現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48
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“現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”
数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。
皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾ ）
このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾
High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。） どっちもどっち
ID:KNjgsEZnはただの基地外 ID:zkh22JUH
ぷ のようにスレ主の自演と疑われたくないなら、数学的見解も述べた方がいいよ >>397
＞上記 Limit superior and limit inferiorのFunctions from metric spaces to metric spaces の定義をよく読ん下さいね
スレ主自身が「定義をよく読んで下さいね」と言っているように、そこに書いてあるのは単なる「定義」の話である。
より具体的に言うと、そこに書いてあるのは、limsup を一般の距離空間の上で定義している話である。
例の pdf で対応する箇所を探してみると、１ページ目の一番最初の
「 定義1.1 」
の limsup[y→x] g(y) の話に対応しているだけである。今まで limsup の定義にケチをつけていたスレ主にとっては、
もはや定義そのものにはケチをつけられなくなったという話に過ぎない。つまり、スレ主は自分の首を絞めているだけである。
そもそも、スレ主が挙げているそのリンク先は、俺が最初に >>362 で挙げたリンクである。
>>362 はどういう状況だったかというと、「 limsup の定義にケチをつけていたスレ主に対して、いくつか文献を提示していた」
という状況である。そのようなリンクを、後になってスレ主の方から持ち出しても、
「わたくしスレ主は limsup の定義にケチをつけていましたが、もはや定義そのものにはケチをつけられません」
と言っているのと同じことである。
[記法の整備 その１]
さて、せっかくディニ微分が出てきたので、ここからはディニ微分の「Ｄ記法」を拝借して
Af(x)：＝ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜
とでも書くことにする。「Ａ記法」とでも呼ぶべきか。このとき、集合 B_f は
B_f ＝ { x∈R｜ Af(x) ＜ ＋∞ }
と表現できることに注意する。もちろん、
R−B_f ＝ { x∈R｜ Af(x) ＝ ＋∞ }
という等式が成り立つ。ディニ微分っぽい捉え方をするようになったスレ主は、
もはや このような等式を勘違いせずに理解できるようになったのではないだろうか。
そもそも何を勘違いしてバカな発言を繰り返していたのかすら不明だが。 おっちゃんです。
スレ主へ：
ジハード！！！！！ ジハード！！！！！ ジハード！！！！！
[記法の整備 その２]
さらに、写像 f：R→R と点 x∈R に関する命題 Lips(x,f) を以下のように定義する。
Lips(x,f)「 写像 f は、x を含む十分小さな開区間の上で、普通の意味でリプシッツ連続である。」
より厳密に書けば、Lips(x,f) を次のように定義する。
―――――――――――――――――――――――――――――――
Lips(x,f)：
x を含むある開区間(a,b)とある L＞0 が存在して、
∀y,z∈(a,b) [ ｜f(z)−f(y)｜≦ L｜z−y｜] が成り立つ。
―――――――――――――――――――――――――――――――
この記法のもとで、「 f：R→R が局所リプシッツ連続である」ことと
「任意の x∈R に対して Lips(x,f) は真である」
が成り立つことは同値であることに注意する。 さて、上記の記法のもとで、スレ主が引用している主張と、例の定理とを比べてみる。
スレ主が引用している主張
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
f：R→R は、任意の x∈R に対して Lips(x,f) が真であるとする。
このとき、任意の x∈R に対して f'_+(x) は有限値である。
(ちなみに、任意の x∈R に対して Af(x) は有限値である、という主張も言える。)
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
例の定理
――――――――――――――――――――――――――――――――――
写像 f：R → R に対して B_f ＝ { x∈R｜ Af(x) ＜ ＋∞ } と置く。
もし R−B_f が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
ある x∈R に対して Lips(x,f) は真である。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
このとおり、主張している内容が全く違う。
・ スレ主の主張では、「任意の x∈R に対して Af(x) は有限値」という結論を導いているが、
例の定理では、Af(x)＝＋∞ が成り立つ点が存在していても適用可能な別の定理になっているので、
この時点で既に状況が違っている。
・ スレ主の主張では、「任意の x∈R に対して Lips(x,f) は真」という "仮定を置いている" が、
例の定理では、そのような仮定が無い状態で、「ある x∈R に対して Lips(x,f) は真」という性質を
"結論において導いている" ので、これも状況が全く違っている。
……というわけで、スレ主が引用した主張は、例の定理とは全く異なるのだったｗ >>392 関連
ディニ微分が、いつごろ論文か判然としないが、
Ulisse Dini (14 November 1845 ? 28 October 1918)
と、Books by U. Dini 1907?1915 などとあるので
100年以上前は確実だろう
https://en.wikipedia.org/wiki/Ulisse_Dini
Ulisse Dini
(抜粋)
Ulisse Dini (14 November 1845 ? 28 October 1918) was an Italian mathematician and politician, born in Pisa. He is known for his contribution to real analysis, partly collected in his book "Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali".[1]
Life and academic career
Dini attended the Scuola Normale Superiore in order to become a teacher. One of his professors was Enrico Betti. In 1865, a scholarship enabled him to visit Paris, where he studied under Charles Hermite as well as Joseph Bertrand, and published several papers.
In 1866, he was appointed to the University of Pisa, where he taught algebra and geodesy. In 1871, he succeeded Betti as professor for analysis and geometry. From 1888 until 1890, Dini was rettore[2] of the Pisa University, and of the Scuola Normale Superiore from 1908 until his death in 1918.
He was also active as a politician: in 1871 he was voted into the Pisa city council, and in 1880, he became a member of the Italian parliament.
Honors
He has been elected honorary member of the London Mathematical Society.[3]
Work
Research activity
Thus, by the year 1877, or seven years from the time he began, he published the treatise, since famous, entitled Foundations for the Theory of Functions of Real Variables (Fondamenti per la teoria delle funzioni di variabili reali).
つづく >>410 つづき
Much of what Dini here sets forth concerning such topics as continuous and discontinuous functions, the derivative and the conditions for its existence, series, definite integrals, the properties of the incremental ratio, etc., was entirely original with himself and has since come to be regarded everywhere as basal in the real variable theory.
??Walter Burton Ford, (Ford 1920, p. 174).
Books by U. Dini
Serie di Fourier e altre rappresentazioni analitiche delle funzioni di una variabile reale (Pisa, T. Nistri, 1880)
Lezioni di analisi infinitesimale. vol. 1 (Pisa, T. Nistri, 1907?1915)
Lezioni di analisi infinitesimale.vol. 2 part 1 (Pisa, T. Nistri, 1907?1915)
Lezioni di analisi infinitesimale.vol. 2 part 2 (Pisa, T. Nistri, 1907?1915)
Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali (Pisa, T. Nistri, 1878)
(引用終り) >>401
>どっちもどっち
>ID:KNjgsEZnはただの基地外
レスありがとう！！
全く同意だ
私スレ主は”あほばか”で、ID:KNjgsEZnは基地外だな（＾＾
だが、時枝より、はるかに面白いよ（＾＾ >>405
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう
ジハードでもないんだよね、こちらは・・（＾＾
時枝のときと同じで、「納得できないから、納得できない」と言っているだけのことだよ
