不等式への招待 第9章 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>724
なるへそ。右辺のeは1個少なくても成り立つんですな。 さあ、はじめようか?
>>737の左辺は、どこに挟まるのでござるかな?
{a/(2bc)}^2 + {b/(2ca)}^2 + {c/(2ab)}^2
≧ 1/(4a^2) + 1/(4b^2) + 1/(4c^2)
≧ 1/(4ab) + 1/(4bc) + 1/(4ca)
≧ 1/(b+c)^2 + 1/(c+a)^2 + 1/(a+b)^2 ← (>>741, >>749)
≧ 9/{4(ab+bc+ca)}
≧ 1/{(a+b)(b+c)} + 1/{(b+c)(c+a)} + 1/{(c+a)(a+b)}
≧ 9/{(a+b)(b+c) + (b+c)(c+a) + (c+a)(a+b)}
≧ 27/{4(a+b+c)^2}
≧ 9/{(a+b)^2 + (b+c)^2 + (c+a)(a+b)^2}
≧ 9/{4(a^2 + b^2 + c^2)}
" ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ ;ヾ;ヾ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ " ;ヾ ; ;";ヾゝゝ" ;ヾゞ ヽ /
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,|iiii;iiii;;;;:;_ _: :| ___ 不等式の秋 ` ` `,
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, , .,.. ,..M|M|iMii;;ii:i;;i:i;:; ゝ つつ.,.. ,...... ,.... ,,,.,.. ,.... ,,,.,.. ,..,,,,.,...,..,.,| ̄ ̄|,.,..( ).. ,,,..,,.. ,.... ,,,.,...,.. .. ,.... ,,,.,.. ,.... ,,, a, b, c > 0に対して、
(a^2 + 3b^2)(b^2 + 3c^2)(c^2 + 3a^2) ≧ {(a-b)(b-c)(c-a)}^2 ←(>>709-710)
a, b, c > 0に対して、
(a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2) ≧ {(a-b)(b-c)(c-a)}^2.
ところで
(a^2 + 3b^2)(b^2 + 3c^2)(c^2 + 3a^2) と (a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2)
の大小は定まりそうにないですが、どうですか? >>748
神掛かってる!
大量投下したやつを今ごろ確認しているところでござるが、関連する昨夏の不等式を再掲。
(自分のmemoから抜き出したので、未紹介のものもあるかもしれない。)
a、b、c∈R、k≧0、4≧λ≧0 に対して、
(1) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (3kk/4)*(a+b+c)^2
(2) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ {(4k/3)^(3/2)}*(a-b)(b-c)(c-a)
(3) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (kk/4)*{λ(aa+bb+cc) + (9-λ)(ab+bc+ca)}
(4) {aa+ (k+1)/3}{bb+ (k+1)/3}{cc+ (k+1)/3} ≧ {(k+4)/3}^2*{ab+bc+ca+ (k-5)/3}
a、b、c∈R、k≧1 に対して、
(5) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (k+1)^2*(ab+bc+ca+k-2) + (abc-1)^2
a、b、c∈R、k≧2 に対して、
(6) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (k+1)(ab+bc+ca+k-2)^2
a、b、c∈R、k≧(√2)-1 に対して、
(7) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (k+1)^2*{(a+b+c)^2/3 + k-2} >>753
訂正。(3)(5)は a,b,c≧0. >>748
> a,b,c ≧ 0, a+b+c ≦ √(8k) のとき
> kk{(a+b+c)^2 +k} ≧ (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (3kk/4)(a+b+c)^2,
左側の等号成立条件は a=b=c=k=0 以外にありますか? >>755
kは要らんね、a=b=c=0以外に等号が成立することあるかな? 連投すまぬ。
a,b,cのうちの2つが0なら成り立ちますね。他にないかな? >>755
a,b,cのうちの少なくとも2つが0、
a,b,cのうちの一つが0で、2つが√(2k)のとき
これだけかな? >>738 (1)
x, y >0 として証明。
lhs - rhs = {xy(x-y)^2 + (xy-1)^2}/{(x+1)^2 (y+1)^2 (xy+1)} ≧0.
一般化できるかな?つまり、
x,y,z>0 のときに、1/(x+1)^2 + 1/(y+1)^2 + 1/(z+1)^2 ≧ 1/(xyz+1) は成り立つ? 4文字なら、a,b,c,d>0に対して、
1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + 1/(1+c)^2 + 1/(1+d)^2
≧ 1/(1+ab) + 1/(1+cd)
> 1/(1+abcd). 〔補題〕
(1) 4(2-√3) > (√6 -√2),
(2) 12(2-√3) > 4(2-√3) + 2(√6 -√2) > 3(√6 -√2),
(3) (√2 +√3) > 2(√6 -√2) + 4(2-√3),
(4) 22/7 > 2(√6 -√2) + 4(2-√3),
(5) 6 + (√6 -√2) > (√5)(√2 +√3), >>761
(1)
√3 -1 ≒ 0.7320508 1/√2 ≒ 0.70710678
(左辺) - (右辺) = 2(√3 -1)(√3 -1 -1/√2) > 0,
(2)
(1) から直ちに出る。
(3)
(左辺) - (右辺) = (1/4)(√2 -1)^2・(√3 -1)^4・(√3 -√2) > 0,
(4)
(左辺) - (右辺) = (1/14)(√2 -1)^3・(√3 -1)^4・(3√6 -7) > 0,
(5)
さてどうするか…
なお、Snellius-Huygens から、2(√6 -√2) + 4(2-√3) > π が分かる。 >>761
(1)別解
4tan(π/12) > π/3 > 4sin(π/12),
4(2-√3) > π/3 > (√6-√2),
http://d.hatena.ne.jp/haruya12/20120314/1331712378 >>759
s = x+y+z, t = xy+yz+zx, u = xyz とおく。
lhs - rhs = {3+4s+2ss+2(st-3u)+(tt-2su)}/(u+t+s+1)^2 - 1/(u+1)
= {2+2s+(ss-2t)-5u+2(ss-t)u+2(st-9u)u+11uu+(tt-2su)u}/{(u+t+s+1)^2・(u+1)},
≧0. (← x,y,z≧0)
* 2 -5u +11uu = 63/44 + 11(5/22 -u)^2 ≧ 63/44, >>764
キタ━(゚∀゚)━!!!
