現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48
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“現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”
数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。
皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾ ）
このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾
High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。） ＞limsupも分からないアフォが偉そうなこと言ってやがったんだなあ
スレ主の場合それどころか sup、inf さえ理解してるか怪しい >>243
証明の前に理解できるかの方が重要であると考えられるが。
理解を示せないと正しいかどうかの判断も出来ない。
なぜなら、例えばだが、単位円を分からないやつに単位円を使って1+1=2を証明せよという証明が出来ない事が分かるから。
十分条件ではなく必要条件を満たさないと数学の筆は止まる
君が教えてくれたことだよ？ >>286-290
おっちゃん、どうも、スレ主です。
いつも、熱心な証明ありがとう（＾＾ >>284
あなたは、あまり危機感を持っていないようだが・・
（で、ちょっと逆らうようで悪いが、おれはリプシッツ連続とリプシッツ不連続を使わせて貰うけど）
それで、”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
において、リプシッツ不連続の箇所が、１点から成る閉集合で被覆かどうかは、この定理の価値を決めるキーポイントだと思うようになってきた
１）もし、あなたのお説のように、リプシッツ不連続の１箇所が、常に１点から成る閉集合で被覆できるとすれば、この定理の適用範囲は広い
２）がしかし、リプシッツ不連続の１箇所が、本来１点から成る閉集合で被覆できない（ε近傍などの開集合での被覆）とすれば、この定理の適用範囲は狭い
（もし、１点から成る閉集合で被覆できる場合が少ないとすれば、適用できない場合が殆どだろ）
３）そして、この定理の目的であった、”系1.8 有理数の点で不連続; 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.”について
被覆が１点から成る閉集合でないとすれば、当然ある不連続な有理数の点の近傍の内点の無理数が、リプシッツ不連続になるから、系1.8はそれだけで言えてしまう
４）だから、その”定理1.7 (422 に書いた定理)”の証明文書中に、「リプシッツ不連続の１箇所が、常に１点から成る閉集合で被覆できる」が証明されているべきと思うよ >>292
>1223487+12039874=13263361
>という計算は君の言う「標準テキスト」には載ってないかもしれないが、プロの数学者に見てもらう必要はない。
>それと同じように、ものすごく簡単なことをやっているのだが、
そうなのかね〜
あなたのお話だと、
なんで、普通の不連続の場合のように（参考 >>269 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E 不連続性の分類 ）
”函数のリプシッツ連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）である。またリプシッツ不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である。”
というような記述が、論文なり標準テキストにないのかな？
あなたの話が正しければ、そういう記述があると思うけどね >>284
"「3」の関数の場合：
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＝0 のときは、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ である。
「4」の関数の場合：
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＝0 のときは、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ である。"
ここ大丈夫か？
「 x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。」をいうために、暗黙に”ｙ＜0”としてないか？
「 x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。」をいうために、暗黙に”ｙ＞0”としてないか？
ｙの取り方は、必ずしも、そのよう（”ｙ＜0” or”ｙ＞0”）には限定されないのでは？ >>301
BLACKX ◆jPpg5.obl6 ちゃん、どうも。スレ主です。
レスありがとう
>>303-305を読んでみてね（＾＾ 1年みっちり勉強してからまた数学板に帰ってきたらどう？
スレ主だけレベルが低すぎるよ。 >>305
＞ここ大丈夫か？
＞「 x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。」をいうために、暗黙に”ｙ＜0”としてないか？
＞「 x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。」をいうために、暗黙に”ｙ＞0”としてないか？
＞
＞ｙの取り方は、必ずしも、そのよう（”ｙ＜0” or”ｙ＞0”）には限定されないのでは？
限定してよい。なぜなら、limsup[y→x] g(y) という量は
「 y を x の十分小さな近傍に限定したものとして考えてもよい」
という性質を持つからだ(つまり、lim[y→x] と似た性質を持っている)。
そして、これは limsup の基本的な性質の１つである。標準的な数学書をめくれば、
この性質(もしくは、これと本質的に同じ記述)が必ず書いてある。
ちなみに、この性質が成立するキモとなるのは、
・ 0＜δ_1≦δ_2 ならば sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ_1} ≦ sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ_2} が成り立つ
という、δ＞0 に関する単調性である。さすがに、この程度のことを
いちいちここで詳しく解説することはしないので、あとは自分で勉強せよ。 スレ主は人に標準教科書に書いてあるか聞く前に自分で標準教科書を勉強することだ
数学は人に聞いて「はいそうですか」という訳にはいかない、自分で勉強することが肝要だ
何か小学生に諭してる気分だ >>305
ちなみに、「3」「4」の関数は単純な形をしているので、
俺が >>310 で指摘した「 limsup の基本的な性質 」を経由せずとも、直接的に
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
を導くことが可能である。以下で、「3」の関数の場合を書いておく。
なお、「3」の関数とは、f(x)＝ 0 (x＜0), 1 (x≧0) という関数である。
[ x＜0 の場合 ]
x＜0 なる x を任意に取る。このとき、
sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜|x|/2 } ＝ 0 … (1)
が成り立つことを示す。0＜｜y−x｜＜|x|/2 なる y を任意に取る。このとき、
y ＜ |x|/2＋x ＜ |x|＋x ＝ (−x)＋x ＝ 0 である。すなわち、y＜0 である。
よって、f(x)＝0 かつ f(y)＝0 となるので、｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
これが 0＜｜y−x｜＜|x|/2 なる限り言えるので、確かに (1) が成り立つ。この (1) により、
inf[δ＞0] sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜δ } ＝ 0
が成り立つことが分かる。すなわち、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 が成り立つ。
[x＞0 の場合]
x＞0 なる x を任意に取る。上と同じようにして、やはり sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜|x|/2 } ＝ 0
が成り立つことが分かる。特に、inf[δ＞0] sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜δ } ＝ 0
が成り立つ。すなわち、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 が成り立つ。 >>310
> ちなみに、この性質が成立するキモとなるのは、
>
> ・ 0＜δ_1≦δ_2 ならば sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ_1} ≦ sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ_2} が成り立つ
>
> という、δ＞0 に関する単調性である。さすがに、この程度のことを
> いちいちここで詳しく解説することはしないので、あとは自分で勉強せよ。
こんな基本のキまで溯ることになるとは。。。
スレ主は難しいことをさも分かってるかのように書いて、実はlimsupを分かってないとか洒落にもならないよ。 スレ主はコンパクトがどうのこうのと言ってたのに実はεδ論法すらわかってなかったという前科あり >>310
基本的な確認だが、下記に図があるよ
この図に、同意しますか？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
リプシッツ連続
(抜粋)
図
リプシッツ連続函数に対し、適当な双錐 (白) が存在して、双錐の頂点が函数のグラフ上を移動するように双錐を平行移動するとき、常にそのグラフが双錐の外側 (緑) にあるようにできる。
(引用終り) >>310
>「 y を x の十分小さな近傍に限定したものとして考えてもよい」
基本的な確認だが、
例えば、x＜0側から、x→0に近づくとき、無意識に”x の十分小さな近傍で、「y=0」を含まないように、εを取る”ようにしていないか？
リプシッツ連続を考えるときは、それは上記（>>317）の記述に照らし合わせると、まずくないかい？
（そもそも、”x の十分小さな近傍”は、（x-ε，x+ε）だろ？ x+ε＞0と取れるよ。そうすると、y=0が取れて、f(y)=f(0)=1にできるよ）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%91%E5%82%8D_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)
近傍 (位相空間論)
(抜粋)
距離空間における近傍
距離空間 (X, d) において、X の部分集合 V が X の点 p の近傍であるとは、p を中心とする半径 r の開球体
B_{r}(p)=B(p;r)={x ∈ X ｜ d(x,p)<r }
で、V に含まれるようなものが存在することをいう。
V が X の部分集合 S の一様近傍であるとは、正の実数 r > 0 が存在して、S の任意の点 p に対して
B_{r}(p)={x ∈ X ｜ d(x,p)<r }
が V に含まれるときにいう。
各 r > 0 に対して、集合 S の r-近傍 Sr とは S からの距離が r より小さいような X の点全体の成す集合をいう。これは S の各点を中心とする半径 r の開球体全体の和集合が Sr であるといっても同じである。
従って直接的に、r-近傍が一様近傍であること、および、ある集合が一様近傍であるための必要十分条件が、その集合が適当な値の r に対する r-近傍を含むことであることなどが分かる。
(引用終り) >>318
> 例えば、x＜0側から、x→0に近づくとき、無意識に”x の十分小さな近傍で、「y=0」を含まないように、εを取る”ようにしていないか？
> リプシッツ連続を考えるときは、それは上記（>>317）の記述に照らし合わせると、まずくないかい？
（横レスだが言わせてくれ）
そもそもオマエの独自用語『1点におけるリプシッツ連続』と通常の『リプシッツ連続』は違うだろうに！！！！
もういい加減にしろよ馬鹿者が おっちゃんです。
リプシッツ連続は高度な概念だと思っていたけど、リプシッツ連続って、
大学一年の微分積分の本である 杉浦 解析入門 に書いてあるみたいだよ。
よく分からないけど、杉浦 解析入門 を読めばいいんじゃないかい。 >>319
>そもそもオマエの独自用語『1点におけるリプシッツ連続』と通常の『リプシッツ連続』は違うだろうに！！！！
当然だろ？
（>>303より）
「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」
について（特に”< +∞”の場合）の説明文書は、ほとんどないよ
普通は
「｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< K }」（Kは有限）だよ
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
(抜粋)
写像 f: X → Y がリプシッツ連続（あるいは単にリプシッツ）であるとは、実定数 K ? 0 が存在して
d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))/d_{X}(x_{1},x_{2}) ＜＝ K (∀ x_{1},x_{2}∈ X)}
を満たすときに言う。
(引用終わり)
ところで
些末だが
「（横レスだが言わせてくれ）」は、括弧（）を外して
横レスだが言わせてくれ、 又は、 横レスだが言わせてくれ！
くらいにしてくれないかな？ 括弧（）の意味（定理の当事者との関係性）をつい考えて引っかかるのでね >>320
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう >>322
今になって面白いサイトを見つけたんだけど、この問題は某大学の演習問題だったみたいだよ。 >>320
リプシッツという言葉を見たのは、多分制御理論だった（下記などご参照）
リプシッツは、なんどか見かけたが、あまり興味が無かったので、概略だけでスルーしていた（＾＾
今回のリプシッツで難しいかったのは、特に”< +∞”の場合を扱っているってところだ
ここは、ほとんど成書では、見かけないからね
（参考下記：このPDFの日付が分からないが、なかの歴史を見ると1997年か）
http://www.stannet.ne.jp/kazumoto/sussmann-willems_j.pdf
最適制御の300年：最速降下から最大値原理まで
ヘクターJ. サスマンとヤンC. ウィレムス
(抜粋)
最適制御は１６９７年に誕生した．３００年前のことである．オランダの北に位置する
グロニンゲンという大学街で１６９５年から１７０５年までその地の大学教授であった，ヨ
ハン・ベルヌーイが，最速降下問題の解法を公表した時であった．その１年前から彼は他の
同時代人たちにその問題を解くように挑戦状を叩き付けていたのである．私たちは，１６９
６年と１６９７年の出来事の物語のいくつか? その解法がヨハン・ベルヌーイやニュート
ン，ライプニッツ，チルンハウス，ロピタル，ヨハンの兄のヤコブ・ベルヌーイのような巨
人たちによって提出された時のこと? についてお伝えするつもりである．
経路が存在するということを妨げない．なぜなら，関数
√| y | はx 軸の近くではリプシッツ
ではないからである．（もしその関数がリプシッツであるのなら，常微分方程式の通常の一意
性定理によって，x 軸上にある１点を通るどの解も定数曲線でなくてはならない．）しかしな
がら，系を制御できるようにする同じリプシッツでない性質はまた，これらのすべてがリプ
シッツ参照ベクトル場を必要とするので，ロジャシヴィクツ表現を含む古典的かつ非平滑表
現において最大値原理を適用不能にするのである．
(引用終わり)
http://www.stannet.ne.jp/kazumoto/libraryj.html
Welcome to Dr. Kazumoto Iguchi's World
「井口和基博士と家族のホームページ」
井口和基 (C)2017 >>324 関連
（参考：これも、ちょっと古いが検索ヒットしたので貼る）
http://www.orsj.or.jp/~archive/pdf/bul/Vol.27_01_035.pdf
最適制御理論の動向(1) 坂本実 オベレーションズ・リサーチ 1982
http://www.orsj.or.jp/~archive/
社団法人 日本オペレーションズ・リサーチ学会 アーカイブ集 >>323
おっちゃん、どうも、スレ主です。
「この問題」とは？
正確にいうと？ >>326
有理点で連続、無理点で不連続な実関数は存在しない。
このことを、某大学の演習で扱っていた。
これに関するサイトを見たときは、意外に思って、こんなことがあるのかって驚いたね。
サイトを挙げるのはよろしくないだろうから、やめておくけど。 >>326
つまり原理的には、スレ主の方法論に則って、
文献を挙げることで真偽を判定して解決出来てしまう状態になっている。
信じられないことが起こっている。 >>326
悪い、悪い。
よく見たら、今扱っている問題とは違った。
だけど、やり方がよく似ている。 >>324
私は、確かα-ヘルダー連続の α＝1 のときがリプシッツ連続にあたる
というような感じで出て来たね。一応、微分積分の副読本に書いてはあったけど。
リプシッツ連続やα-ヘルダー連続って、微分方程式とかでやるような概念だろ。 >>327
>有理点で連続、無理点で不連続な実関数は存在しない。
そのまま
キーワード ：有理点で連続、無理点で不連続な実関数は存在しない。
で検索すると
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検索結果
関数の連続性 - 問題が解けません。助けてください。お願いしま... - Yahoo ...
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp ? 教養と学問、サイエンス ? 数学 ? 大学数学
2009/06/22 - 関数の連続性. 問題が解けません。助けてください。お願いします。 f(x)=0 (xが無理数αの時) f(x)=1/q （xがp/qつまり有理数の時） とした時、f(x)が無理数の時は連続で、有理数の時は不連続であることを証明せよ。
ただし、稠密性(?)は用いてよいこととする。 つまり、Rの中にはある有理数について十分に近い無理数が存在しているということである。 稠密性のあたりの意味が全く分からず手に負えません。 できる方!!お願いします。
補足q_εの間にあるアンダーバーみたいなものの意味って何なんですか？
数学の問題です。次の関数が連 ... 回答（2） 2015年12月10日
有理数上で定義された関 ... 回答（1） 2015年4月15日
関数の連続性を調べよ１． １ ... 回答（2） 2012年3月14日
detail.chiebukuro.yahoo.co.jp からの検索結果
連続性と微分可能性について - 新潟工科大学
takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/basic1/data/conti1.pdf
2008/08/26 - 連続性. 3. 0. 1 x y. 図 2: ディリクレ関数 fD(x) のグラフ. これはディリクレ関数と呼ばれるもので正確にグラフに表すことはできないが、
有理. 数、無理数はどんな実数 x の近くにも無数に存在し、よってどの x の近くでも関数は. 0, 1 の値を無限に繰り返し取るので、0 か 1 のどちらか一方の値に x の周りから近づ. くことはなく、
よってすべての x で不連続な関数である。 これを少し作りかえた次のような関数もある。 f1(x) =... 0 (x が無理数のとき). 1 p. (x が有理数でその既約表現が q p. のとき). >>330
おっちゃん、どうも、スレ主です。
私は、制御理論以外ではあまり記憶に残っていないね >>331 関連
これも検索ヒットしたのでご参考まで
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/okamoto.pdf
関数の歴史 - (RIMS), Kyoto University - 京都大学 岡本久
平成20年度(第30回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成20年8月4日〜8月7日開催)
詳しいことは
岡本久・長岡亮介 著
関数とは何か
（近代科学者 2014年刊）
で説明してあります．
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/okamoto.pdf
この関数は, 有理数と無理数. でばらばらに関数値を定義しているが, このようなものですら関数と認めていた
Bolzano には大きな先見. 性を認めざるを得ない (いたるところ不連続な関数を関数と認めたのは Dirichlet が最初であり, Bolzano. はそれより後のことではあるが.)
しかし, 彼のような偉大な思想家でも違いをおかすことはある. たと. えば, 彼は多変数の実関数について, 「各々の変数ごとに連続であれば多変数関数として連続である」と. いう定理を書いているが,
これはもちろん正しくはない. 不思議なことに同じ間違い ...
つづく >>333 つづき
(以下抜粋)
このファイルは公開講座の原稿から文献を抜き取ったものです.
昨今の大学では, 最も重要な知識だけをできるだけ短時間に教育することが最優先されていること
が多く, 数学の発展過程において天才数学者たちがいかに右往左往したか, ということにふれている余裕
がなくなっている. 本稿の目的は, 数学と言えどもその発展には多くの挫折が伴っていることを例示す
ることにある. 同時に, 数学上の発見というものをどう評価するか, という問題が非常に難しいことを指
摘したいと思う. ある命題の証明が誰によってなされたのかを特定することはときとして非常に難しい.
