不等式への招待 第9章 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>958 (2)
ついでだけど、n文字の場合も AM-GM で
Σ[j=1,n] k_j (a_j)^n a_{j+1} ≧ a_1(a_1・a_2…a_n) = a_1,
巡回的にたす。
k_j = 1/(n+1) - (-1)^j・n^{n-j}/[n^n - (-1)^n] > 0,
a_{n+1} = a_1, >>958-959
(1)は Vasc's Inequality というらしい。
Vascって人名かな?
https://i.imgur.com/FSQSdQY.jpg a,b,c>0, aa+bb+cc=3 に対して、
(a^5)/(b^3+c) + (b^5)/(c^3+a) + (c^5)/(a^3+b) ≧ (3/2)*(abc)^2.
バスク大佐の不等式を使って証明できるらしい… >>963
aa+bb+cc = S とおく。
a(b^3 +c) + b(c^3 +a) + c(a^3 +b) = (ab^3 +bc^3 +ca^3) + (ab+bc+ca) ≦ SS/3 + S, (>>958 (1))
コーシーで
{a(b^3 +c) + b(c^3 +a) + c(a^3 +b)}(左辺) ≧ (a^3 +b^3 +c^3)^2 ≧ (aa+bb+cc)^3 /(1+1+1) = (1/3) S^3,
∴ (左辺) ≧ (S^3)/(SS+3S) = SS/(S+3), >>959 (1)
4点で等号成立。
A=B=C より
(a, b, c) = (1, 1, 1) (1, 1+t, 3+1/t) = (1, 1+t, tt-3t-1)
t は t^3 -3t^2 -4t -1 = 0 の根
t = -0.69202147163 -0.3568958679 4.0489173395 n次元ベクトル a_1、…、a_m の相加平均を A = (a_1+…+a_m)/m とおく。
任意のn次元ベクトル x に対して、
Σ[k=1 to m] |a_k - x|^2 = Σ[k=1 to m] |a_k - A|^2 + m*|x - A|^2.
むむっ、不等式じゃないな… どれも-1以上である実数a,b,c,d,eはa+b+c+d+e=5であるという
このときの(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)の最大値と最小値を求めよ
2019年度中国数学オリンピック第一問 >>966
n次元ベクトル y = (y_1, y_2, …, y_n) に対して
|y|^2 = (y_1)^2 + (y_2)^2 + …… + (y_n)^2
∴ n個の成分に分けて考え、和をとればよい。
∴ n=1 (スカラー) の場合に帰着する。
a_k - x = (a_k - A) - (x - A),
(a_k -x)^2 = (a_k - A)^2 - 2(a_k - A)(x - A) + (x - A)^2,
となるが、右辺第2項は 和をとれば
納k=1,m] (a_k - A) = (a_1 + a_2 + … + a_m) - mA = 0,
となって消える。 >>967
最大値 32 a=b=c=d=e=1 のとき。
最小値 -512 {a,b,c,d,e} = {9,-1,-1,-1,-1} のとき。
かな >>951
大阪の「三豊麺」もある。
http://sanpomen.jp/
重量(茹で上がり)
並盛 1玉 350g
大盛 1.5玉 550g
特盛 2玉 750g
山盛 2.5玉 900g (+100円)
(ミツトヨの秤で量ったんぢゃないけど)
大阪のみなみ周辺では、千日前、体育館前、日本橋に店舗があります。 >>970
もしかして面白いと思って書いているのだとしたら、反省した方がいいでござるよ。
荒らすのは止めましょう。 >>968-969、>>972
たとえば、(a,b,c,d,e) = (-1,-1,-1,4,4)のとき、288.
この手の不等式を見たときに、方針がぱっと出てこない悲しさ。 最大値や最小値をとるときの変数に、限界値の-1が入るのは理由があるのかな? >>967
(1) a,b,c>-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
(2) a,b,c,d>-1, a+b+c=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+a)≦144.
