不等式への招待 第9章 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>515 >>533 〔補題〕 (A^3+B^3+C^3)^2 ≧ (AB+BC+CA)(A^4+B^4+C^4) (左辺) - (右辺) = F_0(A,B,C) F_0(AA,BB,CC) + (ABC)^2 F_{-2}(A,B,C) ≧ 0, F_0(A,B,C) = (A-B)(A-C) + (B-C)(B-A) + (C-A)(C-B) = {(A-B)^2 + (B-C)^2 + (C-A)^2}/2 ≧ 0, F_{-2}(A,B,C) = (A-B)(A-C)/AA + (B-C)(B-A)/BB + (C-A)(C-B)/CC = ABC F_1(1/A,1/B,1/C) ≧ 0, >>533 >>534 〔補題〕 1≦n≦3,A〜C≧0 のとき (A^n + B^n + C^n)^2 ≧ (AB+BC+CA) {A^(2n-2)+B^(2n-2)+C^(2n-2)} ≧ 3ABC {A^(2n-3)+B^(2n-3)+C^(2n-3)}, 右側はチェビシェフなど。 >>533 >>534 >>535 〔補題〕 1≦n≦5,A〜C≧0 のとき (A^n + B^n + C^n)^2 ≧ 3ABC {A^(2n-3) + B^(2n-3) + C^(2n-3)}, (例) n=3 のとき (左辺) - (右辺) = (A^3 +B^3 +C^3) (A^3 +B^3 +C^3 -3ABC) ≧ 0, n=4 のとき (左辺) - (3/2) {(a^3)(b+c) + (b^3)(c+a) + (c^3)(a+b)} = (1/2) {(aa-ab+bb)(a-b)^2 + (bb-bc+cc)(b-c)^2 + (cc-ca+aa)(c-a)^2} ≧ 0, ここに、a=AA,b=BB,c=CC. (3/2) {(a^3)(b+c) + (b^3)(c+a) + (c^3)(a+b)} - (右辺) = (3/2) {(A^6)(B-C)^2 + (B^6)(C-A)^2 + (C^6)(A-B)^2} ≧ 0, 三角形の辺長 a、b、c に対して、 {√(a+b-c)}/(√a + √b - √c) + {√(b+c-a)}/(√b + √c - √a) + {√(c+a-b)}/(√c + √a - √b) ≦ 3 >>537 [6] A = √b+√c-√a > 0, B = √c+√a-√b > 0, C = √a+√b-√c > 0, とおく。 b+c-a = AA - (A-B)(A-C)/2, √(b+c-a) ≦ A - (A-B)(A-C)/4A, (左辺) = √(b+c-a) /A + √(c+a-b) /B + √(a+b-c) /C ≦ 3 - (A-B)(A-C)/(4AA) - (B-C)(B-A)/(4BB) - (C-A)(C-B)/(4CC) = 3 - (1/4) F_{-2}(A,B,C) = 3 - (ABC/4) F_1(1/A,1/B,1/C) ≦ 3. IMOSL-2006 予選 A.6、JMO春合宿 文献[8] 安藤 (2012),p.147 例題3.2.3(9), http://www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式1-307、434、437 ( ゚∀゚) いつも素晴らしいデスネ。GWに精読させていただきます。 実数 a_k、b_k (1≦k≦n)) に対して、 1 + Σ[k=1 to n] (a_k + b_k)^2 ≦ (4/3)*{1 + Σ[k=1 to n] (a_k)^2}*{1 + Σ[k=1 to n] (b_k)^2} 任意の m、n∈N (m > n) に対して、 lcm(m, n) + lcm(m+1, n+1) > 2mn/{√(m-n)} >>540 A = Σ[k=1,n] (a_k)^2, B = Σ[k=1,n] (b_k)^2, C = Σ[k=1,n] a_k b_k, とおく。 A+B-2C = Σ[k=1,n] (a_k - b_k)^2 ≧ 0, AB-CC = Σ[1≦j<k≦n] (a_j b_k - a_k b_j)^2 ≧ 0 (←コーシー) (右辺) - (左辺) = (4/3)(1+A)(1+B) - (1+A+B+2C) = (1/3) (1+A+B+4AB-6C) = (1/3) {(A+B-2C) + 4(AB-CC) + (1-2C)^2} ≧ 0, 等号成立は a_k = b_k,A = B = C = 1/2. >>541 gcd(m,n) | (m-n) gcd(m+1,n+1) | (m-n) 左辺は互いに素ゆえ、 (←背理法で) gcd(m,n)gcd(m+1,n+1) | (m-n) lcm(m,n) + lcm(m+1,n+1) = mn/gcd(m,n) + (m+1)(n+1)/gcd(m+1,n+1) > mn{1/gcd(m,n) + 1/gcd(m+1,n+1)} > 2mn/√{gcd(m,n)gcd(m+1,n+1)} (←AM-GM) ≧ 2mn/√(m-n), >>374 >>398 >>399 >>416 >>417 nΣ[k=1,n] s_k (a_k)^2 ≧ M_n (s_n)^3, とおく。 M_2 = 0.7377393811182 = 2(47-14√7)/27 (a,b) =(√7 -1,4-√7)(3+√7,2+√7) M_3 = 0.6481616033162 (a,b,c) = (1.38436,1.13916,1) M_4 = 0.60233351875 (a,b,c,d) = (1.52472,1.25465,1.10139,1) M_5 = 0.574255 M_6 = 0.5551782 M = 0.444444 = 4/9 (n→∞), >>544 Memo. 