不等式への招待 第9章 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>549 〔問題12〕の解答 (左側) 任意の正の整数mに対し、 log(m!) = Σ[L=1,m-1] log(L+1) ≧ Σ[L=1,m-1] ∫[L,L+1] log(t)dt = ∫[1,m] log(t)dt = m{log(m) -1} +1, ∴ log(m) - 1 ≦ (1/m)log(m!) (右側) 実数xに対し、x以下の最大の整数を [x] で表わす。 また、0でない整数nと素数pに対し、v_p(n) で、nの素因数分解に現れるpの回数を表わすものとする。 ここで、m! はm以下の素数しか素因数に持たないので、 log(m!) = Σ[i=1,k] v_pi(m!) log(p_i) と表わされる。ここで、 v_p(m!) < m/(p-1) が分かるのでこれを上の式と組み合わせて (1/m)log(m!) < Σ[i=1,k] log(p_i)/(p_i -1) が示された。(終) http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai12.php >>549 〔問題32〕の解答 (a_{k+1})^2 / a_k ≧ 2k・a_{k+1} - kk・a_k, 辺々たして Σ[k=1,n-1] (a_{k+1})^2 / a_k ≧ Σ[k=2,n] 2(k-1) a_k - Σ[k=1,n-1] kk・a_k = nn・a_n - Σ[k=1,n] a_k - Σ[k=1,n] (k-1)^2・a_k = nn・a_n - 1 - Σ[k=1,n] (k-1)^2・a_k を導く。等号成立条件は、各 k=1,2,…,n-1 で a_{k+1} = k・a_k である場合だから、すべての i=1,2,…,n に対し a_i = (i-1)! /{Σ[k=1,n] (k-1)!} が成立することである。 http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai32.php (a^2 + b^2 + c^2)^2 - (ab+bc+ca)^2 ≧ (√6)(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) >>575 [192] 任意の実数a,b,cに対し、 (a-b)(a-c)(aa-bc)^2 + (b-c)(b-a)(bb-ca)^2 + (c-a)(c-b)(cc-ab)^2 ≧ 0, を示せ。 //www.casphy.com/bbs/highmath/不等式2-188 (じゅー) >>574 [104] s = a+b+c,t = ab+bc+ca,u = abc, = (a-b)(b-c)(c-a) とおく。 ss-3t≧0, (左辺) = (ss-2t)^2 -tt = (ss-t)(ss-3t) = (1/3){2ss + (ss-3t)}(ss-3t) ≧ {(2√2)/3}|s|(ss-3t)^(3/2), ≧ (√6)|s處, ∵ 4(ss-3t)^3 = 27刧 + {(a+b-2c)(b+c-2a)(c+a-2b)}^2 ≧ 27刧, 等号成立は等間隔かつ ss+3t = 0 より{1-√6,1,1+√6} http://www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式2-197 >>572 (右側) 補足 自然数nと素数pに対し、v_p(n) で、nの素因数分解に現れるpの回数を表わすものとする。 v_pi(m!) = [ m/p ]+ [ m/p^2 ] + [ m/p^3 ] + … + [ m/p^d ] ここに、d = [ log(n)/log(p) ]. これもルジャンドルの定理と云うらしい。 http://mathtrain.jp/legendretheorem 〔補題12〕 v_p(m!) < m/(p-1) (略証) d = [ log(n)/log(p) ] とおくと v_pi(m!) ≦ m/p + m/p^2 + m/p^3 + … + m/p^d < m/(p-1), a, b, c > 0 に対して、a/(b+c) + 20b/(c+a) + 17c/(a+b) > 8 best possible かどうか分からん B. 4931. Prove that if a, b, c are the sides of a triangle then {a^2(b+c) + b^2(a+c)} /(abc) > 3. http://www.komal.hu/feladat?a=honap& ;h=201802&t=mat&l=en B. 4925. http://www.komal.hu/feladat?a=honap& ;h=201801&t=mat&l=en B. 4953. http://www.komal.hu/feladat?a=honap& ;h=201804&t=mat&l=en P.1, Problem 1. https://archives.ust.hk/dspace/bitstream/9999/46212/1/math-02a-a109.pdf >>581 B.4925 (改) (KoMaL,h=201801) 0<a<n のとき a/{a^(n+1) + (n-a)} ≦ 1/n (略解) a^(n+1) -(n+1)a + n = (a-1){a^n + a^(n-1) + … + a -n} = Σ[k=1,n] (a-1)(a^k -1) ≧ 0, B.4931 (KoMaL,h=201802) {aa(b+c) + bb(a+c)}/abc > 3, (略解) aa(b+c) + bb(a+c) = ab(a+b-c) + (a-b)^2・c + 3abc ≧ 3abc, B.4953 (KoMaL,h=201804) log(n) + Σ[k=2,n] √{(k-1)/k} < Σ[k=2,n] √{k/(k-1)}, (略解) x>0 ⇒ x < sinh(x), a>1 ⇒ 2log(a) < a - 1/a, a = √{k/(k-1)} とおく。 