証明が完成されたことを100 点であるとしても, その前に99 点くらいまでもってきた人物がいることが
しばしばある. こういったときに, 99 から100 まで持ってきた人物が栄誉を独り占めすることがいいこ
とだとは思えない. こうした業績評価に関するコンセンサスは現在ではまだできているとはいえないが,
いずれ確立する必要がしょうずるであろう.
数学史の書物は多い. 関数の歴史についても多くの良書がある. たとえば, [?, ?, ?] などを読むと関
数に対する数学者のイメージがどういうふうに変遷してきたのかがわかる. 本稿はすでに定評のある文
献に書いてあることのまとめのようなものであり, 数学史としてのオリジナリティーを主張するつもりは
ない. ただ, 数学史の教科書には関数のグラフがほとんどあげられていないので, 関数の直感的なイメー
ジがつかみにくい. そこで, この講義ではできるだけ多くのグラフを提供することによって聴く人の便宜
を図った.
以下に書いてあることはできるだけ疑いの目をもって読んで欲しい. 数学史の書物・論文には正し
くないことが平気でのっていたりすることがある. 私もついうっかりそうした間違いを犯しているかも
しれない. ２次資料・３次資料の間違いを安易に引き写すことはあってはならないことであるが, なかな
かなくならないものである.
(引用終わり)
以上 >>333
この岡本久先生のPDF、今読んでいるが、面白いよ（＾＾ >>333 関連抜粋
"Rigorous thinking can be an obstacle to creativity.
と述べているが, 筆者もその通りであると思う."
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/okamoto.pdf
関数の歴史 - (RIMS), Kyoto University - 京都大学 岡本久
平成20年度(第30回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成20年8月4日〜8月7日開催)
(抜粋)
Kline[?, 177 ページ] は
In one respect it was fortunate that Weierstrass’s example 20 came late in the development of the calculus,
for, as Picard said in 1905,
“If Newton and Leibniz had known that continuous functions need not necessarily have a derivative, the differential culculus would never have been created.”
Rigorous thinking can be an obstacle to creativity.
と述べているが, 筆者もその通りであると思う.
Bochner 「関数」という観念は, 数学や科学に対して最高級の重要性をもつ数学的対象である. この
観念を記述するには「対応」という言葉を使うのと「関係」という言葉を使うのと二つの主な道
があって, 両方ともよく意味を明らかにしてはくれる. しかし本当をいうと, 関数の観念は定義可
能なものではなく, 定義のつもりでいるもの(would-be definition) も実際は同語反復であるにすぎ
ない. (ボホナー, 科学史における数学(村田全, 訳), みすず書房(1970), S. Bochner, The Role of
Mathematics in the Rise of Science, Princeton University Press (1966) の和訳.) の164 ページ.
Weyl だれも函数とは何であるかを説明することはできない, しかしこれは数学において真に重大な事
柄である. （ヘルマン・ワイル, 数学と自然科学の哲学, 岩波書店(1959) の9 ページ）
(引用終わり) ”ウェーブレット変換は、これまでフーリエ変換ではとらえられなかった各点でのリプシッツ連続性をとらえることができました（[J], [M], [JM], [HT]）。”ですと（＾＾
http://www.araiweb.matrix.jp/semi208/RiemannWavelet1.html
WEB版 現代数学入門講座 Vol. 2 (2016年11月5日）
リーマン関数とウェーブレット 新井仁之（東京大学）
(抜粋)
§3. 連続ウェーブレット変換
1980年代半ば、数学に新たな道具が加わりました。ウェーブレット変換です。ウェーブレット変換は画像処理、あるいは一般に信号処理の分野に大きな進展をもたらしました。これについては別の機会に講義をすることにします。
ウェーブレット変換は、これまでフーリエ変換ではとらえられなかった各点でのリプシッツ連続性をとらえることができました（[J], [M], [JM], [HT]）。ウェーブレット変換には連続ウェーブレット変換と離散ウェーブレット変換がありますが、ここでは連続ウェーブレット変換を扱うことにします。
連続ウェーブレット変換についてはたとえば [A] を参照して下さい。（本講義の２として、この辺のことを詳しく解説する予定です。）
§5. リーマン関数のカスプ特異点と振動特異点の可視化
メイエ [M] に依れば、リーマン関数 R(x) はカスプ特異点と振動特異点が混在し、たとえば 0 がカスプ特異点、1 が振動特異点になっていて、このことはシミュレーションによって可視化できると書かれています。
このことを実際に確かめてみましょう。以下の計算で使ったのは MATLAB で、ウェーブレットとしてはドブシーのウェーブレット、db4 です。
まずリーマン関数の連続ウェーブレット変換のグラフ（スケログラム）を計算してみます。結果は次のものです。
図2. 上図：リーマン関数（ただし座標軸を見やすいようにスケーリングしてある）。下図：その連続ウェーブレット変換の強度グラフ。
見やすいように 3D 表示します。
6. まとめと次回講義予告
今回の講義ではリーマン関数の歴史と、各点での滑らかさ、カスプ特異点と振動特異点について述べました。さらに特異点の可視化も行ってみました。
次回以降の何れかの回では、さらにリーマン関数の解析、それからカスプ特異点と振動特異点について掘り下げ、最近の話題に結びつけた話をする予定です。
(引用終わり) >>337 関連
https://researchmap.jp/index.php?action=multidatabase_action_main_filedownload&;download_flag=1&upload_id=23237&metadata_id=43425
新井仁之，実解析の発展，応用そして今後の課題，日本数学会年会企画特別講演アブストラクト (2001), 81 - 90.
http://www.araiweb.matrix.jp/kikaku/kikaku.html
実解析の発展，応用そして今後の課題
2001年度日本数学会年会企画特別講演
21世紀の始まりにあたって，日本数学会から「ある程度各分野間の関わりを明らかにし，それによって数学の21世紀の発展の方向を示唆する」ようにと依頼されて行った講演．
しかも学生会員にも興味を持って理解できるものをとのことでした．準備に苦労した講演でした．
講演アブストラクト (pdf) 新井仁之，実解析の発展，応用そして今後の課題，日本数学会年会企画特別講演アブストラクト (2001), 81 - 90.
