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大学学部レベル質問スレ 9単位目
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0001132人目の素数さん
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2017/12/14(木) 12:28:05.91ID:EpQbxawT
大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dote ra.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

関連スレ
分からない問題はここに書いてね478
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1511604229/

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 8単位目
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1500294768/
0101132人目の素数さん
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2018/01/20(土) 10:11:51.88ID:fdRXR8NV
束論はなぜ廃れたのでしょうか?
0102132人目の素数さん
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2018/01/20(土) 13:21:41.37ID:qEQu5+sW
>>96
ベクトル空間くらいなら自力でモデル作れるだろ
けっこう面白い物が作れるから試してみな
0103132人目の素数さん
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2018/01/20(土) 14:46:54.03ID:bEiI/N73
(2)(x+y)+z=x+(y+z) (∀x,y,z∈V)
(3)∃0∈V s.t. x+0=0+x (∀x∈V)
(4)∀x∈V ; ∃x'∈V s.t. x+x'=x'+x=0
(5)k(x+y)=kx+ky (∀x,y∈V, ∀k∈ℝ)
(6)(k+l)x=kx+lx(∀x∈V, ∀k,l∈ℝ)
(7)(kl)x=k(lx) (∀x∈V, ∀k,l∈ℝ)
(8)1x=x (∀x∈ℝ)
が成り立つとき、次が成り立つことを示せるので違いました
(1)x+y=y+x (∀x,y∈V)
0104132人目の素数さん
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2018/01/20(土) 15:45:10.60ID:H0s4O5em
>>102
公理1個ずつにそれだけ成り立たないモデル作るの?
0106132人目の素数さん
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2018/01/21(日) 20:44:49.54ID:/7UyrHTa
学部レベルではなく,教養教育レベルなのですが…
スレが見つからなかったので質問させてください…

線形代数学,行列の符号判定問題についてです
A=[ 1 2 3 1 ; 2 5 4 2 ; 2 4 5 1 ; 1 2 1 -1 ] (;は改行を表します)となる4次正方行列の符号判定です

主対小行列式を用いて解く問題なのですが,
|A_1|=1
|A_2|=1
|A_3|=-1
|A_4|=0となり,定理を用いると不定符号となります.

しかし,問の解答には「半正値」と表記されております
私は誤植だと思うのですが,もし,私の解法にミスがありましたらご教授願います!

長文失礼致しました.
0107132人目の素数さん
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2018/01/21(日) 22:12:22.17ID:G6fH7YE4
>>106
固有値計算してごらんな
0108132人目の素数さん
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2018/01/21(日) 22:31:16.73ID:/7UyrHTa
>>107
返答ありがとうございます.
言葉足らずでした.
問題の趣旨として,固有値は用いないで解く,とのことなので
主対角小行列式による解法の正誤を教えていただきたいです…
0111132人目の素数さん
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2018/01/21(日) 23:29:01.37ID:G6fH7YE4
>>110
正誤なら真の回答と比較するでしょ?
真の回答は固有値で分かるわけで
0112132人目の素数さん
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2018/01/21(日) 23:29:51.50ID:G6fH7YE4
人に聞くより先ず確認できることを確認してからだよ
0113132人目の素数さん
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2018/01/21(日) 23:30:54.08ID:G6fH7YE4
だって解法として正しいかどうかは結局それを確認することなんだから
その作業を他人にやらせる前に自分で確認してから質問でしょうに
0114132人目の素数さん
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2018/01/21(日) 23:38:04.55ID:/7UyrHTa
>>111-113
色々言葉足らずでした
論点がずれてしまっているようですが…
固有値の確認は出来ています
誤植云々は正直どうでもよく,お聞きしたかったのは
|A_1|=1
|A_2|=1
|A_3|=-1
|A_4|=0
が果たして合っているのか,またそれは(定理によって)不定符号であるのかを確認していただきたかったのです.

