不等式への招待 第9章 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>499 (1) そうです。(微分可能な…) (2) |x|< 2.0815759778181 ⇒ {sin(x)/x}" < 0 を使っていいらしい。 非負実数 a_1、…、a_n に対して、 (Σ[k=1 to n] a_k){Σ[k=1 to n] (a_k)^(n-1)} ≦ n*Π[k=1 to n]a_k + (n-1)*Σ[k=1 to n] (a_k)^n 昔の手書きメモから発掘、詳細不明 ( ゚∀゚) ウヒョッ >>512 兩n = (右辺) - (左辺) = (n-1)Σ[k=1,n] (a_k)^n - {Σ[k=1,n] a_k}{Σ[k=1,n] (a_k)^(n-1)} + n・a_1・a_2…a_n, a_1 = a,a_2 = b,a_3 = c,a_4 = d,a_5 = e, とおいてシューア展開すると、 兩1(a) = 0, 兩2(a,b) = 0, 兩3(a,b,c) = F_1(a,b,c) 兩4(a,b,c,d) = (2/3){F_2(a,b,c) + F_2(b,c,d) + F_2(c,d,a) + F_2(d,a,b)} + (1/3){F_1(a,b,c)d + F_1(b,c,d)a + F_1(c,d,a)b + F_1(d,a,b)c}, 兩5(a,b,c,d,e) = (1/2)Σ[a,b,c] F_3(a,b,c) + (1/6)Σ[a,b,c] F_2(a,b,c)(d+e) + (1/6)Σ[a,b,c] F_1(a,b,c)de, ここに Σ[a,b,c] は C[5,3] = 10項の和 >>513 〔Schurの不等式〕 F_m(x,y,z) = (x^m)(x-y)(x-z) + (y^m)(y-z)(y-x) + (z^m)(z-x)(z-y) ≧ 0, 文献[3] 大関(1987) p.28 文献[8] 安藤(2012) p.27〜28 文献[9] 佐藤(訳)(2013) p.40 a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、 (a^10 + b^10 + c^10)^2 ≧ 3*(a^13 + b^13 + c^13). ┏ ━ゝヽ''人∧━∧从━〆A!゚━━┓。 < ゝ\',冫。’ ,,,, ∧,,∧ ' ゛△´ ' ゝ'┃ ∇ ┠─Σ┼ ,ニ,◎、・ω・') 冫/ そ', .┨'゚,。 .。冫▽ < 冫 r'/ミ/〉⊂ノ 乙 ≧ ▽ 。 ┃ Σ. 〈/")、〉ノノ 、'’ ≦ │て く ┠─ム┼ (_/_iiiノ 、,,’.┼ ァ Ζ┨ ミo'’` .。○.〆 `、,~´+ ! .! √ ▽ ',! ヽ.◇ o.┃ ┗〆━┷. Z,..`"┷━''o.ヾo┷+\━┛,゛; 兩n = Σ[m=1,n-2] 2(n-m-2)! m!/(n-1)! Σ[a,b,c] F_m(a,b,c) S_{n-m-2}(A-{a,b,c}) ≧0, A = {a_1,a_2,…,a_n} 納a,b,c] は C[n,3] = n(n-1)(n-2)/6 項の和。 S_j(B) は集合Bの要素で作ったj次の基本対称式 A = {a_1,a_2,…,a_n} ついで乍ら 納a,b,c] F_m(a,b,c) = {m(m+1)2}Σ[k=1,n] (a_k)^(m+2) S_{n-m-2}(A-{a_k}) - m(n-m-1)納k=1,n] (a_k)^(m+1) S_{n-m-1}(A-{a_k}) + {(n-m)(n-m-1)/2}納k=1,n] (a_k)^m S_{n-m}(A-{a_k}) >>513 兩n = Σ[m=1,n-2] 2(n-m-2)! m!/(n-1)! Σ[a,b,c] F_m(a,b,c) S_{n-m-2}(A-{a,b,c}) ≧0, A = {a_1,a_2,…,a_n} Σ[a,b,c] は C[n,3] = n(n-1)(n-2)/6 項の和。 S_j(B) は集合Bの要素で作ったj次の基本対称式 A = {a_1,a_2,…,a_n} ついで乍ら Σ[a,b,c] F_m(a,b,c) = {m(m+1)2}Σ[k=1,n] (a_k)^(m+2) S_{n-m-2}(A-{a_k}) - m(n-m-1)Σ[k=1,n] (a_k)^(m+1) S_{n-m-1}(A-{a_k}) + {(n-m)(n-m-1)/2}Σ[k=1,n] (a_k)^m S_{n-m}(A-{a_k}) (1/2)*(3/4)*…*(999999/1000000) < 1/1000 を示せ。 ∧_∧ ( ´・ω・) 先月の数蝉に不等式の問題があったような… (つ旦と) と_)_) >>518 √((2k-1)(2k+1)) = √(4kk-1) < 2k, (左辺) = {√(1・3)/2}{√(3・5)/4}…{√((2n-1)(2n+1))/(2n)} / √(2n+1) < 1/√(2n+1) < 1/√(2n) = 0.001 (別法) Stirling の公式から (左辺) = (2n-1)!! / (2n)!! = (2n-1)!! / {(2^n) n!} = (1/4)^n・C(2n,n) = 1/√(nπ)・{1 - 1/(8n) + 1/(128n^2) + 5/(1024n^3) - …… } < 1/√(nπ) = 1/√(500000π) = 0.00079788456080 なお、(左辺) = 0.00079788436133 コレクションになかったのを拾い集めてきた。(A1)以外は、たぶん過去スレにもないと思ふ。 【絶対値絡み】 (A1) a, b, c >0 に対して、|(a-b)/(a+b)| + |(b-c)/(b+c)| ≧ |(a-c)/(a+c)| (A2) [宜蘭 2007] 相異なる a, b, c >0 に対して、|(a+b)/(a-b) + (b+c)/(b-c) + (c+a)/(c-a)| > 1 (A3) [疑問] a, b, c >0 に対して、|(a-b)/(a+b) + (b-c)/(b+c) + (c-a)/(c+a)| のとりうる値の範囲は? 【分数式とか】 (B1) [中国 2008] a, b, c >0 に対して、ab/c + bc/a + ca/b ≧ 2*(a^3 + b^3 + c^3)^(1/3) (B2) [宜蘭 2010] a, b, c >0 に対して、1/(a^2) + 1/(b^2) + 1/(c^2) + 1/{(a+b+c)^2} ≧ (7/25)*{1/a + 1/b + 1/c + 1/(a+b+c)}^2 (B3) [IMO short list 2008] a, b, c, d >0 に対して、(a-b)(a-c)/(a+b+c) + (b-c)(b-d)/(b+c+d) + (c-d)(c-a)/(c+d+a) + (d-a)(d-b)/(d+a+b) ≧ 0 (B4) [不等式bot] a, b >0 に対して、 (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3 + 9(abc)^2 + abc(a^3 + b^3 + c^3 + 9abc) ≧ 3abc(a+b)(b+c)(c+a) 不等式botってのを最近見つけたんだけど、何これ? botって何ぞや? 同じ問題を繰り返し吐き出してるから、自動なのか? 登録してある問題をダブりなしに全部見てみたい。 【√がらみ】 (C1) [宜蘭 2008] a, b, c >0 に対して、次式をみたす実数 k の最小値を求めよ。 a√b + b√c + c√a ≦ k√{(a+b)(b+c)(c+a)} (C2) [香佐富斯坦 2010] a, b >0 に対して、 √{(a^2-a+1)(b^2-b+1)} + √{(a^2+a+1)(b^2+b+1)} ≧ 2(x+y) (C3) [スポック 2012] a, b, c >0 に対して、 (a+b)√{(b+c)(c+a)} + (b+c)√{(c+a)(a+b)} + (c+a)√{(a+b)(b+c)} ≧ 4(ab+bc+ca) (C4) [中国 2012] a, b, c∈[0,1] のとき、√|a-b| + √|b-c| + √|c-a| の最大値を求めよ。 (C5) [波蘭 2004] a, b, c∈R に対して、 √(2a^2+2b^2) + √(2b^2+2c^2) + √(2c^2+2a^2) ≧ √{3(a+b)^2 + 3(b+c)^2 + 3(c+a)^2} (C6) [墺太利 2008] a, b, c >0、a+b+c=1 に対して、 √{a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b)} ≦ 1/3 (C7) [土耳古 2005] a, b, c, d ∈R に対して、 √(a^4 + c^4) + √(a^4 + d^4) + √(b^4 + c^4) + √(b^4 + d^4) ≧ (2√2)*(ad+bc) 【微積分絡み】 (D1) [Putnum 1999] 実関数 f がC^3級で、任意の x∈R に対して、 0 < f'(x)、 0 < f''(x)、 0 < f'''(x) ≦ f(x) をみたすとき、f'(x) < 2f(x) を示せ。 (D2) [AoPS] f は [0,1] で単調増加な凸関数で、f(0)=0、f(1)=1 をみたす。 g を fの逆関数とするとき、x^2 ≧ f(x)g(x) を示せ。 (D3) [近大 2008] 実関数 f がC^2級で、任意の x∈R に対して f''(x)≧f(x) をみたすとき、 f(x) ≧ f(0)*{e^x + e^(-x)}/2 + f'(0)*{e^x - e^(-x)}/2 (D4) [山梨医改、不等式bot] f(0) = f(1) = 0、f'は[0,1]で連続のとき、∫[0,1] {f'(x)}^2 dx ≧ (π^2)*∫[0,1] {f(x)}^2 dx (D5) [京大院 2011] 実連続関数 f,φ は区間[a,b]上で狭義単調増加のとき、 ∫[a,b] f(x)dx = 0 ならば、∫[a,b] f(x)φ(x)dx > 0 を示せ。 (D6) [羅馬尼亜 2004] fが[0,1]で積分可能で、∫[0,1] f(x)dx = ∫[0,1] xf(x)dx = 1 のとき、∫[0,1] {f(x)}^2 dx ≧ 4 ;ヾ ;ヾ ;";ヾ;" ;ヾ ;ヾ ; ;ヾ ;ヾ ;ヾ";ヾ;ヾ ';ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ.;ヾ ';ヾ ;ヾ ;ヾ;ヾ ';ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ"゙ ""ヾ゙;ヾ〃;ヾ ;ヾ゙;ヾ ;ヾ ;ヾ"〃ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ;ヾ "';ヾ;ヾ ;ヾ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;//;ヾ;ヾ〃゙;ヾ ;ヾ;ヾ" """;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ" ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ;ヾ" ""ヾ;ヾ ;ヾ ;ヾ ゙;ヾ〃ミヾ ;ヾ゙;ヾ ;ヾ 〃;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ;ヾ ;ヾ ;ヾ 〃;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ" "" ;ヾ ;ヾ゙ヾ ;ヾ ;ヾ;ヾ"゙ "iヾ;ヾ;ヾ" ゙ヾ;ヾ;ヾ" "" 'ヾ;ヾ" || l | ゙|/;ヾ" " " |l i l゙l| ,,,, ",,,," ,,, " ∧ ∧ ,,, |l | ゙ || '' ,, " " ,, 春は不等式! ( ゚∀゚)∬ ノノ 从ヾ ヽ、 ,,, '' やうやう白くなりゆく山際 '' ` ` / (_)旦. / 少し明かりて、 / / '''' "" 紫だちたる雲の細くたなびきたる  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ >>520 (A2) [155] (左辺) = |(p+q)/(p-q)|, ここに p = aab+bbc+cca -3abc ≧ 0,q = abb+bcc+caa -3abc ≧ 0, q-p = (a-b)(b-c)(c-a) = , 佐藤(訳) 問題3.103 (A3) 絶対値の中身 = (a-b)(b-c)(c+a)/{(a+b)(b+c)(c+a)}, -1 〜 +1 (B1) [96] (ab/c + bc/a + ca/b)^3 ≧ 8(aaa+bbb+ccc) + 3abc, bc/a=x,ca/b=y,ab/c=z とおく。 (B2) [198] a+b+c = s,1/a+1/b+1/c = 3/h とおく。 s-3h ≧ 0, (左辺) ≧ 3/hh + 1/ss, (右辺) = (7/25)(3/h+1/s)^2, (左辺) - (右辺) ≧ 6(2s-h)(s-3h)/(5hs)^2 ≧ 0, 等号成立は s-3h = 0,a=b=c. (B3) [100] a-c,b-d の2次形式として正定値。 (B4) [107] (左辺) - (右辺) = (sssu+ttt+27uu) - 9stu ≧0 (←AM-GM) ここに、s = a+b+c、t = ab+bc+ca、u = abc. >>521 (C1) [70] コーシーにより、 (左辺)^2 ≦ (a+b+c)(ab+bc+ca) = (a+b)(b+c)(c+a) + abc ≦ (9/8)(a+b)(b+c)(c+a), K = 3/√8. 佐藤(訳) 問題3.113 (C2) [114] (左辺)^2 = 2{(aa+1)(bb+1) + ab + √(a^4+aa+1)√(1+bb+b^4)} = 2{(aa+3ab+bb) + (ab-1)^2 + √(a^4+aa+1)√(1+bb+b^4)} ≧ 2{(aa+3ab+bb) + (aa+ab+bb)} = 4(a+b)^2 (←コーシー) 等号成立は xy=1. (C3) [16] (a+b)√{(b+c)(c+a)} ≧ (a+b){c+√(ab)} ≧ (a+b)c + 2ab, 循環的にたす。 (C4) [62] bはaとcの中間にあるとする。 √|a-b| + √|b-c| + √|c-a| ≦ (1+√2)|c-a| ≦ 1 + √2、 等号は(a,b,c)=(0,1/2,1) (C5) [86] 2√{3(aa+bb+cc)} ≧ √(2aa+2bb) + √(2bb+2cc) + √(2cc+2aa) ≧ √{3(a+b)^2+3(b+c)^2+3(c+a)^2} ≧ 2(a+b+c), (左辺)^2 = 4(aa+bb+cc) + 4√(aa+bb)√(bb+cc) + … + … ≧ 4(aa+bb+cc) + 2(a+b)(b+c) + 2(b+c)(c+a) + 2(c+a)(a+b) = 3(a+b)^2 + 3(b+c)^2 + 3(c+a)^2 = (中辺)^2. (C6) [49] f(x) = (1-x)log(x) ≦ -(1-x)^2 は 0<x<1 で上に凸。 f(a) + f(b) + f(c) ≦ 3f((a+b+c)/3) = 2log(1/3) (C7) [71] √(xx+yy) ≧ (x+y)/√2 を使う。 >>522 (D1) [143] 未だ解けぬ〜 (D2) [164] {f(x)/x} ' = {xf '(x) - f(x)}/xx =∫[0→x] {f '(x) - f '(t)}dt/xx > 0(←fは凸) f(x)/x は単調増加, x < g(x) < 1, f(x)/x ≦ f(g(x))/g(x) = x/g(x), (D3) [144] 0 ≦∫[0,x] {f ''(t) - f(t)}sinh(x-t)dt = [ f(t)cosh(x-t)+f '(t)sinh(x-t) ](t=0,x) = f(x) - f(0)cosh(x) - f '(0)sinh(x). (D4) [121] (Wirtingerの不等式) g(x) = cot(x)とおく。 g '(x) + g(x)g(x) = -1, [f(x)f(x)g(x)](x=0-π) = 0, ∴ 0 ≦∫{f '(x)−f(x)g(x)}^2 dx = ∫f '(x)f '(x)dx - [f(x)f(x)g(x)](x=0-π) + ∫f(x)f(x){g '(x) + g(x)g(x)}dx = ∫f '(x)f '(x)dx - ∫f(x)f(x)dx, 大関・青柳「不等式」槇書店 p.204 (D5) [211] 中間値の定理から、a<c<b なるcがあって f(c)=0, 単調性から、(x-c)f(x)≧0、(x-c){φ(x)-φ(c)}≧0, これを入れる。 (D6) [54] 0 ≦∫{f(x)+2-6x}^2 dx = ∫f(x)^2 dx + 4∫f(x)dx -12∫f(x)・x dx +4∫(1-3x)^2 dx = ∫f(x)^2 dx + 4 -12 +4. [ ]内は Inequalitybot の番号ですぅ。 (C8) [月即別 2013] [187] a≧b≧0 のとき、(a^2+b^2)^(1/2) + (a^3+b^3)^(1/3) + (a^4+b^4)^(1/4) ≦ 3a+b >>527 (C8) [187] (a^2 + b^2)^(1/2) ≦ a + (√2−1)b, (a^3 + b^3)^(1/3) ≦ a + {2^(1/3)−1}b, (a^4 + b^4)^(1/4) ≦ a + {2^(1/4)−1}b, 辺々たす。 (左辺) ≦ 3a + 0.8633417b >>87 a^(2/3) = A,b^(2/3) = B,c^(2/3) = C とおくと、 aa+bb+cc - 2(ab+bc+ca) + 2abc+1 ≧ A^3 + B^3 + C^3 - 2{AB(A+B) +BC(B+C) +CA(C+A)} + 3ABC = 兩3(A,B,C) >>513 = F_1(A,B,C) ≧ 0, >>163 〔Turkevici の不等式〕 - 改 a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + 2abcd - {ab(aa+bb) +ac(aa+cc) +ad(aa+dd) +bc(bb+cc) +bd(bb+dd) +cd(cc+dd)}/2 = a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + 2abcd - {(a^3)(b+c+d) -(b^3)(c+d+a) -(c^3)(d+a+b) -(d^3)(a+b+c)}/2 = (1/2)兩4 ≧ 0, >>513 >>163 〔Turkevici の不等式〕- 改 a^4 + b^4 + c^4 + d^4 + 2abcd - {ab(aa+bb) +ac(aa+cc) +ad(aa+dd) +bc(bb+cc) +bd(bb+dd) +cd(cc+dd)}/2 = {3(a^4 + b^4 + c^4 + d^4) -(a+b+c+d)(a^3+b^3+c^3+d^3) + 4abcd}/2 = (1/2)兩4 ≧ 0 >>513 >>515 a^(10/3) = A,b^(10/3) = B,c^(10/3) = C とおくと本題は (A^3+B^3+C^3)^2 ≧ 3(A^4+B^4+C^4) 〔補題〕 (A^3+B^3+C^3)^2 ≧ (AB+BC+CA)(A^4+B^4+C^4) m = min{A,B,C} とおき、 {A,B,C} = {m,m+x,m+y} (x≧0,y≧0) とする。 (左辺) - (右辺) = (A^3+B^3+C^3)^2 - (AB+BC+CA)(A^4+B^4+C^4) = (m^4)(xx-xy+yy) + (2m^3)xy(x+y) + (2m^2){2xx(x-y)^2 +5xxyy +2yy(x-y)^2} + m(x+y){xx(2x-2.5y)^2 +(7/2)xxyy +yy(2.5x-2y)^2} + (x-y)(x^5-y^5) + 2(xy)^3 ≧ 0, >>515 >>533 〔補題〕 (A^3+B^3+C^3)^2 ≧ (AB+BC+CA)(A^4+B^4+C^4) (左辺) - (右辺) = F_0(A,B,C) F_0(AA,BB,CC) + (ABC)^2 F_{-2}(A,B,C) ≧ 0, F_0(A,B,C) = (A-B)(A-C) + (B-C)(B-A) + (C-A)(C-B) = {(A-B)^2 + (B-C)^2 + (C-A)^2}/2 ≧ 0, F_{-2}(A,B,C) = (A-B)(A-C)/AA + (B-C)(B-A)/BB + (C-A)(C-B)/CC = ABC F_1(1/A,1/B,1/C) ≧ 0, >>533 >>534 〔補題〕 1≦n≦3,A〜C≧0 のとき (A^n + B^n + C^n)^2 ≧ (AB+BC+CA) {A^(2n-2)+B^(2n-2)+C^(2n-2)} ≧ 3ABC {A^(2n-3)+B^(2n-3)+C^(2n-3)}, 右側はチェビシェフなど。 >>533 >>534 >>535 〔補題〕 1≦n≦5,A〜C≧0 のとき (A^n + B^n + C^n)^2 ≧ 3ABC {A^(2n-3) + B^(2n-3) + C^(2n-3)}, (例) n=3 のとき (左辺) - (右辺) = (A^3 +B^3 +C^3) (A^3 +B^3 +C^3 -3ABC) ≧ 0, n=4 のとき (左辺) - (3/2) {(a^3)(b+c) + (b^3)(c+a) + (c^3)(a+b)} = (1/2) {(aa-ab+bb)(a-b)^2 + (bb-bc+cc)(b-c)^2 + (cc-ca+aa)(c-a)^2} ≧ 0, ここに、a=AA,b=BB,c=CC. (3/2) {(a^3)(b+c) + (b^3)(c+a) + (c^3)(a+b)} - (右辺) = (3/2) {(A^6)(B-C)^2 + (B^6)(C-A)^2 + (C^6)(A-B)^2} ≧ 0, 三角形の辺長 a、b、c に対して、 {√(a+b-c)}/(√a + √b - √c) + {√(b+c-a)}/(√b + √c - √a) + {√(c+a-b)}/(√c + √a - √b) ≦ 3 >>537 [6] A = √b+√c-√a > 0, B = √c+√a-√b > 0, C = √a+√b-√c > 0, とおく。 b+c-a = AA - (A-B)(A-C)/2, √(b+c-a) ≦ A - (A-B)(A-C)/4A, (左辺) = √(b+c-a) /A + √(c+a-b) /B + √(a+b-c) /C ≦ 3 - (A-B)(A-C)/(4AA) - (B-C)(B-A)/(4BB) - (C-A)(C-B)/(4CC) = 3 - (1/4) F_{-2}(A,B,C) = 3 - (ABC/4) F_1(1/A,1/B,1/C) ≦ 3. IMOSL-2006 予選 A.6、JMO春合宿 文献[8] 安藤 (2012),p.147 例題3.2.3(9), http://www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式1-307、434、437 ( ゚∀゚) いつも素晴らしいデスネ。GWに精読させていただきます。 実数 a_k、b_k (1≦k≦n)) に対して、 1 + Σ[k=1 to n] (a_k + b_k)^2 ≦ (4/3)*{1 + Σ[k=1 to n] (a_k)^2}*{1 + Σ[k=1 to n] (b_k)^2} 任意の m、n∈N (m > n) に対して、 lcm(m, n) + lcm(m+1, n+1) > 2mn/{√(m-n)} >>540 A = Σ[k=1,n] (a_k)^2, B = Σ[k=1,n] (b_k)^2, C = Σ[k=1,n] a_k b_k, とおく。 A+B-2C = Σ[k=1,n] (a_k - b_k)^2 ≧ 0, AB-CC = Σ[1≦j<k≦n] (a_j b_k - a_k b_j)^2 ≧ 0 (←コーシー) (右辺) - (左辺) = (4/3)(1+A)(1+B) - (1+A+B+2C) = (1/3) (1+A+B+4AB-6C) = (1/3) {(A+B-2C) + 4(AB-CC) + (1-2C)^2} ≧ 0, 等号成立は a_k = b_k,A = B = C = 1/2. >>541 gcd(m,n) | (m-n) gcd(m+1,n+1) | (m-n) 左辺は互いに素ゆえ、 (←背理法で) gcd(m,n)gcd(m+1,n+1) | (m-n) lcm(m,n) + lcm(m+1,n+1) = mn/gcd(m,n) + (m+1)(n+1)/gcd(m+1,n+1) > mn{1/gcd(m,n) + 1/gcd(m+1,n+1)} > 2mn/√{gcd(m,n)gcd(m+1,n+1)} (←AM-GM) ≧ 2mn/√(m-n), >>374 >>398 >>399 >>416 >>417 nΣ[k=1,n] s_k (a_k)^2 ≧ M_n (s_n)^3, とおく。 M_2 = 0.7377393811182 = 2(47-14√7)/27 (a,b) =(√7 -1,4-√7)(3+√7,2+√7) M_3 = 0.6481616033162 (a,b,c) = (1.38436,1.13916,1) M_4 = 0.60233351875 (a,b,c,d) = (1.52472,1.25465,1.10139,1) M_5 = 0.574255 M_6 = 0.5551782 M = 0.444444 = 4/9 (n→∞), >>544 Memo. 漸化式は a_{n+1} = (1/2) {√(2x-1) - 1} s_n, s_{n+1} = s_n + a_{n+1}, M_n = (n/3) (x-1), ここに x = (1 + a_n/s_n)^2. (例) M_1 = 1 a_1 = s_1 = 1 M_2 = 2(47-14√7)/27 = 0.7377393811182 a_2 = (√7 -1)/2 = 0.8228756555323 s_2 = (√7 +1)/2 = 1.8228756555323 M_3 = 0.64816160331616 a_3 = 0.72235563718495 s_3 = 2.54523129271725 M_4 = 0.60233351872589 a_4 = 0.65585825517001 s_4 = 3.20108954788726 M_5 = 0.57425545264547 a_5 = 0.60768519695068 s_5 = 3.80877474483794 M_6 = 0.55517800140267 a_6 = 0.57066170678793 s_6 = 4.37943645162587 本題から逸れてしまった… >>374 (改) Σ[k=1,n] (s_{k-1} + s_k)/2 ・ (a_k)^2 > (4/9n) (s_n)^3, 便宜上 s_0 = 0 とおいた。 * 中点 (s_{k-1} + s_k)/2 で接線を曳く。 >>544 >>545 Memo. の続き M_10 = 0.51565443182467 a_10 = 0.47804498656917 s_10 = 6.41086198943751 M_100 = 0.45433807243808 a_100 = 0.21749813721698 s_100 = 32.0226683930223 M_1000 = 0.44575956171259 a_1000 = 0.10051892239154 s_1000 = 150.383787216053 M_10000 = 0.44460977509949 a_10000 = 0.04662595061307 s_10000 = 699.152499550131 >>545 Memo. (略証) nについての帰納法による。 a_{n+1} = A と略す。 まず s_n を固定して a_1 〜 a_n を動かしたときの最小値は、 Σ[k=1,n+1] s_k (a_k)^2 - μ(s_{n+1})^3 = Σ[k=1,n] s_k (a_k)^2 + (s_n + A)A^2 - μ(s_n + A)^3 ≧ (M_n /n)(s_n)^3 + (s_n + A)A^2 - μ(s_n + A)^3 = f(A) つまり a_1 〜 a_n の比はnの場合と同じでよい。 次に f(A) = 0 が重根をもつようにμを決めるのだが、言い換えれば f(A) = 0 と f '(A) = 0 が共通根をもつことである。 f(A) = (M_n /n)(s_n)^3 + (s_n + A)A^2 - μ(s_n + A)^3 = 0, f '(A) = 2(s_n)A + 3A^2 - 3μ(s_n + A)^2 = 0, から A とμを決める。 まずμを消去すれば A(s_n + A) - 3M_n /(2n・s_n) = 0, ∴ A = (1/2){√[1 + 6M_n /(n・(s_n)^3)] -1}s_n, これを使うとμが求まり M_{n+1} = (n+1)μ = {(n+1)/3}([1 + A/s_{n+1}]^2 - 1), s_{n+1} = s_n + A, と表わせる。 〔問題8〕 閉区間 [0,1] で定義された連続関数f(x)は、次の条件を満たすとする。 ある正の実数Lが存在して、[0,1] 上のすべての実数xにおいて 0 ≦ f(x) ≦ L∫[0,x] f(t)dt が成り立つ。 このとき、[0,1] 上のすべての実数xにおいてf(x)=0であることを示せ。 http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai8.php 〔問題12〕 p_1,p_2,…,p_k を m 以下のすべての素数とする。 この時、以下の不等式が成り立つことを示せ。 log(m) - 1 ≦ (1/m)log(m!) < Σ[i=1,k] log(p_i)/(p_i - 1) http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai12.php 〔問題18〕 正の実数 a,b,c が ab+bc+ca=1 を満たすとき (b+c) {√(aa+1) +a} ≧ 2, (c+a) {√(bb+1) +b} ≧ 2, (a+b) {√(cc+1) +c} ≧ 2, が成り立つことを示せ。 http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai18.php 〔問題32〕 nを2以上の整数とする。正の実数 a_1,a_2,…,a_n に対して不等式 Σ[k=1,n] (kk-2k+2)a_k + Σ[k=1,n-1] (1/a_k)(a_{k+1})^2 ≧ (n^2)a_n が成り立つことを示せ。また、等号が成立する条件を求めよ。 http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai32.php >>548 訂正スマソ A (s_n + A) - (3M_n /2n) (s_n)^2 = 0, ∴ A = (1/2) {√(1 + 6M_n /n) - 1} s_n, [bot 5] a, b, c≧0 のとき、a(a-b)(a-2b) + b(b-c)(b-2c) + c(c-a)(c-2a) ≧0 (1) この証明は? (2) a(a-mb)(a-nb) + … とイパーン化できるでござるか? >>552 [111] (1) min{a, b, c} = M, {a, b, c} = {M, M+x, M+y} とすると、 (左辺) = 2M(xx-xy+yy) + x(x-2y)^2 + (x-y)^2・y ≧0. USA.ELMO-2009 day1-Q.3 >>552 [111] (2) m(m+1) ≦ 3 + 4√2 のとき a(a-b)(a-mb) + b(b-c)(b-mc) + c(c-a)(c-ma) ≧ 0 m(m+1) = 3 + 4√2 の根は m_1 = -{√(13+16√2) +1}/2 = -3.4844353317658568752 m_2 = {√(13+16√2) -1}/2 = 2.4844353317658568752 等号成立条件 ・m_1 < m < m_2 のとき (a,b,c) = (1,1,1) ・m = m_1,m_2 のとき (a,b,c) = (1,1,1)、(0,t1,1)、(0,1,t2) とそのrotation t_1,t_2 は tt - (1+√2)t + 1 = 0 の根 t_1 = {1+√2 -√(2√2-1)}/2 = 0.531010056459569184633 t_2 = {1+√2 +√(2√2-1)}/2 = 1.883203505913525864169 >>549 〔問題18〕 (a+b)√{(c+b)(c+a)} ≧ (a+b)(c+√ab) ≧ (a+b)c + 2ab, >>521 >>525 (C3) [16] と同じ。 