不等式への招待 第９章 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>549
〔問題8〕の解答
h(x) = e^(-Lx) ∫[0，x] f(t)dt とおくと題意により
h(x) ≧ 0 = h(0) …… (1)
また h(x) は（0，1) 上で微分可能で
h '(x) ≦ 0,
∴ h(x) = h(0) + ∫[0，x] h '(t)dt ≦ h(0) …… (2)
(1) (2) により [0，1] 上で h(x) = h(0) = 0 が成り立つ。
したがって、[0，1] 上のすべての実数xにおいて
0 ≦ f(x) ≦ L ∫[0，x] f(t)dt = 0,
より、f(x) = 0 である。 ■
http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai8.php >>549
〔問題12〕の解答
(左側)
任意の正の整数mに対し、
log(m!) = Σ[L=1，m-1] log(L+1) ≧ Σ[L=1，m-1] ∫[L，L+1] log(t)dt = ∫[1，m] log(t)dt = m{log(m) -1} +1,
∴ log(m) - 1 ≦ (1/m)log(m!)
(右側)
実数xに対し、x以下の最大の整数を [x] で表わす。
また、0でない整数nと素数pに対し、v_p(n) で、nの素因数分解に現れるpの回数を表わすものとする。
ここで、m! はm以下の素数しか素因数に持たないので、
log(m!) = Σ[i=1，k] v_pi(m!) log(p_i)
と表わされる。ここで、
v_p(m!) < m/(p-1)
が分かるのでこれを上の式と組み合わせて
(1/m)log(m!) < Σ[i=1，k] log(p_i)/(p_i -1)
が示された。（終)
http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai12.php >>549
〔問題32〕の解答
(a_{k+1})^2 / a_k ≧ 2k･a_{k+1} - kk･a_k,
辺々たして
Σ[k=1，n-1] (a_{k+1})^2 / a_k ≧ Σ[k=2，n] 2(k-1) a_k - Σ[k=1，n-1] kk･a_k
= nn･a_n - Σ[k=1,n] a_k - Σ[k=1,n] (k-1)^2･a_k
= nn･a_n - 1 - Σ[k=1,n] (k-1)^2･a_k
を導く。等号成立条件は、各 k=1,2,…,n-1 で a_{k+1} = k･a_k である場合だから、すべての i=1,2,…,n に対し
a_i = (i-1)! /{Σ[k=1，n] (k-1)!}
が成立することである。
http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai32.php (a^2 + b^2 + c^2)^2 - (ab+bc+ca)^2 ≧ (√6)(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) >>575 [192]
任意の実数a，b，cに対し、
(a-b)(a-c)(aa-bc)^2 + (b-c)(b-a)(bb-ca)^2 + (c-a)(c-b)(cc-ab)^2 ≧ 0,
を示せ。
//www.casphy.com/bbs/highmath/不等式２-188 （じゅー） >>574 [104]
s = a+b+c，t = ab+bc+ca，u = abc，⊿ = (a-b)(b-c)(c-a) とおく。
ss-3t≧0,
(左辺) = (ss-2t)^2 -tt
= (ss-t)(ss-3t)
= (1/3){2ss + (ss-3t)}(ss-3t)
≧ {(2√2)/3}|s|(ss-3t)^(3/2),
≧ (√6)|s⊿|,
∵ 4(ss-3t)^3 = 27⊿⊿ + {(a+b-2c)(b+c-2a)(c+a-2b)}^2 ≧ 27⊿⊿,
等号成立は等間隔かつ ss+3t = 0 より｛1-√6，1，1+√6｝
http://www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式２-197 >>572 (右側) 補足
自然数nと素数pに対し、v_p(n) で、nの素因数分解に現れるｐの回数を表わすものとする。
v_pi(m!) = ［ m/p ］+ [ m/p^2 ] + [ m/p^3 ] + … + [ m/p^d ]
ここに、d = [ log(n)/log(p) ].
これもルジャンドルの定理と云うらしい。
http://mathtrain.jp/legendretheorem
〔補題12〕
v_p(m!) < m/(p-1)
(略証)
d = [ log(n)/log(p) ] とおくと
v_pi(m!) ≦ m/p + m/p^2 + m/p^3 ＋ … + m/p^d < m/(p-1), a, b, c > 0 に対して、a/(b+c) + 20b/(c+a) + 17c/(a+b) > 8
best possible かどうか分からん B. 4931.
Prove that if a, b, c are the sides of a triangle then
{a^2(b+c) + b^2(a+c)} /(abc) > 3.
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&;h=201802&t=mat&l=en
B. 4925.
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&;h=201801&t=mat&l=en
B. 4953.
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&;h=201804&t=mat&l=en
P.1, Problem 1.
https://archives.ust.hk/dspace/bitstream/9999/46212/1/math-02a-a109.pdf >>581
B.4925 (改) (KoMaL，h=201801)
0<a<n のとき
a/{a^(n+1) + (n-a)} ≦ 1/n
(略解)
a^(n+1) -(n+1)a + n
= (a-1){a^n + a^(n-1) + … + a -n}
= Σ[k=1，n] (a-1)(a^k -1)
≧ 0,
B.4931 （KoMaL，h=201802)
{aa(b+c) + bb(a+c)}/abc > 3,
(略解)
aa(b+c) + bb(a+c) = ab(a+b-c) + (a-b)^2･c + 3abc ≧ 3abc,
B.4953 (KoMaL，h=201804)
log(n) + Σ[k=2,n] √{(k-1)/k} < Σ[k=2,n] √{k/(k-1)},
(略解)
x>0 ⇒ x < sinh(x),
a>1 ⇒ 2log(a) < a - 1/a,
a = √{k/(k-1)} とおく。
log(k) - log(k-1) < √{k/(k-1)} - √{(k-1)/k},
k=2 から k=n までたす。
Math. Excalibur，Vol.21，No.4，p.1 (2018)
Problem 1.
