数理論理学（数学基礎論） その12
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数学基礎論は、数学の基礎づけを目的として誕生したが
現在では、数理論理学として、証明論、再帰的関数論、
構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野
に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも
若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、
代数幾何学、 英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化
などを参照）
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その11
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1325247440/ 前スレ 999
直観主義論理では二重否定の除去
¬¬B → B
は出来ないけど三重否定から否定を二つ除去
¬¬¬B → ¬B
するのは出来るんだよな
「「「Bが成り立つなら矛盾が導き出される」が成り立つなら矛盾が導き出される」
が成り立つなら矛盾が導き出される」
から「Bが成り立つなら矛盾が導き出される」が導き出されるという… 直観主義では(¬(A∧B))→((¬A)∨(¬B))は示せないですが、その対偶の
(¬((¬A)∨(¬B)))→(¬¬(A∧B))を示すことは出来ました。
でも(¬∃x¬A)→(¬¬∀xA)は示せないようです。（もし直観主義で
示せる人がいるなら証明を教えてくれるとうれしいです。）
直観主義では本当に(¬∃x¬A)→(¬¬∀xA)が示せないのなら、
直観主義では∀x¬¬Aと¬∀xAを同時に仮定しても矛盾しない
ことになりますが、なんか不思議な気がします。ここらへんを
うまく説明できる人はいるでしょうか。 >>2
それは一般的な定理で
古典論理が直感論理に埋め込めるって奴 >>4
量化子は無限に関わって来るので
その扱いが古典と直感とで異なるんだろうと思ってるんだけど
詳しい人の見解を聞きたいところだ >>4
直観論理の位相空間による解釈を知ってるとおかしく感じない。 >>4
丁度直観主義の意味論をかじったところなので回答します
直観主義における論理式の解釈を、以下のクリプキモデルによって定義します
世界Wiの集まり{Wi|i∈I}をクリプキモデルと呼びます
各世界Wiは通常の古典論理における構造に対応します
また、世界Wiには到達可能関係→が定義され、以下が成り立ちます
反射律 Wi→Wi
推移律 Wi→WjかつWj→Wkならば、Wi→Wk
また、Wi→Wjのとき、以下に従います
Dom(Wi)⊂Dom(Wj)
P^Wiが真ならばP^Wjも真
P^Wi(a1,..,an)が真ならばP^Wj(a1,...,an)も真(a1,...,an∈Dom(Wi))
すなわち、クリプキモデルとは、通常の古典的な意味での構造=世界をいくつも持つものであり、それぞれの世界は我々の持つ知識量に対応している、と解釈できます
すなわち、Wi→Wjのとき、Wjの世界においては、Wiの世界よりも我々の知識量が多いため、より多くの事柄に関する真偽を決定できる、というわけです ある原子命題Pが真であるというのは、「世界Wiにおいて」Pが正しいと判断できる、ということを意味して、Wi|=Pと表します
逆にPが偽であるということは、「世界Wiにおいて」Pが正しいと判断できないということ、を意味して、Wi|≠Pと表します
命題¬Pが真であるとは、Wi→Wjなるすべての世界Wjに対して、Wj|≠Pとなることを意味します
言い換えれば、その世界より後ろは全部偽なわけです
今、Wi|≠P、とわかったとします
このとき、Wi|=¬Pと言えるわけではありません
Wiに関して言えば、真ではない、とわかっただけですから
Pは本当にWi|=¬Pとなるかもしれませんし、到達可能な世界を巡っていけば真だとわかることがあるかもしれません
前者を、Pは真に偽である、後者をPは保留状態にある、と言うことにしましょう
このようにすると、Pが偽、すなわちWi|≠Pであるとは、真に偽である状態であるか保留状態にあるかのどちらかだ、と言いかえることができます
直感主義における偽とは、確証のなさを表していると言えるでしょう
本当は偽なんだけど自信がないときは真の偽、本当は真なんだけど自信がないときは保留状態であり、どちらの場合も断定ができないので、真ではないという意味で、偽を与えるのです
命題∀xP(x)が真であるとは、Wi→Wjなるすべての世界Wjに対して、全てのa∈Dom(Wj)に対してWj|=P(a)となること、を意味します
その世界より後の世界の対象をどれだけ持ってきても真になる、というわけです ¬¬Aの意味を考えましょう
Wi|=¬¬A、Wi→Wjとします
Wj|≠¬A、すなわち、「Wj|=¬A」ではない、となっています
これは、任意のWjに対して『「Wjより後ろは全部偽」ではない』、ということですから、WiにおけるAは真であるか保留状態になっている、ということを意味しています
Wi|=¬¬AとWi|=Aは異なるわけです
Wi|=∀x¬¬A
これは、全てのWjの全ての対象xに対して、Aは真であるか保留状態となっていることを表しています
Wi|=¬∀xA
これは、任意のWjに対して、『「その世界より後の世界の対象をどれだけ持ってきても真になる」わけではない』ことを意味しています
Wjより後の世界には、必ず偽となるような対象が存在する、というわけです
別に矛盾はしていませんよね クリプキモデルもいいんだけど必然的に時間の概念というかモデルの順序関係に依存するので
静的な単独なモデル(位相空間でもイイよ)による意味論の方が何かしっくりくる感じが >>11
>>8
＞各世界Wiは通常の古典論理における構造に対応します 古典命題論理＋様相記号 の体系において演繹定理ってどういう形で成り立つんですか？
参考になるURLあれば教えて下さい
私個人でチェックした限りでは
Γ,□A |- □B ならば Γ |- □(A→B)
が成り立ちそうな気がするんですが？ 前スレ http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1325247440/897
でもいいましたが直観主義命題論理学は前原昭二の｢復刊 数理論理学序説｣で初歩を扱っています
>>2,4の話も出てきてたと思います 高橋洋一（嘉悦大）
@YoichiTakahashi
統数研。70年代にちょっといて赤池さんと話したことを思い出した。いい概念（AIC）は応用も広いし、道筋の見通しもよくなる。AICについて、AkaikeではなくAn Information Criteria と控えめに言っていたのが印象的
統計数理研究所
@tousuuken
本日は統計数理研究所第8代所長 赤池弘次先生の生誕90周年です。
https://www.google.com/doodles/hirotugu-akaikes-90th-birthday Aを公理とするとき、A|-BもA|-¬Bも証明可能ではないですから、Bは決定不能命題ですか？ 有限の立場からの質問です
普通、(公理的集合論で？)超限帰納法の定理を証明する時って背理法によって証明しますよね？
これを直接(構成的に？)証明することって出来るんですか？ 質問
自然数論の無矛盾性証明の下準備として、その証明に関係することになる順序数の定義を行うじゃ無いですか？
で、そこで定義される順序数って、その証明に必要なことを便宜的に駆け足で定義しているせいか、公理的集合論(ZFC)で議論される順序数の定義とは違ったものじゃ無いですか？
そこで気になったんですが、この順序数の定義と公理的集合論における順序数の定義って同値ですか？
なんとなく 有限の立場から(ZFCを仮定せずに定義されている？)順序数の定義から帰結される命題集合 ⊆ ZFCでの順序数の定義から帰結される命題集合
な感じはするんですが、⊇の主張には何か他の仮定がいるんですかね？
ZFCで習った順序数と違う定義を学んだものでしたので疑問を持ちました ZFにおける議論において、
順序数がカントール標準形を持つこと、
特にε_0未満の順序数については自然数とωだけを用いた標準形を持つことを示せる。
したがって、有限の立場においても、
自然数と新しく導入した記号ωを用いればカントール標準形と外見上全く同じ有限長の記号列を定義できる。
この記号列に対して順序を入れることもできる。
再びZFにおいて議論すると、
有限の立場で定義されたこの記号列全体は（順序まで含めて）ε_0未満の順序数全体と一対一対応することが示せる。
特に、この記号列全体は整列集合であることが示せる。
この記号列全体がZFでは整列集合であることがわかったので、
「この記号列全体は整列集合である」という仮定を追加して有限の立場を拡張しようと思う。
もちろん「」内の命題は自然数論では証明できない。もしできたら第二不完全性定理に反する。
無矛盾性証明では（自然数に関する）数学的帰納法を拡張した体系で議論することを基本方針としよう。 細かいことだけど以下のように訂正
× この記号列全体は整列集合である
○ この記号列からなる無限下降列は存在しない >>42
ジャストミートな回答ありがとうございます
モヤモヤ感が何となく解けました 以前、直観主義論理で証明可能では無い論理式についてのレスがありましたが、それに関係する記述を見つけたので書いておきますと、
竹内外史「数学基礎論」共立出版株式会社 の68ページの記述がそのまんまそれですね
ゲンツェン流の体系LJにおいて以下の式はprovableではない(一部抜粋)
１） ⇒A∨¬A
２） A⊃B ⇒¬A∨B
５） ¬∃x¬A(x) ⇒ ∀xA(x)
provableでない事の証明も載っています。カット除去定理を使った系としての証明ですね。 UAB := ¬∃(Ax∧Bx)
なる U があれば NAND だけで命題論理が作れるようにそれだけで一階述語論理が作れるってマジ？ >>46
もう少し具体的に教えてもらえますか？どこでそんなこと聞いたのかも含めて >>46
面白い記述を見つけました
竹内外史の「数学基礎論」101ページ
Γ_0＾~の下では、∃xA(x)とA(Min(x)A(x))とは同等である
(この意味でMinを用いれば、∀とか∃とかを取り除くことが出来る)
という記述がありますね。 >>47
コンビネータ論理を考案したシェーンフィンケリが示したけど、あまり知られていないらしい。
コンビネータ論理についてネット検索してた時に見かけた記事で読んだんだけど、今探したらちょっと見つけられなかった。
束縛変項に関する公理がなんか姑息というか、美しくないように感じるので、これを消せないかと思ってコンビネータ論理について色々調べてたんだが、コンビネータ論理って inconsistent らしいのね。
>>48
違うアプローチみたいだけど面白そう。その本は持ってないけど買ってみるわ。でも自分みたいなドシロウトには難しそう… ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
