不等式への招待 第9章 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>696
a,bが有理数のときは AM-GM そのものでござるな。 正の数 a, b, x, y が ax+by = x+y をみたすとき、a^(ax) * b^(by) ≧ 1. >>699
(a-1)x + (b-1)y +(c-1)z = 0 をみたすとき
a log(a) = -a log(1/a) ≧ -a(1/a -1) = a-1,
b log(b) ≧ b-1,
c log(c) ≧ c-1,
ax log(a) + by log(b) + cz log(c) ≧ (a-1)x + (b-1)y + (c-1)z = 0, >>700
むむむ…、さすがでござるな。
>>696
正の数 a, b が a+b=1をみたすとき、任意の実数 x, y に対して (ax+by)(ay+bx) ≧ xy. >>701
(ax+by)(ay+bx) = (a+b)^2・xy + 2ab(x-y)^2 ≧ (a+b)^2・xy,
またはコーシーで
(ax+by)(ay+bx) ≧ (a√xy + b√xy)^2 = (a+b)^2・xy, >>702
むむむ…、さすがでござるな。
一つ目の解法の式変形は思いつかぬ…。
ただ、係数の2は不要ですな。 非負実数 a,b,c に対して、
(a-b)(a-c)a^4 + (b-c)(b-a)b^4 + (c-a)(c-b)c^4 ≧ 5{(a-b)(b-c)(c-a)}^2.
不等式の秋でござるな。(AA略) >>704
Schurより強い不等式ってことになるのかな? >>705
非負実数に限れば。
偶数次の Schur はすべての実数で成立つが、>>704 は (a, b, c) = (a, 0, -a) で不成立。 なるほど。 s,t,uで置き換えて証明できるのかな? >>704
(左辺)-(右辺)
= F_4 - 5Δ^2
= s^6 - 7s^4t + 28s^3u + 8s^2t^2 - 112stu + 16t^3 + 63u^2
苦しいでござる。
別の方法を考えた方がいいか…。 去年の秋にやっていたΔがらみの不等式が、このスレを (c-a) で検索するとたくさん出てくる。
それらの中にない(と思う)ものを見つけたのでメモ。
a, b, c > 0に対して、
(a^2 + 3b^2)(b^2 + 3c^2)(c^2 + 3a^2) ≧ {(a-b)(b-c)(c-a)}^2.
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1595851p9908733
リンク先の模範解答を見る限りでは、任意の実数で成り立っているんじゃないの? >>704
bはaとcの中間にあるとする。
(左辺) = (a^n)(a-b)^2 + (a^n-b^n+c^n)(a-b)(b-c) + (b^n)(b-c)^2,
(a,b,c) を(間隔を変えず一斉に)d減らしたとき、a^n, c^n は減少する。(0<d≦a,b,c)
では a^n -b^n +c^n はどうか?
Max{a,c} = M, min{a,c} = m とおくと
M^n - b^n = (M-d)^n - (b-d)^b + ∫[0,d] n{(M-d+t)^(n-1) - (b-d+t)^(n-1)} dt
≧ (M-d)^n - (b-d)^b,
m^n ≧ (m-d)^n, (0<d≦m)
辺々たして
M^n -b^n +m^n ≧ (M-d)^n -(b-d)^n +(m-d)^n,
a^b -b^n +c^n ≧ (a-d)^n -(b-d)^n +(c-d)^n,
すなわち a^n -b^n +c^n も減少する。
よって(左辺)は減少するから、c=0 の場合に成立てば十分である。
(左辺) ≧ (a-b)a^(n+1) - (a-b)b^(n+1)
= (a-b)^2・{a^n+a^(n-1)・b+……+a・b^(n-1)+b^n}
≧ (n+1)(a-b)^2・(ab)^(n/2) (AM-GM)
= (右辺), おお! なるほど! かたじけない!
|
\ __ /
_ (m) _ピコーン
|ミ|
/ `´ \
(゚∀゚ )
ノヽノヽ
くく >>709
(aa+3bb)(bb+3cc)(cc+3aa) ≧ {(a+b)(b+c)(c+a)}^2,
左辺は a,b,c の符号によらない。
a,b,c の符号だけを変えたとき、右辺が最も大きいのは a,b,c が同符号のもの。
∴ a,b,c >0 に対して成立てば十分。
(左辺)/(右辺) = (aa+3bb)/(a+b)^2・(bb+3cc)/(b+c)^2・(cc+3aa)/(c+a)^2 = f(a/b) f(b/c) f(c/a),
ここに f(x) = (xx+3)/(x+1)^2,
a,b,c >0 ⇒ f(a/b) f(b/c) f(c/a) ≧ 1 を示す。
(1) a/b, b/c, c/a の1つが 0 < x ≦ (-16+√333)/7 = 0.321184 にあるとき。
[4f(x)-3](x+1)^2 = 4(xx+3) -3(x+1)^2 = (x-3)^2 ≧ 0,
∴ f(x) の最小値は f(3) = 3/4
f(x) ≧ (4/3)^2 となるものが1つでもあれば 成立する。
その条件は [16f(x)-9](x+1)^2 = 16(x+1)^2 -9(xx+3) = 7xx +32x -11 ≦ 0,
-4.8926125 = (-16-√333)/7 ≦ x ≦ (-16+√333)/7 = 0.321184
(2) a/b, b/c, c/a ≧ (-16+√333)/7 = 0.321184 のとき。
x ≧ (-16+√333)/7 = 0.321184 のとき
x(x+1)^4 - (xx+3)^2 = (x^3 +x^2 +3x-1)(x-1)^2 ≧ 0,
∴ f(x) ≧ 1/√x,
∴ f(a/b) f(b/c) f(c/a) ≧ √(b/a) √(c/b) √(a/c) = 1,
以上により成立つ。
>>710 訂正
(左辺) = (a^n)(a-b)^2 + (a^n-b^n+c^n)(a-b)(b-c) + (c^n)(b-c)^2, >>712 訂正スマソ
その条件は [16-9f(x)](x+1)^2 = …
x(xx+3)^2 - (x+1)^4 = (x^3 +x^2 +3x-1)(x-1)^2 ≧ 0, >>714
「EMV inequality」でググると、一番上に
A large sieve inequality of Elliott-Montgomery-Vaughan type for automorphic forms and two applications
というのがヒットするんだけど、さっぱり分からん…。 >>714
http://artofproblemsolving.com/community/c6h205183p1130901
の Theorem 1 でござるな。n=3 のときは
〔EMV定理〕
f(x, y, z): R^3 → R は連続で C^1 級函数とする。次の2つの条件
(i) xyz = 0 ⇒ f(x, y, z) ≧ 0,
(ii) x, y, z ≧ 0 ⇒ ∂f/∂x + ∂f/∂y + ∂f/∂z ≧ 0,
を同時に満たすならば
x, y, z ≧0 ⇒ f(x, y, z) ≧ 0.
