この場合の矛盾とは「開区間が取れるはずなのにそれはあり得ない」ということです スレ主が何を分かってないかを当てるクイズスレかここは 新年からみっともないなスレ主は
わからないなら勉強しろよ
人に一から十まで聞くなよ >>113
>>２．R＼Qは、「内点を持たない閉集合」では、被覆できない。
>高々可算個ではできそうにありませんね
ベールのカテゴリー定理より高々可算個では無理と分かりますね >>117
あなたは、「ぷふ」さんではなさそうですね
前スレ 592で、「件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ」と書いた人ですね
>背理法による証明を理解していないのかも知れませんね
定理1.7 (422 に書いた定理)の段階では、背理法はまだ使っていませんよね
背理法は、系1.8の証明からですよ
で、>>115に戻ると
”B_N，M が内点を持つことになる.
↓
(a， b) ⊆ B_N，M なる開区間(a， b) が取れる.”
の”反例が、R＼Qではないか”と思っています
つまり、R＼Qは、内点を持つが、
系1.8の背理法に使えるような開区間(a， b) を取ると、そこにはR−Bfの点が入ることになる（∵R−Bfが稠密だから）
もう少し説明をすると
定理1.7のターゲットは、「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R」だ
だから、Q vs R＼Q（＝無理数点）の集合としての性質が問題になる
この場合、Qは、内点を持たない有理数点の加算和。なので、R＼Q（無理数）は、内点を持つ集合になる（ベールの範疇定理の典型例）
上記の定理1.7との対応で、QがR−Bfに対応しリプシッツ不連続。R＼QがBfに対応しリプシッツ連続だ。
ところで、R＼Q（無理数）は、上記の通りで、内点を持つ集合だが、ある開区間(a， b) を取ると、そこには必ずQの点が入る
この性質は、リプシッツだとか微分だとか、関数の性質とは無関係だ
よって、ベールの範疇定理だけでは、
Qの補集合であるR＼Q（＝無理数点の集合）は、内点を持つ集合までは言えるが、
ある開区間(a， b) を取れるとまでは言えないことがわかる
繰返すが、
”B_N，M が内点を持つことになる.
↓
(a， b) ⊆ B_N，M なる開区間(a， b) が取れる.”
は、言えない >>120
>>>２．R＼Qは、「内点を持たない閉集合」では、被覆できない。
>>高々可算個ではできそうにありませんね
>ベールのカテゴリー定理より高々可算個では無理と分かりますね
正しい引用は（>>111より）
２．R＼Qは、「内点を持たない閉集合」では、被覆できない。（「内点を持つ開集合の高々可算和で被覆できる」？ 当たり前か・・）
(引用終り)
ですね。
ああ、非可算まで広げると、”被覆”の意味が訳分からなくなるので、”可算しばりを入れろ！”ということか・・・（＾＾
なお、「内点を持つ開集合の高々可算和で被覆できる」は、通常の距離を入れたRが、第二可算的空間あるいは、第一可算的空間ですから・・、当然
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E5%8F%AF%E7%AE%97%E7%9A%84%E7%A9%BA%E9%96%93
第二可算的空間
(抜粋)
数学の位相空間論おける第二可算空間（だいにかさんくうかん、英: second-countable space）とは、第二可算公理を満たす位相空間のことである。空間が第二可算公理を満たすとは「その位相が可算な開基を持つ」ということを言う。
「素性のよい」空間のほとんどは第二可算的である。例えば、普通の位相を入れたユークリッド空間 (Rn) がそうである。全ての開球体を考える通常の開基をとるとこれは可算ではないけれども、半径が有理数で中心が有理点であるような開球体全体のなす集合を考えると、これは可算であり、開基も成す。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%8F%AF%E7%AE%97%E7%9A%84%E7%A9%BA%E9%96%93
第一可算的空間
(抜粋)
数学の位相空間論において、第一可算空間（だいいちかさんくうかん、英: first-countable space）とは、"第一可算公理"を満たす位相空間のこと。位相空間 X が第一可算公理を満たすとは「各点 x が高々可算な近傍からなる基本近傍系（局所基）をもつこと」を指す。
普通に使われる空間のほとんどは第一可算的である。特に、距離空間はすべて第一可算的である。というのは、各点 x に対し、それを中心とする半径 1/n (n は正の整数) の開球の系列は x の可算な基本近傍系となっている。 >>121
>前スレ 592で、「件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ」と書いた人ですね
そうですよ？
そしてあなたに「ぷふ」と呼ばれている者のようですね
>”B_N，M が内点を持つことになる.
> ↓
>(a， b) ⊆ B_N，M なる開区間(a， b) が取れる.”
内点とは何かを学ぶべきです
といいますか
それを理解していないのであれば
これまでのすべての話は正しく理解することは出来ないのでは？
>>122
>ああ、非可算まで広げると、”被覆”の意味が訳分からなくなるので、”可算しばりを入れろ！”ということか・・・（＾＾
そうではありません
ベールのカテゴリー定理を使うためです
それとRの部分集合なのですから
非可算に広げると何でも内点を持たない閉集合（1点）の合併になってしまい
条件を付けることになりませんよ？ >>121
>この場合、Qは、内点を持たない有理数点の加算和。なので、R＼Q（無理数）は、内点を持つ集合になる（ベールの範疇定理の典型例）
その定理を使うためには
疎な閉集合の可算和でRを表す必要がありますが
R＼Qはどうするのですか？
使えない状況で定理を使った気になってはいけません スレ主よ
いい加減にわかった気になるのはやめろ
お前は一年一学期の内容すらわかってない それを自覚しろ ＞内点とは何かを学ぶべきです
と言われることがどれほど低レベルで恥ずかしいことか自覚しろ
お前に必要なのは 自 覚 力 だ >>123-124
「ぷふ」さんと、「件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ」と書いた人とが、
同一人物か？ 衝撃の事実だな〜！（＾＾
あなたは、前スレ >>571のID:84+rbTu3さんですね。８つレス付けてくれた（＾＾
黄色い救急車ならぬ黄金の救急車で、黄色いクスリを処方してくれましたね。
どうもありがとう。あのクスリで、悪いなりに私の頭がかなりすっきりしましたよ（＾＾
つづく >>127 つづき
>R＼Qはどうするのですか？
>使えない状況で定理を使った気になってはいけません
そこは、調べて、分りました！（＾＾
Qについての、(^i：内部、^e：外部、^f：境界、^a：閉包)は
Q^i = Φ, Q^e = Φ, Q^f = R, Q^a = R.
R ＼ Qについての、(^i：内部、^e：外部、^f：境界、^a：閉包)は
(R ＼ Q)^i = Φ, (R ＼ Q)^e =Φ, (R ＼ Q)^f = R, (R ＼ Q)^a = R.
つまりは、R内に稠密分散するQは、内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる
同様に、RからQを除いたR ＼ Qも、内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる
（資料は後述ご参照）
これは、実に面白いですね
面白すぎて、理解がついていかないが・・。
まあ、無限集合で、自身と同じ濃度の真部分集合を含むというヒルベルトのホテルのパラドックスを思わせますね（＾＾
まあ、有理点の集合Qと無理点R ＼ Qが、互いに稠密に入り交じっているからですね・・（＾＾
（参考）
http://www.math.ryukoku.ac.jp/~oka/edu2/st/
龍谷大学> 理工学部> 数理情報学科> 国府> > 11 回め 講義（集合・位相）☆ 配布: 2009-07-01Thu 更新: 2009-07-02
11.4.2
1 次元ユークリッド空間R1 で, 有理数全体Q, 無理数全体R \ Q の内部, 外部, 境界,閉包を求めよう.
講義（集合・位相）☆ 11 回めの問題(2009-07-01Thu)
(^i：内部、^e：外部、^f：境界、^a：閉包)
Q^i = Φ, Q^e = Φ, Q^f = R, Q^a = R.
(R ＼ Q)^i = Φ, (R ＼ Q)^e =Φ, (R ＼ Q)^f = R, (R ＼ Q)^a = R.
http://www.math.ryukoku.ac.jp/~oka/
Welcome to Hiroe's Home Page! Hiroe Oka professor Department of Applied Mathematics and Informatics Faculty of Science and Technology Ryukoku University
（龍谷大 岡先生？）
http://www.math.ryukoku.ac.jp/~oka/teaching.html
講義(2009年度)
学部 集合と位相および・演習II 2年前期 http://www.math.ryukoku.ac.jp/~oka/edu2/st/index.html
つづく >>128 つづき
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11168182641
(抜粋)
katakana121225さん2016/12/19 yahoo
1次元のユークリッド空間Rでの有理数Qの内部、外部、境界はどうなるのですか？
解説も出来ればお願いします
ベストアンサーに選ばれた回答 clicky_clicky_clicky_clickyさん 2016/12/19
一般に, 内点・外点・境界点の定義 (近傍による定義) から, 距離空間 X の点は X の部分集合 A にたいして内点または外点または境界点のいずれかです. (※排他的 : 同時に2種類以上は無い)
有理数 Q の任意の点の近傍 (ε-近傍) には, 無理数の点, すなわち, 有理数 Q の補集合 R-Q の点が含まれます. したがって, Q の任意の点は Q の境界点 (同時に R-Q の境界点) です.
無理数 R-Q の任意の点の近傍 (ε-近傍) には, 有理数の点, すなわち, 無理数の補集合 Q の点が含まれます. したがって, 無理数 R-Q の任意の点は R-Q の境界点 (同時に Q の境界点) です.
以上, 先に述べたとおり, R=Q∪(R-Q) の任意の点は, Q の境界点であり, (排他的な内点・外点・境界点の定義から) Q の内点も外点も存在しません. すなわち
Q の内部 (内点全体) = 空集合
Q の外部 (外点全体) = 空集合
Q の境界 (境界点全体) = R
(引用終り)
つづく >>129 つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A2%83%E7%95%8C_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)
境界 (位相空間論)
(抜粋)
一般位相において位相空間 X の部分集合 S の境界（きょうかい、英語: boundary, frontier）とは、S の中からも外からも近づくことのできる点の全体の成す X の部分集合のことである。
もうすこし形式的に言えば、S の触点（閉包に属する点）のうち、S の内点（開核に属する点）ではないものの全体の成す集合のことである。S の境界に属する点のことを、S の境界点(boundary point) と呼ぶ。S が境界を持たない (boundaryless) とは、S が自身の境界を包含しないこと、あるいは同じことだが境界点がひとつも S に属さないことをいう[1]。
集合 S の境界を表すのに、bd(S), fr(S), ∂S[2] のような記法がしばしば用いられる。代数的位相幾何学における境界 (boundary) の概念との区別のため、ここでいう境界に対応する語として "boundary" の代わりに "frontier" を用いることがある（たとえば松坂『集合・位相入門』[3]）。
集合 S の境界の連結成分のことを、S の境界成分 (boundary component) という。
例
実数直線 R に通常の位相（つまり、開区間を開基とする位相）を考えると、たとえば
・∂Q = R
・∂(Q ∩ [0,1]) = [0,1]
などが成立する。最後のふたつの例は、内点を持たない稠密集合の境界はその集合の閉包に一致するという一般的な事実を説明するものになっている。
有理数全体の集合に通常の位相（R の部分位相空間としての位相）を考えた位相空間の中では、a が無理数であるときの区間 (?∞, a) の境界は空集合である。
集合の境界というのは位相的な概念であり、集合に入れる位相を変えれば（同じ集合であっても）何が境界であるかが変わってくる。
つづく >>130 つづき
性質
・集合の境界は閉である。
・集合の境界は補集合の境界に等しい： ∂S = ∂(Sc)。
これらのことから以下のようなことが従う。
・p が集合の境界点となる必要十分条件は、p の任意の近傍が少なくとも一つその集合の点を含みかつ少なくとも一つその集合の補集合の点を含むことである。
・集合が閉であることの必要十分条件は、その集合が自身の境界を包含することであり、開であることの必要十分条件はその集合が自身の境界と交わりを持たないことである。
・集合の閉包はその集合自身とその境界との和に等しい：Cl(S) = S ∪ ∂S。
・集合の境界が空であることの必要十分条件は、その集合が開かつ閉 (clopen) であることである。
・Rn における任意の閉集合は、適当な集合の境界になっている。
S の各点は内点であるか境界点であるかのいずれかである。また、S の各点は集積点であるか孤立点であるかのいずれかである。同様に、S の各境界点は集積点であるか孤立点であるかのいずれかである。Rnの部分集合の孤立点は常に境界点である。
つづく >>131 つづき
境界の境界
如何なる集合 S についても ∂S ⊇ ∂∂S が成立する。ここで等号は S の境界が内点を持たないとき、かつそのときに限り成り立つ。
これは S が開または閉であるときにも正しい。任意の集合の境界が閉となることから、∂∂S = ∂∂∂S は如何なる集合 S についても成り立つ。したがって、境界をとる操作は弱い意味で冪等である。特に、集合の境界の境界はふつう空でない。
多様体や単体および単体的複体の境界に関する議論では、しばしば境界の境界はつねに空であるという主張を目にすることもあるだろう。
実際、特異ホモロジーの構成はこの事実に決定的に基づいている。この明らかな不整合に対する説明としては、この項目の主題となる位相的な境界と、多様体や単体的複体の境界とは少し異なる概念であるからということになる。
例えば閉円板をそれ自身位相空間とみなしたときの位相的な境界は空集合だが、円板自身を多様体と見なしたときの境界は円板自身の円周である。
(引用終り)
以上 >>131 補足
>・集合の境界は補集合の境界に等しい： ∂S = ∂(Sc)。
Qの境界がR。
故に、Qの補集合のR ＼ Qの境界も、R。
だが、Rは、全体集合でもある！（＾＾ >>124
甘えて悪いが、もう一つ二つ黄色いクスリ（あなたの見解の開陳で結構だが）を
処方してもらえるとありがたい（＾＾
１）
定理1.7 (422 に書いた定理)で、BfとR−Bfで、
前者Bfが無理数（R ＼ Q）を想定した集合で、後者R−Bfが有理数（Q）を想定した集合だ
もし、R−Bfが有理数（Q）のように、R中に稠密に分散していたら
例え、内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるとして（実際Qがそうだが）も
補集合のBfは、ベールのカテゴリーで２類だが、それは内点を持たず、従って、Bfに区間(a, b)をとれば、そこにR−Bfが含まれる
（ちょうど、QとR ＼ Qとの関係に同じ）
つまり、Bf内には、定理1.7の結論のBfの点のみから成る区間(a, b)は取れないことになる
２）
上記とほぼ同じだが、従来のRuler Functionやトマエ関数とその類似の研究で、
”f(x) = 0 if x is irrational, f(x) = 1/q^2 if x = p/q where p and q are relatively prime integers with q > 0.”(n > 2)
のとき、nが大きくなると、ほとんどの無理数で微分可能になるという。
ただ、リュービル数だかけが、リュービル数では微分不可能で残るという
リュービル数もまた、R中で稠密だという
で、当たり前だが、Ruler Functionは、Qでは不連続ゆえ、これら微分可能な点の集合は、内点を持ち得ない。（そして境界がRだろう）
この事実と、定理1.7の証明での、内点を持つこととか、Bfの点のみから成る区間(a, b)が取れるということが、いかにも上記と不整合だと思う次第
（ある一箇所、区間(a, b)が取れるということは、それはどこにでも、いたるところ区間(a, b)が取れるということにもなるし・・）
上記の１）２）などが、自分の中ですっきり納得できない限り、定理1.7 は、手放しでは首肯できない
なので、いま、いろいろ、先行研究との対比検討をしているところです
なにか、ヒントなり、あなたの見解の開陳をしてもらえると、ありがたい（＾＾
なお、念押しだが、あなたは、定理1.7が成立すると思っているのですね？ お前は教科書に普通に書いてあることがわかってないんだから
黙って教科書を勉強しろ >>134
> 上記の１）２）などが、自分の中ですっきり納得できない限り、定理1.7 は、手放しでは首肯できない
> なので、いま、いろいろ、先行研究との対比検討をしているところです
それよりも証明を読めるように基礎から勉強した方が良いというのが私の意見です
> なにか、ヒントなり、あなたの見解の開陳をしてもらえると、ありがたい（＾＾
> なお、念押しだが、あなたは、定理1.7が成立すると思っているのですね？
見事な証明であるとあなたにわからないのが残念です 12に関してはすでに私も説明しましたから繰り返しません
また
証明を書いた人もそれぞれについてとても詳しい解説をつけてくれてますよ 数学的な指摘もせずにチャチャを入れるだけの無能な人もいるようですが
それは無視して基礎から勉強してみてください 昨日のTVだが、「イップス」、スポーツ用語らしいが、精神的な原因が関係しているなら、スポーツ以外の分野でもあるかも・・
http://www.tbs.co.jp/kietatensai/
消えた天才 TBS 20180103
(抜粋)
水谷隼 が絶対に勝てないと思った 怪物Ｓ
卓球界でオリンピック史上初の男子メダリストとなった天才・水谷隼。
そんな水谷がかつて、「絶対に勝てない」と思った怪物卓球選手がいたという。
その人物は185ｃｍの身長で卓球選手とは思えない屈強な肉体の持ち主。
誰もが恐れる天才だったという。
さらに独自の技を次々に開発し、「卓球界のパイオニア」とも言われた。
しかし、ある時を境に、突然第一線の表舞台から姿を消したという…
怪物Ｓに降りかかったある“悲劇”とはいったい？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%83%E3%83%97%E3%82%B9
イップス
(抜粋)
イップス (yips) は、精神的な原因などによりスポーツの動作に支障をきたし、突然自分の思い通りのプレー（動き）や意識が出来なくなる症状のことである。本来はゴルフの分野で用いられ始めた言葉だが、現在ではスポーツ全般で使われるようになっている。
目次 [非表示]
1 概説
2 治療
3 ゴルフ以外のスポーツでのイップス
4 イップスを扱った作品
5 脚注
6 外部リンク
治療
明確な治療法は無く、克服出来るかはその人間次第である。最終的に克服出来たとしてもイップス発症から数年・数十年経過しているケースも珍しくない。
よく行われる治療法としては、最初は原因を発見して失敗した場面を直視することから始まり、無意識に身体が拒否反応しているので小さい部分から徐々に成功体験させて自信を体感させる行為がある。
しかしこれは精神的に覚悟や開き直りを求める行為でもあるので新たに精神に負荷をかけてしまう恐れもある。また別に、単なるスランプや緊張からくるあがり、あるいは精神的な病気が原因ではなく、運動障害であるジストニアが疑われる場合には、職業性ジストニアの治療に準じた治療が少数の医療機関にて行われつつある。 >>139 関連
https://www.counselingservice.jp/lecture/16555/
やりたい事ができない 基礎講座 大谷 常緑 Counseling Service 20140919
(抜粋)
「やりたい事ができない！」
そんな行動をとる時はその結果で自分を責める気持ちを感じたくない時です。
自分が満足する結果ではないのではないか、と自信がない時です。意識していなくてもできない時は、強大な力を持つ無意識が行動を支配している時です。
結果に自信が無い時、多くの場合、高い完成度を求めています。完成度を高く設定する傾向にある人を、完璧主義者と言います。
完璧主義者は日常生活でも○か×の判断をする傾向にあり、不十分さを認めません。人間は、何かを認めたくない時、「自分はその認めたくない状態にある」と責めています。「不十分だと思っているのに、不十分さを感じる事なんかしたくない」と感じています。
完璧主義の下側には、不十分な自分が隠れているのです。
この問題から抜け出るには、出来ていない部分に着目するのではなく、出来ている部分に目を移す事、また、「どうせ嫌な気分を感じるのであれば、やった方がまし」と開き直ってみることです。
◎リクエストを頂きました。
とてもわかりやすく毎回楽しみにしています。
リクエストなのですが、私は、「やらなくてもいいこと」に労力を払ってしまいます。
最近はその傾向が酷くなってきて肝心なことが手につかなくなっています。
例えば、学校の勉強でわからないことを調べ始めたら永遠終わらなくて課題が仕上がらなくなっても、どんどんドツボに嵌って結局何一つわからなくなってしまったり、
気分転換に荷物の整理をはじめたら、最初整理しようと思ってた範囲を越えて家の隅々までひっくりかえしてしまいます。馬鹿なことをやってると思いながら止められません。
何かアドバイスがありましたら簡単でもいいのでお願いしたいです。
何かをやろうとしても、その途中でひっかかった何かに時間を費やしてしまって終わらなかったり、ここまでやろうと決めた範囲を超えてやってしまって終わらなかったり、あるいは、やらなければと思いつつも最初から関係のないことばかりをやって結局は手をつけられなくなってしまったり
ではなぜ、やらなければならない事を、しないような行動をとってしまうのでしょうか？
(引用終り) >>136-138
どうも。スレ主です。
了解。まあ、ゆっくりやりましょう（＾＾
細かいレスは、後ほど（＾＾ おっちゃんです。
>無理数で微分可能→開区間で連続→矛盾→無理数で微分可能
について。概ねの証明という感じにはなるが、
殆ど大学1年レベルの数学によるこの流れの論法による証明は以前私がここに書いた。
この証明では、ベールの範疇定理は用いていない。だが、スレ主はその証明も読めない。
そうなると、スレ主は ε-δ や ε-N から始めろとなってしまう。 ぶっちゃけ、
>無理数で微分可能→開区間で連続→矛盾→無理数で微分可能
という流れの証明にあたり、リウビル数にこだわっても、
その数論的な性質は全く用いていないから、それにこだわる意味は何もない。 >>142-143
おっちゃん、どうも、スレ主です。
おめでとうございます！
今年もよろしくお願いいたします。（＾＾ ＜引用＞
579 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/26(火) 20:15:47.76 ID:IBTJ7HPw [4/13]
>>577
>無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導けますよ
なるほど
それは興味深いですね
出典がありますか？ あれば読んでみたい
おっと、このスレには書かないで下さい。
このスレでアスキー文字制限で書かれた数学の証明は、
読みにくくてしかたないのでね（＾＾
580 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/26(火) 20:17:19.39 ID:IBTJ7HPw [5/13]
>>579 訂正
おっと、このスレには書かないで下さい。
↓
おっと、このスレに直に証明は書かないで下さい。
581 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/26(火) 20:23:06.49 ID:IBTJ7HPw [6/13]
>>579-580 補足
いまの定理の証明も、無理を言って、PDFにしてもらって、ダウンロードで読めるようにしてもらいました（下記URL）
https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明（>>513）
(引用終わり) 実数直線R上におけるルベ−グ測度0の稠密な非可算集合として考えても結果は同じになる。
リウビル数全体の集合の性質に合致する。 >>146
リプシッツ連続な開区間（a, b）が取れると？
リウビル数の集合は、R中に稠密に存在するというけど？
（リウビル数では、リプシッツ連続は満たされない前提としてだが） >>145
そのサイトをクリックすると、
>2分以内にダウンロードしてください
とか、注意喚起として
>コンピュータウイルスによる被害が発生しています．必ずセキュリティソフトウェアを有効にし，
>信頼の出来ないファイルの実行は避けるよう十分注意頂きますようお願い致します．
と書いてあって、何やらウイルスによるセキュリティー上の問題が発生しているサイトのようだが。 >>148
>リプシッツ連続な開区間（a, b）が取れると？
これはリウビル数の集合が持つ性質であるルベーグ測度が0の非可算稠密集合に反する。
a、b はどっちもリウビル数としているのだろう。通常のRの位相で考える。
リウビル数の全体に対して開区間 （a, b） が取れたら、リウビル数はRで稠密だから
（a, b） に対して a＜c＜d＜b なるリウビル数 c, dを取ると （a, b） の中に開区間 (c, d) が取れる。
同様な操作を行うことは無限回出来る。なので、リウビル数の全体のルベーグ測度は0より大きくなって、矛盾が生じる。 >>148
>>150においても、やはり、リウビル数の数論的な性質は全く用いていない。 >>145 補足
１．私は、このスレに書かれた証明は読まない主義。読みにくくてしようがないし、PDFなど公開資料があれば、それを読みたいのでね
２．今回も、PDFにしてもらってよかった。このスレに直書きでは、何スレにもわたって読めたものじゃない
３．素人証明に、うっかり乗らないというのも、私の主義でね
４．この定理1.7 (422 に書いた定理)の証明を書いた人の実力は認めるけれども
「無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導けます」と
定理1.7 の系として
そして、この命題は、ネット検索ではまだ見つからないので、初出かもしれない
（系1.8の「無理数で可微分、有理数で不連続な関数は存在しない」は、既出だが）
ならば、ますます、うっかり乗れないと（すらーと読んで正しいと言ったとたんに、うっちゃりになりかねない）
５．なので、パブリックコメントを募集します。特に、大学教員レベルの情報（成立・不成立）があれば、ありがたい（＾＾ >>149
PDFをダウンロードするだけなら、問題なし。他の操作は、しないこと。他の操作は保証の限りではない >>150-151
PDF（>>145の）を見ずに、論じているのか？（＾＾ >>148
>>150の訂正：
(a, b) の中に開区間 (c, d) が取れる。 → （a, b） の中に閉区間 [c, d] が取れる。 >>152 補足
証明についてでなくとも
「無理数で可微分、有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論」について
正しいかどうかと、既出か初出か
そういう情報を、希望します（＾＾ >>154
ああ、何か危なっかしいサイトのようだから、ダウンロードは止めている。
>１．私は、このスレに書かれた証明は読まない主義。
あと、>>150(や>>155)位の証明は読めな。pdf の証明に比べたら相当短い証明だろう。 >>156
多分既出だよ。
どこかの大学の数学科のテストやレポートの問題として出てもおかしくない命題の証明だろうし、
pdf の証明全体を大学一年レベルの数学による証明に置き換えた証明も出来るしな。 >>157
>ああ、何か危なっかしいサイトのようだから、ダウンロードは止めている。
じゃ、抜粋下記な
前スレ 489より
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
”系1.8 有理数の点で不連続; 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.”
(引用終わり) >>157
>あと、>>150(や>>155)位の証明は読めな。pdf の証明に比べたら相当短い証明だろう。
その程度は、証明というより、説明だろう。それ拒否したら、会話にならん
読まないのは、コテコテ証明だよ（＾＾
特に、本来なら、上付き添え字、下付き添え字になるところを、むりむりアスキーとか
分数で３行以上に書き分けるところを、むりむりアスキー １行とか
視認性が悪いから、下記ても十分チェックできず、あちこちにバグがある。なので、読む方はバグ取りしながら読むことになる
なんで、証明のバグ取りをしながら読む？ 公開PDFでバグ取り終わったテキストの証明を出せ！（＾＾ >>158
>多分既出だよ。
>どこかの大学の数学科のテストやレポートの問題として出てもおかしくない命題の証明だろうし、
>pdf の証明全体を大学一年レベルの数学による証明に置き換えた証明も出来るしな。
そういうのは、基本命題とか基本定理とかでね
かならず、教科書にあるべきなんだよ
あるいは、論文とかで
かつ、応用範囲が広ければ、いろんなところで使われているはず
で、そうでないなら、
あやしい定理ってことだろ？ >>159
系1.8 有理数の点で不連続; 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない
を否定したら、つまりいい換えれば
有理数の点で不連続; 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在する
としたら、定理の証明の中身はともかく、定理1.7 (422 に書いた定理)が否定されることになる。
だが、このように 系1.8 を否定したら矛盾が導かれる。だから、背理法により 系1.8 の否定は出来ない。
だから、命題の証明の中身はともかく、対偶を取って論理的に考えると、流れとしては
定理1.7 (422 に書いた定理)が肯定されて 系1.8 も肯定されることになる。
リプシッツ連続は杉浦 解析入門に書かれているようだから、大学1年で習うことがあるようだな。 ＞３．素人証明に、うっかり乗らないというのも、私の主義でね
一年生向け教科書にも乗らない主義？ 何をかっこつけてるのか？
お前は 勉 強 し な い 主 義 だろうが >かならず、教科書にあるべきなんだよ
そういう結論を全部書いてある教科書はない。
全部書こうとしても、数冊だけではそれらの中には書き切れない。 バカは黙って勉強しろ
２ちゃんでかっこつけても全く進歩しないことはお前の4年間が証明しているではないか
教科書に普通に書いてることがわからないのにコピペも数学談義も無用と気付け 教科書を勉強して「ここはこう思うがどうか？」とか「この問題が解けないので教えて欲しい」
とかなら意味がある。だが全く教科書を読んでもいないお前がコピペと数学談義しても何の意味も無い。
いつになったらそれに気付くのか？4年間も進歩ゼロなんだからそろそろ気付け。 834名無しさん＠お腹いっぱい。2018/01/03(水) 23:27:05.00ID:OwRfM25O
https://www.youtube.com/watch?v=TZE7hl4FzDY
お母様。ぼくは高校の時そう1年か2年の始め宇宙が無から始まったと思っていました。
中学の時、あるところに行く道が幾通りかある時自分が選んだ道筋は後から見たら当然実現したことになってる。
と思った。で、宇宙が無から出来たらこの宇宙の法則では当然この宇宙が生まれこうなった。という理屈があるだろう。
と言う事で、これを解明する理論が万有理論である●●論なのだ。そしてその研究をやって来たのだ。で、これは
集合論では無限が実現出来れはその結果からさらに無限が生まれさらに・・・と続く。これは不完全性理論が成り立つ
理由であるが、宇宙膨張の理由だろう。集合論ではその要素である元はまず数えられる存在であり、まず 0 がある。
その集合である｛０｝とする。これを1と数える。それらの集合を｛０、｛０｝｝を2と数え又｛０、｛０｝｛０、｛０｝｝を3と数え・・・・。
こうして何も無いと言う概念の 0 から数の概念を生み出していく。これは集合論の数の創造だが。
数学をやった者なら酔っ払ってもわかるよな。
835名無しさん＠お腹いっぱい。2018/01/04(木) 00:07:18.97ID:nZUhCplw
しかし思うと確かゲーデルの不完全定理ではその体系が正しいとはその体系の内部では決定できない。
とか言うのもあって、バイトする暇もないくらいなんだが、酒は飲みたいのう。 ＞そうなると、スレ主は ε-δ や ε-N から始めろとなってしまう。
だから以前から繰り返し言ってきた
それは解析の根幹であり、それがわからないということは解析が全滅であるに等しいと >>162-169
おまいら、なにを言っているのか、支離滅裂だな〜（＾＾ >>165
>>かならず、教科書にあるべきなんだよ
>そういう結論を全部書いてある教科書はない。
>全部書こうとしても、数冊だけではそれらの中には書き切れない。
数学は体系を成しているものだから、大体基礎的な話（定理）などは、大定理の簡単な系として導かれるはず
定理1.7 (422 に書いた定理)も、本来そうあるべきだと思うよ
木に竹を接いだような話には、本来ならんだろうと言っているのだ 学生：先生、こんな定理があります
教官：ほう、どうしたんだ？
学生：証明を読みました。正しいです
教官：それは、どの本に載っているのだ？
学生：５CHにありました
教官：・・・。・・・５CHでは引用文献として使えないよ（＾＾ >>170
支離滅裂に読めるのはお前の国語力が足りないからだ
数学の前に国語を勉強せよ ＞教官：・・・。・・・５CHでは引用文献として使えないよ（＾＾
誰が２ｃｈを引用すると？
お前は国語から ＞教官：・・・。・・・５CHでは引用文献として使えないよ（＾＾
生徒 嘘を嘘と見抜ける人たちですから >>162
不連続と、各点でリプシッツ連続でないことと
この二つの区別ついているかい
ついているとして、「系1.8 有理数の点で不連続、無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」は、既存の論文ですでにある
が、系1.8の”リプシッツ連続でない版”で「有理数の点でリプシッツ連続でなく、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」は、見つからない
見つからない理由は、１）不成立だから、２）成立するがいままで知られていなかった
の２択しかないだろ？ （まあ、探し方が悪いというのもあるかも知れないが）
あんたら、完璧に証明したから２）だと。そう単純に、言って委員会？
この定理は、成り立つなら面白いと思うし、また、成り立つなら将来教科書に載ってもおかしくないと思うけどね〜・・・？
おれは、もっと、この線を調べるよ
その過程で、成否もはっきりしてくるだろう >>145 主義に反するが、おっちゃんのために、PDFから証明をアスキー化して、全文を貼るよ（＾＾
（文字化けと誤記はご容赦。読みにくいだろうが、そう思ったら右のURLのPDFを嫁め。（＾＾ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明 ）
＜422 に書いた定理の証明＞
定義1.1 一般に, g : R → R とx ∈ R に対して,
lim sup y→x g(y) := inf δ>0 sup 0<｜y−x｜<δ g(y)
と定義される.
定義1.2 (X,O) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して,
・ 各Fiは内点を持たない,
・ S ⊆∪i Fi
が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書
くことにする.
定理1.3 (X, d) は空でない完備距離空間とする. 高々可算無限個のFi ⊆ X は,
・ 各Fiは閉集合,
・ X ⊆∪i Fi
を満たすとする. このとき, あるi に対して, Fiは内点を持つ. 証明はベールのカテゴリ定理から即
座に出る.
系1.4 高々可算無限個のFi ⊆ R は,
・ 各Fiは閉集合,
・ R ⊆∪i Fi
を満たすとする. このとき, あるi に対して, Fiは内点を持つ. 証明は前定理からすぐに従う.
補題1.5 f : R → R とx ∈ R は
lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞
を満たすとする. このとき, ある正整数N,M >= 1 に対して
∀y, z ∈ R [x − 1/M < y < x < z < x +1/M → ｜f(z) − f(y)｜ <= N(z − y)]が成り立つ.
つづく >>178 つづき
証明
仮定により,
lim sup y→x ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜< N
を満たす正整数N が取れる.
lim sup y→x ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜= inf δ>0 sup 0<｜y−x｜<δ ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜
に注意して,
inf δ>0 sup 0<｜y−x｜<δ ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜< N
ということになるので, あるδ > 0 に対して
sup 0<｜y−x｜<δ ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜< N
である. 以下, δ > 1/M を満たす正整数M を1 つ取っておく. このとき,
∀y ∈ R [ ｜y − x｜ < 1/M → ｜f(y) − f(x)｜ <= N｜y − x｜] ・・・(1)
が成り立つことを示す. ｜y − x｜ < 1/M を満たすy ∈ R を任意に取る. もしy = x ならば, 明らか
に｜f(y) − f(x)｜ <= N｜y − x｜ が成り立つ. 以下では, y ≠ x としてよい. よって,
0 < ｜y − x｜ < 1/M < δ
となるので, δの定義から,
｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜< N
となる. 特に, ｜f(y) − f(x)｜ <= N｜y − x｜ となる. 以上より, (1) が成り立つ. 以上の準備のもとで,
題意を示す. y, z ∈ R であって
x − 1/M < y < x < z < x +1/M
を満たすものを任意に取る. このとき, (1) により
｜f(z) − f(y)｜ <= ｜f(z) − f(x)｜ + ｜f(x) − f(y)｜ <= N｜z − x｜ + N｜x − y｜ = N(z − y)
が成り立つ(絶対値が外れてN(z − y) になっているのは, y < x < z から出る). よって, 題意が成
り立つ.
つづく >>179 つづき
補題1.6 x ∈ R とxi ∈ R (i >= 1) はxi → x (i → +∞) を満たすとする. このとき, 次が成り立つ.
・ ∀y > x, ∃i0 >= 1, ∀i >= i0 [ y > xi ] .
・ ∀y < x, ∃i0 >= 1, ∀i >= i0 [ y < xi ] .
証明は単なる"-δ論法なので省略する.
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
つづく >>180 つづき
証明
仮定から, 高々可算無限個の閉集合Ai ⊆ Rが存在して, 各Aiは内点を持たず, しかもR−Bf ⊆∪i Aiが成り立つ (1) 次に, 天下り的だが, N,M >= 1 に対して
BN,M :={x ∈ R ｜ ∀y, z ∈ R [x − 1/M < y < x < z < x +1/M) ｜f(z) − f(y)｜ <= N(z − y)] }
と置く. このとき, Bf ⊆ ∪N ,M>=1BN,M が成り立つことを示す. x ∈ Bf を任意に取る. このと
き, 補題1.5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である. よって, 確か
にBf ⊆ ∪N ,M>=1BN,M である. (1) と合わせて, R = Bf [ (R−Bf ) ⊆ (∪N ,M>=1BN,M ) [ (∪i Ai) と
なる. すなわち,
R ⊆ (∪N ,M>=1BN,M ) [ (∪i Ai) ・・・ (2)
となる. 次に, 各BN,M は閉集合であることを示す. x ∈ R とxi ∈ BN,M (i >= 1) はxi → x (i →
+∞) を満たすとする. このとき, x ∈ BN,M が成り立つことを示せばよい. そのためには,
∀y, z ∈ R[x − 1/M < y < x < z < x +1/M ) ｜f(z) − f(y)｜ <= N(z − y)]
を示せばよい. さて,
x − 1/M < y < x < z < x +1/M
が成り立つようなy, z ∈ R を任意に取る. xi → x と補題1.6 により, i が十分大きければ
xi − 1/M < y < xi < z < xi +1/M
つづく >>181 つづき
が成り立つ. そのようなi を何でもいいから1 つ取ると, xi ∈ BN,M に注意して, BN,M の定義か
ら｜f(z) − f(y)｜ <= N(z − y) が成り立つ. よって, 確かに
∀y, z ∈ R[x − 1/M< y < x < z < x +1/M) ｜f(z) − f(y)｜ <= N(z − y)]
が言えた. よって, x ∈ BN,M である. よって, BN,M は閉集合である. すると, (2) の右辺は可算無
限個の閉集合の和ということになるので, 系1.4 により, あるi に対してAiは内点を持つか, もし
くは, あるN,M >= 1 に対してBN,M は内点を持つかのいずれかである. 各Aiは内点を持たないの
だったから, あるN,M >= 1 に対してBN,M が内点を持つことになる. 特に, (a, b) ⊆ BN,M なる開
区間(a, b) が取れる. f は(a, b) 上でリプシッツ連続であることを示す. x, y ∈ (a, b) を任意に取る.
｜f(y) − f(x)｜ <= N｜y − x｜ が成り立つことを示す. 対称性から, x <= y としてよい. よって, 示すべ
きは｜f(y) − f(x)｜ <= N(y − x) である. もしx = y ならば, 明らかに成り立つ. 以下では, x < y と
してよい. M(y −x)/2 < L を満たす正整数L を何でもいいから1 つ取る. [x, y] をL 等分に分割し
て, 等分点をx からy に向かってx = z0 < z1 < < zL = y とする. より詳しくは,
zi＝ x ＋(y − x)i/L (0 <= i <= L)
である. 各i ∈ [0,L − 1] に対してci = (zi + zi+1)/2 と置くと, 各i ∈ [0,L − 1] に対して
ci − 1/M < zi < ci < zi+1 < ci +1/M ・・・(3)
つづく >>182 つづき
が成り立つことが簡単に確認できる(L の取り方に注意する). ここで,
ci ∈ [zi, zi+1] ⊆ [x, y] ⊆ (a, b) ⊆ BN,M
すなわちci ∈ BN,M であるから, これと(3) 及びBN,M の定義から,
｜f(zi+1) − f(zi)｜ <= N(zi+1 − zi)
が成り立つ. よって,
｜f(y) − f(x)｜ = ｜f(zL) − f(z0)｜ =｜Σi=0〜L−1 (f(zi+1) − f(zi))｜
<= Σi=0〜L−1 ｜f(zi+1) − f(zi)｜ <= Σi=0〜L−1 N(zi+1 − zi) = N(y − x)
となる. よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．
つづく >>183 つづき
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
存在すると仮定する. 定理1.7 のBf について,
R − Q = (無理数全体) = (f の微分可能点全体) ⊆ Bf
が成り立つので,
R − Bf ⊆ Q = ∪p ∈Q ｛p｝ ・・・(1)
である. ここで, 1 点集合｛p｝ (p ∈ Q) は全部で可算無限個あり, 各｛p｝ は内点を持たない閉集合であ
るから, (1) の右辺は内点を持たない閉集合の可算和である. よって, 定理1.7 が使えて, f はある開
区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. 特に, f は(a, b) の上で連続である (2) さて, Q はR 上
で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る. (2) より,
f は点x で連続であるが, 一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛
盾. よって, 題意が成り立つ.
つづく >>184 つづき
補足定理1.7 の証明のポイントはもちろん, BN,M の作り方にある. x ∈ Bf を任意に取る. このと
き, 補題1.5 の途中計算により, ある正整数N,M >= 1 が存在して
∀y ∈ R [ ｜y − x｜ < 1/M → ｜f(y) − f(x)｜ <= N｜y − x｜]
が成り立つのだった. よって,
BN,M := {x ∈ R ｜ ∀y ∈ R [｜y − x｜ < 1/M → ｜f(y) − f(x)｜ <= N｜y − x｜] }
と置いても, Bf ⊆ ∪N ,M>=1BN,M は成立する. ただし, これだとBN,M が閉集合になるとは限らな
くなる. 以下でこのことを見る. BN,M が閉集合になることを示したい. x ∈ R とxi ∈ BN,M (i >=
1) はxi → x を満たすとする. このとき, x ∈ BN,M が成り立つことを示せばよい. そのためには,
∀y ∈ R[｜y − x｜ <1/M → ｜f(y) − f(x)｜ <= N｜y − x｜]
を示せばよい. さて,
｜y − x｜ <1/M
が成り立つようなy ∈ R を任意に取る. xi → x に注意して, i が十分大きければ
｜y − xi｜ <1/M
である. そのようなi を任意に取ると, xi ∈ BN,M に注意して, BN,M の定義から｜f(y) − f(xi)｜ <=
N｜y −xi｜ が成り立つ. i → +∞とすると, もしf が点x で連続ならば, f(xi) → f(x) となるので,
｜f(y)−f(x)｜ <= N｜y −x｜ となる. しかし, f が点x で連続でない場合は, f(xi) → f(x) が成り立つ
とは限らないので, ｜f(y) − f(x)｜ <= N｜y − x｜ が出て来ない(工夫すれば出るかもしれないが, 自分
は出せなかった). この時点で, BN,M が閉であることの証明に失敗する. ではどうするかというと,
f(xi) が出現しないようにすればよい. そのためには, そもそもf(x) が出現しないようにすればよ
い. そのためには,
x − 1/M < y < x < z < x +1/M
つづく >>185 つづき
が成り立つようなy, z ∈ R に対して
｜f(z) − f(y)｜ <= ｜f(z) − f(x)｜ + ｜f(x) − f(y)｜ <= N｜z − x｜ + N｜x − y｜ = N(z − y) (＊)
という計算を行えばよい. これはつまり, 補題1.5 そのものである. これでf(x) が出現しなくなる
ので,
BN,M :={x ∈ R ｜ ∀y, z ∈ R[x − 1/M < y < x < z < x +1/M → ｜f(z) − f(y)｜ <= N(z − y)] }
と置けば希望が見えてくる. そして, これで実際に上手く行くのだった. ちなみに, 自分が(＊) の計
算に辿り着いたのは元ネタがある. それは, 次のような補題である.
補題(straddle lemma)
f : R → R は点x ∈ R で微分可能とする. このとき, 次が成り立つ.
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀y, z ∈ R
[ x − δ <= y <= x <= z <= x + δ)→ ｜f(z) − f(y) − f’(x)(z − y)｜ <= ε(z − y) ] .
この補題がstraddle (またぐ・またがる) と呼ばれているのは, y とz を「x をまたぐように取る」
からである. そして, (＊) の計算は, この補題の証明と同じ考え方を適用したに過ぎない.
結局, 全体としては, 極めてオーソドックスかつ簡単な議論で定理1.7 が証明できたことになる.
QED
以上 まあ、読みにくいこと、このうえない
はるかにPDFの方が視認性がよい おっちゃんです。
>>177
スレ主がコピペした、pdfの証明に則って話を進める。
実際は出来ないが、仮に系1.8 を否定して
有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R が存在する
とすると、
(1)：f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
か
(2)：一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である.
のどちらか1つは否定されることになる。
勿論、実際には系1.8 の否定は出来ず、論理的には(1)も(2)も正しい。
話は元に戻し、(2)を否定したとする。すると、xは有理点であって、かつfがxで連続となる。
これはfについての元の仮定に反し矛盾する。よって、(2)を否定することは不可能。
従って、(1)に限り否定される。その結果、
(1)：f は開区間(a, b) の上でリプシッツ連続ではない.
となる。ここに、この開区間(a, b) とfはどちらも定理1.7 (422 に書いた定理) の証明で用いられる開区間(a, b) とf : R → R 同じである。
定理1.7 (422 に書いた定理) の証明と、その中で使っている補題1.5、補題1.6、系1.4の各証明では背理法は全く用いてなく、直接的に証明をしている。
そして、定理1.7 (422 に書いた定理) の証明の中では直接的にfが開区間(a, b) 上でリプシッツ連続なことを導いている。
この証明の中では開区間(a, b) は適当に選んで取っている。もし定理1.7 (422 に書いた定理) を否定すると、
他にも準備が必要になるが、その証明は大体結論から仮定へと順々に否定されて行き、
やがてfは開区間(a, b) 上でリプシッツ連続ではないことが示される。この結果は(1)に反することになる。
だから、定理1.7 (422 に書いた定理) の否定は出来ない。 >>188
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう（＾＾
（>>180より）
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間(a, b) の
上でリプシッツ連続である．”
この定理1.7の面白さは
”系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.”（>>184）
を著しく拡張しているところだ
つまり、系1.8において、
１）不連続→リプシッツ連続でない
２）微分可能→リプシッツ連続
３）稠密：有理数と無理の稠密性→もっと一般な稠密性（但し、片方は可算無限濃度限定）
の３つの特性で、系1.8を拡張したものが定理1.7になっているってこと
これに匹敵する結果は、>>41-42に書いたが
”Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.
Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).
This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function",
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. ”
つまり、一般な稠密性（但し、H. M. Sengupta and B. K. Lahiriは、可算非可算に関係なく）
”the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.”なのだが
しかし、この discontinuous →リプシッツ連続でないという、上記１）の特性で、定理1.7は拡張されているのだ
そこが、この定理1.7の面白さであり、斬新さだ
成り立てばだがね（＾＾ >>189 補足
>３）稠密：有理数と無理の稠密性→もっと一般な稠密性
で、この定理1.7で首肯できないものの一つが、この拡張です
下記にあるようにP532
T(ai)(x) = 0 if x 無理数, a_n if x = m/n 互いに素な有理数
で、a_n =n^k として、kを大きくする
すると、k＞２で、どんどん微分可能な領域が増える。最後は、Liouville numbersのみが微分不可で残るという
この結果と、定理1.7の一般な稠密性とが、果たして整合するのかどうか？
現実のQと無理数（R ＼ Q）とでは、具体的なQと無理数との相性のような絡み合いがあって
Liouville numbersのように、有理数でよく近似できる数（それは微分不可）で
一方、”Diophantine approximation of algebraic irrationals, called Roth’s Theorem”のように、近似限界のある数（代数的数の性質）（それは微分可能）で
無理数にも個性があるんです（下記「Modifications of Thomae’s function」）
だが、そういうことを全部抽象化した結果が、定理1.7なんですよね
まあ、定理1.7はものすごい強い結果だと・・・本当に成立しているのか？
（（>>189）H. M. Sengupta and B. K. Lahiriも、そういう結果なんですけどね（＾＾ ）
（>>90より）
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
(抜粋)
P534
We finish by remarking on some obvious consequences of the previous propositions.
First, for k <= 2, T(1/n^k ) is nowhere differentiable. By Roth’s Theorem, if
α(an) > 2, T(ai ) is differentiable on the set of algebraic irrational numbers. T(1/n^9) is
differentiable at all the algebraic irrationals, e, π, π^2, ln(2), and ζ(3), and not differentiable
on the set of Liouville numbers. Finally, if α(ai ) = ∞, T(ai ) is differentiable on
the set of all non-Liouville numbers. Since the set of Liouville numbers has measure
zero, T(ai ) is differentiable almost everywhere.
(引用終り) 時枝を分からない男は定理1.7も分からないという分かりやすい結果でした おっちゃんからもらったスレ主への連絡がある。>>188の
>従って、(1)に限り否定される。その結果、
>(1)：f は開区間(a, b) の上でリプシッツ連続ではない.
>となる。ここに、この開区間(a, b) とfはどちらも定理1.7 (422 に書いた定理) の証明で用いられる開区間(a, b) とf : R → R 同じである。
の部分は
>従って、(1)に限り否定される。その結果、
>「(3)」：f は開区間(a, b) の上でリプシッツ連続ではない.
>となる。ここに、この開区間(a, b) とfは「それぞれ」定理1.7 (422 に書いた定理) の証明で用いられる開区間(a, b) とf : R → R 「に一致させることが出来る」。
と訂正して読んでほしいとのことである。
これは>>188で分からなかったスレ主の読解力を考慮した訂正とのことである。
by 魔人プー >>192
どうも。スレ主です。レスありがとう。訂正を適用すると
（>>188 訂正し引用）
スレ主がコピペした、pdfの証明に則って話を進める。
実際は出来ないが、仮に系1.8 を否定して
有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R が存在する
とすると、
(1)：f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
か
(2)：一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である.
のどちらか1つは否定されることになる。
勿論、実際には系1.8 の否定は出来ず、論理的には(1)も(2)も正しい。
話は元に戻し、(2)を否定したとする。すると、xは有理点であって、かつfがxで連続となる。
これはfについての元の仮定に反し矛盾する。よって、(2)を否定することは不可能。
従って、(1)に限り否定される。その結果、
「(3)」：f は開区間(a, b) の上でリプシッツ連続ではない.
となる。ここに、この開区間(a, b) とfは「それぞれ」定理1.7 (422 に書いた定理) の証明で用いられる開区間(a, b) とf : R → R 「に一致させることが出来る」。
定理1.7 (422 に書いた定理) の証明と、その中で使っている補題1.5、補題1.6、系1.4の各証明では背理法は全く用いてなく、直接的に証明をしている。
そして、定理1.7 (422 に書いた定理) の証明の中では直接的にfが開区間(a, b) 上でリプシッツ連続なことを導いている。
この証明の中では開区間(a, b) は適当に選んで取っている。もし定理1.7 (422 に書いた定理) を否定すると、
他にも準備が必要になるが、その証明は大体結論から仮定へと順々に否定されて行き、
やがてfは開区間(a, b) 上でリプシッツ連続ではないことが示される。この結果は(1)に反することになる。
だから、定理1.7 (422 に書いた定理) の否定は出来ない。
(引用終り)
つづく >>193 つづき
１）（>>190 PDFより）”有理数の点で不連続, 無理数の点で、the set of all non-Liouville numbersで微分可能、the set of Liouville numbersで微分不可（勿論リプシッツ連続ではないが連続）となるf : R → R が存在する”は正しい
２）これは”系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.”の別証明になっている
３）ところで、スレ主は頭が悪いので、定理1.7を場合分けして、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”けれども、R−Bf がR中で稠密な場合を考える。
４）これはQを想定した場合。この場合は、「f : R → R は存在しない！」が、定理1.7の直接の帰結である。
５）R−Bf がR中で稠密な場合を更に、４つに細分する
ａ）R−Bfが不連続、Bfが可微分（これが系1.8に当たる）
ｂ）R−Bfが不連続、Bfが一般のリプシッツ連続（除く可微分）＊）
ｃ）R−Bfが一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）、Bfが可微分
ｄ）R−Bfが一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）、Bfが一般のリプシッツ連続（除く可微分）＊）
（注＊）一般のリプシッツ連続とはlim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞を満たすこと、一般の不リプシッツ連続とはlim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜＝ +∞を満たすこと）
６）系1.8は、定理1.7中の上記ａ）のみ。ａ）のみが、既存の別証明がある。しかし、ｂ）からｄ）の３ケースは、既存の証明は見つかっていない
７）で、系1.8が正しいからといって、定理1.7が正しいことの証明の代用にはならない。だから、系1.8を出発点に論じるのは如何なものかという気がするよ
以上 >>194 訂正
６）系1.8は、定理1.7中の上記ａ）のみ。ａ）のみが、既存の別証明がある。しかし、ｂ）からｄ）の３ケースは、既存の証明は見つかっていない
↓
６）系1.8は、定理1.7中の上記ａ）のみ。ａ）ｂ）のみが、既存の別証明がある＊）。しかし、ｃ）ｄ）の２ケースは、既存の証明は見つかっていない
＊）ｂ）は、（>>189）H. M. Sengupta and B. K. Lahiriの結果より
”Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).” おっちゃんです。
先は魔人プーが私の代わりに書いてくれた。
私からスレ主へ。
何でもいいから大学の微分積分の本を読んで ε-N や ε-δ を身に付けること。
あと、何でもかんでも文献引用してその結果を鵜呑みにする考え方を改めること。
取り敢えず、その2点を遂行しないことには、幾らやっても話にならん。 >>195 補足
R−Bfを拡張して、Ｑ＋the set of Liouville numbers（これは、非可算だが、内点を持たない閉集合の和）を含むように、可算→非可算 まで考える
すると、（>>189）H. M. Sengupta and B. K. Lahiriの結果より
”Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”
だから
ｃ）R−Bfが一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）、Bfが可微分
ｄ）R−Bfが一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）、Bfが一般のリプシッツ連続（除く可微分）＊）
の２ケースとも、そのような「f : R → R は存在する！」（ ｃ）の具体例が>>190の PDF
"α(ai ) = ∞, T(ai ) is differentiable on the set of all non-Liouville numbers. "だ ）
だから、R−Bfを縮小して、非可算→可算に落としたときに、
「f : R → R は存在しない！」になる数学的な背景があるや否やだが >>196
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとうよ
だが、おっちゃん
おれの挙げたＰＤＦの専門論文からっきし読めないのか？ >>196
>あと、何でもかんでも文献引用してその結果を鵜呑みにする考え方を改めること。
話は逆で、数学のその道の専門家が、投稿論文にして、それを他の人が、引用して・・
その引用のPDFも、まったくゼロから成り立つわけではなく、それ以前の結果を発展させたものになっている。投稿論文で年月が経ったものは、折り紙付きだよ
例えば、（>>90より）
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Ｐ535
5. CONCLUDING REMARKS.で
”After the submission of the current manuscript,
the authors were informed that a slightly less general version of Proposition 4.2 can be
found in [9, p. 232].”
とあるよ
つまり、これが逆で、”that a slightly more general version of Proposition 4.2”だったら、この論文は掲載拒否もあったろうし、
掲載されても、将来引用されるべきは、[9, p. 232]の方。つまり、”Kevin Beanland, JamesW. Roberts, and Craig Stevenson”の価値は、圧倒的に低い
でな、定理1.7なども同じで
本来、成立するなら類似の定理があるだろうと思う（>>197などに書いた通りだ）
学生までは、自分の独自証明の定理が、先行する論文の再証明であっても褒められるだろう
だが、院から上は、他者からの評価は、不勉強と言われるだろう
それでも、再証明なり別証明は、証明の当人としては無価値ではないけどね
だが、証明できたと思った定理が成立していないとしたら？
そのためにも、先行研究の調査はしっかり行うべきだと思うぞ
そこは、よく考えた方がいいぜ（＾＾ εδさえ理解してないお前が読んでも分かった気になるだけ 実際は全く理解できてない ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