(3) a,b,c,d,e>-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288. 書き直し
>>967
(1) a,b,c>-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
(2) a,b,c,d>-1, a+b+c=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144.
(3) a,b,c,d,e>-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288. >>976
また書き間違ってるな (2)の条件のところ もう一度書き直し
>>967
(1) a,b,c>-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
(2) a,b,c,d>-1, a+b+c+d=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144.
(3) a,b,c,d,e>-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288. 〔予想〕
a_1, a_2, …, a_n ≧ -1, a_1+a_2+…+a_n = n, のとき
・n:奇数 (n≧5) ならば
-(2^n)(n-1)^2 ≦ Π(a_j + a_{j+1}) ≦ 2^{n-2} (n-2)^2 (n-1),
・n:偶数 ならば
-2^{n-2} (n-2)^2 (n-1) ≦ Π(a_j + a_{j+1}) ≦(2^n)(n-1)^2,
「良そう」「止そう」と意見が割れるかも知りませぬが…
(不等式スレも平成のうちに2桁に到達でござる。思えば長い道でござった。) 第1章が2003年。
スレ立て放置されていた不等式スレを占拠して15年も経つのか…。 [初代スレ.019]
いいよ!
[初代スレ.034]
正の数 a,b,x,y,X,Y に対して
(axX+byY)^3 ≦ (a^3+b^3)(x^3+y^3)(X^3+Y^3),
(右辺) - (左辺)
= (axY)^3 + (ayX)^3 + (bxX)^3 -3(byY)(axX)^2
+ (bxY)^3 + (byX)^3 + (ayY)^3 -3(axX)(byY)^2
= (axY)^3 + (ayX)^3 + (bxX)^3 -3(axY)(ayX)(bxX)
+ (bxY)^3 + (byX)^3 + (ayY)^3 -3(bxY)(byX)(ayY)
≧ 0, (AM-GM)
スッキリ。
[初代スレ.039]
(参考書)
秋山 仁 + ピーター・フランクル「[完全攻略] 数学オリンピック」日本評論社 (1991/Nov)
p.24-25 [例4-3] 懐かしい。当時は tanスレや nCrスレや、おいらには解けないスレとかあったよなぁ…。
パソコンを何度も買い替えて、今となっては過去ログが見れないが。 >>979
(1) a+b, b+c, c+a のうち負は高々1個。
a+b, b+c, c+a ≧0のとき、AM-GMより、
0 ≦ (a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = 8.
1つだけ負のとき、対称性から a+b < 0 ≦ b+c, c+a としてよい。
このとき、条件より 3<c≦5 で、AM-GMより、
0 ≦ -2(a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {-2(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = (c-1)^3 ≦ 64.
(証明終) 〔補題〕
正の実数a,b,cに対して
[1] (b/a) + (c/b) + (a/c) - {a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ (ab+bc+ca)^2 /{2(a+b+c)abc} ≧ 3/2,
[2] a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ (a+b+c)^2 /2(ab+bc+ca) ≧ 3/2,
(略証)
[1]
(左辺) - (右辺)
= ab/(c(b+c)) + bc/(a(c+a)) + ca/(b(a+b))
= (ab+bc+ca)^2 /{abc[(b+c) + (c+a) + (a+b)]}
≧ (ab+bc+ca)^2 /{2(a+b+c)abc}, (←コーシー)
JMO-2004、[初代スレ.058]
[2] もコーシーで出る。
なお、1/a = A, 1/b = B, 1/c = C とおくと
(ab+bc+ca)^2 /{(a+b+c)abc} = (A+B+C)^2 /(AB+BC+CA),
(a+b+c)^2 /(ab+bc+ca) = (AB+BC+CA)^2 /{(A+B+C)ABC},
(類) Nesbitt-Igarashi >>627 >>835 >>980
偶奇で異なることを見抜いたのは、何かコツがあるの? >>985
辺々たして…
[3] (b/a) + (c/b) + (a/c) ≧ tt/2su + ss/2t ≧ √(st/u) ≧ 3,
ここに s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc.
