不等式への招待 第9章 [無断転載禁止]©2ch.net
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すうじあむの解答見てきたけど、h(t)の最大値を求めるところまでは分かった。 で、h(t)の最大値がf(x,y)の最大値になるのは明らかなん? バラバラに動く変数を1変数に置き換えたものを調べて間違いないん? >>688 f(x,y) の最大値 ≦ h(t) の最大値 = e^{-2} で f(1,1) = e^{-2}. からそう結論しました。 もしも反例が見つかったら晒してください。遠慮はいりません。 >>689 たぶんこれ。 Find the maximum value of the following function for all positive real numbers x,y. f(x,y) = e^(-x-y) {ln(x)+ln(y)+1}. http://suseum.jp/gq/question/2901 >>691 そのサイトFlashがないと読めないみたい。 もうこのご時世Flashないと読めないサイトわざわざ見る気になれん。 >>692 「三次方程式の解の素朴な性質」 Q.2876 a, b, c を任意の複素数とする。 3次方程式 z^3 + az^2 + bz + c = 0 の解αで | 2bα + 3c | ≦ | 3α^3 | をみたすものが存在することを示してください。 (2018/04/01 アンドロメダ) >>520 (B3) >>524 まづ 左辺を a-c, b-d の斉2次式で表わす。 2 (左辺) = F (a-c)^2 + H (a-c)(b-d) + G (b-d)^2, ここに F = 1/(c+d+a) + 1/(a+b+c), G = 1/(b+c+d) + 1/(d+a+b), H = 3{ -(a+c)/(c+d+a)(a+b+c) + (b+d)/(d+a+b)(b+c+d)}, とおいた。この斉2次式が正定値となる条件は, (判別式) = HH - 4FG < 0, そこで F, G, H を評価する。 AM-HM より F = 1/(c+d+a) + 1/(a+b+c) ≧ 4/{2(a+c)+(b+d)}, G = 1/(b+c+d) + 1/(d+a+b) ≧ 4/{(a+c)+2(b+d)}, ∴ FG ≧ 16/{2(a+c)^2+5(a+c)(b+d)+2(b+d)^2} ≧ 16/{(9/4)(a+b+c+d)^2} > 7/(a+b+c+d)^2, 0 < (a+c)/(c+d+a)(a+b+c) = (a+c)/{(a+c)(a+b+c+d)+bd} < 1/(a+b+c+d), 0 < (b+d)/(b+c+d)(c+d+a) = (b+d)/{(b+d)(a+b+c+d)+ac} < 1/(a+b+c+d), ∴|H| < 3/(a+b+c+d)、 以上により (判別式) = HH - 4FG < 0 したがって左辺は正定値。 IMO-2008 Short list A.7 不等式bot(@inequalitybot) [100] ☆12 面白スレ26-535,961 面白スレ27-354,356 //www.casphy.com/bbs/highmath/472060/126 (7), 311 正の数 a, b が a+b=1をみたすとき、任意の正の数 x, y に対して ax+by ≧ x^a y^b. これはAM-GMの一般化でござるかな? >>696 a,bが有理数のときは AM-GM そのものでござるな。 正の数 a, b, x, y が ax+by = x+y をみたすとき、a^(ax) * b^(by) ≧ 1. >>699 (a-1)x + (b-1)y +(c-1)z = 0 をみたすとき a log(a) = -a log(1/a) ≧ -a(1/a -1) = a-1, b log(b) ≧ b-1, c log(c) ≧ c-1, ax log(a) + by log(b) + cz log(c) ≧ (a-1)x + (b-1)y + (c-1)z = 0, >>700 むむむ…、さすがでござるな。 >>696 正の数 a, b が a+b=1をみたすとき、任意の実数 x, y に対して (ax+by)(ay+bx) ≧ xy. >>701 (ax+by)(ay+bx) = (a+b)^2・xy + 2ab(x-y)^2 ≧ (a+b)^2・xy, またはコーシーで (ax+by)(ay+bx) ≧ (a√xy + b√xy)^2 = (a+b)^2・xy, >>702 むむむ…、さすがでござるな。 一つ目の解法の式変形は思いつかぬ…。 ただ、係数の2は不要ですな。 非負実数 a,b,c に対して、 (a-b)(a-c)a^4 + (b-c)(b-a)b^4 + (c-a)(c-b)c^4 ≧ 5{(a-b)(b-c)(c-a)}^2. 不等式の秋でござるな。(AA略) >>704 Schurより強い不等式ってことになるのかな? >>705 非負実数に限れば。 偶数次の Schur はすべての実数で成立つが、>>704 は (a, b, c) = (a, 0, -a) で不成立。 なるほど。 s,t,uで置き換えて証明できるのかな? >>704 (左辺)-(右辺) = F_4 - 5Δ^2 = s^6 - 7s^4t + 28s^3u + 8s^2t^2 - 112stu + 16t^3 + 63u^2 苦しいでござる。 別の方法を考えた方がいいか…。 去年の秋にやっていたΔがらみの不等式が、このスレを (c-a) で検索するとたくさん出てくる。 それらの中にない(と思う)ものを見つけたのでメモ。 a, b, c > 0に対して、 (a^2 + 3b^2)(b^2 + 3c^2)(c^2 + 3a^2) ≧ {(a-b)(b-c)(c-a)}^2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h1595851p9908733 リンク先の模範解答を見る限りでは、任意の実数で成り立っているんじゃないの? >>704 bはaとcの中間にあるとする。 (左辺) = (a^n)(a-b)^2 + (a^n-b^n+c^n)(a-b)(b-c) + (b^n)(b-c)^2, (a,b,c) を(間隔を変えず一斉に)d減らしたとき、a^n, c^n は減少する。(0<d≦a,b,c) では a^n -b^n +c^n はどうか? Max{a,c} = M, min{a,c} = m とおくと M^n - b^n = (M-d)^n - (b-d)^b + ∫[0,d] n{(M-d+t)^(n-1) - (b-d+t)^(n-1)} dt ≧ (M-d)^n - (b-d)^b, m^n ≧ (m-d)^n, (0<d≦m) 辺々たして M^n -b^n +m^n ≧ (M-d)^n -(b-d)^n +(m-d)^n, a^b -b^n +c^n ≧ (a-d)^n -(b-d)^n +(c-d)^n, すなわち a^n -b^n +c^n も減少する。 よって(左辺)は減少するから、c=0 の場合に成立てば十分である。 (左辺) ≧ (a-b)a^(n+1) - (a-b)b^(n+1) = (a-b)^2・{a^n+a^(n-1)・b+……+a・b^(n-1)+b^n} ≧ (n+1)(a-b)^2・(ab)^(n/2) (AM-GM) = (右辺), おお! なるほど! かたじけない! | \ __ / _ (m) _ピコーン |ミ| / `´ \ (゚∀゚ ) ノヽノヽ くく >>709 (aa+3bb)(bb+3cc)(cc+3aa) ≧ {(a+b)(b+c)(c+a)}^2, 左辺は a,b,c の符号によらない。 a,b,c の符号だけを変えたとき、右辺が最も大きいのは a,b,c が同符号のもの。 ∴ a,b,c >0 に対して成立てば十分。 (左辺)/(右辺) = (aa+3bb)/(a+b)^2・(bb+3cc)/(b+c)^2・(cc+3aa)/(c+a)^2 = f(a/b) f(b/c) f(c/a), ここに f(x) = (xx+3)/(x+1)^2, a,b,c >0 ⇒ f(a/b) f(b/c) f(c/a) ≧ 1 を示す。 (1) a/b, b/c, c/a の1つが 0 < x ≦ (-16+√333)/7 = 0.321184 にあるとき。 [4f(x)-3](x+1)^2 = 4(xx+3) -3(x+1)^2 = (x-3)^2 ≧ 0, ∴ f(x) の最小値は f(3) = 3/4 f(x) ≧ (4/3)^2 となるものが1つでもあれば 成立する。 その条件は [16f(x)-9](x+1)^2 = 16(x+1)^2 -9(xx+3) = 7xx +32x -11 ≦ 0, -4.8926125 = (-16-√333)/7 ≦ x ≦ (-16+√333)/7 = 0.321184 (2) a/b, b/c, c/a ≧ (-16+√333)/7 = 0.321184 のとき。 x ≧ (-16+√333)/7 = 0.321184 のとき x(x+1)^4 - (xx+3)^2 = (x^3 +x^2 +3x-1)(x-1)^2 ≧ 0, ∴ f(x) ≧ 1/√x, ∴ f(a/b) f(b/c) f(c/a) ≧ √(b/a) √(c/b) √(a/c) = 1, 以上により成立つ。 >>710 訂正 (左辺) = (a^n)(a-b)^2 + (a^n-b^n+c^n)(a-b)(b-c) + (c^n)(b-c)^2, >>712 訂正スマソ その条件は [16-9f(x)](x+1)^2 = … x(xx+3)^2 - (x+1)^4 = (x^3 +x^2 +3x-1)(x-1)^2 ≧ 0, >>714 「EMV inequality」でググると、一番上に A large sieve inequality of Elliott-Montgomery-Vaughan type for automorphic forms and two applications というのがヒットするんだけど、さっぱり分からん…。 >>714 http://artofproblemsolving.com/community/c6h205183p1130901 の Theorem 1 でござるな。n=3 のときは 〔EMV定理〕 f(x, y, z): R^3 → R は連続で C^1 級函数とする。次の2つの条件 (i) xyz = 0 ⇒ f(x, y, z) ≧ 0, (ii) x, y, z ≧ 0 ⇒ ∂f/∂x + ∂f/∂y + ∂f/∂z ≧ 0, を同時に満たすならば x, y, z ≧0 ⇒ f(x, y, z) ≧ 0. Example 3. (Suranyi) >>512-513 Problem 1. (Schur, n=1) >>514 Problem 2. (Turkevici) >>163-164 , 185, 530-531 (一般化 >>189 ) Problem 6. >>486-487 , 492 >>709 >>712 {a+b√(-3)}{b+c√(-3)}{c+a√(-3)} = -(3q +8abc) + p√(-3), ここに p = aab+bbc+cca -3abc,q = abb+bcc+caa -3abc, (左辺) - (右辺) = (aa+3bb)(bb+3cc)(cc+3aa) - {(a+b)(b+c)(c+a)}^2 = (3q+8abc)^2 + 3pp - (p+q+8abc)^2 = 2pp -2pq +8qq +16abc(2q-p) = 2pp -2pq +(8/3)qq + (16/3) {(q+3abc)^2 -3abc(p+3abc)} = 2pp -2pq +(8/3)qq + (16/3) {(abb+bcc+caa)^2 -3caa・abb -3abb・bcc -3bcc・caa} = 2pp -2pq +(8/3)qq + (8/3) {[a(ca-bb)]^2 + [b(ab-cc)]^2 + [c(bc-aa)]^2} ≧ 0, ∵ (x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx) = (xx+yy+zz) - (xy+yz+zx) = {(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}/2, [三角形の辺長 a,b,c に関するアレ] (1) abc ≧ (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b). (2) (a^a)(b^b)(c^c) ≧ (a+b-c)^a (b+c-a)^b (c+a-b)^c. (3) (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) + (a+b)(b+c)(c+a) ≧ 9abc. (1)は、不等式好きなら誰でも知っているレムスの不等式。 (2)は、上の上の不等式ヲタなら やはり常識である不等式。 (3)が、今回ご紹介する商品。 この他に a+b-c、b+c-a、c+a-b がらみの不等式があれば紹介してクリリン。 三角形は多いのに四角形の辺に関する不等式なかなか見かけない >>719 △なのでRavi変換する。 x = b+c-a, y = c+a-b, z = a+b-c, とおくと x+y+z = a+b+c, (1) AM-GM で a = (y+z)/2 ≧ √(yz), b = (z+x)/2 ≧ √(zx), c = (x+y)/2 ≧ √(xy), より abc = (y+z)(z+x)(x+y)/8 ≧ xyz, a,b,c ≧ 0 のとき abc - (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) = F_1(a,b,c) ≧ 0, (2) log(左辺) = a log(a) + b log(b) + c log(c) ≧ y log(a) + z log(b) + x log(c) (←チェビシェフ) ≧ (y/2)log(yz) + (z/2)log(zx) + (x/2)log(xy) = (y+z)/2 log(z) + (z+x)/2 log(x) + (x+y)/2 log(y) = a log(z) + b log(x) + c log(y) = log(右辺), (3) (左辺) = (2x)(2y)(2z) + (2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z) = F1(x,y,z) ≧ 0, >>721 (2) チェビシェフは不成立でした。スマソ log(a+b-c) = log(a) + log{1 +(b-c)/a} ≦ log(a) + (b-c)/a, a log(a+b-c) ≦ a log(a) +b -c, 巡回的にたす。 自然数 k,n (k<n)に対して、(n/k)^k ≦ nCk ≦ (en/k)^k を示せ。 ここで e はネイピア数。 >>723 左側: C[n, k] = Π[j=0, k-1] (n-j)/(k-j) > Π[j=0, k-1] (n/k) = (n/k)^k, 右側: 補題より C[n, k] = n(n-1)…(n-k+1)/k! < (n^k)/k! < e^(k-1)・(n/k)^k, 〔補題〕 k≧2 のとき (k^k)/k! < e^(k-1), (略証) (1 +1/j)^j = Σ[L=1, j] C[j, L](1/j)^L = Σ[L=1, j] (1-1/j)(1-2/j)…(1-(L-1)/j)/L! はjについて単調増加。 ∴ {(j+1)/j}^j = (1 + 1/j)^j < e, j=1,…,k-1 を入れて掛けると (k^k)/k! < e^(k-1), (別法) マクローリン展開から e^x > x^{k-1} /(k-1)! + (x^k)/k! + x^{k+1} /(k+1)! = (x^k)/k! {(k/x) + 1 + x/(k+1)}, e^k > (k^k)/k! {2 + k/(k+1)} > (k^k)/k! e, (k≧3) ∴ e^{k-1} > (k^k)/k!, k=2 は直接確かめる。 (終) R^n上の対称行列Tが任意のx∈R^nに対して(x,Tx)≧0を満たす時、T≧0と定義する 又、対称行列U,Vに対してU-V≧0の時、U≧Vと定義する この時、以下について答えよ (1)R^n上の任意の対称行列T≧0に対し、T=U^2となる対称行列U≧0が一意に存在する事を示せ(尚、この時、U=√Tと定義する) (2)R^n上の任意の対称行列A,B≧0に対し、A+B≧2√(AB)の真偽を答え、真ならば証明を、偽ならば反例を挙げよ ゴルフ行こうよ。永遠の−0テンプルバンカーショット。ナイトゴルフ。SWVPW。 >>725 (2) A,Bが対称行列でもABが対称行列になるとは限らないぞ。 >>724 の〔補題〕 分かスレ447 - 82, 438 >>724 の補題を改良 〔補題'〕 k≧2 のとき (k^k)/k! < e^(k-1) < (k^k)/(k-1)! (略証) (1 -1/jj)^j > 1 -1/j, … AM-GM (1 +1/j)^j = (1 -1/jj)^j /(1 -1/j)^j > 1/(1 -1/j)^(j-1) = {1 +1/(j-1)}^(j-1), ∴ (1 +1/j)^j = {(j+1)/j}^j はjについて単調増加 ∴ {(j+1)/j}^j < e, j=1,2,…,k-1 を入れて掛けると (k^k)/k! < e^(k-1), {jj/(jj-1)}^j > (1 +1/jj)^j > (1 +1/j), … AM-GM ∴ {j/(j-1)}^j = {jj/(jj-1)}^j・(1 +1/j)^j > (1+1/j)^(j+1) ∴ (1 +1/j)^(j+1) = {(j+1)/j}^(j+1) はjについて単調減少 ∴ {(j+1)/j}^(j+1) > e, j=1,2,…,k-1 を入れて掛けると (k^k)/(k-1)! > e^(k-1), 分かスレ447-448 >>725 (1) Tのn個の固有値d_j を主対角線に並べた実対角行列を D とし、 対応する固有ベクトルw_j を各列に並べた行列をWとする。 