〔問題〕 自然数nに対して (1) C[2n,n] = (2n)! / (n!)^2 ≧ 4^n / (2√n), (2) C[3n,n] = (3n)! / {n!・(2n)!} ≧ (27/4)^n ・4/(9√n), 等号成立は n=1 >>512 >>513 Janos Suranyi の不等式と云うらしい… >>556 (1) は >>474 >>476 >>495 と同様 (2) もnについての帰納法で C[3n+3,n+1] / C[3n,n] = {(3n+1)(3n+2)(3n+3)}/{(2n+1)(2n+2)(n+1)} = (27/4) {(n+1/3)(n+2/3)} / {(n+1/2)(n+1)} = (27/4) (N + 2/9) / {(n+1/2)(n+1)} ← N=n(n+1) とおいた。 > (27/4) (N + 1/8) / {(n+1/2)(n+1)} ≧ (27/4) √{N(N+1/4)} / {(n+1/2)(n+1)} = (27/4) (n+1/2)√{n(n+1)} / {(n+1/2)(n+1)} = (27/4) √{n/(n+1)}, により成立 >>556 の系 C[3n,2n] ≧ 4/(9√n)・(27/4)^n, C[3n-1,2n-1] = (2/3)C[3n,2n] ≧ (2/√n)・(27/4)^(n-1), x^2 + y^2 + z^2 ≧ xy + yz + zx + (3/4)*(x-y)^2 これって既出だっけ? >>569 [42] (xx+yy+zz) - (xy+yz+zx) = (3/4)(x-y)^2+(1/4)(x+y-2z)^2, でござる。 >>549 〔問題8〕の解答 h(x) = e^(-Lx) ∫[0,x] f(t)dt とおくと題意により h(x) ≧ 0 = h(0) …… (1) また h(x) は(0,1) 上で微分可能で h '(x) ≦ 0, ∴ h(x) = h(0) + ∫[0,x] h '(t)dt ≦ h(0) …… (2) (1) (2) により [0,1] 上で h(x) = h(0) = 0 が成り立つ。 したがって、[0,1] 上のすべての実数xにおいて 0 ≦ f(x) ≦ L ∫[0,x] f(t)dt = 0, より、f(x) = 0 である。 ■ http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai8.php >>549 〔問題12〕の解答 (左側) 任意の正の整数mに対し、 log(m!) = Σ[L=1,m-1] log(L+1) ≧ Σ[L=1,m-1] ∫[L,L+1] log(t)dt = ∫[1,m] log(t)dt = m{log(m) -1} +1, ∴ log(m) - 1 ≦ (1/m)log(m!) (右側) 実数xに対し、x以下の最大の整数を [x] で表わす。 また、0でない整数nと素数pに対し、v_p(n) で、nの素因数分解に現れるpの回数を表わすものとする。 ここで、m! はm以下の素数しか素因数に持たないので、 log(m!) = Σ[i=1,k] v_pi(m!) log(p_i) と表わされる。ここで、 v_p(m!) < m/(p-1) が分かるのでこれを上の式と組み合わせて (1/m)log(m!) < Σ[i=1,k] log(p_i)/(p_i -1) が示された。(終) http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai12.php >>549 〔問題32〕の解答 (a_{k+1})^2 / a_k ≧ 2k・a_{k+1} - kk・a_k, 辺々たして Σ[k=1,n-1] (a_{k+1})^2 / a_k ≧ Σ[k=2,n] 2(k-1) a_k - Σ[k=1,n-1] kk・a_k = nn・a_n - Σ[k=1,n] a_k - Σ[k=1,n] (k-1)^2・a_k = nn・a_n - 1 - Σ[k=1,n] (k-1)^2・a_k を導く。等号成立条件は、各 k=1,2,…,n-1 で a_{k+1} = k・a_k である場合だから、すべての i=1,2,…,n に対し a_i = (i-1)! /{Σ[k=1,n] (k-1)!} が成立することである。 http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai32.php (a^2 + b^2 + c^2)^2 - (ab+bc+ca)^2 ≧ (√6)(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) >>575 [192] 任意の実数a,b,cに対し、 (a-b)(a-c)(aa-bc)^2 + (b-c)(b-a)(bb-ca)^2 + (c-a)(c-b)(cc-ab)^2 ≧ 0, を示せ。 //www.casphy.com/bbs/highmath/不等式2-188 (じゅー) >>574 [104] s = a+b+c,t = ab+bc+ca,u = abc, = (a-b)(b-c)(c-a) とおく。 ss-3t≧0, (左辺) = (ss-2t)^2 -tt = (ss-t)(ss-3t) = (1/3){2ss + (ss-3t)}(ss-3t) ≧ {(2√2)/3}|s|(ss-3t)^(3/2), ≧ (√6)|s處, ∵ 4(ss-3t)^3 = 27刧 + {(a+b-2c)(b+c-2a)(c+a-2b)}^2 ≧ 27刧, 等号成立は等間隔かつ ss+3t = 0 より{1-√6,1,1+√6} http://www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式2-197 >>572 (右側) 補足 自然数nと素数pに対し、v_p(n) で、nの素因数分解に現れるpの回数を表わすものとする。 v_pi(m!) = [ m/p ]+ [ m/p^2 ] + [ m/p^3 ] + … + [ m/p^d ] ここに、d = [ log(n)/log(p) ]. これもルジャンドルの定理と云うらしい。 http://mathtrain.jp/legendretheorem 〔補題12〕 v_p(m!) < m/(p-1) (略証) d = [ log(n)/log(p) ] とおくと v_pi(m!) ≦ m/p + m/p^2 + m/p^3 + … + m/p^d < m/(p-1), a, b, c > 0 に対して、a/(b+c) + 20b/(c+a) + 17c/(a+b) > 8 best possible かどうか分からん B. 4931. Prove that if a, b, c are the sides of a triangle then {a^2(b+c) + b^2(a+c)} /(abc) > 3. http://www.komal.hu/feladat?a=honap& ;h=201802&t=mat&l=en B. 4925. http://www.komal.hu/feladat?a=honap& ;h=201801&t=mat&l=en B. 4953. http://www.komal.hu/feladat?a=honap& ;h=201804&t=mat&l=en P.1, Problem 1. https://archives.ust.hk/dspace/bitstream/9999/46212/1/math-02a-a109.pdf >>581 B.4925 (改) (KoMaL,h=201801) 0<a<n のとき a/{a^(n+1) + (n-a)} ≦ 1/n (略解) a^(n+1) -(n+1)a + n = (a-1){a^n + a^(n-1) + … + a -n} = Σ[k=1,n] (a-1)(a^k -1) ≧ 0, B.4931 (KoMaL,h=201802) {aa(b+c) + bb(a+c)}/abc > 3, (略解) aa(b+c) + bb(a+c) = ab(a+b-c) + (a-b)^2・c + 3abc ≧ 3abc, B.4953 (KoMaL,h=201804) log(n) + Σ[k=2,n] √{(k-1)/k} < Σ[k=2,n] √{k/(k-1)}, (略解) x>0 ⇒ x < sinh(x), a>1 ⇒ 2log(a) < a - 1/a, a = √{k/(k-1)} とおく。 log(k) - log(k-1) < √{k/(k-1)} - √{(k-1)/k}, k=2 から k=n までたす。 Math. Excalibur,Vol.21,No.4,p.1 (2018) Problem 1. a,b,c >0,a+b+c=1 のとき a√(2b-1) + b√(2c+1) + c√(2a+1) ≦ √{2-(aa+bb+cc)}, (略解) 関数f(x) = √x は上に凸ゆえ、Jensenで (左辺) ≦ √{a(2b+1) + b(2c+1) + c(2a+1)} = √{(a+b+c) + 2(ab+bc+ca)} / (a+b+c) = √{1 +2(ab+bc+ca)} = (右辺) 等号成立は (a,b,c) = (1/3,1/3,1/3) および (1,0,0) など。 >>579 左辺が最小になる点では (b+c)^2 : (c+a)^2 : (a+b)^2 = 1 : 20 : 17, (b+c) : (c+a) : (a+b) = √1 : √20 : √17, b+c = √1, c+a = √20, a+b = √17, a = (-√1 +√20 +√17)/2, b = (+√1 -√20 +√17)/2, c = (+√1 +√20 -√17)/2, (左辺) ≧ a√1 + b√20 + c√17 = √(1・20) +√(20・17) +√(17・1) -19 = 8.0343304952 >>579 >>583 b+c = A,c+a = B,a+b = C とおくと (左辺) = 1・(B+C-A)/(2A) + 20(C+A-B)/(2B) + 17(A+B-C)/(2C) = (1/2)(1・B/A + 20A/B) + (1/2)(20C/B + 17B/C) +(1/2)(1・C/A + 17A/C) - (1+20+17)/2 ≧ √(1・20) + √(20・17) + √(17・1) - 19 (← AM-GM) 等号成立は A:B:C = √1:√20:√17 >>486 >>487 (3) 文献[9] 佐藤(訳) (2013) p.48 演習問題 1.101 ・p=1,q=2 の例 文献[9] 佐藤(訳) (2013) p.48 例 1.6.7 及び p.131 問題 3.30 チェコ-スロバキアMO-1999 >>575 >>576 [192] 一次式:φ(x) = (a+b+c)x−(ab+bc+ca)により、 A = φ(a) = aa-bc, B = φ(b) = bb-ca, C = φ(c) = cc-ab. A - B = (a+b+c)(a-b)、etc. i)a+b+c≠0 のとき、 (左辺) = {AA(A-B)(A-C) + BB(B-C)(B-A) + CC(C-A)(C-B)}/(a+b+c)^2 = F_2(A、B、C)/(a+b+c)^2 ≧0、 ii)a+b+c=0 のとき、A=B=C. http://www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式2-188 一松のじっちゃんが「大学への数学2018年6月号」に不等式の記事を書いておられる。 エルデシュの不等式とか 不等式と聞ゐちゃあ捨て置けねゑ…。このためだけに買ってきた。 タイトル 「三角形に関する不等式のいくつか」、4ページ レムスの不等式と、求角不等式。 内角のcosの等式から、a^2+b^2+c^2 と8R^2の大小関係。 (中略) エルデシュの不等式。 過去スレで見たことある不等式。 あと、「老人のグチだが、(中略)近年お数学検定で、不等式の証明問題は成績が悪い傾向が見られる。」 とあるが、検定問題で出題されている不等式を全て公開してほしい。 ここで不等式解いてる人って50後半の会社員だったりする? >>589 数検専用スレ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512773695/ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1479394767/ へどうぞ。 〔問題〕 a_n = (1 + 1/n)^n, b_n = (1 + 1/n)^(n+1) (nは正の整数) とおくとき、nが増加すると a_n は増加し、b_n は減少することを証明せよ。 (数検2011-秋-1級-2次-Q2) >>589 (aa+bb+cc) - 8RR = 4RR {sin(A)^2 + sin(B)^2 + sin(C)^2 - 2} = 4RR {1 - cos(A)^2 - cos(B)^2 - cos(C)^2} = 8RR cos(A) cos(B) cos(C), 〔補題〕 A+B+C = π のとき cos(A)^2 + cos(B)^2 + cos(C)^2 + 2cos(A)cos(B)cos(C) = 1, 〔ライプニッツの不等式〕 9RR - (aa+bb+cc) = 9(OG)^2 ≧ 0, O:外心 G:重心 ・文献[9] 佐藤(訳) 朝倉書店 (2013) p.87-89 定理2.4.4 定理2.4.5 >>591 は相加-相乗平均(AM-GM)で出るらしい。 (出題者・談) {1,1,…,(n-1)/n} ⇒ a_n > a_{n-1} > … > a_1 = 2 {1,1,…,n/(n-1)} ⇒ b_n < b_{n-1} < … < b_1 = 4 しかし c_n = (1 + 1/n)^(n +1/2) が減少するのを出すのは難しい。 2項定理を使うか? >>594 2項定理により、 (1 - 1/nn)^(2n+1) = 1 -2/n + 1/nn -1/(3n^3) +2/(3n^4) -3/(5n^5) +53/(90n^6) -… < (1 - 1/n)^2 Crux PROBLEMS (2012年のが公開された。5年以内のはパスワードがないと見れない) 3690, 3703, 3706, 3709 https://cms.math.ca/crux/v38/n1/Problems_38_1.pdf 3712, 3715, 3719(←破棄) https://cms.math.ca/crux/v38/n2/Problems_38_2.pdf 3719(←Replacement), 3723, 3726, 3729 https://cms.math.ca/crux/v38/n3/Problems_38_3.pdf 3731, 3735, 3737, 3740 https://cms.math.ca/crux/v38/n4/Problems_38_4.pdf 3741, 3744, 3747, 3749 https://cms.math.ca/crux/v38/n5/Problems_38_5.pdf 3752, 3754, 3757, 3759 https://cms.math.ca/crux/v38/n6/Problems_38_6.pdf 3763, 3767, 3769 https://cms.math.ca/crux/v38/n7/Problems_38_7.pdf 3773, 3774, 3776, 3779 https://cms.math.ca/crux/v38/n8/Problems_38_8.pdf (3781), 3783, (3784), (3786), 3788, 3789 https://cms.math.ca/crux/v38/n9/Problems_38_9.pdf 3793, 3795, 3797, https://cms.math.ca/crux/v38/n10/Problems_38_10.pdf (*゚∀゚)=3ハァハァ >>597 から 3690.(v38_n1) Let a, b, and c be three distinct positive real numbers with a+b+c=s. Show that (5xx-6xy+5yy)(a^3+b^3+c^3) + 12(xx-3xy+yy)abc > (x-y)^2・s^3, 3709.(v38_n1) Let a, b, and c be non-negative real numbers, k and L≧0 and define (a+b)/2 - √ab = k^2, (a+b+c)/3 - (abc)^(1/3) = L^2. Prove that max(a,b,c) - min(a,b,c) ≧ (3/2)(k-L)^2. 3712.(v38_n2) Prove that for any positive numbers a,b,c √{a(aa+bc)/(b+c)} + √{b(bb+ca)/(c+a)} + √{c(cc+ab)/(a+b)} ≧ a+b+c. 3719.(v38_n3,Replacement) Prove that if a,b,c>0, then a/√{bb+(1/4)bc+cc} + b/√{cc+(1/4)ca+aa} + c/√{aa+(1/4)ab+bb} ≧ 2. 3723.(v38_n3) Let a,b,c be positive real numbers such that a+b+c=s. If n is a positive integer, prove that (3a)^n /{(b+s)(c+s)} + (3b)^n /{(c+s)(a+s)} + (3c)^n /{(a+s)(b+s)} ≧ (27/16)s^(n-2). 3731.(v38_n4) Let a,b,c be positive real numbers such that a+b+c=s. Prove that a^(n+1) + b^(n+1) + c^(n+1) ≧ (aa+bb+cc)^n / s^(n-1), for all non-negative integers n. 3737.(v38_n4) Four non-negative real numbers a,b,c,d are given. Show that 1/(a^3+b^3) + 1/(b^3+c^3) + 1/(c^3+d^3) + 1/(a^3+c^3) + 1/(b^3+d^3) + 1/(a^3+d^3) ≧ 243/{2(a+b+c+d)^3}, Equality: {a,b,c,d} = {0,1,1,1} 3741.(v38_n5) Find the largest value of a and the smallest value of b for which the inequalties ax/(a+xx) < sin(x) < bx/(b+xx) hold for all 0<x<π/2. 3744.(v38_n5) Let a,b,c be positive real numbers with sum s. Prove that (a^8+b^8)/(aa+bb)^2 + (b^8+c^8)/(bb+cc)^2 + (c^8+a^8)/(cc+aa)^2 ≧ (a^3+b^3+c^3-abc)s/4. 3752.(v38_n6) Show that if n≧2 is a positive integer then (1/2)(1 +1/n -1/nn)^2 < (1 - 1/2^3)(1 - 1/3^3) … (1 - 1/n^3). Crux mathematicorum, Vol.38 (2012)、一部改作 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
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