大学学部レベル質問スレ 9単位目
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>>96 ベクトル空間くらいなら自力でモデル作れるだろ けっこう面白い物が作れるから試してみな (2)(x+y)+z=x+(y+z) (∀x,y,z∈V) (3)∃0∈V s.t. x+0=0+x (∀x∈V) (4)∀x∈V ; ∃x'∈V s.t. x+x'=x'+x=0 (5)k(x+y)=kx+ky (∀x,y∈V, ∀k∈ℝ) (6)(k+l)x=kx+lx(∀x∈V, ∀k,l∈ℝ) (7)(kl)x=k(lx) (∀x∈V, ∀k,l∈ℝ) (8)1x=x (∀x∈ℝ) が成り立つとき、次が成り立つことを示せるので違いました (1)x+y=y+x (∀x,y∈V) >>102 公理1個ずつにそれだけ成り立たないモデル作るの? 学部レベルではなく,教養教育レベルなのですが… スレが見つからなかったので質問させてください… 線形代数学,行列の符号判定問題についてです A=[ 1 2 3 1 ; 2 5 4 2 ; 2 4 5 1 ; 1 2 1 -1 ] (;は改行を表します)となる4次正方行列の符号判定です 主対小行列式を用いて解く問題なのですが, |A_1|=1 |A_2|=1 |A_3|=-1 |A_4|=0となり,定理を用いると不定符号となります. しかし,問の解答には「半正値」と表記されております 私は誤植だと思うのですが,もし,私の解法にミスがありましたらご教授願います! 長文失礼致しました. >>107 返答ありがとうございます. 言葉足らずでした. 問題の趣旨として,固有値は用いないで解く,とのことなので 主対角小行列式による解法の正誤を教えていただきたいです… いや、固有値計算した結果見たら誤植かどうかわかるだろw >>109 確認いただきたいのは,誤植か否かではなく,解法の正誤です >>110 正誤なら真の回答と比較するでしょ? 真の回答は固有値で分かるわけで だって解法として正しいかどうかは結局それを確認することなんだから その作業を他人にやらせる前に自分で確認してから質問でしょうに >>111-113 色々言葉足らずでした 論点がずれてしまっているようですが… 固有値の確認は出来ています 誤植云々は正直どうでもよく,お聞きしたかったのは |A_1|=1 |A_2|=1 |A_3|=-1 |A_4|=0 が果たして合っているのか,またそれは(定理によって)不定符号であるのかを確認していただきたかったのです. 自己解決いたしました. 拙い質問で誠に申し訳ございませんでした.以後気をつけます. ご対応,ありがとうございました. |A_1|=1 |A_2|=1 |A_3|=-1 |A_4|=0 が何を計算したのかわからない lim (x → 0) 1/(1-e^(-x)) - 1/x = 1/2 上記の式の等式の導き方が分かりません lim (x → 0) (e^x-1)/x = 1 を使うことは察しがつくのですが どう変形すれば良いのやら。誰か助けて ちなみに、サイエンス社から出版されている野本/岸の解析演習の p138の問題5.2 1.(9)の解説にある数式です なるほど。ロピタルは分からなかったけど、テイラー展開でいけた 参考書にまだテイラーが出てきてないから問題集のその部分だけ飛ばして先に進んでたわ 皆、ありがとう ロピタルは頭使わなくていいぞ ロピタルよりテイラーのほうが汎用的であるという意見はわかるけど ロピタルは考えなくていいから楽よ 何も考えずにロピタルを使うと失敗する問題が出されるから結局テイラーのがいい すみません質問です。 線形代数の商空間が分かりません…Wikipediaとかを見ると「各要素を0に潰して云々」と書いてあるのですが、何が言いたいのかよく分かりません。 何か理解するコツなどありますでしょうか… >>123 同値関係、同値類そして同値類の代表元、同値類の集合に定められる演算、 これらを把握しないと「潰す」の意味は掴めないと思うよ。 雪江代数を独学で読んでいるのですが分からないところがあるので質問させてもらいます 2巻の局所環の話なのですが、局所環(A,m),(B,n)でφ(m)⊂nとなるような準同型φ:A→Bを考えたとき、1∉φ^(-1)(n)なのでφ^(-1)(n)=mとなると書いてあります これはなぜでしょうか? そもそもなぜ準同型の逆写像を考えられるのかわかりません ご教授お願いします >>125 この文脈での記号φ^(-1)(n)は逆写像ではなく、 nの逆像と呼ばれる 集合 {x∈A| φ(x)∈n} のこと。 それが分かったものとして、 1?φ^(-1)(n) なので φ^(-1)(n) は真のイデアルとなり 更に φ(m)⊂n から m⊂φ^(-1)(n) 、そして m が極大イデアルであるので φ^(-1)(n)=m となります。 >>126 明快な説明ありがとうございます 理解できました >>122 ロピタルは何度微分するか結局分からない テイラー展開だと一発 >>121 マジだ。勉強範囲がやっとロピタルに追いついたんで、そのやり方で解いてみたら 二回微分で簡単に1/2が出てきた。ありがとう >>128 何次までテイラー展開すればいいのかは事前には判らない。 それが何回ロピタルするかと同じことだから、結局 チラシ裏の計算を答案に残すか否かの違いでしかない。 気持ち的には、テイラーが好きだけどね。 ロピタルは、教えこまれた公式臭が酷いから。 >>132 違いが出るところまでよ テイラー展開はするモノじゃなくて 書き出すだけ 何も考えなくてイイ 微分は実にめんどくさい やってみて初めてもう一度必要か分かる 何度やっても無駄かも知れないしな コンパクトサポートな関数は一様連続 がわかりません コンパクトである条件をどこで使っているのかがわかるような解説をいただけると嬉しいです よろしくお願いします εδ論法でδの下界を求める所に使う δ近傍での被覆でコンパクトなら有限個で済むから最小値が求まる 一般論でわからなければ具体例を考えてみればいい R^nのとき有界閉集合(=コンパクト)上の連続関数は一様連続、これに有界性や閉であるという条件を落とせば連続であっても一様連続ではない関数は簡単に作れる 「座標」の定義って何なのでしょうか? デカルト座標や極座標等々ありますがこれらを数学的にどう定義すればよいか分かりません。 座標、基底、ベクトル空間、ユークリッド空間、アフィン空間このへんのキーワードがゴチャゴチャして整理できません。曖昧な質問で申し訳ないですがどなたかよろしくお願いします。 参考文献の紹介だけでもけっこうです。 >>138 Wikipediaで間に合わんかいな? >>138 まずベクトル空間をひとつ決めて、そこに基底を定義すれば各ベクトルは成分表示できる。 このとき位置ベクトルを導入して、位置ベクトルと空間内の点を同一視すれば、位置ベクトルの成分を空間内の点の座標として定義できるのではないかと! 基底の定義の仕方によってデカルト座標も極座標も定義できるのではないかと! 事実上局所ユークリッドから全部構築するような形になるんじゃないの?。 ランダムウォークの方をまず公理的に使ってすべてを定義した方が量子的な将来的な空間像に現代で出来る最善のやり方な気もするなあ。 基点と基点にたまたま戻ってきたことだけしか検知できない存在から創めて。 タプルから構成するのもいいね。 グロタンディーク構成が同値類で割ったタプルなのをにちゃんで聞いたのを理解して感動したのを思い出す。 >>142 R^n(C^n)からの全単射(連続・微分可能・高階連続微分可能・解析・正則など) >>139 >>141 >>144 ありがとうございました!納得できました。 集合の定義ってなんなん いろいろさかのぼっていくと何でも数学の擁護って結局集合に行きつくんだけど 集合って言葉調べてもものの集まりとしか書いてないんだよね やっぱそれ以上は数学も厳密にはできないんか ラッセルのパラドックスの集合は、集合だから矛盾が起きるのであってクラスだと考えれば問題ない概念です H^{1}(S^{2}) ~= 0 を示すにはどうしたらよいでしょうか. 坪井俊・著「幾何学III」を独学しているのですが,p.64 (定理) k >= 1 で,H^p(S^{k}) ~= 0, for p = 1, ..., k - 2, H^{k}(S^{k}) ~= R が成り立つ. マイヤービエトリス系列を使って数学帰納法で示す証明がありますが,アンカーケースとして H^{1}(S^{2}) ~= 0 を別途示す必要があるように思われます.あるいは証明を誤解していて 帰納法の中で示せるのかもしれません. 自己解決できなて先に進めなくなっているので,ヒントでも教えていただけますとうれしいです. 教科書での証明のアウトラインとどこで詰まっているかを次以降のレスで書き出してみます. (記号) S^k: k次元球面, M1: S^k - 北極, M2: S^k - 南極, M12 = M1 && M2 H^p(M): M上のp次ドラムコホモロジ Δ*: H^p(M12) -> H^{p+1}(S^k) : 連結準同型写像 (アンカーケース, k = 1の場合の仮定) (1) H0(S1) ~= R (2) H0(M1) (+) H0(M2) ~= R (+) R (3) H0(M12) ~= R (4) H1(M1) ~= R (1)-(3)は0次閉形式は連結成分上で定数をとる関数であることよる. (4)は H1(M1) ni α -> ∫α in R という同型写像を直接構成することでわかる. (再帰 k >= 2として) 以下を仮定 (5) H^p(S^{k-1}) ~= 0, for p = 1, ..., k - 2 (6) H^{k-1}(S^{k-1}) ~= R このときマイヤービエトリス完全系列 H^{k-1}(S^{k}) -> H^{k-1}(M1) (+) H^{k-1}(M2) -> H^{k-1}(M12) -Δ*-> H^k(S^k) -> 0 は H^{k-1}(S^{k}) (10) -> 0 (7) (+) 0 (7) -> R (8) -----> H^k(S^k) (9) -> 0 と同型である. ここで M12 ~= [0,1] x S^{k-1} なので,H^{k-1}([0,1] x S^{k-1}) ~= H^{k-1}(S^{k-1}) ~= R より(8)を, M1 ~= (k-1)次円盤とポアンカレの補題より (7) を得ている. したがって,(9) H^k(S^k) ~= R, (10) H^{k-1}(S^{k}) ~=0, [さらに低次へ系列を巻き戻して] (11) H^p(S^{k}) ~=0, for p = 1, ...., k - 1. これで (5),(6)で k <- k + 1としたものが成立することが示された. (私の理解と疑問) (9) について. 完全系列であることより im(Δ*) ~= ker(->0) = H^k(S^k). また,dom(Δ*) ~= H^{k-1}(M12) ~=R よりも im(Δ*) の方がランクは小さいか等しい よって,H^k(S^k) ~= 0 または H^k(S^k) ~= R. いっぽう,S^k のk次完全形式 ω=dηの積分は 0 (ストークスの定理). したがって,2つのS^kのk次(閉)形式α,α'が同じコホモロジー類に族する場合,その積分値 は一致し,積分値が異なる場合は別のコホモロジー類に属する. S^kのk次(閉)形式でその積分が0でない実数値をとるものを2つ以上つくれるので, H^k(S^k) ~= 0 はありえない.よって H^k(S^k) ~= R である. (10)について H^{k-2}(M12) ~= H^{k-2}(S^{k-1}) ~= 0 ((5)でp = k - 2の場合) より 系列をさらにさかのぼって, H^{k-2}(M12) -Δ*-> H^{k-1}(S^{k}) は 0 -Δ*-> H^{k-1}(S^{k}) と同型.(9)と同様にランクを考えると,H^{k-1}(S^{k}) ~= 0. しかし,こう考えて再帰を辿ると,これとは違う方法で H^1(S^2) ~= 0 を示さなければならなくなる.これはどうすればよいか? >>151 ん? クラスは自分を含まないからイイってこと? クラスの集まりを考えたりしてもいいんだけど クラスのクラスのクラスのクラス・・・で矛盾が起こらないのね? >>148 「モノの集まり」というしかないね 究極には数学の概念は無定義/天与とならざるを得ない それが皆の(数学者の)直観に合致していれば受け入れられるってこと >>155 S^n=D1^n∪D2^n S^(n-1)=D1^n∩D2^n で H0Sn=Z(n>0)orZ+Z(n=0) HmDn=Z(m=0)or0(m>0) HmS0=Z+Z(m=0)or0(m>0) 0->H0Sn->H0Dn+H0Dn->H0Sn-1->H1Sn->H1Dn+H1Dn->H1Sn-1->H2Sn-> n=1 0->Z->Z+Z->Z+Z->H1S1->0->0->H2S1->0->0->H3S1->0->0 HmS1=Z(m=0,1)or0(m>1) n>1 0->Z->Z+Z->Z->H1Sn->0->H1Sn-1->H2Sn->0->H2Sn-1->H3Sn->0-> H1Sn=0 Hm-1Sn-1=HmSn(m>1) >>160 >>161 ありがとうございます.鮮やかですね.しかし,完全系列を0やZで置き換えるところまでは理解できましたが, その結果から H1Sn=0 を推論する論理がわかりません. # 教科書でも類似の推論が使われている箇所がありますが「この系列が完全だから」としか書かれていません. ドラムじゃなくて特異ホモロジーは計算したことないの? はい.ないです.この本の2章の「ドラム・コホモロジー」で初めてホモロジーという用語を知りました. 3章「微分形式の積分」で特異ホモロジーを扱うことになっていますが,先にこっちを読んで 戻ってきた方がよかったりしますか? {a} ⊂ A ⊂ {a, b} ⇒ A = {a} または A = {a, b} これを証明するとすると、どうやって証明するんですか? (1) A = {a, ...} (2) A = {} または A = {a}, A = {b}, A = {a,b} のいずれか. (1),(2)をともに満たすのは A = {a} または A = {a,b} に限られる. デデキント整域Aにおける素イデアル分解の証明のところの質問なのですが 任意の分数イデアルⓑに対して共通分母d∈Aを取ってくると ⓑ=(dⓑ)・(Ad)^(−1) の等式がわかりません(⊂はわかりました) イデアルと元の区別のためにⓑを使いました読みにくかったらすみません ちなみにサミュエルの63ページです(数の代数的理論) わかる方いらっしゃいましたらよろしくお願いします >>165 ドラムなら>>162 でZをRにして終い >>166 結論が「…または…」の場合は片方を否定した場合で考えれば良い たとえば、(A≠{a})∧({a}⊂A⊂{a,b})⇒A={a,b} を証明する A={a}⇔(a∈A)∧(∀x∈A[x=a]) だから A≠{a}⇔(a∉A)∨(∃x∈A[x≠a]) 従って (A≠{a})∧({a}⊂A⊂{a,b})⇒(a∈A)∧(∃x∈A[x≠a])∧(A⊂{a,b}) ⇒(a∈A)∧(b∈A)∧(A⊂{a,b})⇒A={a,b} となる {(A ∪ B) - (A ∩ B)} ∪ {(B ∪ C) - (B ∩ C)} = (A ∪ B ∪ C) - (A ∩ B ∩ C) を示してください。 {(A ∪ B) - (A ∩ B)} ∪ {(B ∪ C) - (B ∩ C)} ⊃ (A ∪ B ∪ C) - (A ∩ B ∩ C) を簡単に示すことはできますか?(場合分けをできるだけ少なくするなど) 👀 Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f) 0<β<α を満たす任意の α, β について u∈H^α ⇒ {(‖u‖_α)^(β/α)}{(‖u‖)^(1-β/α)} を示せ。(H^αはハーディ空間) をどなたかお願いします... ヘルダーの不等式を使うのはなんとなくわかるんですけど... >>174 いったん積和か和積かにするのが確実 {(A∪B)−(A∩B)}∪{(B∪C)−(B∩C)} ={(A∪B)∩¬(A∩B)}∪{(B∪C)∩¬(B∩C)} ={(A∪B)∩(¬A∪¬B)}∪{(B∪C)∩(¬B∪¬C)} ={(A∪B)∪(B∪C)}∩{(A∪B)∪(¬B∪¬C)}∩{(¬A∪¬B)∪(B∪C)}∩{(¬A∪¬B)∪(¬B∪¬C)} ={A∪(B∪B)∪C}∩{A∪(B∪¬B)∪¬C}∩{¬A∪(¬B∪B)∪C}∩{¬A∪(¬B∪¬B)∪¬C} ={A∪B∪C}∩{T}∩{T}∩{¬A∪¬B∪¬C} ={A∪B∪C}∩{¬A∪¬B∪¬C} ={A∪B∪C}∩¬{A∩B∩C} ={A∪B∪C}−{A∩B∩C} 幾何学の開集合、閉集合の判定についての問題です。 現在、ユークリッド位相の開集合、閉集合の判定について学んでいますが、いまいち理解できてません 例えば ユークリッド位相をもつ実数直線Rに対して、 (1)(0,1)U(3,4) (2)[0,1] (3){1/2n+1 n€N} (4)NU{√3} (5){0,1,2} (6)[0,1]U(2,3) (7)(0,1)U[2,3] (8)Z (9)Q (10)R-{0,1} (11){n+√2 n€Z} それぞれRの開集合か閉集合か判定し、閉集合でないと判定したものに対して、その閉包を求めよ。 また、(0,1)が(1)の開集合か閉集合か判定しろ。 という問題で、開区間同士の和集合は開集合になる といった解法だけで過ごしてきた結果、それ以外が出てきたときに解けなくなりました。 開集合や閉集合の判定、閉包の求め方を教えてください。 >>178 各店の適当な解禁棒を含むのが開集合 保守都合が会なのが閉鎖 それで大方ガタック >>178 (3)0は触点(0を含む開集合と(3)の集合は必ず交わる) (3)∪{0}が閉包 閉包と自分自身が一致しないから閉集合でない 内部は空集合で自分自身と一致しないから開集合でない (4)...∩[0,1]∩[1,√3]∩[√3,2]...だから閉集合 (5)1点集合は閉集合 閉集合の有限和は閉集合 (6)(7)閉包[0,1]∪[2,3] 閉でも開でもない (8)...[-1,0]∩[0,1]∩[1,2]...だから閉集合 (9)任意の点は触点 閉包はR 自身と閉包が一致しないから閉集合でない 内部は空集合で自分自身と一致しないから開集合でない (10)1点集合の有限和{0,1}は閉集合 閉集合の補集合は開集合 (11)... [-1+√2,√2]∩[√2,1+√2]∩... 閉集合 A, B, A', B' を有限集合とする。 A ⊂ A' B ⊂ B' #A' = #A + 1 #B' = #B + 1 A は B' の真部分集合 B は A' の真部分集合 A ∪ B ⊂ A' ∩ B' とする。 このとき、 A = B または A' = B' が成り立つことを示せ。 訂正します: A, B, A', B' を有限集合とする。 A ⊂ A' B ⊂ B' #A' = #A + 1 #B' = #B + 1 A は B' の真部分集合 B は A' の真部分集合 とする。 このとき、 A = B または A' = B' が成り立つことを示せ。 >>178 教科書読まずに問題やるタイプか 定義くらいは読んどけよ >>180 ありがとうございます!! めちゃめちゃわかりやすかったです >>183 大学の数学の教科書、読んでも理解できないんです泣 なんとなくイメージが取りにくいというか、、 実数直線R上に次のような部分集合族をあたえる {O€R l x€O x2乗€O} (1)この位相に関して、Rの3つの部分集合{1},(0,1),(0,2)がRの開集合か否か判定し、開集合でないと判定にしたものについてその理由を簡潔に述べよ。 (2)この位相に関して、Rの空でない有限部分集合で開集合になふのは全部で5つ。その全てを上げよ。 (3)この位相に関して、(-1/2,1/2)の兵法を求めよ。 178のような問題は解けるようになったのですが、上記のような条件が出された際の問題が解けないです。 どのようにしたら解けますか? {1},(0,1)は開集合 (0,2)は開集合でも閉集合でもない 定義よりある元の2乗もその集合に入っていれば開集合となるから {0}{1}{0,1}{1,-1}{0,1,-1} 触点を求める xが0,1,-1以外の時、xを含む最小の開集合は{x,x^2,x^4,...}とかける これに(-1/2,1/2)内の値が含まれるxが触点となる (-1,1) >>185 開集合をイメージできたら終いよ 開集合は各点の適当な開近傍を含むという定義 各点でどうなってるかいちいち見てやるだけ 閉は開の補集合あるいは点列の極限を全て含むことを確かめたら終い 自然数の定義は、 0 := φ n + 1 := n + {n} みたいに定義します。 このとき、自然数 m, n に対し、 m ⊂ n と m + 1 ⊂ n + 1 は同値であることを示せ。 その解答が、以下です。 m ⊂ n とする。 1. より、 m + 1 ⊂ n + 1 でなかったとすると m ⊂ n ⊂ n + 1 ⊂ m + 1(かつ n + 1 ≠ m + 1) である。よって m = n となり矛盾である。 m + 1 ⊂ n + 1 とする。 2. より、 m ∈ m + 1 ⊂ n + 1 ⊂ P(n) だから m ⊂ n である。 1. とは「自然数全体の集合 N の順序 ⊂ は、全順序である」ことです。 2. とは「自然数 n に対し、 N ∩ P(n) = n + 1」であることです。 自然数全体の集合 N の順序 ⊂ は、全順序であることは明らかではないでしょうか? 0 := φ 1 = 0 ∪ {0} = φ ∪ {φ} 2 = 1 ∪ {1} = φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}} 3 = φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}} ∪ {φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}}} … なので、明らかです。 0 := φ 1 = 0 ∪ {0} = φ ∪ {φ} 2 = 1 ∪ {1} = φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}} 3 = φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}} ∪ {φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}}} … のようにして自然数は作られていきます。 ですので、 m, n を自然数とするとき、 より早く作られた自然数はより遅く作られた自然数に含まれるのは自明です。 自明であるといって済まさない。 かといって、公理から自然数の理論を説明しているわけでもない。 非常に中途半端で害悪さえあるといえる書き方ではないでしょうか? 君は自然数に数学的帰納法が適用できることをいつ知ったの? >>188 開近傍 っていうのは、ある位相空間Xとその要素xに対して、要素xを含むXの開集合を意味する って教科書に書いてるんですけど、具体例がないのでイメージできないです。 例えば186の問題の(1)なら、開近傍はどのように取れるのですか? ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
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