T w_j = w_j d_j, T W = W D, n個の固有ベクトルw_jが1次独立のとき |W|≠0 で Tは対角化可能。 T = W D W^(-1), T≧0 すなわち Tの固有値がすべて非負のとき、Dの対角要素が非負で、√Dも実対角行列。 T = W D W^(-1) = {W √D W^(-1)}^2 = U^2, Tが実対称行列のときは、固有ベクトルを適当に選んでWを実直交行列にとれる。 W^(-1) = W~ >>732 訂正 A+B≧√2(AB+BA)は成り立つかでした a, b, c >0 に対して、 a/{b(b+c)^2} + b/{c(c+a)^2} + c/{a(a+b)^2} ≧ 9/{4(ab+bc+ca)} 今年も不等式の秋が来ましたな。 9/{4(ab+bc+ca)} の出てくる不等式は過去スレで扱ったな。 x, y ∈ R に対して、 (1) 1/(x+1)^2 + 1/(y+1)^2 ≧ 1/(xy+1) (2) a^3 + b^3 + c^3 - 3abc ≦ (a^2 + b^2 + c^2)^(3/2) a, b, c > 0 に対して、 (1) 3 + √{(a^2 + b^2 + c^2)(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)} ≧ (2/3)(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) (2) √{(a^4 + b^4 + c^4)(1/a^4 + 1/b^4 + 1/c^4)} ≧ 1 + √[1 + √{(a^5 + b^5 + c^5)(1/a^5 + 1/b^5 + 1/c^5)}] (3) a^4/(a^3 + b^3) + b^4/(b^3 + c^3) + c^4/(c^3 + a^3) ≧ (a+b+c)/3 (4) {(a-b)/c}^2 + {(b-c)/a}^2 + {(c-a)/b}^2 ≧ (2√2)*{(a-b)/c + (b-c)/a + (c-a)/b} (5) a/{√(2b^2+2c^2)} + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ 3/2 (6) a+b+c=3 のとき、44 ≧ (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ 27 参考 (2) https://artofproblemsolving.com/community/q1h1328831p7152622 むかし立ち読みした本に、不等式の証明を行列を使ってやっていたんだけど、どんな本を検索したら見つかりますかね? >>737 9/{4(ab+bc+ca)} の出てくる不等式… 〔問題〕 a,b,c > 0 に対して 1/(b+c)^2 + 1/(c+a)^2 + 1/(a+b)^2 ≧ 9/{4(ab+bc+ca)}, イランMO-1996 Inequalitybot [148] >>738 (1) (x, y) = (2 -1/n, -1/2), 1/(xy+1) = 2n, (2) a+b+c = s, ab+bc+ca = t とおく。 |a^3+b^3+c^3-3abc| = |a+b+c| (aa+bb+cc-ab-bc-ca) = |s| (ss-3t) ≦ (ss-2t)^(3/2) (← GM-AM) = (aa+bb+cc)^(3/2), *) ss≧0, ss-3t≧0 より、AM-GM で (ss-2t)^3 - ss(ss-3t)^2 = (3ss -8t)tt = (1/3){8(ss-3t) +ss}tt ≧ 0, >>738 (2) を改造^^ a,b,c∈R に対して | a^3+b^3+c^3 - 3abc |^2 ≦ (aa+bb+cc)^3 - (ab+bc+ca)^3, (略証) s = a+b+c, t = ab+bc+ca とおく。 (ss-2t)^3 - t^3 - ss(ss-3t)^2 = 3(ss-3t)tt ≧ 0, (左辺) = ss(ss-3t)^2 ≦ (ss-2t)^3 - t^3 = (右辺), >>738 (2) を改造^^ a,b,c∈R に対して | a^3+b^3+c^3 - 3abc |^2 ≦ (aa+bb+cc)^3 + 8(ab+bc+ca)^3, (略証) s = a+b+c, t = ab+bc+ca とおく。 (ss-2t)^3 + (2t)^3 - ss(ss-3t)^2 = 3sstt ≧ 0, (左辺) = ss(ss-3t)^2 ≦ (ss-2t)^3 + (2t)^3 = (右辺), >>742 >>743 乙でござるな。 この2つは どこか修正が入ったの? >>739 (3) a^4 - (a^3+b^3)(a-kb) = {k(a^3+b^3) -abb} b = {k[a^3 +(1/2)b^3 +(1/2)b^3] -abb} b ≧ {3k/(2^(2/3)) -1} ab^3, (AM-GM) (係数) ≧0 より k = (1/3)・2^(2/3) = 0.529133684 a^4/(a^3 + b^3) ≧ a - kb, 循環的にたす。 (左辺) ≧ (1-k)(a+b+c) = 0.470866316 (a+b+c). >>742 は >>609 (2), >>612 にござる。 >>739 (6) 右側 は >>616 >>618 (aa+2)(bb+2)(cc+2) = uu + 2(tt-2su) + 4(ss-2t) + 8 = (uu+1+1) + (2/3)(t-3)^2 + (4/3)(tt-3su) + (ss-4t) + 3ss ≧ 3ss, ※ (uu+1+1) + (ss-4t) ≧ 3u^(2/3) + {F1(a,b,c)-9u}/s = 3{u^(2/3) -3u/s} + F1(a,b,c)/s ≧ 0, >>618 >>739 (6) >>747 a,b,c ≧ 0, a+b+c ≦ √(8k) のとき kk{(a+b+c)^2 +k} ≧ (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (3kk/4)(a+b+c)^2, 左側は a+b+c ≦ √(8k) より ab ≦ (1/4)(a+b)^2 ≦ 2k, (a+b)c ≦ (1/4)(a+b+c)^2 ≦ 2k, (aa+k)(bb+k) = k{(a+b)^2 +k} - ab(2k-ab) ≦ k{(a+b)^2 +k}, ∴ (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≦ k{(a+b)^2 +k}(cc+k) = kk(ss+k) -k(a+b)c{2k-(a+b)c} ≦ kk(ss+k), >>741 (上) 4(ab+bc+ca){1/(b+c)^2 + 1/(c+a)^2 + 1/(a+b)^2} - 9 = {ab(4aa+7ab+4bb)(a-b)^2 + bc(4bb+7bc+4cc)(b-c)^2 + ca(4cc+7ca+4aa)(c-a)^2 + (2abc)F_1(a,b,c)}/{(a+b)(b+c)(c+a)}^2 = {4t・F_2+(3tt/s)F_1+(9tu/s)F_0+(st-9u)u} / (st-u)^2 ≧ 0, F_n (a,b,c) = (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) + (c^n)(c-a)(c-b) ≧ 0, >>724 なるへそ。右辺のeは1個少なくても成り立つんですな。 さあ、はじめようか? >>737 の左辺は、どこに挟まるのでござるかな? {a/(2bc)}^2 + {b/(2ca)}^2 + {c/(2ab)}^2 ≧ 1/(4a^2) + 1/(4b^2) + 1/(4c^2) ≧ 1/(4ab) + 1/(4bc) + 1/(4ca) ≧ 1/(b+c)^2 + 1/(c+a)^2 + 1/(a+b)^2 ← (>>741 , >>749 ) ≧ 9/{4(ab+bc+ca)} ≧ 1/{(a+b)(b+c)} + 1/{(b+c)(c+a)} + 1/{(c+a)(a+b)} ≧ 9/{(a+b)(b+c) + (b+c)(c+a) + (c+a)(a+b)} ≧ 27/{4(a+b+c)^2} ≧ 9/{(a+b)^2 + (b+c)^2 + (c+a)(a+b)^2} ≧ 9/{4(a^2 + b^2 + c^2)} " ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ ;ヾ;ヾ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ " ;ヾ ; ;";ヾゝゝ" ;ヾゞ ヽ / ,." ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ ;ヾ;ヾ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ " ;ヾ ; ;";ヾゝゝ" ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ; \ / ゞヾ ; ;" ; ; ;; ;"iiiiii;;;;;::::: :)_/ヽ,.ゞ:,,ヾゞヾゞ__;::/ ` ` ` ー ─ ' ` ゞヾゞ;\\iiiiii;;;;::::: :|;:/ヾ; ;ゞ "ゝゞ ; ;` " ;゛ ; ;" ; ;ゞ "|iiiiii;;;;::: : |:/ ヾゞ ` ` ` ` ` ,|i;iiiiiii;;;;;;::: :| ` ` ` ` ` ` ` ,|iiii;iiii;;;;:;_ _: :| ___ 不等式の秋 ` ` `, ` |iiiiiii;;;;;;((,,,):::|/ ≧ \ ヾ从//" ` |iiiiiiii;;;;ii;;;;;;;;::|::::: (● (● | ` ゙ ` ヾ'./" |iiiiii;iii;;;;i;;:: ::::|ヽ::::......ワ...ノ ○ .||. , ` |iii;;iiiii;::;:;;;;::::::| ( つ且 ~ ` ○○ | | , , .,.. ,..M|M|iMii;;ii:i;;i:i;:; ゝ つつ.,.. ,...... ,.... ,,,.,.. ,.... ,,,.,.. ,..,,,,.,...,..,.,| ̄ ̄|,.,..( ).. ,,,..,,.. ,.... ,,,.,...,.. .. ,.... ,,,.,.. ,.... ,,, a, b, c > 0に対して、 (a^2 + 3b^2)(b^2 + 3c^2)(c^2 + 3a^2) ≧ {(a-b)(b-c)(c-a)}^2 ←(>>709-710 ) a, b, c > 0に対して、 (a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2) ≧ {(a-b)(b-c)(c-a)}^2. ところで (a^2 + 3b^2)(b^2 + 3c^2)(c^2 + 3a^2) と (a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2) の大小は定まりそうにないですが、どうですか? >>748 神掛かってる! 大量投下したやつを今ごろ確認しているところでござるが、関連する昨夏の不等式を再掲。 (自分のmemoから抜き出したので、未紹介のものもあるかもしれない。) a、b、c∈R、k≧0、4≧λ≧0 に対して、 (1) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (3kk/4)*(a+b+c)^2 (2) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ {(4k/3)^(3/2)}*(a-b)(b-c)(c-a) (3) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (kk/4)*{λ(aa+bb+cc) + (9-λ)(ab+bc+ca)} (4) {aa+ (k+1)/3}{bb+ (k+1)/3}{cc+ (k+1)/3} ≧ {(k+4)/3}^2*{ab+bc+ca+ (k-5)/3} a、b、c∈R、k≧1 に対して、 (5) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (k+1)^2*(ab+bc+ca+k-2) + (abc-1)^2 a、b、c∈R、k≧2 に対して、 (6) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (k+1)(ab+bc+ca+k-2)^2 a、b、c∈R、k≧(√2)-1 に対して、 (7) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (k+1)^2*{(a+b+c)^2/3 + k-2} >>753 訂正。(3)(5)は a,b,c≧0. >>748 > a,b,c ≧ 0, a+b+c ≦ √(8k) のとき > kk{(a+b+c)^2 +k} ≧ (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (3kk/4)(a+b+c)^2, 左側の等号成立条件は a=b=c=k=0 以外にありますか? >>755 kは要らんね、a=b=c=0以外に等号が成立することあるかな? 連投すまぬ。 a,b,cのうちの2つが0なら成り立ちますね。他にないかな? >>755 a,b,cのうちの少なくとも2つが0、 a,b,cのうちの一つが0で、2つが√(2k)のとき これだけかな? >>738 (1) x, y >0 として証明。 lhs - rhs = {xy(x-y)^2 + (xy-1)^2}/{(x+1)^2 (y+1)^2 (xy+1)} ≧0. 一般化できるかな?つまり、 x,y,z>0 のときに、1/(x+1)^2 + 1/(y+1)^2 + 1/(z+1)^2 ≧ 1/(xyz+1) は成り立つ? 4文字なら、a,b,c,d>0に対して、 1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + 1/(1+c)^2 + 1/(1+d)^2 ≧ 1/(1+ab) + 1/(1+cd) > 1/(1+abcd). 〔補題〕 (1) 4(2-√3) > (√6 -√2), (2) 12(2-√3) > 4(2-√3) + 2(√6 -√2) > 3(√6 -√2), (3) (√2 +√3) > 2(√6 -√2) + 4(2-√3), (4) 22/7 > 2(√6 -√2) + 4(2-√3), (5) 6 + (√6 -√2) > (√5)(√2 +√3), >>761 (1) √3 -1 ≒ 0.7320508 1/√2 ≒ 0.70710678 (左辺) - (右辺) = 2(√3 -1)(√3 -1 -1/√2) > 0, (2) (1) から直ちに出る。 (3) (左辺) - (右辺) = (1/4)(√2 -1)^2・(√3 -1)^4・(√3 -√2) > 0, (4) (左辺) - (右辺) = (1/14)(√2 -1)^3・(√3 -1)^4・(3√6 -7) > 0, (5) さてどうするか… なお、Snellius-Huygens から、2(√6 -√2) + 4(2-√3) > π が分かる。 >>761 (1)別解 4tan(π/12) > π/3 > 4sin(π/12), 4(2-√3) > π/3 > (√6-√2), http://d.hatena.ne.jp/haruya12/20120314/1331712378 >>759 s = x+y+z, t = xy+yz+zx, u = xyz とおく。 lhs - rhs = {3+4s+2ss+2(st-3u)+(tt-2su)}/(u+t+s+1)^2 - 1/(u+1) = {2+2s+(ss-2t)-5u+2(ss-t)u+2(st-9u)u+11uu+(tt-2su)u}/{(u+t+s+1)^2・(u+1)}, ≧0. (← x,y,z≧0) * 2 -5u +11uu = 63/44 + 11(5/22 -u)^2 ≧ 63/44, >>764 キタ━(゚∀゚)━!!! なるほど、対称式とSchurすごいな。 stu method でも呼ぶかな n変数にして証明できますかね? a_k >0 (k=1,2,…n) に対して、Σ1/(1+a_k)^2 ≧ 1/(1+Πa_k). x>0に対して、9x^{10} + 2 ≧ 9x^8 + 2x^9 をAM-GMで示せ。 (蛇足だが、この不等式は任意の実数で成り立つ) >>766 nについての帰納法でやってみた。 n=2 は >>759 より成立。 n≧3 のとき (1) x_j ≧ 1 があるとき、帰納法の仮定により Σ[k=1,n] 1/(1+a_k)^2 > Σ[k≠j] 1/(1+a_k)^2 ≧ 1/(1+Π[k≠j] a_k) ≧ 1/(1+Π[k=1,n] a_k), (2) x_1〜x_n がすべて1以下のとき、右辺は増加する。 ・n=3 の場合がチョト面倒。 (右辺) = 1/(xyz+1) - 1/(xy+1) = xy(1-z)/{(xyz+1)(xy+1)} ≦ xy(1-z)/{xy(z+1)} (← xy(1-z)≧0) = (1-z)/(z+1), (左辺) - (右辺) ≧ 1/(xy+1) + 1/(z+1)^2 -1/(xyz+1) (←帰納法の仮定) ≧ 1/(z+1)^2 - (1-z)/(z+1) = {z/(z+1)}^2 ≧ 0, ・n≧4 ならば Σ[k=1,n] 1/(1+a_k)^2 ≧ Σ[k=1,n] 1/4 (← a_k≦1) = n/4 ≧ 1 > 1/(1+Π[k=1,n] a_k), >>767 AM-GM より 9x^10 -10x^9 + 1 = (x-1) (9x^9 -x^8 -x^7 -x^6 -x^5 -x^4 -x^3 -x^2 -x -1) = (x-1)^2 (9x^8 +8x^7 +7x^6 +6x^5 +5x^4 +4x^3 +3x^2 +2x +1) = (x-1)^2 {5x^8 + (x+1)^2 (4x^6 +3x^4 +2x^2 +1)} ≧ 0, AM-GMより 4x^10 -5x^8 + 1 = (x^2 -1) (4x^8 -x^6 -x^4 -x^2 -1) = (x^2 -1)^2 (4x^6 +3x^4 +2x^2 +1) ≧ 0, (与式) = {(上) + (下)・9}/5 >>769 ごめん、どこでAM-GMを使っているのか分からない。 >>767 (左辺) - (右辺) = 2(4x^10 -5x^8 +1) + {(x-1)x^4}^2 ≧ 2(4x^10 -5x^8 +1) = 2{(X^5 + X^5 + X^5 + X^5 + 1) - 5 X^4} (← X=x^2≧0) ≧ 0, 最後のところで AM-GM を使いました。 >>767 AM-GMより、 x^{10} + x^9 ≧ 2x^9, 8x^{10} + 2 ≧ 10x^8. (x^8 が8個と 1が2個) 辺々加えて、 9x^{10} + 2 + x^8 ≧ 10x^8 + 2x^9. ( ゚∀゚) ウヒョッ! >>738 (1) >>759 >>764 >>768 > x,y,z>0 のとき、1/(x+1)^2 + 1/(y+1)^2 + 1/(z+1)^2 ≧ 1/(xyz+1). 右辺を見て次の不等式を思い出したが、繋がるかな? x,y,z>0 のとき、1/{x(1+y)} + 1/{y(1+z)} + 1/{z(1+x)} ≧ 3/(1+xyz). >>767 p_0 = 9, p_1(x) = 6.19544630295 + (x-0.03352960039751934)^2 p_0 > 0, p_2(x) = 3.8953637526451576 + (x-0.003121543171869486)^2 p_1(x) > 0, p_3(x) = 2.0721715662084579 + (x+0.08618793580133872)^2 p_2(x) > 0, p_4(x) = x^8 + 2(x+1)^2 (4x^6 +3x^4 +2x^2 +1), = 0.5197441948878409 + (x+0.8393520966569508138)^2 p_3(x) > 0, p_5(x) = 9x^10 -2x^9 -9x^8 +2 = (x-1)^2 p_4(x) > 0, ( ゚∀゚) ウヒョッ! >>774 細かい数字が出てよく分からんけど、p_k(x) の定義は何ですか? >>768 > n≧3 のとき > (1) x_j ≧ 1 があるとき、帰納法の仮定により > Σ[k=1,n] 1/(1+a_k)^2 > Σ[k≠j] 1/(1+a_k)^2 不等号が逆向きになりませんか? Σ[k=1,n] 1/(1+a_k)^2 < Σ[k≠j] 1/(1+a_k)^2 >>737 (問題再掲) > a, b, c >0 に対して、 > a/{b(b+c)^2} + b/{c(c+a)^2} + c/{a(a+b)^2} ≧ 9/{4(ab+bc+ca)} (証明) (ab+bc+ca)*[a/{b(b+c)^2} + b/{c(c+a)^2} + c/{a(a+b)^2}] ≧ [ √(ab*a/{b(b+c)^2}) + √(bc*b/{c(c+a)^2}) + √(ca*c/{a(a+b)^2}) ]^2 = [ a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ]^2 ≧ (3/2)^2. ∧_∧ ( ;´∀`) < シコシコ、ネビットの順に使うナリ。 人 Y / ( ヽ し (_)_) >>759 >>766 >>768 n≧3 のとき p = Π[k=1,n-1] a_k, z = a_n とおく。 (右辺) = 1/(p・z+1) - 1/(p+1) = p(1-z)/{(p・z+1)(p+1)} = Max{ p(1-z)/{(p・z+1)(p+1)}, 0} ≦ Max{ (1-z)/(z+1), 0} ≦ 1/(z+1)^2, ∴ (左辺) - (右辺) ≧ 0, >>775 p_k(x) は 2k次の多項式。 p_5(x) = (左辺) - (右辺) = 9x^10 -2x^9 -9x^8 +2, p_k(x) の最小値を b_k とし、そのときのxを a_k とする。 p_{k-1}(x) = {p_k(x) - b_k}/(x-a_k)^2, >>746 するってぇと、こういうことかい? k = (1/n)*(n-1)^{(n-1)/n} とおくとき、a,b,c>0 に対して、 a^{n+1}/(a^n + b^n) + b^{n+1}/(b^n + c^n) + c^{n+1}/(c^n + a^n) ≧ (1-k)(a+b+c). >>710 一般の自然数nの場合に右辺はどうなるのでせうか? 次式は成り立ちますか? a,b,c>0に対して、 (a-b)(a-c)a^n + (b-c)(b-a)b^n + (c-a)(c-b)c^n ≧ (n+1){(a-b)(b-c)(c-a)}^2. >>781 両辺の次数が合ってないから、考えるだけ無駄ですな。 a,b,c>0とし、Δ= (a-b)(b-c)(c-a)とおく。昨夏にやった不等式について。 (1) (27/8)*(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ≧ (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ≧ Δ^2 (2) k*Δ^2 ≧ (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) ≧ Δ^2 (3) m*Δ^2 ≧ (a-b)(a-c)a^4 + (b-c)(b-a)b^4 + (c-a)(c-b)c^4 ≧ 5Δ^2 (疑問1) k、mの値を知りたい。 (疑問2) (1)もΔ^2の定数倍で挟みたい。 >>760 1/(1+ab) + 1/(1+cd) > 1/(1+ab/2)^2 + 1/(1+cd/2)^2 > 1/(1+abcd/4), >>738 (1) >>759 >>773 (下) 1/{x(1+y)} + 1/{y(1+z)} + 1/{z(1+x)} ≧ 3/{G(1+G)} ≧ 3/(1+xyz), G = (xyz)^(1/3), バルカンMO-2006 [8] 安藤哲哉 (2014) 例題3.1.7(4) [9] 佐藤淳郎[訳] (2013) 問題3.93 Inequalitybot [77] >>783 例えば a=b≠c ⇒ =0 ・n=2 1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 > 1/(1+ab), >>759 (上) ・n=3 1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + 1/(1+c)^2 > 1/(1+abc/2), >>759 (下) >>773 (上) ・n=4 1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + 1/(1+c)^2 + 1/(1+d)^2 > 1/(1 + abcd/4), >>760 >>784 ・nについての帰納法で >>784 Σ1/(1+a_k)^2 ≧ 1/{1 + 4Π(a_k /2)}, >>785 念のため… 〔補題〕 n≧2, a_k≧0 (k=1〜n) のとき Σ[k=1, n] 1/(1+a_k)^2 ≧ 1/{ 1 + (Π[k=1, n] a_k) /2^(n-2) }, (略証) nについての帰納法による。 ・n=2 のとき >>759 (上) ・n≧3 のとき (左辺) = Σ[k=1, n] 1/(1+a_k)^2 ≧ 1/{1 + (Π[k=1, n-1] a_k) /2^(n-3) } + 1/(1+a_n)^2 (←帰納法の仮定) ≧ 1/{1 + (Π[k=1, n-1] a_k) /2^(n-2) }^2 + 1/(1+a_n)^2 ≧ 1/{1 + (Π[k=1, n] a_k) /2^(n-2) } ( >>759 上) = (右辺). (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) を同じ式で挟むとしたら、こんなもん? (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ≧ (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) ≧ (8/27)*(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) >>784 成程、a=bのときを考えれば凾ナ挟めないのは明らかですね。 >>786 ちょうど悩んでいたところで助かりますた。 直近でやった不等式が使えるとは、偶然以上の何かを感じる… >>753 (1) (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (3kk/4)ss + (u-K)^2, ただし K = (k/2)^(3/2), [前スレ.456] [前スレ.469] >>4 [3] (略証) (aa+k)(bb+k)(cc+k) = uu + k(tt-2su) + kk(ss-2t) + k^3 = {uu + 2(k/2)^3} + (2k/3)(tt-3su) + (k/3)(t-3k/2)^2 + kk(ss-t) + (3kk/4)ss ≧ (u-K)^2 + (k/3)(t-3k/2)^2 + (2k/3)(tt-3su) + (kk/4){ss-4t+3u^(2/3)} + (3kk/4)ss = (u-K)^2 + (k/3)(t-3k/2)^2 + (2k/3)(tt-3su) + (kk/4s)F1(a,b,c) + (3kk/4)ss, ※ uu + 2(k/2)^3 = uu + 2KK = (u-K)^2 + K(u+u+K) ≧ (u-K)^2 + (3kk/4)u^(2/3), ただし K = (k/2)^(3/2), ss -4t +3u^(2/3) ≧ ss -4t +9u/s = F1(a,b,c)/s, (3) はλ=4 が最良で、 (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (kk/4)(4ss-3t) + (u-K)^2, 但し K = (k/2)^(3/2), [前スレ.469] >>4 [4] >>36 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
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