自己解決いたしました.
拙い質問で誠に申し訳ございませんでした.以後気をつけます.
ご対応,ありがとうございました.
0116132人目の素数さん
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2018/01/22(月) 13:28:54.46ID:ncbr+h4o
lim (x → 0) 1/(1-e^(-x)) - 1/x = 1/2

上記の式の等式の導き方が分かりません
lim (x → 0) (e^x-1)/x = 1 を使うことは察しがつくのですが
どう変形すれば良いのやら。誰か助けて

ちなみに、サイエンス社から出版されている野本/岸の解析演習の
p138の問題5.2 1.(9)の解説にある数式です
0120132人目の素数さん
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2018/01/22(月) 14:43:11.80ID:ncbr+h4o
なるほど。ロピタルは分からなかったけど、テイラー展開でいけた
参考書にまだテイラーが出てきてないから問題集のその部分だけ飛ばして先に進んでたわ
皆、ありがとう
0121132人目の素数さん
垢版 |
2018/01/25(木) 02:55:46.25ID:3WNGzr1Q
ロピタルは頭使わなくていいぞ
ロピタルよりテイラーのほうが汎用的であるという意見はわかるけど
ロピタルは考えなくていいから楽よ
0122132人目の素数さん
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2018/01/25(木) 03:45:53.65ID:d+8wCxFT
何も考えずにロピタルを使うと失敗する問題が出されるから結局テイラーのがいい
0123132人目の素数さん
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2018/01/25(木) 06:47:49.89ID:P3Q0KePR
すみません質問です。
線形代数の商空間が分かりません…Wikipediaとかを見ると「各要素を0に潰して云々」と書いてあるのですが、何が言いたいのかよく分かりません。
何か理解するコツなどありますでしょうか…
0124132人目の素数さん
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2018/01/25(木) 09:20:05.54ID:X2zeiExL
>>123
同値関係、同値類そして同値類の代表元、同値類の集合に定められる演算、
これらを把握しないと「潰す」の意味は掴めないと思うよ。
0125132人目の素数さん
垢版 |
2018/01/25(木) 09:33:06.59ID:Kklk1SBR
雪江代数を独学で読んでいるのですが分からないところがあるので質問させてもらいます

2巻の局所環の話なのですが、局所環(A,m),(B,n)でφ(m)⊂nとなるような準同型φ:A→Bを考えたとき、1∉φ^(-1)(n)なのでφ^(-1)(n)=mとなると書いてあります
これはなぜでしょうか?
そもそもなぜ準同型の逆写像を考えられるのかわかりません

ご教授お願いします
0126132人目の素数さん
垢版 |
2018/01/25(木) 09:46:40.09ID:X2zeiExL
>>125
この文脈での記号φ^(-1)(n)は逆写像ではなく、
nの逆像と呼ばれる 集合 {x∈A| φ(x)∈n} のこと。

