不等式への招待 第９章 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>821
RMM 12 (Spring2019)
JP.173
Prove that in any triangle ABC,
1/a + 1/b + 1/c ≧ √{3/(2Rr)} ≧ (√3)/R.
JP.179
In acute triangle ABC the following relationship hplds:
3 ≦ sin(2A)/sin(2B) + sin(2B)/sin(2C) + sin(2C)/sin(2A) ≦ 3/{8cos(A)cos(B)cos(C)},
UP.171
Find that in any acute-angled triangle ABC the following inequality holds:
min{a/(b+c), b/(c+a), c/(a+b)} ≦ {cos(A) + cos(B) + cos(C)}/3 ≦ Max{a/(b+c), b/(c+a), c/(a+b)},
UP.175 (改)
In acute triangle ABC the following relationship holds:
(b+c)^2/(bb+cc-aa) + (c+a)^2/(cc+aa-bb) + (a+b)^2/(aa+bb-cc) ≧ 12,
等号成立は正△のとき、だろうな… >>819 >>823
RMM 11 (Winter2018)
JP.158 (訂正)
Let a,b,c>0. Prove that:
(1/a + 1/b + 1/c) + a/(bb+cc) + b/(cc+aa) + c/(aa+bb) ≧ ３/(a+b) + ３/(b+c) + ３/(c+a),
(略証) チェビシェフしたあと、
(1/x + 1/y)/2 + (x+y)/{2(xx+yy)} - 3/(x+y)
= (x+y)/(2xy) + (x+y)/{2(xx+yy)} - 3/(x+y)
= (x+y)(xx+xy+yy)/{2xy(xx+yy)} - 3/(x+y)
= (x-y)^2 (xx-xy+yy)/{2xy(xx+yy)(x+y)}
≧ 0, >>822
√{2(x^4+y^4+z^4)(x^2+y^2+z^2)} にCSを使うと、使い方次第で
≧ (√2)(x^3+y^3+z^3) にも
≧ x^2√(y^2+z^2) + y^2√(z^2+x^2) +z^2√(x^2+y^2) にもなるんだな。 >>822 >>829
コーシーとチェビシェフの合わせ技（?）
〔補題〕
(a,b,c) と (p,q,r) が同順序のとき
√(aa+bb+cc) √(pp+qq+rr) ≧ (ap+bq+cr) ≧ (a+b+c)(p+q+r)/3 ≧ (aq+ar+bp+bq+cp+cq)/2,
(a,b,c) と (p,q,r) が逆順序のとき
√(aa+bb+cc) √(pp+qq+rr) ≧ (aq+qr+bp+br+cp+cq)/2 ≧ (a+b+c)(p+q+r)/3 ≧ (ap+bq+cr), z∈C が |z + 1/2| < 1/2 をみたすとき、
任意の n∈N に対して |1 + z + z^2 + … + z^n|^2 < 1. >>831
題意より、
|z| ≦ |z+1/2| + (1/2) < 1,
∴ |1-z|^2 = (1-z)(1-z~)
= (3/2) - 2|z+1/2|^2 + 3|z|^2
> 1 + 3|zz|
> 1 + 2|zz| + |zz|^2
= (1+|zz|)^2,
∴ |1-z| > 1 + |zz| > 1 + |z|^(n+1) ≧ |1 - z^(n+1)|.
東工大-2000 前期 Q．2
[第７章．114，116，160]
Inequalitybot [183] >>831
この問題の結論の不等式って、|1 + z + z^2 + … + z^n| < 1 と書かずに、
あえて2乗にしているのは、何か意味があるのかな？ >>627 (Nesbitt-Igarashi)
(略証)
各辺に ab+bc+ca を掛けると コーシー型になる：
{a(bb+bc+cc) + b(cc+ca+aa) + c(aa+ab+bb)} {a/(bb+bc+cc) + b/(cc+ca+aa) + c/(aa+ab+bb)}
≧ {a(b+c) + b(c+a) + c(a+b)} {a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)}
≧ (a+b+c)^2,
そこで ラグランジュの恒等式
(ax + by + cz)(a/x + b/y + c/z) - (a+b+c)^2 = (ab/xy)(x-y)^2 + (bc/yz)(y-z)^2 + (ca/zx)(z-x)^2,
を使う。
・左辺は
x = bb + bc + cc,
y = cc + ca + aa,
z = aa + ab + bb,
ax + by + cz = (a+b+c)(ab+bc+ca), >>621
(左辺) - (a+b+c)^2 = {a(a+b+c)/(bb+bc+cc)}{b(a+b+c)/(cc+ca+aa)}(a-b)^2 + …
・中辺は
x = b + c,
y = c + a,
z = a + b,
ax + by + cz = 2(ab+bc+ca),
(中辺) - (a+b+c)^2 = {a/(b+c)}{b/(c+a)}(a-b)^2 +{b/(c+a)}{c/(a+b)}(b-c)^2 + {c/(a+b)}{a/(b+c)}(c-a)^2,
ここで、
(a+b+c)/(bb+bc+cc) > (b+c)/(bb+bc+cc) > 1/(b+c),
(a+b+c)/(cc+ca+aa) > (c+a)/(cc+ca+aa) > 1/(c+a),
(a+b+c)/(aa+ab+bb) > (a+b)/(aa+ab+bb) > 1/(a+b),
だから
(左辺) ≧ (中辺).