なるほど、対称式とSchurすごいな。 stu method でも呼ぶかな n変数にして証明できますかね?
a_k >0 (k=1,2,…n) に対して、Σ1/(1+a_k)^2 ≧ 1/(1+Πa_k). x>0に対して、9x^{10} + 2 ≧ 9x^8 + 2x^9 をAM-GMで示せ。
(蛇足だが、この不等式は任意の実数で成り立つ) >>766
nについての帰納法でやってみた。
n=2 は >>759 より成立。
n≧3 のとき
(1) x_j ≧ 1 があるとき、帰納法の仮定により
Σ[k=1,n] 1/(1+a_k)^2 > Σ[k≠j] 1/(1+a_k)^2
≧ 1/(1+Π[k≠j] a_k)
≧ 1/(1+Π[k=1,n] a_k),
(2) x_1〜x_n がすべて1以下のとき、右辺は増加する。
・n=3 の場合がチョト面倒。
(右辺) = 1/(xyz+1) - 1/(xy+1)
= xy(1-z)/{(xyz+1)(xy+1)}
≦ xy(1-z)/{xy(z+1)} (← xy(1-z)≧0)
= (1-z)/(z+1),
(左辺) - (右辺) ≧ 1/(xy+1) + 1/(z+1)^2 -1/(xyz+1) (←帰納法の仮定)
≧ 1/(z+1)^2 - (1-z)/(z+1)
= {z/(z+1)}^2
≧ 0,
・n≧4 ならば
Σ[k=1,n] 1/(1+a_k)^2 ≧ Σ[k=1,n] 1/4 (← a_k≦1)
= n/4
≧ 1
> 1/(1+Π[k=1,n] a_k), >>767
AM-GM より
9x^10 -10x^9 + 1
= (x-1) (9x^9 -x^8 -x^7 -x^6 -x^5 -x^4 -x^3 -x^2 -x -1)
= (x-1)^2 (9x^8 +8x^7 +7x^6 +6x^5 +5x^4 +4x^3 +3x^2 +2x +1)
= (x-1)^2 {5x^8 + (x+1)^2 (4x^6 +3x^4 +2x^2 +1)}
≧ 0,
AM-GMより
4x^10 -5x^8 + 1
= (x^2 -1) (4x^8 -x^6 -x^4 -x^2 -1)
= (x^2 -1)^2 (4x^6 +3x^4 +2x^2 +1)
≧ 0,
(与式) = {(上) + (下)・9}/5 >>769
ごめん、どこでAM-GMを使っているのか分からない。 >>767
(左辺) - (右辺) = 2(4x^10 -5x^8 +1) + {(x-1)x^4}^2
≧ 2(4x^10 -5x^8 +1)
= 2{(X^5 + X^5 + X^5 + X^5 + 1) - 5 X^4} (← X=x^2≧0)
≧ 0,
最後のところで AM-GM を使いました。 >>767
AM-GMより、
x^{10} + x^9 ≧ 2x^9,
8x^{10} + 2 ≧ 10x^8. (x^8 が8個と 1が2個)
辺々加えて、
9x^{10} + 2 + x^8 ≧ 10x^8 + 2x^9.
( ゚∀゚) ウヒョッ! >>738(1) >>759 >>764 >>768
> x,y,z>0 のとき、1/(x+1)^2 + 1/(y+1)^2 + 1/(z+1)^2 ≧ 1/(xyz+1).
右辺を見て次の不等式を思い出したが、繋がるかな?
x,y,z>0 のとき、1/{x(1+y)} + 1/{y(1+z)} + 1/{z(1+x)} ≧ 3/(1+xyz). >>767
p_0 = 9,
p_1(x) = 6.19544630295 + (x-0.03352960039751934)^2 p_0 > 0,
p_2(x) = 3.8953637526451576 + (x-0.003121543171869486)^2 p_1(x) > 0,
p_3(x) = 2.0721715662084579 + (x+0.08618793580133872)^2 p_2(x) > 0,
p_4(x) = x^8 + 2(x+1)^2 (4x^6 +3x^4 +2x^2 +1),
= 0.5197441948878409 + (x+0.8393520966569508138)^2 p_3(x) > 0,
p_5(x) = 9x^10 -2x^9 -9x^8 +2 = (x-1)^2 p_4(x) > 0,
( ゚∀゚) ウヒョッ! >>774
細かい数字が出てよく分からんけど、p_k(x) の定義は何ですか? >>768
> n≧3 のとき
> (1) x_j ≧ 1 があるとき、帰納法の仮定により
> Σ[k=1,n] 1/(1+a_k)^2 > Σ[k≠j] 1/(1+a_k)^2
不等号が逆向きになりませんか?
Σ[k=1,n] 1/(1+a_k)^2 < Σ[k≠j] 1/(1+a_k)^2 >>737
(問題再掲)
> a, b, c >0 に対して、
> a/{b(b+c)^2} + b/{c(c+a)^2} + c/{a(a+b)^2} ≧ 9/{4(ab+bc+ca)}
(証明)
(ab+bc+ca)*[a/{b(b+c)^2} + b/{c(c+a)^2} + c/{a(a+b)^2}]
≧ [ √(ab*a/{b(b+c)^2}) + √(bc*b/{c(c+a)^2}) + √(ca*c/{a(a+b)^2}) ]^2
= [ a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ]^2
≧ (3/2)^2.
∧_∧
( ;´∀`) < シコシコ、ネビットの順に使うナリ。
人 Y /
( ヽ し
(_)_) >>759 >>766 >>768
n≧3 のとき
p = Π[k=1,n-1] a_k, z = a_n とおく。
(右辺) = 1/(p・z+1) - 1/(p+1)
= p(1-z)/{(p・z+1)(p+1)}
= Max{ p(1-z)/{(p・z+1)(p+1)}, 0}
≦ Max{ (1-z)/(z+1), 0}
≦ 1/(z+1)^2,
∴ (左辺) - (右辺) ≧ 0,
>>775
p_k(x) は 2k次の多項式。
p_5(x) = (左辺) - (右辺) = 9x^10 -2x^9 -9x^8 +2,
p_k(x) の最小値を b_k とし、そのときのxを a_k とする。
p_{k-1}(x) = {p_k(x) - b_k}/(x-a_k)^2, >>746
するってぇと、こういうことかい?
k = (1/n)*(n-1)^{(n-1)/n} とおくとき、a,b,c>0 に対して、
a^{n+1}/(a^n + b^n) + b^{n+1}/(b^n + c^n) + c^{n+1}/(c^n + a^n) ≧ (1-k)(a+b+c). >>710
一般の自然数nの場合に右辺はどうなるのでせうか? 次式は成り立ちますか?