a,b,c >0，a+b+c=1 のとき
a√(2b-1) + b√(2c+1) + c√(2a+1) ≦ √{2-(aa+bb+cc)},
(略解)
関数f(x) = √x は上に凸ゆえ、Jensenで
(左辺) ≦ √{a(2b+1) + b(2c+1) + c(2a+1)}
= √{(a+b+c) + 2(ab+bc+ca)} / (a+b+c)
= √{1 +2(ab+bc+ca)}
= (右辺)
等号成立は (a,b,c) = (1/3,1/3,1/3) および (1,0,0) など。 >>579
左辺が最小になる点では
(b+c)^2 ： (c+a)^2 ： (a+b)^2 = 1 ： 20 ： 17,
(b+c) ： (c+a) ： (a+b) = √1 ： √20 ： √17,
b+c = √1,
c+a = √20,
a+b = √17,
a = (-√1 +√20 +√17)/2,
b = (+√1 -√20 +√17)/2,
c = (+√1 +√20 -√17)/2,
(左辺) ≧ a√1 + b√20 + c√17
= √(1･20) +√(20･17) +√(17･1) -19
= 8.0343304952 >>579 >>583
b+c = A，c+a = B，a+b = C とおくと
(左辺) = 1･(B+C-A)/(2A) + 20(C+A-B)/(2B) + 17(A+B-C)/(2C)
= (1/2)(1･B/A + 20A/B) + (1/2)(20C/B + 17B/C) +(1/2)(1･C/A + 17A/C) - (1+20+17)/2
≧ √(1･20) + √(20･17) + √(17･1) - 19 (← AM-GM)
等号成立は A：B：C = √1：√20：√17 >>486 >>487 (3)
文献[9] 佐藤(訳) (2013) p.48 演習問題 1.101
・p=1，q=2 の例
文献[9] 佐藤(訳) (2013) p.48 例 1.6.7 及び p.131 問題 3.30
チェコ-スロバキアMO-1999 >>575 >>576 [192]
一次式：φ(x) = (a+b+c)x－(ab+bc+ca）により、
A = φ(a) = aa-bc,
B = φ(b) = bb-ca,
C = φ(c) = cc-ab.
A - B = (a+b+c)(a-b)、etc.
i）a+b+c≠0 のとき、
(左辺) = {AA(A-B)(A-C) + BB(B-C)(B-A) + CC(C-A)(C-B)}/(a+b+c)^2 = F_2(A、B、C)/(a+b+c)^2 ≧0、
ii）a+b+c=0 のとき、A=B=C.
http://www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式２-188 一松のじっちゃんが「大学への数学2018年6月号」に不等式の記事を書いておられる。
エルデシュの不等式とか 不等式と聞ゐちゃあ捨て置けねゑ…。このためだけに買ってきた。
タイトル 「三角形に関する不等式のいくつか」、４ページ
レムスの不等式と、求角不等式。
内角のcosの等式から、a^2+b^2+c^2 と8R^2の大小関係。
（中略）
エルデシュの不等式。
過去スレで見たことある不等式。
あと、「老人のグチだが、（中略）近年お数学検定で、不等式の証明問題は成績が悪い傾向が見られる。」
とあるが、検定問題で出題されている不等式を全て公開してほしい。 ここで不等式解いてる人って50後半の会社員だったりする？ >>589
数検専用スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512773695/
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1479394767/
へどうぞ。
〔問題〕
a_n = (1 + 1/n)^n， b_n = (1 + 1/n)^(n+1) (nは正の整数）
とおくとき、nが増加すると a_n は増加し、b_n は減少することを証明せよ。
（数検2011-秋-1級-2次-Q2） >>589
(aa+bb+cc) - 8RR = 4RR {sin(A)^2 + sin(B)^2 + sin(C)^2 - 2}
= 4RR {1 - cos(A)^2 - cos(B)^2 - cos(C)^2}
= 8RR cos(A) cos(B) cos(C),
〔補題〕
A+B+C = π のとき
cos(A)^2 + cos(B)^2 + cos(C)^2 + 2cos(A)cos(B)cos(C) = 1,
〔ライプニッツの不等式〕
9RR - (aa+bb+cc) = 9(OG)^2 ≧ 0,
O：外心 G:重心
・文献[9] 佐藤(訳) 朝倉書店 (2013) p.87-89 定理2.4.4 定理2.4.5 >>591 は相加-相乗平均（AM-GM）で出るらしい。 （出題者・談）
{1，1，…，(n-1)/n} ⇒ a_n > a_{n-1} > … > a_1 = 2
{1，1，…，n/(n-1)} ⇒ b_n < b_{n-1} < … < b_1 = 4
しかし c_n = (1 + 1/n)^(n +1/2) が減少するのを出すのは難しい。
２項定理を使うか？ >>594
２項定理により、
(1 - 1/nn)^(2n+1) = 1 -2/n + 1/nn -1/(3n^3) +2/(3n^4) -3/(5n^5) +53/(90n^6) -…
< (1 - 1/n)^2 Crux PROBLEMS
(2012年のが公開された。5年以内のはパスワードがないと見れない)
3690, 3703, 3706, 3709
https://cms.math.ca/crux/v38/n1/Problems_38_1.pdf
3712, 3715, 3719(←破棄)
https://cms.math.ca/crux/v38/n2/Problems_38_2.pdf
3719(←Replacement), 3723, 3726, 3729
https://cms.math.ca/crux/v38/n3/Problems_38_3.pdf
3731, 3735, 3737, 3740
https://cms.math.ca/crux/v38/n4/Problems_38_4.pdf
3741, 3744, 3747, 3749
https://cms.math.ca/crux/v38/n5/Problems_38_5.pdf
3752, 3754, 3757, 3759
https://cms.math.ca/crux/v38/n6/Problems_38_6.pdf
3763, 3767, 3769
https://cms.math.ca/crux/v38/n7/Problems_38_7.pdf
3773, 3774, 3776, 3779
https://cms.math.ca/crux/v38/n8/Problems_38_8.pdf
(3781), 3783, (3784), (3786), 3788, 3789
https://cms.math.ca/crux/v38/n9/Problems_38_9.pdf
3793, 3795, 3797,
https://cms.math.ca/crux/v38/n10/Problems_38_10.pdf
（*ﾟ∀ﾟ）=3ﾊｧﾊｧ >>597 から
3690.(v38_n1)
Let a, b, and c be three distinct positive real numbers with a+b+c=s. Show that
(5xx-6xy+5yy)(a^3+b^3+c^3) + 12(xx-3xy+yy)abc > (x-y)^2･s^3,
3709.(v38_n1)
Let a, b, and c be non-negative real numbers, ｋ and Ｌ≧0 and define
(a+b)/2 - √ab = k^2， (a+b+c)/3 - (abc)^(1/3) = L^2.
Prove that
max(a,b,c) - min(a,b,c) ≧ (3/2)(k-L)^2.
3712.(v38_n2)
Prove that for any positive numbers a,b,c
√{a(aa+bc)/(b+c)} + √{b(bb+ca)/(c+a)} + √{c(cc+ab)/(a+b)} ≧ a+b+c.
3719.(v38_n3，Replacement)
Prove that if a,b,c>0, then
a/√{bb+(1/4)bc+cc} + b/√{cc+(1/4)ca+aa} + c/√{aa+(1/4)ab+bb} ≧ 2.
3723.(v38_n3)
Let a,b,c be positive real numbers such that a+b+c=s. If ｎ is a positive integer, prove that
(3a)^n /{(b+s)(c+s)} + (3b)^n /{(c+s)(a+s)} + (3c)^n /{(a+s)(b+s)} ≧ (27/16)s^(n-2).
3731.(v38_n4)
Let a,b,c be positive real numbers such that a+b+c=s. Prove that
a^(n+1) + b^(n+1) + c^(n+1) ≧ (aa+bb+cc)^n / s^(n-1),
for all non-negative integers n.
3737.(v38_n4)
Four non-negative real numbers a,b,c,d are given. Show that
1/(a^3+b^3) + 1/(b^3+c^3) + 1/(c^3+d^3) + 1/(a^3+c^3) + 1/(b^3+d^3) + 1/(a^3+d^3) ≧ 243/{2(a+b+c+d)^3},
Equality: {a,b,c,d} = {0,1,1,1}
3741.(v38_n5)
Find the largest value of ａ and the smallest value of ｂ for which the inequalties
ax/(a+xx) < sin(x) < bx/(b+xx)
hold for all 0<x<π/2.
3744.(v38_n5)
Let a,b,c be positive real numbers with sum ｓ. Prove that
(a^8+b^8)/(aa+bb)^2 + (b^8+c^8)/(bb+cc)^2 + (c^8+a^8)/(cc+aa)^2 ≧ (a^3+b^3+c^3-abc)s/4.
3752.(v38_n6)
Show that if ｎ≧2 is a positive integer then
(1/2)(1 +1/n -1/nn)^2 < (1 - 1/2^3)(1 - 1/3^3) … (1 - 1/n^3).
Crux mathematicorum, Vol.38 (2012)、一部改作 >>597 から
3763.(v38_n7)
Let a,b,c be positive real numbers. Prove that
a/(2a+b+c) + b/(2b+c+a) + c/(2c+a+b) ≦ a/(2b+2c) + b/(2c+2a) + c/(2a+2b).
3793.(v38_n10)
Let a, b, and c be positive real numbers such that
√a + √b + √c = 2014/√2.
Show that
2014 ≦ √(a+b) + √(b+c) + √(c+a) ≦ 2014√2,
Equality:(LHS) √a = √b = √c = 2014/(3√2)，(RHS) √a = 2014/√2，b=c=0,
・三角形関係
3726.(v38_n3)
Let a,b,c,s,r,R represent the angles (measured in radians)，the semi-perimeter，the in-radius and the circum-radius of a triangle，respectively.
Prove that
(A/B + B/C + C/A)^3 ≧ 2ss/(Rr).
3729.(v38_n3)
If a,b,c are the side lengths of a triangle，prove that
(b+c)/(aa+bc) + (c+a)/(bb+ca) + (a+b)/(cc+ab) ≦ 3(a+b+c)/(ab+bc+ca).
3757.(v38_n7)
Let A, B, C be the angles (measured in radians)，Ｒ the circum-radius and ｒ the in-radius of a triangle.
Prove that
1/A + 1/B + 1/C ≦ (9/2π)(R/r).
3767.(v38_n7)
Let Ｒ，ｒ be the circum-radius and in-radius of a right-angled triangle.
Prove that
R/r + r/R ≧ 2√2.
3776.(v38_n8) 別名「富士山」
In △ABC prove that
tan(A/2) + tan(B/2) + tan(C/2) ≧ (1/2){1/cos(A/2) + 1/cos(B/2) + 1/cos(C/2)}.
Crux mathematicorum, Vol.38 (2012)、一部改作 >>598
3690.
軸を45°回して (x+y)/√2 = u，(x-y)/√2 = v とおく。
5xx-6xy+5yy = 2uu +8vv,
12(xx-3xy+yy) = -6uu +30vv,
(x-y)^2 = 2vv,
これを入れて
(左辺) - (右辺) = (2uu+8vv)(a^3+b^3+c^3) + (-6uu+30vv)abc -2vv(a+b+c)^3
= 2(a^3+b^3+c^3 -3abc)uu + 6F_1(a,b,c)vv (←シューア)
≧ 0,
>>3723.
通分すると
(分子) = (a+s)(3a)^n + (b+s)(3b)^n + (c+s)(3c)^n
≧ (4s/3){(3a)^n + (3b)^n + (3c)^n} (←チェビシェフ)
= (4s)(3^n)(a^n + b^n + c^n)/3
≧ (4s)s^n,
(分母) = (a+s)(b+s)(c+s) ≦ (4s/3)^3, (← GM-AM)
(左辺) ≧ (27/16)s^(n-2),
>>3731.
コーシーの拡張より
(a+b+c)(a+b+c) … (a+b+c){a^(n+1) + b^(n+1) + c^(n+1)} ≧ (aa+bb+cc)^n,
(n-1)個 >>598
3741.
a = ππ/{2(π-2)} = 4.322734721
b = 6
cos(t) < 1 を [0，x] で逐次積分すると、
sin(x) < x, (x>0)
-cos(x) < -1 + xx/2!,
-sin(x) < -x + (x^3)/3!, (x>0)
cos(x) < 1 - xx/2! + (x^4)/4!,
sin(x) < x - (x^3)/3! + (x^5)/5!
= {x - ((14-xx)/720)x^5}/(1+xx/6)
< x/(1+xx/6), (0<x<π/2)
3752.
a_n = 1 +1/n -1/nn = (nn+n-1)/nn,
とおく。
a_n / a_{n-1} = (n-1)^2･(nn+n-1)/{nn(nn-n-1)}
= 1 - (nn-3n+1)/{nn(nn-n-1)}
≦ 1 - 1/(2nn) (n≧5)
∵ 2(nn-3n+1) - (nn-n-1) = n(n-5) + 3 ≧ 3 (n≧5)
(a_n / a_{n-1})^2 ≦ {1 - (1/2nn)}^2
= 1 - 1/nn + 1/(4n^4)
< 1 - 1/n^3, 正整数nと1より大きい正の実数xに対し、
Σ[k=1,n]{kx}/[kx]<Σ[k=1,n]1/(2k-1)
{kx}はkxの小数部分を表し、[kx]はkxの整数部分を表すものとする >>599
3763.
(左) HM-AM より
a/(2a+b+c) ≦ (1/4){a/(a+b) + a/(a+c)},
b/(2b+c+a) ≦ (1/4){b/(b+c) + b/(b+a)},
c/(2c+a+b) ≦ (1/4){c/(c+a) + c/(c+b)},
辺々たすと
(左辺) ≦ 3/4,
(右)
a/(2b+2c) = (a+b+c)/(2b+2c) - 1/2
b/(2c+2a) = (a+b+c)/(2c+2a) - 1/2
c/(2a+2b) = (a+b+c)/(2a+2b) - 1/2
辺々たすと
(右辺) = (a+b+c){1/(2b+2c) + 1/(2c+2a) + 1/(2a+2b)} - 3/2
≧ (a+b+c)･9/{4(a+b+c)} - 3/2 (← AM-HM)
= 9/4 - 3/2
= 3/4, (Nesbitt，Shapiro-3) >>593
〔Chapple - Euler の不等式〕
外接円の半径をR、内接円の半径をrとするとき
R(R-2r) = OI^2 ≧ 0
O：外心 I：内心 >>602
x → x+1 とすれば分母が k 増えるので左辺は減少する。1≦x≦2 で考える。
(m-1)/n ≦ {x} < m/n となるmをとる。
m = [nx] - n[x] +1， (1≦m≦n)
〔補題〕
Σ[k=1,n] {kx}/[kx] < Σ[k=1,m-1] 1/(2k-1) + ({x} - (m-1)/n)/(2m-1),
右辺は、(1，0) - (1+1/n，1) - (1+2/n，1+1/3) - …… - (1+m/n，Σ[k=1,m] 1/(2k-1)) - …… (2，Σ[k=1,n] 1/(2k-1)) を結んだ折れ線を表わす。 bot[195]
6(x^3 + y^3 + z^3)^2 ≦ (x^2 + y^2 + z^2)^3
これはシュワちゃんと関係あるん？ >>606 [195]
x+y+z = 0 より
x^3+y^3+z^3 = 3xyz,
xx+yy+zz = [(x-y)^2 + 3zz]/2,
xとyは同符号とすれば
0 ≦ 4xy ≦(x+y)^2 = zz,
(左辺) = 6(3xyz)^2 = 54(xy)(xy)(zz) ≦ (3zz/2)^3 ≦ {[(x-y)^2 +3zz]/2}^3 = (xx+yy+zz)^3.
蕪湖市数学競技会 以下、x、y、z∈R とする。
(1) (x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧ 6(x^3 + y^3 + z^3)^2
(2) (x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)^2 + (ab+bc+ca)^3
(3) (x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧ 2{(x-y)(y-z)(z-x)}^2
(4) 2(x^2 + y^2)(y^2 + z^2)(z^2 + x^2) ≧ {(x-y)(y-z)(z-x)}^2
(5) 合体 or 改造できるかな？
出典
(1) >>606、bot195、蕪湖市数学競技会
(2)(3)(4)は過去に扱ったと思うが、元ネタを記録していないので詳細不明
∧＿∧
( ;´∀｀) ＜ むむむ…、我慢できないでござる！
人 Y /
( ヽ し
（＿）＿） >>609 の続き
(6) (x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧ 8(x^2 - yz)(y^2 - zx)(z^2 - xy) >>609
(1) x+y+z=0 のとき、…
(2)
xx+yy+zz = S2，xy+yz+zx = t,
とおく。
S2 - t = {(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2}/2 ≧ 0,
(S2)^3 - t^3 = {(S2)^2 + S2･t +tt}(S2-t)
≧ {(S2)^2 + S2･t - 2tt}(S2-t)
= (S2+2t)(S2-t)^2
= (x+y+z)^2･{(xx+yy+zz) -(xy-yz-zx)}^2
= (x^3+y^3+z^3 -3xyz)^2,
(3)
yはxとzの中間にあるとしてよい。
0 ≦ (x-y)(y-z) ≦ (1/4)(x-z)^2,
xx+yy+zz = (1/2)(x+z)^2 + (1/2)(x-z)^2 + yy ≧ (1/2)(x-z)^2,
(左辺) ≧ (1/8)(x-z)^6 ≧ 2(x-z)^2 {(x-y)(y-z)}^2 = (右辺), Asia Pacific Mathematical Olympiad APMO 2004
でググって５番目あたりに出てくるPDFの Problem 5。
模範解答がワケワカメ…。
これより強い不等式を、前スレでやったような排気ガス… 数学セミナーエレガントな解法2月号にある不等式の問題の正解率が異様に低かったらしい
そもそも問題すら理解してない回答が多かったって講評だった >>609
(4)
(1-ｉ)(x+ｉy)(y+ｉz)(z+ｉx) = (1-ｉ){-(xyy+yzz+zxx-xyz) +ｉ(xxy+yyz+zzx-xyz)}
= -(x-y)(y-z)(z-x) +ｉ{(x+y)(y+z)(z+x)-4xyz},
絶対値の2乗をとって
2(xx+yy)(yy+zz)(zz+xx) = {(x-y)(y-z)(z-x)}^2 + {(x+y)(y+z)(z+x) -4xyz}^2,
>>613
[前スレ.456]
(abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca）≧ 0 を使う？
文献[9] 佐藤(訳)、問題3.85改、練習問題1.90(i) なるほど！
>>613
x、y、z∈R のとき、(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 9(ab+bc+ca)
[前スレ.456]
x、y、z∈R のとき、(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2
合体！
(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2 ≧ 9(ab+bc+ca) >>609 (4) >>615
s = x+y+z,
t = xy+yz+zx,
u = xyz,
⊿ = (x-y)(y-z)(z-x),
で表わせば
2(ss-2t)(tt-2su) -2uu = ⊿⊿ + (st-5u)^2, 左辺を見て、昨夏の不等式三昧の夜を思い出す ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
[前スレ.469前後]
x、y、z∈R 、k≧0 のとき、(aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (3kk/4)*(a+b+c)^2 などなど… >>614
もう最新号出る時期か。よし明日読みに行こう。 立ち読みで疎覚えだが、数蝉NOTE。
a、b、c >0、a+b+c=1 のとき、Σ[cyc] a/(b^2+bc+c^2) ≧3. >>619
〔Igarashi の不等式〕
a，b，c>0 のとき、
a/(bb+bc+cc) + b/(cc+ca+aa) + c/(aa+ab+bb) ≧ (a+b+c)/(ab+bc+ca) ≧ 3/(a+b+c),
2018年7月号NOTE
(略証)
a ' = bb + bc + cc,
b ' = cc + ca + aa,
c ' = aa + ab + bb,
とおくと
aa ' + bb ' + cc ' = (a+b+c) (ab+bc+ca), … これがミソ（?）
コーシーにより
(左辺) = a/a ' + b/b' + c/c' ≧ (a+b+c)^2 /(aa ' + bb ' + cc ') = (a+b+c)/(ab+bc+ca), >>621
おお、これだ。さんくす。
解説でZZZが一般化してたけど、なんかよく分からなかった…。 >>620 >>621
被りました。
f(x) = 1/x は下に凸だから、Jensenにより
(左辺) = a f(a ') + b f(b ') + c f(c ')
≧ (a+b+c) f((aa'+bb'+cc')/(a+b+c))
= (a+b+c) f(ab+bc+ca)
= (a+b+c)/(ab+bc+ca), >>621
> a ' = bb + bc + cc,
> b ' = cc + ca + aa,
> c ' = aa + ab + bb,
> とおくと
> aa ' + bb ' + cc ' = (a+b+c) (ab+bc+ca), … これがミソ（?）
この変形は初めて見た。コレクションに入れておこう。 あと一松じっちゃんの不等式の解説で、s(2(s^2-2t)-5t)+27u の因数分解があったような。
立ち読みだったんで s、t、u で覚えて帰ったから怪しいが…。
手計算で因数分解しようとして挫折した。 手計算でできるのか？ >>625
(b+c-2a)(c+a-2b)(a+b-2c) = (s-3a)(s-3b)(s-3c) = -2s^3 +9st -27u,
を使うでござる。
エレ解スレ【2016.11】
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1476702312/785-786 >>622
Nesbittと合体したでござるか…
〔Nesbitt-Igarashi の不等式〕
a，b，c>0 のとき、
(a+b+c) {a/(bb+bc+cc) + b/(cc+ca+aa) + c/(aa+ab+bb)}
≧ 2 {a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)}
≧ (a+b+c)^2 /(ab+bc+ca)
≧ 3,
数セミ、2018年7月号NOTE-改 >>614
よく分からぬ難しげな不等式で、攻めづらかったかも。
この式が出てきた背景は、解説で触れていたけれど。 >>630 [101]
a～d>0、a+b+c+d-1=0 のとき
6(a^3 + b^3 + c^3 + d^3) ≧ aa+bb+cc+dd + 1/8.
フランス TeamSelectionTest-2007 Q.2
(略解)
f(x) = 6x^3 - (xx + 1/32)
= (5/8)(x-1/4) + 2(3x+1)(x-1/4)^2
≧ (5/8)(x-1/4),
より
f(a) + f(b) + f(c) + f(d) ≧ (5/8)(a+b+c+d-1) = 0.
｛x = 1/4 で接線を曳く。f '(1/4) = 5/8｝ >>631
さんくす。4月から見てるけど、101だけ出てこないのだ。
画像のない192は頻繁に出てくるのにな。偏りすぎている。 >>632 [192]
任意の実数a,b,cに対し、
(a-b)(a-c)(aa-bc)^2 + (b-c)(b-a)(bb-ca)^2 + (c-a)(c-b)(cc-ab)^2 ≧ 0,
を示せ。
casphy! - highmath(高校数学) - 不等式２-188
じゅー君が高校生のとき作ったヤツ(?)
(略証)
i）a+b+c≠0 のとき、
A = aa-bc，B = bb-ca，C = cc-ab，
とおくと
A-B = (a+b+c)(a-b)，etc.
(左辺) = {AA(A-B)(A-C)＋BB(B-C)(B-A)＋CC(C-A)(C-B)}/(a+b+c)^2
= F_2(A，B，C)/(a+b+c)^2 (←シューア)
≧0，
ii）a+b+c=0 のとき、
A = B = C，
(左辺) = AA F_0(a、b、c) ≧ 0.
これで ☆9 だって。 >>613 >>615
〔補題〕
a,b,c≧0 のとき
(abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca）≧ 0,
(略証)
a = A^(3/2)，b = B^(3/2)，c = C^(3/2) とおくと
(abc)^2 + 2 -3ABC = (ABC)^3 +1 +1 -3ABC ≧ 0, (←AM-GM)
A(A-B)(A-C) + B(B-C)(B-A) + C(C-A)(C-B) = F1(A,B,C) ≧ 0,
AB(A+B) -2ab = AB(√A - √B)^2 ≧ 0，etc.
辺々たす。 >>634
>>529 ( Suranyi-3， >>512 >>513 を使った） からも出る…
>>555
>>549 〔問題18〕は [204] でござった ...orz 〔問題677〕
Ｐを凸多面体とし、Ｐの辺を L_1，L_2，…，L_n とする。
各 1≦i≦n について L_i を辺にもつＰの2つの面を考え、
その2つの面のなす角を外側から測ったものを θ_i とする。
(2面の外向き法線のなす角。2面角)
このとき、Σ[i=1，n] θ_i ≧ 3π であることを示せ。
JMO夏季セミナー
http://jmoss.jp/mon/old.php → 第9回 (G，入江)
面白スレ２６-677 [213]
正の実数列 {a_k} が各自然数kに対して
a_{k+1} ≧ k･a_k / {(a_k)^2 + (k-1)}
を満たすとする。すべての n≧2 に対して
a_1 + a_2 + … + a_n ≧ n,
を示せ。
IMO Shortlist 2015 A.2 ☆2 >>639 [213]
nについての帰納法による。
・n=2 のとき
a_1 + a_2 ≧ a_1 + 1/a_1 ≧ 2 (← AM-GM)
・n>2 のとき
a_n ≧1 のときは明らかに成立つ。
a_n ≦1 のとき 題意より
k/a_{k+1} ≦ (k-1)/a_k + a_k,
a_k ≧ k/a_{k+1} - (k-1)/a_k,
k=1,…,n-1 でたす。
a_1 + a_2 + … + a_{n-1} ≧ (n-1)/a_n,
a_1 + a_2 + … + a_n ≧ (n-1)/a_n + a_n
= n + (n-1 - a_n)(1 - a_n)/a_n
≧ (n-2) + 1/a_n + a_n
≧ n, (← 0 < a_n ≦1) >>639 [213]
nについての帰納法による。
・n=2 のとき
a_1 + a_2 ≧ a_1 + 1/a_1 ≧ 2 (← AM-GM)
・n>2 のとき
a_n ≧1 のときは明らかに成立つ。
a_n ≦1 のとき 題意より
k/a_{k+1} ≦ (k-1)/a_k + a_k,
a_k ≧ k/a_{k+1} - (k-1)/a_k,
k=1,…,n-1 でたす。
a_1 + a_2 + … + a_{n-1} ≧ (n-1)/a_n,
a_1 + a_2 + … + a_n ≧ (n-1)/a_n + a_n
= n + (n-1 - a_n)(1 - a_n)/a_n
≧ (n-2) + 1/a_n + a_n
≧ n, (← 0 < a_n ≦1) >>642
きたか…！！
( ﾟдﾟ ) ｶﾞﾀｯ
.r ヾ
＿_|_| /￣￣￣/＿
＼/ / あとは消失した192を作り直してもらうことと、224問目以降を作ってもらうことだな >>611 >>637
基本対称式を x+y+z = s，xy+yz+zx = t，xyz = u とおく。
xx-yz = xs-t，yy-zx = ys-t，zz-xy = zs-t,
より
(左辺) - (右辺) = (ss-2t)^3 - 8(xs-t)(ys-t)(zs-t)
= (ss-2t)^3 - 8(us^3 - t^3)
= ss{(ss-3t)^2 + (8/3)(tt-3su) + (1/3)tt}
≧ 0,
等号成立は x+y+z = 0. >>611 の〔類題〕
x,y,z ∈ R のとき
-(35+13√13)/486 ≦ (xx-yz)(yy-zx)(zz-xy)/(xx+yy+zz)^3 ≦ 1/8,
-0.1684612481
左側等号は (x，y，z) = ((3-√13)/2，1，1) など。 -0.302775637732 正の実数a,b,cはa+b+c=3を満たす。このとき、
1/(2+aa+bb)+1/(2+bb+cc)+1/(2+cc+aa)≦3/4
2009 イランTST >>609
(1) は x+y+z=0 の条件があるから、一緒にまとめるべきではなかったね。 >>647
左辺を f(a,b,c) とおく。
1≦c とし、(a+b)/2 = (3-c)/2 = m とおく。
f(a，b，c) ≦ f(m，m，c) ≦ 3/4
を示す。
(左)
aa+bb ≧ 2mm より
1/(2+aa+bb) = 1/{2 +2mm +(1/2)(a-b)^2} ≦ 1/(2+2mm),
1/(2+cc+bb) + 1/(2+cc+aa) = 2{2+cc+(aa+bb)/2}/{(2+cc+bb)(2+cc+aa)}
≦ 2/(2+cc+mm),
∵ (2+cc+bb)(2+cc+aa) -(2+cc+mm){2+cc+(aa+bb)/2}
= (1/4)(a-b)^2 (2+cc-3mm) + (1/16)(a-b)^4
= (1/4)(a-b)^2 {2+cc-(3/4)(3-c)^2} + (1/16)(a-b)^4
= (1/32)(a-b)^2 (19+c)(c-1) + (1/16)(a-b)^4
≧ 0, (← c≧1)
(右)
f(m，m，c) = 1/(2+2mm) + 2/(2+cc+mm)
= (3/4){1 - (c-1)^2･(5cc-26c+37)/[8(2+2mm)(2+cc+mm)] }
≦ 3/4. 実数x_1,x_2,…,x_nに対して次の不等式が成立することを示せ
Σ[i,j=1,n]|x_i+x_j|≧nΣ[i=1,n]|x_i|
2006 イランTST >>649
m ≦ 1 ≦ c より
2+cc-3mm ≧ 0, >>650
x_1, x_2, …, x_p > 0,
x_{p+1}, …, x_n ≦ 0, とする。(0≦p≦n)
(左辺) = Σ[i,j=1,p] |x_i+x_j| + Σ[i,j=p+1,n] |x_i+x_j| + Σ[i=1,p][j=p+1,n] |x_i+x_j|
= Σ[i,j=1,p] (|x_i|+|x_j|) + Σ[i,j=p+1,n] (|x_i|+|x_j|) + Σ[i=1,p][j=p+1,n] |x_i+x_j|
= 2p S_p + 2(n-p) S_n + 2S~,
ここに
S_p = Σ[i=1,p] |x_i|, S_n = Σ[j=p+1,n] |x_j|, S~ = Σ[i=1,p][j=p+1,n] |x_i+x_j|,
とおいた。
・p = n/2 のときは成立する。（S~≧0)
・0 ≦ p < n/2 のとき
S~ ≧ Σ[i=1,p][j=p+1,n] (|x_i|-|x_j|) = (n-p) S_p - p S_n,
0 < (n-2p)/(n-p) ≦ 1 を掛けて
S~ ≧ {(n-2p)/(n-p)}S~ ≧ (n-2p){S_p - [p/(n-p]S_n},
(左辺) ≧ n S_p + {n + (n-2p)^2 /(n-p)}S_n ≧ n(S_p + S_n),
・n/2 < p ≦ n のとき
S~ ≧ Σ[i=1,p][j=p+1,n] (|x_j|-|x_i|) = -(n-p) S_p + p S_n,
0 < (2p-n)/p ≦ 1 を掛けて
S~ ≧ {(2p-n)/p}S~ ≧ (2p-n){-[(n-p)/p]S_p + S_n},
(左辺) ≧ {n + (2p-n)^2 /p}S_p + n S_n ≧ n(S_p + S_n), >>652 訂正
はじめの方で
(左辺) = … + … + ２Σ[i=1,p][j=p+1,n] |x_i+x_j|
の係数2が抜けてました。（後の論証に影響ないと思いますが…） >>652
混乱しているので修正
(左辺) = 2p S(+) + 2(n-p) S(-) + 2S~,
ここに
S(+) = Σ[i=1,p] |x_i|， S(-) = Σ[j=p+1,n] |x_j|， S~ = ……
とおいた。
結論は
(左辺) ≧ …… ≧ n{S(+) + S(-)}, 非負実数a,b,c,dと1≦p≦2なる実数pに対して、次の不等式が成立することを示せ
(a+b)^p+(c+d)^p+(a+c)^p+(b+d)^p≦a^p+b^p+c^p+d^p+(a+b+c+d)^p >>37(1) >>40 >>41 >>44
〔Redhefferの不等式〕
a_1 ～ a_n >0 のとき
G_k = (a_1･a_2…a_k)^(1/k) とおくと
G_1 + G_2 + …… + G_n ≦ Σ[k=1,n] (1+1/k)^k･a_k - n･G_n,
和書[3] (大関, 1987) p.114-115 例題3
文献 Ray Redheffer: Proc. London Math. Soc., Vol. s3-17, Iss. 4, p.683-699 (1967/Oct)
"Recurrent inequalities" >>658
（G_{k-1}，G_{k-1}，…，G_{k-1}，(1+1/k)^k･a_k）のk個ででAM-GM する。
(k-1)個
(k+1)G_k - (k-1)G_{k-1} ≦ (1+1/k)^k･a_k,
k=1～n でたす。（便宜上、G_0=0） >>660
「円に外接する三角形の面積だろ！」
とかツッコミたくないが。
その場合は
a = {cot(B/2)+cot(C/2)} r/2 などより、
S = {cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)} rr
≧ 3cot((A+B+C)/6) rr （←下に凸）
= 3cot(π/6) rr
= (3√3) rr, >>609 (2)
>>612 (2)
[x，y，z] [x，z，y] [S2，t，t]
|z，x，y| |y，x，z| = |t，S2，t|
[y，z，x] [z，y，x] [t，t，S2]
の行列式は
D(x,y,z)^2 = D(S2,t,t).
ここに
D(x,y,z) = x^3 + y^3 + z^3 -3xyz
= (x+y+z)(xx+yy+zz-xy-yz-zx)
= (x+y+z)(S2-t). >>609 (3) [182](1)
大数宿題 - 2013 Q.5
[第7章].114[2](1)、116
Casphy! - higmath - 不等式２ - 170 ( ﾟ∀ﾟ)つ https://tohoku.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main&;active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=41283&item_no=1&page_id=33&block_id=38 >>662
F(x,y,z) は既約かつ対称な多項式で
F(x,y,z)^2 = F(xx+yy+zz，xy+yz+zx，xy+yz+zx)
を満たすとする。
F(x,y,z) = x+y+z,
F(x,y,z) = xx+yy+zz -xy-yz=zx,
以外にも解があるかな。 >>655 >>656
f(x) = x^(p-1) とおくと、
x>0 で f '(x) = (p-1)x^(p-2) > 0， f "(x) = (p-2)(p-1)x^(p-3) ≧0.
f"(x) ≧ 0（下に凸）だから、(*)
f(a+b) + f(a+c) ≦ f(a) + f(a+b+c),
f(a+b) + f(b+d) ≦ f(b) + f(a+b+d),
f(a+c) + f(c+d) ≦ f(c) + f(a+c+d),
f(b+d) + f(c+d) ≦ f(d) + f(b+c+d),
各式に a，b，c，d を掛けて足す。
f '(x) >0（単調増加）を使うと
g(a+b) + g(c+d) + g(a+c) + g(b+d) ≦ g(a)+g(b)+g(c)+g(d) + g(a+b+c+d),
ここに g(x) = x･f(x)
(略証)
0 < ∫[0,b]∫[0,c] f "(a+u+v) du dv
= f(a+b+c) + f(a) - f(a+b) - f(a+c), 一辺の長さが1である辺を奇数個もつ任意の多角形の面積をSとすると次の不等式が成立
S≧√3/4 >>667
すべての辺の長さが1である、奇数角形? 〔問題2018〕
a>0，b>0，c>0，a+b+c=3 のとき次を示せ。
a^(1/2018) + b^(1/2018) + c^(1/2018) + (2/√3) √{a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)} ≧ 3,
(K. Chikaya, 2018/June/19)
すうじあむ //suseum.jp/gq/question/2884 を改良
casphy.com/bbs/highmath/472060/ 不等式２-304 >>668
多角形のすべての辺のうち一辺の長さ1である辺の総数は奇数個であるもの >>668
偶数角形でもいい
例としては四角形のうち三つの辺が長さ1で他は長さ1ではないものだったり、一つの辺のみが1でほかは長さ1でないようなもの ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
