不等式への招待 第９章 [無断転載禁止]©2ch.net
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不等式と聞ゐちゃあ捨て置けねゑ…。このためだけに買ってきた。
タイトル 「三角形に関する不等式のいくつか」、４ページ
レムスの不等式と、求角不等式。
内角のcosの等式から、a^2+b^2+c^2 と8R^2の大小関係。
（中略）
エルデシュの不等式。
過去スレで見たことある不等式。
あと、「老人のグチだが、（中略）近年お数学検定で、不等式の証明問題は成績が悪い傾向が見られる。」
とあるが、検定問題で出題されている不等式を全て公開してほしい。 ここで不等式解いてる人って50後半の会社員だったりする？ >>589
数検専用スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512773695/
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1479394767/
へどうぞ。
〔問題〕
a_n = (1 + 1/n)^n， b_n = (1 + 1/n)^(n+1) (nは正の整数）
とおくとき、nが増加すると a_n は増加し、b_n は減少することを証明せよ。
（数検2011-秋-1級-2次-Q2） >>589
(aa+bb+cc) - 8RR = 4RR {sin(A)^2 + sin(B)^2 + sin(C)^2 - 2}
= 4RR {1 - cos(A)^2 - cos(B)^2 - cos(C)^2}
= 8RR cos(A) cos(B) cos(C),
〔補題〕
A+B+C = π のとき
cos(A)^2 + cos(B)^2 + cos(C)^2 + 2cos(A)cos(B)cos(C) = 1,
〔ライプニッツの不等式〕
9RR - (aa+bb+cc) = 9(OG)^2 ≧ 0,
O：外心 G:重心
・文献[9] 佐藤(訳) 朝倉書店 (2013) p.87-89 定理2.4.4 定理2.4.5 >>591 は相加-相乗平均（AM-GM）で出るらしい。 （出題者・談）
{1，1，…，(n-1)/n} ⇒ a_n > a_{n-1} > … > a_1 = 2
{1，1，…，n/(n-1)} ⇒ b_n < b_{n-1} < … < b_1 = 4
しかし c_n = (1 + 1/n)^(n +1/2) が減少するのを出すのは難しい。
２項定理を使うか？ >>594
２項定理により、
(1 - 1/nn)^(2n+1) = 1 -2/n + 1/nn -1/(3n^3) +2/(3n^4) -3/(5n^5) +53/(90n^6) -…
< (1 - 1/n)^2 Crux PROBLEMS
(2012年のが公開された。5年以内のはパスワードがないと見れない)
3690, 3703, 3706, 3709
https://cms.math.ca/crux/v38/n1/Problems_38_1.pdf
3712, 3715, 3719(←破棄)
https://cms.math.ca/crux/v38/n2/Problems_38_2.pdf
3719(←Replacement), 3723, 3726, 3729
https://cms.math.ca/crux/v38/n3/Problems_38_3.pdf
3731, 3735, 3737, 3740
https://cms.math.ca/crux/v38/n4/Problems_38_4.pdf
3741, 3744, 3747, 3749
https://cms.math.ca/crux/v38/n5/Problems_38_5.pdf
3752, 3754, 3757, 3759
https://cms.math.ca/crux/v38/n6/Problems_38_6.pdf
3763, 3767, 3769
https://cms.math.ca/crux/v38/n7/Problems_38_7.pdf
3773, 3774, 3776, 3779
https://cms.math.ca/crux/v38/n8/Problems_38_8.pdf
(3781), 3783, (3784), (3786), 3788, 3789
https://cms.math.ca/crux/v38/n9/Problems_38_9.pdf
3793, 3795, 3797,
https://cms.math.ca/crux/v38/n10/Problems_38_10.pdf
（*ﾟ∀ﾟ）=3ﾊｧﾊｧ >>597 から
3690.(v38_n1)
Let a, b, and c be three distinct positive real numbers with a+b+c=s. Show that
(5xx-6xy+5yy)(a^3+b^3+c^3) + 12(xx-3xy+yy)abc > (x-y)^2･s^3,
3709.(v38_n1)
Let a, b, and c be non-negative real numbers, ｋ and Ｌ≧0 and define
(a+b)/2 - √ab = k^2， (a+b+c)/3 - (abc)^(1/3) = L^2.
Prove that
max(a,b,c) - min(a,b,c) ≧ (3/2)(k-L)^2.
3712.(v38_n2)
Prove that for any positive numbers a,b,c
√{a(aa+bc)/(b+c)} + √{b(bb+ca)/(c+a)} + √{c(cc+ab)/(a+b)} ≧ a+b+c.
3719.(v38_n3，Replacement)
Prove that if a,b,c>0, then
a/√{bb+(1/4)bc+cc} + b/√{cc+(1/4)ca+aa} + c/√{aa+(1/4)ab+bb} ≧ 2.
3723.(v38_n3)
Let a,b,c be positive real numbers such that a+b+c=s. If ｎ is a positive integer, prove that
(3a)^n /{(b+s)(c+s)} + (3b)^n /{(c+s)(a+s)} + (3c)^n /{(a+s)(b+s)} ≧ (27/16)s^(n-2).