a,b,c>0に対して、
(a-b)(a-c)a^n + (b-c)(b-a)b^n + (c-a)(c-b)c^n ≧ (n+1){(a-b)(b-c)(c-a)}^2. >>781
両辺の次数が合ってないから、考えるだけ無駄ですな。 a,b,c>0とし、Δ= (a-b)(b-c)(c-a)とおく。昨夏にやった不等式について。
(1) (27/8)*(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ≧ (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ≧ Δ^2
(2) k*Δ^2 ≧ (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) ≧ Δ^2
(3) m*Δ^2 ≧ (a-b)(a-c)a^4 + (b-c)(b-a)b^4 + (c-a)(c-b)c^4 ≧ 5Δ^2
(疑問1) k、mの値を知りたい。
(疑問2) (1)もΔ^2の定数倍で挟みたい。 >>760
1/(1+ab) + 1/(1+cd) > 1/(1+ab/2)^2 + 1/(1+cd/2)^2 > 1/(1+abcd/4),
>>738(1) >>759
>>773 (下)
1/{x(1+y)} + 1/{y(1+z)} + 1/{z(1+x)} ≧ 3/{G(1+G)} ≧ 3/(1+xyz),
G = (xyz)^(1/3),
バルカンMO-2006
[8] 安藤哲哉 (2014) 例題3.1.7(4)
[9] 佐藤淳郎[訳] (2013) 問題3.93
Inequalitybot [77]
>>783
例えば a=b≠c ⇒ =0 ・n=2
1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 > 1/(1+ab), >>759(上)
・n=3
1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + 1/(1+c)^2 > 1/(1+abc/2), >>759(下) >>773(上)
・n=4
1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + 1/(1+c)^2 + 1/(1+d)^2 > 1/(1 + abcd/4), >>760 >>784
・nについての帰納法で >>784
Σ1/(1+a_k)^2 ≧ 1/{1 + 4Π(a_k /2)}, >>785 念のため…
〔補題〕
n≧2, a_k≧0 (k=1〜n) のとき
Σ[k=1, n] 1/(1+a_k)^2 ≧ 1/{ 1 + (Π[k=1, n] a_k) /2^(n-2) },
(略証)
nについての帰納法による。
・n=2 のとき
>>759 (上)
・n≧3 のとき
(左辺) = Σ[k=1, n] 1/(1+a_k)^2
≧ 1/{1 + (Π[k=1, n-1] a_k) /2^(n-3) } + 1/(1+a_n)^2 (←帰納法の仮定)
≧ 1/{1 + (Π[k=1, n-1] a_k) /2^(n-2) }^2 + 1/(1+a_n)^2
≧ 1/{1 + (Π[k=1, n] a_k) /2^(n-2) } ( >>759 上)
= (右辺). (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) を同じ式で挟むとしたら、こんなもん?
(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)
≧ (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)
≧ (8/27)*(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)
>>784
成程、a=bのときを考えれば凾ナ挟めないのは明らかですね。
>>786
ちょうど悩んでいたところで助かりますた。
直近でやった不等式が使えるとは、偶然以上の何かを感じる… >>753
(1) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (3kk/4)ss + (u-K)^2, ただし K = (k/2)^(3/2),
[前スレ.456] [前スレ.469] >>4 [3]
(略証)
(aa+k)(bb+k)(cc+k) = uu + k(tt-2su) + kk(ss-2t) + k^3
= {uu + 2(k/2)^3} + (2k/3)(tt-3su) + (k/3)(t-3k/2)^2 + kk(ss-t) + (3kk/4)ss
≧ (u-K)^2 + (k/3)(t-3k/2)^2 + (2k/3)(tt-3su) + (kk/4){ss-4t+3u^(2/3)} + (3kk/4)ss
= (u-K)^2 + (k/3)(t-3k/2)^2 + (2k/3)(tt-3su) + (kk/4s)F1(a,b,c) + (3kk/4)ss,
※ uu + 2(k/2)^3 = uu + 2KK = (u-K)^2 + K(u+u+K) ≧ (u-K)^2 + (3kk/4)u^(2/3),
ただし K = (k/2)^(3/2),
ss -4t +3u^(2/3) ≧ ss -4t +9u/s = F1(a,b,c)/s,
(3) はλ=4 が最良で、
(aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (kk/4)(4ss-3t) + (u-K)^2, 但し K = (k/2)^(3/2),
[前スレ.469] >>4 [4] >>36 去年、アイゼンシュタイン整数を使って、a,b,c>0に対して、
(1) (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ (3√3/8)*|(a^2-bc)(b^2-ca)(c^2-ab)|,
(2) (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ (3√3/8)*(ab+bc+ca)^3
が出て、でも(2)は次より弱いから無視。
(3) (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ (ab+bc+ca)^3
もっと細かく書くと、
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
≧ (27/64)*(a+b)^2 (b+c)^2 (c+a)^2
≧ (1/3)*(a+b+c)^2 (ab+bc+ca)^2
≧ (ab+bc+ca)^3.
------------------------------------------------
(疑問1) 同様にやったら、次が成り立つと思うんですが、計算合ってます蟹?
(1)’ (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) ≧ (3√3/8)*|(a^2-bc)(b^2-ca)(c^2-ab)|,
(2)’ (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) ≧ (3√3/8)*|ab-bc+ca|^3
------------------------------------------------
(疑問2) (2)より強い(3)があったように、(2)’より強い次式って成り立ちますか?
2乗の差をとって計算していたのですが、挫折しますた。
(3)’(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) ≧|ab-bc+ca|^3 >>787
8/27 じゃなくて 1/8 だよな。 ------------------------------------------------
(疑問3) a,b,c>0 に対して、
4(a^2 + b^2 + c^2)^3 ≧ (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)
が成り立つけど、左辺の係数の4をもっと小さくできないだろうか?
(左-右 = 12t(F_0)^2 + 12t^2 F_0 + 4t^3 + (2F_1 - st + 9u)^2 ≧0)
------------------------------------------------
(疑問4) 以前やった2つの不等式
a,b,c>0 に対して、(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ {(a-b)(b-c)(c-a)}^2,
a,b,c∈Rに対して、(a^2+b^2+c^2)^3 ≧ 2{(a-b)(b-c)(c-a)}^2
の左辺について、a,b,c>0 に対して何か不等式は作れないだろうか? 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:1341adc37120578f18dba9451e6c8c3b) >>791
疑問3は計算間違っていました。すみません。 (1) a,b,c∈R に対して、8(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ≧ (a+b)^2 (b+c)^2 (c+a)^2.
(2) a,b,c∈R に対して、2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ≧ (a-b)^2 (b-c)^2 (c-a)^2.
(3) a,b,c>0 に対して、(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ≧ (a-b)^2 (b-c)^2 (c-a)^2.
(2),(3) に比べて (1)の左辺の係数8が大きいですが、これが限界?
(1)の条件を a,b,c>0 に変えたら、係数は小さくできるかな?
最良値かどうかを判断する考え方がイマイチ分かりませぬ… ('A`) >>789
(3) (aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa) ≧ (1/3)sstt ≧ |t|^3,
(略証)
ss±3t = {(a±b)^2 + (b±c)^2 + (c±a)^2}/2 ≧ 0, (複号同順)
∴ |t| ≦ ss/3,
(疑問1)
(1)' … 1
(aa-ab+bb)(bb-bc+cc)(cc-ca+aa) - (aa-bc)(bb-ca)(cc-ab)
= {(a-b)cc}^2 + {(b-c)aa}^2 + {(c-a)bb}^2 + (abc)^2
≧ 0,
(aa-ab+bb)(bb-bc+cc)(cc-ca+aa) + (aa-bc)(bb-ca)(cc-ab)
= {(a-b)ab}^2 + {(b-c)bc}^2 + {(c-a)ca}^2 + (abc)^2
≧ 0,
(2)' … 1/27
(疑問2) … 1/27
(3)’(aa-ab+bb)(bb-bc+cc)(cc-ca+aa) ≧ (1/81)sstt ≧ (1/27)|t|^3,
(3) と同様に出ます。(*) 右辺はtのままです。 >>791 >>792
(疑問3) … 3/8
(aa-ab+bb)(bb-bc+cc)(cc-ca+aa) = (ss-3t)(tt-3su) + stu -8uu,
(左辺) - (右辺)
= (3/8)(aa+bb+cc)^3 - (aa-ab+bb)(bb-bc+cc)(cc-ca+aa)
= (3/8)(ss-2t)^3 - (ss-3t)(tt-3su) -stu +8uu
= (1/32)(3s^3 -10st +16u)^2 + (3/32){s(ss-2t)}^2 (←uで平方完成)
≧ 0,
等号成立は (a, 0, -a) etc. >>794
絶対値は間違いです...orz
(3) (aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa) ≧ (1/3)sstt,
(3)’(aa-ab+bb)(bb-bc+cc)(cc-ca+aa) ≧ (1/81)sstt, >>794 >>795 >>796
aa+ab+bb = (3/4)(a+b)^2 + (1/4)(a-b)^2,
aa-ab+bb = (1/4)(a+b)^2 + (3/4)(a-b)^2,
(a+b)(b+c)(c+a) = st-u ≧ 8st/9,
(3)
(aa+bb+cc)^3 ≧ (27/8)(aa+bb)(bb+cc)(cc+aa) AM-GM
≧ (aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa)
≧ (1/3){9(a+b)(b+c)(c+a)/8}^2
≧ (1/3)sstt,
(3')
(3/8)(aa+bb+cc)^3 ≧ (aa-ab+bb)(bb-bc+cc)(cc-ca+aa)
≧ {(a+b)(b+c)(c+a)/8}^2
≧ (1/81)sstt,
>>794 (1)' から >>611 (6) >>791
(疑問4)
(上) >>752 (中)
(下) >>609 (3)
>>793
(1) これが限界。 a=b=c で等号が成立するなら、a,b,c>0 に変えても同じぢゃね?
(2) (1-i)(a+ib)(b+ic)(c+ia) = -(a-b)(b-c)(c-a) + i{(a+b)(b+c)(c+a) - 4abc},
>>609 (4) >>615 >>794-798
非常に詳しくありがとうございます。一つ一つ確認しているところです。 >>741
> |s| (ss-3t) ≦ (ss-2t)^(3/2) (← GM-AM)
どのように相加相乗を使っているのですか? 742-743を見て、探してみたが、意外と少なかった… ('A`)ヴォエァ!
------------------------------------------
不等式スレ内を検索して
a^3+b^3+c^3-3abc : >>29、>>738、>>742-743
a^3+b^3+c^3+3abc : 第5章>>269、第2章>>372
------------------------------------------
My Collections から (出典不明)
(1) a,b,c∈Rに対して、(a^2+b^2+c^2)^3 ≧ (a^3+b^3+c^3-3abc)^2 + (ab+bc+ca)^3
(2) a,b,c≧に対して、a^3+b^3+c^3-3abc ≧ (1/4)*(a+b-2c)^3 >>28 (2), >>29 (1), [前スレ.262], [初代スレ.836-869]
「楠瀬の不等式」
出典: 数学セミナー、出題:1992年4月、解説:1992年7月
a,b,c ∈ R に対して
aa+bb+cc ≧ |ab| + |bc| + |ca| ≧ |ab+bc+ca|,
>>742 >>743 から
| a^3+b^3+c^3 - 3abc |^2 ≦ (aa+bb+cc)^3 - |ab+bc+ca|^3.
>>800
{ss, ss-3t, ss-3t} はいずれも非負。
AM = ss-2t, GM = {s(ss-3t)}^(2/3). (x_1+…+x_n)/n=xとするとき、
(Σ(x_k-x)^3)^2 と (Σ(x_k-x)^2)^3 の大小について何か言えますか?
Σはk=1からnまでの和です。 >>803
(x_1 + x_2 + … + x_n) /n = A とおくとき、
( Σ[j=1,n] (x_j - A)^3 )^2 / ( Σ[k=1,n] (x_k - A)^2 )^3 ≦ (n-2)^2 /n(n-1) < 1,
等号成立は {a,…,a, b} など。 >>801 (1) は >>609 (2), >>742 と同じでつね。
>>802 (中) の方がチョト強い。
>>803
n=3 のとき
{(x-A)^2 + (y-A)^2 + (z-A)^2}^3 - 6{(x-A)^3 + (y-A)^3 + (z-A)^3}
= 2{(x-y)(y-z)(z-x)}^2 + (x+y+z-3A){……}
(略証)
(x-A)^3 + (y-A)^3 + (z-A)^3 = 3(x-A)(y-A)(z-A) + (x+y+z-3A){……} = 3(x-A)(y-A)(z-A),
より
{(x-A)^2 + (y-A)^2 + (z-A)^2}^3 - 6{(x-A)^3 + (y-A)^3 + (z-A)^3}
= 2{(x-y)(y-z)(z-x)}^2 + (x+y+z-3A){ …… }
≧ 0, >>805
むむむ…
ところで、ちょっと作ったんだけど、係数はこれが最善かな?
a,b,c∈R に対して、(a^2+b^2+c^2)^3 ≧ (27/16)*{(a-b)(b-c)(c-a)}^2. >>806 … 2 ぢゃね?