Example 3. (Suranyi) >>512-513
Problem 1. (Schur, n=1) >>514
Problem 2. (Turkevici) >>163-164, 185, 530-531 (一般化 >>189)
Problem 6. >>486-487, 492 >>709 >>712
{a+b√(-3)}{b+c√(-3)}{c+a√(-3)} = -(3q +8abc) + p√(-3),
ここに p = aab+bbc+cca -3abc,q = abb+bcc+caa -3abc,
(左辺) - (右辺) = (aa+3bb)(bb+3cc)(cc+3aa) - {(a+b)(b+c)(c+a)}^2
= (3q+8abc)^2 + 3pp - (p+q+8abc)^2
= 2pp -2pq +8qq +16abc(2q-p)
= 2pp -2pq +(8/3)qq + (16/3) {(q+3abc)^2 -3abc(p+3abc)}
= 2pp -2pq +(8/3)qq + (16/3) {(abb+bcc+caa)^2 -3caa・abb -3abb・bcc -3bcc・caa}
= 2pp -2pq +(8/3)qq + (8/3) {[a(ca-bb)]^2 + [b(ab-cc)]^2 + [c(bc-aa)]^2}
≧ 0,
∵ (x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx) = (xx+yy+zz) - (xy+yz+zx) = {(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}/2, [三角形の辺長 a,b,c に関するアレ]
(1) abc ≧ (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).
(2) (a^a)(b^b)(c^c) ≧ (a+b-c)^a (b+c-a)^b (c+a-b)^c.
(3) (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) + (a+b)(b+c)(c+a) ≧ 9abc.
(1)は、不等式好きなら誰でも知っているレムスの不等式。
(2)は、上の上の不等式ヲタなら やはり常識である不等式。
(3)が、今回ご紹介する商品。
この他に a+b-c、b+c-a、c+a-b がらみの不等式があれば紹介してクリリン。 三角形は多いのに四角形の辺に関する不等式なかなか見かけない >>719
△なのでRavi変換する。
x = b+c-a,
y = c+a-b,
z = a+b-c,
とおくと
x+y+z = a+b+c,
(1)
AM-GM で
a = (y+z)/2 ≧ √(yz),
b = (z+x)/2 ≧ √(zx),
c = (x+y)/2 ≧ √(xy),
より
abc = (y+z)(z+x)(x+y)/8 ≧ xyz,
a,b,c ≧ 0 のとき
abc - (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) = F_1(a,b,c) ≧ 0,
(2)
log(左辺) = a log(a) + b log(b) + c log(c)
≧ y log(a) + z log(b) + x log(c) (←チェビシェフ)
≧ (y/2)log(yz) + (z/2)log(zx) + (x/2)log(xy)
= (y+z)/2 log(z) + (z+x)/2 log(x) + (x+y)/2 log(y)
= a log(z) + b log(x) + c log(y)
= log(右辺),
(3)
(左辺) = (2x)(2y)(2z) + (2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z) = F1(x,y,z) ≧ 0, >>721 (2)
チェビシェフは不成立でした。スマソ
log(a+b-c) = log(a) + log{1 +(b-c)/a} ≦ log(a) + (b-c)/a,
a log(a+b-c) ≦ a log(a) +b -c,
巡回的にたす。 自然数 k,n (k<n)に対して、(n/k)^k ≦ nCk ≦ (en/k)^k を示せ。
ここで e はネイピア数。 >>723
左側:
C[n, k] = Π[j=0, k-1] (n-j)/(k-j) > Π[j=0, k-1] (n/k) = (n/k)^k,
右側: 補題より
C[n, k] = n(n-1)…(n-k+1)/k! < (n^k)/k! < e^(k-1)・(n/k)^k,
〔補題〕
k≧2 のとき (k^k)/k! < e^(k-1),
(略証)
(1 +1/j)^j = Σ[L=1, j] C[j, L](1/j)^L = Σ[L=1, j] (1-1/j)(1-2/j)…(1-(L-1)/j)/L!