3731.(v38_n4)
Let a,b,c be positive real numbers such that a+b+c=s. Prove that
a^(n+1) + b^(n+1) + c^(n+1) ≧ (aa+bb+cc)^n / s^(n-1),
for all non-negative integers n.
3737.(v38_n4)
Four non-negative real numbers a,b,c,d are given. Show that
1/(a^3+b^3) + 1/(b^3+c^3) + 1/(c^3+d^3) + 1/(a^3+c^3) + 1/(b^3+d^3) + 1/(a^3+d^3) ≧ 243/{2(a+b+c+d)^3},
Equality: {a,b,c,d} = {0,1,1,1}
3741.(v38_n5)
Find the largest value of ａ and the smallest value of ｂ for which the inequalties
ax/(a+xx) < sin(x) < bx/(b+xx)
hold for all 0<x<π/2.
3744.(v38_n5)
Let a,b,c be positive real numbers with sum ｓ. Prove that
(a^8+b^8)/(aa+bb)^2 + (b^8+c^8)/(bb+cc)^2 + (c^8+a^8)/(cc+aa)^2 ≧ (a^3+b^3+c^3-abc)s/4.
3752.(v38_n6)
Show that if ｎ≧2 is a positive integer then
(1/2)(1 +1/n -1/nn)^2 < (1 - 1/2^3)(1 - 1/3^3) … (1 - 1/n^3).
Crux mathematicorum, Vol.38 (2012)、一部改作 >>597 から
3763.(v38_n7)
Let a,b,c be positive real numbers. Prove that
a/(2a+b+c) + b/(2b+c+a) + c/(2c+a+b) ≦ a/(2b+2c) + b/(2c+2a) + c/(2a+2b).
3793.(v38_n10)
Let a, b, and c be positive real numbers such that
√a + √b + √c = 2014/√2.
Show that
2014 ≦ √(a+b) + √(b+c) + √(c+a) ≦ 2014√2,
Equality:(LHS) √a = √b = √c = 2014/(3√2)，(RHS) √a = 2014/√2，b=c=0,
・三角形関係
3726.(v38_n3)
Let a,b,c,s,r,R represent the angles (measured in radians)，the semi-perimeter，the in-radius and the circum-radius of a triangle，respectively.
Prove that
(A/B + B/C + C/A)^3 ≧ 2ss/(Rr).
3729.(v38_n3)
If a,b,c are the side lengths of a triangle，prove that
(b+c)/(aa+bc) + (c+a)/(bb+ca) + (a+b)/(cc+ab) ≦ 3(a+b+c)/(ab+bc+ca).
3757.(v38_n7)
Let A, B, C be the angles (measured in radians)，Ｒ the circum-radius and ｒ the in-radius of a triangle.
Prove that
1/A + 1/B + 1/C ≦ (9/2π)(R/r).
3767.(v38_n7)
Let Ｒ，ｒ be the circum-radius and in-radius of a right-angled triangle.
Prove that
R/r + r/R ≧ 2√2.
3776.(v38_n8) 別名「富士山」
In △ABC prove that
tan(A/2) + tan(B/2) + tan(C/2) ≧ (1/2){1/cos(A/2) + 1/cos(B/2) + 1/cos(C/2)}.
Crux mathematicorum, Vol.38 (2012)、一部改作 >>598
3690.
軸を45°回して (x+y)/√2 = u，(x-y)/√2 = v とおく。
5xx-6xy+5yy = 2uu +8vv,
12(xx-3xy+yy) = -6uu +30vv,
(x-y)^2 = 2vv,
これを入れて
(左辺) - (右辺) = (2uu+8vv)(a^3+b^3+c^3) + (-6uu+30vv)abc -2vv(a+b+c)^3
= 2(a^3+b^3+c^3 -3abc)uu + 6F_1(a,b,c)vv (←シューア)
≧ 0,
>>3723.
通分すると
(分子) = (a+s)(3a)^n + (b+s)(3b)^n + (c+s)(3c)^n
≧ (4s/3){(3a)^n + (3b)^n + (3c)^n} (←チェビシェフ)
= (4s)(3^n)(a^n + b^n + c^n)/3
≧ (4s)s^n,
(分母) = (a+s)(b+s)(c+s) ≦ (4s/3)^3, (← GM-AM)
(左辺) ≧ (27/16)s^(n-2),
>>3731.
コーシーの拡張より
(a+b+c)(a+b+c) … (a+b+c){a^(n+1) + b^(n+1) + c^(n+1)} ≧ (aa+bb+cc)^n,
(n-1)個 >>598
3741.
a = ππ/{2(π-2)} = 4.322734721
b = 6
cos(t) < 1 を [0，x] で逐次積分すると、
sin(x) < x, (x>0)
-cos(x) < -1 + xx/2!,
-sin(x) < -x + (x^3)/3!, (x>0)
cos(x) < 1 - xx/2! + (x^4)/4!,
sin(x) < x - (x^3)/3! + (x^5)/5!