>>791 (疑問4・下) >>609 (3)
>>802
〔楠瀬の不等式〕
x,y,z ≧ 0 のとき
x^3 + y^3 + z^3 -3xyz = (x+y+z)(xx+yy+zz-xy-yz-zx) ≧ A|(x-y)(y-z)(z-x)|,
ここに A = √(9+6√3) = √{(3/2)√3}(1+√3) = 4.403669475
(略証)
(左辺) - (右辺) = (x^3 +y^3 +z^3 -3xyz) - A|(x-y)(y-z)(z-x)|
= (1/2)(x+y+z){(x-y)^2 +(y-z)^2 +(z-x)^2} - A|(x-y)(y-z)(z-x)|,
x,y,z の間隔を固定して一斉に動かしても、{ … } 内と右辺は変わらない。
最小元が 0 のときに成り立てばよい。 以下 z=0 とする。
(左辺) - (右辺) = x^3 -A xy|x-y| +y^3,
・0≦x≦y のとき
x^3 + A xy(x-y) + y^3 = (x + y/αα)(x-αy)^2,
α = {(1+√3) - √(2√3)}/2 = 0.43542054468234
1/αα = (1+√3) + A/√3 = 5.27451056440629
・0≦y≦x のとき
x^3 - Axy(x-y) + y^3 = (x + y/ββ)(x-βy)^2
β = {(1+√3) + √(2√3)}/2 = 2.29663026289
1/ββ = (1+√3) - A/√3 = 0.18959105073
αβ = 1, a,b,c∈R に対して、(a^2+b^2+c^2)^3 ≧ k(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)
k = 27/8 が限界かと思うけど、2になりますかね? >>806 >>807
(略証)
bはaとcの中間にあるとしてよい。
0 ≦ (a-b)(b-c) ≦ (1/4)(a-c)^2,
∴ aa+cc = (1/2)(a+c)^2 + (1/2)(a-c)^2 ≧ (1/2)(a-c)^2,
∴ (aa+cc)^3 ≧ (1/8)(a-c)^6 ≧ 2(a-c)^2 {(a-b)(b-c)}^2 = 2刧,
>>609 (3), >>612 より再録 >>805
(x-A) + (y-A) + (z-A) = 0,
x-A と y-A が同符号のとき
(z-A)^2 = {(x-A) + (y-A)}^2 ≧ 4|(x-A)(y-A)|,
より
(x-A)^2 + (y-A)^2 + (z-A)^2 = (1/2)(x+y-2A)^2 + (1/2)(x-y)^2 + (z-A)^2
= (3/2)(z-A)^2 + (1/2)(x-y)^2
≧ (3/2)(z-A)^2,
{(x-A)^2 + (y-A)^2 + (z-A)^2}^3 ≧ (27/8)(z-A)^6 ≧ 6{3(x-A)(y-A)(z-A)}^2
>>809
k = 27/8 ですね。 A,B,C≧0 より
(左辺) - (右辺) = (A+B+C)^3 -(27/8)(A+B)(B+C)(C+A)
= S^3 - (27/8)(ST-U)
= (S^3 -4ST +9U) + (5/8)(ST-9U)
≧ 0, >>802
> a,b,c ∈ R に対して
> aa+bb+cc ≧ |ab| + |bc| + |ca| ≧ |ab+bc+ca|,
> >>742 >>743 から
> | a^3+b^3+c^3 - 3abc |^2 ≦ (aa+bb+cc)^3 - |ab+bc+ca|^3.
下の2行が分かりませぬ…。 >>>812
ab+bc+ca ≧ 0 のときは >>742 から明らか。
ab+bc+ca ≦ 0 のときは
(7/9) >>742 + (2/9) >>743 より
(a^3+b^3+c^3 -3abc)^2 ≦ (aa+bb+cc)^3 + (ab+bc+ca)^3. >>815
SP.172
Prove that for any real numbers x,y,z:
(x+y+z)(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z) ≦ (2yz)^2.
SP.173
Prove that for any positive real numbers x,y,z:
{xx√(yy+zz) + yy√(zz+xx) + zz√(xx+yy)} / (x^3+y^3+z^3) ≦ √2.
SP.174
Prove that for any positive real numbers a,b,c,x,y,z:
(a^3+x^3+x^3+x^3)(y^3+b^3+y^3+y^3)(z^3+z^3+c^3+z^3) ≧ (ayz+bzx+cxy+xyz)^3.
SP.179 (改)
If x ∈ [0,1) then:
1/2 < cos(x) ≦ 1 ≦ arcsin(x) + e^(-x).
UP.177
If x,y,z,t >1 then:
{log(x)/log(ztx)} {log(y)/log(txy)} {log(z)/log(xyz)} {log(t)/log(yzt)} < 1/16. >>815
解答作りますた。
SP.172
(x+y+z)(y+z-x) = (y+z)^2 -xx = 2yz - (xx-yy-zz),
(z+x-y)(x+y-z) = xx - (y-z)^2 = 2yz + (xx-yy-zz),
辺々掛ける。
(左辺) = (2yz)^2 - (xx-yy-zz)^2 ≦ (2yz)^2,
(*) x,y,z がΔの3辺の場合は、Δの面積が2辺の積の半分以下であることを表わす。
SP.173
(左辺)^2 ≦ 3x^4・(yy+zz) + 3y^4・(zz+xx) + 3z^4・(xx+yy)
= x^3・{3(xyy + xzz)} + y^3・{3(yzz + yxx)} + z^3・{3(zxx + zyy)}
≦ x^3・{(x^3+y^3+y^3) + (x^3+z^3+z^3)} + y^3・{(y^3+z^3+z^3) + (y^3+x^3+x^3)} + z^3・{(z^3+x^3+x^3) + (z^3+y^3+y^3)}
= 2(x^3+y^3+z^3)^2,
SP.174
コーシーそのもの。
SP.179
arcsin(x) ≧ x, (0≦x<1)
e^(-x) ≧ 1 - x,
辺々たす。
UP.177
X=log(x), Y=log(y), Z=log(z), T=log(t) はすべて正だから AM-GM で
Z+T+X ≧ 3(ZTX)^(1/3),
T+X+Y ≧ 3(TXY)^(1/3),
X+Y+Z ≧ 3(XYZ)^(1/3),
Y+Z+T ≧ 3(YZT)^(1/3),
辺々掛けて
(Z+T+X)(T+X+Y)(X+Y+Z)(Y+Z+T) ≧ 81 XYZT,
(左辺) = X/(Z+T+X)・Y/(T+X+Y)・Z/(X+Y+Z)・T/(Y+Z+T) ≦ 1/81, >>816-817
おおおーありがとうございます。蒐集が捗る! ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE (RMM 11)、解答なし
http://www.ssmrmh.ro/wp-content/uploads/2018/09/11-RMM-WINTER-EDITION-2018-1.pdf
JP158、JP165、SP164、SP165など、いかがでござるか?
JP165の右辺を見て、毒電波を受信した。
a,b,c∈R に対して、
√{6(a^2+b^2+c^2)} ≧ √(a^2+b^2) + √(b^2+c^2) + √(c^2+a^2) ≧ 2√(a^2+b^2+c^2)
---------------------------------------------
ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE って、不等式専門雑誌なん?
最新2回分には解答が公開されないっぽい。
http://www.ssmrmh.ro/category/current-issue/
--------------------------------------------- 解答のない号で、三角形がらみ(a,b,c,R,r,S,A,B,Cのみ)、シンプル、既出でないものを抽出。
ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE (RMM 12)
http://www.ssmrmh.ro/wp-content/uploads/2018/09/12-RMM-SPRING-EDITION-2019-2.pdf
JP173、JP179、UP171、UP175
ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE (RMM 11)
http://www.ssmrmh.ro/wp-content/uploads/2018/09/11-RMM-WINTER-EDITION-2018-1.pdf
JP157、UP155
ところで、JP171、JP174、JP153 などで説明なしに使われている h_a、m_a、l_a などは何を意味するのだろう? 垂線、中線、二等分線かな?
定義が分からないので、見た目がシンプルでも上のリストから外してしまったが… >>815-817
SP.173の分母を払った式
(√2)(x^3+y^3+z^3) ≧ x^2√(y^2+z^2) + y^2√(z^2+x^2) +z^2√(x^2+y^2)
を見て、右辺にCSを使えば片付きそうな気がしたが、大きくなり過ぎた。
√{2(x^4+y^4+z^4)(x^2+y^2+z^2)}
≧ (√2)(x^3+y^3+z^3)
≧ x^2√(y^2+z^2) + y^2√(z^2+x^2) +z^2√(x^2+y^2) >>819
JP.158
Let a,b,c>0. Prove that:
(1/a + 1/b + 1/c) + a/(bb+cc) + b/(cc+aa) + c/(aa+bb) ≧ 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a),
JP.165 (改)
If a,b,c≧0 then:
4(a+b+c) ≦ (2√2){√(aa+bb) + √(bb+cc) + √(cc+aa)},
SP.164 (改)
If a,b,c > 0 then:
(a+b)√(aa-ab+bb) + (b+c)√(bb-bc+cc) + (c+a)√(cc-ca+aa) ≧ 2(aa+bb+cc),
SP.165 (改)
If a,b,c ≧0 then:
(a+b)√(aa+bb) + (b+c)√(bb+cc) + (c+a)√(cc+aa) ≧ (1/√2){(aa+bb+cc) + (a+b+c)^2}, >>819 >>823
JP.165 (改)
x+y ≦ √{2(xx+yy)} より
4(a+b+c) ≦ (2√2){√(aa+bb) + √(bb+cc) + √(cc+aa)},
SP.164 (改)
コーシーより
(x+y)√(xx-xy+yy) = √{(x+y)(x^3+y^3)} ≧ xx + yy,
(略証)
(x+y)^2・(xx-xy+yy) - (xx+yy)^2 = (x+y)(x^3+y^3) - (xx+yy)^2 = xy(x-y)^2 ≧0,
SP.165 (改)
√(xx+yy) ≧ (x+y)/√2, etc.
(左辺) ≧ {(a+b)^2 + (b+c)^2 + (c+a)^2}/(√2) ≧ (√2)(aa+bb+cc+t),
t = ab+bc+ca,
>>819
a,b,c∈R に対して、
√{6(aa+bb+cc)} ≧ √(aa+bb) + √(bb+cc) + √(cc+aa)
≧ √{4(aa+bb+cc) + 2t}
≧ (√2)s,
s = a+b+c, t = ab+bc+ca,
(略証)
左側はコーシー
中は √(xx+yy)√(xx+zz) ≧ xx+xy, etc.
∵ (xx+yy)(xx+zz) - (xx+yz)^2 = {x(y-z)}^2 ≧ 0, (コーシー)
右側は aa+bb+cc ≧ t. >>820
SP.140
Let a,b,c be positive real numbers. Prove that:
(b+c)/a + (c+a)/b + (a+b)/c ≧ 4(aa+bb+cc)/(ab+bc+ca) + 2(ab+bc+ca)/(aa+bb+cc) ≧ 6, >>820 >>825
SP.140 (改)
(b+c)/a + (c+a)/b + (a+b)/c ≧ 4(aa+bb+cc)/(ab+bc+ca) + 2
≧ 3(aa+bb+cc)/(ab+bc+ca) + 3(ab+bc+ca)/(aa+bb+cc) ≧ 6,
(略証)
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc とおく。
(左辺) - 4(ss-2t)/t - 2
= (st-3u)/u - 4(ss-2t)/t - 2
= st/u - 4ss/t + 3
= (s/ttu)(t^3 -4stu +9uu) + (3/tt)(tt-3su)
≧ 0,
>>819 >>823 >>824
SP.164 (改) より
√(xx-xy+yy) > {(xx+yy)/(x+y), M_4} > M_3 > √{(xx+yy)/2} > (x+y)/2 > √(xy) > 2xy/(x+y),
ここに M_r = {(x^r+y^r)/2}^(1/r) はr乗平均, M_1 = (x+y)/2, M_2 = √{(xx+yy)/2}, >>821
RMM 12 (Spring2019)
JP.173
Prove that in any triangle ABC,
1/a + 1/b + 1/c ≧ √{3/(2Rr)} ≧ (√3)/R.
JP.179
In acute triangle ABC the following relationship hplds:
3 ≦ sin(2A)/sin(2B) + sin(2B)/sin(2C) + sin(2C)/sin(2A) ≦ 3/{8cos(A)cos(B)cos(C)},
UP.171
Find that in any acute-angled triangle ABC the following inequality holds:
min{a/(b+c), b/(c+a), c/(a+b)} ≦ {cos(A) + cos(B) + cos(C)}/3 ≦ Max{a/(b+c), b/(c+a), c/(a+b)},
UP.175 (改)
In acute triangle ABC the following relationship holds:
(b+c)^2/(bb+cc-aa) + (c+a)^2/(cc+aa-bb) + (a+b)^2/(aa+bb-cc) ≧ 12,
等号成立は正△のとき、だろうな… >>819 >>823
RMM 11 (Winter2018)
JP.158 (訂正)
Let a,b,c>0. Prove that:
(1/a + 1/b + 1/c) + a/(bb+cc) + b/(cc+aa) + c/(aa+bb) ≧ 3/(a+b) + 3/(b+c) + 3/(c+a),
(略証) チェビシェフしたあと、
(1/x + 1/y)/2 + (x+y)/{2(xx+yy)} - 3/(x+y)
= (x+y)/(2xy) + (x+y)/{2(xx+yy)} - 3/(x+y)
= (x+y)(xx+xy+yy)/{2xy(xx+yy)} - 3/(x+y)
= (x-y)^2 (xx-xy+yy)/{2xy(xx+yy)(x+y)}
≧ 0, >>822
√{2(x^4+y^4+z^4)(x^2+y^2+z^2)} にCSを使うと、使い方次第で
≧ (√2)(x^3+y^3+z^3) にも
≧ x^2√(y^2+z^2) + y^2√(z^2+x^2) +z^2√(x^2+y^2) にもなるんだな。 >>822 >>829
コーシーとチェビシェフの合わせ技(?)
〔補題〕
(a,b,c) と (p,q,r) が同順序のとき
√(aa+bb+cc) √(pp+qq+rr) ≧ (ap+bq+cr) ≧ (a+b+c)(p+q+r)/3 ≧ (aq+ar+bp+bq+cp+cq)/2,
(a,b,c) と (p,q,r) が逆順序のとき
√(aa+bb+cc) √(pp+qq+rr) ≧ (aq+qr+bp+br+cp+cq)/2 ≧ (a+b+c)(p+q+r)/3 ≧ (ap+bq+cr), z∈C が |z + 1/2| < 1/2 をみたすとき、
任意の n∈N に対して |1 + z + z^2 + … + z^n|^2 < 1. >>831
題意より、
|z| ≦ |z+1/2| + (1/2) < 1,
∴ |1-z|^2 = (1-z)(1-z~)
= (3/2) - 2|z+1/2|^2 + 3|z|^2
> 1 + 3|zz|
> 1 + 2|zz| + |zz|^2
= (1+|zz|)^2,
∴ |1-z| > 1 + |zz| > 1 + |z|^(n+1) ≧ |1 - z^(n+1)|.
東工大-2000 前期 Q.2
[第7章.114,116,160]
Inequalitybot [183] >>831
この問題の結論の不等式って、|1 + z + z^2 + … + z^n| < 1 と書かずに、
あえて2乗にしているのは、何か意味があるのかな? >>627 (Nesbitt-Igarashi)
(略証)
各辺に ab+bc+ca を掛けると コーシー型になる:
{a(bb+bc+cc) + b(cc+ca+aa) + c(aa+ab+bb)} {a/(bb+bc+cc) + b/(cc+ca+aa) + c/(aa+ab+bb)}
≧ {a(b+c) + b(c+a) + c(a+b)} {a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)}
≧ (a+b+c)^2,
そこで ラグランジュの恒等式
(ax + by + cz)(a/x + b/y + c/z) - (a+b+c)^2 = (ab/xy)(x-y)^2 + (bc/yz)(y-z)^2 + (ca/zx)(z-x)^2,
を使う。
・左辺は
x = bb + bc + cc,
y = cc + ca + aa,
z = aa + ab + bb,
ax + by + cz = (a+b+c)(ab+bc+ca), >>621
(左辺) - (a+b+c)^2 = {a(a+b+c)/(bb+bc+cc)}{b(a+b+c)/(cc+ca+aa)}(a-b)^2 + …
・中辺は
x = b + c,
y = c + a,
z = a + b,
ax + by + cz = 2(ab+bc+ca),
(中辺) - (a+b+c)^2 = {a/(b+c)}{b/(c+a)}(a-b)^2 +{b/(c+a)}{c/(a+b)}(b-c)^2 + {c/(a+b)}{a/(b+c)}(c-a)^2,
ここで、
(a+b+c)/(bb+bc+cc) > (b+c)/(bb+bc+cc) > 1/(b+c),
(a+b+c)/(cc+ca+aa) > (c+a)/(cc+ca+aa) > 1/(c+a),
(a+b+c)/(aa+ab+bb) > (a+b)/(aa+ab+bb) > 1/(a+b),
だから
(左辺) ≧ (中辺).
* (x,y,z) はもっと改良できるかも… >>835 *
x = (b^n - c^n)/(b-c),
y = (c^n - a^n)/(c-a),
z = (a^n - b^n)/(a-b),
とすると
x-y = -(a-b) D_n /,
y-z = -(b-c) D_n /,
z-x = -(c-a) D_n /,
ここに
D_n = det{ [1,1,1] [a,b,c] [a^n,b^n,c^n] }
= (a-b)(b-c)(c-a) = D_2, … Vandermonde の行列式 >>836
3文字のとき
D_n = det{ [1,1,1] [a,b,c] [a^n,b^n,c^n] }
= (c-b)a^n + (a-c)b^n + (b-a)c^n,
特性多項式
(λ-a)(λ-b)(λ-c) = λ^3 -s・λ^2 + tλ -u,
ただし s = a+b+c,t = ab+bc+ca,u = abc,
漸化式
D_n = s・D_{n-1} - t・D_{n-2} + u・D_{n-3},
D_n/ = Σ {すべての(n-2)次積}
… (n-2)個の重複組み合わせに対応
D_0 / = 0,
D_1 / = 0,
D_2 / = 1,
D_3 / = a+b+c = s,
D_4 / = aa+ab+ac+bb+bc+cc = ss-t,
D_5 / = s^3 -2st +u,
D_6 / = s^4 -3sst +tt +2su,
D_7 / = s^5 -4s^3・t +3stt +3ssu -2tu, >>837
まづ
x_1 = y_1 = z_1 = 1,
x_2 = b+c,y_2 = c+a,z_2 = a+b,
x_3 = bb+bc+cc,y_3 = cc+ca+aa,z_3 = aa+ab+bb,
……
x_n = b^(n-1) + b^(n-2)c + …… + c^(n-1),
とおく。
ラグランジュの恒等式から
(ax+by+cz)(a/x + b/y + c/z) - (a+b+c)^2
= (a/x)(b/y)(x-y)^2 + (b/y)(c/z)(y-z)^2 + (c/z)(a/x)(z-x)^2
= (D_n/)^2 {(a/x_n)(b/y_n)(a-b)^2 + (b/y_n)(c/z_n)(b-c)^2 + (c/z_n)(a/x_n)(c-a)^2}, >>835
そこで
(D_n/)/x_n,(D_n/)/y_n,(D_n/)/z_n
がnについて単調増加であることを示そう。
F_n = x_n (D_{n+1}/) - x_{n+1} (D_n/)
= {(b-a)(ab)^2 + (c-b)(bc)^2 + (a-c)(ca)^2} /
= (D_{-n}/)u^n
= Σ {ab,bc,ca の (n-1)次積}
≧ 0,
∴ nについて単調増加。
(D_{n+1}/) / x_{n+1} ≧ (D_n/) / x_n ≧ …… ≧ (D_2/) / x_2 = 1/(b+c),
これを Nesbitt-Igarashi 列とか呼ぼう。
F_0 = 0,
F_1 = 1,
F_2 = t,
F_3 = tt -su,
F_4 = t^3 -2stu +uu,
漸化式
F_n = t F_{n-1} - su F_{n-2} + uu F_{n-3}, Nesbitt ってネビットだよな? まさかネスビットって発音するん? >>841
うーむ。
Nesbitt's inequality の英語のwikiを見てきたが、どこの国の人か分からんなあ。
ところで Nesbitt's inequality の一般化について、このスレでやったことあったっけ? 不等式ぢゃないが、次の等式を手計算で証明するのはキツそうでござるかな?
(6a^2 - 4ab + 4b^2)^3 + (3b^2 + 5ab - 5a^2)^3
= (6b^2 - 4ab + 4a^2)^3 + (3a^2 + 5ab - 5b^2)^3 >>843
(6aa-4ab+4bb)^3 - (6bb-4ab+4aa)^3 = (3aa+5ab-5bb)^3 - (3bb+5ab-5aa)^3,
(略証)
x^3 - y^3 = (x-y)(xx+xy+yy),
から
(maa-nab+nbb)^3 - (naa-nab+mbb)^3
= (m-n)(a-b)(a^3+b^3) {(mm+mn+nn)(aa+ab+bb) -3(m+n)n・ab}
= (a-b)(a^3+b^3) {(m^3 - n^3)(aa+ab+bb) - 3(m-n)(m+n)n・ab},
(m,n) = (6,4) (3,-5) のときは
m^3 - n^3 = 152,
(m-n)(m+n)n = 80,
となり、相等しい。 >>844
おぉ有難い。上手にやりましたね。
それにしても、この等式を見つけ出したラマヌジャンは変態ジャン。 >>844
> = (a-b)(a^3+b^3) {(m^3 - n^3)(aa+ab+bb) - 3(m-n)(m+n)n・ab},
ここは
= (a-b)(a^3+b^3) {(m^3 - n^3)(aa+ab+bb)}
じゃないですか? >>843
6^3 + (-4)^3 + (-3)^3 + (-5)^3 = 0,
4^3 + (-6)^3 + 5^3 + 3^3 = 0,
から推して
(6aa+pab+4bb)^3 + (-4aa-pab-6bb)^3 + (-3aa+qab+5bb)^3 + (-5aa-qab+3bb)^3 = 0,
と予想する。(p,q は或る定数)
ab=0 のときは明らか。
6ab(aa-bb){2(5p-4q)(aa+bb) + (84+pp-4qq)ab} = 0,
5p -4q = 0, 84 +pp -4qq = 0,
p = ±4, q=±5 (複号同順)
(例)
a = ±1,b = ±2,p=±4,q=±5 (複号同順)のとき
±{30,-36,27,-3} = ±3{10,-12,9,-1} >>847
12^3 - 10^3 = 9^3 - 1^3 = 8^3 - (-6)^3 = 728,
のような珍例を「ナニワ数」と云う。…っちゅうのは冗談やけどな。
・系列解は他にもある。
{7aa-16ab-3bb,14aa+4ab+6bb,-14aa+4ab-6bb,-7aa-16ab+3bb} (Dickson)
(maa-pab-nbb)^3 + (-maa-pab+nbb)^3 = -6pab(maa-nbb)^2 -2ppp(ab)^3
m → km,n' → -kn,p' → -p/kk とすれば 6pab(maa+nbb)^2 + 2(p/kk)^3 (ab)^3
辺々たすと 2p{12mn - (1 - 1/k^6)pp}(ab)^3,
12mn - (1 - 1/k^6)pp = 0 ならば成立。
{aa-7ab+63bb,8aa-20ab-42bb,6aa+20ab-56bb,-9aa+7ab-7bb}
http://www.maroon.dti.ne.jp/fermat/dioph1.html
・Fermat cubic surface とか云うらしい。
http://www.math.harvard.edu/~elkies/4cubes.html m^3 - n^3 = m’^3 - n’^3 のとき、 ラマヌジャン系列
(maa+pab+nbb)^3 - (naa+pab+mbb)^3
= (m-n)(a^2-b^2){(mm+mn+nn)(a^4+aabb+b^4) + 3(m+n)p ab(a^2+b^2) + 3(pp+mn) aabb}
= (m^3 - n^3) (a^6 - b^6) + 3(m^2-n^2)p ab(a^4 - b^4) + 3(m-n)(pp+mn) aabb(a^2-b^2),
→ m^3 - n^3,(m^2-n^2)p,(m-n)(pp+mn) が等しいとき、相等しい。
(maa+qab-nbb)^3 - (naa+qab-mbb)^3
= (m-n) (a^2+b^2){(mm+mn+nn)(a^4-aabb+b^4) + 3(m+n)q b(a^2-b^2) + 3(qq-mn) aabb}
= (m^3 - n^3) (a^6 + b^6) + 3(m^2-n^2)q ab(a^4 - b^4) + 3(m-n)(qq-mn) aabb(a^2 + b^2),
→ m^3 - n^3,(m^2-n^2)q,(m-n)(qq-mn) が等しいとき、相等しい。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています