不等式への招待第９章 [無断転載禁止]©2ch.net

**不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)** · 2017/09/13(水) 11:20:03.95

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

【まとめWiki】　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

【過去スレ】
・不等式スレッド（第１章） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待第３章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待第４章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待第５章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待第６章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待第７章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待第８章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・過去スレのミラー置き場　http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

【姉妹サイト】
キャスフィ高校数学板不等式スレ　　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ高校数学板不等式スレ２　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/

【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 22:16:00.49

>>627 (Nesbitt-Igarashi)

(略証)
各辺に ab+bc+ca を掛けるとコーシー型になる：

{a(bb+bc+cc) + b(cc+ca+aa) + c(aa+ab+bb)} {a/(bb+bc+cc) + b/(cc+ca+aa) + c/(aa+ab+bb)}
　≧ {a(b+c) + b(c+a) + c(a+b)} {a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)}
　≧ (a+b+c)^2,

そこでラグランジュの恒等式
　(ax + by + cz)(a/x + b/y + c/z) - (a+b+c)^2 = (ab/xy)(x-y)^2 + (bc/yz)(y-z)^2 + (ca/zx)(z-x)^2,
を使う。

・左辺は
　x = bb + bc + cc,
　y = cc + ca + aa,
　z = aa + ab + bb,
　ax + by + cz = (a+b+c)(ab+bc+ca),　　　　　>>621
　(左辺) - (a+b+c)^2 = {a(a+b+c)/(bb+bc+cc)}{b(a+b+c)/(cc+ca+aa)}(a-b)^2 + …

・中辺は
　x = b + c,
　y = c + a,
　z = a + b,
　ax + by + cz = 2(ab+bc+ca),
　(中辺) - (a+b+c)^2 = {a/(b+c)}{b/(c+a)}(a-b)^2 +{b/(c+a)}{c/(a+b)}(b-c)^2 + {c/(a+b)}{a/(b+c)}(c-a)^2,

ここで、
　(a+b+c)/(bb+bc+cc) > (b+c)/(bb+bc+cc) > 1/(b+c),
　(a+b+c)/(cc+ca+aa) > (c+a)/(cc+ca+aa) > 1/(c+a),
　(a+b+c)/(aa+ab+bb) > (a+b)/(aa+ab+bb) > 1/(a+b),
だから
　(左辺) ≧ (中辺).

*　(x,y,z) はもっと改良できるかも…

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 12:43:20.62

>>835 *

　x = (b^n - c^n)/(b-c),
　y = (c^n - a^n)/(c-a),
　z = (a^n - b^n)/(a-b),
とすると
　x-y = -(a-b) D_n /⊿,
　y-z = -(b-c) D_n /⊿,
　z-x = -(c-a) D_n /⊿,
ここに
　D_n = det{ [1，1，1] [a，b，c] [a^n，b^n，c^n] }
　⊿ = (a-b)(b-c)(c-a) = D_2,　　　… Vandermonde の行列式