= {x - ((14-xx)/720)x^5}/(1+xx/6)
< x/(1+xx/6), (0<x<π/2)
3752.
a_n = 1 +1/n -1/nn = (nn+n-1)/nn,
とおく。
a_n / a_{n-1} = (n-1)^2･(nn+n-1)/{nn(nn-n-1)}
= 1 - (nn-3n+1)/{nn(nn-n-1)}
≦ 1 - 1/(2nn) (n≧5)
∵ 2(nn-3n+1) - (nn-n-1) = n(n-5) + 3 ≧ 3 (n≧5)
(a_n / a_{n-1})^2 ≦ {1 - (1/2nn)}^2
= 1 - 1/nn + 1/(4n^4)
< 1 - 1/n^3, 正整数nと1より大きい正の実数xに対し、
Σ[k=1,n]{kx}/[kx]<Σ[k=1,n]1/(2k-1)
{kx}はkxの小数部分を表し、[kx]はkxの整数部分を表すものとする >>599
3763.
(左) HM-AM より
a/(2a+b+c) ≦ (1/4){a/(a+b) + a/(a+c)},
b/(2b+c+a) ≦ (1/4){b/(b+c) + b/(b+a)},
c/(2c+a+b) ≦ (1/4){c/(c+a) + c/(c+b)},
辺々たすと
(左辺) ≦ 3/4,
(右)
a/(2b+2c) = (a+b+c)/(2b+2c) - 1/2
b/(2c+2a) = (a+b+c)/(2c+2a) - 1/2
c/(2a+2b) = (a+b+c)/(2a+2b) - 1/2
辺々たすと
(右辺) = (a+b+c){1/(2b+2c) + 1/(2c+2a) + 1/(2a+2b)} - 3/2
≧ (a+b+c)･9/{4(a+b+c)} - 3/2 (← AM-HM)
= 9/4 - 3/2
= 3/4, (Nesbitt，Shapiro-3) >>593
〔Chapple - Euler の不等式〕
外接円の半径をR、内接円の半径をrとするとき
R(R-2r) = OI^2 ≧ 0
O：外心 I：内心 >>602
x → x+1 とすれば分母が k 増えるので左辺は減少する。1≦x≦2 で考える。
(m-1)/n ≦ {x} < m/n となるmをとる。
m = [nx] - n[x] +1， (1≦m≦n)
〔補題〕
Σ[k=1,n] {kx}/[kx] < Σ[k=1,m-1] 1/(2k-1) + ({x} - (m-1)/n)/(2m-1),
右辺は、(1，0) - (1+1/n，1) - (1+2/n，1+1/3) - …… - (1+m/n，Σ[k=1,m] 1/(2k-1)) - …… (2，Σ[k=1,n] 1/(2k-1)) を結んだ折れ線を表わす。 bot[195]
6(x^3 + y^3 + z^3)^2 ≦ (x^2 + y^2 + z^2)^3
これはシュワちゃんと関係あるん？ >>606 [195]
x+y+z = 0 より
x^3+y^3+z^3 = 3xyz,
xx+yy+zz = [(x-y)^2 + 3zz]/2,
xとyは同符号とすれば
0 ≦ 4xy ≦(x+y)^2 = zz,
(左辺) = 6(3xyz)^2 = 54(xy)(xy)(zz) ≦ (3zz/2)^3 ≦ {[(x-y)^2 +3zz]/2}^3 = (xx+yy+zz)^3.
蕪湖市数学競技会 以下、x、y、z∈R とする。
(1) (x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧ 6(x^3 + y^3 + z^3)^2
(2) (x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)^2 + (ab+bc+ca)^3
(3) (x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧ 2{(x-y)(y-z)(z-x)}^2
(4) 2(x^2 + y^2)(y^2 + z^2)(z^2 + x^2) ≧ {(x-y)(y-z)(z-x)}^2
(5) 合体 or 改造できるかな？
出典
(1) >>606、bot195、蕪湖市数学競技会
(2)(3)(4)は過去に扱ったと思うが、元ネタを記録していないので詳細不明
∧＿∧
( ;´∀｀) ＜ むむむ…、我慢できないでござる！
人 Y /
( ヽ し
（＿）＿） >>609 の続き
(6) (x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧ 8(x^2 - yz)(y^2 - zx)(z^2 - xy) >>609
(1) x+y+z=0 のとき、…
(2)
xx+yy+zz = S2，xy+yz+zx = t,
とおく。
S2 - t = {(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2}/2 ≧ 0,
(S2)^3 - t^3 = {(S2)^2 + S2･t +tt}(S2-t)
≧ {(S2)^2 + S2･t - 2tt}(S2-t)
= (S2+2t)(S2-t)^2
= (x+y+z)^2･{(xx+yy+zz) -(xy-yz-zx)}^2
= (x^3+y^3+z^3 -3xyz)^2,
(3)
yはxとzの中間にあるとしてよい。
0 ≦ (x-y)(y-z) ≦ (1/4)(x-z)^2,
xx+yy+zz = (1/2)(x+z)^2 + (1/2)(x-z)^2 + yy ≧ (1/2)(x-z)^2,
(左辺) ≧ (1/8)(x-z)^6 ≧ 2(x-z)^2 {(x-y)(y-z)}^2 = (右辺), Asia Pacific Mathematical Olympiad APMO 2004
でググって５番目あたりに出てくるPDFの Problem 5。
模範解答がワケワカメ…。