st-9u = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 ≧ 0, >>986
{-1,……,-1,2n-1} のとき (-1)^n・(2^n)(n-1)^2
{-1,…,-1,n-1,n-1} のとき - (-1)^n・2^{n-2} (n-2)^2 (n-1)
かとオモタ。 >>979
よく見たら、条件式のa,b,c>-1のところが、書き間違ってるな。
正しくは a,b,c≧-1など。 >>979
(1)
a+1=A, b+1=B, c+1=C とおくと、問題は
『A,B,C≧0, A+B+C=6 のとき、32≧(A-4)(B-4)(C-4)≧-8』.
A+B+C=s(=6), AB+BC+CA=t, ABC=u とおくと、不等式は 0≦4t-u≦40.
う〜む、非同次は難しい。
s=6だから、無理やり同時にすると、0≦2st-3u≦120.
これではダメか…。 >>990 (1)
s, t, u で表わせば
(与式) = (a+b)(b+c)(c+a)
= (A+B - s/3)(B+C - s/3)(C+A - s/3)
= (2s/3 - C)(2s/3 - A)(2s/3 - B)
= -4(s/3)^3 + (2/3)st -u,
(与式) = - 4(s/3)^3 + (1/9){5st+(st-9u)} ≧ -4(s/3)^3,
(与式) = (s/3)^3 - (2/27)s(ss-3t) - (1/9)(s^3 -4st+9u) ≦ (s/3)^3, >>990の続きだけど、これで合ってるかな?
> (1) a,b,c>-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
>
> a+1=A, b+1=B, c+1=C とおくと、問題は
> 『A,B,C≧0, A+B+C=6 のとき、32≧(A-4)(B-4)(C-4)≧-8』.
>
> A+B+C=s(=6), AB+BC+CA=t, ABC=u とおくと、不等式は 0≦4t-u≦40.
s=6を使って、同次化して、0 ≦ 9(2st-3u) ≦ 5s^3.
これを証明する。
右側 : 5s^3 - 9(2st-3u) = 5(s^3-4st+9u) + 2(st-9u) ≧0.
左側 : 9(2st-3u) = 15st + 3(st-9u) ≧0. >>992
正解です!
なお、
st - 9u = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 ≧ 0,
s^3 - 4st + 9u = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
= {ab(aa-bb)^2 + bc(bb-cc)^2 + ca(cc-aa)^2}/{(a+b)(b+c)(c+a)}
≧ 0,
http://dic.nicovideo.jp/a/シューアの不等式 >>979
(2)を>>984のように場合分けして解こうとしているんだけど、うまくいかん。 >>984 >>986 >>989 >>990 >>992 >>994
続きは次スレで…
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[初代スレ.998] ハァハァ ∩
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グッジョブ!! .___ //,. ノ≧ \ .i .,,E)__
/ nCr \| / /\ ./ |/ / cos \
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[第5章.991] ___
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_( ⊃ ⊃ チン ☆
|\ ̄ ̄ ̄ ̄旦 ̄\
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 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
[第5章.996] "; ;ヾ; ;ヾ; ;メヾ "ゞ ;ヾ ;ゞ ;" "ゞ ; ; ; ゞ ;" "ゞ";ヾ ; ヾ ;ゞ; ;ゞ ;ゞ ;" "ゞ /. ヽ
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[前スレ.998] _| ::|_
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| ̄| | | ( )⊂ ) (_Ο Ο :::
| ::| | | ⊂ ) (_Ο Ο わかってる、生き延びた奴が
| ::|/ .|_ (_Ο Ο ::::::::: :::::: 不等式を収集し、証明する !
| ::| :::::::::::::::::::::::::::::::: 俺たちゃ死んでも仲間だぜ !!
[前スレ.999] ┏━━━┓
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