リーマン関数とその振動特異点・カスプ特異点 ピンスキー現象
ウェーブレットでみるリーマン関数 振動特異点 1 振動特異点 2
カスプ特異点 1 カスプ特異点 2
http://www.araiweb.matrix.jp/kiji/kiji.html
解説記事等一覧 新井仁之
http://www.araiweb.matrix.jp/
新井仁之のホームページ 最終更新日 2017年12月18日 新井仁之先生は、以前錯視の話をこのガロアスレで紹介した記憶があるね（＾＾ https://researchmap.jp/araiH/
新井 仁之 ヒトシ 東京大学 大学院数理科学研究科 教授 理学博士(早稲田大学)
プロフィール
現在の専門は解析学・応用解析学、数理視覚科学。
1959年生まれ。1972年に獨協中学・高等学校のドイツ語組に入学。ドイツ語組は吉田松陰の弟子で松下村塾出身の品川弥二郎らが創った『獨逸学協会学校』の流れを汲み，中学1年からドイツ語を第一外国語として教育するクラスでした。
しかし中学2年の秋に獨協を退学。ドイツのボンにある Nicolaus Cusanus Gymnasium に入学し、約1年そこで教育を受けました。ドイツでは哲学を独学で学び始めました。帰国後、再び獨協に編入学。中学3年のときにカントの『純粋理性批判』を読み取憑かれ、獨協中学・高校では校長でドイツ文学者の小池辰雄先生、名誉校長で哲学者の天野貞祐先生の影響のもとに、哲学・認識論の勉学に専念しました。
1978 年に早稲田大学教育学部に入学。数学者の和田淳藏先生のもとで関数解析学を学びました。
1982 年に早稲田大学大学院理工学研究科数学専攻の修士課程、1984年に同博士課程に進学しました。しかし、翌1985年には教育学部に助手として戻ることになり、同じ大学内で教育学部では教員として、理工学研究科では院生として過ごしました。
1986 年に東北大学理学部の数学科の助手に招かれ、早稲田は中退。仙台に移住し，確率論と微分幾何学と調和解析学の融合領域の研究を行いました。その間、プリンストン大学数学科客員研究員、東北大学理学部講師・助教授を経て、
1996 年に東北大学大学院理学研究科の数学の教授となりました。
1999年に東京大学大学院数理科学研究科の教授に招かれ、再び東京に移住。東大では脳内で行われる視知覚の情報処理のメカニズムや視覚が起こす錯覚（錯視）の研究を始めました。そして視知覚や錯覚を先端的数学、脳科学、神経科学、知覚心理学、コンピュータ・ビジョンなどを使って総合的に研究し，さらにその成果を実用的な技術に結晶化する新分野 『数理視覚科学』 を提唱、以来その研究を進めています。
数理視覚科学の研究により、これまでに世界で初めて
幾何学的錯視の錯視量の自由な制御（新井・新井 2005）
略
ディジタル・フィルタ群の新しい設計方法等（新井・新井，特許取得，2014,）
（他にも国内外で新井・新井による出願中特許あり）
などにも成功しました。 >>317
＞基本的な確認だが、下記に図があるよ
＞この図に、同意しますか？
スレ主がそこで上げている話は、今回の話とは関係がない。なぜなら、今回話題になっているのは
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
という集合であり、この Bf の定義には「リプシッツ」という言葉が出て来ないからだ。
Bf は数式だけで明確に定義されているので、余計な言葉を使わずとも、
機械的に判定していけばよいのである。そして、「3」「4」の場合に
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
が成り立つことを機械的な判定によって導いたレスは >>312 に既にある。
なぜスレ主は >>312 をスルーするのだね？きちんと >>312 を読みたまえ。もはやスレ主は
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
を否定することでしか例の定理に反論することが出来ないのだろうが、スレ主は間違っているので、
その反論は徒労に終わるのである。>>277 で書いたことをもう一度書くが、スレ主は、
「リプシッツ」という不必要な言葉を振り回した挙句に、その言葉が持つ表面的な響きに
引きずられて、独りで勝手に意味不明な勘違いに陥っているのである。 あるいは、>>312 をどうしてもスルーしたいのであれば、別のやり方も存在する。
まず、lim[y→x] と limsup[y→x] の間には密接な関係があり、次が成り立つことが知られている。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
g：R → R とする。x∈R とする。もし通常の極限 lim[y→x] g(y) が存在するなら、
limsup[y→x] g(y) ＝ lim[y→x] g(y) という等式が成り立つ。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
これは、lim と limsup が持つ基本的な性質であるから、なぜこれが成り立つかは いちいち説明しない。
で、この事実を使うことでも、「3」「4」の関数 f の場合に
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
が成り立つことが簡単に示せる。なぜなら、たとえば「3」の関数 f の場合は、明らかに通常の lim として
・ x＜0 なる任意の x に対して、lim[y→x] (f(y)−f(x))/(y−x) ＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、lim[y→x] (f(y)−f(x))/(y−x) ＝0 である。
が成り立つので、特に lim の中に絶対値をつけたバージョンの
・ x＜0 なる任意の x に対して、lim[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、lim[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ＝0 である。
も成り立ち、そして上に書いた事実により
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ＝0 である。
が従うのである。このように、色々な手段によってこの等式が示せるのである。
このやり方でもいいし、>>312 でもいいし、別のやり方でもいいので、
とにかくスレ主は、この等式が成り立つことを いい加減に理解せよ。 >>337 関連
キーワード："ウェーブレット" 変換 リプシッツ連続性
で検索したが、63 件 （0.47 秒） で、めぼしいヒットなし
（キーワードを英文などにすると、もっとヒットするだろうが）
その中でも、下記（高木関数とそのウェーブレット展開）は面白そうだが、フルペーパーが未公開みたい
が、博士論文なので、投稿された内容があるように思う
https://tsukuba.repo.nii.ac.jp/?action=repository_uri&;item_id=42822&file_id=17&file_no=1
ウェーブレット展開におけるいくつかの結果 鈴木 俊夫 筑波大学
審査研究科 数理物質科学研究科 学位の種類 博士 （理学） 学位授与年月日 平成 29年 3月 24日
(抜粋)
論 文 の 要 旨
本論文は、離散ウェーブレット展開に関する次の４つの章から成る。
1. ウェーブレット解析
2. ウェーブレット展開の無条件収束性
3. 高木関数とそのウェーブレット展開
4. Distortionの特徴量の抽出
つづく >>338 つづき
1. ウェーブレット解析）時間周波数解析の一つであるウェーブレット解析は、物理、化学、産業界など様々な分野へ応用されている。
1909年に登場したHaarウェーブレットがその起源とされているが、1975年にMorletが石油探査に導入してから様々な発展を遂げてきている。
ウェーブレット解析は三角関数の基底を用いるFourier解析のような手法であるが、基底の台は無限大の幅に限らず、コンパクトな場合も導入できることが応用上大きな魅力である（そのため、小さな波を意味するウェーブレットと呼ばれるようになった）。
3. 高木関数とそのウェーブレット展開）高木関数は、２の冪の係数とLipschitz連続なBスプラインを用いて関数項級数の形で定義され、至るところ微分不可能となる有名な関数である。
また、級数の係数部分をpの冪に変更することにより、一般化された高木関数を考えることもできる。
高木関数において微分不可能な状況とは差分商の極限が無限大となるか振動するかのどちらかであるが、特に無限大となるための必要十分条件がAllaart氏、Kawamura氏、Kruppel氏らにより示された。
彼らの研究によると、場所の点の値を２進法にしたときに１が登場する桁の番号に着目して特徴付けがなされている。
本論文では、一般化された高木関数の微分不可能となる点をp進法にして特徴付けを与えている。特に具体例としてp=3のときにCantor集合上で微分不可能となるような関数を構成できることは興味深いと思われる。
また高木関数とは別に、Baire category定理によっても微分不可能な関数の存在が抽象的に示されることが知られている。
その際用いられる可算個の閉部分集合の族がウェーブレットの理論におけるMRA（多重解像度解析）の階層に対応することに注目し、高木関数に対してもHaarウェーブレット展開を試みたり、超関数の意味での微分を考慮してSobolev空間のノルムの計算なども行っている。
(引用終わり)
関連
https://tsukuba.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main&;active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=42822&item_no=1&page_id=13&block_id=83
以上 >>318
＞基本的な確認だが、
＞例えば、x＜0側から、x→0に近づくとき、無意識に”x の十分小さな近傍で、「y=0」を含まないように、εを取る”ようにしていないか？
＞リプシッツ連続を考えるときは、それは上記（>>317）の記述に照らし合わせると、まずくないかい？
Bfという集合では「区間でのリプシッツ連続性」を考えているわけではないので、どこにもマズイところはない。
「リプシッツ」という不必要な言葉を振り回した挙句に、その言葉が持つ表面的な響きに引きずられて、
独りで勝手に意味不明な勘違いに陥っているのがスレ主である。
いい加減に「リプシッツ」という言葉を使うのをやめたまえ。我々が今やろうとしていることは、
limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜
という量を計算することである。この量を計算するのに「リプシッツ」という言葉は必要ない。
limsup の定義に従って、機械的に計算すればいいだけの話である。
そして、この量を計算するときに、なぜスレ主は x と y を両方とも同時に 0 に近づけながら limsup[y→x] を計算しようとしているのか？
そのような行為の一体どこが limsup[y→x] なのか？スレ主は limsup[y→x] を全く理解していない。
x を任意に取ったとき、今とってきた x はその場所に停止したままで、y だけを動かして
y を x に近づけるときのある種の極限値のようなものを limsup[y→x] と書くのである。
このように、x は停止させて計算するのが limsup[y→x] なのだから、スレ主が言っていることは的外れである。
[続く] [続き]
より具体的に計算してみよう。x＞0 なる x として、たとえば x＝0.0001 を取ったとする。「3」の関数 f の場合だと、
limsup[ y → 0.0001 ]｜(f(y)−f(0.0001))/(y−0.0001)｜＝0
が成り立つことが分かる。実際、ε＞0 を十分小さく取って、(0.0001−ε, 0.0001＋ε) の中に 0 が含まれないようにすれば、
任意の y∈(0.0001−ε, 0.0001＋ε) に対して y＞0 が成り立ち、よって f(y)＝0 かつ f(0.0001)＝0 となる。
このことから、上の等式が簡単に出る。
……この例では、x＝0.0001 と置いてしまった時点で、x は常に 0.0001 でしかなく、limsup[ y → 0.0001 ] の計算において
0.0001 の部分を「より 0 に近い別の値に差し替える」ことは不可能であることに注意せよ。
別の x として、たとえば x＝0.0000000000000001 を取ってみる。このとき、
limsup[ y → 0.0000000000000001 ]｜(f(y)−f(0.0000000000000001))/(y−0.0000000000000001)｜＝0
が成り立つことが、同様の計算によって判明する。この例でも、x＝0.0000000000000001 と置いてしまった時点で、
x は常に 0.0000000000000001 でしかないことに注意せよ。
……そして、このような計算を x≠0 以外の任意の x に対して調べ上げることで、
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ＝0 である。
が成り立つことが分かるのである。そして、このような計算の過程において、どこにも「リプシッツ」という言葉は
出て来ないし、そのような言葉は全く必要ない。機械的に計算すればいいだけの話である。 >>341-342
ご苦労さん
どうも、友達がいないみたいだな
かまってもらえるのは、ここ５CHだけかい？
あなたは、力があるのだから、プロ数学者に相談すること、強くお薦めするよ
ところで、定義には、”well difined”というのがあってね
下記は、以前にも紹介したが、”当たり前のように「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」を確認している自分に気がつく”とある
まあ、いま職場だから、また考えてレスするよ（＾＾
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/welldefined/welldefined.htm
Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ
(抜粋)
高校数学から大学数学へ進化していく過程で、「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」ということが、否応にも
意識され始める。私自身最初のころは、その本質を理解しないまま、見よう見まねでなんと
なく使っていた覚えがある。
「ある概念の定義をする場合、そう決めることによって、何も矛盾なく上手くいく」ということ
が確認されているということを「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」という。今回、次の書籍：
土基善文 著 ＸのＸ乗のはなし （日本評論社）
を読んでいたら、「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」の話があって、改めてその奥の深さを認識させられた。
（コメント） 初めて「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」に接したときは、「当たり前のことを、何でそんなに仰
々しく述べるの？」という感じだったが、その真意が分かるにつれ、重要性も理解
され当たり前のように「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」を確認している自分に気がつく。端から
は、きっと、私が当初感じたように見られているのでしょうね？
（参考文献：横田一郎 著 群論入門 （現代数学社）
土基善文 著 ＸのＸ乗のはなし （日本評論社）)
(引用終わり)
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/reminder.htm
私の備忘録 >>347
＞あなたは、力があるのだから、プロ数学者に相談すること、強くお薦めするよ
詭弁である。その論法が通用するのは、俺の目的が
「俺の証明が正しいことをこのスレで判断してほしい」
という目的のときだけである。しかし、俺はこのような目的でこのスレに居るわけではない。
例の定理にスレ主がイチャモンをつけているから、そのスレ主に対して反論を繰り返しているだけである。
しかも、今回の limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ の話は、スレ主の方から質問してきたことに
俺が返答しているだけである。反論するのが苦しくなったからといって「プロ数学者に見てもらえ」
というのは、正真正銘の詭弁である。 >>345
ご苦労さん（＾＾
>いい加減に「リプシッツ」という言葉を使うのをやめたまえ。我々が今やろうとしていることは、
>limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜
>という量を計算することである。この量を計算するのに「リプシッツ」という言葉は必要ない。
>limsup の定義に従って、機械的に計算すればいいだけの話である。
ふーん、自分独自の（>>303より）
「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」を
定義しましたか？
￥さんのいうフランス人気質なら、「独創！ すばらしい〜！」だろうが
日本的には、「大丈夫？」と、心配されるだろうね・・・
そもそも、その定義が、現実にあるいろいろな関数（病的な関数も含め）のどういう性質を捉え
また、その定理の適用範囲の限界（どの関数に使え、どの関数に使えないかなど）を見極めることなしには、その定理の証明を読んでも仕方ないだろう？
既存の理論、リプシッツ連続や、連続関数の理論とは、無関係だというならば・・・
（”well difined”かどうか、そこにも関わってくるよ） >>349
＞ふーん、自分独自の（>>303より）
＞「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」を
＞定義しましたか？
>>281-283 で丁寧に定義済み。しかも、>>281-283 に書かれていることは、
標準的なテキストに載っている標準的な定義であり、俺独自の定義ではない。
より具体的に言う。B_f を定義するのに必要なのは
limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞
という記号列の定義のみである。この記号列の中で、limsup という記号は >>281-283 で
標準的な方法によって定義済みである。残るは「 ＜＋∞ 」という記号の意味であるが、
これもまた、>>281-283 で標準的な方法によって定義済みである。
結局、B_f は標準的な方法で定義済みである。どこにも俺独自の要素は無い。
無論、B_f の定義は well-defined である。
＞そもそも、その定義が、現実にあるいろいろな関数（病的な関数も含め）のどういう性質を捉え
＞また、その定理の適用範囲の限界（どの関数に使え、どの関数に使えないかなど）を見極めることなしには、
＞その定理の証明を読んでも仕方ないだろう？
「わたくしスレ主は limsup という概念が理解できてないので、未だに例の証明を読めるレベルに達してません」
と言っているようにしか見えないな。まあ実際、そんなにレベルが低いなら、
きっと「読めない」だろうなとは思う。そして、そんなレベルの低い奴が
例の定理にイチャモンをつける権利は全くない、とも言っておく。 >>350
どっちが詭弁なのかね？
>標準的なテキストに載っている標準的な定義であり、俺独自の定義ではない。
そのテキストの書名を書けよ
「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」の”< +∞”も含めて載っているんだろうな？
>例の定理にイチャモンをつける権利は全くない、とも言っておく。
じゃ、どっか行けよ
友達いないあんたにかまってもらえるのは、５CHのここしかないんだろ？（＾＾ >>351
＞そのテキストの書名を書けよ
＞「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」の”< +∞”も含めて載っているんだろうな？
何で書名が必要なの？
いくら何でも、そのくらいは自分でキチンと勉強したことあるでしょ？
そのくらいの記述は、標準的なテキストでいくらでも見たことがあるでしょ？
スレ主が自分で勉強してきたテキストを見返せば済む話でしょ？
>>281-283 で書いたことは、スレ主が勉強してきたことの復習用だよ？
まさか、その程度の基礎的な内容すら全く勉強したことが無くて、
「俺は >>281-283 の定義なんぞ全く見たことが無いぞ！一体どんなテキストに載ってるんだ！」
などと憤慨しているのかね？
そんなに何も知らないド素人の状態で、お前は今まで例の定理にイチャモンをつけていたのか？
そんなゴミクズに、例の定理にイチャモンをつける権利は全くないよ。
しかも、標準的なテキストに載ってる内容は >>281-283 と全く同じだよ？
つまり、拡大実数の中で limsup を定義する、という定義だよ？
拡大実数を使った時点で、「 ＜＋∞ 」という記号列は拡大実数の中での普通の不等式を
意味するんだから、その時点で完全に well-defined に意味は定まってるよ？
スレ主はどうしても「 ＜＋∞ 」という記号列に不満を持っているようだけど、
その記号列は拡大実数の中における普通の不等式なんだから、完全に well-defined に意味は定まってるよ？
これ以上なんの説明が必要なの？お前がバカだから理解できないだけだろ？ >>351
＞じゃ、どっか行けよ
ご老人よ、何度も同じことを言わせるな。ついにボケたかね？
俺は、お前のイチャモンに反論し続けるためにこのスレに居るのである。
すなわち、お前がイチャモンをつけるのをやめれば、俺は自動的に、
このスレには書き込む内容が無くなるのである。
従って、どっか行ってほしければ、お前がイチャモンをつけるのをやめればいいのである。
一番ベストなのは、お前が例の定理の証明を理解することである。
それがスレ主のスキル的に不可能であるならば、別の方法もある。
それは、例の定理の真偽を不問にすることである。すなわち、
「わたくしスレ主はレベルが低すぎて、例の定理の真偽について語れるレベルに全く達してないので、
わたくしが例の定理の真偽についてどう思っているのかは、このスレでは公言しないことにします」
と宣言することである。そうすれば、俺はこのスレに書き込む内容がなくなるのだ。
客観的に見て、スレ主が今現在やっている行為は、
「 limsup すら知らないド素人だけど、例の定理にはイチャモンをつけたい。
2ページの証明は投下されてるみたいだけど、自分のスキルでは理解できない。
でもイチャモンはつけたい。」
という、極めて自分勝手な行為である。
スレ主がこのような行為を続ける限り、俺はこのスレからは消えないであろう。
全てはスレ主の責任である。 >>352
>標準的なテキストに載っている標準的な定義であり、俺独自の定義ではない。
>
>＞そのテキストの書名を書けよ
>＞「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」の”< +∞”も含めて載っているんだろうな？
>
>何で書名が必要なの？
>いくら何でも、そのくらいは自分でキチンと勉強したことあるでしょ？
詭弁も良いとこだな
"標準的なテキストに載っている標準的な定義であり、俺独自の定義ではない。"と宣わったのは、貴方でしょ
ピエロと同じだな
どこに、「書いている？」と聞けば、書名は出せないと
笑えるよ >>353
>スレ主がこのような行為を続ける限り、俺はこのスレからは消えないであろう。
別にかまわん
おれは、とことんつきあうよ
なお、「あなたは、力があるのだから、プロ数学者に相談すること、強くお薦めするよ」は、
詭弁ではなく、心からの忠告だよ（＾＾ まあ、細かいレスは後で（＾＾
（>なお、(>353) おっさんも、それほど若くないと見えるけどね（＾＾ ） >>356 訂正
（>なお、(>353) おっさんも、それほど若くないと見えるけどね（＾＾ ）
↓
（なお、(>>353) おっさんも、それほど若くないと見えるけどね（＾＾ ） ＞「リプシッツ」という不必要な言葉を振り回した挙句に、その言葉が持つ表面的な響きに
＞引きずられて、独りで勝手に意味不明な勘違いに陥っているのである。
それスレ主のいつものパターンｗ すなわち今回も進歩無しｗ
スレ主はここ4年くらい進歩が無いから当時の中学生に抜かれてると思うｗ
当時の中３は今ではεδ論法を理解してるだろうからｗ >>351
＞じゃ、どっか行けよ
手取り足取り教えてもらっておいて逆ギレかよｗ
やはりスレ主は小学校の道徳からやり直す必要がある ガチで 正直に白状しろよスレ主
「”リプシッツ連続”という言葉の響きに憧れて使ってみたかっただけです」
と >>354
＞どこに、「書いている？」と聞けば、書名は出せないと
limsup は拡大実数の中で定義される。拡大実数を持ち出した時点で、「 ＜＋∞ 」という記号列は
拡大実数の中における普通の不等式であり、well-defined に意味が定まっている。それが理解できないなら、
スレ主が「バカ」だというだけの話。しかし、かわいそうなので、何冊か提示してやろう。
ttps://books.google.co.jp/books?id=DLfxd7StGw8C&pg=PA8&dq=limsup&hl=ja&sa=X&ved=0ahUKEwioyeKPrZjYAhWBfrwKHZfQAaIQ6AEIQzAD#v=onepage&q=extended%20real&f=false
(ページ6, 7, 8)
ttps://books.google.co.jp/books?id=WJrfBwAAQBAJ&pg=PA98&dq=%22extended+real%22&hl=ja&sa=X&ved=0ahUKEwiI4emqvJjYAhUEJpQKHYoMA2oQ6AEIbzAJ#v=onepage&q=%22limit%20superior%22&f=false
(定義はページ97から, 基本的な性質はページ110から)
limsup を完璧に拡大実数の中で定義している。この時点で、「 ＜＋∞ 」という記号列は
拡大実数の中における普通の不等式となり、well-defined に意味が定まっている。
そもそも普通に「 ＜＋∞ 」という記号が本の中で使われている。
[続く] [続き]
他には
ttps://books.google.co.jp/books?id=MzQ6JA6SiHYC&pg=PA215&lpg=PA215&dq=%22liminf+of+functions%22
&source=bl&ots=fQgmSNxSiV&sig=GbK_ENnoXVFjLvnxGtH_1N3xygI&hl=ja&sa=X&ved=0ahUKEwiO4P2Pt5jYAhUK5
LwKHZQuApUQ6AEIPzAC#v=onepage&q=limsup%20&f=false
(ページ215, 216, 217)
これも挙げておく(※リンクが長すぎて投稿不可と出たので、リンクは改行してある。コピペするときは手作業で改行をなくすこと)。
書き方が抽象的だが、やっていることは同じ。こちらも、「 ＜＋∞ 」という記号が途中で使わている。
拡大実数の中における普通の不等式なのだから、使われるのは当たり前である。
ちなみに、スレ主が大好きな wikipedia でも、拡大実数の中で limsup を定義している。
ttps://en.wikipedia.org/wiki/Limit_superior_and_limit_inferior
何度も言うが、いったん拡大実数の中で limsup を定義したならば、「 ＜＋∞ 」という記号は
拡大実数の中における普通の不等式なので、well-defined に意味が定まる。
これで満足か？俺の独自定義ではなくて残念だったな。
(そもそも、独自定義か否かで何かを批判しようとしている時点でズレているのだが。) 腹減った〜😞
カレー🍛とラーメン🍜一丁ずつ、ちょーだい！！ >>321
今はリプシッツ連続を考えていないのに、
>>318
> 例えば、x＜0側から、x→0に近づくとき、無意識に”x の十分小さな近傍で、「y=0」を含まないように、εを取る”ようにしていないか？
> リプシッツ連続を考えるときは、それは上記（>>317）の記述に照らし合わせると、まずくないかい？
などと急にリプシッツ条件に照らし合わせ始めたから、それ関係ないじゃん！！って言ってんだけど。
阿呆は消えろっての >>362、>>360、>>357スレ主
生理中の生娘でもあるまいし、カリカリし過ぎ！！
ステーキ🥩、寿司🍣、スパゲティ🍝、ハンバーガー🍔などなどモリモリ食べて、まずは落ち着こうや。
生理中の生娘が何故、カリカリしてるのか？
この疑問の答えはココに無いので、ネット検索か、妙齢の女性に聞いてみて。 limsupからB_fからリプシッツ連続の定義から何から何まで ことごとく理解できないアホは数学板から消えてほしい
言うことに困るといつもwell-definedでない！と文句をつけてくるアホは数学板から消えてほしい
とにかくスレ主には数学板から消えてほしい
なんか数学を冒涜されてる気がするんだよ
オマエみたいな奴に分かった風に数学を語られると Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
この程度の定義にスレ主は右往左往ｗｗ
みっともないなｗ
低レベルすぎるだけならまだしも、周りに害をふりまきすぎ。
デタラメをネットに垂れ流しすぎ。
数学板から出て行ってくれよ。
オカルト板や詩・ポエム板なら何やってもいいから、そっちでやってくれよ
349 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/20(水) 17:07:00.60 ID:ptKBLDJz
>>345
ご苦労さん（＾＾
>いい加減に「リプシッツ」という言葉を使うのをやめたまえ。我々が今やろうとしていることは、
>limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜
>という量を計算することである。この量を計算するのに「リプシッツ」という言葉は必要ない。
>limsup の定義に従って、機械的に計算すればいいだけの話である。
ふーん、自分独自の（>>303より）
「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」を
定義しましたか？
￥さんのいうフランス人気質なら、「独創！ すばらしい〜！」だろうが
日本的には、「大丈夫？」と、心配されるだろうね・・・
そもそも、その定義が、現実にあるいろいろな関数（病的な関数も含め）のどういう性質を捉え
また、その定理の適用範囲の限界（どの関数に使え、どの関数に使えないかなど）を見極めることなしには、その定理の証明を読んでも仕方ないだろう？
既存の理論、リプシッツ連続や、連続関数の理論とは、無関係だというならば・・・
（”well difined”かどうか、そこにも関わってくるよ） 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f) >>361-362
ご苦労さん
見た。必死で検索したわけね（＾＾
おれまた、手元の書籍の書名を出すと思ってたんだが・・・（＾＾
そこには無かったと
で、リンクは全部見ました（＾＾
（>>303より）「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ 」は、あなたの手作り定義なわけだ（＾＾
よく分りました（＾＾
まあ、細かい点は、追々やりましょう
あなたは、面白いわ（＾＾
ピエロや、High level peopleより、遙かにレベル高いね（特に応答のレベルが）
時枝は終わったし、このリプシッツの方が時枝より面白いね
だけど、あんた、数学の相談できる友達おらんのやね〜（＾＾ >>369 追加
そうそう
・そこ（３冊の書物）には、あなたの新発明の定理は、無かったということね？
・そこ（３冊の書物）には、”R−Bf が内点を持たない閉集合ので被覆できる”の記述も無かったと
見た範囲では無かったので、念押し確認です（＾＾
もし、定理が正しければ、よろしいんじゃないですかね（＾＾ >>369
＞だけど、あんた、数学の相談できる友達おらんのやね〜（＾＾
ご老人よ、何度も同じことを言わせるな。
俺の目的は、例の定理をこのスレで「相談する」ことではない。
例の定理にスレ主がイチャモンをつけているから、
そのスレ主に対して反論を繰り返しているだけである。 >>370
＞・そこ（３冊の書物）には、あなたの新発明の定理は、無かったということね？
この３冊には無かったが、そもそもこの定理は新発明ではないと何度も言っている。
絶対にどこかで既に発見済みである。我々が文献を見つけてないだけ。
＞・そこ（３冊の書物）には、”R−Bf が内点を持たない閉集合ので被覆できる”の記述も無かったと
この３冊には無かったが、「3」「4」の関数 f については「被覆できる」ことを
このスレで何度も繰り返し書いている。
また、一般の写像 f：R → R に対しては、必ずしも被覆可能とは限らないことも何度も書いている。
例の定理は「被覆できるなら○○が成り立つ」という形の定理であり、被覆できない f を持ってきた場合は
そもそも例の定理の適用範囲外である。 ＞ご老人よ、何度も同じことを言わせるな。
スレ主 国語 国語 >>372
オハヨー、朝です。
(^o^)
>で？w
この極短レスは、「ぷふ」さんかな（＾＾
「ぷふ」さんには、感謝していますｍ（＿ ＿）ｍ
例の時枝に、終止符を打っていただいて（＾＾ >>371
>例の定理にスレ主がイチャモンをつけているから、
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
これを踏まえて
１．いままでの流れを見て分かるように、イチャモンでも何でもない。
２．５CHに見慣れぬ定理と証明が投下された。まず、その定理が自分の知識体系の中でどこに位置するのかを見極めることは、数学をする態度として、正道だろう
３．数学において、その定理が、新規かそれとも、既知・既存の定理かを見極めることは、極めて大事なことだ。
既知・既存の定理であれば、既存の理論体系の中のどこに位置するのかの確認をすべき
４．新規であったとしても、基本、数学の定理というものは、独立ばらばらに存在するものではなく、理論体系を成すべきもの。
であれば、新規であったとしても、それは理論体系の中のどこに位置すべきか。また、類似の定理との比較も必要だろう。
５．それ無くしては、数学の勉強にもならない。
それ無くしては、その定理の応用もできまい。
また、その探索の過程で、定理が、既存の理論と矛盾していないかどうかも判明する。
（もし、既存の理論と矛盾したとしても、修正可能かどうかを見ることも容易だろう）
つづく >> つづき
６．”リプシッツ”という言葉を使うなとおっしゃるが、結論命題が「ある開区間の上でリプシッツ連続」であるから
仮定命題の中に、”リプシッツ連続”を導くキーになる要素を探ることも、また数学を学ぶ上で大事なことだ
７．そういう視点でみると、通常の”リプシッツ連続”（下記ご参照）が、｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜<= K (K>0)の形であり
（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ は、K→∞の極限と考えるのが正当だろう
定理を理解する上での数学的プロセスとして、それは否定すべきではないだろう
（参考 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A リプシッツ連続）
以上 >>373
>一般の写像 f：R → R に対しては、必ずしも被覆可能とは限らないことも何度も書いている。
１．それは、自明も自明。トリビア以下だろう
２．”｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞”という表現は、寡聞にして私は初見だ。不勉強かも知れないが
３．”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”も、寡聞にして私は初見だ。不勉強かも知れないが
４．”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”も、寡聞にして私は初見だが、これは新鮮で面白いと思う。成り立てばだが
５．問題は、”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }”で、”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”がどこまで言えるのか？ （とりあえず、個数（可算、非可算）を別として）
６．そこは徹底的に追及したい。
”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”ということが、まず一般に言えないだろうと思うからだ
７．もし、ほとんどの場合に、”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”が、言えないとすれば、この定理の価値は低いだろう
８．もし、全く、”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”が、言えないとすれば、この定理の価値は極めて低いだろう
細かい数学的なコメントは、後ほど >>377
＞６．”リプシッツ”という言葉を使うなとおっしゃるが、結論命題が「ある開区間の上でリプシッツ連続」であるから
＞ 仮定命題の中に、”リプシッツ連続”を導くキーになる要素を探ることも、また数学を学ぶ上で大事なことだ
limsup を理解していない人間が「リプシッツ」という言葉を振り回したところで、
スレ主は >>318 のような間違いに陥るだけである。コピペと類推だけで済ませてきた人間のツケであろう。
既に >>345 で指摘済みだが、我々が今やろうとしていることは、limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜
という量を計算することである。この量を計算するのに「リプシッツ」という言葉は必要ない。
limsup の定義に従って、機械的に計算すればいいだけの話である。 >>377
＞７．そういう視点でみると、通常の”リプシッツ連続”（下記ご参照）が、｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜<= K (K>0)の形であり
＞ （f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ は、K→∞の極限と考えるのが正当だろう
ここでの「 ＜＋∞ 」は拡大実数の中での通常の不等式の意味だと >>281-283 で既に書いている。
「 K→∞の極限 」がスレ主にとって何を意味するのは定かではないが、もしそれが
拡大実数の中での通常の不等式とは ぜんぜん違う意味ならば、
「わたくしスレ主は "＜＋∞" の意味を自分勝手に変更して話をしています」
というコミュニケーション不全に陥っていることになるので問題外である。
また、B_f の対象となっているのは
・ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞
という条件であって、
・ limsup が無く、x,y の範囲も明記されてない状態の " ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ "
という条件を B_f で考えているわけではない。
……このように、スレ主は ちょっと目を離した隙に もともとの B_f からは
かけ離れた条件で考えようとしてしまい、ゆえに間違いを連発するのである。
機械的に limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ を計算するだけで終わる話なのに、
お前は一体なにをやっているのだ。 >>378
＞５．問題は、”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }”で、
＞”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”がどこまで言えるのか？ （とりあえず、個数（可算、非可算）を別として）
バカじゃねーの。個数を可算に限定しないなら、任意の集合 A ⊂ R が被覆可能だろ。
たとえば、A が空集合でないときは、
A ⊂ ∪[a∈A] {a}
という自明な包含が成り立ち、右辺の各 {a} は内点を持たない閉集合であるから、
「集合 A は内点を持たない閉集合の和で被覆できる」ことになる。
＞８．もし、全く、”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”が、言えないとすれば、この定理の価値は極めて低いだろう
その心配は無用である。なぜなら、スレ主が挙げた「3」「4」の関数では「被覆できる」からだ。
また、今現在のスレ主にも完全に理解可能な、オモチャのような例も存在する。
f(x)＝0 (x∈R)
という定数関数を考えてみよ。さすがのスレ主も、B_f のことを正しく理解していようが勘違いしていようが
B_f ＝ R という等式が成り立つことには賛成するだろう。よって、R−B_f ＝ φ となる。
よって、内点を含まない閉集合 K を何でもいいから１つ取れば、φ ⊂ K という自明な包含により
R−B_f ⊂ K となるので、R−Bf は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できているｗ
無論、この例はあまりにもオモチャであって下らない例なのだが、
「被覆できる例が１つも存在しない可能性」を考えているアホにはちょうどいい例であろう。 このアホなやり取りはなんなんだ……
一方は無理解にもほどがあるな…… ミーハーな数学好きが、相手の書き込みのあげ足取ったり、都合良い情報だけを切り貼りして遊んでるだけだしな。
気楽にね。結論は期待しちゃダメ🙅♂🙅♀ ＞例の時枝に、終止符を打っていただいて（＾＾
スレ主は煽りも下手だね ここのスレ主は数学板史上最大の鼻つまみ者だな
こんな奴見たことねー スレ主に比べれば 哀れな素人氏 はずいぶんマシだったという驚愕の事実 >>376
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
これ、おっさん>>362引用の下記書籍にある、”the Dini derivates”（ディニ微分）やね
おれも、勉強不足だね。知らなかったな・・（＾＾
で、おっさん重箱の隅だが、拡張実数をいうなら
下記の本のように、”Let B ⊂ R, f : B →R￣”(注：R￣は、拡張実数でRの上付きバーの簡易表現)としとくべきだぜ
https://www.amazon.co.jp/Fundamentals-Analysis-Universitext-Sterling-Berberian/dp/0387984801
Fundamentals of Real Analysis (Universitext) (英語) ペーパーバック ? 2008/6/13 Sterling K. Berberian (著) 出版社: Springer; Softcover reprint of the original 1st ed. 1999版 (1998/11/1)
https://books.google.co.jp/books?id=MzQ6JA6SiHYC&;pg=PA215&lpg=PA215&dq=%22liminf+of+functions%22
Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian
(抜粋)（アスキー表現の文字化けがあるので、元リンクご参照）（検索すると、無料PDFのサイトがあったが、怪しそうだったので、アクセスせず（＾＾； ）
(P220)
5.3.6. Theorem. Let B ⊂ R, f : B →R￣, c ∈ R, and suppose that
B⊃(c - r,c)∪(c,c +r) for some r >O. In order that
(注：R￣は、拡張実数でRの上付きバーの簡易表現)
lim x→c, x≠c f(x)
exist (in the sense of 3.5.5), it is necessary and sufficient that the four numbers,
lim sup x→c+ f(x), lim inf x→c+ f(x),
lim sup x→c- f(x), lim inf x→c- f(x),
be equal, in which case all five number are equal.
5.3.7. Definition. Let g: [a ,b] → R, a < b, and let c ∈ [a ,b] . Write
B = [a, b] - {c} and define f: B →R￣ by the formula
f(x) = g(x) - g(c)/(x - c).
つづく >>390 つづき
Of course the values of f are in R, but we are being consistent with the
foregoing notations; some of the numbers we are about to associate with
f may be infinite.
If c ∈ [a, b) then c is approachable from the right by x ∈ B and we define
(D^+g)(c) = lim sup x→c+ f(x) = lim sup x→c+ {g(x) - g(c)/(x - c)} ,
(D +g)(c) = lim inf x→c+ f(x) = lim inf x→c+ {g(x) - g(c)/(x - c)} ,
Similarly, if c ∈ (a, b] we define
(D^-g)(c) = lim sup x→c- f(x) = lim sup x→c- {g(x) - g(c)/(x - c)} ,
(D -g)(c) = lim inf x→c- f(x) = lim inf x→c- {g(x) - g(c)/(x - c)} ,
These four numbers are called the Dini derivates of g at c; more precisely
(for example), (D +g)(c) is the lower right-hand derivate of g at c.
（(引用終り)）
つづく >>391 つづき
”f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。”とあるじゃない！！（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%8B%E5%BE%AE%E5%88%86
ディニ微分 - Wikipedia
(抜粋)
注意
・補完数直線上では、各ディニ微分は常に存在する。しかし、それらの値は有限とは限らず、+∞ や ?∞ となることもある（すなわち、ディニ微分は「拡張実数値」の意味において、常に存在する）。
・f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。もし f が t において微分可能ならば、その t における各ディニ微分は通常の意味での微分に等しい。
(引用終り)
https://en.wikipedia.org/wiki/Dini_derivative
(抜粋)
If f is locally Lipschitz, then f′+ is finite. If f is differentiable at t, then the Dini derivative at t is the usual derivative at t.
・On the extended reals, each of the Dini derivatives always exist; however, they may take on the values +∞ or ?∞ at times (i.e., the Dini derivatives always exist in the extended sense).
(引用終り)
https://ci.nii.ac.jp/els/contentscinii_20171221232301.pdf?id=ART0007541949
Dini導関数とその応用 中井三留，多田俊政 大同工業大学紀要 第39巻（2003）
(抜粋)
§2．Dini の微分係数
実関数論の教科書は国内外古新を問わずすこぶる数多に及ぶ．その中でも易しく書かれているにもかかわらず多くの話題
について相当深く扱っている次の本に注目したい，即ち， 辻正次： 實變數凾數論， 清水書院，1949．この本の第2 章中の第
7 節にDini の微分係数の題で55 頁から58 頁に亘って
一種の平均値の定理とその単調性定理への応用が述べられている．
入手し難い本でもあり， 又とにかく分り易い解説からなっているから，
ここに逐語的ではなく，現代的な語法や記号でおき
かへ内容をはるかにふくらませ，何も削らないでここに再掲する．
(引用終り)
以上 >>362
ご苦労さん
あとの都合上、下記を引用しておく（＾＾
https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_superior_and_limit_inferior
Limit superior and limit inferior
(抜粋)（アスキー表現の文字化けがあるので、元リンクご参照）
Functions from metric spaces to metric spaces
There is a notion of lim sup and lim inf for functions defined on a metric space whose relationship to limits of real-valued functions mirrors that of the relation between the lim sup, lim inf, and the limit of a real sequence.
Take metric spaces X and Y, a subspace E contained in X, and a function f : E → Y. The space Y should also be an ordered set, so that the notions of supremum and infimum make sense. Define, for any limit point a of E,
lim sup _{x→ a}f(x)＝lim _{ε → 0}( sup {f(x):x ∈ E∩ B(a;ε )＼{a}})
and
lim inf _{x→ a}f(x)＝lim _{ε → 0}( ∈f {f(x):x ∈ E∩ B(a;ε )＼{a}})
where B(a;ε) denotes the metric ball of radius ε about a.
つづく >>393 つづき
Note that as ε shrinks, the supremum of the function over the ball is monotone decreasing, so we have
lim sup _{x→ a}f(x)＝ ∈f _{ε >0}( sup {f(x):x ∈ E∩ B(a;ε )＼{a}})
and similarly
lim inf _{x→ a}f(x)＝ sup _{ε >0}( ∈f {f(x):x ∈ E∩ B(a;ε )＼{a}}).
This finally motivates the definitions for general topological spaces. Take X, Y, E and a as before, but now let X and Y both be topological spaces. In this case, we replace metric balls with neighborhoods:
lim sup _{x→ a}f(x)＝ ∈f { sup {f(x):x ∈ E∩ U＼{a}}:U open ,a ∈ U,E∩ U＼{a}≠ Φ }
lim inf _{x→ a}f(x)＝ sup { ∈f {f(x):x ∈ E∩ U＼{a}}:U open ,a ∈ U,E∩ U＼{a}≠ Φ }
(there is a way to write the formula using "lim" using nets and the neighborhood filter).
This version is often useful in discussions of semi-continuity which crop up in analysis quite often.
An interesting note is that this version subsumes the sequential version by considering sequences as functions from the natural numbers as a topological subspace of the extended real line, into the space (the closure of N in [?∞,∞], the extended real number line, is N ∪ {∞}.)
(引用終り)
以上 >>390
B_f で扱っている量は R 上のディニ微分の類似品ではあるが、R 上のディニ微分そのものではない。
｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜という絶対値の有無や、limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違いがあるからだ。
>>392
＞”f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。”とあるじゃない！！（＾＾
はい、例の定理とは ぜんぜん別物です。
f：R→R が局所リプシッツ連続であるとは、次の 条件Ａ が成り立つときを言う。
条件Ａ
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
任意の x∈R に対して、x を含むある開区間 (a,b) とある L＞0 が存在して、
∀y,z∈(a,b) [ ｜f(z)−f(y)｜≦ L｜z−y｜] が成り立つ。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
つまり、x∈R を取るごとに、x を含む十分小さな開区間の上で「 f は普通の意味でリプシッツ連続」に
なっているとき、f は局所リプシッツ連続と言うのでる。この場合、x∈R ごとに決まる (a,b) と L について、
f の (a,b) 上でのディニ微分(の絶対値)は常に「 ≦ L 」を満たすことが容易に分かる。
一方で、例の定理では、上記の「条件Ａ」を仮定として考えているわけではないし、
むしろ定理の結論において、"ある x に対して条件Ａの中身の性質が成り立つ" という類の主張を
導いているわけであるから、スレ主が引用している主張は、例の定理とは ぜんぜん違うものである。 >>392
> ”f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。”とあるじゃない！！（＾＾
だから何やねん！！（＾＾
ってみんな心の中で叫んだはず。
スレ主は何を発見したつもりになっているのか・・・ >>395
おっさん、正気か？
>B_f で扱っている量は R 上のディニ微分の類似品ではあるが、R 上のディニ微分そのものではない。
>｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜という絶対値の有無や、limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違いがあるからだ。
おれは、また、「ディニ微分を独力で再発明・再発見したか。”力あるね〜”」と思ったのだが・・
というのは、ディニ微分については、あまり和書がなく、(>>392)中井先生らが1949年の辻正次先生の本から
「ここに逐語的ではなく，現代的な語法や記号でおきかへ内容をはるかにふくらませ，何も削らないでここに再掲する．」
いう状態だった（なお、検索で東大の講義の内容で概要だけディニ微分がヒットしたが）
（まあ、数学の力は認めるよ。だが、周りに相談する人がいないんだろうね〜・・・）
”limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違いがあるからだ”は、それは無理筋だろ？
>>393引用のLimit superior and limit inferiorのFunctions from metric spaces to metric spaces
下記定義に従わないといけないからね
https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_superior_and_limit_inferior
Limit superior and limit inferior
(抜粋)
Take metric spaces X and Y, a subspace E contained in X, and a function f : E → Y. The space Y should also be an ordered set, so that the notions of supremum and infimum make sense. Define, for any limit point a of E,
lim sup _{x→ a}f(x)＝lim _{ε → 0}( sup {f(x):x ∈ E∩ B(a;ε )＼{a}})
where B(a;ε) denotes the metric ball of radius ε about a.
(引用終わり)
>はい、例の定理とは ぜんぜん別物です。
上記 Limit superior and limit inferiorのFunctions from metric spaces to metric spaces の定義をよく読ん下さいね >>396
>だから何やねん！！（＾＾
>ってみんな心の中で叫んだはず。
おまえとおっさんの二人みたいだな（＾＾ >>392 関連
https://wikimatome.org/wiki/%E8%BE%BB%E6%AD%A3%E6%AC%A1
辻正次 ウィキまとめ このページの最終更新日時 2015年10月30日 (金) 22:51
つじまさつぐ
明治27(1894)年7月21日〜昭和35(1960)年3月6日 大正・昭和期の数学者。東京大学教授、立教大学教授。
著書に「近代関数論におけるポテンシャル論」「実変数函数論」など。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