これより強い不等式を、前スレでやったような排気ガス… 数学セミナーエレガントな解法2月号にある不等式の問題の正解率が異様に低かったらしい
そもそも問題すら理解してない回答が多かったって講評だった >>609
(4)
(1-ｉ)(x+ｉy)(y+ｉz)(z+ｉx) = (1-ｉ){-(xyy+yzz+zxx-xyz) +ｉ(xxy+yyz+zzx-xyz)}
= -(x-y)(y-z)(z-x) +ｉ{(x+y)(y+z)(z+x)-4xyz},
絶対値の2乗をとって
2(xx+yy)(yy+zz)(zz+xx) = {(x-y)(y-z)(z-x)}^2 + {(x+y)(y+z)(z+x) -4xyz}^2,
>>613
[前スレ.456]
(abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca）≧ 0 を使う？
文献[9] 佐藤(訳)、問題3.85改、練習問題1.90(i) なるほど！
>>613
x、y、z∈R のとき、(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 9(ab+bc+ca)
[前スレ.456]
x、y、z∈R のとき、(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2
合体！
(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2 ≧ 9(ab+bc+ca) >>609 (4) >>615
s = x+y+z,
t = xy+yz+zx,
u = xyz,
⊿ = (x-y)(y-z)(z-x),
で表わせば
2(ss-2t)(tt-2su) -2uu = ⊿⊿ + (st-5u)^2, 左辺を見て、昨夏の不等式三昧の夜を思い出す ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
[前スレ.469前後]
x、y、z∈R 、k≧0 のとき、(aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (3kk/4)*(a+b+c)^2 などなど… >>614
もう最新号出る時期か。よし明日読みに行こう。 立ち読みで疎覚えだが、数蝉NOTE。
a、b、c >0、a+b+c=1 のとき、Σ[cyc] a/(b^2+bc+c^2) ≧3. >>619
〔Igarashi の不等式〕
a，b，c>0 のとき、
a/(bb+bc+cc) + b/(cc+ca+aa) + c/(aa+ab+bb) ≧ (a+b+c)/(ab+bc+ca) ≧ 3/(a+b+c),
2018年7月号NOTE
(略証)
a ' = bb + bc + cc,
b ' = cc + ca + aa,
c ' = aa + ab + bb,
とおくと
aa ' + bb ' + cc ' = (a+b+c) (ab+bc+ca), … これがミソ（?）
コーシーにより
(左辺) = a/a ' + b/b' + c/c' ≧ (a+b+c)^2 /(aa ' + bb ' + cc ') = (a+b+c)/(ab+bc+ca), >>621
おお、これだ。さんくす。
解説でZZZが一般化してたけど、なんかよく分からなかった…。 >>620 >>621
被りました。
f(x) = 1/x は下に凸だから、Jensenにより
(左辺) = a f(a ') + b f(b ') + c f(c ')
≧ (a+b+c) f((aa'+bb'+cc')/(a+b+c))
= (a+b+c) f(ab+bc+ca)
= (a+b+c)/(ab+bc+ca), >>621
> a ' = bb + bc + cc,
> b ' = cc + ca + aa,
> c ' = aa + ab + bb,
> とおくと
> aa ' + bb ' + cc ' = (a+b+c) (ab+bc+ca), … これがミソ（?）
この変形は初めて見た。コレクションに入れておこう。 あと一松じっちゃんの不等式の解説で、s(2(s^2-2t)-5t)+27u の因数分解があったような。
立ち読みだったんで s、t、u で覚えて帰ったから怪しいが…。
手計算で因数分解しようとして挫折した。 手計算でできるのか？ >>625
(b+c-2a)(c+a-2b)(a+b-2c) = (s-3a)(s-3b)(s-3c) = -2s^3 +9st -27u,
を使うでござる。
エレ解スレ【2016.11】
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1476702312/785-786 >>622
Nesbittと合体したでござるか…
〔Nesbitt-Igarashi の不等式〕
a，b，c>0 のとき、
(a+b+c) {a/(bb+bc+cc) + b/(cc+ca+aa) + c/(aa+ab+bb)}
≧ 2 {a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)}
≧ (a+b+c)^2 /(ab+bc+ca)
≧ 3,
数セミ、2018年7月号NOTE-改 >>614
よく分からぬ難しげな不等式で、攻めづらかったかも。
この式が出てきた背景は、解説で触れていたけれど。 >>630 [101]
a～d>0、a+b+c+d-1=0 のとき
6(a^3 + b^3 + c^3 + d^3) ≧ aa+bb+cc+dd + 1/8.
フランス TeamSelectionTest-2007 Q.2
(略解)
f(x) = 6x^3 - (xx + 1/32)
= (5/8)(x-1/4) + 2(3x+1)(x-1/4)^2
≧ (5/8)(x-1/4),
より
f(a) + f(b) + f(c) + f(d) ≧ (5/8)(a+b+c+d-1) = 0.
｛x = 1/4 で接線を曳く。f '(1/4) = 5/8｝ >>631
さんくす。4月から見てるけど、101だけ出てこないのだ。
画像のない192は頻繁に出てくるのにな。偏りすぎている。 >>632 [192]
任意の実数a,b,cに対し、
(a-b)(a-c)(aa-bc)^2 + (b-c)(b-a)(bb-ca)^2 + (c-a)(c-b)(cc-ab)^2 ≧ 0,
を示せ。
casphy! - highmath(高校数学) - 不等式２-188
じゅー君が高校生のとき作ったヤツ(?)
(略証)
i）a+b+c≠0 のとき、
A = aa-bc，B = bb-ca，C = cc-ab，
とおくと
A-B = (a+b+c)(a-b)，etc.
(左辺) = {AA(A-B)(A-C)＋BB(B-C)(B-A)＋CC(C-A)(C-B)}/(a+b+c)^2
= F_2(A，B，C)/(a+b+c)^2 (←シューア)
≧0，
ii）a+b+c=0 のとき、
A = B = C，
(左辺) = AA F_0(a、b、c) ≧ 0.
これで ☆9 だって。 >>613 >>615
〔補題〕
a,b,c≧0 のとき
(abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca）≧ 0,
(略証)
a = A^(3/2)，b = B^(3/2)，c = C^(3/2) とおくと
(abc)^2 + 2 -3ABC = (ABC)^3 +1 +1 -3ABC ≧ 0, (←AM-GM)
A(A-B)(A-C) + B(B-C)(B-A) + C(C-A)(C-B) = F1(A,B,C) ≧ 0,
AB(A+B) -2ab = AB(√A - √B)^2 ≧ 0，etc.
辺々たす。 >>634
>>529 ( Suranyi-3， >>512 >>513 を使った） からも出る…
>>555
>>549 〔問題18〕は [204] でござった ...orz 〔問題677〕
Ｐを凸多面体とし、Ｐの辺を L_1，L_2，…，L_n とする。
各 1≦i≦n について L_i を辺にもつＰの2つの面を考え、
その2つの面のなす角を外側から測ったものを θ_i とする。
(2面の外向き法線のなす角。2面角)
このとき、Σ[i=1，n] θ_i ≧ 3π であることを示せ。
JMO夏季セミナー
http://jmoss.jp/mon/old.php → 第9回 (G，入江)
面白スレ２６-677 [213]
正の実数列 {a_k} が各自然数kに対して
a_{k+1} ≧ k･a_k / {(a_k)^2 + (k-1)}
を満たすとする。すべての n≧2 に対して
a_1 + a_2 + … + a_n ≧ n,
を示せ。
IMO Shortlist 2015 A.2 ☆2 >>639 [213]
nについての帰納法による。
・n=2 のとき
a_1 + a_2 ≧ a_1 + 1/a_1 ≧ 2 (← AM-GM)
・n>2 のとき
a_n ≧1 のときは明らかに成立つ。
a_n ≦1 のとき 題意より
k/a_{k+1} ≦ (k-1)/a_k + a_k,
a_k ≧ k/a_{k+1} - (k-1)/a_k,
k=1,…,n-1 でたす。
a_1 + a_2 + … + a_{n-1} ≧ (n-1)/a_n,
a_1 + a_2 + … + a_n ≧ (n-1)/a_n + a_n
= n + (n-1 - a_n)(1 - a_n)/a_n
≧ (n-2) + 1/a_n + a_n
≧ n, (← 0 < a_n ≦1) >>639 [213]
nについての帰納法による。
・n=2 のとき
a_1 + a_2 ≧ a_1 + 1/a_1 ≧ 2 (← AM-GM)
・n>2 のとき
a_n ≧1 のときは明らかに成立つ。
a_n ≦1 のとき 題意より
k/a_{k+1} ≦ (k-1)/a_k + a_k,
a_k ≧ k/a_{k+1} - (k-1)/a_k,
k=1,…,n-1 でたす。
a_1 + a_2 + … + a_{n-1} ≧ (n-1)/a_n,
a_1 + a_2 + … + a_n ≧ (n-1)/a_n + a_n
= n + (n-1 - a_n)(1 - a_n)/a_n
≧ (n-2) + 1/a_n + a_n
≧ n, (← 0 < a_n ≦1) >>642
きたか…！！
( ﾟдﾟ ) ｶﾞﾀｯ
.r ヾ
＿_|_| /￣￣￣/＿
＼/ / あとは消失した192を作り直してもらうことと、224問目以降を作ってもらうことだな >>611 >>637
基本対称式を x+y+z = s，xy+yz+zx = t，xyz = u とおく。
xx-yz = xs-t，yy-zx = ys-t，zz-xy = zs-t,
より
(左辺) - (右辺) = (ss-2t)^3 - 8(xs-t)(ys-t)(zs-t)
= (ss-2t)^3 - 8(us^3 - t^3)
= ss{(ss-3t)^2 + (8/3)(tt-3su) + (1/3)tt}
≧ 0,
等号成立は x+y+z = 0. >>611 の〔類題〕
x,y,z ∈ R のとき
-(35+13√13)/486 ≦ (xx-yz)(yy-zx)(zz-xy)/(xx+yy+zz)^3 ≦ 1/8,
-0.1684612481
左側等号は (x，y，z) = ((3-√13)/2，1，1) など。 -0.302775637732 正の実数a,b,cはa+b+c=3を満たす。このとき、
1/(2+aa+bb)+1/(2+bb+cc)+1/(2+cc+aa)≦3/4
2009 イランTST >>609
(1) は x+y+z=0 の条件があるから、一緒にまとめるべきではなかったね。 >>647
左辺を f(a,b,c) とおく。
1≦c とし、(a+b)/2 = (3-c)/2 = m とおく。
f(a，b，c) ≦ f(m，m，c) ≦ 3/4
を示す。
(左)
aa+bb ≧ 2mm より
1/(2+aa+bb) = 1/{2 +2mm +(1/2)(a-b)^2} ≦ 1/(2+2mm),
1/(2+cc+bb) + 1/(2+cc+aa) = 2{2+cc+(aa+bb)/2}/{(2+cc+bb)(2+cc+aa)}
≦ 2/(2+cc+mm),
∵ (2+cc+bb)(2+cc+aa) -(2+cc+mm){2+cc+(aa+bb)/2}
= (1/4)(a-b)^2 (2+cc-3mm) + (1/16)(a-b)^4
= (1/4)(a-b)^2 {2+cc-(3/4)(3-c)^2} + (1/16)(a-b)^4
= (1/32)(a-b)^2 (19+c)(c-1) + (1/16)(a-b)^4
≧ 0, (← c≧1)
(右)
f(m，m，c) = 1/(2+2mm) + 2/(2+cc+mm)
= (3/4){1 - (c-1)^2･(5cc-26c+37)/[8(2+2mm)(2+cc+mm)] }
≦ 3/4. 実数x_1,x_2,…,x_nに対して次の不等式が成立することを示せ
Σ[i,j=1,n]|x_i+x_j|≧nΣ[i=1,n]|x_i|
2006 イランTST >>649
m ≦ 1 ≦ c より
2+cc-3mm ≧ 0, >>650
x_1, x_2, …, x_p > 0,
x_{p+1}, …, x_n ≦ 0, とする。(0≦p≦n)
(左辺) = Σ[i,j=1,p] |x_i+x_j| + Σ[i,j=p+1,n] |x_i+x_j| + Σ[i=1,p][j=p+1,n] |x_i+x_j|
= Σ[i,j=1,p] (|x_i|+|x_j|) + Σ[i,j=p+1,n] (|x_i|+|x_j|) + Σ[i=1,p][j=p+1,n] |x_i+x_j|
= 2p S_p + 2(n-p) S_n + 2S~,
ここに
S_p = Σ[i=1,p] |x_i|, S_n = Σ[j=p+1,n] |x_j|, S~ = Σ[i=1,p][j=p+1,n] |x_i+x_j|,
とおいた。
・p = n/2 のときは成立する。（S~≧0)
・0 ≦ p < n/2 のとき
S~ ≧ Σ[i=1,p][j=p+1,n] (|x_i|-|x_j|) = (n-p) S_p - p S_n,
0 < (n-2p)/(n-p) ≦ 1 を掛けて
S~ ≧ {(n-2p)/(n-p)}S~ ≧ (n-2p){S_p - [p/(n-p]S_n},
(左辺) ≧ n S_p + {n + (n-2p)^2 /(n-p)}S_n ≧ n(S_p + S_n),
・n/2 < p ≦ n のとき
S~ ≧ Σ[i=1,p][j=p+1,n] (|x_j|-|x_i|) = -(n-p) S_p + p S_n,
0 < (2p-n)/p ≦ 1 を掛けて
S~ ≧ {(2p-n)/p}S~ ≧ (2p-n){-[(n-p)/p]S_p + S_n},
(左辺) ≧ {n + (2p-n)^2 /p}S_p + n S_n ≧ n(S_p + S_n), >>652 訂正
はじめの方で
(左辺) = … + … + ２Σ[i=1,p][j=p+1,n] |x_i+x_j|
の係数2が抜けてました。（後の論証に影響ないと思いますが…） >>652
混乱しているので修正
(左辺) = 2p S(+) + 2(n-p) S(-) + 2S~,
ここに
S(+) = Σ[i=1,p] |x_i|， S(-) = Σ[j=p+1,n] |x_j|， S~ = ……
とおいた。
結論は
(左辺) ≧ …… ≧ n{S(+) + S(-)}, 非負実数a,b,c,dと1≦p≦2なる実数pに対して、次の不等式が成立することを示せ
(a+b)^p+(c+d)^p+(a+c)^p+(b+d)^p≦a^p+b^p+c^p+d^p+(a+b+c+d)^p >>37(1) >>40 >>41 >>44
〔Redhefferの不等式〕
a_1 ～ a_n >0 のとき
G_k = (a_1･a_2…a_k)^(1/k) とおくと
G_1 + G_2 + …… + G_n ≦ Σ[k=1,n] (1+1/k)^k･a_k - n･G_n,
和書[3] (大関, 1987) p.114-115 例題3
文献 Ray Redheffer: Proc. London Math. Soc., Vol. s3-17, Iss. 4, p.683-699 (1967/Oct)
"Recurrent inequalities" >>658
（G_{k-1}，G_{k-1}，…，G_{k-1}，(1+1/k)^k･a_k）のk個ででAM-GM する。
(k-1)個
(k+1)G_k - (k-1)G_{k-1} ≦ (1+1/k)^k･a_k,
k=1～n でたす。（便宜上、G_0=0） >>660
「円に外接する三角形の面積だろ！」
とかツッコミたくないが。
その場合は
a = {cot(B/2)+cot(C/2)} r/2 などより、
S = {cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)} rr
≧ 3cot((A+B+C)/6) rr （←下に凸）
= 3cot(π/6) rr
= (3√3) rr, >>609 (2)
>>612 (2)
[x，y，z] [x，z，y] [S2，t，t]
|z，x，y| |y，x，z| = |t，S2，t|
[y，z，x] [z，y，x] [t，t，S2]
の行列式は
D(x,y,z)^2 = D(S2,t,t).
ここに
D(x,y,z) = x^3 + y^3 + z^3 -3xyz
= (x+y+z)(xx+yy+zz-xy-yz-zx)
= (x+y+z)(S2-t). >>609 (3) [182](1)
大数宿題 - 2013 Q.5
[第7章].114[2](1)、116
Casphy! - higmath - 不等式２ - 170 ( ﾟ∀ﾟ)つ https://tohoku.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main&;active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=41283&item_no=1&page_id=33&block_id=38 >>662
F(x,y,z) は既約かつ対称な多項式で
F(x,y,z)^2 = F(xx+yy+zz，xy+yz+zx，xy+yz+zx)
を満たすとする。
F(x,y,z) = x+y+z,
F(x,y,z) = xx+yy+zz -xy-yz=zx,
以外にも解があるかな。 >>655 >>656
f(x) = x^(p-1) とおくと、
x>0 で f '(x) = (p-1)x^(p-2) > 0， f "(x) = (p-2)(p-1)x^(p-3) ≧0.
f"(x) ≧ 0（下に凸）だから、(*)
f(a+b) + f(a+c) ≦ f(a) + f(a+b+c),
f(a+b) + f(b+d) ≦ f(b) + f(a+b+d),
f(a+c) + f(c+d) ≦ f(c) + f(a+c+d),
f(b+d) + f(c+d) ≦ f(d) + f(b+c+d),
各式に a，b，c，d を掛けて足す。
f '(x) >0（単調増加）を使うと
g(a+b) + g(c+d) + g(a+c) + g(b+d) ≦ g(a)+g(b)+g(c)+g(d) + g(a+b+c+d),
ここに g(x) = x･f(x)
(略証)
0 < ∫[0,b]∫[0,c] f "(a+u+v) du dv
= f(a+b+c) + f(a) - f(a+b) - f(a+c), 一辺の長さが1である辺を奇数個もつ任意の多角形の面積をSとすると次の不等式が成立
S≧√3/4 >>667
すべての辺の長さが1である、奇数角形? 〔問題2018〕
a>0，b>0，c>0，a+b+c=3 のとき次を示せ。
a^(1/2018) + b^(1/2018) + c^(1/2018) + (2/√3) √{a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)} ≧ 3,
(K. Chikaya, 2018/June/19)
すうじあむ //suseum.jp/gq/question/2884 を改良
casphy.com/bbs/highmath/472060/ 不等式２-304 >>668
多角形のすべての辺のうち一辺の長さ1である辺の総数は奇数個であるもの >>668
偶数角形でもいい
例としては四角形のうち三つの辺が長さ1で他は長さ1ではないものだったり、一つの辺のみが1でほかは長さ1でないようなもの 凸とは限らない３角形または４角形または５角形または……
であって辺の長さはすべて１であるもの
ですね。凸とは限ってないので内角が180°も桶なので>>697でもいいけど “凸とは限らない” がある方が良かったかも。 >>671
> 偶数角形でもいい
辺長１の正N角形の、連続する2m個の頂点を結んでできる凸2m角形を考える。(N ≫ m^3)
外接円の半径は R = 1/{2sin(π/N)},
S < (弓形の面積)
= (扇形の面積) - (三角形の面積)
= (1/2)RR{(4mπ/N) - sin(4mπ/N)}
< (1/12)RR(4mπ/N)^3 (*)
= 1/{48sin(π/N)^2}(4mπ/N)^3
～ (4/3) m^3 (π/N)
→ 0 (N→∞)
*) x>0 のとき x - (1/6)x^3 < sin(x) < x, >>673
訂正ｽﾏｿ
(4mπ/N) → (2(2m-1)π/N)
或いは
(弦の長さ) < (2m-1)
(幅) = R {1-cos((2m-1)π/N)}
< R (1/2) {(2m-1)π/N}^2 (**)
= 1/{4sin(π/N)} {(2m-1)π/N}^2
～ (1/4)(2m-1)^2 (π/N)
→ 0 (N→∞)
**) 1 - (1/2)xx < cos(x) ≦ 1 問題の見栄え良くするために、問題文はしょりすぎなんだよ。
偶数角形でもいいといってるのは例えば四角形ABCDで
AB=BC=CD=1、DA=2でもいいって意味だろ？
あくまで辺の長さの和は奇数。
この場合は五角形ABCDEでAE=DE=1、角Eは180°とみなして
１辺の長さ１の５角形とみなす。
そういう場合、面積は√3/4より大きくなる。
偶数角形で辺の長さ１で反例出したいなら平たいひし形で終わり。 で結局問題は>>667でいいの？
真偽は別としてこれだけで問題の条件は十分伝わるよね
勝手に凸がどうたらって条件を加えてる>>672は別の問題ってことでいいの？ >>675 辺の長さの和が奇数とは書いてない。そもそも辺の長さは整数とは限らないし
[667(元問題)] 多角形Pは次の条件を満たすとき S >= sqrt(3) / 4
【条件】Pの辺のうち長さが1であるものは奇数個
[672] すべての辺が1である多角形Pの面積は S >= sqrt(3)/4
（凸の条件が何を言ってるのかよくわからない）
[673-4] 「辺が1の正多角形Pの面積は S >= sqrt(3)/4」を否定する証明（たぶん）
なんかごちゃごちゃしたけど問題は667でいいんだよね >>675 >>677
すべての辺の長さを自然数に限定？
>>673 >>674 の例で、辺長1を固定しつつ端の2点を持って引っぱると、
自然数にならぬか…
>>675
菱形だと長さ1の辺が４つになる。 3辺長を1に固定して１点をずらす。 点列P0.‥Pnは以下を満たす。
・nは奇数、P0=Pn
・隣接2点間の距離は1
・点列を順に結んで得られる曲線は単純閉曲線C
この時、Cで囲まれる領域の面積は√3/4以上であることを示せ。
ですな >>679
それは667と別問題だよね
それも成り立つの？ >>667
これは成り立つ。
私は>>667もこの意味だと思う。
長さ1の辺が奇数個でそうでない辺がいくらあっても桶
みたいな設定で何かいえると思えない。 >>681
問題が間違えてるってことね
679っぽい状況は数オリ辞典かなんかで見た記憶あるけど思い出せない >>679
すべての辺の長さが1である、奇数角形 >>668
ですね。 >>520 (B3) [100]
49th IMO spain 2008, SL-A7
s = a+b+c+d,
p = s+a+c,
q = s+b+d,
M = (s-d)(s-b) = (s+a+c)s + bd,
N = (s-a)(s-c) = (s+b+d)s + ac,
W = (b+d)M-(a+c)N = bd(b+d) - ac(a+c), …(3)
とおく。
2(左辺) = p(a-c)^2 /M + 3(a-c)(b-d)W/MN + q(b-d)^2 /N,
これは a-c，b-d の斉2次式なので、判別式（Hessian）を調べる。
pq = 2ss + (a+c)(b+d) > 2ss,
MN = {(s+a+c)s+bd} {(s+b+d)s+ac}
= (s+a+c)(s+b+d)ss + ac(s+a+c)s + bd(s+b+d)s + abcd
> 2s^4 + 2ac(a+c)s + 2bd(b+d)s, (← s>a+c，s>b+d)
辺々掛けて
4pqMN > 8ssMN
> 16(s^3){s^3 + ac(a+c)+bd(b+d)}
> 192{ac(a+c)+bd(b+d)}^2 {← s^3 > 3ac(a+c)+3bd(b+d)}
> 192{bd(b+d)-ac(a+c)}^2
= 192WW
≧ 9WW.
∴ 判別式(Hessian) < 0
∴ 正定値。
http://www.imo-official.org/problems/IMO2008SL.pdf
IMO-2008, SL-A7, Solution-2 >>685 訂正
M = (s-d)(s-b) = (a+c)s + bd,
N = (s-a)(s-c) = (b+d)s + ac,
MN = {(a+c)s+bd} {(b+d)s+ac}
> {ac(a+c) + bd(b+d)}s,
4pqMN > 8ssMN
> 8(s^3){ac(a+c) + bd(b+d)}
> 8ac(a+c)^4 + 8bd(b+d)^4
≧ 32{ac(a+c)}^2 + 32{bd(b+d)}^2
> 32{bd(b+d) - ac(a+c)}^2
= 32WW
≧ 9WW, 〔問題670〕
nを自然数、xを実数とするとき
[nx] ≧ Σ(k=1,n) [kx]/k
を示せ。ただし [x] はガウス記号である。
[面白スレ２６-670，同２７-144] すうじあむの解答見てきたけど、h(t)の最大値を求めるところまでは分かった。
で、h(t)の最大値がf(x,y)の最大値になるのは明らかなん？
バラバラに動く変数を1変数に置き換えたものを調べて間違いないん？ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