* (x,y,z) はもっと改良できるかも… >>835 *
x = (b^n - c^n)/(b-c),
y = (c^n - a^n)/(c-a),
z = (a^n - b^n)/(a-b),
とすると
x-y = -(a-b) D_n /⊿,
y-z = -(b-c) D_n /⊿,
z-x = -(c-a) D_n /⊿,
ここに
D_n = det{ [1，1，1] [a，b，c] [a^n，b^n，c^n] }
⊿ = (a-b)(b-c)(c-a) = D_2, … Vandermonde の行列式 >>836
3文字のとき
D_n = det{ [1，1，1] [a，b，c] [a^n，b^n，c^n] }
= (c-b)a^n + (a-c)b^n + (b-a)c^n,
特性多項式
(λ-a)(λ-b)(λ-c) = λ^3 -s・λ^2 + tλ -u,
ただし s = a+b+c，t = ab+bc+ca，u = abc,
漸化式
D_n = s･D_{n-1} - t･D_{n-2} + u･D_{n-3},
D_n/⊿ = Σ {すべての(n-2)次積}
… (n-2)個の重複組み合わせに対応
D_0 /⊿ = 0,
D_1 /⊿ = 0,
D_2 /⊿ = 1,
D_3 /⊿ = a+b+c = s,
D_4 /⊿ = aa+ab+ac+bb+bc+cc = ss-t,
D_5 /⊿ = s^3 -2st +u,
D_6 /⊿ = s^4 -3sst +tt +2su,
D_7 /⊿ = s^5 -4s^3･t +3stt +3ssu -2tu, >>837
まづ
x_1 = y_1 = z_1 = 1,
x_2 = b+c，y_2 = c+a，z_2 = a+b,
x_3 = bb+bc+cc，y_3 = cc+ca+aa，z_3 = aa+ab+bb,
……
x_n = b^(n-1) + b^(n-2)c + …… + c^(n-1),
とおく。
ラグランジュの恒等式から
(ax+by+cz)(a/x + b/y + c/z) - (a+b+c)^2
= (a/x)(b/y)(x-y)^2 + (b/y)(c/z)(y-z)^2 + (c/z)(a/x)(z-x)^2
= (D_n/⊿)^2 {(a/x_n)(b/y_n)(a-b)^2 + (b/y_n)(c/z_n)(b-c)^2 + (c/z_n)(a/x_n)(c-a)^2}, >>835
そこで
(D_n/⊿)/x_n，(D_n/⊿)/y_n，(D_n/⊿)/z_n
がnについて単調増加であることを示そう。
F_n = x_n (D_{n+1}/⊿) - x_{n+1} (D_n/⊿)
= {(b-a)(ab)^2 + (c-b)(bc)^2 + (a-c)(ca)^2} /⊿
= (D_{-n}/⊿)u^n
= Σ {ab，bc，ca の (n-1)次積}
≧ 0,
∴ nについて単調増加。
(D_{n+1}/⊿) / x_{n+1} ≧ (D_n/⊿) / x_n ≧ …… ≧ (D_2/⊿) / x_2 = 1/(b+c),
これを Nesbitt-Igarashi 列とか呼ぼう。
F_0 = 0,
F_1 = 1,
F_2 = t,
F_3 = tt -su,
F_4 = t^3 -2stu +uu,
漸化式
F_n = t F_{n-1} - su F_{n-2} + uu F_{n-3}, Nesbitt ってネビットだよな？ まさかネスビットって発音するん？ >>841
うーむ。
Nesbitt's inequality の英語のwikiを見てきたが、どこの国の人か分からんなあ。
ところで Nesbitt's inequality の一般化について、このスレでやったことあったっけ？ 不等式ぢゃないが、次の等式を手計算で証明するのはキツそうでござるかな？
(6a^2 - 4ab + 4b^2)^3 + (3b^2 + 5ab - 5a^2)^3
= (6b^2 - 4ab + 4a^2)^3 + (3a^2 + 5ab - 5b^2)^3 >>843
(6aa-4ab+4bb)^3 - (6bb-4ab+4aa)^3 = (3aa+5ab-5bb)^3 - (3bb+5ab-5aa)^3,
(略証)
x^3 - y^3 = (x-y)(xx+xy+yy),
から
(maa-nab+nbb)^3 - (naa-nab+mbb)^3
= (m-n)(a-b)(a^3+b^3) {(mm+mn+nn)(aa+ab+bb) -3(m+n)n･ab}
= (a-b)(a^3+b^3) {(m^3 - n^3)(aa+ab+bb) - 3(m-n)(m+n)n・ab},
(m，n) = (6，4) (3，-5) のときは
m^3 - n^3 = 152,
(m-n)(m+n)n = 80,
となり、相等しい。 >>844
おぉ有難い。上手にやりましたね。
それにしても、この等式を見つけ出したラマヌジャンは変態ジャン。 >>844
> = (a-b)(a^3+b^3) {(m^3 - n^3)(aa+ab+bb) - 3(m-n)(m+n)n・ab},
ここは
= (a-b)(a^3+b^3) {(m^3 - n^3)(aa+ab+bb)}
じゃないですか？ >>843
6^3 + (-4)^3 + (-3)^3 + (-5)^3 = 0,
4^3 + (-6)^3 + 5^3 + 3^3 = 0,
から推して
(6aa+pab+4bb)^3 + (-4aa-pab-6bb)^3 + (-3aa+qab+5bb)^3 + (-5aa-qab+3bb)^3 = 0,
と予想する。(p,q は或る定数)
ab=0 のときは明らか。
6ab(aa-bb){2(5p-4q)(aa+bb) + (84+pp-4qq)ab} = 0,
5p -4q = 0， 84 +pp -4qq = 0,
p = ±4， q=±5 (複号同順)
(例)
a = ±１，b = ±2，p=±4，q=±5 (複号同順）のとき
±{30，-36，27，-3} = ±3{10，-12，9，-1} >>847
12^3 - 10^3 = 9^3 - 1^3 = 8^3 - (-6)^3 = 728,
のような珍例を「ナニワ数」と云う。…っちゅうのは冗談やけどな。
・系列解は他にもある。
{7aa-16ab-3bb，14aa+4ab+6bb，-14aa+4ab-6bb，-7aa-16ab+3bb} (Dickson)
(maa-pab-nbb)^3 + (-maa-pab+nbb)^3 = -6pab(maa-nbb)^2 -2ppp(ab)^3
m → km，n' → -kn，p' → -p/kk とすれば 6pab(maa+nbb)^2 + 2(p/kk)^3 (ab)^3
辺々たすと 2p{12mn - (1 - 1/k^6)pp}(ab)^3,
12mn - (1 - 1/k^6)pp = 0 ならば成立。
{aa-7ab+63bb，8aa-20ab-42bb，6aa+20ab-56bb，-9aa+7ab-7bb}
http://www.maroon.dti.ne.jp/fermat/dioph1.html
・Fermat cubic surface とか云うらしい。
http://www.math.harvard.edu/~elkies/4cubes.html m^3 - n^3 = m’^3 - n’^3 のとき、 ラマヌジャン系列
(maa+pab+nbb)^3 - (naa+pab+mbb)^3
= (m-n)(a^2-b^2)｛(mm+mn+nn)(a^4+aabb+b^4) + 3(m+n)p ab(a^2+b^2) + 3(pp+mn) aabb｝
= (m^3 - n^3) (a^6 - b^6) + 3(m^2-n^2)p ab(a^4 - b^4) + 3(m-n)(pp+mn) aabb(a^2-b^2),
→ m^3 - n^3，(m^2-n^2)p，(m-n)(pp+mn) が等しいとき、相等しい。
(maa+qab-nbb)^3 - (naa+qab-mbb)^3
= (m-n) (a^2+b^2)｛(mm+mn+nn)(a^4-aabb+b^4) + 3(m+n)q b(a^2-b^2) + 3(qq-mn) aabb｝
= (m^3 - n^3) (a^6 + b^6) + 3(m^2-n^2)q ab(a^4 - b^4) + 3(m-n)(qq-mn) aabb(a^2 + b^2),
→ m^3 - n^3，(m^2-n^2)q，(m-n)(qq-mn) が等しいとき、相等しい。 〔問題2943〕
a,b,c,d,e は正の実数とする。次を示せ。
(aa+bb+cc+dd+ee)^5 ≧ 3 abcde (a+b+c+d)(b+c+d+e)(c+d+e+a)(d+e+a+b)(e+a+b+c),
http://suseum.jp/gq/question/2943 (K.Chikaya) >>851
この出題者が出していた大量の不等式の問題は、もう削除されて見れないんだよな。
実に惜しいことをした。 bot.62
x,y,z∈[0,1] のとき、sqrt|x-y| + sqrt|y-z| + sqrt|z-x| の最大値
どぉやるんでせうか？ (3/4)*(1 + A/H)^2 ≧ (A/G)^3 + (G/H)^3
この手の不等式が胸やけ起こしそうなくらい沢山載ってる本ないかな？ >>853 [62]
yはxとzの中間にあるとする。コーシーで
(√|x-y| + √|y-z|)^2 ≦ (1+1) (|x-y|+|y-z|) = 2|x-z|,
(左辺) ≦ (1+√2)|z-x| ≦ 1+√2,
等号は（0，1/2，1) etc.
中国MO-2012 Round2-A.3 三角形の辺長 a,b,c に対して、
Σ[cyc] (a+b-c)(b+c-a)/(c+a-b) ≧ 3(aa+bb+cc)/(a+b+c). >>856
b+c-a = x, c+a-b = y, a+b-c = z,
とおく。(Ravi変換)
2a = y+z, 2b = z+x, 2c = x+y, a+b+c = x+y+z,
(左辺) = xy/z + yz/x + zx/y = (xxyy+yyzz+zzxx)/xyz,
(右辺) = 3(aa+bb+cc)/(a+b+c)^2 = 6(xx+yy+zz+xy+yz+zx)/{4(x+y+z)},
4(x+y+z)(xxyy+yyzz+zzxx) - 6xyz(xx+yy+zz+xy+yz+zx)
= (3x+y+z)[x(y-z)]^2 + (x+3y+z)[y(z-x)]^2 + (x+y+3z)[z(x-y)]^2 ≧ 0,
かな。 Heronを使ったら、問題文はもっと見やすくなりましたな >>854
(3/4)(1 + A/H)^2 - (A/G)^3 - (G/H)^3 -1 = (1/108){(a-b)(b-c)(c-a)/abc}^2 ≧ 0,
(略証)
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc, ⊿ = (a-b)(b-c)(c-a),
とおくと
A = s/3, G = u^(1/3), H = 3u/t,
A/H = st/9u, A/G = s/{3u^(1/3)}, G/H = t/{3u^(2/3)},
ゆえ
(左辺) = (3/4)(1+st/9u)^2 - s^3/27u - t^3/27uu -1
= (1/108uu){(st+9u)^2 -4s^3u -4t^3 -108uu}
= (1/108uu)⊿^2, >>859
(3/4)*(1 + A/H)^2 ≧ (A/G)^3 + (G/H)^3 + 1
3変数の場合に上式を証明しているけど、これは一般の場合にも成り立つのかな？
>>854では、右辺に +1がないのには意味があるのかな？ >>860
n≧4 では不成立かも。
(1,1,1,10^4) とか (1,1,1,10^(-4)) とか… >>854
> (3/4)*(1 + A/H)^2 ≧ (A/G)^3 + (G/H)^3
これじゃの
Crux Mathematicorum, P.74, 1834.
http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf [2] かんどころ P.121定理6.7 は、証明ついてないようだけど、どうやればいいか分かりますか？ >>860
右辺に +1 が無いと緩くなります。
2変数の場合は
(3/4)(1 + A/H)^2 - (A/G)^2 - (G/H)^2 -1 = (3a+b)(a+3b){(a-b)/8ab}^2 ≧ 0,
∵ (A/G)^2 = (G/H)^2 = A/H = (a+b)^2 /4ab, 余談ですが、n変数の (A-G)/(G-H) の下限は
n=2 1.0
n=3 0.90096030150908885
n=4 0.7761577683742073233
n=5 0.67617485
n=6 0.59845640
n=7 0.53716474
n=8 0.48781223
n=9 0.44727765
n=10 0.41339822
ぐらいかな。
http://suseum.jp/gq/question/2646, 2948 >>863, >>865
A-Gと言えば、Jacobsthalくらいしか思いつかないなあ a≧b≧0, x≧y≧0 に対して、
(ax+y+c)(x+by+c)≧{(a+1)x+c}{(b+1)y+c}. >>867
あまりにもショボすぎるので、改造してみた。
a,b,c,d,x,y,z∈R, a≧d≧0, b≧c≧0, x≧y≧0 に対して、
(ax+cy+z)(bx+dy+z)≧{(a+b)x+z}{(c+d)y+z}.
後ろのzも pz+qw, rz+sw にできぬか？
l三｀ｰ ､_;:;:;:;:;:;:j;:;:;:;:;:;:_;:;:;_;:〟-三三三三三l
l三 r＝ﾐ''‐--‐';二,_￣ ,三三三彡彡l_ この感じ・・・・
lﾐ′ ￣ ー-'" '＝ミﾆ彡彡/‐､ヽ
l;l ,_-‐ 、 __,,.. - ､ 彡彡彳､.//
＿＿＿＿＿＿＿∧,､＿∥ `之ヽ､, i l´ _,ｨ辷ｧ-､、 彡彡'r ノ/＿ ＿_＿＿＿_
￣￣￣￣￣￣￣'`'`￣ 1 ￣ﾌ/ｌ l::. ヽこ~￣ 彡彳~´/ ￣￣￣￣￣￣
ヽ ´ :l .l:::. 彡ｨ-‐'′
ゝ、 / :. :r-､ 彡′
／ ｨ:ﾍ ｀ヽ:__,ｨ='´ 彡;ヽ､
_,,..-‐'7 /:::::::ヽ _: :_ ヽ ｨ´.}::ヽ ヽ、
_,-‐'´ { ヽ:::::::::ﾍ ｀'ｰ=＝=ｰ-- ' ／ﾉ /::::::ﾍ, ヽｰ､ できた ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ
a,b,c,d,p,q,r,s,x,y,z.w∈R,
a≧d≧0, b≧c≧0, p≧s≧0, q≧r≧0, x≧y≧0, z≧w≧0 に対して、
(ax+cy+pz+rw)(bx+dy+qz+sw)≧{(a+b)x+(p+q)z}{(c+d)y+(r+s)w}. 話を元に戻すと、>>867 を使ったAM-GMの証明 （[2] かんどころP.118）で、
1回目に>>867を使うところは分かる。
(a_1 + a_2 + (a_3+…+a_n))(a_1 + a_2 + (a_3+…+a_n))
≧(2a_1 + (a_3+…+a_n))(2a_2 + (a_3+…+a_n))
