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大学学部レベル質問スレ 9単位目
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0001１３２人目の素数さん
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2017/12/14(木) 12:28:05.91ID:EpQbxawT
大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dote ra.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

関連スレ
分からない問題はここに書いてね478
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1511604229/

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 8単位目
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1500294768/
0140１３２人目の素数さん
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2018/01/29(月) 20:16:23.30ID:T+6k6pEO
束論は役に立ちますか？
0141１３２人目の素数さん
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2018/01/29(月) 22:22:18.62ID:iUIUoC+4
>>138
まずベクトル空間をひとつ決めて、そこに基底を定義すれば各ベクトルは成分表示できる。
このとき位置ベクトルを導入して、位置ベクトルと空間内の点を同一視すれば、位置ベクトルの成分を空間内の点の座標として定義できるのではないかと！
基底の定義の仕方によってデカルト座標も極座標も定義できるのではないかと！
0142１３２人目の素数さん
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2018/01/30(火) 00:52:40.65ID:hJ/ouRPB
事実上局所ユークリッドから全部構築するような形になるんじゃないの？。
0143１３２人目の素数さん
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2018/01/30(火) 03:29:13.27ID:hJ/ouRPB
ランダムウォークの方をまず公理的に使ってすべてを定義した方が量子的な将来的な空間像に現代で出来る最善のやり方な気もするなあ。
基点と基点にたまたま戻ってきたことだけしか検知できない存在から創めて。
0145１３２人目の素数さん
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2018/01/30(火) 14:12:49.32ID:NSV5n+Hi
タプルから構成するのもいいね。
グロタンディーク構成が同値類で割ったタプルなのをにちゃんで聞いたのを理解して感動したのを思い出す。
0146１３２人目の素数さん
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2018/01/30(火) 20:40:34.03ID:tDXdTeaU
>>142
R^n(C^n)からの全単射（連続・微分可能・高階連続微分可能・解析・正則など）
0148１３２人目の素数さん
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2018/02/01(木) 01:37:34.85ID:CTBMqxGr
集合の定義ってなんなん
いろいろさかのぼっていくと何でも数学の擁護って結局集合に行きつくんだけど
集合って言葉調べてもものの集まりとしか書いてないんだよね

やっぱそれ以上は数学も厳密にはできないんか
0150１３２人目の素数さん
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2018/02/01(木) 07:25:38.89ID:i+lRRNQY
プログラミングかな？
0151１３２人目の素数さん
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2018/02/01(木) 08:40:10.17ID:vdVGAXEb
ラッセルのパラドックスの集合は、集合だから矛盾が起きるのであってクラスだと考えれば問題ない概念です
0154１３２人目の素数さん
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2018/02/01(木) 20:27:16.38ID:KI6HKux8
H^{1}(S^{2}) ~= 0 を示すにはどうしたらよいでしょうか．

坪井俊・著「幾何学III」を独学しているのですが，p.64

(定理) k >= 1 で，H^p(S^{k}) ~= 0, for p = 1, ..., k - 2, H^{k}(S^{k}) ~= R が成り立つ．

マイヤービエトリス系列を使って数学帰納法で示す証明がありますが，アンカーケースとして
H^{1}(S^{2}) ~= 0 を別途示す必要があるように思われます．あるいは証明を誤解していて
帰納法の中で示せるのかもしれません．

自己解決できなて先に進めなくなっているので，ヒントでも教えていただけますとうれしいです．
教科書での証明のアウトラインとどこで詰まっているかを次以降のレスで書き出してみます．

(記号)
S^k: k次元球面, M1: S^k - 北極, M2: S^k - 南極, M12 = M1 && M2
H^p(M): M上のp次ドラムコホモロジ
Δ*: H^p(M12) -> H^{p+1}(S^k) : 連結準同型写像
0155(承前)
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2018/02/01(木) 20:27:58.01ID:KI6HKux8
(アンカーケース, k = 1の場合の仮定)
(1) H0(S1) ~= R
(2) H0(M1) (+) H0(M2) ~= R (+) R
(3) H0(M12) ~= R
(4) H1(M1) ~= R

(1)-(3)は0次閉形式は連結成分上で定数をとる関数であることよる．
(4)は H1(M1) ni α -> ∫α in R という同型写像を直接構成することでわかる．
0156(承前)
垢版 |
2018/02/01(木) 20:29:01.00ID:KI6HKux8
(再帰 k >= 2として)
以下を仮定
(5) H^p(S^{k-1}) ~= 0, for p = 1, ..., k - 2
(6) H^{k-1}(S^{k-1}) ~= R

このときマイヤービエトリス完全系列
H^{k-1}(S^{k}) -> H^{k-1}(M1) (+) H^{k-1}(M2) -> H^{k-1}(M12) -Δ*-> H^k(S^k) -> 0
は
H^{k-1}(S^{k}) (10) -> 0 (7) (+) 0 (7) -> R (8) -----> H^k(S^k) (9) -> 0
と同型である．

ここで M12 ~= [0,1] x S^{k-1} なので，H^{k-1}([0,1] x S^{k-1}) ~= H^{k-1}(S^{k-1}) ~= R
より(8)を， M1 ~= (k-1)次円盤とポアンカレの補題より (7) を得ている．

したがって，(9) H^k(S^k) ~= R, (10) H^{k-1}(S^{k}) ~=0, [さらに低次へ系列を巻き戻して]
(11) H^p(S^{k}) ~=0, for p = 1, ...., k - 1.

これで (5),(6)で k <- k + 1としたものが成立することが示された．
0157(承前，最後)
垢版 |
2018/02/01(木) 20:29:52.63ID:KI6HKux8
(私の理解と疑問)
(9) について．
完全系列であることより im(Δ*) ~= ker(->0) = H^k(S^k)．
また，dom(Δ*) ~= H^{k-1}(M12) ~=R よりも im(Δ*) の方がランクは小さいか等しい
よって，H^k(S^k) ~= 0 または H^k(S^k) ~= R.

いっぽう，S^k のk次完全形式 ω=dηの積分は 0 (ストークスの定理)．
したがって，2つのS^kのk次(閉)形式α,α'が同じコホモロジー類に族する場合，その積分値
は一致し，積分値が異なる場合は別のコホモロジー類に属する．
S^kのk次(閉)形式でその積分が0でない実数値をとるものを2つ以上つくれるので，
H^k(S^k) ~= 0 はありえない．よって H^k(S^k) ~= R である．

(10)について
H^{k-2}(M12) ~= H^{k-2}(S^{k-1}) ~= 0 ((5)でp = k - 2の場合) より
系列をさらにさかのぼって，
H^{k-2}(M12) -Δ*-> H^{k-1}(S^{k})
は
0 -Δ*-> H^{k-1}(S^{k})
と同型．(9)と同様にランクを考えると，H^{k-1}(S^{k}) ~= 0.

しかし，こう考えて再帰を辿ると，これとは違う方法で
H^1(S^2) ~= 0
を示さなければならなくなる．これはどうすればよいか?
0158１３２人目の素数さん
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2018/02/01(木) 21:52:49.55ID:gmA8OMZU
>>151
ん？
クラスは自分を含まないからイイってこと？
クラスの集まりを考えたりしてもいいんだけど
クラスのクラスのクラスのクラス･･･で矛盾が起こらないのね？
0159１３２人目の素数さん
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2018/02/01(木) 21:55:26.25ID:gmA8OMZU
>>148
「モノの集まり」というしかないね
究極には数学の概念は無定義/天与とならざるを得ない
それが皆の（数学者の）直観に合致していれば受け入れられるってこと
0160１３２人目の素数さん
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2018/02/01(木) 22:02:16.68ID:gmA8OMZU
>>155
S^n=D1^n∪D2^n
S^(n-1)=D1^n∩D2^n
で
0161１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/01(木) 22:09:01.07ID:gmA8OMZU
ドラムでないなら単体分割で終い
0162１３２人目の素数さん
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2018/02/01(木) 22:27:23.41ID:gmA8OMZU
H0Sn=Z(n>0)orZ+Z(n=0)
HmDn=Z(m=0)or0(m>0)
HmS0=Z+Z(m=0)or0(m>0)
0->H0Sn->H0Dn+H0Dn->H0Sn-1->H1Sn->H1Dn+H1Dn->H1Sn-1->H2Sn->
n=1
0->Z->Z+Z->Z+Z->H1S1->0->0->H2S1->0->0->H3S1->0->0
HmS1=Z(m=0,1)or0(m>1)
n>1
0->Z->Z+Z->Z->H1Sn->0->H1Sn-1->H2Sn->0->H2Sn-1->H3Sn->0->
H1Sn=0
Hm-1Sn-1=HmSn(m>1)
0163１３２人目の素数さん
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2018/02/02(金) 01:51:25.78ID:EbILmDwh
>>160 >>161
ありがとうございます．鮮やかですね．しかし，完全系列を0やZで置き換えるところまでは理解できましたが，
その結果から H1Sn=0 を推論する論理がわかりません．
# 教科書でも類似の推論が使われている箇所がありますが「この系列が完全だから」としか書かれていません．
0165１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/02(金) 11:02:55.73ID:EbILmDwh
はい．ないです．この本の2章の「ドラム・コホモロジー」で初めてホモロジーという用語を知りました．
3章「微分形式の積分」で特異ホモロジーを扱うことになっていますが，先にこっちを読んで
戻ってきた方がよかったりしますか?
0166１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/02(金) 14:04:08.15ID:qNa0b/Hk
{a} ⊂ A ⊂ {a, b} ⇒ A = {a} または A = {a, b}

これを証明するとすると、どうやって証明するんですか？
0167１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/02(金) 14:57:23.87ID:WUQrLhNQ
(1) A = {a, ...}
(2) A = {} または A = {a}, A = {b}, A = {a,b} のいずれか．

(1),(2)をともに満たすのは A = {a} または A = {a,b} に限られる．
0168１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/02(金) 18:13:40.50ID:QWsxNF5e
デデキント整域Aにおける素イデアル分解の証明のところの質問なのですが
任意の分数イデアルⓑに対して共通分母ｄ∈Aを取ってくると
ⓑ＝（ｄⓑ）・（Ad)＾（−１）
の等式がわかりません（⊂はわかりました）
イデアルと元の区別のためにⓑを使いました読みにくかったらすみません
ちなみにサミュエルの63ページです（数の代数的理論）
わかる方いらっしゃいましたらよろしくお願いします
0170１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/02(金) 23:48:57.54ID:QWsxNF5e
そうだそうだそうですねありがとうございます
0171１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/03(土) 00:28:13.11ID:1SQv0bX4
>>165
ドラムなら>>162でZをRにして終い
0172１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/03(土) 13:46:04.15ID:bDdnJSsJ
>>166
結論が「…または…」の場合は片方を否定した場合で考えれば良い
たとえば、(A≠{a})∧({a}⊂A⊂{a,b})⇒A={a,b} を証明する
A={a}⇔(a∈A)∧(∀x∈A[x=a]) だから A≠{a}⇔(a∉A)∨(∃x∈A[x≠a])
従って
(A≠{a})∧({a}⊂A⊂{a,b})⇒(a∈A)∧(∃x∈A[x≠a])∧(A⊂{a,b})
⇒(a∈A)∧(b∈A)∧(A⊂{a,b})⇒A={a,b}
となる
0173１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/03(土) 15:49:55.56ID:vHQhC2Iw
>>167
>>172

ありがとうございます。
0174１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/03(土) 15:50:48.14ID:vHQhC2Iw
{(A ∪ B) - (A ∩ B)} ∪ {(B ∪ C) - (B ∩ C)}

=

(A ∪ B ∪ C) - (A ∩ B ∩ C)

を示してください。

{(A ∪ B) - (A ∩ B)} ∪ {(B ∪ C) - (B ∩ C)}

⊃

(A ∪ B ∪ C) - (A ∩ B ∩ C)

を簡単に示すことはできますか？（場合分けをできるだけ少なくするなど） 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f)
0175１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/03(土) 16:56:09.26ID:TSEB3dIY
0<β<α を満たす任意の α, β について
u∈H^α ⇒ {(‖u‖_α)^(β/α)}{(‖u‖)^(1-β/α)}
を示せ。(H^αはハーディ空間)

をどなたかお願いします...
ヘルダーの不等式を使うのはなんとなくわかるんですけど...
0176１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/03(土) 18:52:56.11ID:qEUwhi6H
>>174
いったん積和か和積かにするのが確実
{(A∪B)−(A∩B)}∪{(B∪C)−(B∩C)}
={(A∪B)∩¬(A∩B)}∪{(B∪C)∩¬(B∩C)}
={(A∪B)∩(¬A∪¬B)}∪{(B∪C)∩(¬B∪¬C)}
={(A∪B)∪(B∪C)}∩{(A∪B)∪(¬B∪¬C)}∩{(¬A∪¬B)∪(B∪C)}∩{(¬A∪¬B)∪(¬B∪¬C)}
={A∪(B∪B)∪C}∩{A∪(B∪¬B)∪¬C}∩{¬A∪(¬B∪B)∪C}∩{¬A∪(¬B∪¬B)∪¬C}
={A∪B∪C}∩{T}∩{T}∩{¬A∪¬B∪¬C}
={A∪B∪C}∩{¬A∪¬B∪¬C}
={A∪B∪C}∩¬{A∩B∩C}
={A∪B∪C}−{A∩B∩C}
0178１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/03(土) 20:19:19.47ID:42/dPXd1
幾何学の開集合、閉集合の判定についての問題です。
現在、ユークリッド位相の開集合、閉集合の判定について学んでいますが、いまいち理解できてません

例えば
ユークリッド位相をもつ実数直線Rに対して、
(1)(0,1)U(3,4)
(2)[0,1]
(3){1/2n+1 n€N}
(4)NU{√3}
(5){0,1,2}
(6)[0,1]U(2,3)
(7)(0,1)U[2,3]
(8)Z
(9)Q
(10)R-{0,1}
(11){n+√2 n€Z}
それぞれRの開集合か閉集合か判定し、閉集合でないと判定したものに対して、その閉包を求めよ。
また、(0,1)が(1)の開集合か閉集合か判定しろ。

という問題で、開区間同士の和集合は開集合になる といった解法だけで過ごしてきた結果、それ以外が出てきたときに解けなくなりました。
開集合や閉集合の判定、閉包の求め方を教えてください。
0179１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/03(土) 20:28:54.16ID:4/nSYX4X
>>178
各店の適当な解禁棒を含むのが開集合
保守都合が会なのが閉鎖
それで大方ガタック
0180１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/03(土) 21:15:03.66ID:y4OwCID0
>>178
(3)0は触点(0を含む開集合と(3)の集合は必ず交わる)
(3)∪{0}が閉包
閉包と自分自身が一致しないから閉集合でない
内部は空集合で自分自身と一致しないから開集合でない

(4)...∩[0,1]∩[1,√3]∩[√3,2]...だから閉集合

(5)1点集合は閉集合
閉集合の有限和は閉集合

(6)(7)閉包[0,1]∪[2,3]
閉でも開でもない

(8)...[-1,0]∩[0,1]∩[1,2]...だから閉集合

(9)任意の点は触点
閉包はR
自身と閉包が一致しないから閉集合でない
内部は空集合で自分自身と一致しないから開集合でない

(10)1点集合の有限和{0,1}は閉集合
閉集合の補集合は開集合

(11)... [-1+√2,√2]∩[√2,1+√2]∩...
閉集合
0181１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/04(日) 10:40:02.86ID:t17OFjjP
A, B, A', B' を有限集合とする。

A ⊂ A'
B ⊂ B'
#A' = #A + 1
#B' = #B + 1
A は B' の真部分集合
B は A' の真部分集合
A ∪ B ⊂ A' ∩ B'

とする。

このとき、

A = B または A' = B' が成り立つことを示せ。
0182１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/04(日) 10:44:39.33ID:t17OFjjP
訂正します：


A, B, A', B' を有限集合とする。

A ⊂ A'
B ⊂ B'
#A' = #A + 1
#B' = #B + 1
A は B' の真部分集合
B は A' の真部分集合

とする。

このとき、

A = B または A' = B' が成り立つことを示せ。
0184１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/04(日) 15:51:06.64ID:0RvjzxRw
>>180
ありがとうございます！！
めちゃめちゃわかりやすかったです
0185１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/04(日) 15:52:14.34ID:0RvjzxRw
>>183
大学の数学の教科書、読んでも理解できないんです泣 なんとなくイメージが取りにくいというか、、
0186１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/04(日) 16:05:34.77ID:3ZQFoRO2
実数直線R上に次のような部分集合族をあたえる
{O€R l x€O x2乗€O}

(1)この位相に関して、Rの3つの部分集合{1},(0,1),(0,2)がRの開集合か否か判定し、開集合でないと判定にしたものについてその理由を簡潔に述べよ。
(2)この位相に関して、Rの空でない有限部分集合で開集合になふのは全部で5つ。その全てを上げよ。
(3)この位相に関して、(-1/2,1/2)の兵法を求めよ。


178のような問題は解けるようになったのですが、上記のような条件が出された際の問題が解けないです。
どのようにしたら解けますか？
0187１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/04(日) 16:50:40.57ID:R6bGkuaa
{1},(0,1)は開集合
(0,2)は開集合でも閉集合でもない
定義よりある元の2乗もその集合に入っていれば開集合となるから

{0}{1}{0,1}{1,-1}{0,1,-1}

触点を求める
xが0,1,-1以外の時、xを含む最小の開集合は{x,x^2,x^4,...}とかける
これに(-1/2,1/2)内の値が含まれるxが触点となる
(-1,1)
0188１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/04(日) 16:54:43.36ID:cDd6f2yP
>>185
開集合をイメージできたら終いよ
開集合は各点の適当な開近傍を含むという定義
各点でどうなってるかいちいち見てやるだけ
閉は開の補集合あるいは点列の極限を全て含むことを確かめたら終い
0189１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/04(日) 17:38:42.90ID:t17OFjjP
自然数の定義は、

0 := φ
n + 1 := n + {n}

みたいに定義します。

このとき、自然数 m, n に対し、

m ⊂ n と m + 1 ⊂ n + 1 は同値であることを示せ。
0190１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/04(日) 17:46:13.24ID:t17OFjjP
その解答が、以下です。

m ⊂ n とする。

1. より、 m + 1 ⊂ n + 1 でなかったとすると m ⊂ n ⊂ n + 1 ⊂ m + 1（かつ n + 1 ≠ m + 1)
である。よって m = n となり矛盾である。 m + 1 ⊂ n + 1 とする。 2. より、
m ∈ m + 1 ⊂ n + 1 ⊂ P(n) だから m ⊂ n である。

1. とは「自然数全体の集合 N の順序 ⊂ は、全順序である」ことです。
2. とは「自然数 n に対し、 N ∩ P(n) = n + 1」であることです。
0191１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/04(日) 17:57:12.07ID:t17OFjjP
自然数全体の集合 N の順序 ⊂ は、全順序であることは明らかではないでしょうか？

0 := φ
1 = 0 ∪ {0} = φ ∪ {φ}
2 = 1 ∪ {1} = φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}}
3 = φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}} ∪ {φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}}}
…

なので、明らかです。
0192１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/04(日) 17:59:04.22ID:t17OFjjP
0 := φ
1 = 0 ∪ {0} = φ ∪ {φ}
2 = 1 ∪ {1} = φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}}
3 = φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}} ∪ {φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}}}
…

のようにして自然数は作られていきます。

ですので、 m, n を自然数とするとき、

より早く作られた自然数はより遅く作られた自然数に含まれるのは自明です。
0193１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/04(日) 18:00:50.21ID:t17OFjjP
自明であるといって済まさない。
かといって、公理から自然数の理論を説明しているわけでもない。

非常に中途半端で害悪さえあるといえる書き方ではないでしょうか？
0195１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/04(日) 18:50:35.00ID:0RvjzxRw
>>187
ありがとうございます！！
0196１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/04(日) 18:56:53.67ID:0RvjzxRw
>>188
開近傍 っていうのは、ある位相空間Ｘとその要素xに対して、要素xを含むXの開集合を意味する
って教科書に書いてるんですけど、具体例がないのでイメージできないです。

例えば186の問題の(1)なら、開近傍はどのように取れるのですか？
0198１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/04(日) 19:07:25.43ID:CxVck6NH
>>196
それはダメ
0201１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/04(日) 19:16:29.64ID:GEcTCU5a
>>194
大学一年で杉浦の解析入門の一巻を読んだ時に、その証明が鮮やかに書かれていて笑った
でも、あの本の序章のピークはそこだったなあ
0202１３２人目の素数さん
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2018/02/04(日) 19:19:19.47ID:R6bGkuaa
>>196
近傍てのは周りのこと
ある点の近傍が開集合になってるとき、開近傍という
Rで考えれば、(-1,1)は0の開近傍
[-1,1]は0の近傍だけど開近傍じゃない
0203１３２人目の素数さん
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2018/02/04(日) 19:51:07.70ID:0RvjzxRw
>>197 大学の教授が作ってコピーしてるやつなので、本になってないです泣
0204１３２人目の素数さん
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2018/02/04(日) 20:00:02.60ID:t17OFjjP
斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。

「包含写像 φ → Y は、空集合から Y へのただ1つの写像である。」

と書いてあります。

これはなぜなのでしょうか？
0205１３２人目の素数さん
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2018/02/04(日) 20:06:06.65ID:t17OFjjP
空集合から Y への写像がただ一つ存在するというのは分かりますが、
それがなぜ包含写像になるのでしょうか？
0208１３２人目の素数さん
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2018/02/04(日) 20:50:33.22ID:0RvjzxRw
{O€R l ∀x€O ∃ε>0 [x,x+ε)€O}

(1)Rの3つの部分集合[0,1) (0,1] (0,1)がそれぞれRの開集合か判定し、理由を述べよ

(2)Rの5つの部分集合[0,1) (0,1) {n/(n+1) l n€N} N Q の閉包をそれぞれ求め、理由も述べよ


みなさんのおかげで、なんとなく開集合がわかってきました
自分の理解の確認をしたいので、これの答え教えてください！
0209１３２人目の素数さん
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2018/02/04(日) 20:57:07.95ID:CxVck6NH
>>200
イメージ持つのが特殊
0210１３２人目の素数さん
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2018/02/04(日) 20:58:12.11ID:0RvjzxRw
>>208
私は、
(1) [0,1)、(0,1]は近傍をとろうとしたら、0と1があって邪魔で取れないので、(0.1)だけが開集合である
という感じで解きました！
答えがないので、正解がどうかわからないです
0211１３２人目の素数さん
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2018/02/04(日) 20:58:59.90ID:CxVck6NH
分かって聞いてるのに答えるって無様ね
0212１３２人目の素数さん
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2018/02/04(日) 20:59:05.60ID:0RvjzxRw
>>209
イメージって持たないほうがいいんですか？
0213１３２人目の素数さん
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2018/02/04(日) 21:14:47.64ID:e/Db4a5+
>>185
定義を知らずに読むとそうなる
定義を読んだら自分で例を作って理解しとけ
自分で例を多く作ればイメージが出来る
これが出来なきゃ数学はできんから問題やるだけムダ
0214１３２人目の素数さん
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2018/02/04(日) 22:10:17.02ID:b+9WtU9T
物理的な対応物がない求積に邁進する数3ベースの受験数学って素敵やん？
0215１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 14:04:51.69ID:gs2rJa9P
斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。

「包含写像 φ → Y は、空集合から Y へのただ1つの写像である。」

と書いてあります。

これはなぜなのでしょうか？

空集合から Y への写像がただ一つ存在するというのは分かりますが、
それがなぜ包含写像になるのでしょうか？
0216１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 14:54:05.72ID:8fWYTgRW
空集合はPの部分集合だから
0217１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 14:54:23.00ID:8fWYTgRW
Yの
0218１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 19:21:16.59ID:Z3C4WHQd
問. 半群S(可換でなくても)において (ab)^m = a^m b^m が m=2, 3 で成立するならば、すべての mについて成立することを証明せよ。
(ヒント: m=2, n, n+1, n+2 のとき成立するならば m=n+3 のときにも成立することを示せ)
田村孝行, 半群論 (共立講座 現代の数学) p.4 より

半群ってのは群の公理のうち [単元の存在][逆元の存在] が抜けてるやつの事です。
ヒントに沿うどころか m=5 ですらお手上げでした。どうか証明をお願いします。
m=4 の場合
(ab)^4 = abab abab = aabb aabb
= aa aa bb bb = a^4 b^4
0219１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 19:25:04.27ID:Z3C4WHQd
追記: 文脈上 a, b ∈ S は特別な a, b じゃなくて一般的な要素を表してると思います。
0220１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 21:20:27.96ID:hVMqE3T+
(ab)^(n+3)
= aba (ba)^n bab = aba b^n a^n bab [m=n]
= (ab)^2 b^(n-1) a^(n-1) (ab)^2 = a^2 b^2 b^(n-1) a^(n-1) a^2 b^2 [m=2]
= a^2 b^(n+1) a^(n+1) b^2 = a^2 (ba)^(n+1) b^2 [m=n+1]
= a (ab)^(n+2) b = a a^(n+2) b^(n+2) b [m=n+2]
= a^(n+3) b^(n+3)
一種のパズルだね
0221１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 21:49:36.42ID:Z3C4WHQd
>>220
しゅ、しゅごい... 完全に理解できました。ありがとうございます。

ちょうど試行錯誤で m=5 が出来てたとこだったのでついでに貼っておきます。
(ab)^5
= abab[ab ab ab] = abab[aaa bbb] (∵m=3)
= ababa[aabb]b = ababa[abab]b (∵m=2)
= ab[a ba a ba]bb = ab[aa baba]bb (∵m=2)
= [a ba a ba] babb= [aa baba] babb (∵m=2)
= a[ab ab ab ab]b = a[aaaa bbbbb]b (∵m=4)
= a^5 b^5
0222１３２人目の素数さん
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2018/02/07(水) 12:50:20.51ID:acmo0URs
行列X, A について
A = X^(-1) A X
が成り立つことを
これをただの微分方程式に当てはめると
X を dx 微分とすると
a = ∫ a dx
ってことになるの？
0225１３２人目の素数さん
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2018/02/07(水) 19:29:52.84ID:IXE90lwy
そもそも行列に関数や作用素を代入して意味があると思うのか
しかもこの場合同じ行列(空間の元)に作用素と微分形式という全く異なるものを代入してるし
0226１３２人目の素数さん
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2018/02/07(水) 22:52:38.28ID:cblN/v6j
作用素 X,A について A = X^(-1) A X が成り立つことを、
線型作用素 X,A にあてはめた場合と
微分作用素 X,A にあてはめた場合を比較したと考えたら
どうよ？
0229１３２人目の素数さん
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2018/02/08(木) 08:37:10.24ID:+maJgh+U
>>227
そりゃ恒等じゃないでしょ
相似行列ってことでしょ
微積だと相似微積方程式みたいな？
0230１３２人目の素数さん
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2018/02/08(木) 12:33:45.53ID:ZwgC3tqP
「実数x,aについてa=x^(-1)axが成り立つことを
これをただの関数方程式に当てはめると
a=hag(hはgの右逆写像、aは定値関数)
ってことになるの？」


もう一度聞くが、こんなことに意味があると本当に思っているのか？
んで「次元(ランク)が違うだけ」の意味も分からん
後はどうでもいいけど、∫adxはaという関数に積分作用素が掛かってるんだから比較するとしたらA=X^(-1)AXじゃなくてA= X^(-1)XAじゃね？
0231１３２人目の素数さん
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2018/02/08(木) 12:48:30.83ID:2wLsAeAb
関数空間を無限次元ベクトル空間だと考えて、微分積分を線形写像と考えれば、微分積分は行列で表すことができるかと思います
0232１３２人目の素数さん
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2018/02/08(木) 16:51:11.92ID:3EnDWcyF
N=2(n−1乗)×(2(n乗)-1)
2(n乗)-1 が素数のとき、NのN以外の約数の和を求めよ

これどうやったらええか分からないです。これの前の問題でNの約数の個数を求める問題があって、それは2n個と出せたのですが、、、、、
0233１３２人目の素数さん
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2018/02/08(木) 23:02:15.32ID:CbA+2eQz
>>232
これは「大学学部レベル」ではないぞ
1,2,2^2, と、1×(2(n乗)-1),2×(2(n乗)-1),(2^2)×(2(n乗)-1)
という二つの有限等比数列の和からNを引くだけ
0234１３２人目の素数さん
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2018/02/08(木) 23:04:29.14ID:KjVcfdlC
>>230
>後はどうでもいいけど、∫adxはaという関数に積分作用素が掛かってるんだから比較するとしたらA=X^(-1)AXじゃなくてA= X^(-1)XAじゃね？
だね
0235１３２人目の素数さん
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2018/02/11(日) 14:13:56.35ID:ZnNSfrVn
「よりみち33」が言っていることがよく分かりません。
解説をお願いします。


問題2.3.3

f : X → Y を写像とする。次の条件 (1) と (2) は同値であることを示せ。

(1) f は可逆である。
(2) 任意の集合 Z に対し、写像 f^* : Map(Y, Z) → Map(X, Z) は可逆である。

よりみち33

問題2.3.3 より、集合は、その集合から他の集合への写像が決まれば、
決まってしまうものと考えられる。このことを使って、集合を他の集合への
写像を使って特徴づけることを、普遍性（universality）による特徴づけという。
0236１３２人目の素数さん
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2018/02/11(日) 14:22:17.86ID:ZnNSfrVn
f^* : Map(Y, Z) → Map(X, Z) は、

Map(Y, Z) ∋ g → g 〇 f ∈ Map(X, Z)

という写像です。
0237１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 14:32:24.49ID:ZnNSfrVn
>>235

は

問題2.3.3 より、集合（X や Y）は、その集合（X や Y）から他の集合（Z）への写像が決まれば、
決まってしまうものと考えられる。

という意味ですか？
0238１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 22:08:44.90ID:OZyzokkP
まあそれでもいいんじゃない？
0239１３２人目の素数さん
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2018/02/12(月) 00:54:09.39ID:tiW/EINP
(∂u/∂t)+5(∂u/∂x)=0 (x＞0,t＞0)

u(x,0)=0 (x≧0)

u(0,t)=(t^2)*(e^t) (t≧0)


の条件下でu(x,t)を求める問題が分かりません…
学部二年生です
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