それが分かったものとして、 1?φ^(-1)(n) なので φ^(-1)(n) は真のイデアルとなり
更に φ(m)⊂n から m⊂φ^(-1)(n) 、そして
m が極大イデアルであるので φ^(-1)(n)=m となります。
0127132人目の素数さん
垢版 |
2018/01/25(木) 09:50:37.42ID:Kklk1SBR
>>126
明快な説明ありがとうございます
理解できました
0128132人目の素数さん
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2018/01/25(木) 09:57:13.59ID:4dXuSK1x
>>122
ロピタルは何度微分するか結局分からない
テイラー展開だと一発
0130132人目の素数さん
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2018/01/25(木) 20:17:31.18ID:hW3iR487
>>121
マジだ。勉強範囲がやっとロピタルに追いついたんで、そのやり方で解いてみたら
二回微分で簡単に1/2が出てきた。ありがとう
0131132人目の素数さん
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2018/01/26(金) 11:37:18.83ID:WWlQq7Zx
>>121
テイラー展開全然頭使わんやん
0132132人目の素数さん
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2018/01/27(土) 22:55:20.99ID:BSU0W5xa
>>128
何次までテイラー展開すればいいのかは事前には判らない。
それが何回ロピタルするかと同じことだから、結局
チラシ裏の計算を答案に残すか否かの違いでしかない。
気持ち的には、テイラーが好きだけどね。
ロピタルは、教えこまれた公式臭が酷いから。
0133132人目の素数さん
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2018/01/27(土) 23:06:54.76ID:Mtp4B3bf
>>132
違いが出るところまでよ
テイラー展開はするモノじゃなくて
書き出すだけ
何も考えなくてイイ
微分は実にめんどくさい
やってみて初めてもう一度必要か分かる
何度やっても無駄かも知れないしな
0134132人目の素数さん
垢版 |
2018/01/28(日) 13:11:07.70ID:1PUXSubO
コンパクトサポートな関数は一様連続
がわかりません
コンパクトである条件をどこで使っているのかがわかるような解説をいただけると嬉しいです
よろしくお願いします
0135132人目の素数さん
垢版 |
2018/01/28(日) 13:27:15.14ID:1CBHslSB
εδ論法でδの下界を求める所に使う
δ近傍での被覆でコンパクトなら有限個で済むから最小値が求まる
0137132人目の素数さん
垢版 |
2018/01/28(日) 18:56:58.06ID:DjaWrs5I
一般論でわからなければ具体例を考えてみればいい
R^nのとき有界閉集合(=コンパクト)上の連続関数は一様連続、これに有界性や閉であるという条件を落とせば連続であっても一様連続ではない関数は簡単に作れる
0138132人目の素数さん
垢版 |
2018/01/29(月) 16:53:53.71ID:tFz/OlTS
「座標」の定義って何なのでしょうか?

デカルト座標や極座標等々ありますがこれらを数学的にどう定義すればよいか分かりません。
座標、基底、ベクトル空間、ユークリッド空間、アフィン空間このへんのキーワードがゴチャゴチャして整理できません。曖昧な質問で申し訳ないですがどなたかよろしくお願いします。
参考文献の紹介だけでもけっこうです。
0140132人目の素数さん
垢版 |
2018/01/29(月) 20:16:23.30ID:T+6k6pEO
束論は役に立ちますか?
0141132人目の素数さん
垢版 |
2018/01/29(月) 22:22:18.62ID:iUIUoC+4
>>138
まずベクトル空間をひとつ決めて、そこに基底を定義すれば各ベクトルは成分表示できる。
このとき位置ベクトルを導入して、位置ベクトルと空間内の点を同一視すれば、位置ベクトルの成分を空間内の点の座標として定義できるのではないかと!
基底の定義の仕方によってデカルト座標も極座標も定義できるのではないかと!
0142132人目の素数さん
垢版 |
2018/01/30(火) 00:52:40.65ID:hJ/ouRPB
事実上局所ユークリッドから全部構築するような形になるんじゃないの?。
0143132人目の素数さん
垢版 |
2018/01/30(火) 03:29:13.27ID:hJ/ouRPB
ランダムウォークの方をまず公理的に使ってすべてを定義した方が量子的な将来的な空間像に現代で出来る最善のやり方な気もするなあ。
基点と基点にたまたま戻ってきたことだけしか検知できない存在から創めて。
0145132人目の素数さん
垢版 |
2018/01/30(火) 14:12:49.32ID:NSV5n+Hi
タプルから構成するのもいいね。
グロタンディーク構成が同値類で割ったタプルなのをにちゃんで聞いたのを理解して感動したのを思い出す。
0146132人目の素数さん
垢版 |
2018/01/30(火) 20:40:34.03ID:tDXdTeaU
>>142
R^n(C^n)からの全単射(連続・微分可能・高階連続微分可能・解析・正則など)
0148132人目の素数さん
垢版 |
2018/02/01(木) 01:37:34.85ID:CTBMqxGr
集合の定義ってなんなん
いろいろさかのぼっていくと何でも数学の擁護って結局集合に行きつくんだけど
集合って言葉調べてもものの集まりとしか書いてないんだよね

やっぱそれ以上は数学も厳密にはできないんか
0150132人目の素数さん
垢版 |
2018/02/01(木) 07:25:38.89ID:i+lRRNQY
プログラミングかな?
0151132人目の素数さん
垢版 |
2018/02/01(木) 08:40:10.17ID:vdVGAXEb
ラッセルのパラドックスの集合は、集合だから矛盾が起きるのであってクラスだと考えれば問題ない概念です
0154132人目の素数さん
垢版 |
2018/02/01(木) 20:27:16.38ID:KI6HKux8
H^{1}(S^{2}) ~= 0 を示すにはどうしたらよいでしょうか.

坪井俊・著「幾何学III」を独学しているのですが,p.64

(定理) k >= 1 で,H^p(S^{k}) ~= 0, for p = 1, ..., k - 2, H^{k}(S^{k}) ~= R が成り立つ.

マイヤービエトリス系列を使って数学帰納法で示す証明がありますが,アンカーケースとして
H^{1}(S^{2}) ~= 0 を別途示す必要があるように思われます.あるいは証明を誤解していて
帰納法の中で示せるのかもしれません.

自己解決できなて先に進めなくなっているので,ヒントでも教えていただけますとうれしいです.
教科書での証明のアウトラインとどこで詰まっているかを次以降のレスで書き出してみます.

(記号)
S^k: k次元球面, M1: S^k - 北極, M2: S^k - 南極, M12 = M1 && M2
H^p(M): M上のp次ドラムコホモロジ
Δ*: H^p(M12) -> H^{p+1}(S^k) : 連結準同型写像
0155(承前)
垢版 |
2018/02/01(木) 20:27:58.01ID:KI6HKux8
(アンカーケース, k = 1の場合の仮定)
(1) H0(S1) ~= R
(2) H0(M1) (+) H0(M2) ~= R (+) R
(3) H0(M12) ~= R
(4) H1(M1) ~= R

(1)-(3)は0次閉形式は連結成分上で定数をとる関数であることよる.
(4)は H1(M1) ni α -> ∫α in R という同型写像を直接構成することでわかる.
0156(承前)
垢版 |
2018/02/01(木) 20:29:01.00ID:KI6HKux8
(再帰 k >= 2として)
以下を仮定
(5) H^p(S^{k-1}) ~= 0, for p = 1, ..., k - 2
(6) H^{k-1}(S^{k-1}) ~= R

このときマイヤービエトリス完全系列
H^{k-1}(S^{k}) -> H^{k-1}(M1) (+) H^{k-1}(M2) -> H^{k-1}(M12) -Δ*-> H^k(S^k) -> 0

H^{k-1}(S^{k}) (10) -> 0 (7) (+) 0 (7) -> R (8) -----> H^k(S^k) (9) -> 0
と同型である.

ここで M12 ~= [0,1] x S^{k-1} なので,H^{k-1}([0,1] x S^{k-1}) ~= H^{k-1}(S^{k-1}) ~= R
より(8)を, M1 ~= (k-1)次円盤とポアンカレの補題より (7) を得ている.

したがって,(9) H^k(S^k) ~= R, (10) H^{k-1}(S^{k}) ~=0, [さらに低次へ系列を巻き戻して]
(11) H^p(S^{k}) ~=0, for p = 1, ...., k - 1.

これで (5),(6)で k <- k + 1としたものが成立することが示された.
0157(承前,最後)
垢版 |
2018/02/01(木) 20:29:52.63ID:KI6HKux8
(私の理解と疑問)
(9) について.
完全系列であることより im(Δ*) ~= ker(->0) = H^k(S^k).
また,dom(Δ*) ~= H^{k-1}(M12) ~=R よりも im(Δ*) の方がランクは小さいか等しい
よって,H^k(S^k) ~= 0 または H^k(S^k) ~= R.

いっぽう,S^k のk次完全形式 ω=dηの積分は 0 (ストークスの定理).
したがって,2つのS^kのk次(閉)形式α,α'が同じコホモロジー類に族する場合,その積分値
は一致し,積分値が異なる場合は別のコホモロジー類に属する.
S^kのk次(閉)形式でその積分が0でない実数値をとるものを2つ以上つくれるので,
H^k(S^k) ~= 0 はありえない.よって H^k(S^k) ~= R である.

(10)について
H^{k-2}(M12) ~= H^{k-2}(S^{k-1}) ~= 0 ((5)でp = k - 2の場合) より
系列をさらにさかのぼって,
H^{k-2}(M12) -Δ*-> H^{k-1}(S^{k})

0 -Δ*-> H^{k-1}(S^{k})
と同型.(9)と同様にランクを考えると,H^{k-1}(S^{k}) ~= 0.

しかし,こう考えて再帰を辿ると,これとは違う方法で
H^1(S^2) ~= 0
を示さなければならなくなる.これはどうすればよいか?
0158132人目の素数さん
垢版 |
2018/02/01(木) 21:52:49.55ID:gmA8OMZU
>>151
ん?
クラスは自分を含まないからイイってこと?
クラスの集まりを考えたりしてもいいんだけど
クラスのクラスのクラスのクラス・・・で矛盾が起こらないのね?
0159132人目の素数さん
垢版 |
2018/02/01(木) 21:55:26.25ID:gmA8OMZU
>>148
「モノの集まり」というしかないね
究極には数学の概念は無定義/天与とならざるを得ない
それが皆の(数学者の)直観に合致していれば受け入れられるってこと
0160132人目の素数さん
垢版 |
2018/02/01(木) 22:02:16.68ID:gmA8OMZU
>>155
S^n=D1^n∪D2^n
S^(n-1)=D1^n∩D2^n
0161132人目の素数さん
垢版 |
2018/02/01(木) 22:09:01.07ID:gmA8OMZU
ドラムでないなら単体分割で終い
0162132人目の素数さん
垢版 |
2018/02/01(木) 22:27:23.41ID:gmA8OMZU
H0Sn=Z(n>0)orZ+Z(n=0)
HmDn=Z(m=0)or0(m>0)
HmS0=Z+Z(m=0)or0(m>0)
0->H0Sn->H0Dn+H0Dn->H0Sn-1->H1Sn->H1Dn+H1Dn->H1Sn-1->H2Sn->
n=1
0->Z->Z+Z->Z+Z->H1S1->0->0->H2S1->0->0->H3S1->0->0
HmS1=Z(m=0,1)or0(m>1)
n>1
0->Z->Z+Z->Z->H1Sn->0->H1Sn-1->H2Sn->0->H2Sn-1->H3Sn->0->
H1Sn=0
Hm-1Sn-1=HmSn(m>1)
0163132人目の素数さん
垢版 |
2018/02/02(金) 01:51:25.78ID:EbILmDwh
>>160 >>161
ありがとうございます.鮮やかですね.しかし,完全系列を0やZで置き換えるところまでは理解できましたが,
その結果から H1Sn=0 を推論する論理がわかりません.
# 教科書でも類似の推論が使われている箇所がありますが「この系列が完全だから」としか書かれていません.
0165132人目の素数さん
垢版 |
2018/02/02(金) 11:02:55.73ID:EbILmDwh
はい.ないです.この本の2章の「ドラム・コホモロジー」で初めてホモロジーという用語を知りました.
3章「微分形式の積分」で特異ホモロジーを扱うことになっていますが,先にこっちを読んで
戻ってきた方がよかったりしますか?
0166132人目の素数さん
垢版 |
2018/02/02(金) 14:04:08.15ID:qNa0b/Hk
{a} ⊂ A ⊂ {a, b} ⇒ A = {a} または A = {a, b}

これを証明するとすると、どうやって証明するんですか?
0167132人目の素数さん
垢版 |
2018/02/02(金) 14:57:23.87ID:WUQrLhNQ
(1) A = {a, ...}
(2) A = {} または A = {a}, A = {b}, A = {a,b} のいずれか.

(1),(2)をともに満たすのは A = {a} または A = {a,b} に限られる.
0168132人目の素数さん
垢版 |
2018/02/02(金) 18:13:40.50ID:QWsxNF5e
デデキント整域Aにおける素イデアル分解の証明のところの質問なのですが
任意の分数イデアルⓑに対して共通分母d∈Aを取ってくると
ⓑ=(dⓑ)・(Ad)^(−1)
の等式がわかりません(⊂はわかりました)
イデアルと元の区別のためにⓑを使いました読みにくかったらすみません
ちなみにサミュエルの63ページです(数の代数的理論)
わかる方いらっしゃいましたらよろしくお願いします
0170132人目の素数さん
垢版 |
2018/02/02(金) 23:48:57.54ID:QWsxNF5e
そうだそうだそうですねありがとうございます
0171132人目の素数さん
垢版 |
2018/02/03(土) 00:28:13.11ID:1SQv0bX4
>>165
ドラムなら>>162でZをRにして終い
0172132人目の素数さん
垢版 |
2018/02/03(土) 13:46:04.15ID:bDdnJSsJ
>>166
結論が「…または…」の場合は片方を否定した場合で考えれば良い
たとえば、(A≠{a})∧({a}⊂A⊂{a,b})⇒A={a,b} を証明する
A={a}⇔(a∈A)∧(∀x∈A[x=a]) だから A≠{a}⇔(a∉A)∨(∃x∈A[x≠a])
従って
(A≠{a})∧({a}⊂A⊂{a,b})⇒(a∈A)∧(∃x∈A[x≠a])∧(A⊂{a,b})
⇒(a∈A)∧(b∈A)∧(A⊂{a,b})⇒A={a,b}
となる
0173132人目の素数さん
垢版 |
2018/02/03(土) 15:49:55.56ID:vHQhC2Iw
>>167
>>172

ありがとうございます。
0174132人目の素数さん
垢版 |
2018/02/03(土) 15:50:48.14ID:vHQhC2Iw
{(A ∪ B) - (A ∩ B)} ∪ {(B ∪ C) - (B ∩ C)}

=

(A ∪ B ∪ C) - (A ∩ B ∩ C)

を示してください。

{(A ∪ B) - (A ∩ B)} ∪ {(B ∪ C) - (B ∩ C)}



(A ∪ B ∪ C) - (A ∩ B ∩ C)

を簡単に示すことはできますか?(場合分けをできるだけ少なくするなど) 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f)
0175132人目の素数さん
垢版 |
2018/02/03(土) 16:56:09.26ID:TSEB3dIY
0<β<α を満たす任意の α, β について
u∈H^α ⇒ {(‖u‖_α)^(β/α)}{(‖u‖)^(1-β/α)}
を示せ。(H^αはハーディ空間)

をどなたかお願いします...
ヘルダーの不等式を使うのはなんとなくわかるんですけど...
0176132人目の素数さん
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2018/02/03(土) 18:52:56.11ID:qEUwhi6H
>>174
いったん積和か和積かにするのが確実
{(A∪B)−(A∩B)}∪{(B∪C)−(B∩C)}
={(A∪B)∩¬(A∩B)}∪{(B∪C)∩¬(B∩C)}
={(A∪B)∩(¬A∪¬B)}∪{(B∪C)∩(¬B∪¬C)}
={(A∪B)∪(B∪C)}∩{(A∪B)∪(¬B∪¬C)}∩{(¬A∪¬B)∪(B∪C)}∩{(¬A∪¬B)∪(¬B∪¬C)}
={A∪(B∪B)∪C}∩{A∪(B∪¬B)∪¬C}∩{¬A∪(¬B∪B)∪C}∩{¬A∪(¬B∪¬B)∪¬C}
={A∪B∪C}∩{T}∩{T}∩{¬A∪¬B∪¬C}
={A∪B∪C}∩{¬A∪¬B∪¬C}
={A∪B∪C}∩¬{A∩B∩C}
={A∪B∪C}−{A∩B∩C}
0178132人目の素数さん
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2018/02/03(土) 20:19:19.47ID:42/dPXd1
幾何学の開集合、閉集合の判定についての問題です。
現在、ユークリッド位相の開集合、閉集合の判定について学んでいますが、いまいち理解できてません

例えば
ユークリッド位相をもつ実数直線Rに対して、
(1)(0,1)U(3,4)
(2)[0,1]
(3){1/2n+1 n€N}
(4)NU{√3}
(5){0,1,2}
(6)[0,1]U(2,3)
(7)(0,1)U[2,3]
(8)Z
(9)Q
(10)R-{0,1}
(11){n+√2 n€Z}
それぞれRの開集合か閉集合か判定し、閉集合でないと判定したものに対して、その閉包を求めよ。
また、(0,1)が(1)の開集合か閉集合か判定しろ。

という問題で、開区間同士の和集合は開集合になる といった解法だけで過ごしてきた結果、それ以外が出てきたときに解けなくなりました。
開集合や閉集合の判定、閉包の求め方を教えてください。
0179132人目の素数さん
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2018/02/03(土) 20:28:54.16ID:4/nSYX4X
>>178
各店の適当な解禁棒を含むのが開集合
保守都合が会なのが閉鎖
それで大方ガタック
0180132人目の素数さん
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2018/02/03(土) 21:15:03.66ID:y4OwCID0
>>178
(3)0は触点(0を含む開集合と(3)の集合は必ず交わる)
(3)∪{0}が閉包
閉包と自分自身が一致しないから閉集合でない
内部は空集合で自分自身と一致しないから開集合でない

(4)...∩[0,1]∩[1,√3]∩[√3,2]...だから閉集合

(5)1点集合は閉集合
閉集合の有限和は閉集合

(6)(7)閉包[0,1]∪[2,3]
閉でも開でもない

(8)...[-1,0]∩[0,1]∩[1,2]...だから閉集合

(9)任意の点は触点
閉包はR
自身と閉包が一致しないから閉集合でない
内部は空集合で自分自身と一致しないから開集合でない

(10)1点集合の有限和{0,1}は閉集合
閉集合の補集合は開集合

(11)... [-1+√2,√2]∩[√2,1+√2]∩...
閉集合
0181132人目の素数さん
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2018/02/04(日) 10:40:02.86ID:t17OFjjP
A, B, A', B' を有限集合とする。

A ⊂ A'
B ⊂ B'
#A' = #A + 1
#B' = #B + 1
A は B' の真部分集合
B は A' の真部分集合
A ∪ B ⊂ A' ∩ B'

とする。

このとき、

A = B または A' = B' が成り立つことを示せ。
0182132人目の素数さん
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2018/02/04(日) 10:44:39.33ID:t17OFjjP
訂正します:


A, B, A', B' を有限集合とする。

A ⊂ A'
B ⊂ B'
#A' = #A + 1
#B' = #B + 1
A は B' の真部分集合
B は A' の真部分集合

とする。

このとき、

A = B または A' = B' が成り立つことを示せ。
0184132人目の素数さん
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2018/02/04(日) 15:51:06.64ID:0RvjzxRw
>>180
ありがとうございます!!
めちゃめちゃわかりやすかったです
0185132人目の素数さん
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2018/02/04(日) 15:52:14.34ID:0RvjzxRw
>>183
大学の数学の教科書、読んでも理解できないんです泣 なんとなくイメージが取りにくいというか、、
0186132人目の素数さん
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2018/02/04(日) 16:05:34.77ID:3ZQFoRO2
実数直線R上に次のような部分集合族をあたえる
{O€R l x€O x2乗€O}

(1)この位相に関して、Rの3つの部分集合{1},(0,1),(0,2)がRの開集合か否か判定し、開集合でないと判定にしたものについてその理由を簡潔に述べよ。
(2)この位相に関して、Rの空でない有限部分集合で開集合になふのは全部で5つ。その全てを上げよ。
(3)この位相に関して、(-1/2,1/2)の兵法を求めよ。


178のような問題は解けるようになったのですが、上記のような条件が出された際の問題が解けないです。
どのようにしたら解けますか?
0187132人目の素数さん
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2018/02/04(日) 16:50:40.57ID:R6bGkuaa
{1},(0,1)は開集合
(0,2)は開集合でも閉集合でもない
定義よりある元の2乗もその集合に入っていれば開集合となるから

{0}{1}{0,1}{1,-1}{0,1,-1}

触点を求める
xが0,1,-1以外の時、xを含む最小の開集合は{x,x^2,x^4,...}とかける
これに(-1/2,1/2)内の値が含まれるxが触点となる
(-1,1)
0188132人目の素数さん
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2018/02/04(日) 16:54:43.36ID:cDd6f2yP
>>185
開集合をイメージできたら終いよ
開集合は各点の適当な開近傍を含むという定義
各点でどうなってるかいちいち見てやるだけ
閉は開の補集合あるいは点列の極限を全て含むことを確かめたら終い
0189132人目の素数さん
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2018/02/04(日) 17:38:42.90ID:t17OFjjP
自然数の定義は、

0 := φ
n + 1 := n + {n}

みたいに定義します。

このとき、自然数 m, n に対し、

m ⊂ n と m + 1 ⊂ n + 1 は同値であることを示せ。
0190132人目の素数さん
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2018/02/04(日) 17:46:13.24ID:t17OFjjP
その解答が、以下です。

m ⊂ n とする。

1. より、 m + 1 ⊂ n + 1 でなかったとすると m ⊂ n ⊂ n + 1 ⊂ m + 1(かつ n + 1 ≠ m + 1)
である。よって m = n となり矛盾である。 m + 1 ⊂ n + 1 とする。 2. より、
m ∈ m + 1 ⊂ n + 1 ⊂ P(n) だから m ⊂ n である。

1. とは「自然数全体の集合 N の順序 ⊂ は、全順序である」ことです。
2. とは「自然数 n に対し、 N ∩ P(n) = n + 1」であることです。
0191132人目の素数さん
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2018/02/04(日) 17:57:12.07ID:t17OFjjP
自然数全体の集合 N の順序 ⊂ は、全順序であることは明らかではないでしょうか?

0 := φ
1 = 0 ∪ {0} = φ ∪ {φ}
2 = 1 ∪ {1} = φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}}
3 = φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}} ∪ {φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}}}


なので、明らかです。
0192132人目の素数さん
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2018/02/04(日) 17:59:04.22ID:t17OFjjP
0 := φ
1 = 0 ∪ {0} = φ ∪ {φ}
2 = 1 ∪ {1} = φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}}
3 = φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}} ∪ {φ ∪ {φ} ∪ {φ ∪ {φ}}}


のようにして自然数は作られていきます。

ですので、 m, n を自然数とするとき、

より早く作られた自然数はより遅く作られた自然数に含まれるのは自明です。
0193132人目の素数さん
垢版 |
2018/02/04(日) 18:00:50.21ID:t17OFjjP
自明であるといって済まさない。
かといって、公理から自然数の理論を説明しているわけでもない。

非常に中途半端で害悪さえあるといえる書き方ではないでしょうか?
0195132人目の素数さん
垢版 |
2018/02/04(日) 18:50:35.00ID:0RvjzxRw
>>187
ありがとうございます!!
0196132人目の素数さん
垢版 |
2018/02/04(日) 18:56:53.67ID:0RvjzxRw
>>188
開近傍 っていうのは、ある位相空間Xとその要素xに対して、要素xを含むXの開集合を意味する
って教科書に書いてるんですけど、具体例がないのでイメージできないです。

例えば186の問題の(1)なら、開近傍はどのように取れるのですか?
0198132人目の素数さん
垢版 |
2018/02/04(日) 19:07:25.43ID:CxVck6NH
>>196
それはダメ
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