はjについて単調増加。
∴ {(j+1)/j}^j = (1 + 1/j)^j < e,
j=1,…,k-1 を入れて掛けると
(k^k)/k! < e^(k-1),
(別法)
マクローリン展開から
e^x > x^{k-1} /(k-1)! + (x^k)/k! + x^{k+1} /(k+1)!
= (x^k)/k! {(k/x) + 1 + x/(k+1)},
e^k > (k^k)/k! {2 + k/(k+1)} > (k^k)/k! e, (k≧3)
∴ e^{k-1} > (k^k)/k!,
k=2 は直接確かめる。 (終) R^n上の対称行列Tが任意のx∈R^nに対して(x,Tx)≧0を満たす時、T≧0と定義する
又、対称行列U,Vに対してU-V≧0の時、U≧Vと定義する
この時、以下について答えよ
(1)R^n上の任意の対称行列T≧0に対し、T=U^2となる対称行列U≧0が一意に存在する事を示せ(尚、この時、U=√Tと定義する)
(2)R^n上の任意の対称行列A,B≧0に対し、A+B≧2√(AB)の真偽を答え、真ならば証明を、偽ならば反例を挙げよ ゴルフ行こうよ。永遠の−0テンプルバンカーショット。ナイトゴルフ。SWVPW。 >>725 (2)
A,Bが対称行列でもABが対称行列になるとは限らないぞ。 >>724 の〔補題〕
分かスレ447 - 82, 438 >>724 の補題を改良
〔補題'〕
k≧2 のとき (k^k)/k! < e^(k-1) < (k^k)/(k-1)!
(略証)
(1 -1/jj)^j > 1 -1/j, … AM-GM
(1 +1/j)^j = (1 -1/jj)^j /(1 -1/j)^j > 1/(1 -1/j)^(j-1) = {1 +1/(j-1)}^(j-1),
∴ (1 +1/j)^j = {(j+1)/j}^j はjについて単調増加
∴ {(j+1)/j}^j < e,
j=1,2,…,k-1 を入れて掛けると
(k^k)/k! < e^(k-1),
{jj/(jj-1)}^j > (1 +1/jj)^j > (1 +1/j), … AM-GM
∴ {j/(j-1)}^j = {jj/(jj-1)}^j・(1 +1/j)^j > (1+1/j)^(j+1)
∴ (1 +1/j)^(j+1) = {(j+1)/j}^(j+1) はjについて単調減少
∴ {(j+1)/j}^(j+1) > e,
j=1,2,…,k-1 を入れて掛けると
(k^k)/(k-1)! > e^(k-1),
分かスレ447-448 >>725 (1)
Tのn個の固有値d_j を主対角線に並べた実対角行列を D とし、
対応する固有ベクトルw_j を各列に並べた行列をWとする。
T w_j = w_j d_j,
T W = W D,
n個の固有ベクトルw_jが1次独立のとき |W|≠0 で Tは対角化可能。
T = W D W^(-1),
T≧0 すなわち Tの固有値がすべて非負のとき、Dの対角要素が非負で、√Dも実対角行列。
T = W D W^(-1) = {W √D W^(-1)}^2 = U^2,
Tが実対称行列のときは、固有ベクトルを適当に選んでWを実直交行列にとれる。
W^(-1) = W~ >>732
訂正
A+B≧√2(AB+BA)は成り立つかでした a, b, c >0 に対して、
a/{b(b+c)^2} + b/{c(c+a)^2} + c/{a(a+b)^2} ≧ 9/{4(ab+bc+ca)}
今年も不等式の秋が来ましたな。
9/{4(ab+bc+ca)} の出てくる不等式は過去スレで扱ったな。 x, y ∈ R に対して、
(1) 1/(x+1)^2 + 1/(y+1)^2 ≧ 1/(xy+1)
(2) a^3 + b^3 + c^3 - 3abc ≦ (a^2 + b^2 + c^2)^(3/2) a, b, c > 0 に対して、
(1) 3 + √{(a^2 + b^2 + c^2)(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)} ≧ (2/3)(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c)
(2) √{(a^4 + b^4 + c^4)(1/a^4 + 1/b^4 + 1/c^4)} ≧ 1 + √[1 + √{(a^5 + b^5 + c^5)(1/a^5 + 1/b^5 + 1/c^5)}]
(3) a^4/(a^3 + b^3) + b^4/(b^3 + c^3) + c^4/(c^3 + a^3) ≧ (a+b+c)/3
(4) {(a-b)/c}^2 + {(b-c)/a}^2 + {(c-a)/b}^2 ≧ (2√2)*{(a-b)/c + (b-c)/a + (c-a)/b}
(5) a/{√(2b^2+2c^2)} + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ 3/2
(6) a+b+c=3 のとき、44 ≧ (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ 27
参考 (2) https://artofproblemsolving.com/community/q1h1328831p7152622 むかし立ち読みした本に、不等式の証明を行列を使ってやっていたんだけど、どんな本を検索したら見つかりますかね? >>737
9/{4(ab+bc+ca)} の出てくる不等式…
〔問題〕
a,b,c > 0 に対して
1/(b+c)^2 + 1/(c+a)^2 + 1/(a+b)^2 ≧ 9/{4(ab+bc+ca)},
イランMO-1996
Inequalitybot [148]
>>738
(1)
(x, y) = (2 -1/n, -1/2),
1/(xy+1) = 2n,
(2)
a+b+c = s, ab+bc+ca = t とおく。
|a^3+b^3+c^3-3abc| = |a+b+c| (aa+bb+cc-ab-bc-ca)
= |s| (ss-3t)
≦ (ss-2t)^(3/2) (← GM-AM)
= (aa+bb+cc)^(3/2),
*) ss≧0, ss-3t≧0 より、AM-GM で
(ss-2t)^3 - ss(ss-3t)^2 = (3ss -8t)tt = (1/3){8(ss-3t) +ss}tt ≧ 0, >>738 (2) を改造^^
a,b,c∈R に対して
| a^3+b^3+c^3 - 3abc |^2 ≦ (aa+bb+cc)^3 - (ab+bc+ca)^3,
(略証)
s = a+b+c, t = ab+bc+ca とおく。
(ss-2t)^3 - t^3 - ss(ss-3t)^2 = 3(ss-3t)tt ≧ 0,
(左辺) = ss(ss-3t)^2 ≦ (ss-2t)^3 - t^3 = (右辺), >>738 (2) を改造^^
a,b,c∈R に対して
| a^3+b^3+c^3 - 3abc |^2 ≦ (aa+bb+cc)^3 + 8(ab+bc+ca)^3,
(略証)
s = a+b+c, t = ab+bc+ca とおく。
(ss-2t)^3 + (2t)^3 - ss(ss-3t)^2 = 3sstt ≧ 0,
(左辺) = ss(ss-3t)^2 ≦ (ss-2t)^3 + (2t)^3 = (右辺), >>742>>743
乙でござるな。 この2つは どこか修正が入ったの? >>739
(3)
a^4 - (a^3+b^3)(a-kb) = {k(a^3+b^3) -abb} b
= {k[a^3 +(1/2)b^3 +(1/2)b^3] -abb} b
≧ {3k/(2^(2/3)) -1} ab^3, (AM-GM)
(係数) ≧0 より
k = (1/3)・2^(2/3) = 0.529133684
a^4/(a^3 + b^3) ≧ a - kb,
循環的にたす。
(左辺) ≧ (1-k)(a+b+c) = 0.470866316 (a+b+c). >>742 は >>609 (2), >>612 にござる。
>>739 (6) 右側 は >>616 >>618
(aa+2)(bb+2)(cc+2) = uu + 2(tt-2su) + 4(ss-2t) + 8
= (uu+1+1) + (2/3)(t-3)^2 + (4/3)(tt-3su) + (ss-4t) + 3ss
≧ 3ss,
※ (uu+1+1) + (ss-4t) ≧ 3u^(2/3) + {F1(a,b,c)-9u}/s
= 3{u^(2/3) -3u/s} + F1(a,b,c)/s
≧ 0, >>618 >>739 (6) >>747
a,b,c ≧ 0, a+b+c ≦ √(8k) のとき
kk{(a+b+c)^2 +k} ≧ (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (3kk/4)(a+b+c)^2,
左側は
a+b+c ≦ √(8k) より
ab ≦ (1/4)(a+b)^2 ≦ 2k,
(a+b)c ≦ (1/4)(a+b+c)^2 ≦ 2k,
(aa+k)(bb+k) = k{(a+b)^2 +k} - ab(2k-ab) ≦ k{(a+b)^2 +k},
∴ (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≦ k{(a+b)^2 +k}(cc+k) = kk(ss+k) -k(a+b)c{2k-(a+b)c} ≦ kk(ss+k), >>741 (上)
4(ab+bc+ca){1/(b+c)^2 + 1/(c+a)^2 + 1/(a+b)^2} - 9
= {ab(4aa+7ab+4bb)(a-b)^2 + bc(4bb+7bc+4cc)(b-c)^2 + ca(4cc+7ca+4aa)(c-a)^2 + (2abc)F_1(a,b,c)}/{(a+b)(b+c)(c+a)}^2
= {4t・F_2+(3tt/s)F_1+(9tu/s)F_0+(st-9u)u} / (st-u)^2
≧ 0,
F_n (a,b,c) = (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) + (c^n)(c-a)(c-b) ≧ 0, >>724
なるへそ。右辺のeは1個少なくても成り立つんですな。 さあ、はじめようか?
>>737の左辺は、どこに挟まるのでござるかな?