2回目に>>867を使うところ、どこが対応しているのか分からんのですが、どうなってるのですか？
(2a_1 + (a_3+…+a_n))(a_1 + a_2 + (a_3+…+a_n))
≧(3a_1 + (a_4+…+a_n))(2a_3 + (a_2+a_4+…+a_n))
以下続けて (k*a_1+ a_{k+1}+…+a_n) と (a_1 + a_2 + (a_3+…+a_n)) に>>867を使って
最終的に n*a_1 と S-a_1+a_k (k=2.3.…,n) になるまで続けるんだけど、そこが分かりませぬ。 >>870
>>867 を使わなくても出せるでござる。
A-S≧0，d≧0 のとき
(A-d)S - A(S-d) = d(A-S) ≧ 0,
ここで
S = a_1 + a_2 + … + a_n,
A = k･a_1 + a_{k+1} + … + a_n, （k=n のとき A=n･a_1)
d = a_1 - a_k ≧ 0,
とおいて
{(k-1)a_1 +(a_k + … +a_n)}S - (k･a_1 +a_{k+1} + … +a_n)(S -a_1 +a_k) = (a_1 -a_k)(k･a_1 -S) ≧ 0, (k=2,3,…,n) >>866
〔Jacobsthalの不等式〕
(n-1)個の正の実数 x_1, x_2, …, x_(n-1) の相加平均をA '、相乗平均をG ' とする。
それに x_n (>0) を追加した n個組の相加平均をA_n、相乗平均をG_n とする。このとき
n(A_n - G_n) ≧ (n-1)(A '-G '), …[1]
(A_n/G_n)^n ≧ (A '/G ')^(n-1), …[2]
(略証)
A_n, G_n, x_n を A, G, x と略記する。
[1]
n A - (n-1)A '= x,
n G - (n-1)G '= G '{n(G/G ') - (n-1)} ≦ G '(G/G ')^n = x, (← Bernoulli)
辺々引く。
[2]
A '(A/A ')^n ≧ A '{n(A/A ') - (n-1)} = n - (n-1)A '= x, (← Bernoulli)
G '(G/G ')^n = x,
辺々割る。
[1] または [2] を n=1 まで繰り返すと A ≧ G が出る。
ニコニコ大百科
http://dic.nicovideo.jp/a/jacobsthalの不等式 >>871
ありがとうございます。
なるほど、>>867を使わずにできますね。
>>871の不等式を使って、残りも同様にしていけばいいんですね。
つまり prime132氏が新証明(?)をしたわけですな。
Guha が1967年に>>867を繰り返し使ってAM-GMを証明した方法も知りたい。
「Guha 1967 AM-GM」をgoogleで検索して一番上に出る
When Less is More: Visualizing Basic Inequalities
のPP.31-32に n=4のときに、Guha's inequality を繰り返し使った例があり、
それを見ても、2回目以降にどう使っているのか分かりません。
Guha's inequality
a≧0, p≧q≧0, x≧y≧0, then
(px+y+a)(x+qy+a)≧((p+1)x+a)((q+1)y+a).
(4A_4)^4
＝ (a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)
≧ (2a+c+d)(2b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d) …(1)
≧ (3a+d)(2b+c+d)(b+2c+d)(a+b+c+d) …(2)
≧ 4a(2b+c+d)(b+2c+d)(b+c+2d) …(3)
≧ 4a(3b+d)(3c+d)(b+c+2d) …(4)
≧ 4a(4b)(3c+d)(c+3d) …(5)
≧ 4a(4b)(4c)(4d) …(6)
＝ (4G_4)^4
と書かれているんですが、(1)は(p,q,x,y,a) = (1,1,a,b,c+d)で理解できる。
(2)～(6)はどう適用したのか謎。
たとえば(2)で (2a+c+d)(a+b+c+d)≧(3a+d)(b+2c+d) となるには
(p,q,x,y,a)に何を対応させているのか？x=a, y=c 以外が謎。
左辺第1因子の形からp=2,q=1でないといけないけど、第2因子に2がない。 (3)→(4)は (p,q,x,y,a) = (2,2,b,c,d)で
(5)→(6)は (p,q,x,y,a) = (3,3,c,d,0)か。
じゃあ、残り３ヵ所は、どう適用したんだろう？
(1)→(2) (2a+c+d)(a+b+c+d)≧(3a+d)(b+2c+d)
(2)→(3) (3a+d)(a+b+c+d)≧(4a)(b+c+2d)
(4)→(5) (3b+d)(b+c+2d)≧(4b)(c+3d)
実は使ってないってオチなのか？ 本人の論文を探すしかないな。
U.C.Guha, arithmetric mean-geometric mean inequality, Mathematical Gazette, 51(1967),pp.14-146
というのは分かったけど、ネットに転がってないかな Handbook of Means and Their Inequalities, pp.101-102 を見たら、
Guhaの不等式を使った証明の数式部分が、省略している部分も含めて
[2] かんどころ P.118と全く同じだった。 (1)
|x|≦1, |y|≦1 (x,y∈R) に対して、
0≦ xx + yy - 2xxyy + 2xy*√{(1-xx)(1-yy)} ≦1.
(2)
m>n>1 (m,n∈Z) に対して、
(m+n+1)!/(m!*n!) > {(m+n)^{m+n}}/{(m^m)(n^n)} > 2^{2n-1}. (3)
a,b∈C に対して、
|a+b|/(1+|a+b|) < (|a|+|b|)/(1+|a|+|b|) < |a|/(1+|a|) + |b|/(1+|b|) >>877
(1)
x = sinθ, y = sinφ (-π/2≦θ，φ≦π/2) とおく。
√(1-xx) = cosθ， √(1-yy) = cosφ,
x√(1-yy) + y√(1-xx) = sinθcosφ + sinφcosθ = sin(θ+φ),
両辺を2乗する。
(2)(左)
log{(m+n+1)!} -(m+n)log(m+n) > (3/2)log(m+n) -(m+n) +0.8918
log(m!) - m･log(m) < (1/2)log(m) -m +1,
log(n!) - n･log(n) < (1/2)log(n) -n +1,
辺々引くと
log{(m+n+1)!} -log(m!) -log(n!) -(m+n)log(m+n) +m･log(m) +n･log(n)
> (3/2)log(m+n) - (1/2)log(mn) - 1.1082
> (1/2)log(m+n) + (1/2)log{(m+n)^2 /4mn} + log(2) - 1.1082
≧ (1/2)log(m+n) - 0.41505
≧ (1/2)log(3) - 0.41505 (m+n≧3)
= 0.549306
(2)(右)
(m+n)^{m+n} = (m+n)^{m-n} (m+n)^{2n}
≧ m^{m-n} (4mn)^n
= m^m (4n)^n,
∴ (m+n)^(m+n)/(m^m・n^n) ≧ 4^n,
>>878
(3)
x/(1+x) は x≧0 で単調増加 (x∈R)
|a+b| ≦ |a| + |b|
∴ φ(|a+b|) ≦ φ(|a|+|b|)
= |a|/(1+|a|+|b|) + |b|/(1+|a|+|b|)
≦ φ(|a|) + φ(|b|), >>879 (2) (左)
〔補題〕
log(m!) < (m+1/2) log(m) -m+1,
(略証)
{log(k-1) + log(k)}/2 < ∫[k-1,k] log(x)dx より
log(m!) = Σ[k=2,m] log(k)
< ∫[1,m] log(x)dx + (1/2)log(m)
= [ x･log(x) -x ](x=1,m) + (1/2)log(m)
= (m+1/2)log(m) -m +1,
log(n!) < (n +1/2) log(n) -n+1,
(略証)
{log(k-1) + log(k)}/2 < ∫[k-1,k] log(x)dx より
log(n!) = Σ[k=2,n] log(k)
< ∫[1,n] log(x)dx + (1/2)log(n)
= [ x･log(x) -x ](x=1,n) + (1/2)log(n)
= (n+1/2)log(n) -n +1,
log{(m+n+1)!} > (m+n+3/2) log{(m+n+1)!}
= Σ[k=2,m+n+1] log(k)
> ∫[3/2,m+n+3/2] log(x)dx
= [ x･log(x) -x ](x=3/2,m+n+3/2)
= (m+n+3/2) log(m+n+3/2) -(m+n) -(3/2)log(3/2)
> (m+n+3/2) log(m+n) +(3/2) - (m+n) - (3/2)log(3/2)
= (m+n+3/2) log(m+n) - (m+n) + 0.8918023378 >>879 (2)(左）
log {(m+n+1)!} > (m+n+3/2) log(m+n) - (m+n) + 0.8918
(略証)
log(k) > ∫[k-1/2,k+1/2] log(x)dx より
log{(m+n+1)!} = Σ[k=2,m+n+1] log(k)
> ∫[3/2,m+n+3/2] log(x)dx
= [ x･log(x) -x ](x=3/2,m+n+3/2)
= (m+n+3/2) log(m+n+3/2) -(m+n) -(3/2)log(3/2)
> (m+n+3/2) log(m+n) +(3/2) - (m+n) - (3/2)log(3/2)
= (m+n+3/2) log(m+n) - (m+n) + 0.8918023378 >>877
(1)
右辺-中辺 = [xy - √{(1-xx)(1-yy)}]^2 ≧0,
中辺-左辺 = {x√(1-yy) + y√(1-xx)}^2 ≧0.
(ﾟ∀ﾟ )
ﾉヽﾉ) =3 ﾌﾟｩ
くく >>882
|x|≦1, |y|≦1の条件なんて要らなかったのでは？ [2016東大]
正の実数 x に対して (1 + 1/x)^x < e < (1 + 1/x)^{x + 1/2}. a,b,c>0, a+b+c=1に対して、(1+ 1/a)(1+ 1/b)(1- 1/c) の取りうる値の範囲を求めよ。 >>865
n=4 のとき、(A-G)/(G-H) ≧ 9/16
CGMO-2011 A.4
inequalitybot [35] 〔問題168〕
a,b,c>0 のとき
(aa-bc)(b+c)^r + (bb-ca)(c+a)^r + (cc-ab)(a+b)^r ≧ 0, (0<r<1)
≦ 0, (r>1, r<0)
V.Cirtoaje:"Algeblaic inequalities"、1-1-7
inequalitybot [168] >>888
x = (b+c)^r,
y = (c+a)^r,
z = (a+b)^r,
とおくと
a = (y^{1/r} + z^{1/r} - x^{1/r})/2,
b = (z^{1/r} + x^{1/r} - y^{1/r})/2,
c = (x^{1/r} + y^{1/r} - z^{1/r})/2,
aa-bc = {y^(2/r) +z^(2/r) -x^(1/r)[y^(1/r) + z^(1/r)]}/2,
bb-ca = {z^(2/r) +x^(2/r) -y^(1/r)[z^(1/r) + x^(1/r)]}/2,
cc-ab = {x^(2/r) +y^(2/r) -z^(1/r)[x^(1/r) + y^(1/r)]}/2,
(左辺) = (aa-bc)x + (bb-ca)y + (cc-ab)z
= {x^(2/r)y +xy^(2/r) -(x+y)(xy)^(1/r)}/2 + ……
= (x^{1/r} - y^{1/r})(x^{1/r -1} - y^{1/r -1})xy + …… >888 訂正
〔問題168〕
a,b,c>0 のとき
(aa-bc)(b+c)^r + (bb-ca)(c+a)^r + (cc-ab)(a+b)^r > 0, (r<1)
< 0, (r>1)
= 0, (r=1) >>885
y>0 とする。
(1 + y/2)^2 > 1+y > 1,
∴ 1/(1+y/2)^2 < 1/(1+y) < 1,
0～y で積分すると
y/(1+y/2) < log(1+y) < y,
∴ (1+y)^(1/y) < e < (1+y)^(1/y + 1/2),
y=1/x とおく。 >>879
右辺は甘かったか…。
>>881
> log(k) > ∫[k-1/2,k+1/2] log(x)dx
これは明らかなんですか？ >>877 (1) >>882
(x+iz)(y+iw) = (xy-zw) + ｉ(xw+yz),
(xx+zz)(yy+ww) = (xy-zw)^2 + (xw+yz)^2,
z=√(1-xx)，w=√(1-yy) とおく。 >>892
log(k) > (1/2)log(kk-dd) = {log(k+d) + log(k-d)}/2,
y=log(x) は上に凸だから、x=kでの接線より下側にある。
k-d<x<k+d かつ接線より下の台形の面積は（接線の傾きによらず）2d log(k)
∴ 2d log(k) > ∫[k-d,k+d] log(x)dx >>894
なるほど、ありがとうございます。
>>893
そんなカラクリがあったとは…。 >>880-881
log{(m+n+1)!} の評価は、log k > ∫[k-1,k] log(x)dx でもいけそうな排気ガス… >>896
無理だった。
>>881
> = (m+n+3/2) log(m+n+3/2) -(m+n) -(3/2)log(3/2)
> > (m+n+3/2) log(m+n) +(3/2) - (m+n) - (3/2)log(3/2)
の部分で、以下はどうやって分かるのですか？
(m+n+3/2) log(m+n+3/2) > (m+n+3/2) log(m+n) + (3/2) >>897
(N+d) log(N+d) - (N+d) log(N)
= -(N+d)log{N/(N+d)}
= -(N+d) log{1 - d/(N+d)}
≧ -(N+d) {-d/(N+d)}
= d, >>899
さんくす。
x=a(>0) における log x の接線を考えて、
(x-a)/a + log a ≧ log x.
x=1, a = (N+d)/N を代入すればいいのかな。 >>898
3.
{1/a,1/b,1/c,1/d} について 16A + 9H ≧ 25G,
>>887 と同じですね。 >>877(2)左側
0≦x≦1 において f(x) = x^m (1-x)^n は x = m/(m+n) で最大値をとる.
I(m,n) = ∫[0,1] f(x)dx とおくと, I(m,n) ≦ f(m/(m+n)) より
(m!*n!)/{(m+n+1)!} ≦ {(m^m)(n^n)}/{(m+n)^{m+n}}
[東京医科歯科大学2013数学第3問] >>856-857
大昔のPutnumに、これより弱い不等式があったよね。
>>885
Moreau's inequality が思い浮かぶと同時に、一松先生を思い出す。（謎掛け） 三角形の辺長 a,b,c に対して、
(1) Σ[cyc] aa(b+c-a) ≦3abc.
(2) Σ[cyc] aab(a-b) ≧0.
そもそも(1)は辺長でなくても非負実数で成り立つでおじゃるな。 >>904
(1)
(右辺) - (左辺) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = F1(a,b,c) ≧ 0,
△である必要はない。
(2)
a = y+z、b = z+x、c = x+y とおく。(Ravi変換)
(左辺) = aab(a-b) + bbc(b-c) + cca(c-a)
= 2(xyyy+yzzz+zxxx) - 2xyz(x+y+z)
= (2/7)(2xyyy +yzzz +4zxxx -7xxyz) + cyc.
≧ 0,
IMO-1983, A.6
文献[9] 佐藤(訳) (2013) 問題2.24
Inequalitybot [24] >>856 >>903 >>906
27th Putnum-1966
A2.
A triangle has sides a, b, c. The radius of the inscribed circle is r. Show that
1/(b+c-a)^2 + 1/(c+a-b)^2 + 1/(a+b-c)^2 ≧ 1/(2r)^2, >>855
中国MOの問題が載っているリンクがあれば教えてください。 x, y≧1 に対して、x√(y-1) + y√(x-1) ≦xy. >>910
√(x-1) = X,
√(y-1) = Y,
とおく。
XX-X+1 ≧ X,
YY-Y+1 ≧ Y,
(右辺) - (左辺) = ｘｙ - ｘ√(y-1) - y√(x-1)
= (XX+1)(YY+1) - (XX+1)Y - (YY+1)X
= {(XX+1)-X} {(YY+1)-Y} - XY
≧ XY - XY
= 0,
あるいは
x = (cosh u)^2， y = (cosh v)^2 とおく。 >>910 >>913
x-2X ≧ 0,
y-2Y ≧ 0,
(右辺) - (左辺) = ｘｙ - ｘY - yX
= x(y-2Y)/2 + y(x-2X)/2
≧ 0,
でもいいけど… a, b >0 に対して、aabb(aa+bb-2)≧(ab-1)(a+b).
非同次は苦手でおじゃる。 三角形の辺長a,b,cに対して、a(b+c-a)<2bc. >>916 は「美しい不等式pp.69-70」にあるが、証明が美しくないよな。
普通に差をとったら綺麗にできるのになあ。 >>915
a, b, c >0 に対して、aabb (aa+bb-2cc) ≧ (ab-cc) (a+b) ccc,
これで どうじゃ（同次ゃ） >>915 >>918
(左辺) - (右辺)
≧ (a+b)(ab)^(5/2) - (a+b)(ab)^(3/2)･cc - (ab-cc)(a+b)c^3
= (a+b)(ab - cc) [(ab)^{3/2} - c^3]
≧ 0, >>916 >>917
x = (b+c-a)/2, y = (c+a-b)/2, z = (a+b-c)/2,
とおく。(Ravi変換)
普通に差をとったら出来ますね^^
2bc - a(b+c-a) = 2(x+z)(x+y) - 2x(y+z) = 2xx + 2yz ≧ 0,
文献[9] 佐藤(訳) §2.2 例2.2.1 p.69 (2013) >>917 >>920
なるほど、Ravi変換は無敵でござるな。
この問題を問題集で見て感じたのは、三角形の成立条件を使った例なのに、
三角形の成立条件が一目で分かりにくい小汚い計算をしていた点。
b,cについて対称だから b≧cとする所まではいい。次のようにした方が美しいと思わん？
aが最大または最小のとき、
2bc - a(b+c-a) = bc + (a-b)(a-c) > 0.
aがbとcの間の数のとき、b≧a≧cだから、
2bc - a(b+c-a) = (a-c)(c+a-b) + c(b+c-a) > 0. >>915 >>918-919
難しすぎる。が、改造してみた。
a, b >0 に対して、ab(aa+bb-2)≧(ab-1)(a+b). >>922
a, b, c, r > 0 に対して (ab)^{r+1/2} (aa+bb-2cc) ≧ (ab-cc) (a+b) (cc)^r,
(略証)
（左辺) - (右辺)
≧ (a+b)(ab)^{r+1} - (a+b)(ab)^r･cc - (ab-cc)(a+b)(cc)^r
= (a+b)(ab-cc) [(ab)^r - (cc)^r]
≧ 0, >>915 + >>922
a, b >0 に対して、aabb(aa+bb-2) ≧ ab(ab-1)(a+b) ≧ (ab-1)(a+b).
つまり改造後の不等式は、より強い式でござる ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
調子に乗って、さらに改造すると、
a, b >0 に対して、{√(ab)}*(aa+bb-2) ≧ (ab-1)(a+b). >>923
（左辺) ≧ (a+b)(ab)^{r+1} - (a+b)(ab)^r･cc
= (a+b)(ab-cc)(ab)^r
≧ (a+b)(ab-cc)(ab)^(r-1) cc
≧ ……
≧ (a+b)(ab-cc)(ab)(cc)^(r-1)
≧ (a+b)(ab-cc)(cc)^r
= (右辺), レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