log(k) - log(k-1) < √{k/(k-1)} - √{(k-1)/k}, k=2 から k=n までたす。 Math. Excalibur,Vol.21,No.4,p.1 (2018) Problem 1. a,b,c >0,a+b+c=1 のとき a√(2b-1) + b√(2c+1) + c√(2a+1) ≦ √{2-(aa+bb+cc)}, (略解) 関数f(x) = √x は上に凸ゆえ、Jensenで (左辺) ≦ √{a(2b+1) + b(2c+1) + c(2a+1)} = √{(a+b+c) + 2(ab+bc+ca)} / (a+b+c) = √{1 +2(ab+bc+ca)} = (右辺) 等号成立は (a,b,c) = (1/3,1/3,1/3) および (1,0,0) など。 >>579 左辺が最小になる点では (b+c)^2 : (c+a)^2 : (a+b)^2 = 1 : 20 : 17, (b+c) : (c+a) : (a+b) = √1 : √20 : √17, b+c = √1, c+a = √20, a+b = √17, a = (-√1 +√20 +√17)/2, b = (+√1 -√20 +√17)/2, c = (+√1 +√20 -√17)/2, (左辺) ≧ a√1 + b√20 + c√17 = √(1・20) +√(20・17) +√(17・1) -19 = 8.0343304952 >>579 >>583 b+c = A,c+a = B,a+b = C とおくと (左辺) = 1・(B+C-A)/(2A) + 20(C+A-B)/(2B) + 17(A+B-C)/(2C) = (1/2)(1・B/A + 20A/B) + (1/2)(20C/B + 17B/C) +(1/2)(1・C/A + 17A/C) - (1+20+17)/2 ≧ √(1・20) + √(20・17) + √(17・1) - 19 (← AM-GM) 等号成立は A:B:C = √1:√20:√17 >>486 >>487 (3) 文献[9] 佐藤(訳) (2013) p.48 演習問題 1.101 ・p=1,q=2 の例 文献[9] 佐藤(訳) (2013) p.48 例 1.6.7 及び p.131 問題 3.30 チェコ-スロバキアMO-1999 >>575 >>576 [192] 一次式:φ(x) = (a+b+c)x−(ab+bc+ca)により、 A = φ(a) = aa-bc, B = φ(b) = bb-ca, C = φ(c) = cc-ab. A - B = (a+b+c)(a-b)、etc. i)a+b+c≠0 のとき、 (左辺) = {AA(A-B)(A-C) + BB(B-C)(B-A) + CC(C-A)(C-B)}/(a+b+c)^2 = F_2(A、B、C)/(a+b+c)^2 ≧0、 ii)a+b+c=0 のとき、A=B=C. http://www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式2-188 一松のじっちゃんが「大学への数学2018年6月号」に不等式の記事を書いておられる。 エルデシュの不等式とか 不等式と聞ゐちゃあ捨て置けねゑ…。このためだけに買ってきた。 タイトル 「三角形に関する不等式のいくつか」、4ページ レムスの不等式と、求角不等式。 内角のcosの等式から、a^2+b^2+c^2 と8R^2の大小関係。 (中略) エルデシュの不等式。 過去スレで見たことある不等式。 あと、「老人のグチだが、(中略)近年お数学検定で、不等式の証明問題は成績が悪い傾向が見られる。」 とあるが、検定問題で出題されている不等式を全て公開してほしい。 ここで不等式解いてる人って50後半の会社員だったりする? >>589 数検専用スレ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512773695/ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1479394767/ へどうぞ。 〔問題〕 a_n = (1 + 1/n)^n, b_n = (1 + 1/n)^(n+1) (nは正の整数) とおくとき、nが増加すると a_n は増加し、b_n は減少することを証明せよ。 (数検2011-秋-1級-2次-Q2) >>589 (aa+bb+cc) - 8RR = 4RR {sin(A)^2 + sin(B)^2 + sin(C)^2 - 2} = 4RR {1 - cos(A)^2 - cos(B)^2 - cos(C)^2} = 8RR cos(A) cos(B) cos(C), 〔補題〕 A+B+C = π のとき cos(A)^2 + cos(B)^2 + cos(C)^2 + 2cos(A)cos(B)cos(C) = 1, 〔ライプニッツの不等式〕 9RR - (aa+bb+cc) = 9(OG)^2 ≧ 0, O:外心 G:重心 ・文献[9] 佐藤(訳) 朝倉書店 (2013) p.87-89 定理2.4.4 定理2.4.5 >>591 は相加-相乗平均(AM-GM)で出るらしい。 (出題者・談) {1,1,…,(n-1)/n} ⇒ a_n > a_{n-1} > … > a_1 = 2 {1,1,…,n/(n-1)} ⇒ b_n < b_{n-1} < … < b_1 = 4 しかし c_n = (1 + 1/n)^(n +1/2) が減少するのを出すのは難しい。 2項定理を使うか? >>594 2項定理により、 (1 - 1/nn)^(2n+1) = 1 -2/n + 1/nn -1/(3n^3) +2/(3n^4) -3/(5n^5) +53/(90n^6) -… < (1 - 1/n)^2 Crux PROBLEMS (2012年のが公開された。5年以内のはパスワードがないと見れない) 3690, 3703, 3706, 3709 https://cms.math.ca/crux/v38/n1/Problems_38_1.pdf 3712, 3715, 3719(←破棄) https://cms.math.ca/crux/v38/n2/Problems_38_2.pdf 3719(←Replacement), 3723, 3726, 3729 https://cms.math.ca/crux/v38/n3/Problems_38_3.pdf 3731, 3735, 3737, 3740 https://cms.math.ca/crux/v38/n4/Problems_38_4.pdf 3741, 3744, 3747, 3749 https://cms.math.ca/crux/v38/n5/Problems_38_5.pdf 3752, 3754, 3757, 3759 https://cms.math.ca/crux/v38/n6/Problems_38_6.pdf 3763, 3767, 3769 https://cms.math.ca/crux/v38/n7/Problems_38_7.pdf 3773, 3774, 3776, 3779 https://cms.math.ca/crux/v38/n8/Problems_38_8.pdf (3781), 3783, (3784), (3786), 3788, 3789 https://cms.math.ca/crux/v38/n9/Problems_38_9.pdf 3793, 3795, 3797, https://cms.math.ca/crux/v38/n10/Problems_38_10.pdf (*゚∀゚)=3ハァハァ >>597 から 3690.(v38_n1) Let a, b, and c be three distinct positive real numbers with a+b+c=s. Show that (5xx-6xy+5yy)(a^3+b^3+c^3) + 12(xx-3xy+yy)abc > (x-y)^2・s^3, 3709.(v38_n1) Let a, b, and c be non-negative real numbers, k and L≧0 and define (a+b)/2 - √ab = k^2, (a+b+c)/3 - (abc)^(1/3) = L^2. Prove that max(a,b,c) - min(a,b,c) ≧ (3/2)(k-L)^2. 3712.(v38_n2) Prove that for any positive numbers a,b,c √{a(aa+bc)/(b+c)} + √{b(bb+ca)/(c+a)} + √{c(cc+ab)/(a+b)} ≧ a+b+c. 3719.(v38_n3,Replacement) Prove that if a,b,c>0, then a/√{bb+(1/4)bc+cc} + b/√{cc+(1/4)ca+aa} + c/√{aa+(1/4)ab+bb} ≧ 2. 3723.(v38_n3) Let a,b,c be positive real numbers such that a+b+c=s. If n is a positive integer, prove that (3a)^n /{(b+s)(c+s)} + (3b)^n /{(c+s)(a+s)} + (3c)^n /{(a+s)(b+s)} ≧ (27/16)s^(n-2). 3731.(v38_n4) Let a,b,c be positive real numbers such that a+b+c=s. Prove that a^(n+1) + b^(n+1) + c^(n+1) ≧ (aa+bb+cc)^n / s^(n-1), for all non-negative integers n. 3737.(v38_n4) Four non-negative real numbers a,b,c,d are given. Show that 1/(a^3+b^3) + 1/(b^3+c^3) + 1/(c^3+d^3) + 1/(a^3+c^3) + 1/(b^3+d^3) + 1/(a^3+d^3) ≧ 243/{2(a+b+c+d)^3}, Equality: {a,b,c,d} = {0,1,1,1} 3741.(v38_n5) Find the largest value of a and the smallest value of b for which the inequalties ax/(a+xx) < sin(x) < bx/(b+xx) hold for all 0<x<π/2. 3744.(v38_n5) Let a,b,c be positive real numbers with sum s. Prove that (a^8+b^8)/(aa+bb)^2 + (b^8+c^8)/(bb+cc)^2 + (c^8+a^8)/(cc+aa)^2 ≧ (a^3+b^3+c^3-abc)s/4. 3752.(v38_n6) Show that if n≧2 is a positive integer then (1/2)(1 +1/n -1/nn)^2 < (1 - 1/2^3)(1 - 1/3^3) … (1 - 1/n^3). Crux mathematicorum, Vol.38 (2012)、一部改作 >>597 から 3763.(v38_n7) Let a,b,c be positive real numbers. Prove that a/(2a+b+c) + b/(2b+c+a) + c/(2c+a+b) ≦ a/(2b+2c) + b/(2c+2a) + c/(2a+2b). 3793.(v38_n10) Let a, b, and c be positive real numbers such that √a + √b + √c = 2014/√2. Show that 2014 ≦ √(a+b) + √(b+c) + √(c+a) ≦ 2014√2, Equality:(LHS) √a = √b = √c = 2014/(3√2),(RHS) √a = 2014/√2,b=c=0, ・三角形関係 3726.(v38_n3) Let a,b,c,s,r,R represent the angles (measured in radians),the semi-perimeter,the in-radius and the circum-radius of a triangle,respectively. Prove that (A/B + B/C + C/A)^3 ≧ 2ss/(Rr). 3729.(v38_n3) If a,b,c are the side lengths of a triangle,prove that (b+c)/(aa+bc) + (c+a)/(bb+ca) + (a+b)/(cc+ab) ≦ 3(a+b+c)/(ab+bc+ca). 3757.(v38_n7) Let A, B, C be the angles (measured in radians),R the circum-radius and r the in-radius of a triangle. Prove that 1/A + 1/B + 1/C ≦ (9/2π)(R/r). 3767.(v38_n7) Let R,r be the circum-radius and in-radius of a right-angled triangle. Prove that R/r + r/R ≧ 2√2. 3776.(v38_n8) 別名「富士山」 In △ABC prove that tan(A/2) + tan(B/2) + tan(C/2) ≧ (1/2){1/cos(A/2) + 1/cos(B/2) + 1/cos(C/2)}. Crux mathematicorum, Vol.38 (2012)、一部改作 >>598 3690. 軸を45°回して (x+y)/√2 = u,(x-y)/√2 = v とおく。 5xx-6xy+5yy = 2uu +8vv, 12(xx-3xy+yy) = -6uu +30vv, (x-y)^2 = 2vv, これを入れて (左辺) - (右辺) = (2uu+8vv)(a^3+b^3+c^3) + (-6uu+30vv)abc -2vv(a+b+c)^3 = 2(a^3+b^3+c^3 -3abc)uu + 6F_1(a,b,c)vv (←シューア) ≧ 0, >>3723 . 通分すると (分子) = (a+s)(3a)^n + (b+s)(3b)^n + (c+s)(3c)^n ≧ (4s/3){(3a)^n + (3b)^n + (3c)^n} (←チェビシェフ) = (4s)(3^n)(a^n + b^n + c^n)/3 ≧ (4s)s^n, (分母) = (a+s)(b+s)(c+s) ≦ (4s/3)^3, (← GM-AM) (左辺) ≧ (27/16)s^(n-2), >>3731 . コーシーの拡張より (a+b+c)(a+b+c) … (a+b+c){a^(n+1) + b^(n+1) + c^(n+1)} ≧ (aa+bb+cc)^n, (n-1)個 >>598 3741. a = ππ/{2(π-2)} = 4.322734721 b = 6 cos(t) < 1 を [0,x] で逐次積分すると、 sin(x) < x, (x>0) -cos(x) < -1 + xx/2!, -sin(x) < -x + (x^3)/3!, (x>0) cos(x) < 1 - xx/2! + (x^4)/4!, sin(x) < x - (x^3)/3! + (x^5)/5! = {x - ((14-xx)/720)x^5}/(1+xx/6) < x/(1+xx/6), (0<x<π/2) 3752. a_n = 1 +1/n -1/nn = (nn+n-1)/nn, とおく。 a_n / a_{n-1} = (n-1)^2・(nn+n-1)/{nn(nn-n-1)} = 1 - (nn-3n+1)/{nn(nn-n-1)} ≦ 1 - 1/(2nn) (n≧5) ∵ 2(nn-3n+1) - (nn-n-1) = n(n-5) + 3 ≧ 3 (n≧5) (a_n / a_{n-1})^2 ≦ {1 - (1/2nn)}^2 = 1 - 1/nn + 1/(4n^4) < 1 - 1/n^3, 正整数nと1より大きい正の実数xに対し、 Σ[k=1,n]{kx}/[kx]<Σ[k=1,n]1/(2k-1) {kx}はkxの小数部分を表し、[kx]はkxの整数部分を表すものとする >>599 3763. (左) HM-AM より a/(2a+b+c) ≦ (1/4){a/(a+b) + a/(a+c)}, b/(2b+c+a) ≦ (1/4){b/(b+c) + b/(b+a)}, c/(2c+a+b) ≦ (1/4){c/(c+a) + c/(c+b)}, 辺々たすと (左辺) ≦ 3/4, (右) a/(2b+2c) = (a+b+c)/(2b+2c) - 1/2 b/(2c+2a) = (a+b+c)/(2c+2a) - 1/2 c/(2a+2b) = (a+b+c)/(2a+2b) - 1/2 辺々たすと (右辺) = (a+b+c){1/(2b+2c) + 1/(2c+2a) + 1/(2a+2b)} - 3/2 ≧ (a+b+c)・9/{4(a+b+c)} - 3/2 (← AM-HM) = 9/4 - 3/2 = 3/4, (Nesbitt,Shapiro-3) >>593 〔Chapple - Euler の不等式〕 外接円の半径をR、内接円の半径をrとするとき R(R-2r) = OI^2 ≧ 0 O:外心 I:内心 >>602 x → x+1 とすれば分母が k 増えるので左辺は減少する。1≦x≦2 で考える。 (m-1)/n ≦ {x} < m/n となるmをとる。 m = [nx] - n[x] +1, (1≦m≦n) 〔補題〕 Σ[k=1,n] {kx}/[kx] < Σ[k=1,m-1] 1/(2k-1) + ({x} - (m-1)/n)/(2m-1), 右辺は、(1,0) - (1+1/n,1) - (1+2/n,1+1/3) - …… - (1+m/n,Σ[k=1,m] 1/(2k-1)) - …… (2,Σ[k=1,n] 1/(2k-1)) を結んだ折れ線を表わす。 bot[195] 6(x^3 + y^3 + z^3)^2 ≦ (x^2 + y^2 + z^2)^3 これはシュワちゃんと関係あるん? >>606 [195] x+y+z = 0 より x^3+y^3+z^3 = 3xyz, xx+yy+zz = [(x-y)^2 + 3zz]/2, xとyは同符号とすれば 0 ≦ 4xy ≦(x+y)^2 = zz, (左辺) = 6(3xyz)^2 = 54(xy)(xy)(zz) ≦ (3zz/2)^3 ≦ {[(x-y)^2 +3zz]/2}^3 = (xx+yy+zz)^3. 蕪湖市数学競技会 以下、x、y、z∈R とする。 (1) (x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧ 6(x^3 + y^3 + z^3)^2 (2) (x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)^2 + (ab+bc+ca)^3 (3) (x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧ 2{(x-y)(y-z)(z-x)}^2 (4) 2(x^2 + y^2)(y^2 + z^2)(z^2 + x^2) ≧ {(x-y)(y-z)(z-x)}^2 (5) 合体 or 改造できるかな? 出典 (1) >>606 、bot195、蕪湖市数学競技会 (2)(3)(4)は過去に扱ったと思うが、元ネタを記録していないので詳細不明 ∧_∧ ( ;´∀`) < むむむ…、我慢できないでござる! 人 Y / ( ヽ し (_)_) >>609 の続き (6) (x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧ 8(x^2 - yz)(y^2 - zx)(z^2 - xy) >>609 (1) x+y+z=0 のとき、… (2) xx+yy+zz = S2,xy+yz+zx = t, とおく。 S2 - t = {(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2}/2 ≧ 0, (S2)^3 - t^3 = {(S2)^2 + S2・t +tt}(S2-t) ≧ {(S2)^2 + S2・t - 2tt}(S2-t) = (S2+2t)(S2-t)^2 = (x+y+z)^2・{(xx+yy+zz) -(xy-yz-zx)}^2 = (x^3+y^3+z^3 -3xyz)^2, (3) yはxとzの中間にあるとしてよい。 0 ≦ (x-y)(y-z) ≦ (1/4)(x-z)^2, xx+yy+zz = (1/2)(x+z)^2 + (1/2)(x-z)^2 + yy ≧ (1/2)(x-z)^2, (左辺) ≧ (1/8)(x-z)^6 ≧ 2(x-z)^2 {(x-y)(y-z)}^2 = (右辺), Asia Pacific Mathematical Olympiad APMO 2004 でググって5番目あたりに出てくるPDFの Problem 5。 模範解答がワケワカメ…。 これより強い不等式を、前スレでやったような排気ガス… 数学セミナーエレガントな解法2月号にある不等式の問題の正解率が異様に低かったらしい そもそも問題すら理解してない回答が多かったって講評だった >>609 (4) (1-i)(x+iy)(y+iz)(z+ix) = (1-i){-(xyy+yzz+zxx-xyz) +i(xxy+yyz+zzx-xyz)} = -(x-y)(y-z)(z-x) +i{(x+y)(y+z)(z+x)-4xyz}, 絶対値の2乗をとって 2(xx+yy)(yy+zz)(zz+xx) = {(x-y)(y-z)(z-x)}^2 + {(x+y)(y+z)(z+x) -4xyz}^2, >>613 [前スレ.456] (abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca)≧ 0 を使う? 文献[9] 佐藤(訳)、問題3.85改、練習問題1.90(i) なるほど! >>613 x、y、z∈R のとき、(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 9(ab+bc+ca) [前スレ.456] x、y、z∈R のとき、(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2 合体! (aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2 ≧ 9(ab+bc+ca) >>609 (4) >>615 s = x+y+z, t = xy+yz+zx, u = xyz, = (x-y)(y-z)(z-x), で表わせば 2(ss-2t)(tt-2su) -2uu = 刧 + (st-5u)^2, 左辺を見て、昨夏の不等式三昧の夜を思い出す ( ゚∀゚) ウヒョッ! [前スレ.469前後] x、y、z∈R 、k≧0 のとき、(aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (3kk/4)*(a+b+c)^2 などなど… >>614 もう最新号出る時期か。よし明日読みに行こう。 立ち読みで疎覚えだが、数蝉NOTE。 a、b、c >0、a+b+c=1 のとき、Σ[cyc] a/(b^2+bc+c^2) ≧3. >>619 〔Igarashi の不等式〕 a,b,c>0 のとき、 a/(bb+bc+cc) + b/(cc+ca+aa) + c/(aa+ab+bb) ≧ (a+b+c)/(ab+bc+ca) ≧ 3/(a+b+c), 2018年7月号NOTE (略証) a ' = bb + bc + cc, b ' = cc + ca + aa, c ' = aa + ab + bb, とおくと aa ' + bb ' + cc ' = (a+b+c) (ab+bc+ca), … これがミソ(?) コーシーにより (左辺) = a/a ' + b/b' + c/c' ≧ (a+b+c)^2 /(aa ' + bb ' + cc ') = (a+b+c)/(ab+bc+ca), >>621 おお、これだ。さんくす。 解説でZZZが一般化してたけど、なんかよく分からなかった…。 >>620 >>621 被りました。 f(x) = 1/x は下に凸だから、Jensenにより (左辺) = a f(a ') + b f(b ') + c f(c ') ≧ (a+b+c) f((aa'+bb'+cc')/(a+b+c)) = (a+b+c) f(ab+bc+ca) = (a+b+c)/(ab+bc+ca), >>621 > a ' = bb + bc + cc, > b ' = cc + ca + aa, > c ' = aa + ab + bb, > とおくと > aa ' + bb ' + cc ' = (a+b+c) (ab+bc+ca), … これがミソ(?) この変形は初めて見た。コレクションに入れておこう。 あと一松じっちゃんの不等式の解説で、s(2(s^2-2t)-5t)+27u の因数分解があったような。 立ち読みだったんで s、t、u で覚えて帰ったから怪しいが…。 手計算で因数分解しようとして挫折した。 手計算でできるのか? >>625 (b+c-2a)(c+a-2b)(a+b-2c) = (s-3a)(s-3b)(s-3c) = -2s^3 +9st -27u, を使うでござる。 エレ解スレ【2016.11】 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1476702312/785-786 >>622 Nesbittと合体したでござるか… 〔Nesbitt-Igarashi の不等式〕 a,b,c>0 のとき、 (a+b+c) {a/(bb+bc+cc) + b/(cc+ca+aa) + c/(aa+ab+bb)} ≧ 2 {a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ (a+b+c)^2 /(ab+bc+ca) ≧ 3, 数セミ、2018年7月号NOTE-改 >>614 よく分からぬ難しげな不等式で、攻めづらかったかも。 この式が出てきた背景は、解説で触れていたけれど。 >>630 [101] a〜d>0、a+b+c+d-1=0 のとき 6(a^3 + b^3 + c^3 + d^3) ≧ aa+bb+cc+dd + 1/8. フランス TeamSelectionTest-2007 Q.2 (略解) f(x) = 6x^3 - (xx + 1/32) = (5/8)(x-1/4) + 2(3x+1)(x-1/4)^2 ≧ (5/8)(x-1/4), より f(a) + f(b) + f(c) + f(d) ≧ (5/8)(a+b+c+d-1) = 0. {x = 1/4 で接線を曳く。f '(1/4) = 5/8} >>631 さんくす。4月から見てるけど、101だけ出てこないのだ。 画像のない192は頻繁に出てくるのにな。偏りすぎている。 >>632 [192] 任意の実数a,b,cに対し、 (a-b)(a-c)(aa-bc)^2 + (b-c)(b-a)(bb-ca)^2 + (c-a)(c-b)(cc-ab)^2 ≧ 0, を示せ。 casphy! - highmath(高校数学) - 不等式2-188 じゅー君が高校生のとき作ったヤツ(?) (略証) i)a+b+c≠0 のとき、 A = aa-bc,B = bb-ca,C = cc-ab, とおくと A-B = (a+b+c)(a-b),etc. (左辺) = {AA(A-B)(A-C)+BB(B-C)(B-A)+CC(C-A)(C-B)}/(a+b+c)^2 = F_2(A,B,C)/(a+b+c)^2 (←シューア) ≧0, ii)a+b+c=0 のとき、 A = B = C, (左辺) = AA F_0(a、b、c) ≧ 0. これで ☆9 だって。 >>613 >>615 〔補題〕 a,b,c≧0 のとき (abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca)≧ 0, (略証) a = A^(3/2),b = B^(3/2),c = C^(3/2) とおくと (abc)^2 + 2 -3ABC = (ABC)^3 +1 +1 -3ABC ≧ 0, (←AM-GM) A(A-B)(A-C) + B(B-C)(B-A) + C(C-A)(C-B) = F1(A,B,C) ≧ 0, AB(A+B) -2ab = AB(√A - √B)^2 ≧ 0,etc. 辺々たす。 >>634 >>529 ( Suranyi-3, >>512 >>513 を使った) からも出る… >>555 >>549 〔問題18〕は [204] でござった ...orz 〔問題677〕 Pを凸多面体とし、Pの辺を L_1,L_2,…,L_n とする。 各 1≦i≦n について L_i を辺にもつPの2つの面を考え、 その2つの面のなす角を外側から測ったものを θ_i とする。 (2面の外向き法線のなす角。2面角) このとき、Σ[i=1,n] θ_i ≧ 3π であることを示せ。 JMO夏季セミナー http://jmoss.jp/mon/old.php → 第9回 (G,入江) 面白スレ26-677 [213] 正の実数列 {a_k} が各自然数kに対して a_{k+1} ≧ k・a_k / {(a_k)^2 + (k-1)} を満たすとする。すべての n≧2 に対して a_1 + a_2 + … + a_n ≧ n, を示せ。 IMO Shortlist 2015 A.2 ☆2 >>639 [213] nについての帰納法による。 ・n=2 のとき a_1 + a_2 ≧ a_1 + 1/a_1 ≧ 2 (← AM-GM) ・n>2 のとき a_n ≧1 のときは明らかに成立つ。 a_n ≦1 のとき 題意より k/a_{k+1} ≦ (k-1)/a_k + a_k, a_k ≧ k/a_{k+1} - (k-1)/a_k, k=1,…,n-1 でたす。 a_1 + a_2 + … + a_{n-1} ≧ (n-1)/a_n, a_1 + a_2 + … + a_n ≧ (n-1)/a_n + a_n = n + (n-1 - a_n)(1 - a_n)/a_n ≧ (n-2) + 1/a_n + a_n ≧ n, (← 0 < a_n ≦1) >>639 [213] nについての帰納法による。 ・n=2 のとき a_1 + a_2 ≧ a_1 + 1/a_1 ≧ 2 (← AM-GM) ・n>2 のとき a_n ≧1 のときは明らかに成立つ。 a_n ≦1 のとき 題意より k/a_{k+1} ≦ (k-1)/a_k + a_k, a_k ≧ k/a_{k+1} - (k-1)/a_k, k=1,…,n-1 でたす。 a_1 + a_2 + … + a_{n-1} ≧ (n-1)/a_n, a_1 + a_2 + … + a_n ≧ (n-1)/a_n + a_n = n + (n-1 - a_n)(1 - a_n)/a_n ≧ (n-2) + 1/a_n + a_n ≧ n, (← 0 < a_n ≦1) >>642 きたか…!! ( ゚д゚ ) ガタッ .r ヾ __|_| / ̄ ̄ ̄/_ \/ / あとは消失した192を作り直してもらうことと、224問目以降を作ってもらうことだな >>611 >>637 基本対称式を x+y+z = s,xy+yz+zx = t,xyz = u とおく。 xx-yz = xs-t,yy-zx = ys-t,zz-xy = zs-t, より (左辺) - (右辺) = (ss-2t)^3 - 8(xs-t)(ys-t)(zs-t) = (ss-2t)^3 - 8(us^3 - t^3) = ss{(ss-3t)^2 + (8/3)(tt-3su) + (1/3)tt} ≧ 0, 等号成立は x+y+z = 0. >>611 の〔類題〕 x,y,z ∈ R のとき -(35+13√13)/486 ≦ (xx-yz)(yy-zx)(zz-xy)/(xx+yy+zz)^3 ≦ 1/8, -0.1684612481 左側等号は (x,y,z) = ((3-√13)/2,1,1) など。 -0.302775637732 正の実数a,b,cはa+b+c=3を満たす。このとき、 1/(2+aa+bb)+1/(2+bb+cc)+1/(2+cc+aa)≦3/4 2009 イランTST >>609 (1) は x+y+z=0 の条件があるから、一緒にまとめるべきではなかったね。 >>647 左辺を f(a,b,c) とおく。 1≦c とし、(a+b)/2 = (3-c)/2 = m とおく。 f(a,b,c) ≦ f(m,m,c) ≦ 3/4 を示す。 (左) aa+bb ≧ 2mm より 1/(2+aa+bb) = 1/{2 +2mm +(1/2)(a-b)^2} ≦ 1/(2+2mm), 1/(2+cc+bb) + 1/(2+cc+aa) = 2{2+cc+(aa+bb)/2}/{(2+cc+bb)(2+cc+aa)} ≦ 2/(2+cc+mm), ∵ (2+cc+bb)(2+cc+aa) -(2+cc+mm){2+cc+(aa+bb)/2} = (1/4)(a-b)^2 (2+cc-3mm) + (1/16)(a-b)^4 = (1/4)(a-b)^2 {2+cc-(3/4)(3-c)^2} + (1/16)(a-b)^4 = (1/32)(a-b)^2 (19+c)(c-1) + (1/16)(a-b)^4 ≧ 0, (← c≧1) (右) f(m,m,c) = 1/(2+2mm) + 2/(2+cc+mm) = (3/4){1 - (c-1)^2・(5cc-26c+37)/[8(2+2mm)(2+cc+mm)] } ≦ 3/4. 実数x_1,x_2,…,x_nに対して次の不等式が成立することを示せ Σ[i,j=1,n]|x_i+x_j|≧nΣ[i=1,n]|x_i| 2006 イランTST >>649 m ≦ 1 ≦ c より 2+cc-3mm ≧ 0, >>650 x_1, x_2, …, x_p > 0, x_{p+1}, …, x_n ≦ 0, とする。(0≦p≦n) (左辺) = Σ[i,j=1,p] |x_i+x_j| + Σ[i,j=p+1,n] |x_i+x_j| + Σ[i=1,p][j=p+1,n] |x_i+x_j| = Σ[i,j=1,p] (|x_i|+|x_j|) + Σ[i,j=p+1,n] (|x_i|+|x_j|) + Σ[i=1,p][j=p+1,n] |x_i+x_j| = 2p S_p + 2(n-p) S_n + 2S~, ここに S_p = Σ[i=1,p] |x_i|, S_n = Σ[j=p+1,n] |x_j|, S~ = Σ[i=1,p][j=p+1,n] |x_i+x_j|, とおいた。 ・p = n/2 のときは成立する。(S~≧0) ・0 ≦ p < n/2 のとき S~ ≧ Σ[i=1,p][j=p+1,n] (|x_i|-|x_j|) = (n-p) S_p - p S_n, 0 < (n-2p)/(n-p) ≦ 1 を掛けて S~ ≧ {(n-2p)/(n-p)}S~ ≧ (n-2p){S_p - [p/(n-p]S_n}, (左辺) ≧ n S_p + {n + (n-2p)^2 /(n-p)}S_n ≧ n(S_p + S_n), ・n/2 < p ≦ n のとき S~ ≧ Σ[i=1,p][j=p+1,n] (|x_j|-|x_i|) = -(n-p) S_p + p S_n, 0 < (2p-n)/p ≦ 1 を掛けて S~ ≧ {(2p-n)/p}S~ ≧ (2p-n){-[(n-p)/p]S_p + S_n}, (左辺) ≧ {n + (2p-n)^2 /p}S_p + n S_n ≧ n(S_p + S_n), >>652 訂正 はじめの方で (左辺) = … + … + 2Σ[i=1,p][j=p+1,n] |x_i+x_j| の係数2が抜けてました。(後の論証に影響ないと思いますが…) >>652 混乱しているので修正 (左辺) = 2p S(+) + 2(n-p) S(-) + 2S~, ここに S(+) = Σ[i=1,p] |x_i|, S(-) = Σ[j=p+1,n] |x_j|, S~ = …… とおいた。 結論は (左辺) ≧ …… ≧ n{S(+) + S(-)}, 非負実数a,b,c,dと1≦p≦2なる実数pに対して、次の不等式が成立することを示せ (a+b)^p+(c+d)^p+(a+c)^p+(b+d)^p≦a^p+b^p+c^p+d^p+(a+b+c+d)^p >>37 (1) >>40 >>41 >>44 〔Redhefferの不等式〕 a_1 〜 a_n >0 のとき G_k = (a_1・a_2…a_k)^(1/k) とおくと G_1 + G_2 + …… + G_n ≦ Σ[k=1,n] (1+1/k)^k・a_k - n・G_n, 和書[3] (大関, 1987) p.114-115 例題3 文献 Ray Redheffer: Proc. London Math. Soc., Vol. s3-17, Iss. 4, p.683-699 (1967/Oct) "Recurrent inequalities" >>658 (G_{k-1},G_{k-1},…,G_{k-1},(1+1/k)^k・a_k)のk個ででAM-GM する。 (k-1)個 (k+1)G_k - (k-1)G_{k-1} ≦ (1+1/k)^k・a_k, k=1〜n でたす。(便宜上、G_0=0) >>660 「円に外接する三角形の面積だろ!」 とかツッコミたくないが。 その場合は a = {cot(B/2)+cot(C/2)} r/2 などより、 S = {cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)} rr ≧ 3cot((A+B+C)/6) rr (←下に凸) = 3cot(π/6) rr = (3√3) rr, >>609 (2) >>612 (2) [x,y,z] [x,z,y] [S2,t,t] |z,x,y| |y,x,z| = |t,S2,t| [y,z,x] [z,y,x] [t,t,S2] の行列式は D(x,y,z)^2 = D(S2,t,t). ここに D(x,y,z) = x^3 + y^3 + z^3 -3xyz = (x+y+z)(xx+yy+zz-xy-yz-zx) = (x+y+z)(S2-t). >>609 (3) [182](1) 大数宿題 - 2013 Q.5 [第7章].114[2](1)、116 Casphy! - higmath - 不等式2 - 170 ( ゚∀゚)つ https://tohoku.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main& ;active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=41283&item_no=1&page_id=33&block_id=38 >>662 F(x,y,z) は既約かつ対称な多項式で F(x,y,z)^2 = F(xx+yy+zz,xy+yz+zx,xy+yz+zx) を満たすとする。 F(x,y,z) = x+y+z, F(x,y,z) = xx+yy+zz -xy-yz=zx, 以外にも解があるかな。 >>655 >>656 f(x) = x^(p-1) とおくと、 x>0 で f '(x) = (p-1)x^(p-2) > 0, f "(x) = (p-2)(p-1)x^(p-3) ≧0. f"(x) ≧ 0(下に凸)だから、(*) f(a+b) + f(a+c) ≦ f(a) + f(a+b+c), f(a+b) + f(b+d) ≦ f(b) + f(a+b+d), f(a+c) + f(c+d) ≦ f(c) + f(a+c+d), f(b+d) + f(c+d) ≦ f(d) + f(b+c+d), 各式に a,b,c,d を掛けて足す。 f '(x) >0(単調増加)を使うと g(a+b) + g(c+d) + g(a+c) + g(b+d) ≦ g(a)+g(b)+g(c)+g(d) + g(a+b+c+d), ここに g(x) = x・f(x) (略証) 0 < ∫[0,b]∫[0,c] f "(a+u+v) du dv = f(a+b+c) + f(a) - f(a+b) - f(a+c), 一辺の長さが1である辺を奇数個もつ任意の多角形の面積をSとすると次の不等式が成立 S≧√3/4 >>667 すべての辺の長さが1である、奇数角形? 〔問題2018〕 a>0,b>0,c>0,a+b+c=3 のとき次を示せ。 a^(1/2018) + b^(1/2018) + c^(1/2018) + (2/√3) √{a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)} ≧ 3, (K. Chikaya, 2018/June/19) すうじあむ //suseum.jp/gq/question/2884 を改良 casphy.com/bbs/highmath/472060/ 不等式2-304 >>668 多角形のすべての辺のうち一辺の長さ1である辺の総数は奇数個であるもの >>668 偶数角形でもいい 例としては四角形のうち三つの辺が長さ1で他は長さ1ではないものだったり、一つの辺のみが1でほかは長さ1でないようなもの 凸とは限らない3角形または4角形または5角形または…… であって辺の長さはすべて1であるもの ですね。凸とは限ってないので内角が180°も桶なので>>697 でもいいけど “凸とは限らない” がある方が良かったかも。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
read.cgi ver 07.5.5 2024/06/08 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる