大学学部レベル質問スレ 9単位目
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H^{1}(S^{2}) ~= 0 を示すにはどうしたらよいでしょうか. 坪井俊・著「幾何学III」を独学しているのですが,p.64 (定理) k >= 1 で,H^p(S^{k}) ~= 0, for p = 1, ..., k - 2, H^{k}(S^{k}) ~= R が成り立つ. マイヤービエトリス系列を使って数学帰納法で示す証明がありますが,アンカーケースとして H^{1}(S^{2}) ~= 0 を別途示す必要があるように思われます.あるいは証明を誤解していて 帰納法の中で示せるのかもしれません. 自己解決できなて先に進めなくなっているので,ヒントでも教えていただけますとうれしいです. 教科書での証明のアウトラインとどこで詰まっているかを次以降のレスで書き出してみます. (記号) S^k: k次元球面, M1: S^k - 北極, M2: S^k - 南極, M12 = M1 && M2 H^p(M): M上のp次ドラムコホモロジ Δ*: H^p(M12) -> H^{p+1}(S^k) : 連結準同型写像 (アンカーケース, k = 1の場合の仮定) (1) H0(S1) ~= R (2) H0(M1) (+) H0(M2) ~= R (+) R (3) H0(M12) ~= R (4) H1(M1) ~= R (1)-(3)は0次閉形式は連結成分上で定数をとる関数であることよる. (4)は H1(M1) ni α -> ∫α in R という同型写像を直接構成することでわかる. (再帰 k >= 2として) 以下を仮定 (5) H^p(S^{k-1}) ~= 0, for p = 1, ..., k - 2 (6) H^{k-1}(S^{k-1}) ~= R このときマイヤービエトリス完全系列 H^{k-1}(S^{k}) -> H^{k-1}(M1) (+) H^{k-1}(M2) -> H^{k-1}(M12) -Δ*-> H^k(S^k) -> 0 は H^{k-1}(S^{k}) (10) -> 0 (7) (+) 0 (7) -> R (8) -----> H^k(S^k) (9) -> 0 と同型である. ここで M12 ~= [0,1] x S^{k-1} なので,H^{k-1}([0,1] x S^{k-1}) ~= H^{k-1}(S^{k-1}) ~= R より(8)を, M1 ~= (k-1)次円盤とポアンカレの補題より (7) を得ている. したがって,(9) H^k(S^k) ~= R, (10) H^{k-1}(S^{k}) ~=0, [さらに低次へ系列を巻き戻して] (11) H^p(S^{k}) ~=0, for p = 1, ...., k - 1. これで (5),(6)で k <- k + 1としたものが成立することが示された. (私の理解と疑問) (9) について. 完全系列であることより im(Δ*) ~= ker(->0) = H^k(S^k). また,dom(Δ*) ~= H^{k-1}(M12) ~=R よりも im(Δ*) の方がランクは小さいか等しい よって,H^k(S^k) ~= 0 または H^k(S^k) ~= R. いっぽう,S^k のk次完全形式 ω=dηの積分は 0 (ストークスの定理). したがって,2つのS^kのk次(閉)形式α,α'が同じコホモロジー類に族する場合,その積分値 は一致し,積分値が異なる場合は別のコホモロジー類に属する. S^kのk次(閉)形式でその積分が0でない実数値をとるものを2つ以上つくれるので, H^k(S^k) ~= 0 はありえない.よって H^k(S^k) ~= R である. (10)について H^{k-2}(M12) ~= H^{k-2}(S^{k-1}) ~= 0 ((5)でp = k - 2の場合) より 系列をさらにさかのぼって, H^{k-2}(M12) -Δ*-> H^{k-1}(S^{k}) は 0 -Δ*-> H^{k-1}(S^{k}) と同型.(9)と同様にランクを考えると,H^{k-1}(S^{k}) ~= 0. しかし,こう考えて再帰を辿ると,これとは違う方法で H^1(S^2) ~= 0 を示さなければならなくなる.これはどうすればよいか? >>151 ん? クラスは自分を含まないからイイってこと? クラスの集まりを考えたりしてもいいんだけど クラスのクラスのクラスのクラス・・・で矛盾が起こらないのね? >>148 「モノの集まり」というしかないね 究極には数学の概念は無定義/天与とならざるを得ない それが皆の(数学者の)直観に合致していれば受け入れられるってこと >>155 S^n=D1^n∪D2^n S^(n-1)=D1^n∩D2^n で H0Sn=Z(n>0)orZ+Z(n=0) HmDn=Z(m=0)or0(m>0) HmS0=Z+Z(m=0)or0(m>0) 0->H0Sn->H0Dn+H0Dn->H0Sn-1->H1Sn->H1Dn+H1Dn->H1Sn-1->H2Sn-> n=1 0->Z->Z+Z->Z+Z->H1S1->0->0->H2S1->0->0->H3S1->0->0 HmS1=Z(m=0,1)or0(m>1) n>1 0->Z->Z+Z->Z->H1Sn->0->H1Sn-1->H2Sn->0->H2Sn-1->H3Sn->0-> H1Sn=0 Hm-1Sn-1=HmSn(m>1) >>160 >>161 ありがとうございます.鮮やかですね.しかし,完全系列を0やZで置き換えるところまでは理解できましたが, その結果から H1Sn=0 を推論する論理がわかりません. # 教科書でも類似の推論が使われている箇所がありますが「この系列が完全だから」としか書かれていません. ドラムじゃなくて特異ホモロジーは計算したことないの? はい.ないです.この本の2章の「ドラム・コホモロジー」で初めてホモロジーという用語を知りました. 3章「微分形式の積分」で特異ホモロジーを扱うことになっていますが,先にこっちを読んで 戻ってきた方がよかったりしますか? {a} ⊂ A ⊂ {a, b} ⇒ A = {a} または A = {a, b} これを証明するとすると、どうやって証明するんですか? (1) A = {a, ...} (2) A = {} または A = {a}, A = {b}, A = {a,b} のいずれか. (1),(2)をともに満たすのは A = {a} または A = {a,b} に限られる. デデキント整域Aにおける素イデアル分解の証明のところの質問なのですが 任意の分数イデアルⓑに対して共通分母d∈Aを取ってくると ⓑ=(dⓑ)・(Ad)^(−1) の等式がわかりません(⊂はわかりました) イデアルと元の区別のためにⓑを使いました読みにくかったらすみません ちなみにサミュエルの63ページです(数の代数的理論) わかる方いらっしゃいましたらよろしくお願いします >>165 ドラムなら>>162 でZをRにして終い >>166 結論が「…または…」の場合は片方を否定した場合で考えれば良い たとえば、(A≠{a})∧({a}⊂A⊂{a,b})⇒A={a,b} を証明する A={a}⇔(a∈A)∧(∀x∈A[x=a]) だから A≠{a}⇔(a∉A)∨(∃x∈A[x≠a]) 従って (A≠{a})∧({a}⊂A⊂{a,b})⇒(a∈A)∧(∃x∈A[x≠a])∧(A⊂{a,b}) ⇒(a∈A)∧(b∈A)∧(A⊂{a,b})⇒A={a,b} となる {(A ∪ B) - (A ∩ B)} ∪ {(B ∪ C) - (B ∩ C)} = (A ∪ B ∪ C) - (A ∩ B ∩ C) を示してください。 {(A ∪ B) - (A ∩ B)} ∪ {(B ∪ C) - (B ∩ C)} ⊃ (A ∪ B ∪ C) - (A ∩ B ∩ C) を簡単に示すことはできますか?(場合分けをできるだけ少なくするなど) 👀 Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f) 0<β<α を満たす任意の α, β について u∈H^α ⇒ {(‖u‖_α)^(β/α)}{(‖u‖)^(1-β/α)} を示せ。(H^αはハーディ空間) をどなたかお願いします... ヘルダーの不等式を使うのはなんとなくわかるんですけど... >>174 いったん積和か和積かにするのが確実 {(A∪B)−(A∩B)}∪{(B∪C)−(B∩C)} ={(A∪B)∩¬(A∩B)}∪{(B∪C)∩¬(B∩C)} ={(A∪B)∩(¬A∪¬B)}∪{(B∪C)∩(¬B∪¬C)} ={(A∪B)∪(B∪C)}∩{(A∪B)∪(¬B∪¬C)}∩{(¬A∪¬B)∪(B∪C)}∩{(¬A∪¬B)∪(¬B∪¬C)} ={A∪(B∪B)∪C}∩{A∪(B∪¬B)∪¬C}∩{¬A∪(¬B∪B)∪C}∩{¬A∪(¬B∪¬B)∪¬C} ={A∪B∪C}∩{T}∩{T}∩{¬A∪¬B∪¬C} ={A∪B∪C}∩{¬A∪¬B∪¬C} ={A∪B∪C}∩¬{A∩B∩C} ={A∪B∪C}−{A∩B∩C} 幾何学の開集合、閉集合の判定についての問題です。 現在、ユークリッド位相の開集合、閉集合の判定について学んでいますが、いまいち理解できてません 例えば ユークリッド位相をもつ実数直線Rに対して、 (1)(0,1)U(3,4) (2)[0,1] (3){1/2n+1 n€N} (4)NU{√3} (5){0,1,2} (6)[0,1]U(2,3) (7)(0,1)U[2,3] (8)Z (9)Q (10)R-{0,1} (11){n+√2 n€Z} それぞれRの開集合か閉集合か判定し、閉集合でないと判定したものに対して、その閉包を求めよ。 また、(0,1)が(1)の開集合か閉集合か判定しろ。 という問題で、開区間同士の和集合は開集合になる といった解法だけで過ごしてきた結果、それ以外が出てきたときに解けなくなりました。 開集合や閉集合の判定、閉包の求め方を教えてください。 >>178 各店の適当な解禁棒を含むのが開集合 保守都合が会なのが閉鎖 それで大方ガタック >>178 (3)0は触点(0を含む開集合と(3)の集合は必ず交わる) (3)∪{0}が閉包 閉包と自分自身が一致しないから閉集合でない 内部は空集合で自分自身と一致しないから開集合でない (4)...∩[0,1]∩[1,√3]∩[√3,2]...だから閉集合 (5)1点集合は閉集合 閉集合の有限和は閉集合 (6)(7)閉包[0,1]∪[2,3] 閉でも開でもない (8)...[-1,0]∩[0,1]∩[1,2]...だから閉集合 (9)任意の点は触点 閉包はR 自身と閉包が一致しないから閉集合でない 内部は空集合で自分自身と一致しないから開集合でない (10)1点集合の有限和{0,1}は閉集合 閉集合の補集合は開集合 (11)... [-1+√2,√2]∩[√2,1+√2]∩... 閉集合 A, B, A', B' を有限集合とする。 A ⊂ A' B ⊂ B' #A' = #A + 1 #B' = #B + 1 A は B' の真部分集合 B は A' の真部分集合 A ∪ B ⊂ A' ∩ B' とする。 このとき、 A = B または A' = B' が成り立つことを示せ。 訂正します: A, B, A', B' を有限集合とする。 A ⊂ A' B ⊂ B' #A' = #A + 1 #B' = #B + 1 A は B' の真部分集合 B は A' の真部分集合 とする。 このとき、 A = B または A' = B' が成り立つことを示せ。 >>178 教科書読まずに問題やるタイプか 定義くらいは読んどけよ >>180 ありがとうございます!! めちゃめちゃわかりやすかったです >>183 大学の数学の教科書、読んでも理解できないんです泣 なんとなくイメージが取りにくいというか、、 実数直線R上に次のような部分集合族をあたえる {O€R l x€O x2乗€O} (1)この位相に関して、Rの3つの部分集合{1},(0,1),(0,2)がRの開集合か否か判定し、開集合でないと判定にしたものについてその理由を簡潔に述べよ。 (2)この位相に関して、Rの空でない有限部分集合で開集合になふのは全部で5つ。その全てを上げよ。 (3)この位相に関して、(-1/2,1/2)の兵法を求めよ。 178のような問題は解けるようになったのですが、上記のような条件が出された際の問題が解けないです。 どのようにしたら解けますか? {1},(0,1)は開集合 (0,2)は開集合でも閉集合でもない 定義よりある元の2乗もその集合に入っていれば開集合となるから {0}{1}{0,1}{1,-1}{0,1,-1} 触点を求める xが0,1,-1以外の時、xを含む最小の開集合は{x,x^2,x^4,...}とかける これに(-1/2,1/2)内の値が含まれるxが触点となる (-1,1) >>185 開集合をイメージできたら終いよ 開集合は各点の適当な開近傍を含むという定義 各点でどうなってるかいちいち見てやるだけ 閉は開の補集合あるいは点列の極限を全て含むことを確かめたら終い 自然数の定義は、 0 := φ n + 1 := n + {n} みたいに定義します。 