大学学部レベル質問スレ 9単位目
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>>532
最初の質問>>504を読んでくれ
リーマン計量は初めから与えられている
>>522が言う「Uが平坦」という条件は、最初に与えられたリーマン計量のリーマン接続について平坦でないといけないということを意味する(でないと意味不明)
>>529の例は平坦でなくても正規直交枠取れるよねってこと >>533
もし>>522が言うことが、U上でのみ別の計量を考えそれについてUが平坦だと言いたいのであってもそれも意味不明
任意の座標近傍はユークリッド空間の開集合と微分同相なのだから、そのユークリッド計量を引き戻して局所的な計量を定めればそりゃ平坦になる
つまり全く意味のない主張になる 杉浦光夫著『解析入門1』を読んでいます。
この本では、まず、実数を定義する公理が17個与えられています。
自然数は、 「R のすべての継承的部分集合に含まれる実数」として定義されています。
なぜ、 1 を有限回足した結果の実数を自然数と定義していないのでしょうか? よく読みもせず他人に突っかかると>>532のようにトンチンカンな発言を恥ずかしげもなくすることになる
注意しよう >>530
N(m) の部分集合が有限集合であることを証明してください。 杉浦光夫著『解析入門1』を読んでいます。
問題について質問です。
以下の問題のロ)の仮定が分かりません。
n ∈ A のとき、 m は A の最小数ですから、 n ≧ m は当然成り立つはずです。
なぜ、ロ)を
ロ) n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A
と書かなかったのでしょうか?
「
N ∋ m ≧ 1 とする。
A ⊂ N が、
イ) m は A の最小数、
ロ) n ∈ A, n ≧ m ⇒ n + 1 ∈ A
をみたすとき、
A = {n ∈ N | n ≧ m} であることを証明せよ。
」 ペンローズタイルは素数と関係しますか?
繰り返さないのですから、円周率みたいなものでしょうか? 杉浦光夫著『解析入門1』を読んでいます。
問題について質問です。
「n が自然数ならば n < k < n + 1 となる自然数 k は存在しないことを証明せよ。」
ヒントとして、「A = { 0 } ∪ { n ∈ N | n ≧ 1 } は継承的」と書かれています。
意味不明です。解答をお願いします。 杉浦光夫著『解析入門1』を読んでいます。
lim n = +∞
と
lim 2^n = +∞
が同値だという記述があります。
これはなぜですか? 杉浦光夫さんは、以下のように書いていますが、
どうやって示すのでしょうか?
(n)_{n ∈ N} は単調増加列だから
lim 2^n = +∞
から
lim n = +∞
が導かれる。 杉浦光夫著『解析入門1』を読んでいます。
自然数の定義はありますが、自然数のいろいろと重要な性質を
書いていませんね。
たとえば、
n ∈ N ⇒ n ≧ 0
ということを書いていないにもかかわらず、使っています。
{x ∈ R | x ≧ 0} が継承的であることから
n ∈ N ⇒ n ≧ 0
であることが分かりますが、やはりこのような基本的な性質は列挙すべきであった
のではないでしょうか? は?
2^nを定義した時点でそれが自然数ということは当然了解されているはずだろう >>546
あ、勘違いしていました。
任意の実数 M に対して、
n ≧ n0 ⇒ 2^n > M
となるような n0 が存在する。
2^n0 ∈ N
であり、
n ≧ 2^n0 ⇒ n ≧ 2^n0 > M
よって、
lim n = +∞
ということですね。 >>535
田中一之・鈴木登志雄著『数学のロジックと集合論』に理由が書いてありました。
「1 を自然数回足した結果の実数を自然数という」
という定義は、循環論法になってしまうためダメなんですね。 >>550
それは少々おかしな議論ですね
「1 を自然数回足した結果の実数を自然数という」
最初の自然数は、メタな記述です
それに対して、後の自然数は対象を指しています
数理論理的にはこうなるでしょうね
メタな記述すら認めないとなれば、数学において何も記述することなどできないでしょう >>551
その方法で定義した自然数モドキは数学的帰納法を満たすことを証明できない >>552
証明する必要なんてないですよね
メタに明らかです 杉浦光夫著『解析入門1』を読んでいます。
実数の十進小数展開についてですが、杉浦さんの記述はおかしくないですか?
「
定理3.9
任意の実数 x に対し、
a_n = [x] + x_1 / 10 + x_2 / 10^2 + … + x_n / 10^n,
0 ≦ x_i ≦ 9,
x_i ∈ N
の形の有理数列 (a_n)_{n ∈ N} で x に収束するものが存在する。
…
このような実数 x を、
x = [x]. . x_1 x_2 x_3 …
で表わす。
」
x が負の実数のとき、例えば、 -π のとき、
x = -4.8584
などと表示しないですよね。 >>554
任意の実数ではなく、0 以上の実数について10進小数展開を定義し、
x が負の実数のときには、 -x の10進小数展開をまず求め、
その先頭にマイナス記号をつけたものが x の10進小数表示ですよね。 >>553
中途半端な知識でテキトー言わないように
「Nの任意の部分集合」をメタレベルで表現できないので、
「理論内部の自然数が完全な形の数学的帰納法を満たすこと」はメタレベルの自然数からは明らかでない >>556
メタに明らかだから公理に付け加えればいいですね
言葉が足りませんでした
>>556
>「Nの任意の部分集合」をメタレベルで表現できないので、
Nの任意の部分集合、はメタな表現だと思いますけど? おまえ、先日は述語論理で実無限がどうのと言ってた奴だろ
劣等感婆を煽るつもりが逆に恥かかされて、今と同じ状況 >>559
私はその人に集られてた側ですけど?
日本語で書かれている以上、形式的言語で書かれた形式的記述ではないんですから、明らかにメタですよね >>563
あのなあ…
「Nの任意の部分集合」と言ったら
∀x(x⊂N→ … )
という論理式のことに決まってるだろ
おまえの自然数モドキ達をnで表すとしても
∀n(n⊂N→ … )
という論理式を表すための言語がないし、
(有限個の文字による)自然数モドキの定義がない、したがって「自然数モドキ全体の集合」を定義することもできず、
新たに言語を追加しても意味がない >>564
何を言っているのか理解できませんね
私は、あなたがペアノの公理とかは認めないという立場なのかと思ったわけです
ペアノ算術において、自然数とは0およびsuc(*)で定義されていますね
あなたはこれを認めないんですか?認めるんですか?
まずそこからお願いします それと、>>557の「メタに明らかだから公理に付け加えればいい」というやつな
それを公理に付け加えるということは、自然数に関する全ての真なる命題を公理に付け加えるのと同じなので、あまりにも馬鹿げてる もう少し詳しく書いた方がいいかな
それと、>>557の「メタに明らかだから公理に付け加えればいい」というやつな
それを公理に付け加えるということは、
「メタレベルで真と考えられる自然数に関する全ての命題」を
形式的体系の公理に付け加えるのと同じなので、あまりにも馬鹿げてる >>567
数学的帰納法を仮定しない自然数論の例を教えてください
私は知りません >>568
おまえは「メタレベルの数学的帰納法」と「理論内部でこれから証明されるべき数学的帰納法」の区別が付いてない
自然数モドキは元々理論内部の言語にないので、
自然数モドキに関する数学的帰納法を理論内部の公理に追加しようとするなら、
まず自然数モドキ全体の集合が定義されなければならない
さあ、有限個の文字数で定義してみなさい >>569
意味不明です
これに答えてください
たとえば、ペアノ算術において定義される自然数は理論内部の言語に含まれてるんですか? 俺の言いたいこと、つまりおまえの問題点は>>567と>>569に全て書いてある
>>570の質問もそうだが、どのレベルのペアノ算術なのか区別できていないのも全く同じ問題 >>571
数学的帰納法が証明されるべきもの、としているのが理解できないんですよ
証明なんてできませんから、普通の自然数論では
あなたの言ってることも全体的によくわからないですね
自然数が言語に含まれないってどういうことですか? もうこれで最後にするぞ
理論内部の数学的帰納法は単なる論理式の一つだ
杉浦の解析入門にあるように、集合論では証明可能な論理式
理論内部の自然数はある特定の集合Nの元のことだ
そのため∀x(x⊂N→ … )という論理式で任意の自然数について語ることができる
自然数モドキではこれができない 訂正
そのため∀x(x⊂N→ … )という論理式でNの任意の部分集合について語ることができる >>573
どのように証明するんですか?
このレスに回答がない場合、あなたは知ったかぶりをして逃げたのだと判断します ウィキペディアに書いてありましたね
自然数 N の部分集合 A が空でないとき、A に属する最小の自然数が存在する。
これを「仮定」することにより、数学的帰納法を証明できる
確かに私の勉強不足は認めますが、これはあなたのいうメタに真な命題、と何が違うんですか? >>575
集合論でωを最小の推移的集合と定義するときと同じ
杉浦ではRの特定の部分集合で定義してあるはず >>576
全く見当違い
整列集合は関係ないし、実数体Rの存在以外に新たに何かを仮定する必要はない
0を含み、+1の操作で閉じたRの部分集合のうち、最小のものをNとすれば、これが数学的帰納法の原理を満たす
集合論で最小の推移的集合ωを考えるときと同じ
非負実数全体は0を含み、+1の操作で閉じているから、無限公理(推移的集合が少なくとも一つ存在する)に相当する条件は自明に成り立つ 探したら出てきましたね
ペアノ算術以外の構成方法もあるんですね
わかりました
でもペアノ算術においては数学的帰納法を公理として付け加えるのが一般的です ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています