現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48
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“現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”
数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。
皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾ ）
このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾
High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。） >>539
>L は R 上で稠密なんだよ？もし L が閉集合なら、L の稠密性と合わせて
>L＝R
>になってしまって矛盾するだろうが。だから、L は閉集合では無いんだよバカタレ。
それなら、Qも閉集合ではないだろ
ならば、「系1.8 有理数の点で不連続、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」（>>498）
に適用して良いのか？ >>541
Qも閉集合じゃありません
しかし可算集合なので
可算個の疎な閉集合で覆えるのですよ >>530
＞おれは、あほバカで
お前はあほバカではない
救い様の無いあほバカだ
何故なら自分がどんだけあほバカかの自覚が無いし、人の助言に聞く耳持たない頑固者だからだ >>541
＞それなら、Qも閉集合ではないだろ
お前はどこまでバカなんだ？今まで一体なにを読んでいたのだ？
もし Q 自体が閉集合なら、F_1＝Q, F_i＝φ (i≧2) と置けば終わる話。
しかし、実際には、Q 自体は閉集合ではない。そこはその通り。
ではどうするか？
F_i の作り方を工夫すればいいのである。具体的には、Q の元を適当に番号づけて、
各 q∈Q に対して F_i＝{q} と置けばいいのである。Q は可算無限集合なので、
このように設定した F_i の個数も可算無限個に収まり、しかも
Q＝∪_i F_i, 各 F_i は内点を持たない閉集合
と表せるのだから、例の定理が適用できる形になっているだろうが。
L の場合にこの芸当が不可能なのは、
・ L 自体は閉集合ではないので、F_1＝L, F_i＝φ (i≧2) という置き方は不可能。
・ F_i の作り方を工夫して、F_i＝{q} (q∈L) と置くことにすると、今度は L が
非可算無限集合であるがゆえに、F_i が可算無限個に収まらず、この置き方でも失敗する。
という理由があるからだよ。
結局お前は、F_i を「どのように上手く取ればいいのか」を全然 意識してないから、
そういうトンチンカンな間違いに陥るんだよ。 ＞例の時枝に、終止符を打っていただいて（＾＾
見え透いた自演はやめろ
見てるこっちが恥ずかしくなる >>542 >>544
どちらのレスでも良いけど・・
話を、区間[0,1]に取って
Q' = ｛q | 0<q<1 q∈Q} なる集合Q'を考える
Q' は閉集合ではないですか？
もし、Q' が開集合なら、その補集合 [0,1]−Q' （これは区間[0,1]内の無理数の集合と0と1から成る）が閉集合になりますから
どうでしょうか >>546
そのレスが何を意図しているのか全く意味不明。
R の通常の位相をθと書く。A⊂R に対して、θから定まるA上の相対位相を θ|_A と書く。
・・・という記法のもとで回答すると、
・ その Q' は、位相空間 (R,θ) において開集合にも閉集合にもなってない。
・ その Q' は、位相空間 ( [0,1], θ|_{[0,1]} ) において開集合にも閉集合にもなってない。
・ 例の定理は、位相空間を (R, θ) に固定して記述している定理なので、
( [0,1], θ|_{[0,1]} ) を持ち出したところで意味が無い。
・ そもそも、そのレスが何を意図しているのか全く意味不明。
・ スレ主はわざと無視しているのだろうが、そもそもの話として、>>540 で書いたことにより、
スレ主の大好きな f^r 及び f_w は、例の定理の反例に「ならない」ことが既に確定している。 >>547
Q全体では、開集合だと言われましたね？
部分集合である区間(0,1)の有理数が、なぜ開集合にも閉集合にもなっていないのですか？
距離の取り方は、同じでしょ？ >>548
＞Q全体では、開集合だと言われましたね？
意味不明。俺は一度もそんなトンチンカンな発言をした記憶は無い。
どのレスのことを指しているのか、具体的なレス番とともに指摘せよ。
ついでなので、先に回答しておく。
＞部分集合である区間(0,1)の有理数が、なぜ開集合にも閉集合にもなっていないのですか？
・ その Q' は、位相空間 (R,θ) において開集合にも閉集合にもなってない。
・ その Q' は、位相空間 ( [0,1], θ|_{[0,1]} ) において開集合にも閉集合にもなってない。
・ その Q' は、位相空間 ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合にも閉集合にもなってない。
なぜ「ならない」のかを、( (0,1), θ|_{(0,1)} ) の場合に説明する。
[続く] [続き]
Q' が ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合だとすると、(R,θ)の開集合 V が存在して、
Q'＝(0,1)∩V
が成り立つことになる(相対位相の定義)。(0,1)∩V は (R,θ) における開集合なので、
Q'＝(0,1)∩V の左辺である Q' も、(R,θ) における開集合ということになるが、これは明らかに矛盾する。
次に、Q' が ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において閉集合だとすると、(R,θ)の閉集合 K が存在して、
Q'＝(0,1)∩K
が成り立つことになる(相対位相の定義)。ここで、x＝1/√2 と置き、x_n → x を満たす
(0,1) 内の有理数列 x_n を何でもいいから1つ取る。このとき、x_n∈Q' であるから、
x_n∈(0,1)∩K すなわち x_n∈K となる。x_n→x だったから、K が(R,θ)の閉集合だったことから
x∈K となる。また、明らかに x∈(0,1) である。よって、x∈(0,1)∩K となるので、
x∈Q' となる。しかし、x は無理数なので矛盾する。
以上より、Q' は位相空間 ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合にも閉集合にもなってない。 ＞意味不明。俺は一度もそんなトンチンカンな発言をした記憶は無い。
＞どのレスのことを指しているのか、具体的なレス番とともに指摘せよ。
スレ主はリアル呆け老人 >>549-550
>以上より、Q' は位相空間 ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合にも閉集合にもなってない。
了解。下記（yahoo）だね
R中に稠密に分散されている場合は、「開集合にも閉集合にもならない」ってことだね
あなたは力があるね〜（＾＾
連続濃度まで許すということだったが（>>522）、
結局は、稠密にR中に分散されている場合は、
「内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆」は、”孤立する１点から成る集合”（>>490）の被覆に戻るわけだ！（＾＾
ところで・・・・
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13160534703
(抜粋)
delyunoaloveさん2016/6/1600:35:49
有理数空間Ｑは開かつ閉集合ですか？
ベストアンサーに選ばれた回答
kousaku2038さん 2016/6/1612:21:16
全体が実数Rなら、有理数Qは開でも閉でもない。
普通に考えて開集合でないことは、qを有理数とし、それを含む開区間(q-ε,q+ε)を考えると、この区間には無理数が存在するので、Qに含まれることはない。
閉集合でないことは、√2に収束する有理数列が取れることから、すぐにわかる。
(引用終り)
つづく >>552 つづき
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
・・・「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」・・・”
で、「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」とは、なんだろうかと考えていた・・、連続濃度まで許すということにもからんで
１）「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」で、Rで稠密で無ければ・・、「f はある区間(a, b) 上でリプシッツ連続」は自明
２）「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」で、Rで稠密であれば・・、「f はある区間(a, b) 上でリプシッツ連続」は取れない（このケースは不存在）
だから、定理1.7 (422 に書いた定理)の証明では、１）の場合の証明は、全く不要で
２）の場合を厚く書いて、何か矛盾が起きることをしっかり証明すべきだったのでは？
（例えば、そういう函数が存在しないか、あるいは、「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」での被覆ができないとか）
重ねて言えば、２）の場合について、「定理1.7に抵触するので、不成立」では、循環論法ではないだろうか？
（例えば、証明中で、無造作に区間（y,x）を取ったり、いろんな計算をしているが、R−Bf が”Rで稠密”という条件下では、許されない計算をしていないかどうか・・？）
つづく >>553 つづき
さて、従来の定理との比較で
１）不連続点が、dense（稠密）の場合、http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>526）にあるように、
”g fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points. In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition,”とある
２）無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成あり（>>506）
http://www.mathcounterexamples.net/a-continuous-function-not-differentiable-at-the-rationals-differentiable-elsewhere/
３）で、定理1.7 は、上記をリプシッツ連続（あるいはディニ微分）に、拡張した定理と見ることが出来る。
つまり、Bfが、リプシッツ連続（あるいはディニ微分可）で、
補集合たるR−Bfが稠密の場合、そういう函数が存在しないか、あるいは、（ １）のように）「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」での被覆ができないとなるのだろうか？
なお、以前から言っているが、なぜ３）についての研究が、いままで無かったのか？
そのナゾもまだ解けない
（不成立？）
まあ、年末なので、ゆっくりやりましょう
１）の証明と対比して読まないといけないと思うので
（そうしないと、証明にギャップがあっても気付かないだろうね、おれの頭じゃ（＾＾ ）
以上 >>546
> Q' は閉集合ではないですか？
> もし、Q' が開集合なら、その補集合 [0,1]−Q' （これは区間[0,1]内の無理数の集合と0と1から成る）が閉集合になりますから
もしかしたら開でなければ閉と誤解してるかもしれませんが
閉でなくても開とは限りませんし開でなくても閉とは言えませんよ
(0,1]のような単純な例Qのような稠密な例いろいろです >>552
＞結局は、稠密にR中に分散されている場合は、
＞「内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆」は、”孤立する１点から成る集合”（>>490）の被覆に戻るわけだ！（＾＾
ぜんぜん戻らない。
例えば、全ての有理数に適当に番号をつけて q_1, q_2, q_3, … と表しておく。また、カントール集合を C としておく。
F_i：＝ C ＋ q_i (i≧1) と置く。ただし、C ＋ q_i は、C を q_i だけ平行移動した集合を表すものとする。
このとき、各 F_i は非可算無限集合である。また、各 F_i は内点を持たない閉集合である。ここで、
A＝∪_i F_i と置くと、この A は R の中に稠密に分布することが分かる。さらに、
「 A ⊂ ∪_i F_i , 各 F_i は内点を持たない閉集合 」
という状況が(明らかに)成り立っている。従って、
(1)「 A は R の中に稠密に分布し、なおかつ、A は内点を持たない閉集合の高々可算無限和で被覆できる」
という状況が成り立っている。すると、スレ主の主張によれば、この A は「孤立する１点から成る集合」の可算無限和で
被覆できることになるが、実際にはそれは不可能である。なぜなら、もしそれが可能だったとすると、
別の可算無限個の F ' _i が存在して、
・ 各 F ' _i は一元集合である
・ A ⊂ ∪_i F ' _i が成り立つ
という状況が成り立つことになるが、∪_i F ' _i は高々可算無限集合であり、一方で A は非可算無限集合であるから、
A ⊂ ∪_i F ' _i という包含は矛盾している。よって、この A の場合は、(1)が成り立っているにも関わらず、
A を「孤立する１点から成る集合」の可算無限和で被覆することは不可能である。 >>553
そもそも濃度とは関係ない定義なのですよ
ただし可算なら条件の成立は自明というだけのことです
あと
楽に証明できればそれに越したことはないので
自明の場合をことさらに分別する必要はありません ＞もしかしたら開でなければ閉と誤解してるかもしれませんが
それがわかってないってもう壊滅的レベルだな おいスレ主、きちんとレスをしろよ
他人の発言をでっちあげたのかオマエ？
549 １３２人目の素数さん sage 2017/12/25(月) 21:34:18.06 ID:U1NU7yFp
>>548
＞Q全体では、開集合だと言われましたね？
意味不明。俺は一度もそんなトンチンカンな発言をした記憶は無い。
どのレスのことを指しているのか、具体的なレス番とともに指摘せよ。 >>555
「ぷふ」さん、どうもスレ主です。
レスありがとう
開でなければ閉と誤解してましたね（＾＾
これ>>552ですね >>557
「ぷふ」さん、どうもスレ主です。
レスありがとう
ちょっと質問して良いですか？
（>>303より）
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
１．ここで場合分けをする
１）補集合R−Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、リプシッツ連続である
２）補集合R−Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。
３）上記場合分けにおいて１）２）とも、ほぼ自明。１）２）とも、証明の必要がない。だから、定理1.7は、証明の必要がない自明なことしか言っていない
つづく >>561 つづき
２．で、「系1.8 有理数の点で不連続、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」（>>498）
（その証明（>>513）より）
「定理1.7 のBf について,
略
(1) の右辺は内点を持たない閉集合の可算和である.
略
f は(a, b) の上で連続である (2)
略
(2) より,f は点x で連続であるが, 一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.」
この証明中で、そもそも、有理数の点 x ∈ Qは、Rで稠密であるから、”f は(a, b) の上で連続である”の不成立は、当然（リプシッツ連続も含め）（∵稠密な有理点で不連続ゆえ）
なので、定理1.7による必要もなく、もともとこれ（”連続である(a, b)が取れない”）は自明。
そして、この背理法による論法もおかしい。
例えば、>>554に示したように、”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成あり”（>>506）で、
この背理法の論法が正しいならば、「微分可能なある区間(a, b)が取れないから（取れるとすると矛盾するから）、このような関数は存在しない」という結論が、導かれてしまう（本来有理点は稠密であるから、この背理法の論法自身がおかしい）
３．で、要は、定理1.7と系1.8とにおいて、”dense（稠密）”という意識が、あまりに希薄になってしまっているように思うのですが・・？
如何ですかね？
以上 もともと取れないからこそ背理法が効くわけです
可算集合の補集合で微分可能→ある開区間で連続→矛盾→可算集合の補集合で微分可能ではない
という流れですよ
ある開区間で連続以降の論証に持ち込むのに
可算集合の補集合で微分可能→ある開区間で連続
の論証が最も重要です >>562
> 例えば、>>554に示したように、”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成あり”（>>506）で、
> この背理法の論法が正しいならば、「微分可能なある区間(a, b)が取れないから（取れるとすると矛盾するから）、このような関数は存在しない」という結論が、導かれてしまう（本来有理点は稠密であるから、この背理法の論法自身がおかしい）
その関数は連続関数なのでは？それに微分可能な区間が取れないということからはそのような関数の存在も許されるということしか言えませんよ 許されるは変でした
許されないとは言えない
ですか >>564
「ぷふ」さん、どうもスレ主です。
早速のレスありがとう（＾＾
>可算集合の補集合で微分可能→ある開区間で連続
ここを詳しく書くと
A:稠密可算集合Q（有理数）で不連続で、その補集合（無理数）で微分可能→B:（ある条件を満たせば、必ず（例え補集合が不連続であってかつ稠密であっても））ある開区間で連続（命題Aは”ある条件を満たす”）→矛盾
というわけですね
だが、命題「B:（ある条件を満たせば、必ず（例え補集合が不連続であり（定理1.7 ではリプシッツ不連続だが）かつ稠密であっても））ある開区間で連続」で、
キモは、”例え補集合が不連続であり（定理1.7 ではリプシッツ不連続）かつ稠密であっても”ってところが、証明できちんと言えているかどうかですよね
そういう目で、証明を見て行かないと、すら〜と流してしまうと、ギャップがあっても見えない
「ぷふ」さんの目で見て、そこはどうなんですかね？ >>565-566
>その関数は連続関数なのでは？それに微分可能な区間が取れないということからはそのような関数の存在も許されないとは言えないということしか言えませんよ
いや、もちろん連続関数です。
”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成可能”
↓
では、”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみリプシッツ不連続（あるいはディニ微分不可）の函数は構成可能”か？
例の定理1.7は、これを”構成不能”と証明したということですか？
（なんで、だれもいままで気づかなかった？ 本当に”構成不能”が成り立っている？ 新定理？ どう思いますか？ ） >>568
（なんで、だれもいままで気づかなかった？ 本当に”構成不能”が成り立っている？ 新定理？ どう思いますか？ ）
おーい！！
スレ主が迷走してるぞ。誰か黄色い救急車を呼んでやってくれ！！ >>567
>>可算集合の補集合で微分可能→ある開区間で連続
>
>ここを詳しく書くと
>A:稠密可算集合Q（有理数）で不連続で、その補集合（無理数）で微分可能→B:（ある条件を満たせば、必ず（例え補集合が不連続であってかつ稠密であっても））ある開区間で連続（命題Aは”ある条件を満たす”）→矛盾
Qで不連続は不要です
（ある条件）とは？ >>568
>”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成可能”
> ↓
>では、”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみリプシッツ不連続（あるいはディニ微分不可）の函数は構成可能”か？
>
>例の定理1.7は、これを”構成不能”と証明したということですか？
無理数で可微分有理数で不連続な関数は存在しないという結論を導けます
ところでリプシッツ不連続とは？ スレ主は知恵遅れ
但し悪知恵だけは人並み以上に発達している >>571
黄金の救急車ですか？（＾＾
ご苦労さまです（＾＾
>Qで不連続は不要です
同意です
なお、”不連続”は、もともとは、>>562の「系1.8 有理数の点で不連続、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」（>>498）に由来しますよ
>（ある条件）とは？
系1.8の証明のキーになる定理で
>>561の定理1.7 (422 に書いた定理)より
”f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”
が条件です。
なお、定理1.7の結論命題は、「f はある開区間の上でリプシッツ連続である．」（>>561）です。
（なお、この定理1.7 については、>>561に批判のコメントを書いたので、見て頂ければ幸いです） >>572
>無理数で可微分有理数で不連続な関数は存在しないという結論を導けます
ええ、その通りです。なお>>526 の
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
に、そのような記述があることは、過去なんども紹介しています
>ところでリプシッツ不連続とは？
上記>>574 の定理1.7での Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
に対する補集合 R−Bfが満たすべき性質を、都合上、俗に”リプシッツ不連続”と呼称させて頂きました
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }が、”リプシッツ連続”であること（これの補集合）に対する呼称です >>574
ならば
>ここを詳しく書くと
>A:稠密可算集合Q（有理数）で不連続で、その補集合（無理数）で微分可能→B:（ある条件を満たせば、必ず（例え補集合が不連続であってかつ稠密であっても））ある開区間で連続（命題Aは”ある条件を満たす”）→矛盾
ではなくて
A:可算集合の補集合で微分可能→B:ある開区間で連続
ですよ
その条件はAによって満たされています >>575
>上記>>574 の定理1.7での Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
>
>に対する補集合 R−Bfが満たすべき性質を、都合上、俗に”リプシッツ不連続”と呼称させて頂きました
つまり
xにおいて``リプシッツ不連続''とは
limsup[y→x] |(f(y)-f(x))/(y-x)|=+∞
ということですか
ならば
無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導けますよ >>576
>A:可算集合の補集合で微分可能→B:ある開区間で連続
えーと、可算集合を本来の目的である有理数Qに取ります。有理数Qの稠密性から、ある開区間（a,b）中に必ず、有理数が存在します。
いま、仮定として、有理数で不連続な関数を考えます。ですので、ある開区間（a,b）で連続は言えません
が、無理数のいたるところで、微分可能な関数は可能です
（しかし、無理数の全てで微分可能な関数は、できない。これらは、>>575のURLの通りです。） >>577
>無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導けますよ
なるほど
それは興味深いですね
出典がありますか？ あれば読んでみたい
おっと、このスレには書かないで下さい。
このスレでアスキー文字制限で書かれた数学の証明は、
読みにくくてしかたないのでね（＾＾ >>579 訂正
おっと、このスレには書かないで下さい。
↓
おっと、このスレに直に証明は書かないで下さい。 >>579-580 補足
いまの定理の証明も、無理を言って、PDFにしてもらって、ダウンロードで読めるようにしてもらいました（下記URL）
https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明（>>513） これは俺の方から書くと横レスになってしまうが、一応レスしておく。
>>561
＞１．ここで場合分けをする
＞１）補集合R−Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、リプシッツ連続である
よく読むと微妙に間違っている。「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」という条件だけでは
「 f は(a,b)上の 全 体 で リプシッツ連続である」
ということは導けないので、これでは例の定理の結論が導けていない。
ただし、「 Bfを満たす区間(a, b)が取れる」という条件からは、
「 f は(a,b)内の あ る 小 さ な 部 分 区 間 の 上 で リプシッツ連続である」
ということが、例の定理の「開区間版」を考えることにより成り立つので、結局は例の定理の結論が導けることには なる。
ただし、この論法では「例の定理の開区間版」を経由しなければならないので、実質的には例の定理を丸ごと最初から
証明し直すのと同じことになってしまう。すなわち、(1)の手順では、何も証明が始まってないことになる。つまり、
「(1)の場合は自明であり、何も証明する必要がない」
というスレ主の発言は大間違いである。
[続く] [続き]
＞２）補集合R−Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。
＞３）上記場合分けにおいて１）２）とも、ほぼ自明。１）２）とも、証明の必要がない。だから、定理1.7は、証明の必要がない自明なことしか言っていない
ここは全てが間違っていて、理屈が滅茶苦茶である。
スレ主の(2),(3)の理屈を成り立たせるためには、例の定理の結論が
「どこにもBfを満たす区間(a, b)は取れない」
という結論になっていなければならない。もしこうなっていたら、(2)の場合は、
スレ主の言うように自明であり、証明の必要が無い。しかし、実際には、例の定理の結論は
「 f は ある(a, b)の上でリプシッツ連続である」
という結論なのだから、「(2)の場合は証明の必要が無い」などというスレ主の理屈は全く成り立っておらず、
何かを致命的に勘違いしている。もしかしたら、スレ主は次のような勘違いをしているのかもしれない。
「 (2)の場合、例の定理と組み合わせると、"そのような f は存在しない" ことになるので、
存在しない f を考えるのは無意味なことであり、ゆえに、この(2)は証明の必要がない。」
これの何が勘違いなのかは明白である。(2)の議論はそもそも、例の定理を「証明する」という前提での議論であるのに、
そこで「例の定理と組み合わせると」などと言って例の定理を適用してしまうなら、
「例の定理を証明するという前提の議論で、例の定理を適用する」
という循環論法に陥っていることになり、これでは何がしたいのか意味不明なのだ。 結局、ここでのスレ主の勘違いを簡潔に述べると、次のようになる。
(1)での勘違い：
「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」という条件だけでは、例の定理の結論は導けず、
結局は例の定理を最初から丸ごと証明しなければならないような事態に陥るのに、
「(1)の場合は自明であり、何も証明する必要がない」 などと勘違いした。
(2)での勘違い：
スレ主は例の定理の結論が何なのかを全く把握せずに、勝手にスレ主自身の手で
場合分けした挙句に、その場合分けによって導かれる結論を
「もともとの例の定理の結論である」
と勝手に勘違いしてしまい、
「ゆえに、この場合は証明の必要がない」
などとトンチンカンな間違いに陥った。もしくは、無意識のうちに
例の定理そのものを適用してしまうという循環論法に陥ったがゆえに、
「この場合は証明の必要がない」
などとトンチンカンな間違いに陥った。 >>578
有理数で不連続な関数→どの開区間でも連続ではない
無理数で微分可能な関数→ある開区間で連続
どちらも正しいということです
ところで
「無理数の至る所で微分可能な関数」はその前に書いている条件「有理数で不連続」も満たすのでしょうね？そしてその関数の微分可能な点の補集合は可算ではないということですね？
その関数に関しては「ある条件」が成り立たないでしょうね
成り立つとすれば矛盾を引き起こしますから >>579
ここで話題の定理の証明を読んでみてください >>585
>>585
>有理数で不連続な関数→どの開区間でも連続ではない
>無理数で微分可能な関数→ある開区間で連続
>どちらも正しいということです
へー、どういうこと？
>「無理数の至る所で微分可能な関数」はその前に書いている条件「有理数で不連続」も満たすのでしょうね？そしてその関数の微分可能な点の補集合は可算ではないということですね？
>その関数に関しては「ある条件」が成り立たないでしょうね
>成り立つとすれば矛盾を引き起こしますから
同意です
上記のURLにあります >>586
>ここで話題の定理の証明を読んでみてください
それは、お断りしています（＾＾
でも、斜め読みはしました（＾＾ >>582
>よく読むと微妙に間違っている。「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」という条件だけでは
>「 f は(a,b)上の 全 体 で リプシッツ連続である」
>ということは導けないので、これでは例の定理の結論が導けていない
ああ、そうなのかい
それは、失礼した（＾＾
だが、系1.8の証明で「f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. 特に, f は(a, b) の上で連続である」だった
だから、直に、「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」から、「特に, f は(a, b) の上で連続である」が言えるから、系1.8の証明にはそれで足りているだろ？ >>583
系1.8の証明で、
「Q はR 上で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る.」という流れでしょ？
補集合R−Bfが、R中で稠密である場合は、同じ論法で、(a, b)の中に、補集合R−Bfの元が取れないのか？ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓
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Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f) >>588
こう書くべきでしたか？
件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ >>587
>>有理数で不連続な関数→どの開区間でも連続ではない
>>無理数で微分可能な関数→ある開区間で連続
>>どちらも正しいということです
>
>へー、どういうこと？
どちらも正しいので無理数で微分可能有理数で不連続な関数が存在しないと結論できるわけです
>>「無理数の至る所で微分可能な関数」はその前に書いている条件「有理数で不連続」も満たすのでしょうね？そしてその関数の微分可能な点の補集合は可算ではないということですね？
>>その関数に関しては「ある条件」が成り立たないでしょうね
>>成り立つとすれば矛盾を引き起こしますから
>
>同意です
>上記のURLにあります
つまりその関数は件の定理の扱っている範疇外ということですね >>589
＞だが、系1.8の証明で「f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. 特に, f は(a, b) の上で連続である」だった
＞だから、直に、「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」から、「特に, f は(a, b) の上で連続である」が言えるから、系1.8の証明にはそれで足りているだろ？
論理が滅茶苦茶。スレ主が>>561で主張していることは、あくまでも
「例の定理は証明の必要がない自明な定理だ」
というものである。俺はその主張に対して反論しているのである。
もし系1.8と絡めて「証明の必要がない自明な定理だ」という主張をしたいのであれば、
――――――――――――――――――――――――――
弱い定理：
f：R→R は、R−B_f が第一類集合であるとする。
このとき、f はある開区間の上で連続である。
――――――――――――――――――――――――――
という弱い定理を考えて、
「この "弱い定理" に関してなら、これは証明の必要がない自明な定理だ」
と主張するのが正しい手順である。
そして、スレ主の>>561の発言を "弱い定理" に差し替えて検証し直してみると、
スレ主の(1),(2),(3)のうち、(1)はスレ主の目論見通り、正しいことを言っていることになる。
しかし、(2),(3)が依然として滅茶苦茶であるから、結局、"弱い定理" に差し替えても
もスレ主の>>561の主張は間違っていることになる。 >>590
＞系1.8の証明で、
＞「Q はR 上で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る.」という流れでしょ？
＞
＞補集合R−Bfが、R中で稠密である場合は、同じ論法で、(a, b)の中に、補集合R−Bfの元が取れないのか？
取れるよ。R−Bf がR中で稠密である場合は、(a, b)の中に、R−Bf の元が取れるよ。
で？その論法を使うことによって、一体どうやって
「 f は ある(a, b)の上でリプシッツ連続である」
という結論を導くのだね？>>561におけるスレ主の最終的な目標は、
「 (2)の場合は自明なので証明の必要がない 」
という主張に持っていくことだろ？より丁寧に書けば、ここでのスレ主の最終的な目標は、
「 (2)の場合は、例の定理の結論が自明に従うので、このケースは証明の必要がない 」
という主張に持っていくことだろ？ そのためには、(2)を使うことで
「 f は ある(a, b)の上でリプシッツ連続である」
という結論が自明に導けなくてはならないだろ？
それで、一体どうやって、(2)からこの結論を自明に導くのだね？
スレ主は(2)から一体何を「結論」しようとしているのだね？
スレ主は何かを盛大に勘違いしまくっているぞ？ >>590
＞系1.8の証明で、
＞「Q はR 上で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る.」という流れでしょ？
＞
＞補集合R−Bfが、R中で稠密である場合は、同じ論法で、(a, b)の中に、補集合R−Bfの元が取れないのか？
もしかして、スレ主はこういうことが言いたいのか？
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(2)：稠密の場合は、どんな開区間(a,b)の中にも R−B_f の元が紛れ込んでしまうが、一方で例の定理によれば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続なので矛盾する。よって、このケースはそもそも起こらないので考えなくてよい。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
もし、このような趣旨の発言をしているつもりならば、
それは>>583の後半で指摘したことと全く同じことであり、これでは何も言えてないぞ？
スレ主は、例の定理が自明であることを実証しようとしているのに、
その最中に例の定理そのものを適用してしまったら循環論法だぞ？
別の言い方をすると、上記の２行で言っていることは
「例の定理を適用すれば、例の定理は自明である」
というアホな発言なんだぞ？
スレ主は それで何を言ったつもりになってるんだ？ >>592
>こう書くべきでしたか？
いいえ
>件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ
それは証明を読まずとも分る
問題は、定理1.7 (422 に書いた定理)の数学的な意味を見極めて、それが数学的に意味があると分った場合にのみ証明を読むと。いま、途中です。そう焦らないで（＾＾
なお、繰返すが、>>561に批判のコメントを書いたので、見て頂ければ幸いです
ところで、貴方は博識みたいだから、聞くが
定理1.7 (422 に書いた定理)か、あるいは類似の定理でも良いが、どこか教科書か論文にありませんかね？
あれば、それを見てみたいのだが・・ >>593
>どちらも正しいので無理数で微分可能有理数で不連続な関数が存在しないと結論できるわけです
どこかに出典がありそうですね。
よければ、出典を教えて下さい
（ε近傍の話かな？）
>つまりその関数は件の定理の扱っている範疇外ということですね
そうでしょうね >>596
>スレ主は それで何を言ったつもりになってるんだ？
単純に場合分けをしただけだよ（>>561を 微修正）
１）補集合R−Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、(a, b)で連続である
２）補集合R−Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。
それだけ >>598
>>>593
>>どちらも正しいので無理数で微分可能有理数で不連続な関数が存在しないと結論できるわけです
>どこかに出典がありそうですね。
？ ＞というアホな発言なんだぞ？
アホなスレ主の発言は当然アホです ＞「例の定理を適用すれば、例の定理は自明である」
それにしても、如何にもスレ主らしい発言で微笑ましいな >>597
>>件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ
>
>それは証明を読まずとも分る
読まずに分かる理由がありません
あなたは
>>579
>>無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導けますよ
>
>なるほど
>それは興味深いですね
>
>出典がありますか？ あれば読んでみたい
と書いたではありませんか >>597
＞なお、繰返すが、>>561に批判のコメントを書いたので、見て頂ければ幸いです
繰り返すが、その>>561は何の批判にもなってないと既に指摘している。
お前がそこで言っていることは循環論法である。特に(2)が壊滅的である。
お前が>>561で言っていることは
「例の定理を適用すれば、例の定理は自明である」
というアホな発言である。これでは何の批判にもなってない。
>>599
＞単純に場合分けをしただけだよ（>>561を 微修正）
＞１）補集合R−Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、(a, b)で連続である
＞２）補集合R−Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。
＞それだけ
で？そのあとの最終的な結論は？
「例の定理(もしくは "弱い定理")は自明な定理であって、証明の必要がない」
ということが言いたいんだろ？それがお前の、このレスにおける最終的な結論だろ？
だが、(2)の場合はどうやって「自明だ」という状況まで持っていくつもりなんだ？
持っていけないだろ？何度も指摘したが、お前の勘違いだろ？
勘違いした部分は「勘違いでした」と公言しろよ。
「 >>561 は何の批判にもなってませんでした」
と公言しろよ。 つまりスレ主は「自明」という言葉の用例を説明したかったと、そういう訳ですな？ >>603
>>>件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ
>>それは証明を読まずとも分る
>読まずに分かる理由がありません
定理が正しいとは言っていない。
どういう結論を導いているのかは、命題の部分を読めば分るよ >>604
>で？そのあとの最終的な結論は？
単純に場合分けをしただけだよ（>>561を 微修正）
１）補集合R−Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、(a, b)で連続である
２）補集合R−Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。
それだけ >>607
（補足）
１）の場合
lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ が、区間(a, b)で成り立っているとする
区間(a, b)での、｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜の最大値を、Mとする
｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜<= Mと書ける
区間(a, b)で、リプシッツ連続である
以上 >>606
興味深い結果であると思っているのに証明は読まないのですね >>608 訂正
区間(a, b)での、｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜の最大値を、Mとする
｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜<= Mと書ける
↓
区間(a, b)での、lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜の最大値を、Mとする
lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜<= Mと書ける
かな（＾＾ >>609
興味深い結果、初出の定理は、学会（あるいはプロの集会（セミプロでも良いが））で発表すべきですよ >>607
「場合分けしただけ」というのが最終的な結論なのであれば、
「例の定理(もしくは "弱い定理")は自明な定理であって、証明の必要がない」
という当初の主張は撤回するということだな？
だったらそれでいい。場合分けすること自体には別に間違いもクソもないからな。 >>608,>>610
＞１）の場合
＞lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ が、区間(a, b)で成り立っているとする
＞区間(a, b)での、｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜の最大値を、Mとする
＞｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜<= Mと書ける
＞区間(a, b)で、リプシッツ連続である
息をするように間違えるゴミクズ。もしそのような M が取れるなら、
確かに f は(a,b)上でリプシッツ連続となるが、既に述べたように、
「 (a,b) ⊂ B_f を満たす開区間(a,b)が存在する」
という条件からは、
「 f は(a,b)上の 全 体 で リプシッツ連続である」
という条件は導けないので、お前のレスは自動的に間違っており、
そのような M は実際には必ずしも取れないことになる。以下で具体例を挙げる。
f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2} * sin(1/x) (x≠0)
と置くと、この f：R → R は各点で微分可能なので、特に B_f＝R が成り立つ。特に
(−1, 1) ⊂ B_f
が成り立つ。しかし、Af(x) ≦ M (x∈(−1, 1)) が成り立つような定数 M は
取れないことがすぐに分かる。さらに、
「 f は(−1, 1)上の全体でリプシッツ連続である」
という条件も成り立たないことが確認できる。本当にゴミクズだなお前は。 >>611
＞興味深い結果、初出の定理は、学会（あるいはプロの集会（セミプロでも良いが））で発表すべきですよ
あほくさ。未だにこのような詭弁を繰り返している。
例の定理の真偽をプロに委ねるつもりなら、お前自身が
「この定理には反例がある」
「この定理は別の定理からすぐに従う」
「この定理は自明なことしか言ってない」
などと真偽について口出しし続けているのはダブルスタンダードだろ。
真偽はプロに委ねるんじゃなかったのか？
真偽をプロに委ねるつもりなら、お前自身はもう 黙 れ よ ゴミクズ。 スレ主をゴミ屑扱いしたら
ゴミ屑に失礼だと思います 新スレ立てた
このスレはもうすぐ512KBオーバーになるので、そのt後に行きましょう（＾＾
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/ >>614
場合分けは、普通は、証明のためだよ
自得するのを、待ったんだが・・（＾＾
貴方の証明を斜め読みしたが、稠密で無い場合、つまり、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる前提でしか、
証明していないように見えるが、どう？ >>615
ふーん、貴方は力があるね（＾＾
だが、それ自分で”反例”を見つけたことになっていないか？
あなたは、「f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2} * sin(1/x) (x≠0)」（これを”反例関数”と名付ける）が、(−1, 1) ⊂ B_fだが、”「 f は(−1, 1)上の全体でリプシッツ連続である」という条件も成り立たない”という
おそらく、x＝0の近傍でだね
だが、定理の前提の関数fは自由度が高いので（不連続も可だし）、あなたの定理でいう区間(a, b)に、”反例関数”のx＝0の近傍を切り取って来て、貼り付ければ、区間(a, b)はリプシッツ連続でなくなるよ。（この貼付操作は、全ての区間に適用できるよ） 感動する数学って本持ってる人このスレでID付きでうpしてくれ
今日中なら大丈夫
【年末年始暇な奴来い】安価で指定されたものを全力で探してうｐするスレ
http://hebi.5ch.net/test/read.cgi/news4vip/1514548120/ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