このとき、自然数 m, n に対し、 m ⊂ n と m + 1 ⊂ n + 1 は同値であることを示せ。 その解答が、以下です。 m ⊂ n とする。 1. より、 m + 1 ⊂ n + 1 でなかったとすると m ⊂ n ⊂ n + 1 ⊂ m + 1(かつ n + 1 ≠ m + 1) である。よって m = n となり矛盾である。 m + 1 ⊂ n + 1 とする。 2. より、 m ∈ m + 1 ⊂ n + 1 ⊂ P(n) だから m ⊂ n である。 1. とは「自然数全体の集合 N の順序 ⊂ は、全順序である」ことです。 2. とは「自然数 n に対し、 N ∩ P(n) = n + 1」であることです。 自然数全体の集合 N の順序 ⊂ は、全順序であることは明らかではないでしょうか? 0 := φ 1 = 0 ∪ {0} = φ ∪ {φ} 2 = 1 ∪ {1} = φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}} 3 = φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}} ∪ {φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}}} … なので、明らかです。 0 := φ 1 = 0 ∪ {0} = φ ∪ {φ} 2 = 1 ∪ {1} = φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}} 3 = φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}} ∪ {φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}}} … のようにして自然数は作られていきます。 ですので、 m, n を自然数とするとき、 より早く作られた自然数はより遅く作られた自然数に含まれるのは自明です。 自明であるといって済まさない。 かといって、公理から自然数の理論を説明しているわけでもない。 非常に中途半端で害悪さえあるといえる書き方ではないでしょうか? 君は自然数に数学的帰納法が適用できることをいつ知ったの? >>188 開近傍 っていうのは、ある位相空間Xとその要素xに対して、要素xを含むXの開集合を意味する って教科書に書いてるんですけど、具体例がないのでイメージできないです。 例えば186の問題の(1)なら、開近傍はどのように取れるのですか? >>194 大学一年で杉浦の解析入門の一巻を読んだ時に、その証明が鮮やかに書かれていて笑った でも、あの本の序章のピークはそこだったなあ >>196 近傍てのは周りのこと ある点の近傍が開集合になってるとき、開近傍という Rで考えれば、(-1,1)は0の開近傍 [-1,1]は0の近傍だけど開近傍じゃない >>197 大学の教授が作ってコピーしてるやつなので、本になってないです泣 斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。 「包含写像 φ → Y は、空集合から Y へのただ1つの写像である。」 と書いてあります。 これはなぜなのでしょうか? 空集合から Y への写像がただ一つ存在するというのは分かりますが、 それがなぜ包含写像になるのでしょうか? >>186 ⊂ とか ∈ という記号は打てないの? {O€R l ∀x€O ∃ε>0 [x,x+ε)€O} (1)Rの3つの部分集合[0,1) (0,1] (0,1)がそれぞれRの開集合か判定し、理由を述べよ (2)Rの5つの部分集合[0,1) (0,1) {n/(n+1) l n€N} N Q の閉包をそれぞれ求め、理由も述べよ みなさんのおかげで、なんとなく開集合がわかってきました 自分の理解の確認をしたいので、これの答え教えてください! >>208 私は、 (1) [0,1)、(0,1]は近傍をとろうとしたら、0と1があって邪魔で取れないので、(0.1)だけが開集合である という感じで解きました! 答えがないので、正解がどうかわからないです >>209 イメージって持たないほうがいいんですか? >>185 定義を知らずに読むとそうなる 定義を読んだら自分で例を作って理解しとけ 自分で例を多く作ればイメージが出来る これが出来なきゃ数学はできんから問題やるだけムダ 物理的な対応物がない求積に邁進する数3ベースの受験数学って素敵やん? 斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。 「包含写像 φ → Y は、空集合から Y へのただ1つの写像である。」 と書いてあります。 これはなぜなのでしょうか? 空集合から Y への写像がただ一つ存在するというのは分かりますが、 それがなぜ包含写像になるのでしょうか? 問. 半群S(可換でなくても)において (ab)^m = a^m b^m が m=2, 3 で成立するならば、すべての mについて成立することを証明せよ。 (ヒント: m=2, n, n+1, n+2 のとき成立するならば m=n+3 のときにも成立することを示せ) 田村孝行, 半群論 (共立講座 現代の数学) p.4 より 半群ってのは群の公理のうち [単元の存在][逆元の存在] が抜けてるやつの事です。 ヒントに沿うどころか m=5 ですらお手上げでした。どうか証明をお願いします。 m=4 の場合 (ab)^4 = abab abab = aabb aabb = aa aa bb bb = a^4 b^4 追記: 文脈上 a, b ∈ S は特別な a, b じゃなくて一般的な要素を表してると思います。 (ab)^(n+3) = aba (ba)^n bab = aba b^n a^n bab [m=n] = (ab)^2 b^(n-1) a^(n-1) (ab)^2 = a^2 b^2 b^(n-1) a^(n-1) a^2 b^2 [m=2] = a^2 b^(n+1) a^(n+1) b^2 = a^2 (ba)^(n+1) b^2 [m=n+1] = a (ab)^(n+2) b = a a^(n+2) b^(n+2) b [m=n+2] = a^(n+3) b^(n+3) 一種のパズルだね >>220 しゅ、しゅごい... 完全に理解できました。ありがとうございます。 ちょうど試行錯誤で m=5 が出来てたとこだったのでついでに貼っておきます。 (ab)^5 = abab[ab ab ab] = abab[aaa bbb] (∵m=3) = ababa[aabb]b = ababa[abab]b (∵m=2) = ab[a ba a ba]bb = ab[aa baba]bb (∵m=2) = [a ba a ba] babb= [aa baba] babb (∵m=2) = a[ab ab ab ab]b = a[aaaa bbbbb]b (∵m=4) = a^5 b^5 行列X, A について A = X^(-1) A X が成り立つことを これをただの微分方程式に当てはめると X を dx 微分とすると a = ∫ a dx ってことになるの? そもそも行列に関数や作用素を代入して意味があると思うのか しかもこの場合同じ行列(空間の元)に作用素と微分形式という全く異なるものを代入してるし 作用素 X,A について A = X^(-1) A X が成り立つことを、 線型作用素 X,A にあてはめた場合と 微分作用素 X,A にあてはめた場合を比較したと考えたら どうよ? 行列や作用素で A = X^(-1) A X は恒等式じゃなかろうに >>227 そりゃ恒等じゃないでしょ 相似行列ってことでしょ 微積だと相似微積方程式みたいな? 「実数x,aについてa=x^(-1)axが成り立つことを これをただの関数方程式に当てはめると a=hag(hはgの右逆写像、aは定値関数) ってことになるの?」 もう一度聞くが、こんなことに意味があると本当に思っているのか? んで「次元(ランク)が違うだけ」の意味も分からん 後はどうでもいいけど、∫adxはaという関数に積分作用素が掛かってるんだから比較するとしたらA=X^(-1)AXじゃなくてA= X^(-1)XAじゃね? 関数空間を無限次元ベクトル空間だと考えて、微分積分を線形写像と考えれば、微分積分は行列で表すことができるかと思います N=2(n−1乗)×(2(n乗)-1) 2(n乗)-1 が素数のとき、NのN以外の約数の和を求めよ これどうやったらええか分からないです。これの前の問題でNの約数の個数を求める問題があって、それは2n個と出せたのですが、、、、、 >>232 これは「大学学部レベル」ではないぞ 1,2,2^2, と、1×(2(n乗)-1),2×(2(n乗)-1),(2^2)×(2(n乗)-1) という二つの有限等比数列の和からNを引くだけ >>230 >後はどうでもいいけど、∫adxはaという関数に積分作用素が掛かってるんだから比較するとしたらA=X^(-1)AXじゃなくてA= X^(-1)XAじゃね? だね 「よりみち33」が言っていることがよく分かりません。 解説をお願いします。 問題2.3.3 f : X → Y を写像とする。次の条件 (1) と (2) は同値であることを示せ。 (1) f は可逆である。 (2) 任意の集合 Z に対し、写像 f^* : Map(Y, Z) → Map(X, Z) は可逆である。 よりみち33 問題2.3.3 より、集合は、その集合から他の集合への写像が決まれば、 決まってしまうものと考えられる。このことを使って、集合を他の集合への 写像を使って特徴づけることを、普遍性(universality)による特徴づけという。 f^* : Map(Y, Z) → Map(X, Z) は、 Map(Y, Z) ∋ g → g 〇 f ∈ Map(X, Z) という写像です。 >>235 は 問題2.3.3 より、集合(X や Y)は、その集合(X や Y)から他の集合(Z)への写像が決まれば、 決まってしまうものと考えられる。 という意味ですか? (∂u/∂t)+5(∂u/∂x)=0 (x>0,t>0) u(x,0)=0 (x≧0) u(0,t)=(t^2)*(e^t) (t≧0) の条件下でu(x,t)を求める問題が分かりません… 学部二年生です (1/25) (5t - x)^2 exp(t - x/5) >>240 ありがとうございます! 導出もお願いします… 連投すみません >>240 tが0のときxに関係なくuが0になりますかこれ xyに線形変換 y=x-5t ux=ux+uy ut=-5uy ut+5ux=5ux=0 u=fy=f(x-5t) NG 斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。 「X を集合とし、 (X_i) i ∈ I を X の部分集合の族とする。 X の元の族 (x_i) i ∈ I が、任意の i ∈ I に対し、 x_i ∈ X_i をみたすとき、 (x_i) i ∈ I は (X_i) i ∈ I の元の族であるという。 Π X_i = {(x_i) i ∈ I ∈ Map(I, X) | ∀i ∈ I x_i ∈ X_i} は、 (X_i) i ∈ I の元の族全体のなす集合ということになる。これを、 集合族 (X_i) i ∈ I の積とよぶ。」 と書いてあります。 その後、選択公理のところで、 「(X_i) i ∈ I を集合族とし、任意の i ∈ I に対し X_i ≠ φ であるとする。 このとき、積 Π X_i も空集合でない。」 という箇所があります。 選択公理のところでは、 (X_i) i ∈ I は X の部分集合の族とは仮定されていません。 「積」が定義されているのは、 (X_i) i ∈ I が X の部分集合の族のときだけです。 これはごまかしではないでしょうか? (X_i) i ∈ I は ∪ X_i の部分集合の族と考えるということでしょうか? 斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。 「I が有限集合のときは、選択公理を仮定しなくても、任意の i ∈ I に対し X_i ≠ φ ならば、 Π X_i ≠ φ である。これは、 I の元の個数が 2 以下 なら明らかであり、」 と書いてあります。 「I の元の個数が 2 以下なら明らか」と書いていますが、なぜ、 I の元の個数が 3 以上のときには明らかではないのでしょうか? なぜ「2以下」と書いたのでしょうか? >>248 でも斎藤毅さんの本では、まず I = φ のときに積を定義しています。 でも3以上で定義に使うのは本質的には2個の場合だからでしょうね ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
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