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
とあるけれど、
条件”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できるならば”の吟味抜きで、定理の証明を読んでも、しかたなかんべ
ということ
それと、ディニ微分というキーワードを見つけたので、従来のディニ微分理論との比較や整合性検討も面白そうだし・・（＾＾ >>397 関連
> なお、検索で東大の講義の内容で概要だけディニ微分がヒットしたが
あれ？
東京理科大だったかも・・（東大がどうか不明）（＾＾
ディニの導来数？ これディニ微分のことだろう・・（＾＾
https://letus.ed.tus.ac.jp/2012/course/info.php?id=604
Home / ? コース / ? 東京理科大学 / ? 理学部第一部 / ? 積分論２ (991135S) / ? シラバス
積分論２ (991135S)
(抜粋)
教員名 加藤 圭一
開講年度学期 2012年度 後期
開講学科 理学部第一部 数学科
単位 2.0 学年 ３年
第１回 直線の関数の微分と積分の関係１
ディニの導来数およびヴィタリの被覆定理とその証明を理解する．
(引用終り) >>413
おれだよ
オレオレ
おまえは、オレだよ
おまえは、オレの自演だよ（＾＾ >>403-404 >>406-407
おっさん、ほんま”ただの基地外”やね
・（おっさん）標準的なテキストに載っている標準的な定義であり、俺独自の定義ではない。（>>350）
↓
・（私スレ主）そのテキストの書名を書けよ（>>351）
↓
・（おっさん）well-defined に意味が定まっている。かわいそうなので、何冊か提示してやろう。（>>361-362）
↓
・（私スレ主）これ、おっさん>>362引用の下記書籍にある、”the Dini derivates”（ディニ微分）やね（>>390）
↓
・（おっさん）B_f で扱っている量は R 上のディニ微分の類似品ではあるが、R 上のディニ微分そのものではない。（>>395）
(引用終り)
おっさん、面白いわ
面白すぎるけどな〜（＾＾ >>419
「標準的なテキストに載っている」とは limsup の定義のことを指して言っている。
ディニ微分については最初から知っていたが(たとえば、俺の手元のルベーグ積分論の本にはディニ微分が載っている)、
スレ主が「リプシッツ」という余計な言葉を使って議論を引っ掻き回していたので、俺の口からは何も言わなかった。
B_f で扱っている量がディニ微分そのものではない、という点についても特にツッコミどころは無い。
ただし、4つのディニ微分を全て統括して limsup で抑えた形には なっている。
で、そんなことより、>>404-407 への返答が全く無いのだが？ >>401
>どっちもどっち
>ID:KNjgsEZnはただの基地外
このID:zkh22JUH さんについては・・・
”>>372 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/12/21(木) 00:01:12.69 ID:BdIiQ35o
で？w
>>375 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/21(木) 10:19:17.94 ID:xTe57EH6 [1/4]
>>372
オハヨー、朝です。
(^o^)
>で？w
この極短レスは、「ぷふ」さんかな（＾＾”
というやり取りの人だな多分
それで、おれより、大分レベルが高そうだな（＾＾ >>420
おっさん、書名書名（＾＾
それと、年末は忙しい
あわてるな
ゆっくり遊んでやるから。友達のいない人よ >>420
>「標準的なテキストに載っている」とは limsup の定義のことを指して言っている。
>>419の”・（私スレ主）そのテキストの書名を書けよ（>>351）”を、もう少し長く引用すると
（>>351より）
「>標準的なテキストに載っている標準的な定義であり、俺独自の定義ではない。
そのテキストの書名を書けよ
「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」の”< +∞”も含めて載っているんだろうな？」
だったよね
おっさんのウソは、ヘタだな。すぐばれる〜（＾＾ >>422
こういう、どうでもいいところばかりは
鬼の首を取ったかのように(しかしトンチンカンな)レスを重ね、
本題となっている議論は間違えに間違えを重ねて
未だに何も理解してないというスレ主の惨状。
＞おっさん、書名書名（＾＾
「実解析と測度論の基礎 盛田建彦」の128ページ目にディニ微分の定義がある。
ここはルベーグ積分に対する「微積分学の基本定理」の節になっており、
そこで自然にディニ微分が扱われるので、俺は既に知っていた。
というか、ルベーグ積分をキチンと勉強した人なら、大抵は知っていると思われる。 >>423
＞そのテキストの書名を書けよ
＞「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」の”< +∞”も含めて載っているんだろうな？」
＞だったよね
＞おっさんのウソは、ヘタだな。すぐばれる〜（＾＾
お前は何を言ってるんだ？「 ＜＋∞ 」を含めて載ってる例は
その >>361-362 で既に出してるだろ？ちゃんと目を通したのか？ スレ主の人はちょっと権威主義が過ぎるきらいがあるね
それって数学の対極なような気もするけど >>414
> とあるけれど、
> 条件”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できるならば”の吟味抜きで、定理の証明を読んでも、しかたなかんべ
> ということ
もうそれ反論されてるじゃん。被覆できるものもあれば被覆できないものもある。
この定理は『すべてのfで被覆できる』といってるわけではない。
『被覆できるならば〜が成り立つ』という定理でしょ？
で、実際に被覆できる例まで示されてる。
スレ主は言ってることがすごく頓珍漢だよ。 >>414
> それと、ディニ微分というキーワードを見つけたので、従来のディニ微分理論との比較や整合性検討も面白そうだし・・（＾＾
面白がるのは、イチャモンを引っ込めてからにしとけよ
最低限の節度もないなら消えてくれよ、頼むから。 >>424
後出し後出し
おっさのウソ、分り易くていいわ（＾＾
>「実解析と測度論の基礎 盛田建彦」の128ページ目にディニ微分の定義がある。
「じゃ、そう書いておけ」ってことよ
おれの>>416 東京理科大学 加藤 圭一先生 積分論２”第１回 直線の関数の微分と積分の関係１ ディニの導来数およびヴィタリの被覆定理とその証明を理解する．”
との関係を疑われるジャストのタイミングで書くとは・・
つづく >>430 つづき
ディニ微分については、おっさんの紹介した”Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian”(P220)にもあって下記
（>>390-391）
(抜粋)
”5.3.7. Definition. Let g: [a ,b] → R, a < b, and let c ∈ [a ,b] . Write
B = [a, b] - {c} and define f: B →R￣ by the formula
f(x) = g(x) - g(c)/(x - c).
Of course the values of f are in R, but we are being consistent with the
foregoing notations; some of the numbers we are about to associate with
f may be infinite.
If c ∈ [a, b) then c is approachable from the right by x ∈ B and we define
(D^+g)(c) = lim sup x→c+ f(x) = lim sup x→c+ {g(x) - g(c)/(x - c)} ,
Of course the values of f are in R, but we are being consistent with the
foregoing notations; some of the numbers we are about to associate with
f may be infinite.
If c ∈ [a, b) then c is approachable from the right by x ∈ B and we define
(D^+g)(c) = lim sup x→c+ f(x) = lim sup x→c+ {g(x) - g(c)/(x - c)} ,
Similarly, if c ∈ (a, b] we define
(D^-g)(c) = lim sup x→c- f(x) = lim sup x→c- {g(x) - g(c)/(x - c)} ,
These four numbers are called the Dini derivates of g at c; more precisely
(for example), (D +g)(c) is the lower right-hand derivate of g at c.”
(引用終り)
ここにある、自分の定理と類似の記述があると、それ書けば、”ウソ”って言われなくてすんだろうに（＾＾
つづく >>431 つづき
で、おっさん
（>>395）
「B_f で扱っている量は R 上のディニ微分の類似品ではあるが、R 上のディニ微分そのものではない。
｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜という絶対値の有無や、limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違いがあるからだ。」
だったろ？ 覚えているかい？
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }”
だったろ？ 和文PDFでなく、上記のおっさん紹介の”Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian”(P220)との対比において
おっさんの定義と、ディニ微分の定義との違いを、対比して教えてくれ（＾＾
「絶対値の有無」は不要。自明だから。「limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違い」をきちんと説明してほしい
これは、"B_f の定義は well-defined である"を確認するためだ
（参考>>350）
結局、B_f は標準的な方法で定義済みである。どこにも俺独自の要素は無い。
無論、B_f の定義は well-defined である。
（参考>>347）
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/welldefined/welldefined.htm
Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ
(抜粋)
土基善文 著 ＸのＸ乗のはなし （日本評論社）
を読んでいたら、「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」の話があって、改めてその奥の深さを認識させられた。
（コメント） 初めて「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」に接したときは、「当たり前のことを、何でそんなに仰
々しく述べるの？」という感じだったが、その真意が分かるにつれ、重要性も理解
され当たり前のように「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」を確認している自分に気がつく。端から
は、きっと、私が当初感じたように見られているのでしょうね？
（参考文献：
土基善文 著 ＸのＸ乗のはなし （日本評論社）)
(引用終わり)
つづく >>432 つづき
（参考>>376）
１．いままでの流れを見て分かるように、イチャモンでも何でもない。
２．５CHに見慣れぬ定理と証明が投下された。まず、その定理が自分の知識体系の中でどこに位置するのかを見極めることは、数学をする態度として、正道だろう
３．数学において、その定理が、新規かそれとも、既知・既存の定理かを見極めることは、極めて大事なことだ。
既知・既存の定理であれば、既存の理論体系の中のどこに位置するのかの確認をすべき
４．新規であったとしても、基本、数学の定理というものは、独立ばらばらに存在するものではなく、理論体系を成すべきもの。
であれば、新規であったとしても、それは理論体系の中のどこに位置すべきか。また、類似の定理との比較も必要だろう。
５．それ無くしては、数学の勉強にもならない。
それ無くしては、その定理の応用もできまい。
また、その探索の過程で、定理が、既存の理論と矛盾していないかどうかも判明する。
（もし、既存の理論と矛盾したとしても、修正可能かどうかを見ることも容易だろう）
以上 突然ですが、思い出したので貼る（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%82%BB%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC
リチャード・セイラー
(抜粋)
リチャード・H・セイラー（Richard H. Thaler, 1945年9月12日 - ）は、アメリカ合衆国の経済学者。シカゴ大学教授。専門は、行動経済学。
行動科学の理論家として国際的な研究業績を持ち、ダニエル・カーネマンらと協働し研究を牽引してきた。
相田みつをのファン[1]。
2017年ノーベル経済学賞受賞。
(引用終り)
https://www.nhk.or.jp/gendai/articles/4066/
家でも会社でも使えるノーベル賞理論！ 最新経済学の魔法 クローズアップ現代＋ NHK 2017年11月20日(月)
(抜粋)
「つまづいたっていいじゃないか、にんげんだもの」。今年、ノーベル経済学賞を受賞したリチャード・セイラー教授（行動経済学）は相田みつをファン。衝動買い、飲み過ぎ、ギャンブル…分かっちゃいるけどやめられない、だって「にんげんだもの」。
でも、こうした人間心理を逆手にとれば、より良い選択をするように誘導できる。セイラー教授が“ナッジ”と名付けたこうした仕掛けを紹介。 うまく応用すれば家でも会社でも、人生はうまく行く！？
出演者
リチャード・セイラーさん （シカゴ大学教授）
大竹 文雄さん （大阪大学教授）
武田真一・田中泉 （キャスター）
日本の「相田みつを」？
経済学者 リチャード・セイラー教授
「『つまづいたっていいじゃないか にんげんだもの』。私はこの言葉が大好きなんだよ！」
ノーベル賞理論の原点
田中
「相田みつをのファンだそうですね。」
リチャード・セイラー教授
「２００９年に東京に行ったときに、たまたま相田みつを美術館に行ったんだよ。それですっかり魅了されてしまったのさ。
私は研究室のドアに、相田みつをの詩を貼り付けているんだよ。『そのうち そのうち べんかいしながら日がくれる』。いつまでもなまけている場合じゃないっていう、自分への戒めのためにね。」
田中
「著書の中でも、ご自身をなまけ者だとおっしゃっていますね。」
つづく >>434 つづき
リチャード・セイラー教授
「そうなんだよ、若い頃はついついなまけてしまう自分を律するために、ずいぶん苦労したもんだよ。」
セイラーさんは、相田みつをのファンというだけでなく、その言葉が研究テーマそのものになっているといいます。
リチャード・セイラー教授
「相田みつをの『にんげんだもの』という言葉。それはまさに、私が４０年かけて研究してきたことでもあるんだ。学生の頃、経済学の論文をたくさん読んだけれど、そこに書かれている人間は現実に存在している人間とはかけ離れている気がしたんだ。それで私は、それまで経済学者が無視してきた人間のおかしな行動を調べることにしたんだ。」
(引用終り)
以上 ＞５．それ無くしては、数学の勉強にもならない。
と、一年生の授業に着いていけないアホが申しております >>433
> １．いままでの流れを見て分かるように、イチャモンでも何でもない。
いままでの流れを見れば分かるように、イチャモン以外のなにものでもない。
> ２．５CHに見慣れぬ定理と証明が投下された。まず、その定理が自分の知識体系の中でどこに位置するのかを見極めることは、数学をする態度として、正道だろう
見慣れぬ定理と証明が投下されたとき、それがとある一個人の知識体系のどこに位置するかは論点ではない
とりわけlimsupも知らないド素人さんの知識体系など知ったことではない
> ３．数学において、その定理が、新規かそれとも、既知・既存の定理かを見極めることは、極めて大事なことだ
そもそもその定理は新規性を謳っていない。新規か既出かは論点ではない
> ４．新規であったとしても、基本、数学の定理というものは、独立ばらばらに存在するものではなく、理論体系を成すべきもの。
> であれば、新規であったとしても、それは理論体系の中のどこに位置すべきか。また、類似の定理との比較も必要だろう。
２と３に同じ。論点ではない
> ５．それ無くしては、数学の勉強にもならない。
> それ無くしては、その定理の応用もできまい。
> また、その探索の過程で、定理が、既存の理論と矛盾していないかどうかも判明する。
> （もし、既存の理論と矛盾したとしても、修正可能かどうかを見ることも容易だろう）
新規性や理論体系を云々する前にまず定理と証明を理解すべきである
証明を読めないなら読めるように勉強すべきである
limsupが分からない、＜＋∞が分からないなら、さっさと勉強するべきである おっさん、がんばれよ（＾＾
http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/real_analysis_2009_proceedings.pdf
典型的連続関数のDini微分 斎藤新悟 (Shingo SAITO) 九州大学大学院数理学研究院
(抜粋)
1 Dini微分とDenjoy-Young-Saksの定理
x = 0, 1 においては Dini 微分のうちいくつかが定義されないため，以下では (0, 1) の点にお
ける Dini 微分を主に考える．
Dini 微分に関する最も重要な定理の 1 つが次の Denjoy-Young-Saks の定理である：
定理 1.2（Denjoy-Young-Saks の定理）
f : [0, 1] ?→ R とする．このとき，ほとんどすべての x ∈ (0, 1) に対して次のいずれかが成
立する：
(1) D+f(x) = D+f(x) = D?f(x) = D?f(x) ∈ R，すなわち f は x で微分可能．
(2) D+f(x) = D?f(x) ∈ R, D?f(x) = ∞, D+f(x) = ?∞．
(3) D?f(x) = D+f(x) ∈ R, D+f(x) = ∞, D?f(x) = ?∞．
(4) D±f(x) = ∞, D±f(x) = ?∞．
注意 1.3 この定理では，f の連続性や可測性は仮定する必要がない．歴史的には最初にDenjoy,
Young が独立に連続関数について示し，次に Young が可測関数にまで拡張し，最後に Saks が
任意の関数について証明した．証明は例えば [2] の §3.5 を参照．
Denjoy-Young-Saks の定理の威力を実感するため，この定理から直ちに従う 2 つの系を述
べる．
系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．
証明 f ′(x) = ∞ なる x ∈ (0, 1) では Denjoy-Young-Saks の定理の (1), (2), (3), (4) のいずれも
成立しないことから系が従う．
http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/talks.html
研究集会での講演
36．典型的連続関数の Dini 微分 (2009/10/23) ［日本語講演，60 分］
実解析学シンポジウム 2009 ＠ 城西大学 坂戸キャンパス 関連文書：アブストラクト，報告集
つづく >>438 貼り直し（＾＾
>>432
キーワード： 微分 dini OR ディニ
で検索すると、いろいろヒットするね（＾＾
下記、斎藤新悟先生のテキストの
”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．”
などは、おっさんの定理に近いかもな（＾＾
これに較べれば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾
おっさん、がんばれよ（＾＾
http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/real_analysis_2009_proceedings.pdf
典型的連続関数のDini微分 斎藤新悟 (Shingo SAITO) 九州大学大学院数理学研究院
(抜粋)
1 Dini微分とDenjoy-Young-Saksの定理
x = 0, 1 においては Dini 微分のうちいくつかが定義されないため，以下では (0, 1) の点にお
ける Dini 微分を主に考える．
Dini 微分に関する最も重要な定理の 1 つが次の Denjoy-Young-Saks の定理である：
定理 1.2（Denjoy-Young-Saks の定理）
f : [0, 1] ?→ R とする．このとき，ほとんどすべての x ∈ (0, 1) に対して次のいずれかが成
立する：
(1) D+f(x) = D+f(x) = D?f(x) = D?f(x) ∈ R，すなわち f は x で微分可能．
(2) D+f(x) = D?f(x) ∈ R, D?f(x) = ∞, D+f(x) = ?∞．
(3) D?f(x) = D+f(x) ∈ R, D+f(x) = ∞, D?f(x) = ?∞．
(4) D±f(x) = ∞, D±f(x) = ?∞．
注意 1.3 この定理では，f の連続性や可測性は仮定する必要がない．歴史的には最初にDenjoy,
Young が独立に連続関数について示し，次に Young が可測関数にまで拡張し，最後に Saks が
任意の関数について証明した．証明は例えば [2] の §3.5 を参照．
Denjoy-Young-Saks の定理の威力を実感するため，この定理から直ちに従う 2 つの系を述
べる．
系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．
証明 f ′(x) = ∞ なる x ∈ (0, 1) では Denjoy-Young-Saks の定理の (1), (2), (3), (4) のいずれも
成立しないことから系が従う．
つづく >>439 つづき
http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/talks.html
研究集会での講演 斎藤新悟 九州大学基幹教育院准教授
(抜粋)
36．典型的連続関数の Dini 微分 (2009/10/23) ［日本語講演，60 分］
実解析学シンポジウム 2009 ＠ 城西大学 坂戸キャンパス 関連文書：アブストラクト，報告集
(引用終り)
http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/
斎藤新悟のウェブサイトへようこそ！
九州大学基幹教育院准教授。
1981年大阪府生まれ。
東京大学理学部数学科卒業。
University College London, Department of Mathematics博士課程修了。
PhD in Mathematics, University of London.
九州大学学術研究員を経て，2013年4月から現職。
} >>439
追加
（余談だが、下記”ディニ導関数は可測であることが知られている。”は、舌足らずだろうね （＾＾ ）
http://rikei-index.blue.coocan.jp/rubeg/syotorubekiho.html
微分積分学の基本定理〜ルベーグ積分ｖｅｒ 理系インデックス
(抜粋)
定義 （ ディニ導関数 ）
ｆ：Ｉ→Ｒ を関数とする。
次のように定義する。
略
これらを総称して 『 ディニ導関数 』 という。
参考
ディニ導関数は可測であることが知られている。
Ｐ１５
ｆ：［ａ、ｂ］→Ｒ を絶対連続関数とする。
ｆ’＝０ （ａ．ｅ．） であるとする。
このとき、ｆ は定値関数である。
http://rikei-index.blue.coocan.jp/rubeg-index.html
ルベーグ積分インデックス 理系インデックス
第３章（Ｐ） 追加事項
微分積分学の基本定理〜ルベーグ積分ｖｅｒ
http://rikei-index.blue.coocan.jp/index.html
理系インデックス
理系インデックスは大学で学ぶ数学と自然科学に関する内容をまとめています。
２０１０年１月ＯＰＥN
※ 管理人 ツエ＆トキ （化学科） >>441 関連
>（余談だが、下記”ディニ導関数は可測であることが知られている。”は、舌足らずだろうね （＾＾ ）
言いたいことは、下記かな
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14161354049
yahoo 知恵袋
aguilder729さん2016/7/702:04:46
ルベーグ可測関数のディニ微分はまたルベーグ可測となりますか？
ベストアンサーに選ばれた回答
usagioqさん 2016/7/918:33:56
なります
一般的に可測関数の limsup などは可測です >>439 追加
下記では”Diniの導来数”
http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/b48ebd53c2e741330526f5d3ff71586f
ルベグ積分入門(新数学シリーズ23)：吉田洋一 とね日記 20100430
(抜粋)
「最初からこの本で勉強すればよかった。」というのが正直な感想だ。「はじめてのルベーグ積分：寺澤順」や「ルベーグ積分超入門：森真―」など手軽な入門書でおおまかなところを理解してから詳しい教科書に進もうという当初の目論見は失敗した。
僕がこの本になかなか手を出さなかったのは・・、いろいろ研究されているぶん新しい教科書のほうがわかりやすいだろうという先入観が災いしてしまった。
ルベグ積分が難しいのは、同じような定理や証明が延々と続くことと、それらが自明に思えてきてしまうため、細かい証明のひとつひとつが「果たしてこれって証明しなきゃいけないことなの？」と思えてしまうことが多いからだ。
数学のほかの分野の証明で経験するような「あ、なるほど！」とか「こんなふうにして証明できるんだ！」とかいう感動がほとんどない。（僕だけなのかもしれないけれど。）
そんな地味な本ではあったが、僕が面白く読めたのは「付録：反例そのほか」の章だ。自明でない例というのは不思議で興味をそそられるものである。
より専門的に詳しく学びたい方は次の本をお勧めする。こちらも１９６３年に出版されたルベーグ積分の名著。ただ今回の本にも増して忍耐が要求されるので、僕は手を出すかどうか迷い中。
「ルベーグ積分入門：伊藤清三」http://astore.amazon.co.jp/tonejiten-22/detail/4785313048
ネット上の無料教材でルベーグ積分を学んでみたい方には以下をお勧めする。
ときわ台学：ルベーグ積分入門
（とてもわかりやすいので、特にお勧め。）
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/16lebeg/000lebrg.html
ルベーグ積分入門（PDF)：吉川敦
http://www7b.biglobe.ne.jp/~yoshikawa/lebesgue-lecture.pdf
ルベグ積分入門吉田洋一 http://astore.amazon.co.jp/tonejiten-22/detail/4563003239 2015年8月6日にちくま学芸文庫から復刊することになりました
目次
第６章：微分法と積分法
- Diniの導来数
(引用終り) >>433
> これに較べれば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾
> おっさん、がんばれよ（＾＾
証明は既に終わっている
スレ主が証明を読めずに難癖つけているだけという状況です スレ主は一年生向け教科書を勉強し終わるまでROMってろ >>439
”デイニ微分(ルベーグ積分の入門書を見よ｡”か・・
おれは、ほんとに勉強不足だな〜（＾＾
（引用の文字化けご容赦。PDFからの単純コピペなので）
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/96512/1/KJ00004707401.pdf
カオス脳理論(生命的なものへの動力学アプローチ-変わることで意味をもつものの研究-(北大数学科複雑系数理グループ)) 津田 一郎 物性研究 (1999), 71(4): 694-700
(抜粋)
P696
特異連続でいたるところ微分不可能なアトラクター
連続でいたるところ微分不可能な関数は古くから知られており､代表的なものにワイエルシュ
トラス関数､高木関数(HataandYamaguti,1984)などがある｡最近､カント-ル集合上で連続
でいたるところ微分不可能と呼べるような関数の例が見つかった(R6sslerandR6ssler,1992)0
そこで､まずカント-ル集合上で連続(特異連続と呼ぶ)な関数の定義を与え､カント-ル集合
上で定義された関数の微分可能性をデイニ微分(ルベーグ積分の入門書を見よ｡テンプルの本が物
理学者むけの良書である｡Tit血marshも見よ｡)を使って定義し､上記の関数が実際に特異連続
で微分不可能であることを示した(TsudaandYamaguchi,1998)｡また､特異連続で微分不可能
な関数のグラフがアトラクターになるような力学系の例を構成した(R6ssler,Knudsen,Hudson
andTsuda,1.995)oこれは､スメイルのソレノイドを拡張したものになっているO 構成した系は
公理A力学系と呼ばれる数学的には性質の良い系であるが､応用上はあまり面白くない｡そこで､
神経回路網でこのような特異なアトラクターを生成するものを作り､コンピューターシミュレー
ションを行った(上記TsudaandYamaguchi,1998)｡ここで､カント-ル集合上での情報のコー
ド(符号化)とデコード(復号化)という新しい情報概念が得られた｡また､このような特異なア
トラクターを生成する力学系の構成方法を部分的に明らかにした｡縮小型力学系とカオス力学系
の斜積変換で､カオス力学系が独立変数である場合である｡ここで､斜積変換(SkewProduct)を
2変数の場合に直感的にいうと､一方の変換に依存して他方の変換が決まるものである｡特異連
続でいたるところ微分不可能なアトラクターとカオス的遍歴が関係する可能性も議論されている
(Tsuda,1996)
(引用終り) >>414
おっちゃんです。
>ジハードでもないんだよね、こちらは・・（＾＾
>時枝のときと同じで、「納得できないから、納得できない」と言っているだけのことだよ
ジハードを聖戦や正義のための戦争と解釈しているようだけど、
ジハードって、本来はイスラム教の神(アッラー)を信じる
イスラム教信者(ムスリム)全員がする行いの中の1つで、「努力」って意味だよ。
日本では、いつの間にか、国中に間違った意味の「聖戦」が広く知れ渡っているけど。 >>414
つまりね、ジハードを「聖戦」と解釈するのは大きな間違いで、正しくは「努力」と解釈することになる。 ＞”デイニ微分(ルベーグ積分の入門書を見よ｡”か・・
＞おれは、ほんとに勉強不足だな〜（＾＾
かっこつけんな、お前は解析概論の1章からだｗ ￥さんのダチの山上 滋先生より下記
http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/integral/integral2007.pdf
ルベーグ積分速講 山上 滋 Ibaraki University 2007 年 5 月 23 日
(抜粋)
とうとうやって来ました「ルベーグ積分」。避けていたわけではないのですが、できればあまりしたくない
というのが本音でした。こういった類の授業を積極的に担当したいと思う人は、きっと良心的な先生なので
しょう。不良教師の一人としては、「教えて身につくものでなし」という繰言をつぶやくだけです。ただささ
やかな救いは、以前から、そういった状況に立ち至った場合に試してみたいと思っていたアイデアがあったこ
とでしょうか。
いわゆるルベーグ積分の構成をPeano-Jordan-Borel 路線の流れのなかでLebesgue が達成したように、
「測度」の概念自体はとても素朴な感じがします。できるだけ沢山の図形に面積を付与したいということなの
で。技術的なレベルの違いはあっても、Archimedes の昔からあった発想の自然な延長線上にあるわけで、あ
る意味正統な方法でもあったと言えるでしょう。
一方で、積分なるものは、Gallilei, Pascal, Torricelli, Fermat 等の錚々たる達人の手を経てNewton・
Leibniz によって最初の集大成がなされました。その後も、微積分の発展に伴って概念の精密化への要求が高
まり、Cauchy によって、今ある微積分の内容がほぼ確立しました。もちろん、その中には、和の極限として
の積分の定義も含まれています。
さて、測度（面積・体積）と積分ですが、「にわとりと卵」の例えにも似て、お互いが他を規定するといっ
た表裏一体の関係にあります。面積を計算しようと思ったら積分に訴えるのが常道ですし、一方、積分は、対
象となる関数のグラフの与える図形の面積とみなせるわけで、どちらがより本質的であるとは一概に言えま
せん。
つづく >>450 つづき
現在広く行われているルベーグ積分の導入方法は、測度論から入り積分の諸性質に至るという、測度優先論
が多数派を占めているようです。これは、ひとつには、現代確率論が、測度論を基礎に据えることで長足の進
歩を遂げた、という事情が反映していることに理由があるのでしょう。実際、世にある積分論の教科書は、確
率論の専門家の手になるものが多いように思われます。
翻って、もうひとつの方向性である「積分から測度」ですが、これも実は、ルベーグ積分論の比較的初期の
段階でDaniell 等によって確立されています。この方法の特色は、積分の諸定理に至る道程をかなり短縮でき
る点にあります。「積分の計算・評価が効率的かつ安全にできれば、測度論はあってもなくても良い」といっ
た利用者には、福音となり得るものでしょう。そこまで功利的にならなくても、関数主体の方法は、測度を導
入する上でも教育的に優れた点があるように思っておりました。この「積分から測度へ」というスローガンの
下、用意したのが以下の講義ノートです。学生の皆さんには、モルモットになって貰うようで、申し訳ない気
もしますが、しばらくお付き合いください。
参考書をいくつか挙げておきます。
つづく >>451 つづき
11 Postscript
もともと、このノートは「数学が不得意な数学科の学生」をイメージして用意したものであるが、いみじく
も過去の授業アンケートで指摘されたように、工夫が空回りしているのかも知れぬ。一般の位相空間ではな
く、敢えて距離空間に限定したのもそういったことの反映である。かつてDieudonne で学んだ際、その構成
に泥縄式の印象を持ったものであるが、今は、深い意図があったのやも知れぬと思っている。
上で数学が不得意云々と書いたのは、皮肉でも何でもなく、本心から同情あるいは共感を覚えるからであ
る。数学が得意というか好きで好きでたまらないような人は、私が相手をするまでもない、勝手にするだけで
ある。
しかし、ここで少し欲を吐き出すと、待てよ得意な学生がこれを読んだって悪くはないのではないか、そう
いう連中は位相空間なんかも好きでたまらないはずであるから、距離空間という限定詞を位相空間に置き換え
て、ついでに証明なんかも好みの形に書き直して読めば、多少は楽しんで貰えるのではないか。測度論の証明
を自ら考え出すこと（そういうとんでもないことを実行してしまう人が必ずいるのです）を思えば、楽勝では
ないかと。ついでにRadon-Nikodym なんかも積分論的に格調高く書き直して貰えると、数学が不得意な数
学教員としては、教師冥利に尽きるというものである。
(引用終り)
以上
（参考）
http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/teaching.html
講義ノート 山上 滋
授業のために用意したノートです。
学生の自習用に公開するもので、詳しい目の本と併用するとよいでしょう。
・ルべーグ積分
http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/
Shigeru's Scratchy Shelf
This is a webpage on mathematics and related topics maintained by YAMAGAMI Shigeru
under the support of Department of Mathematical Sciences, Ibaraki University.
Last modified: 2009/10/05 >>447-448
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう（＾＾ >>450
>http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/integral/integral2007.pdf
>ルベーグ積分速講 山上 滋 Ibaraki University 2007 年 5 月 23 日
ここには、デイニ微分が出てこないようだ（＾＾ >>430
＞後出し後出し
＞おっさのウソ、分り易くていいわ（＾＾
＞「じゃ、そう書いておけ」ってことよ
絶対に書かない。「リプシッツ」という余計な言葉を持ち出して散々トンチンカンな間違いに陥っていたゴミクズに、
そこで新しく「ディニ微分」という余計な言葉を俺の方から差し出すことに何のメリットがあるんだ？
「 limsup を計算するのに余計な言葉は必要ない。定義に沿って機械的に計算するだけ 」
と何度も書いただろ？そういうスタイルで議論してきた俺が、
俺の方から新しく「ディニ微分」という言葉を持ち出すわけがないだろ。
まあ、俺が差し出したリンク先にはウッカリ書いてあったようだがなｗ
そして案の定、お前はディニ微分というキーワードから
＞”f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。”とあるじゃない！！（＾＾
とか
＞”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．”
＞これに較べれば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾
などという、例の定理とは全然違う主張を引っ張ってきて、「この主張は例の定理と(ほとんど)同じことを言っている」
などと大きな勘違いを起こしているのである。となると、結局は >>404-407 の話に帰着する。
そして、スレ主はまだ >>404-407 に返答していない。 >>432
＞おっさんの定義と、ディニ微分の定義との違いを、対比して教えてくれ（＾＾
＞「絶対値の有無」は不要。自明だから。「limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違い」をきちんと説明してほしい
R上のディニ微分には４つの種類がある。それは
D^{-}f(x)：＝ limsup[y↑x] (f(y)−f(x))/(y−x)
D^{+}f(x)：＝ limsup[y↓x] (f(y)−f(x))/(y−x)
D_{-}f(x)：＝ liminf[y↑x] (f(y)−f(x))/(y−x)
D_{+}f(x)：＝ liminf[y↓x] (f(y)−f(x))/(y−x)
の４種類である。R上のディニ微分と言えば、あくまでもこの４種類の量のことを指す。この量は明らかに
Af(x) ＝ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ (>>404より)
とは完全一致しない。俺が言っている「ディニ微分そのものではない」とはそういう意味
(４つのディニ微分のいずれとも完全一致しない、という意味)である。もはや数学ではなく、国語の問題である。
一方で、「ディニ微分の類似品ではあるが」とも書いた。これは、４つのディニ微分でやろうとしている操作を、
Af(x) においては絶対値つきで統括して いっぺんにlimsup を取ったような形になっていることを指して
「類似品」と書いた。実は
Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }
が成り立つはずなので、この点からも、Af(x)はディニ微分の類似品であると言える。 >>439
＞下記、斎藤新悟先生のテキストの
＞”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．”
＞などは、おっさんの定理に近いかもな（＾＾
＞これに較べれば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾
ぜんぜん強くない。というか、無関係である。既に書いたことだが、
「集合 A が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」とき、
A のことを第一類集合と呼ぶ。よって、スレ主が言っていることは
「 系 1.5 よりも、"R−Bf は第一類集合である" という条件の方が強く見えるぞ」
ということである。一方で、第一類集合とルベーグ測度の間には、
特別な関係性は無いことが知られている。より具体的に言うと、
・ 第一類集合であって、ルベーグ測度がゼロであるもの・正であるもの、がそれぞれ存在する
ことが知られている。よって、{x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} がゼロ集合であろうとなかろうと、
"R−Bf は第一類集合である" という条件とは無関係である。
結局、お前のようなゴミクズに新しいキーワードを与えると、このように次から次へと無関係な主張を持ち出して、
「同じ主張だろう」とトンチンカンな発言を連発し出すのである。だから俺は、余計な言葉は使わないのである。
お前にとっては、ディニ微分が「後出しのウソ」に見えるのだろうが、俺は実際に既に知っていたし、
手元にある文献の名前と記載ページも >>424 で明記したし、「スレ主の数々のトンチンカンな行為を踏まえて、
余計な言葉は使わなかった」とも言っているのである。
これだけ明確な理由が揃っていてウソつき呼ばわりされる筋合いは全く無い。 ここで、おバカのスレ主にも分かりやすいように、例の定理から即座に従う、
以下の定理を紹介しておく。(ここでは「定理２」と書くことにする)
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理２：
f：R→R は各点で微分可能とする。このとき、ある x∈R に対して Lips(x, f) は真である。( Lips(x, f) の定義は >>406 )
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
なぜこの定理２が成り立つかというと、f が各点で微分可能なら B_f＝R となるので、
R−B_f＝φ となり、よって R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるので、
例の定理が適用できて、ゆえに「定理２」が成り立つのである。一方で、スレ主が引用した
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
f：R→R は、任意の x∈R に対して Lips(x,f) が真であるとする。
このとき、任意の x∈R に対して f'_+(x) は有限値である。
(ちなみに、任意の x∈R に対して Af(x) は有限値である、という主張も言える。)
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
もしくは
＞”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．”
という主張からは、定理２は全く出て来ない。もし出てくるというのなら、実際にやってみよ。
スレ主の引用した主張をそのまま適用しても出てこないし、対偶を取っても出てこない。
ついでに言うと、スレ主の引用した主張とは無関係に定理２を直接的に示そうと思っても、
スレ主の力量では それさえも不可能のはず。なぜなら、定理２は「例の定理」と同じく、
ベールのカテゴリ定理を経由するくらいしか証明手段が無い(はず)だからだ。 >>456-459
おっさん、必死で考えた言い訳がそれか？
まあ予想の範囲だよ（＾＾
「Af(x) においては絶対値つきで統括して いっぺんにlimsup を取ったような形になっていることを指して
「類似品」と書いた。実は
Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }
が成り立つはずなので、この点からも、Af(x)はディニ微分の類似品であると言える。」
それが、実は定義だろ？
おっさんの
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf(k) :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< k }”
これの定義と、”Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }”とが（＾＾ おれ的には、最初から
定義、”Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }”と、書いておけ！
ってことさ（＾＾ >>461
いやいや、ちょっと間違えた（＾＾
Bf(k) :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< k }だから
limsup は、不要だろ？
Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜ } で、良いはずだろ？（＾＾ >>462 訂正
limsup は、不要だろ？
↓
liminf は、不要だろ？
（＾＾ >>460
＞それが、実は定義だろ？
息を吐くように間違えるゴミクズ。
Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }
という等式は定義ではなく、定理である。limsup と liminf の基本的な性質から出る。
＞Bf(k) :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< k }”
Bf(k) などという集合を定義した覚えはない。ただし、その集合を使えば
Bf＝∪[k＝1〜∞] Bf(k) と書けるので、Bf(k) を使っても問題はない。
>>461
＞おれ的には、最初から
＞定義、”Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }”と、書いておけ！
＞ってことさ（＾＾
息を吐くように間違えるゴミクズ。
Af(x) の定義はあくまでも Af(x) ＝ limsup[y→x]｜(f(y)− f(x)) / (y − x)｜ である。
ただし、定理として Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }
という等式は成り立つので、こちらを定義として採用しても理論上は問題は起きない。
ただし、こちらを採用した場合、例の pdf の「 補題1.5 」の証明が面倒くさくなるので、
Af(x) ＝ limsup[y→x]｜(f(y)− f(x)) / (y − x)｜ という最初の定義の方が すっきりする。
>>462
＞Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜ } で、良いはずだろ？（＾＾
息を吐くように間違えるゴミクズ。その２種類だけじゃダメだよ。４種類すべてを使って初めて
Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }
という等号が成り立つ。liminf も必要なんだよ。 以下で、スレ主の２種類だけではイコールにならない具体例を挙げる。
f(x)＝ 0 (x≦0), x (x＞0, x は有理数), −2x (x＞0, x は無理数)
として f：R→R を定義すると、
f(y) / y ＝ 0 (y＜0), 1 (y＞0, y は有理数), −2 (y＞0, y は無理数)
であるから、
Af(0)＝limsup[y→0]｜(f(y)−f(0))/(y−0)｜＝ 2
となる。また、
D^{-}f(0)＝ limsup[y↑0] (f(y)−f(0))/(y−0) ＝ 0
D^{+}f(0)＝ limsup[y↓0] (f(y)−f(0))/(y−0) ＝ 1
D_{-}f(0)＝ liminf[y↑0] (f(y)−f(0))/(y−0) ＝ 0
D_{+}f(0)＝ liminf[y↓0] (f(y)−f(0))/(y−0) ＝ −2
となる。特に、
max{ ｜D^{-}f(0)｜, ｜D^{+}f(0)｜ } ＝ 1
max{ ｜D^{-}f(0)｜, ｜D^{+}f(0)｜, ｜D_{-}f(0)｜, ｜D_{+}f(0)｜} ＝ 2
となるので、この例では
Af(0) ＝ max { ｜D^{-}f(0｜, ｜D^{+}f(0)｜ }
という等号が成り立たない。しかし、
Af(0) ＝ max{ ｜D^{-}f(0)｜, ｜D^{+}f(0)｜, ｜D_{-}f(0)｜, ｜D_{+}f(0)｜}
という等号は成り立つ。
limsup, liminf の計算すらマトモに出来ない おバカのスレ主には、
この程度ですら難しすぎて全くの想定外だったのだろう。 だから言っただろ？
一年生向け教科書の勉強が終わるまでROMってろと >>464
ああ、了解！
それ、やっぱり、リプシッツ連続類似だね（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
リプシッツ連続
(抜粋)
写像がリプシッツ連続であることの同値な別定義として、定数 K ? 0 が存在して、
d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))／d_{X}(x_{1},x_{2})}}＜＝ K (∀ x_{1},x_{2}∈ X)
を満たすこととすることもできる。
(引用終り) >>466
ご苦労さん（＾＾
”f(x)＝ 0 (x≦0), x (x＞0, x は有理数), −2x (x＞0, x は無理数)”か
妙に病的な函数を作ったんだね。えらいね。（＾＾
で、その話は了解したが、
良い機会だから聞くが、
その不連続函数は
お前の定理
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、・・”
当てはまるのか、当てはまらないのか？
もし、当てはまらないとすれば、なぜか？ 理由を述べよ！
自分の出した例だから、答えられるだろ？（＾＾ >>458
>＞これに較べれば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾
>
>ぜんぜん強くない。
バカなおれでも、”ディニ微分”というキーワードでいろいろ調べて文献を読むと・・、
ちょっと智恵がついてきたな〜（＾＾
えーと f(x)=1/x という函数は、ｘ＝０で不連続なんだが、これちょっと面白いよ
D^{-}f(x) at x=0 ＝-∞
D^{+}f(x) at x=0 ＝-∞
（これ、f'＝-1/(x^2)より従う）
これは良いだろ？
ところで、 f(x)=1/xは、ｘ＝０でこのままでは定義されない
（∵そもそも1/0は数学としては許されないし、極限でもx→+0とx→-0とで異なる値を取る）
従って、
f : R → R￣ として、（R￣は、拡張実数）
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置くと、R−Bf は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できない！
正確には、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で被覆されるべき！
同様のことは、函数 f(x)=1/x^n (n>1で成り立つ)
だから、おっさんの「定理」の条件”内点を持たない閉集合で被覆できる”は、レアものじゃないのかな〜？（＾＾
そういう気がしてきたよ（＾＾
以上 >>469 追加
””f(x)＝ 0 (x≦0), x (x＞0, x は有理数), −2x (x＞0, x は無理数)”か”
のx＞0の部分な
「その不連続函数は・・」と聞いているから、子供じみた逃げなしないとおもうが
念のためな（＾＾ >>471 追加の追加
子供じみた逃げをされないように縛っておくわな（＾＾
”f(x)＝ x (x は有理数), −2x (x は無理数)”
この病的な不連続函数が
お前の定理
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、・・”
に、当てはまるのか、当てはまらないのか？
もし、当てはまらないとすれば、なぜか？ 理由を述べよ！
自分の出した例だから、答えられるだろ？（＾＾ >>469
＞その不連続函数は
俺が持ち出した f に対しては、x＞0 なる任意の x で Af(x)＝＋∞ が成り立つので、特に
(0, ＋∞) ⊂ R−B_f
が成り立つ。よって、R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算無限和で被覆できない。
>>470
＞従って、
＞f : R → R￣ として、（R￣は、拡張実数）
＞Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
＞と置くと、R−Bf は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できない！
息を吐くように間違えるゴミクス。f(x)＝1/x という関数は、このままでは x＝0 で値が定義されない。
そして、f(0) の値を定義しないままで居るつもりなら、その関数は f：R → R￣ ではなく
f：R−{0} → R￣
なのであって、例の定理の適用範囲外である。一方で、f(0) の値は何でもいい人工的に設定して f：R → R￣
という写像にした場合には、この f に対して R−B_f は例の被覆が可能である。なぜなら、
・ x＞0 なる任意の x で Af(x)＝1/x^2
・ x＜0 なる任意の x で Af(x)＝1/x^2
が成り立つので、特に R−{0} ⊂ B_f が成り立つ。よって、R−B_f ⊂ {0} が成り立つ。
{0} は内点を持たない閉集合であるから、以上より、「被覆できる」。 >>470
＞だから、おっさんの「定理」の条件”内点を持たない閉集合で被覆できる”は、レアものじゃないのかな〜？（＾＾
全くレアではない。>>459 を読み直せ。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理２：
f：R→R は各点で微分可能とする。このとき、ある x∈R に対して Lips(x, f) は真である。( Lips(x, f) の定義は >>406 )
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
なぜこの定理２が成り立つかというと、f が各点で微分可能なら B_f＝R となるので、
R−B_f＝φ となり、よって R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるので、
例の定理が適用できて、ゆえに「定理２」が成り立つのである。
・・・という議論の途中の部分を読めば分かるように、f が各点で微分可能なら
B_f＝R
となるので、特に R−B_f＝φ となり、よって R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる。
(丁寧に書くと、内点を持たない閉集合 K を何でもいいから1つ取れば、φ⊂K という自明な包含により
R−B_f ⊂ K が成り立つので、被覆できている)。
さらに、既に述べたように、スレ主が持ち出した f(x)＝1/x という関数も、原点での値を
何でもいいから人工的に設定して f：R → R￣ とするならば、R−B_f は例の被覆が「できる」。 被覆できる例を量産するために、スレ主が大好きな「可算無限集合」に絡めて
１つ書いてみるか。
・ f：R→R は、微分不可能な点が高々可算無限個しかないとする。
このとき、R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算無限和で被覆できる。
これを使うと、スレ主が持ち出した f(x)＝1/x は一瞬で解決する
(f(0)の値を人工的に設定して f：R → R￣ にする、という前提のもとで)。
なぜなら、この f は x＝0 以外の各点で微分可能だからだ。 何から何まで人に聞くなよｗ 自分で勉強しろｗ 厚かましい >>473
>俺が持ち出した f に対しては、x＞0 なる任意の x で Af(x)＝＋∞ が成り立つので、特に
>(0, ＋∞) ⊂ R−B_f
>が成り立つ。
なるほど。あんた力あるね。（まあ、ディリクレ函数に類似の範囲だが・・）
では、追加質問で悪いが、
変形トマエ函数
f(x)＝ 1/q^n (x は既約有理数p/qで、 n ＝ 2), 0 (x は無理数) ではどうやって適用するのか？
各点毎の”内点を持たない閉集合で被覆できる”か否かの判定はどうやるのか？ >>473
なるほど、あんた力あるね
しかし、f : R → R￣ なら
f(x)＝1/x は
lim x→-0 f(X) ＝-∞
lim x→+0 f(X) ＝+∞
と解するべきと思うがね
ならば、その微分f’(x)=-1/x^2で
lim x→-0 f’(x) ＝+∞
lim x→+0 f’(x) ＝+∞
これらは、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で成り立っていると解すべきと思うけどね
まあ、これは定義の問題でもあるかも知れないが・・
（ここらが、曖昧になるから、イプシロンデルタを使う話になるのだが）
>>475
>なぜなら、この f は x＝0 以外の各点で微分可能だからだ。
微分可能（滑らか）ということと、微分係数が∞に発散することとは違うだろ
f(x)＝1/x は、双曲線だから、曲線を原点を中心に回転させれば、微分係数は、発散しない >>477
＞f(x)＝ 1/q^n (x は既約有理数p/qで、 n ＝ 2), 0 (x は無理数) ではどうやって適用するのか？
＞各点毎の”内点を持たない閉集合で被覆できる”か否かの判定はどうやるのか？
知らない。
俺は「どんな f に対しても簡単に判定可能なアルゴリズムを見つけた」と主張しているわけではないからな。
>>478
＞lim x→-0 f’(x) ＝+∞
＞lim x→+0 f’(x) ＝+∞
その2つの式は正しい。だが、B_f とは無関係。お前は未だに何かを勘違いしている。
＞これらは、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で成り立っていると解すべきと思うけどね
＞まあ、これは定義の問題でもあるかも知れないが・・
原点を含む十分小さな開区間 (−ε, ε) の中の任意の点 x で
f'(x)＝＋∞
が成り立つというのであれば、(−ε, ε) ⊂ R−Bf が成り立つので、
R−Bf は例の被覆が「できない」ことになる。しかし、実際には、x≠0 なら常に
f'(x) ＝ −1/x^2
であり、ゆえに
Af(x) ＝ 1/x^2
であり、ゆえに R−{0} ⊂ Bf であり、ゆえに R−Bf ⊂ {0} であり、
ゆえに、R−Bf は例の被覆が「できる」のである。 >>478
＞これらは、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で成り立っていると解すべきと思うけどね
＞まあ、これは定義の問題でもあるかも知れないが・・
既にレスは書いたが、ここについては、次のような言い方をしてもよい。
まず、お前の主張が正しいとすると、
(−ε, ε) ⊂ R−Bf
が成り立つことになる。R−Bf ＝ { x∈R｜Af(x)＝＋∞ } に注意して、
(−ε, ε) ⊂ { x∈R｜Af(x)＝＋∞ } … (1)
が成り立つことになる。では、x＝ε/2 としてみよう。
このとき、x∈(−ε, ε) だから、(1) により
Af(x)＝＋∞
が成り立つことになる。一方で、f'(x)＝−1/x^2 だから、Af(x)＝｜f'(x)｜＝1/x^2 であり、
Af(x)＝＋∞ に矛盾する。よって、お前の主張は自動的に間違いである。 >>479-480
了解
話は飛ぶが
昔から、数学素人が、「定理を証明しました」というとき
１．従来の数学の範囲の定理の再証明（新しい証明の場合もある）
２．（あるいは）素人の勘違い
このどちらかと、99％相場が決まっている（1％新定理があるかもしれないが）
で、いままでのやり取りから、あんた素人の数学おたくで、相談すべきレベルの高い友達（あるいは指導者）がいないね
だから、自分の定理の意味や、従来の数学理論との関係や整合性を、検証しようという意識が薄いね
一方、プロは自分の証明した定理が、新規かどうか？ そこが命だし、自分の定理の意味や、従来の数学理論との関係や整合性を、きちんと検証するものだ
上記の１かどうかの見極めが、まず先だ。例えば、>>439 「Denjoy-Young-Saksの定理」から、導かれるとか、うんぬんとか
そういうことが無ければ、99％は、 ２の”素人の勘違い”だろう。（１％の可能性は担保しておくが）
そんなものに、うっかり乗せられたら、えらいことだよ〜！！（＾＾
まあ、年末で忙しいので、ゆっくりやるよ
が、あんた、ピエロやHigh level peopleと違って、レスポンスのレベルが高いので、遊び相手としては面白いわ（＾＾
まず、”ディニ微分”というキーワードが見つかったので、「１．従来の数学の範囲の定理の再証明」の線を調べつつ
それ（１項関連）が見つからなければ、その過程で「２．（あるいは）素人の勘違い」ってことがはっきりするだろう >>481
新規の定理って言ってないじゃん
まったく話が成り立たねー Ulisse Dini (14 November 1845 〜 28 October 1918) was an Italian mathematician and politician, born in Pisa.
https://en.wikipedia.org/wiki/Ulisse_Dini
いまさら、ディニ微分使った新定理を
素人が？
その見極めが先だろ >>481
＞例えば、>>439 「Denjoy-Young-Saksの定理」から、導かれるとか、
ぜんぜん導かれない。息を吐くように間違えるゴミクズ。その定理は
「 ほとんどすべての x ∈ (0, 1) に対して〇〇が成り立つ 」
という書き方の定理である。一方で、>>458 で既に述べたように、
・ 第一類集合であって、ルベーグ測度がゼロであるもの・正であるもの、がそれぞれ存在する
ことが知られている。よって、「ほとんどすべての x で〇〇が成り立つ」という性質が
言えようが言えまいが、例の定理とは関係が無い。
>>483
ご老人よ、何度も同じことを言わせるな。「新発見ではない」と何度も言っている。
我々が文献を見つけてないだけ。
strradle lemma ＋ ベールのカテゴリ定理
で終わるような演習問題レベルの定理に、新発見もクソもない。
息を吐くように間違えまくるゴミクズが いつまでも騒ぎ立ててるだけ。 「こんな定理を証明しました。これが実際の証明です」
普通の数学徒の反応：
へえ、正しいですね(ま、演習問題レベルのようだし、こんなもんでしょう)。
スレ主の反応：
ワタクシの直観ではこの定理は成り立たない (←でも反例は提示できない)
これが反例になるのではないか (←ぜんぜん反例になってない)
この定理からすぐに従うのではないか (←ぜんぜん関係のない定理)
こんな定理が新発見の定理なわけがない (←誰も新発見だとは言ってない)
この経過を見ると、最初は「反例」ばかりを考えていたスレ主が、いつの間にか
「この定理からすぐに従うのではないか」という真逆の方向に舵を切りつつあることが分かる。
こんな定理が新発見のわけがないので、探せばいつかはピッタリの定理が見つかるだろうが、
「間違っている」とイチャモンをつけていたスレ主にとっては、ピッタリの定理が見つかった時点で
スレ主の負けである。つまり、スレ主は自分から負ける道を歩きつつあるという皮肉ｗ こんなにも丁寧で理路整然とした説明を長々と受けておきながら、
実質2ページの短い証明すらまともに読めず（limsupすら知らないという笑）、
くだらないイチャモンをつけまくってるスレ主は数学板史上最悪のクズ野郎である >>481
> 99％は、 ２の”素人の勘違い”だろう。（１％の可能性は担保しておくが）
いままでのところを整理しておこう
・証明を読むだけが数学ではない
・数学は理論体系である
・ある定理が、数学の理論体系の中に、どう位置付けられ、他の定理との関係も理解・把握しておくことが非常に大事だ
つづく >>488 つづき
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
・ディニ微分関連で
lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜が、４つのディニ微分を使って
Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ } と表わされることがはっきりした（>>464）
・と、同時に、リプシッツ連続との関係も明らかになった（>>468）
つづく >>489 つづき
補集合 R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる とは何だろうか？
・いま、考えている通常のRにおいて、「内点を持たない閉集合」とは、孤立する１点から成る集合にほかならない
（参考：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%A4%E7%AB%8B%E7%82%B9 孤立点
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E9%9B%86%E5%90%88 単集合（一元集合））
・被覆とは、証明のPDFから、「S ⊆ iFi」である（ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明PDF ）
・いま、補集合 R−Bfを場合分けすると
１）有限個であれば、Bfが、「ある開区間(a, b) 上でリプシッツ連続である」は自明
２）可算無限個であっても、それが、ある区間（c,d）などに偏在していれば、「ある開区間(a, b) 上でリプシッツ連続である」も自明
３）この定理で、クリティカルなのは、可算無限個が、（例えば有理数などのように）R中に稠密分散されているとき。
言い換えれば、孤立する１点から成る集合で、R中に稠密分散されている例として、有理数や代数的数があるが、
もし、このような状態があれば、「ある開区間(a, b) 」は取れないから、それは反例となる。
４）つまり、この定理が成立すれば、定理の前提であるディニ微分関連の部分（それはリプシッツ連続とも関係している）で、「”< +∞”を満たさない」部分は
「R中に稠密分散され得ない」ということになる（∵R中に稠密分散される状態が実現すれば、「(a, b) 上でリプシッツ連続である」が言えない）
つづく >>490 つづき
さて、定理1.7 (422 に書いた定理)のそもそもの目的は、変形トマエ函数（Ruler Function）関連で、
「系1.8 有理数の点で不連続、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」を導くことであった
変形トマエ函数（Ruler Function）関連については、過去スレで取り上げているが、いま一度整理すると
（長いが、あとのために抜粋する）
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
（注：下記で、f^rなどとして、ｒの指数による類別をしている）
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is
irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
It is well-known that f is continuous at each irrational
point and discontinuous at each rational point.
** For each r > 2, f^r is differentiable on a set that
has c many points in every interval.
The results above can be further refined.
** For each 0 < r < 2, f^r satisfies no pointwise
Lipschitz condition. Heuer [15]
** For r = 2, f^r is nowhere differentiable and
satisfies a pointwise Lipschitz condition on
a set that is dense in the reals. Heuer [15]
** For r > 2, f^r is differentiable on a set whose
intersection with every open interval has Hausdorff
dimension 1 - 2/r. Frantz [20]
つづく >>491 つづき
Using ruler-like functions that "damp-out" quicker
than any power of f gives behavior that one would
expect from the above.
Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that
eventually majorizes every power function. Define
f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and
f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively
prime integers.
** f_w is differentiable on a set whose complement
has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)
Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)
つづく >>492 つづき
---------------------------------------------------------------
[4] Bohus Jurek, "Sur la derivabilite des fonctions a
variation bornee", Casopis Pro Pestovani Matematiky
a Fysiky 65 (1935), 8-27. [Zbl 13.00704; JFM 61.1115.01]
It appears that Jurek proves some general results
concerning the zero Hausdorff h-measure of
sets of non-differentiability for bounded
variation functions such that the sum of the
h-values of the countably many jump discontinuities
is finite (special case: h(t) = t^r for a fixed
0 < r < 1). General "h-versions" of the ruler
function seem to appear as examples, and V. Jarnik's
more precise results about the Hausdorff dimension
of Liouville-like Diophantine approximation results
are used.
This paper is on the internet at
http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/cache/toc/D98714.html
http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?ht=VIEW&;did=D98723
つづく >>493 つづき
---------------------------------------------------------------
[15] Gerald Arthur Heuer, "Functions continuous at the
irrationals and discontinuous at the rationals",
American Mathematical Monthly 72 #4 (April 1965), 370-373.
[MR 31 #3550; Zbl 131.29201]
Let f(x) = 0 if x is irrational, f(p/q) = |1/q| if
p and q are relatively prime integers, and f(0) = 1.
We say that a function g is Lipschitzian at x if there
exists a neighborhood U of x and a number M > 0 such
that |g(x) - g(y)| <= M*|x - y| for all y in U.
THEOREM 2: The function f^r is: (A) discontinuous at the
rationals for every r > 0; (B) continuous but
not Lipschitzian at the Liouville numbers, for
every r > 0; (C) differentiable at every irrational
algebraic number of degree <= r-1, if r > 3.
THEOREM 3: The function f^r is differentiable at every
algebraic irrational number if r > 2 (and, by
Theorem 1, at none if r <= 2).
THEOREM 4: The function f^2 is Lipschitzian but not
differentiable at the points of the set
{(1/2)*[m - sqrt(d)]: m is an integer
and there exists an integer n such that
d = m^2 - 4n is positive but not a perfect
square} . [This set is dense in the reals.]
THEOREM 5: If g is a function discontinuous at the
rationals and continuous at the irrationals,
then there is a dense uncountable subset
of the reals at each point of which g fails
to satisfy a Lipschitz condition.
つづく >>494 つづき
(p. 373) "We omit the proof, because it is rather lengthy,
and one would hope to generalize the theorem by replacing
the rationals by an arbitrary dense set, and possibly to
show that the set of points at which g fails to be
Lipschitzian is a residual set."
NOTE: Sengupta/Lahiri had essentially obtained this result
in 1957 (the points of discontinuity have to form an
F_sigma set, however). See my remark in [13] above.
This result is also proved in Gerald Arthur Heuer,
"A property of functions discontinuous on a dense set",
American Mathematical Monthly 73 #4 (April 1966),
378-379 [MR 34 #2791]. Heuer proves that for each
0 < s <= 1 and for each f:R --> R such that
{x: f is continuous at x} is dense in R and
{x: f is not continuous at x} is dense in R,
the set of points where f does not satisfy a
pointwise Holder condition of order s is the
complement of a first category set (i.e. a co-meager
set). By choosing s < 1, we obtain a stronger version
of Sengupta/Lahiri's result. By intersecting the
co-meager sets for s = 1/2, 1/3, 1/4, ..., we get
a co-meager set G such that, for each x in G, f does
not satisfy a pointwise Holder condition at x for
any positive Holder exponent. (Heuer does not
explicitly state this last result.) A metric space
version of Heuer's result for an arbitrary given
pointwise modulus of continuity condition is essentially
given in: Edward Maurice Beesley, Anthony Perry Morse,
and Donald Chesley Pfaff, "Lipschitzian points",
American Mathematical Monthly 79 #6 (June/July 1972),
603-608 [MR 46 #304; Zbl 239.26004]. See also the last
theorem in Norton [17] below.
つづく >>496 つづき
で、今回の「(a, b) 上でリプシッツ連続である」に関連する部分のみを、さらに抽出すると
[15] Gerald Arthur Heuer先生
THEOREM 4: The function f^2 is Lipschitzian but not
differentiable at the points of the set
{(1/2)*[m - sqrt(d)]: m is an integer
and there exists an integer n such that
d = m^2 - 4n is positive but not a perfect
square} . [This set is dense in the reals.]
THEOREM 5: If g is a function discontinuous at the
rationals and continuous at the irrationals,
then there is a dense uncountable subset
of the reals at each point of which g fails
to satisfy a Lipschitz condition.
かな？
特に、THEOREM 5 変形トマエ函数（Ruler Function）のような、有理数で不連続、無理数で連続なる函数では、
”there is a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.”
だと
だから、（A）”a dense uncountable subset”で、リプシッツ連続は満たさないは、実現できている
では、なぜ、（B）”内点を持たない閉集合の高々可算和”は、実現することができないのか？
[15] Gerald Arthur Heuer先生の（A）と、定理1.7 (422 に書いた定理)の（B）との差！
これを見極めない限り、素人の証明を読んでも仕方が無いと思う
まあ、年末は忙しい
ゆっくりやりましょう（＾＾
以上 >>497 補足
1)THEOREM 5: If g is a function discontinuous at the rationals and continuous at the irrationals, then there is a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.
2)「系1.8 有理数の点で不連続、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」
この二つの比較で、2)の”無理数の点で微分可能”なら、1)THEOREM 5の”continuous at the irrationals”は、満たされる
”there is a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.”から、有理点以外で必ず”at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition”なる（無理）点が存在する
その（無理）点は、微分不能
だから、1)THEOREM 5より、2) 系1.8は、導くことができる
以上 不正の件、洗い出し終わった
[正]Air値→ヤング図
[正]Air値→タワー(平面的フェラーズ盤)
[正]ヤング図→母関数導出
[正]タワー→母関数導出
[正]ヤング図母関数→ P(n,m)互換
[不正]タワー母関数→ P(n,m)互換
考えてみれば分かるけど3次元なのに2次元でやろうとしてる所がヤヴァかったです。
pp(n)ｑ^nでやらなきゃ…ねぇ…
なんかもう疲れたからPP(n)q^nやらずに、
ヤング図ポセットでの成長を考えます。
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