漸化式は a_{n+1} = (1/2) {√(2x-1) - 1} s_n, s_{n+1} = s_n + a_{n+1}, M_n = (n/3) (x-1), ここに x = (1 + a_n/s_n)^2. (例) M_1 = 1 a_1 = s_1 = 1 M_2 = 2(47-14√7)/27 = 0.7377393811182 a_2 = (√7 -1)/2 = 0.8228756555323 s_2 = (√7 +1)/2 = 1.8228756555323 M_3 = 0.64816160331616 a_3 = 0.72235563718495 s_3 = 2.54523129271725 M_4 = 0.60233351872589 a_4 = 0.65585825517001 s_4 = 3.20108954788726 M_5 = 0.57425545264547 a_5 = 0.60768519695068 s_5 = 3.80877474483794 M_6 = 0.55517800140267 a_6 = 0.57066170678793 s_6 = 4.37943645162587 本題から逸れてしまった… >>374 (改) Σ[k=1,n] (s_{k-1} + s_k)/2 ・ (a_k)^2 > (4/9n) (s_n)^3, 便宜上 s_0 = 0 とおいた。 * 中点 (s_{k-1} + s_k)/2 で接線を曳く。 >>544 >>545 Memo. の続き M_10 = 0.51565443182467 a_10 = 0.47804498656917 s_10 = 6.41086198943751 M_100 = 0.45433807243808 a_100 = 0.21749813721698 s_100 = 32.0226683930223 M_1000 = 0.44575956171259 a_1000 = 0.10051892239154 s_1000 = 150.383787216053 M_10000 = 0.44460977509949 a_10000 = 0.04662595061307 s_10000 = 699.152499550131 >>545 Memo. (略証) nについての帰納法による。 a_{n+1} = A と略す。 まず s_n を固定して a_1 〜 a_n を動かしたときの最小値は、 Σ[k=1,n+1] s_k (a_k)^2 - μ(s_{n+1})^3 = Σ[k=1,n] s_k (a_k)^2 + (s_n + A)A^2 - μ(s_n + A)^3 ≧ (M_n /n)(s_n)^3 + (s_n + A)A^2 - μ(s_n + A)^3 = f(A) つまり a_1 〜 a_n の比はnの場合と同じでよい。 次に f(A) = 0 が重根をもつようにμを決めるのだが、言い換えれば f(A) = 0 と f '(A) = 0 が共通根をもつことである。 f(A) = (M_n /n)(s_n)^3 + (s_n + A)A^2 - μ(s_n + A)^3 = 0, f '(A) = 2(s_n)A + 3A^2 - 3μ(s_n + A)^2 = 0, から A とμを決める。 まずμを消去すれば A(s_n + A) - 3M_n /(2n・s_n) = 0, ∴ A = (1/2){√[1 + 6M_n /(n・(s_n)^3)] -1}s_n, これを使うとμが求まり M_{n+1} = (n+1)μ = {(n+1)/3}([1 + A/s_{n+1}]^2 - 1), s_{n+1} = s_n + A, と表わせる。 〔問題8〕 閉区間 [0,1] で定義された連続関数f(x)は、次の条件を満たすとする。 ある正の実数Lが存在して、[0,1] 上のすべての実数xにおいて 0 ≦ f(x) ≦ L∫[0,x] f(t)dt が成り立つ。 このとき、[0,1] 上のすべての実数xにおいてf(x)=0であることを示せ。 http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai8.php 〔問題12〕 p_1,p_2,…,p_k を m 以下のすべての素数とする。 この時、以下の不等式が成り立つことを示せ。 log(m) - 1 ≦ (1/m)log(m!) < Σ[i=1,k] log(p_i)/(p_i - 1) http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai12.php 〔問題18〕 正の実数 a,b,c が ab+bc+ca=1 を満たすとき (b+c) {√(aa+1) +a} ≧ 2, (c+a) {√(bb+1) +b} ≧ 2, (a+b) {√(cc+1) +c} ≧ 2, が成り立つことを示せ。 http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai18.php 〔問題32〕 nを2以上の整数とする。正の実数 a_1,a_2,…,a_n に対して不等式 Σ[k=1,n] (kk-2k+2)a_k + Σ[k=1,n-1] (1/a_k)(a_{k+1})^2 ≧ (n^2)a_n が成り立つことを示せ。また、等号が成立する条件を求めよ。 http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai32.php >>548 訂正スマソ A (s_n + A) - (3M_n /2n) (s_n)^2 = 0, ∴ A = (1/2) {√(1 + 6M_n /n) - 1} s_n, [bot 5] a, b, c≧0 のとき、a(a-b)(a-2b) + b(b-c)(b-2c) + c(c-a)(c-2a) ≧0 (1) この証明は? (2) a(a-mb)(a-nb) + … とイパーン化できるでござるか? >>552 [111] (1) min{a, b, c} = M, {a, b, c} = {M, M+x, M+y} とすると、 (左辺) = 2M(xx-xy+yy) + x(x-2y)^2 + (x-y)^2・y ≧0. USA.ELMO-2009 day1-Q.3 >>552 [111] (2) m(m+1) ≦ 3 + 4√2 のとき a(a-b)(a-mb) + b(b-c)(b-mc) + c(c-a)(c-ma) ≧ 0 m(m+1) = 3 + 4√2 の根は m_1 = -{√(13+16√2) +1}/2 = -3.4844353317658568752 m_2 = {√(13+16√2) -1}/2 = 2.4844353317658568752 等号成立条件 ・m_1 < m < m_2 のとき (a,b,c) = (1,1,1) ・m = m_1,m_2 のとき (a,b,c) = (1,1,1)、(0,t1,1)、(0,1,t2) とそのrotation t_1,t_2 は tt - (1+√2)t + 1 = 0 の根 t_1 = {1+√2 -√(2√2-1)}/2 = 0.531010056459569184633 t_2 = {1+√2 +√(2√2-1)}/2 = 1.883203505913525864169 >>549 〔問題18〕 (a+b)√{(c+b)(c+a)} ≧ (a+b)(c+√ab) ≧ (a+b)c + 2ab, >>521 >>525 (C3) [16] と同じ。 〔問題〕 自然数nに対して (1) C[2n,n] = (2n)! / (n!)^2 ≧ 4^n / (2√n), (2) C[3n,n] = (3n)! / {n!・(2n)!} ≧ (27/4)^n ・4/(9√n), 等号成立は n=1 >>512 >>513 Janos Suranyi の不等式と云うらしい… >>556 (1) は >>474 >>476 >>495 と同様 (2) もnについての帰納法で C[3n+3,n+1] / C[3n,n] = {(3n+1)(3n+2)(3n+3)}/{(2n+1)(2n+2)(n+1)} = (27/4) {(n+1/3)(n+2/3)} / {(n+1/2)(n+1)} = (27/4) (N + 2/9) / {(n+1/2)(n+1)} ← N=n(n+1) とおいた。 > (27/4) (N + 1/8) / {(n+1/2)(n+1)} ≧ (27/4) √{N(N+1/4)} / {(n+1/2)(n+1)} = (27/4) (n+1/2)√{n(n+1)} / {(n+1/2)(n+1)} = (27/4) √{n/(n+1)}, により成立 >>556 の系 C[3n,2n] ≧ 4/(9√n)・(27/4)^n, C[3n-1,2n-1] = (2/3)C[3n,2n] ≧ (2/√n)・(27/4)^(n-1), x^2 + y^2 + z^2 ≧ xy + yz + zx + (3/4)*(x-y)^2 これって既出だっけ? >>569 [42] (xx+yy+zz) - (xy+yz+zx) = (3/4)(x-y)^2+(1/4)(x+y-2z)^2, でござる。 >>549 〔問題8〕の解答 h(x) = e^(-Lx) ∫[0,x] f(t)dt とおくと題意により h(x) ≧ 0 = h(0) …… (1) また h(x) は(0,1) 上で微分可能で h '(x) ≦ 0, ∴ h(x) = h(0) + ∫[0,x] h '(t)dt ≦ h(0) …… (2) (1) (2) により [0,1] 上で h(x) = h(0) = 0 が成り立つ。 したがって、[0,1] 上のすべての実数xにおいて 0 ≦ f(x) ≦ L ∫[0,x] f(t)dt = 0, より、f(x) = 0 である。 ■ http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai8.php >>549 〔問題12〕の解答 (左側) 任意の正の整数mに対し、 log(m!) = Σ[L=1,m-1] log(L+1) ≧ Σ[L=1,m-1] ∫[L,L+1] log(t)dt = ∫[1,m] log(t)dt = m{log(m) -1} +1, ∴ log(m) - 1 ≦ (1/m)log(m!) (右側) 実数xに対し、x以下の最大の整数を [x] で表わす。 また、0でない整数nと素数pに対し、v_p(n) で、nの素因数分解に現れるpの回数を表わすものとする。 ここで、m! はm以下の素数しか素因数に持たないので、 log(m!) = Σ[i=1,k] v_pi(m!) log(p_i) と表わされる。ここで、 v_p(m!) < m/(p-1) が分かるのでこれを上の式と組み合わせて (1/m)log(m!) < Σ[i=1,k] log(p_i)/(p_i -1) が示された。(終) http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai12.php >>549 〔問題32〕の解答 (a_{k+1})^2 / a_k ≧ 2k・a_{k+1} - kk・a_k, 辺々たして Σ[k=1,n-1] (a_{k+1})^2 / a_k ≧ Σ[k=2,n] 2(k-1) a_k - Σ[k=1,n-1] kk・a_k = nn・a_n - Σ[k=1,n] a_k - Σ[k=1,n] (k-1)^2・a_k = nn・a_n - 1 - Σ[k=1,n] (k-1)^2・a_k を導く。等号成立条件は、各 k=1,2,…,n-1 で a_{k+1} = k・a_k である場合だから、すべての i=1,2,…,n に対し a_i = (i-1)! /{Σ[k=1,n] (k-1)!} が成立することである。 http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai32.php (a^2 + b^2 + c^2)^2 - (ab+bc+ca)^2 ≧ (√6)(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) >>575 [192] 任意の実数a,b,cに対し、 (a-b)(a-c)(aa-bc)^2 + (b-c)(b-a)(bb-ca)^2 + (c-a)(c-b)(cc-ab)^2 ≧ 0, を示せ。 //www.casphy.com/bbs/highmath/不等式2-188 (じゅー) >>574 [104] s = a+b+c,t = ab+bc+ca,u = abc, = (a-b)(b-c)(c-a) とおく。 ss-3t≧0, (左辺) = (ss-2t)^2 -tt = (ss-t)(ss-3t) = (1/3){2ss + (ss-3t)}(ss-3t) ≧ {(2√2)/3}|s|(ss-3t)^(3/2), ≧ (√6)|s處, ∵ 4(ss-3t)^3 = 27刧 + {(a+b-2c)(b+c-2a)(c+a-2b)}^2 ≧ 27刧, 等号成立は等間隔かつ ss+3t = 0 より{1-√6,1,1+√6} http://www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式2-197 >>572 (右側) 補足 自然数nと素数pに対し、v_p(n) で、nの素因数分解に現れるpの回数を表わすものとする。 v_pi(m!) = [ m/p ]+ [ m/p^2 ] + [ m/p^3 ] + … + [ m/p^d ] ここに、d = [ log(n)/log(p) ]. これもルジャンドルの定理と云うらしい。 http://mathtrain.jp/legendretheorem 〔補題12〕 v_p(m!) < m/(p-1) (略証) d = [ log(n)/log(p) ] とおくと v_pi(m!) ≦ m/p + m/p^2 + m/p^3 + … + m/p^d < m/(p-1), a, b, c > 0 に対して、a/(b+c) + 20b/(c+a) + 17c/(a+b) > 8 best possible かどうか分からん B. 4931. Prove that if a, b, c are the sides of a triangle then {a^2(b+c) + b^2(a+c)} /(abc) > 3. http://www.komal.hu/feladat?a=honap& ;h=201802&t=mat&l=en B. 4925. http://www.komal.hu/feladat?a=honap& ;h=201801&t=mat&l=en B. 4953. http://www.komal.hu/feladat?a=honap& ;h=201804&t=mat&l=en P.1, Problem 1. https://archives.ust.hk/dspace/bitstream/9999/46212/1/math-02a-a109.pdf >>581 B.4925 (改) (KoMaL,h=201801) 0<a<n のとき a/{a^(n+1) + (n-a)} ≦ 1/n (略解) a^(n+1) -(n+1)a + n = (a-1){a^n + a^(n-1) + … + a -n} = Σ[k=1,n] (a-1)(a^k -1) ≧ 0, B.4931 (KoMaL,h=201802) {aa(b+c) + bb(a+c)}/abc > 3, (略解) aa(b+c) + bb(a+c) = ab(a+b-c) + (a-b)^2・c + 3abc ≧ 3abc, B.4953 (KoMaL,h=201804) log(n) + Σ[k=2,n] √{(k-1)/k} < Σ[k=2,n] √{k/(k-1)}, (略解) x>0 ⇒ x < sinh(x), a>1 ⇒ 2log(a) < a - 1/a, a = √{k/(k-1)} とおく。 log(k) - log(k-1) < √{k/(k-1)} - √{(k-1)/k}, k=2 から k=n までたす。 Math. Excalibur,Vol.21,No.4,p.1 (2018) Problem 1. a,b,c >0,a+b+c=1 のとき a√(2b-1) + b√(2c+1) + c√(2a+1) ≦ √{2-(aa+bb+cc)}, (略解) 関数f(x) = √x は上に凸ゆえ、Jensenで (左辺) ≦ √{a(2b+1) + b(2c+1) + c(2a+1)} = √{(a+b+c) + 2(ab+bc+ca)} / (a+b+c) = √{1 +2(ab+bc+ca)} = (右辺) 等号成立は (a,b,c) = (1/3,1/3,1/3) および (1,0,0) など。 >>579 左辺が最小になる点では (b+c)^2 : (c+a)^2 : (a+b)^2 = 1 : 20 : 17, (b+c) : (c+a) : (a+b) = √1 : √20 : √17, b+c = √1, c+a = √20, a+b = √17, a = (-√1 +√20 +√17)/2, b = (+√1 -√20 +√17)/2, c = (+√1 +√20 -√17)/2, (左辺) ≧ a√1 + b√20 + c√17 = √(1・20) +√(20・17) +√(17・1) -19 = 8.0343304952 >>579 >>583 b+c = A,c+a = B,a+b = C とおくと (左辺) = 1・(B+C-A)/(2A) + 20(C+A-B)/(2B) + 17(A+B-C)/(2C) = (1/2)(1・B/A + 20A/B) + (1/2)(20C/B + 17B/C) +(1/2)(1・C/A + 17A/C) - (1+20+17)/2 ≧ √(1・20) + √(20・17) + √(17・1) - 19 (← AM-GM) 等号成立は A:B:C = √1:√20:√17 >>486 >>487 (3) 文献[9] 佐藤(訳) (2013) p.48 演習問題 1.101 ・p=1,q=2 の例 文献[9] 佐藤(訳) (2013) p.48 例 1.6.7 及び p.131 問題 3.30 チェコ-スロバキアMO-1999 >>575 >>576 [192] 一次式:φ(x) = (a+b+c)x−(ab+bc+ca)により、 A = φ(a) = aa-bc, B = φ(b) = bb-ca, C = φ(c) = cc-ab. A - B = (a+b+c)(a-b)、etc. i)a+b+c≠0 のとき、 (左辺) = {AA(A-B)(A-C) + BB(B-C)(B-A) + CC(C-A)(C-B)}/(a+b+c)^2 = F_2(A、B、C)/(a+b+c)^2 ≧0、 ii)a+b+c=0 のとき、A=B=C. http://www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式2-188 一松のじっちゃんが「大学への数学2018年6月号」に不等式の記事を書いておられる。 エルデシュの不等式とか 不等式と聞ゐちゃあ捨て置けねゑ…。このためだけに買ってきた。 タイトル 「三角形に関する不等式のいくつか」、4ページ レムスの不等式と、求角不等式。 内角のcosの等式から、a^2+b^2+c^2 と8R^2の大小関係。 (中略) エルデシュの不等式。 過去スレで見たことある不等式。 あと、「老人のグチだが、(中略)近年お数学検定で、不等式の証明問題は成績が悪い傾向が見られる。」 とあるが、検定問題で出題されている不等式を全て公開してほしい。 ここで不等式解いてる人って50後半の会社員だったりする? >>589 数検専用スレ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512773695/ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1479394767/ へどうぞ。 〔問題〕 a_n = (1 + 1/n)^n, b_n = (1 + 1/n)^(n+1) (nは正の整数) とおくとき、nが増加すると a_n は増加し、b_n は減少することを証明せよ。 (数検2011-秋-1級-2次-Q2) >>589 (aa+bb+cc) - 8RR = 4RR {sin(A)^2 + sin(B)^2 + sin(C)^2 - 2} = 4RR {1 - cos(A)^2 - cos(B)^2 - cos(C)^2} = 8RR cos(A) cos(B) cos(C), 〔補題〕 A+B+C = π のとき cos(A)^2 + cos(B)^2 + cos(C)^2 + 2cos(A)cos(B)cos(C) = 1, 〔ライプニッツの不等式〕 9RR - (aa+bb+cc) = 9(OG)^2 ≧ 0, O:外心 G:重心 ・文献[9] 佐藤(訳) 朝倉書店 (2013) p.87-89 定理2.4.4 定理2.4.5 >>591 は相加-相乗平均(AM-GM)で出るらしい。 (出題者・談) {1,1,…,(n-1)/n} ⇒ a_n > a_{n-1} > … > a_1 = 2 {1,1,…,n/(n-1)} ⇒ b_n < b_{n-1} < … < b_1 = 4 しかし c_n = (1 + 1/n)^(n +1/2) が減少するのを出すのは難しい。 2項定理を使うか? >>594 2項定理により、 (1 - 1/nn)^(2n+1) = 1 -2/n + 1/nn -1/(3n^3) +2/(3n^4) -3/(5n^5) +53/(90n^6) -… < (1 - 1/n)^2 Crux PROBLEMS (2012年のが公開された。5年以内のはパスワードがないと見れない) 3690, 3703, 3706, 3709 https://cms.math.ca/crux/v38/n1/Problems_38_1.pdf 3712, 3715, 3719(←破棄) https://cms.math.ca/crux/v38/n2/Problems_38_2.pdf 3719(←Replacement), 3723, 3726, 3729 https://cms.math.ca/crux/v38/n3/Problems_38_3.pdf 3731, 3735, 3737, 3740 https://cms.math.ca/crux/v38/n4/Problems_38_4.pdf 3741, 3744, 3747, 3749 https://cms.math.ca/crux/v38/n5/Problems_38_5.pdf 3752, 3754, 3757, 3759 https://cms.math.ca/crux/v38/n6/Problems_38_6.pdf 3763, 3767, 3769 https://cms.math.ca/crux/v38/n7/Problems_38_7.pdf 3773, 3774, 3776, 3779 https://cms.math.ca/crux/v38/n8/Problems_38_8.pdf (3781), 3783, (3784), (3786), 3788, 3789 https://cms.math.ca/crux/v38/n9/Problems_38_9.pdf 3793, 3795, 3797, https://cms.math.ca/crux/v38/n10/Problems_38_10.pdf (*゚∀゚)=3ハァハァ >>597 から 3690.(v38_n1) Let a, b, and c be three distinct positive real numbers with a+b+c=s. Show that (5xx-6xy+5yy)(a^3+b^3+c^3) + 12(xx-3xy+yy)abc > (x-y)^2・s^3, 3709.(v38_n1) Let a, b, and c be non-negative real numbers, k and L≧0 and define (a+b)/2 - √ab = k^2, (a+b+c)/3 - (abc)^(1/3) = L^2. Prove that max(a,b,c) - min(a,b,c) ≧ (3/2)(k-L)^2. 3712.(v38_n2) Prove that for any positive numbers a,b,c √{a(aa+bc)/(b+c)} + √{b(bb+ca)/(c+a)} + √{c(cc+ab)/(a+b)} ≧ a+b+c. 3719.(v38_n3,Replacement) Prove that if a,b,c>0, then a/√{bb+(1/4)bc+cc} + b/√{cc+(1/4)ca+aa} + c/√{aa+(1/4)ab+bb} ≧ 2. 3723.(v38_n3) Let a,b,c be positive real numbers such that a+b+c=s. If n is a positive integer, prove that (3a)^n /{(b+s)(c+s)} + (3b)^n /{(c+s)(a+s)} + (3c)^n /{(a+s)(b+s)} ≧ (27/16)s^(n-2). 3731.(v38_n4) Let a,b,c be positive real numbers such that a+b+c=s. Prove that a^(n+1) + b^(n+1) + c^(n+1) ≧ (aa+bb+cc)^n / s^(n-1), for all non-negative integers n. 3737.(v38_n4) Four non-negative real numbers a,b,c,d are given. Show that 1/(a^3+b^3) + 1/(b^3+c^3) + 1/(c^3+d^3) + 1/(a^3+c^3) + 1/(b^3+d^3) + 1/(a^3+d^3) ≧ 243/{2(a+b+c+d)^3}, Equality: {a,b,c,d} = {0,1,1,1} 3741.(v38_n5) Find the largest value of a and the smallest value of b for which the inequalties ax/(a+xx) < sin(x) < bx/(b+xx) hold for all 0<x<π/2. 3744.(v38_n5) Let a,b,c be positive real numbers with sum s. Prove that (a^8+b^8)/(aa+bb)^2 + (b^8+c^8)/(bb+cc)^2 + (c^8+a^8)/(cc+aa)^2 ≧ (a^3+b^3+c^3-abc)s/4. 3752.(v38_n6) Show that if n≧2 is a positive integer then (1/2)(1 +1/n -1/nn)^2 < (1 - 1/2^3)(1 - 1/3^3) … (1 - 1/n^3). Crux mathematicorum, Vol.38 (2012)、一部改作 >>597 から 3763.(v38_n7) Let a,b,c be positive real numbers. Prove that a/(2a+b+c) + b/(2b+c+a) + c/(2c+a+b) ≦ a/(2b+2c) + b/(2c+2a) + c/(2a+2b). 3793.(v38_n10) Let a, b, and c be positive real numbers such that √a + √b + √c = 2014/√2. Show that 2014 ≦ √(a+b) + √(b+c) + √(c+a) ≦ 2014√2, Equality:(LHS) √a = √b = √c = 2014/(3√2),(RHS) √a = 2014/√2,b=c=0, ・三角形関係 3726.(v38_n3) Let a,b,c,s,r,R represent the angles (measured in radians),the semi-perimeter,the in-radius and the circum-radius of a triangle,respectively. Prove that (A/B + B/C + C/A)^3 ≧ 2ss/(Rr). 3729.(v38_n3) If a,b,c are the side lengths of a triangle,prove that (b+c)/(aa+bc) + (c+a)/(bb+ca) + (a+b)/(cc+ab) ≦ 3(a+b+c)/(ab+bc+ca). 3757.(v38_n7) Let A, B, C be the angles (measured in radians),R the circum-radius and r the in-radius of a triangle. Prove that 1/A + 1/B + 1/C ≦ (9/2π)(R/r). 3767.(v38_n7) Let R,r be the circum-radius and in-radius of a right-angled triangle. Prove that R/r + r/R ≧ 2√2. 3776.(v38_n8) 別名「富士山」 In △ABC prove that tan(A/2) + tan(B/2) + tan(C/2) ≧ (1/2){1/cos(A/2) + 1/cos(B/2) + 1/cos(C/2)}. Crux mathematicorum, Vol.38 (2012)、一部改作 >>598 3690. 軸を45°回して (x+y)/√2 = u,(x-y)/√2 = v とおく。 5xx-6xy+5yy = 2uu +8vv, 12(xx-3xy+yy) = -6uu +30vv, (x-y)^2 = 2vv, これを入れて (左辺) - (右辺) = (2uu+8vv)(a^3+b^3+c^3) + (-6uu+30vv)abc -2vv(a+b+c)^3 = 2(a^3+b^3+c^3 -3abc)uu + 6F_1(a,b,c)vv (←シューア) ≧ 0, >>3723 . 通分すると (分子) = (a+s)(3a)^n + (b+s)(3b)^n + (c+s)(3c)^n ≧ (4s/3){(3a)^n + (3b)^n + (3c)^n} (←チェビシェフ) = (4s)(3^n)(a^n + b^n + c^n)/3 ≧ (4s)s^n, (分母) = (a+s)(b+s)(c+s) ≦ (4s/3)^3, (← GM-AM) (左辺) ≧ (27/16)s^(n-2), >>3731 . コーシーの拡張より (a+b+c)(a+b+c) … (a+b+c){a^(n+1) + b^(n+1) + c^(n+1)} ≧ (aa+bb+cc)^n, (n-1)個 >>598 3741. a = ππ/{2(π-2)} = 4.322734721 b = 6 cos(t) < 1 を [0,x] で逐次積分すると、 sin(x) < x, (x>0) -cos(x) < -1 + xx/2!, -sin(x) < -x + (x^3)/3!, (x>0) cos(x) < 1 - xx/2! + (x^4)/4!, sin(x) < x - (x^3)/3! + (x^5)/5! = {x - ((14-xx)/720)x^5}/(1+xx/6) < x/(1+xx/6), (0<x<π/2) 3752. a_n = 1 +1/n -1/nn = (nn+n-1)/nn, とおく。 a_n / a_{n-1} = (n-1)^2・(nn+n-1)/{nn(nn-n-1)} = 1 - (nn-3n+1)/{nn(nn-n-1)} ≦ 1 - 1/(2nn) (n≧5) ∵ 2(nn-3n+1) - (nn-n-1) = n(n-5) + 3 ≧ 3 (n≧5) (a_n / a_{n-1})^2 ≦ {1 - (1/2nn)}^2 = 1 - 1/nn + 1/(4n^4) < 1 - 1/n^3, 正整数nと1より大きい正の実数xに対し、 Σ[k=1,n]{kx}/[kx]<Σ[k=1,n]1/(2k-1) {kx}はkxの小数部分を表し、[kx]はkxの整数部分を表すものとする >>599 3763. (左) HM-AM より a/(2a+b+c) ≦ (1/4){a/(a+b) + a/(a+c)}, b/(2b+c+a) ≦ (1/4){b/(b+c) + b/(b+a)}, c/(2c+a+b) ≦ (1/4){c/(c+a) + c/(c+b)}, 辺々たすと (左辺) ≦ 3/4, (右) a/(2b+2c) = (a+b+c)/(2b+2c) - 1/2 b/(2c+2a) = (a+b+c)/(2c+2a) - 1/2 c/(2a+2b) = (a+b+c)/(2a+2b) - 1/2 辺々たすと (右辺) = (a+b+c){1/(2b+2c) + 1/(2c+2a) + 1/(2a+2b)} - 3/2 ≧ (a+b+c)・9/{4(a+b+c)} - 3/2 (← AM-HM) = 9/4 - 3/2 = 3/4, (Nesbitt,Shapiro-3) >>593 〔Chapple - Euler の不等式〕 外接円の半径をR、内接円の半径をrとするとき R(R-2r) = OI^2 ≧ 0 O:外心 I:内心 >>602 x → x+1 とすれば分母が k 増えるので左辺は減少する。1≦x≦2 で考える。 (m-1)/n ≦ {x} < m/n となるmをとる。 m = [nx] - n[x] +1, (1≦m≦n) 〔補題〕 Σ[k=1,n] {kx}/[kx] < Σ[k=1,m-1] 1/(2k-1) + ({x} - (m-1)/n)/(2m-1), 右辺は、(1,0) - (1+1/n,1) - (1+2/n,1+1/3) - …… - (1+m/n,Σ[k=1,m] 1/(2k-1)) - …… (2,Σ[k=1,n] 1/(2k-1)) を結んだ折れ線を表わす。 bot[195] 6(x^3 + y^3 + z^3)^2 ≦ (x^2 + y^2 + z^2)^3 これはシュワちゃんと関係あるん? >>606 [195] x+y+z = 0 より x^3+y^3+z^3 = 3xyz, xx+yy+zz = [(x-y)^2 + 3zz]/2, xとyは同符号とすれば 0 ≦ 4xy ≦(x+y)^2 = zz, (左辺) = 6(3xyz)^2 = 54(xy)(xy)(zz) ≦ (3zz/2)^3 ≦ {[(x-y)^2 +3zz]/2}^3 = (xx+yy+zz)^3. 蕪湖市数学競技会 以下、x、y、z∈R とする。 (1) (x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧ 6(x^3 + y^3 + z^3)^2 (2) (x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)^2 + (ab+bc+ca)^3 (3) (x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧ 2{(x-y)(y-z)(z-x)}^2 (4) 2(x^2 + y^2)(y^2 + z^2)(z^2 + x^2) ≧ {(x-y)(y-z)(z-x)}^2 (5) 合体 or 改造できるかな? 出典 (1) >>606 、bot195、蕪湖市数学競技会 (2)(3)(4)は過去に扱ったと思うが、元ネタを記録していないので詳細不明 ∧_∧ ( ;´∀`) < むむむ…、我慢できないでござる! 人 Y / ( ヽ し (_)_) >>609 の続き (6) (x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧ 8(x^2 - yz)(y^2 - zx)(z^2 - xy) >>609 (1) x+y+z=0 のとき、… (2) xx+yy+zz = S2,xy+yz+zx = t, とおく。 S2 - t = {(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2}/2 ≧ 0, (S2)^3 - t^3 = {(S2)^2 + S2・t +tt}(S2-t) ≧ {(S2)^2 + S2・t - 2tt}(S2-t) = (S2+2t)(S2-t)^2 = (x+y+z)^2・{(xx+yy+zz) -(xy-yz-zx)}^2 = (x^3+y^3+z^3 -3xyz)^2, (3) yはxとzの中間にあるとしてよい。 0 ≦ (x-y)(y-z) ≦ (1/4)(x-z)^2, xx+yy+zz = (1/2)(x+z)^2 + (1/2)(x-z)^2 + yy ≧ (1/2)(x-z)^2, (左辺) ≧ (1/8)(x-z)^6 ≧ 2(x-z)^2 {(x-y)(y-z)}^2 = (右辺), Asia Pacific Mathematical Olympiad APMO 2004 でググって5番目あたりに出てくるPDFの Problem 5。 模範解答がワケワカメ…。 これより強い不等式を、前スレでやったような排気ガス… 数学セミナーエレガントな解法2月号にある不等式の問題の正解率が異様に低かったらしい そもそも問題すら理解してない回答が多かったって講評だった >>609 (4) (1-i)(x+iy)(y+iz)(z+ix) = (1-i){-(xyy+yzz+zxx-xyz) +i(xxy+yyz+zzx-xyz)} = -(x-y)(y-z)(z-x) +i{(x+y)(y+z)(z+x)-4xyz}, 絶対値の2乗をとって 2(xx+yy)(yy+zz)(zz+xx) = {(x-y)(y-z)(z-x)}^2 + {(x+y)(y+z)(z+x) -4xyz}^2, >>613 [前スレ.456] (abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca)≧ 0 を使う? 文献[9] 佐藤(訳)、問題3.85改、練習問題1.90(i) なるほど! >>613 x、y、z∈R のとき、(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 9(ab+bc+ca) [前スレ.456] x、y、z∈R のとき、(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2 合体! (aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2 ≧ 9(ab+bc+ca) >>609 (4) >>615 s = x+y+z, t = xy+yz+zx, u = xyz, = (x-y)(y-z)(z-x), で表わせば 2(ss-2t)(tt-2su) -2uu = 刧 + (st-5u)^2, 左辺を見て、昨夏の不等式三昧の夜を思い出す ( ゚∀゚) ウヒョッ! [前スレ.469前後] x、y、z∈R 、k≧0 のとき、(aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (3kk/4)*(a+b+c)^2 などなど… >>614 もう最新号出る時期か。よし明日読みに行こう。 立ち読みで疎覚えだが、数蝉NOTE。 a、b、c >0、a+b+c=1 のとき、Σ[cyc] a/(b^2+bc+c^2) ≧3. >>619 〔Igarashi の不等式〕 a,b,c>0 のとき、 a/(bb+bc+cc) + b/(cc+ca+aa) + c/(aa+ab+bb) ≧ (a+b+c)/(ab+bc+ca) ≧ 3/(a+b+c), 2018年7月号NOTE (略証) a ' = bb + bc + cc, b ' = cc + ca + aa, c ' = aa + ab + bb, とおくと aa ' + bb ' + cc ' = (a+b+c) (ab+bc+ca), … これがミソ(?) コーシーにより (左辺) = a/a ' + b/b' + c/c' ≧ (a+b+c)^2 /(aa ' + bb ' + cc ') = (a+b+c)/(ab+bc+ca), >>621 おお、これだ。さんくす。 解説でZZZが一般化してたけど、なんかよく分からなかった…。 >>620 >>621 被りました。 f(x) = 1/x は下に凸だから、Jensenにより (左辺) = a f(a ') + b f(b ') + c f(c ') ≧ (a+b+c) f((aa'+bb'+cc')/(a+b+c)) = (a+b+c) f(ab+bc+ca) = (a+b+c)/(ab+bc+ca), >>621 > a ' = bb + bc + cc, > b ' = cc + ca + aa, > c ' = aa + ab + bb, > とおくと > aa ' + bb ' + cc ' = (a+b+c) (ab+bc+ca), … これがミソ(?) この変形は初めて見た。コレクションに入れておこう。 あと一松じっちゃんの不等式の解説で、s(2(s^2-2t)-5t)+27u の因数分解があったような。 立ち読みだったんで s、t、u で覚えて帰ったから怪しいが…。 手計算で因数分解しようとして挫折した。 手計算でできるのか? >>625 (b+c-2a)(c+a-2b)(a+b-2c) = (s-3a)(s-3b)(s-3c) = -2s^3 +9st -27u, を使うでござる。 エレ解スレ【2016.11】 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1476702312/785-786 >>622 Nesbittと合体したでござるか… 〔Nesbitt-Igarashi の不等式〕 a,b,c>0 のとき、 (a+b+c) {a/(bb+bc+cc) + b/(cc+ca+aa) + c/(aa+ab+bb)} ≧ 2 {a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ (a+b+c)^2 /(ab+bc+ca) ≧ 3, 数セミ、2018年7月号NOTE-改 >>614 よく分からぬ難しげな不等式で、攻めづらかったかも。 この式が出てきた背景は、解説で触れていたけれど。 >>630 [101] a〜d>0、a+b+c+d-1=0 のとき 6(a^3 + b^3 + c^3 + d^3) ≧ aa+bb+cc+dd + 1/8. フランス TeamSelectionTest-2007 Q.2 (略解) f(x) = 6x^3 - (xx + 1/32) = (5/8)(x-1/4) + 2(3x+1)(x-1/4)^2 ≧ (5/8)(x-1/4), より f(a) + f(b) + f(c) + f(d) ≧ (5/8)(a+b+c+d-1) = 0. {x = 1/4 で接線を曳く。f '(1/4) = 5/8} >>631 さんくす。4月から見てるけど、101だけ出てこないのだ。 画像のない192は頻繁に出てくるのにな。偏りすぎている。 >>632 [192] 任意の実数a,b,cに対し、 (a-b)(a-c)(aa-bc)^2 + (b-c)(b-a)(bb-ca)^2 + (c-a)(c-b)(cc-ab)^2 ≧ 0, を示せ。 casphy! - highmath(高校数学) - 不等式2-188 じゅー君が高校生のとき作ったヤツ(?) (略証) i)a+b+c≠0 のとき、 A = aa-bc,B = bb-ca,C = cc-ab, とおくと A-B = (a+b+c)(a-b),etc. (左辺) = {AA(A-B)(A-C)+BB(B-C)(B-A)+CC(C-A)(C-B)}/(a+b+c)^2 = F_2(A,B,C)/(a+b+c)^2 (←シューア) ≧0, ii)a+b+c=0 のとき、 A = B = C, (左辺) = AA F_0(a、b、c) ≧ 0. これで ☆9 だって。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
read.cgi ver 07.5.5 2024/06/08 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる