大学学部レベル質問スレ 9単位目
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前原昭二著『記号論理入門』を読んでいます。 証明図に書く [ ] という記号の定義は何ですか? 前原さんは、この場合は、こういう意味というような説明しかしていません。 >>450 どのように用いられていますか? まあ特に意味はないんだと思いますけど >>451 [ ] という記号は一般的ではないということですか? → 導入: [A] B -------------- A → B みたいな感じで使われています。 ∨ 除去: A ∨ B C C ---------------------------- C の二つ並んだ C の上にも [A] [B] と書かれています。 撤回しますね 仮定をまとめているのではないでしょうか? → 導入: [A] B -------------- A → B [A] と書きましたのは、 B を導く演繹に用いられている仮定のうちの A という仮定は、 A → B を 導く演繹に対して除いて考えよ、ということであります。 と書いてあります。 B が成り立てば A の真偽にかかわらず A → B が成り立つということでしょうか? 前原昭二著『記号論理入門』は説明が数学的じゃないので分かりにくいです。 小野寛晰著『情報科学における論理』のほうがいいですかね? >>457 とりあえずその説明は無視して、A,Bは仮定である、と考えれば良いかと思います Cが成り立つのであれば、仮定Aを用いてA→Cを導いても良い A∨B⊂Cという推論が成り立つのてあれば、A,Bを仮定すればCを導いても良い 私もその本ちょっとだけ読んだ気がするんですけど、難しくてよくわからなかった記憶がありますね >>459 ありがとうございます。 前原さんの本はやめて、小野寛晰さんの本を読もうと思います。 >>459 この形式の証明図の変形を記述する記法です 仮定を結論の前提に組み入れることを表してる 推論論理式を線で区切って上下に書く方法は珍しくない 上に前提を置き、下に結論を置く。推論規則にしたがって前提を加えたり消去したり、結果、すべての前提が消去されたとき、下に残った結論は前提なしに真といえる 論理和∨の消去則によって A├C と B├C から (A∨B)├C を導くことができるが、 この過程は前提 A と前提 B の代わりに前提 A∨B をもって結論 C を導くことなので、前提 A∨B を線の上に置き、それまで線の上方にあった前提 A と前提 B を消去して線の下に結論 C を置く 含意→導入則は A├B から ├(A→B) を導く 前提 A とその結論 B から、前提なしに結論 A→B を導くのだからそれまであった前提 A は消去してよい >>462 推論法則は「式AとA→Bが真ならばBも真」という事をお忘れなく。 >>461 >>462 仮定をカギ括弧で囲むことについての質問ですよ >>463 推論規則の操作は、命題や述語の真偽値を仮定せずに推論を進めるもの。「Aが真」ではなくあくまで「A」 真理値を仮定しないところから「直感主義論理」のような一見すると直感に反するような論理学も出てくる A, A→B├B で表される推論規則は含意→消去則といい、AとA→Bの2つの前提からBを結論とできるというもの ├ をシークエントの意味で使ったり、推論規則の意味で使ったり忙しい人ですね >>464 書き方はなんでもいいのよ 板書では横線で消し込んだりしてましたからね >[A] と書きましたのは、 B を導く演繹に用いられている仮定のうちの A という仮定は、 A → B を >導く演繹に対して除いて考えよ、ということであります。 この文を素直に読めば、「A → B を導いたときに除くべき仮定が A である」と言っているのは明らかじゃないですかね >>469 なんですかそれは >>470 なんか日本語としておかしくないですか 私よくわからないんですけど >>463 だから証明図の変形に関する記法だってばさ >>472 >>470 とかは仮定を除くとか書いてますけど? 済まん、>>469 は間違い。正しくは、 最初の真なる式(公理) から 新しい真なる式が証明される 小野寛晰著『情報科学における論理』を読んでいます。 「基本的な命題を記号化、形式化したものとして命題変数を定義する。 ここで「基本的な命題」という言葉の意味は、複文に対する単文の ようにこれ以上分解することのできない文の最小単位ということである。」 などと書かれています。 これ以上分解することができない文の最小単位というのが分かりません。 なんかいきなりいい加減な感じの書きっぷりで戸惑っています。 あれこれ考えてても実例がないと理解しにくいんじゃない? 演習問題でもやってみるといい たとえば(¬P∨¬Q)→¬(P∧Q)の証明 使う規則は以下。横位置ずれてたらスマン [A][B] C C A∨B ──────────∨消去 C A∧B ───∧消去 A A∧B ───∧消去 B [A] B ─── →導入 A→B [B] A ¬A ───── 背理法 ¬B >>476 あくまでイメージですからそんなもんなのかーというくらいで流してしまって構わないでしょう >>475 まず真なる式が定義される(公理)。これらから新しい真なる式を得る法則が定義される(推論法則)。それらが与えられて「真なる式」が定義される。 >>479 気持ちとしてそうだという程度の話で厳密な話ではないと考えて良いですか? >>473 そ それで結論がA->Bに変わるでしょ >>483 公理とはA→Aのことですか? >>484 >>461 >仮定を結論の前提に組み入れることを表してる これはなんですか? 空集合からあらゆる集合や順序数を定義するとかいう狂気の沙汰 命題論理の公理系 A→(B→A) (A→(B→C))→((A→B)→(A→C)) A∧B→A A∧B→B (A→B)→((A→C)→(A→B∧C)) A→A∨B B→A∨B (A→C)→((B→C)→(A∨B→C)) (A→B)→(¬B→¬A) A→¬¬A ¬¬A→A LKしか知らないんでよくわからないですね ヒルベルトの流儀なんでしょうか >>488 >ヒルベルトの流儀なんでしょうか まぁ無矛盾である事が証明されていますのでね。 劣等感って無断アップロードで開示されたことないの? 開示請求してみていい? >>485 >これはなんですか? 前原さんの本に詳しく書かれてますよ >>477 ありがとうございました。 >>478 流すことにします。ありがとうございました。 斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。 「S ⊂ X が R に関する完全代表系ならば、商写像の制限 q | S : S → X / R によって S と X / R を同一視することができる。しかし、包含写像 S → X は X への写像であるのに対し、商写像 q : X → X / R は X からの写像だから、 完全代表系で商集合を代用するのは、よい方法とはいえない。 」 と書かれています。 何が言いたいのか分からないので、解説をお願いします。 >>479 この流儀だと公理はなくてそれを担うのが推論規則 推論規則を2つにして後全部公理化してもいいけど 全部推論規則にした方が対称性もあって美しい感じ >>488 >ヒルベルトの流儀 ¬と→しかなくて公理は3つだけよ 論理演算が↑だけって体系もあるけどめんどくさいだけ 斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。 「x, y ∈ R^2 に対し x - y ∈ Z^2 で定まる R^2 の同値関係 R による商集合を、 R^2 / Z^2 で表わす。 R^4 の部分集合 T^2 を、 T^2 = {(x, y, u, v) ∈ R^4 | x^2 + y^2 = u^2 + v^2 = 1} で定める。 写像 f : R^2 → R^4 を、 f(s, t) = (cos(2*π*s), sin(2*π*s), cos(2*π*t), sin(2*π*t)) で定める。 f の標準分解は可逆写像 R^2 / Z^2 → T^2 を定めることを示せ。」 f の標準分解は可逆写像 R^2 / Z^2 → T^2 を定めることは明らかだと思いますが、 解答はどのようになるのでしょうか? 以下の解答ではダメですか? f(R^2) = T^2 f が定める同値関係は明らかに、 R と等しい。 よって、 f の標準分解は、 R^2 → R^2 / Z^2 → T^2 → R^4 となる。 >>491 仮定を除くのか追加するのかどっちなんですか? 斎藤毅さんの解答を見ました。 正しいことは分かるのですが、なぜそのような解答なのかが分かりません。 非常に回りくどい感じがします。 斎藤毅さんの解答は、時に、正しいことは分かるが意味不明なことがあります。 自分が知っている一般的な方法論を、ある特定の問題に適用するとこうなる という解答を書いているから正しいことは分かるが意味不明ということになる のではないかと推測します。 デザインパターンを知らない人があるプログラムを見て、正しく動くことは分かるが、 なぜそう書いたのかが分からない という場合に似ていると思います。 そのような解答はいかがなものでしょうか? 微分幾何学得意な人教えてくれ リーマン計量gを局所的に成分で表示するとき、開集合U上の正規直交枠をとることから始めればU上で標準的な表示ができる(つまりテンソルgの成分がクロネッカーのδで書ける)けど、 まず座標からスタートしたらその座標方向の微分作用素がU上で正規直交になるようには必ずしも出来ないからU上でgを標準的に表示することが出来ず、正規座標を取ることにより一点でのみそういう表示ができる っていう認識だけど合ってますか? >>500 ちゃんと読んでないね 仮定を削除して前提に加える >>503 >そのような解答はいかがなものでしょうか? それが当たり前になるように勉強するよろし すべての対称性を行列表現すると A・A^(-1) = I A・A^(-1) = - I X A^(n) X^(-1) = I X A^(n) X^(-1) = - I どれかに当てはまればおk? 「対称性」の意味するものがわからないけど、とりあえず対称行列くらいはリストに入れよう もとの図形と区別がつかないように移動を行う操作を対称操作という。 >>506 知とは対称性または可換性を得るためのツール 相手に対称性を推定させるためのツールではない それは自己愛のツール ディープマイニングは大量のデータから対称性を得るツール 対称操作をA、図形をBとすると A^(n) B = B になるでいいの? アスペは対称性が大好きだし、自分も対称 自己愛は非対称性が大好きだし、自分も非対称 更に面白いことは、両者の間にはどうも作用が起こるらしいこと つまり異なる対称性の相互で物理的な力が働くらしいことである 可換であれば AB=BA B^(-1)AB = A A^(n)B = BA^(n) B^(-1)A^(n)B = A^(n) = A は、可換かつ対称であることになるの? nが一定であれば、その対称性が維持される nが変わると対称性が変わる この世の中はいろんなnの集合体 どうなってるのかはマルチフラクタル解析でわかる nが違うから量子力学を人間の世界には当てはめられない スケール普遍性が成り立っていないのに無視するイミフな科学者多すぎ 系に存在する次元数はその系の自己裁定能力を示している それは対称性の分布と関係があるかもしれない >>477 こうかな ∧除去を使って P∧Q ---- P 背理法を使って仮定P∧Qを消去 [P∧Q] P ¬P -------- ¬(P∧Q) 同様にして [P∧Q] Q ¬Q ------- ¬(P∧Q) ∨除去で仮定¬Pと¬Qを消去 [¬P] [¬Q] ¬(P∧Q) ¬(P∧Q) ¬P∨¬Q ---------------------------- ¬(P∧Q) →追加で仮定¬P∨¬Qを消去 [¬P∨¬Q] ¬(P∧Q) -------- (¬P∨¬Q)→¬(P∧Q) >>504 前半は開集合Uが平坦という前提が必要だね それ以外は合ってる >>522 Uが平坦っていうのはgから定まるリーマン曲率がU上恒等的に0ってことですか? 別にそうでなくても接続とか考える以前にU上でグラムシュミットの直交化で正規直交フレーム得てそれで表示すればいいと思ったのだけど これと同じ感じで(小林昭七の曲面論) https://i.imgur.com/5YXitHt.jpg まあ開集合って言ったけど必要に応じて十分小さくして単連結領域として良いというこで >>524 あなたの中ではR^3の中の任意の曲面は平坦なのですか? ガロア理論の質問です Let L/K be a Galois extension with Galois group Gal(L/K). Let R⊂ L be a subring such that r(R) = R for all σ∈Gal(L/K). Then the minimal polynomial (over K) of any element of R has coefficients in R∩K. PROOF. Let a ∈ R. Let H := {σ ∈ Gal(L/K) | σ(a) = a}. The element a has s := #(Gal(L/K)/H) distinct conjugates in L, say a i , . . . , a s . と続いていくのですが、なぜaの相異なる共役の数が上で定義したsになるのかがわかりません ガロアの基本定理の中間体に関する部分をK(a)に適用させればいいのかと考えています 具体的には Gal(K(a)/K)≅Gal(L/K)/{K(a)において動かないようなK準同型} =Gal(L/K)/{σ(a)=aなるK準同型} これを使うには「K(a)/K がガロア拡大」を言う必要があると思うのですが、そこがわかりません 方針があっているか、また最後の「。。。」についてわかる方教えてください よろしくお願いします 群作用における固定化部分群と軌道の基本的な関係 ガロア理論以前の話 >>527 解決しました 的確な指摘ありがとうございました ちなみにですが、僕の書いた方針でうまくいくのでしょうか? 作用を考えた方が圧倒的にシンプルですが >>524 では質問を変えます R^3内の球面S^2を考え、そこから北極を取り除いた曲面をMとする 立体射影を考えれば、この球面はR^2を定義域としてパラメータ付けできる この曲面MからR^3への包含写像を考え、その写像によりR^3のユークリッド計量を引き戻し、Mに計量gを定める Mにgより定まるLevi-Chivita接続∇を入れる さて、このMは単連結領域R^2と微分同相なのでM上の正規直交枠を取れるわけだが、このMの∇に関する曲率は0であるか? もちろん、答えは0ではない 杉浦光夫著『解析入門1』を読んでいます。 自然数に関する定理2.2の証明で分からないところがあります。 A ∩ N(m) が有限集合であることはどうやって証明するのでしょうか? 「m ∈ N に対して N(m) = {n ∈ N | n < m} と置く。集合 A から N(m) の 上への一対一写像(全単射(附録1))が存在するとき、 A は m 個の元を 持つという。ある m ∈ N に対し m 個の元を持つ集合を総称して有限集合という。 (2.4) N の任意の有限部分集合 A ≠ φ は、最小限 min A を持つ。 定理2.2 N の空でない任意の部分集合 A は、最小元 min A を持つ。 証明 m ∈ A を取る。 A ∩ N(m) = φ ならば、 m = min A である。 A ∩ N(m) ≠ φ ならば、(2.4)により min (A ∩ N(m)) = n があり、 n = min A である。」 >>529 (注意) Mの計量gをR^2への微分同相写像による引き戻しで定めればMは平坦なのだが、今はR^3への包含写像による引き戻しを考えている この場合Mの曲率は球面の曲率と一致する >>532 最初の質問>>504 を読んでくれ リーマン計量は初めから与えられている >>522 が言う「Uが平坦」という条件は、最初に与えられたリーマン計量のリーマン接続について平坦でないといけないということを意味する(でないと意味不明) >>529 の例は平坦でなくても正規直交枠取れるよねってこと >>533 もし>>522 が言うことが、U上でのみ別の計量を考えそれについてUが平坦だと言いたいのであってもそれも意味不明 任意の座標近傍はユークリッド空間の開集合と微分同相なのだから、そのユークリッド計量を引き戻して局所的な計量を定めればそりゃ平坦になる つまり全く意味のない主張になる 杉浦光夫著『解析入門1』を読んでいます。 この本では、まず、実数を定義する公理が17個与えられています。 自然数は、 「R のすべての継承的部分集合に含まれる実数」として定義されています。 なぜ、 1 を有限回足した結果の実数を自然数と定義していないのでしょうか? よく読みもせず他人に突っかかると>>532 のようにトンチンカンな発言を恥ずかしげもなくすることになる 注意しよう >>530 N(m) の部分集合が有限集合であることを証明してください。 杉浦光夫著『解析入門1』を読んでいます。 問題について質問です。 以下の問題のロ)の仮定が分かりません。 n ∈ A のとき、 m は A の最小数ですから、 n ≧ m は当然成り立つはずです。 なぜ、ロ)を ロ) n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A と書かなかったのでしょうか? 「 N ∋ m ≧ 1 とする。 A ⊂ N が、 イ) m は A の最小数、 ロ) n ∈ A, n ≧ m ⇒ n + 1 ∈ A をみたすとき、 A = {n ∈ N | n ≧ m} であることを証明せよ。 」 ペンローズタイルは素数と関係しますか? 繰り返さないのですから、円周率みたいなものでしょうか? 杉浦光夫著『解析入門1』を読んでいます。 問題について質問です。 「n が自然数ならば n < k < n + 1 となる自然数 k は存在しないことを証明せよ。」 ヒントとして、「A = { 0 } ∪ { n ∈ N | n ≧ 1 } は継承的」と書かれています。 意味不明です。解答をお願いします。 杉浦光夫著『解析入門1』を読んでいます。 lim n = +∞ と lim 2^n = +∞ が同値だという記述があります。 これはなぜですか? 杉浦光夫さんは、以下のように書いていますが、 どうやって示すのでしょうか? (n)_{n ∈ N} は単調増加列だから lim 2^n = +∞ から lim n = +∞ が導かれる。 杉浦光夫著『解析入門1』を読んでいます。 自然数の定義はありますが、自然数のいろいろと重要な性質を 書いていませんね。 たとえば、 n ∈ N ⇒ n ≧ 0 ということを書いていないにもかかわらず、使っています。 {x ∈ R | x ≧ 0} が継承的であることから n ∈ N ⇒ n ≧ 0 であることが分かりますが、やはりこのような基本的な性質は列挙すべきであった のではないでしょうか? は? 2^nを定義した時点でそれが自然数ということは当然了解されているはずだろう ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
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