{a/(2bc)}^2 + {b/(2ca)}^2 + {c/(2ab)}^2
≧ 1/(4a^2) + 1/(4b^2) + 1/(4c^2)
≧ 1/(4ab) + 1/(4bc) + 1/(4ca)
≧ 1/(b+c)^2 + 1/(c+a)^2 + 1/(a+b)^2 ← (>>741, >>749)
≧ 9/{4(ab+bc+ca)}
≧ 1/{(a+b)(b+c)} + 1/{(b+c)(c+a)} + 1/{(c+a)(a+b)}
≧ 9/{(a+b)(b+c) + (b+c)(c+a) + (c+a)(a+b)}
≧ 27/{4(a+b+c)^2}
≧ 9/{(a+b)^2 + (b+c)^2 + (c+a)(a+b)^2}
≧ 9/{4(a^2 + b^2 + c^2)}
" ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ ;ヾ;ヾ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ " ;ヾ ; ;";ヾゝゝ" ;ヾゞ ヽ /
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ゞヾ ; ;" ; ; ;; ;"iiiiii;;;;;::::: :)_/ヽ,.ゞ:,,ヾゞヾゞ__;::/ ` ` ` ー ─ ' `
ゞヾゞ;\\iiiiii;;;;::::: :|;:/ヾ; ;ゞ "ゝゞ ; ;`
" ;゛ ; ;" ; ;ゞ "|iiiiii;;;;::: : |:/ ヾゞ ` ` ` `
` ,|i;iiiiiii;;;;;;::: :| ` ` ` ` ` ` `
,|iiii;iiii;;;;:;_ _: :| ___ 不等式の秋 ` ` `,
` |iiiiiii;;;;;;((,,,):::|/ ≧ \ ヾ从//"
` |iiiiiiii;;;;ii;;;;;;;;::|::::: (● (● | ` ゙ ` ヾ'./"
|iiiiii;iii;;;;i;;:: ::::|ヽ::::......ワ...ノ ○ .||. ,
` |iii;;iiiii;::;:;;;;::::::| ( つ且 ~ ` ○○ | |
, , .,.. ,..M|M|iMii;;ii:i;;i:i;:; ゝ つつ.,.. ,...... ,.... ,,,.,.. ,.... ,,,.,.. ,..,,,,.,...,..,.,| ̄ ̄|,.,..( ).. ,,,..,,.. ,.... ,,,.,...,.. .. ,.... ,,,.,.. ,.... ,,, a, b, c > 0に対して、
(a^2 + 3b^2)(b^2 + 3c^2)(c^2 + 3a^2) ≧ {(a-b)(b-c)(c-a)}^2 ←(>>709-710)
a, b, c > 0に対して、
(a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2) ≧ {(a-b)(b-c)(c-a)}^2.
ところで
(a^2 + 3b^2)(b^2 + 3c^2)(c^2 + 3a^2) と (a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2)
の大小は定まりそうにないですが、どうですか? >>748
神掛かってる!
大量投下したやつを今ごろ確認しているところでござるが、関連する昨夏の不等式を再掲。
(自分のmemoから抜き出したので、未紹介のものもあるかもしれない。)
a、b、c∈R、k≧0、4≧λ≧0 に対して、
(1) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (3kk/4)*(a+b+c)^2
(2) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ {(4k/3)^(3/2)}*(a-b)(b-c)(c-a)
(3) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (kk/4)*{λ(aa+bb+cc) + (9-λ)(ab+bc+ca)}
(4) {aa+ (k+1)/3}{bb+ (k+1)/3}{cc+ (k+1)/3} ≧ {(k+4)/3}^2*{ab+bc+ca+ (k-5)/3}
a、b、c∈R、k≧1 に対して、
(5) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (k+1)^2*(ab+bc+ca+k-2) + (abc-1)^2
a、b、c∈R、k≧2 に対して、
(6) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (k+1)(ab+bc+ca+k-2)^2
a、b、c∈R、k≧(√2)-1 に対して、
(7) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (k+1)^2*{(a+b+c)^2/3 + k-2} >>753
訂正。(3)(5)は a,b,c≧0. >>748
> a,b,c ≧ 0, a+b+c ≦ √(8k) のとき
> kk{(a+b+c)^2 +k} ≧ (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (3kk/4)(a+b+c)^2,
左側の等号成立条件は a=b=c=k=0 以外にありますか? >>755
kは要らんね、a=b=c=0以外に等号が成立することあるかな? 連投すまぬ。
a,b,cのうちの2つが0なら成り立ちますね。他にないかな? >>755
a,b,cのうちの少なくとも2つが0、
a,b,cのうちの一つが0で、2つが√(2k)のとき
これだけかな? >>738 (1)
x, y >0 として証明。
lhs - rhs = {xy(x-y)^2 + (xy-1)^2}/{(x+1)^2 (y+1)^2 (xy+1)} ≧0.
一般化できるかな?つまり、
x,y,z>0 のときに、1/(x+1)^2 + 1/(y+1)^2 + 1/(z+1)^2 ≧ 1/(xyz+1) は成り立つ? 4文字なら、a,b,c,d>0に対して、
1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + 1/(1+c)^2 + 1/(1+d)^2
≧ 1/(1+ab) + 1/(1+cd)
> 1/(1+abcd). 〔補題〕
(1) 4(2-√3) > (√6 -√2),
(2) 12(2-√3) > 4(2-√3) + 2(√6 -√2) > 3(√6 -√2),
(3) (√2 +√3) > 2(√6 -√2) + 4(2-√3),
(4) 22/7 > 2(√6 -√2) + 4(2-√3),
(5) 6 + (√6 -√2) > (√5)(√2 +√3), >>761
(1)
√3 -1 ≒ 0.7320508 1/√2 ≒ 0.70710678
(左辺) - (右辺) = 2(√3 -1)(√3 -1 -1/√2) > 0,
(2)
(1) から直ちに出る。
(3)
(左辺) - (右辺) = (1/4)(√2 -1)^2・(√3 -1)^4・(√3 -√2) > 0,
(4)
(左辺) - (右辺) = (1/14)(√2 -1)^3・(√3 -1)^4・(3√6 -7) > 0,
(5)
さてどうするか…
なお、Snellius-Huygens から、2(√6 -√2) + 4(2-√3) > π が分かる。 >>761
(1)別解
4tan(π/12) > π/3 > 4sin(π/12),
4(2-√3) > π/3 > (√6-√2),
http://d.hatena.ne.jp/haruya12/20120314/1331712378 >>759
s = x+y+z, t = xy+yz+zx, u = xyz とおく。
lhs - rhs = {3+4s+2ss+2(st-3u)+(tt-2su)}/(u+t+s+1)^2 - 1/(u+1)
= {2+2s+(ss-2t)-5u+2(ss-t)u+2(st-9u)u+11uu+(tt-2su)u}/{(u+t+s+1)^2・(u+1)},
≧0. (← x,y,z≧0)
* 2 -5u +11uu = 63/44 + 11(5/22 -u)^2 ≧ 63/44, >>764
キタ━(゚∀゚)━!!!
なるほど、対称式とSchurすごいな。 stu method でも呼ぶかな n変数にして証明できますかね?
a_k >0 (k=1,2,…n) に対して、Σ1/(1+a_k)^2 ≧ 1/(1+Πa_k). x>0に対して、9x^{10} + 2 ≧ 9x^8 + 2x^9 をAM-GMで示せ。
(蛇足だが、この不等式は任意の実数で成り立つ) >>766
nについての帰納法でやってみた。
n=2 は >>759 より成立。
n≧3 のとき
(1) x_j ≧ 1 があるとき、帰納法の仮定により
Σ[k=1,n] 1/(1+a_k)^2 > Σ[k≠j] 1/(1+a_k)^2
≧ 1/(1+Π[k≠j] a_k)
≧ 1/(1+Π[k=1,n] a_k),
(2) x_1〜x_n がすべて1以下のとき、右辺は増加する。
・n=3 の場合がチョト面倒。
(右辺) = 1/(xyz+1) - 1/(xy+1)
= xy(1-z)/{(xyz+1)(xy+1)}
≦ xy(1-z)/{xy(z+1)} (← xy(1-z)≧0)
= (1-z)/(z+1),
(左辺) - (右辺) ≧ 1/(xy+1) + 1/(z+1)^2 -1/(xyz+1) (←帰納法の仮定)
≧ 1/(z+1)^2 - (1-z)/(z+1)
= {z/(z+1)}^2
≧ 0,
・n≧4 ならば
Σ[k=1,n] 1/(1+a_k)^2 ≧ Σ[k=1,n] 1/4 (← a_k≦1)
= n/4
≧ 1
> 1/(1+Π[k=1,n] a_k), >>767
AM-GM より
9x^10 -10x^9 + 1
= (x-1) (9x^9 -x^8 -x^7 -x^6 -x^5 -x^4 -x^3 -x^2 -x -1)
= (x-1)^2 (9x^8 +8x^7 +7x^6 +6x^5 +5x^4 +4x^3 +3x^2 +2x +1)
= (x-1)^2 {5x^8 + (x+1)^2 (4x^6 +3x^4 +2x^2 +1)}
≧ 0,
AM-GMより
4x^10 -5x^8 + 1
= (x^2 -1) (4x^8 -x^6 -x^4 -x^2 -1)
= (x^2 -1)^2 (4x^6 +3x^4 +2x^2 +1)
≧ 0,
(与式) = {(上) + (下)・9}/5 >>769
ごめん、どこでAM-GMを使っているのか分からない。 >>767
(左辺) - (右辺) = 2(4x^10 -5x^8 +1) + {(x-1)x^4}^2
≧ 2(4x^10 -5x^8 +1)
= 2{(X^5 + X^5 + X^5 + X^5 + 1) - 5 X^4} (← X=x^2≧0)
≧ 0,
最後のところで AM-GM を使いました。 >>767
AM-GMより、
x^{10} + x^9 ≧ 2x^9,
8x^{10} + 2 ≧ 10x^8. (x^8 が8個と 1が2個)
辺々加えて、
9x^{10} + 2 + x^8 ≧ 10x^8 + 2x^9.
( ゚∀゚) ウヒョッ! >>738(1) >>759 >>764 >>768
> x,y,z>0 のとき、1/(x+1)^2 + 1/(y+1)^2 + 1/(z+1)^2 ≧ 1/(xyz+1).
右辺を見て次の不等式を思い出したが、繋がるかな?
x,y,z>0 のとき、1/{x(1+y)} + 1/{y(1+z)} + 1/{z(1+x)} ≧ 3/(1+xyz). >>767
p_0 = 9,
p_1(x) = 6.19544630295 + (x-0.03352960039751934)^2 p_0 > 0,
p_2(x) = 3.8953637526451576 + (x-0.003121543171869486)^2 p_1(x) > 0,
p_3(x) = 2.0721715662084579 + (x+0.08618793580133872)^2 p_2(x) > 0,
p_4(x) = x^8 + 2(x+1)^2 (4x^6 +3x^4 +2x^2 +1),
= 0.5197441948878409 + (x+0.8393520966569508138)^2 p_3(x) > 0,
p_5(x) = 9x^10 -2x^9 -9x^8 +2 = (x-1)^2 p_4(x) > 0,
( ゚∀゚) ウヒョッ! >>774
細かい数字が出てよく分からんけど、p_k(x) の定義は何ですか? >>768
> n≧3 のとき
> (1) x_j ≧ 1 があるとき、帰納法の仮定により
> Σ[k=1,n] 1/(1+a_k)^2 > Σ[k≠j] 1/(1+a_k)^2
不等号が逆向きになりませんか?
Σ[k=1,n] 1/(1+a_k)^2 < Σ[k≠j] 1/(1+a_k)^2 >>737
(問題再掲)
> a, b, c >0 に対して、
> a/{b(b+c)^2} + b/{c(c+a)^2} + c/{a(a+b)^2} ≧ 9/{4(ab+bc+ca)}
(証明)
(ab+bc+ca)*[a/{b(b+c)^2} + b/{c(c+a)^2} + c/{a(a+b)^2}]
≧ [ √(ab*a/{b(b+c)^2}) + √(bc*b/{c(c+a)^2}) + √(ca*c/{a(a+b)^2}) ]^2
= [ a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ]^2
≧ (3/2)^2.
∧_∧
( ;´∀`) < シコシコ、ネビットの順に使うナリ。
人 Y /
( ヽ し
(_)_) >>759 >>766 >>768
n≧3 のとき
p = Π[k=1,n-1] a_k, z = a_n とおく。
(右辺) = 1/(p・z+1) - 1/(p+1)
= p(1-z)/{(p・z+1)(p+1)}
= Max{ p(1-z)/{(p・z+1)(p+1)}, 0}
≦ Max{ (1-z)/(z+1), 0}
≦ 1/(z+1)^2,
∴ (左辺) - (右辺) ≧ 0,
>>775
p_k(x) は 2k次の多項式。
p_5(x) = (左辺) - (右辺) = 9x^10 -2x^9 -9x^8 +2,
p_k(x) の最小値を b_k とし、そのときのxを a_k とする。
p_{k-1}(x) = {p_k(x) - b_k}/(x-a_k)^2, >>746
するってぇと、こういうことかい?
k = (1/n)*(n-1)^{(n-1)/n} とおくとき、a,b,c>0 に対して、
a^{n+1}/(a^n + b^n) + b^{n+1}/(b^n + c^n) + c^{n+1}/(c^n + a^n) ≧ (1-k)(a+b+c). >>710
一般の自然数nの場合に右辺はどうなるのでせうか? 次式は成り立ちますか?
a,b,c>0に対して、
(a-b)(a-c)a^n + (b-c)(b-a)b^n + (c-a)(c-b)c^n ≧ (n+1){(a-b)(b-c)(c-a)}^2. >>781
両辺の次数が合ってないから、考えるだけ無駄ですな。 a,b,c>0とし、Δ= (a-b)(b-c)(c-a)とおく。昨夏にやった不等式について。
(1) (27/8)*(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ≧ (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ≧ Δ^2
(2) k*Δ^2 ≧ (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) ≧ Δ^2
(3) m*Δ^2 ≧ (a-b)(a-c)a^4 + (b-c)(b-a)b^4 + (c-a)(c-b)c^4 ≧ 5Δ^2
(疑問1) k、mの値を知りたい。
(疑問2) (1)もΔ^2の定数倍で挟みたい。 >>760
1/(1+ab) + 1/(1+cd) > 1/(1+ab/2)^2 + 1/(1+cd/2)^2 > 1/(1+abcd/4),
>>738(1) >>759
>>773 (下)
1/{x(1+y)} + 1/{y(1+z)} + 1/{z(1+x)} ≧ 3/{G(1+G)} ≧ 3/(1+xyz),
G = (xyz)^(1/3),
バルカンMO-2006
[8] 安藤哲哉 (2014) 例題3.1.7(4)
[9] 佐藤淳郎[訳] (2013) 問題3.93
Inequalitybot [77]
>>783
例えば a=b≠c ⇒ =0 ・n=2
1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 > 1/(1+ab), >>759(上)
・n=3
1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + 1/(1+c)^2 > 1/(1+abc/2), >>759(下) >>773(上)
・n=4
1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + 1/(1+c)^2 + 1/(1+d)^2 > 1/(1 + abcd/4), >>760 >>784
・nについての帰納法で >>784
Σ1/(1+a_k)^2 ≧ 1/{1 + 4Π(a_k /2)}, >>785 念のため…
〔補題〕
n≧2, a_k≧0 (k=1〜n) のとき
Σ[k=1, n] 1/(1+a_k)^2 ≧ 1/{ 1 + (Π[k=1, n] a_k) /2^(n-2) },
(略証)
nについての帰納法による。
・n=2 のとき
>>759 (上)
・n≧3 のとき
(左辺) = Σ[k=1, n] 1/(1+a_k)^2
≧ 1/{1 + (Π[k=1, n-1] a_k) /2^(n-3) } + 1/(1+a_n)^2 (←帰納法の仮定)
≧ 1/{1 + (Π[k=1, n-1] a_k) /2^(n-2) }^2 + 1/(1+a_n)^2
≧ 1/{1 + (Π[k=1, n] a_k) /2^(n-2) } ( >>759 上)
= (右辺). (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) を同じ式で挟むとしたら、こんなもん?
(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)
≧ (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)
≧ (8/27)*(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)
>>784
成程、a=bのときを考えれば凾ナ挟めないのは明らかですね。
>>786
ちょうど悩んでいたところで助かりますた。
直近でやった不等式が使えるとは、偶然以上の何かを感じる… >>753
(1) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (3kk/4)ss + (u-K)^2, ただし K = (k/2)^(3/2),
[前スレ.456] [前スレ.469] >>4 [3]
(略証)
(aa+k)(bb+k)(cc+k) = uu + k(tt-2su) + kk(ss-2t) + k^3
= {uu + 2(k/2)^3} + (2k/3)(tt-3su) + (k/3)(t-3k/2)^2 + kk(ss-t) + (3kk/4)ss
≧ (u-K)^2 + (k/3)(t-3k/2)^2 + (2k/3)(tt-3su) + (kk/4){ss-4t+3u^(2/3)} + (3kk/4)ss
= (u-K)^2 + (k/3)(t-3k/2)^2 + (2k/3)(tt-3su) + (kk/4s)F1(a,b,c) + (3kk/4)ss,
※ uu + 2(k/2)^3 = uu + 2KK = (u-K)^2 + K(u+u+K) ≧ (u-K)^2 + (3kk/4)u^(2/3),
ただし K = (k/2)^(3/2),
ss -4t +3u^(2/3) ≧ ss -4t +9u/s = F1(a,b,c)/s,
(3) はλ=4 が最良で、
(aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (kk/4)(4ss-3t) + (u-K)^2, 但し K = (k/2)^(3/2),
[前スレ.469] >>4 [4] >>36 去年、アイゼンシュタイン整数を使って、a,b,c>0に対して、
(1) (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ (3√3/8)*|(a^2-bc)(b^2-ca)(c^2-ab)|,
(2) (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ (3√3/8)*(ab+bc+ca)^3
が出て、でも(2)は次より弱いから無視。
(3) (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ (ab+bc+ca)^3
もっと細かく書くと、
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
≧ (27/64)*(a+b)^2 (b+c)^2 (c+a)^2
≧ (1/3)*(a+b+c)^2 (ab+bc+ca)^2
≧ (ab+bc+ca)^3.
------------------------------------------------
(疑問1) 同様にやったら、次が成り立つと思うんですが、計算合ってます蟹?
(1)’ (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) ≧ (3√3/8)*|(a^2-bc)(b^2-ca)(c^2-ab)|,
(2)’ (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) ≧ (3√3/8)*|ab-bc+ca|^3
------------------------------------------------
(疑問2) (2)より強い(3)があったように、(2)’より強い次式って成り立ちますか?
2乗の差をとって計算していたのですが、挫折しますた。
(3)’(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) ≧|ab-bc+ca|^3 >>787
8/27 じゃなくて 1/8 だよな。 ------------------------------------------------
(疑問3) a,b,c>0 に対して、
4(a^2 + b^2 + c^2)^3 ≧ (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)
が成り立つけど、左辺の係数の4をもっと小さくできないだろうか?
(左-右 = 12t(F_0)^2 + 12t^2 F_0 + 4t^3 + (2F_1 - st + 9u)^2 ≧0)
------------------------------------------------
(疑問4) 以前やった2つの不等式
a,b,c>0 に対して、(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ {(a-b)(b-c)(c-a)}^2,
a,b,c∈Rに対して、(a^2+b^2+c^2)^3 ≧ 2{(a-b)(b-c)(c-a)}^2
の左辺について、a,b,c>0 に対して何か不等式は作れないだろうか? 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:1341adc37120578f18dba9451e6c8c3b) >>791
疑問3は計算間違っていました。すみません。 (1) a,b,c∈R に対して、8(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ≧ (a+b)^2 (b+c)^2 (c+a)^2.
(2) a,b,c∈R に対して、2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ≧ (a-b)^2 (b-c)^2 (c-a)^2.
(3) a,b,c>0 に対して、(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ≧ (a-b)^2 (b-c)^2 (c-a)^2.
(2),(3) に比べて (1)の左辺の係数8が大きいですが、これが限界?
(1)の条件を a,b,c>0 に変えたら、係数は小さくできるかな?
最良値かどうかを判断する考え方がイマイチ分かりませぬ… ('A`) >>789
(3) (aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa) ≧ (1/3)sstt ≧ |t|^3,
(略証)
ss±3t = {(a±b)^2 + (b±c)^2 + (c±a)^2}/2 ≧ 0, (複号同順)
∴ |t| ≦ ss/3,
(疑問1)
(1)' … 1
(aa-ab+bb)(bb-bc+cc)(cc-ca+aa) - (aa-bc)(bb-ca)(cc-ab)
= {(a-b)cc}^2 + {(b-c)aa}^2 + {(c-a)bb}^2 + (abc)^2
≧ 0,
(aa-ab+bb)(bb-bc+cc)(cc-ca+aa) + (aa-bc)(bb-ca)(cc-ab)
= {(a-b)ab}^2 + {(b-c)bc}^2 + {(c-a)ca}^2 + (abc)^2
≧ 0,
(2)' … 1/27
(疑問2) … 1/27
(3)’(aa-ab+bb)(bb-bc+cc)(cc-ca+aa) ≧ (1/81)sstt ≧ (1/27)|t|^3,
(3) と同様に出ます。(*) 右辺はtのままです。 >>791 >>792
(疑問3) … 3/8
(aa-ab+bb)(bb-bc+cc)(cc-ca+aa) = (ss-3t)(tt-3su) + stu -8uu,
(左辺) - (右辺)
= (3/8)(aa+bb+cc)^3 - (aa-ab+bb)(bb-bc+cc)(cc-ca+aa)
= (3/8)(ss-2t)^3 - (ss-3t)(tt-3su) -stu +8uu
= (1/32)(3s^3 -10st +16u)^2 + (3/32){s(ss-2t)}^2 (←uで平方完成)
≧ 0,
等号成立は (a, 0, -a) etc. >>794
絶対値は間違いです...orz
(3) (aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa) ≧ (1/3)sstt,
(3)’(aa-ab+bb)(bb-bc+cc)(cc-ca+aa) ≧ (1/81)sstt, ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています