不等式への招待 第9章 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>480
左側:
y=√x は上に凸だから、接線が上。
√k > ∫[k-1/2,k+1/2]√x dx =(2/3){(k+1/2)^(3/2)-(k-1/2)^(3/2)},
右側:
y=√x は上に凸だから、割線が下。
{√k + √(k+1)}/2 < ∫[k,k+1] √x dx =(2/3){(k+1)^(3/2)- k^(3/2)},
ただし、1≦k≦4 は別途たす。 〔応用問題〕
{√k + √(k+1)}/2 < ∫[k,k+1] √x dx =(2/3){(k+1)^(3/2)- k^(3/2)},
を用いて次を示せ。
(2) √2 < 99/70 = 1.41428571… (k=8)
√2 > 1393/985 = 1.41421320… (k=49)
√2 < (19601/6)/2310 = 1.4142135642… (k=288)
(3) √3 < (1351/6)/130 = 1.73205128… (k=48)
(5) √5 < 2889/1292 = 2.236068111… (k=80)
(6) √6 < (485/6)/33 = 2.4494949… (k=24)
(7) √7 < 2024/765 = 2.645751634… (k=63)
(10) √10 > 117/37 = 3.16216216… (k=9)
√10 < (27379/6)/1443 = 3.1622776622… (k=360)
(11) √11 < 3970/1197 = 3.316624895… (k=99)
(17) √17 > 268/65 = 4.123076923… (k=16)
(37) √37 > 882/145 = 6.08275862… (k=36)
面白スレ26 - 109〜110,117 >>484 に追加
(15) √15 < 244/63 = 3.87301587… (k=15)
(35) √35 < 846/143 = 5.9160839… (k=35)
(101) √101 > 4030/401 = 10.049875311… (k=100) >>428
分子を変えた場合に最大最小値はどうなるのか気になるでござる ( ゚∀゚) ウヒョッ!
a、b、c、p、q >0 に対して、
(1) a/(pa+qb) + b/(pb+qc) + c/(pc+qa)
(2) b/(pa+qb) + c/(pb+qc) + a/(pc+qa)
(3) c/(pa+qb) + a/(pb+qc) + b/(pc+qa) ≧ 3/(p+q) >>486
(3)
c(pa+qb)+ a(pb+qc)+ b(pc+qa)=(p+q)(ab+bc+ca),
コーシーにより
(左辺)≧(a+b+c)^2 /{(p+q)(ab+bc+ca)}≧ 3/(p+q),
でござるか。 >>483
左側:
積分計算を避けるなら、
AM-GM より
(kk -1/4)^3 ≧(kk)(kk -3/8)(kk -3/8),
{(k+1/2)^(3/2) - (k-1/2)^(3/2)}^2 = 2k(kk +3/4) -2(kk -1/4)^(3/2)
≦ 2k(kk +3/4) -2k(kk -3/8)
= 9k/4,
√k ≧ (2/3){(k+1/2)^(3/2) - (k-1/2)^(3/2)},
以下は同様。 >>483
右側:
{√(k+1)- √k}^2 = 1/{√(k+1)+ √k}^2 ≧ 1/{2(k+1)+ 2k}= 1/{2(2k+1)},
より
(右辺)^2 -(左辺)^2 =(4/9){(k+1)^(3/2)- k^(3/2)}^2 -(1/4){√k + √(k+1)}^2
=(1/36)[{4(2k+1)^2 +5}{√(k+1)- √k}^2 - 2(2k+1)]
≧(1/36)[{4(2k+1)^2 +5}/{2(2k+1)}- 2(2k+1)]
=(5/36)/{2(2k+1)},
{√k + √(k+1)}/2 <(2/3){(k+1)^(3/2)- k^(3/2)},
以下は同様。 >>486
(1) 3/p > a/(pa+qb) + b/(pb+qc) + c/(pc+qa) > 0
(2) 3/q > b/(pa+qb) + c/(pb+qc) + a/(pc+qa) > 0
( ゚∀゚) プゥ
ノヽノ) =3'A`)ノ ヒャー
くく へヘノ >>486
(1) Max{2/p,3/(p+q)} > a/(pa+qb) + b/(pb+qc) + c/(pc+qa) > min{3/(p+q),1/p},
(2) Max{2/q,3/(p+q)} > b/(pa+qb) + c/(pb+qc) + a/(pc+qa) > min{3/(p+q),1/q},
(3) c/(pa+qb) + a/(pb+qc) + b/(pc+qa) ≧ 3/(p+q), >>487 >>428 >>429
ドイツ Team Selection Test 2010 Vaimo 8, 問2
twitter.com/Inequalitybot/ [129] >>492
ど、どう証明するのかな? ・・・・・・・・ゴクリ。
ヽ|/
/ ̄ ̄ ̄\
/ ヽ
/ \ / |
| (●)(●)|‖|
| / ̄⌒ ̄ヽ U|
||i二二ヽ| |
|U\___ノ |
| | >>474
(1)
2^(2n-1) /√n < C[2n,n] < 2^(2n) /√(πn),
大関:参考書[3]、p.53 例題10 (1987)
W.F.Sierpinski: "Elementary theory of numbers",PWN-Polish Sci. Publ. (1964) 〔問題983〕
実数 0 < x < π/6 に対して、 不等式
sin(x) < 2x/(x +π/2)
を示せ。
分かスレ441-983、分かスレ442-10,28,47 >>496
問題だけじゃなく、証明も貼っておこうぜ! ここは不等式のコレクターのためのスレなんだからな。
> y=π/2 で成り立てば、
> 2{1-sin(x)}/(π/2 -x) > sin(x)/x, >>28
> x/sin(x) > (π/2 +x)/2,
> ならば十分。そこで
> g(x) = x/sin(x),
> とおく。
> |x|<π/2 で g(x) は下に凸。 … (*)
> g(π/6)=π/3 と g(π/2)=π/2 を通る割線を曳く。
> z = (π/2 +x)/2,
> -π/2 < x < π/6 のとき g(x) > (π/2 +x)/2,
>
> (*)
> 1-cos(x) ≧ 0,
> x-sin(x) = ∫[0,x] {1-cos(t)} dt > 0 (x>0)
> sin(x)-x・cos(x) = ∫[0,x] t・sin(t) dt > 0 (0<x<4.4934094579)
> より
> g '(x) = {sin(x)-x・cos(x)}/sin(x)^2,
> g "(x) = {1-cos(x)}/sin(x)・g '(x) + {1+cos(x)}{x-sin(x)}/sin(x)^3 > 0, 〔問題〕
(1)
f(x)g(x) = 1ならば
f '(x)g '(x) < 0,
さらに f(x)f "(x) < 0 のとき
f "(x)g "(x) < 0,
(2)
g(x) = x/sin(x) について、
|x| < 2.081575977818 ⇒ g "(x) > 0,
分かスレ442-069 >>499
(1) そうです。(微分可能な…)
(2)
|x|< 2.0815759778181 ⇒ {sin(x)/x}" < 0
を使っていいらしい。 非負実数 a_1、…、a_n に対して、
(Σ[k=1 to n] a_k){Σ[k=1 to n] (a_k)^(n-1)} ≦ n*Π[k=1 to n]a_k + (n-1)*Σ[k=1 to n] (a_k)^n
昔の手書きメモから発掘、詳細不明 ( ゚∀゚) ウヒョッ >>512
兩n = (右辺) - (左辺)
= (n-1)Σ[k=1,n] (a_k)^n - {Σ[k=1,n] a_k}{Σ[k=1,n] (a_k)^(n-1)} + n・a_1・a_2…a_n,
a_1 = a,a_2 = b,a_3 = c,a_4 = d,a_5 = e,
とおいてシューア展開すると、
兩1(a) = 0,
兩2(a,b) = 0,
兩3(a,b,c) = F_1(a,b,c)
兩4(a,b,c,d) = (2/3){F_2(a,b,c) + F_2(b,c,d) + F_2(c,d,a) + F_2(d,a,b)} + (1/3){F_1(a,b,c)d + F_1(b,c,d)a + F_1(c,d,a)b + F_1(d,a,b)c},
兩5(a,b,c,d,e) = (1/2)Σ[a,b,c] F_3(a,b,c) + (1/6)Σ[a,b,c] F_2(a,b,c)(d+e) + (1/6)Σ[a,b,c] F_1(a,b,c)de,
ここに Σ[a,b,c] は C[5,3] = 10項の和 >>513
〔Schurの不等式〕
F_m(x,y,z) = (x^m)(x-y)(x-z) + (y^m)(y-z)(y-x) + (z^m)(z-x)(z-y) ≧ 0,
文献[3] 大関(1987) p.28
文献[8] 安藤(2012) p.27〜28
文献[9] 佐藤(訳)(2013) p.40 a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、 (a^10 + b^10 + c^10)^2 ≧ 3*(a^13 + b^13 + c^13).
┏ ━ゝヽ''人∧━∧从━〆A!゚━━┓。
< ゝ\',冫。’ ,,,, ∧,,∧ ' ゛△´ ' ゝ'┃
∇ ┠─Σ┼ ,ニ,◎、・ω・') 冫/ そ', .┨'゚,。
.。冫▽ < 冫 r'/ミ/〉⊂ノ 乙 ≧ ▽
。 ┃ Σ. 〈/")、〉ノノ 、'’ ≦ │て く
┠─ム┼ (_/_iiiノ 、,,’.┼ ァ Ζ┨ ミo'’`
.。○.〆 `、,~´+ ! .! √ ▽ ',! ヽ.◇ o.┃
┗〆━┷. Z,..`"┷━''o.ヾo┷+\━┛,゛; 兩n = Σ[m=1,n-2] 2(n-m-2)! m!/(n-1)! Σ[a,b,c] F_m(a,b,c) S_{n-m-2}(A-{a,b,c}) ≧0,
A = {a_1,a_2,…,a_n}
納a,b,c] は C[n,3] = n(n-1)(n-2)/6 項の和。
S_j(B) は集合Bの要素で作ったj次の基本対称式
A = {a_1,a_2,…,a_n}
ついで乍ら
納a,b,c] F_m(a,b,c) = {m(m+1)2}Σ[k=1,n] (a_k)^(m+2) S_{n-m-2}(A-{a_k})
- m(n-m-1)納k=1,n] (a_k)^(m+1) S_{n-m-1}(A-{a_k})
+ {(n-m)(n-m-1)/2}納k=1,n] (a_k)^m S_{n-m}(A-{a_k}) >>513
兩n = Σ[m=1,n-2] 2(n-m-2)! m!/(n-1)! Σ[a,b,c] F_m(a,b,c) S_{n-m-2}(A-{a,b,c}) ≧0,
A = {a_1,a_2,…,a_n}
Σ[a,b,c] は C[n,3] = n(n-1)(n-2)/6 項の和。
S_j(B) は集合Bの要素で作ったj次の基本対称式
A = {a_1,a_2,…,a_n}
ついで乍ら
Σ[a,b,c] F_m(a,b,c) = {m(m+1)2}Σ[k=1,n] (a_k)^(m+2) S_{n-m-2}(A-{a_k})
- m(n-m-1)Σ[k=1,n] (a_k)^(m+1) S_{n-m-1}(A-{a_k})
+ {(n-m)(n-m-1)/2}Σ[k=1,n] (a_k)^m S_{n-m}(A-{a_k}) (1/2)*(3/4)*…*(999999/1000000) < 1/1000 を示せ。
∧_∧
( ´・ω・) 先月の数蝉に不等式の問題があったような…
(つ旦と)
と_)_) >>518
√((2k-1)(2k+1)) = √(4kk-1) < 2k,
(左辺) = {√(1・3)/2}{√(3・5)/4}…{√((2n-1)(2n+1))/(2n)} / √(2n+1)
< 1/√(2n+1)
< 1/√(2n)
= 0.001
(別法)
Stirling の公式から
(左辺) = (2n-1)!! / (2n)!!
= (2n-1)!! / {(2^n) n!}
= (1/4)^n・C(2n,n)
= 1/√(nπ)・{1 - 1/(8n) + 1/(128n^2) + 5/(1024n^3) - …… }
< 1/√(nπ)
= 1/√(500000π)
= 0.00079788456080
なお、(左辺) = 0.00079788436133 コレクションになかったのを拾い集めてきた。(A1)以外は、たぶん過去スレにもないと思ふ。
【絶対値絡み】
(A1) a, b, c >0 に対して、|(a-b)/(a+b)| + |(b-c)/(b+c)| ≧ |(a-c)/(a+c)|
(A2) [宜蘭 2007]
相異なる a, b, c >0 に対して、|(a+b)/(a-b) + (b+c)/(b-c) + (c+a)/(c-a)| > 1
(A3) [疑問]
a, b, c >0 に対して、|(a-b)/(a+b) + (b-c)/(b+c) + (c-a)/(c+a)| のとりうる値の範囲は?
【分数式とか】
(B1) [中国 2008]
a, b, c >0 に対して、ab/c + bc/a + ca/b ≧ 2*(a^3 + b^3 + c^3)^(1/3)
(B2) [宜蘭 2010]
a, b, c >0 に対して、1/(a^2) + 1/(b^2) + 1/(c^2) + 1/{(a+b+c)^2} ≧ (7/25)*{1/a + 1/b + 1/c + 1/(a+b+c)}^2
(B3) [IMO short list 2008]
a, b, c, d >0 に対して、(a-b)(a-c)/(a+b+c) + (b-c)(b-d)/(b+c+d) + (c-d)(c-a)/(c+d+a) + (d-a)(d-b)/(d+a+b) ≧ 0
(B4) [不等式bot]
a, b >0 に対して、
(ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3 + 9(abc)^2 + abc(a^3 + b^3 + c^3 + 9abc) ≧ 3abc(a+b)(b+c)(c+a)
不等式botってのを最近見つけたんだけど、何これ? botって何ぞや?
同じ問題を繰り返し吐き出してるから、自動なのか?
登録してある問題をダブりなしに全部見てみたい。 【√がらみ】
(C1) [宜蘭 2008]
a, b, c >0 に対して、次式をみたす実数 k の最小値を求めよ。
a√b + b√c + c√a ≦ k√{(a+b)(b+c)(c+a)}
(C2) [香佐富斯坦 2010]
a, b >0 に対して、
√{(a^2-a+1)(b^2-b+1)} + √{(a^2+a+1)(b^2+b+1)} ≧ 2(x+y)
(C3) [スポック 2012]
a, b, c >0 に対して、
(a+b)√{(b+c)(c+a)} + (b+c)√{(c+a)(a+b)} + (c+a)√{(a+b)(b+c)} ≧ 4(ab+bc+ca)
(C4) [中国 2012]
a, b, c∈[0,1] のとき、√|a-b| + √|b-c| + √|c-a| の最大値を求めよ。
(C5) [波蘭 2004]
a, b, c∈R に対して、
√(2a^2+2b^2) + √(2b^2+2c^2) + √(2c^2+2a^2) ≧ √{3(a+b)^2 + 3(b+c)^2 + 3(c+a)^2}
(C6) [墺太利 2008]
a, b, c >0、a+b+c=1 に対して、
√{a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b)} ≦ 1/3
(C7) [土耳古 2005]
a, b, c, d ∈R に対して、
√(a^4 + c^4) + √(a^4 + d^4) + √(b^4 + c^4) + √(b^4 + d^4) ≧ (2√2)*(ad+bc) 【微積分絡み】
(D1) [Putnum 1999]
実関数 f がC^3級で、任意の x∈R に対して、
0 < f'(x)、 0 < f''(x)、 0 < f'''(x) ≦ f(x)
をみたすとき、f'(x) < 2f(x) を示せ。
(D2) [AoPS]
f は [0,1] で単調増加な凸関数で、f(0)=0、f(1)=1 をみたす。
g を fの逆関数とするとき、x^2 ≧ f(x)g(x) を示せ。
(D3) [近大 2008]
実関数 f がC^2級で、任意の x∈R に対して f''(x)≧f(x) をみたすとき、
f(x) ≧ f(0)*{e^x + e^(-x)}/2 + f'(0)*{e^x - e^(-x)}/2
(D4) [山梨医改、不等式bot]
f(0) = f(1) = 0、f'は[0,1]で連続のとき、∫[0,1] {f'(x)}^2 dx ≧ (π^2)*∫[0,1] {f(x)}^2 dx
(D5) [京大院 2011]
実連続関数 f,φ は区間[a,b]上で狭義単調増加のとき、
∫[a,b] f(x)dx = 0 ならば、∫[a,b] f(x)φ(x)dx > 0 を示せ。
(D6) [羅馬尼亜 2004]
fが[0,1]で積分可能で、∫[0,1] f(x)dx = ∫[0,1] xf(x)dx = 1 のとき、∫[0,1] {f(x)}^2 dx ≧ 4 ;ヾ ;ヾ ;";ヾ;" ;ヾ ;ヾ ;
;ヾ ;ヾ ;ヾ";ヾ;ヾ ';ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ
;ヾ.;ヾ ';ヾ ;ヾ ;ヾ;ヾ ';ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ"゙
""ヾ゙;ヾ〃;ヾ ;ヾ゙;ヾ ;ヾ ;ヾ"〃ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ;ヾ
"';ヾ;ヾ ;ヾ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;//;ヾ;ヾ〃゙;ヾ ;ヾ;ヾ"
""";ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ" ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ;ヾ"
""ヾ;ヾ ;ヾ ;ヾ ゙;ヾ〃ミヾ ;ヾ゙;ヾ ;ヾ 〃;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ;ヾ
;ヾ ;ヾ 〃;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ"
"" ;ヾ ;ヾ゙ヾ ;ヾ ;ヾ;ヾ"゙ "iヾ;ヾ;ヾ" ゙ヾ;ヾ;ヾ"
"" 'ヾ;ヾ" || l | ゙|/;ヾ" "
" |l i l゙l|
,,,, ",,,," ,,, " ∧ ∧ ,,, |l | ゙ || '' ,, " " ,, 春は不等式!
( ゚∀゚)∬ ノノ 从ヾ ヽ、 ,,, '' やうやう白くなりゆく山際
'' ` ` / (_)旦. / 少し明かりて、
/ / '''' "" 紫だちたる雲の細くたなびきたる
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ >>520
(A2) [155]
(左辺) = |(p+q)/(p-q)|,
ここに p = aab+bbc+cca -3abc ≧ 0,q = abb+bcc+caa -3abc ≧ 0,
q-p = (a-b)(b-c)(c-a) = ,
佐藤(訳) 問題3.103
(A3)
絶対値の中身 = (a-b)(b-c)(c+a)/{(a+b)(b+c)(c+a)},
-1 〜 +1
(B1) [96]
(ab/c + bc/a + ca/b)^3 ≧ 8(aaa+bbb+ccc) + 3abc,
bc/a=x,ca/b=y,ab/c=z とおく。
(B2) [198]
a+b+c = s,1/a+1/b+1/c = 3/h とおく。
s-3h ≧ 0,
(左辺) ≧ 3/hh + 1/ss,
(右辺) = (7/25)(3/h+1/s)^2,
(左辺) - (右辺) ≧ 6(2s-h)(s-3h)/(5hs)^2 ≧ 0,
等号成立は s-3h = 0,a=b=c.
(B3) [100]
a-c,b-d の2次形式として正定値。
(B4) [107]
(左辺) - (右辺) = (sssu+ttt+27uu) - 9stu ≧0 (←AM-GM)
ここに、s = a+b+c、t = ab+bc+ca、u = abc. >>521
(C1) [70]
コーシーにより、
(左辺)^2 ≦ (a+b+c)(ab+bc+ca) = (a+b)(b+c)(c+a) + abc ≦ (9/8)(a+b)(b+c)(c+a),
K = 3/√8.
佐藤(訳) 問題3.113
(C2) [114]
(左辺)^2 = 2{(aa+1)(bb+1) + ab + √(a^4+aa+1)√(1+bb+b^4)}
= 2{(aa+3ab+bb) + (ab-1)^2 + √(a^4+aa+1)√(1+bb+b^4)}
≧ 2{(aa+3ab+bb) + (aa+ab+bb)}
= 4(a+b)^2 (←コーシー)
等号成立は xy=1.
(C3) [16]
(a+b)√{(b+c)(c+a)} ≧ (a+b){c+√(ab)} ≧ (a+b)c + 2ab,
循環的にたす。
(C4) [62]
bはaとcの中間にあるとする。
√|a-b| + √|b-c| + √|c-a| ≦ (1+√2)|c-a| ≦ 1 + √2、
等号は(a,b,c)=(0,1/2,1)
(C5) [86]
2√{3(aa+bb+cc)} ≧ √(2aa+2bb) + √(2bb+2cc) + √(2cc+2aa) ≧ √{3(a+b)^2+3(b+c)^2+3(c+a)^2} ≧ 2(a+b+c),
(左辺)^2 = 4(aa+bb+cc) + 4√(aa+bb)√(bb+cc) + … + …
≧ 4(aa+bb+cc) + 2(a+b)(b+c) + 2(b+c)(c+a) + 2(c+a)(a+b)
= 3(a+b)^2 + 3(b+c)^2 + 3(c+a)^2
= (中辺)^2.
(C6) [49]
f(x) = (1-x)log(x) ≦ -(1-x)^2 は 0<x<1 で上に凸。
f(a) + f(b) + f(c) ≦ 3f((a+b+c)/3) = 2log(1/3)
(C7) [71]
√(xx+yy) ≧ (x+y)/√2 を使う。 >>522
(D1) [143]
未だ解けぬ〜
(D2) [164]
{f(x)/x} ' = {xf '(x) - f(x)}/xx =∫[0→x] {f '(x) - f '(t)}dt/xx > 0(←fは凸)
f(x)/x は単調増加,
x < g(x) < 1,
f(x)/x ≦ f(g(x))/g(x) = x/g(x),
(D3) [144]
0 ≦∫[0,x] {f ''(t) - f(t)}sinh(x-t)dt = [ f(t)cosh(x-t)+f '(t)sinh(x-t) ](t=0,x) = f(x) - f(0)cosh(x) - f '(0)sinh(x).
(D4) [121] (Wirtingerの不等式)
g(x) = cot(x)とおく。
g '(x) + g(x)g(x) = -1,
[f(x)f(x)g(x)](x=0-π) = 0,
∴ 0 ≦∫{f '(x)−f(x)g(x)}^2 dx
= ∫f '(x)f '(x)dx - [f(x)f(x)g(x)](x=0-π) + ∫f(x)f(x){g '(x) + g(x)g(x)}dx
= ∫f '(x)f '(x)dx - ∫f(x)f(x)dx,
大関・青柳「不等式」槇書店 p.204
(D5) [211]
中間値の定理から、a<c<b なるcがあって f(c)=0,
単調性から、(x-c)f(x)≧0、(x-c){φ(x)-φ(c)}≧0,
これを入れる。
(D6) [54]
0 ≦∫{f(x)+2-6x}^2 dx
= ∫f(x)^2 dx + 4∫f(x)dx -12∫f(x)・x dx +4∫(1-3x)^2 dx
= ∫f(x)^2 dx + 4 -12 +4.
[ ]内は Inequalitybot の番号ですぅ。 (C8) [月即別 2013] [187]
a≧b≧0 のとき、(a^2+b^2)^(1/2) + (a^3+b^3)^(1/3) + (a^4+b^4)^(1/4) ≦ 3a+b >>527
(C8) [187]
(a^2 + b^2)^(1/2) ≦ a + (√2−1)b,
(a^3 + b^3)^(1/3) ≦ a + {2^(1/3)−1}b,
(a^4 + b^4)^(1/4) ≦ a + {2^(1/4)−1}b,
辺々たす。
(左辺) ≦ 3a + 0.8633417b >>87
a^(2/3) = A,b^(2/3) = B,c^(2/3) = C とおくと、
aa+bb+cc - 2(ab+bc+ca) + 2abc+1
≧ A^3 + B^3 + C^3 - 2{AB(A+B) +BC(B+C) +CA(C+A)} + 3ABC
= 兩3(A,B,C) >>513
= F_1(A,B,C)
≧ 0, >>163
〔Turkevici の不等式〕 - 改
a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + 2abcd - {ab(aa+bb) +ac(aa+cc) +ad(aa+dd) +bc(bb+cc) +bd(bb+dd) +cd(cc+dd)}/2
= a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + 2abcd - {(a^3)(b+c+d) -(b^3)(c+d+a) -(c^3)(d+a+b) -(d^3)(a+b+c)}/2
= (1/2)兩4
≧ 0, >>513 >>163
〔Turkevici の不等式〕- 改
a^4 + b^4 + c^4 + d^4 + 2abcd - {ab(aa+bb) +ac(aa+cc) +ad(aa+dd) +bc(bb+cc) +bd(bb+dd) +cd(cc+dd)}/2
= {3(a^4 + b^4 + c^4 + d^4) -(a+b+c+d)(a^3+b^3+c^3+d^3) + 4abcd}/2
= (1/2)兩4
≧ 0 >>513 >>515
a^(10/3) = A,b^(10/3) = B,c^(10/3) = C とおくと本題は
(A^3+B^3+C^3)^2 ≧ 3(A^4+B^4+C^4)
〔補題〕
(A^3+B^3+C^3)^2 ≧ (AB+BC+CA)(A^4+B^4+C^4)
m = min{A,B,C} とおき、
{A,B,C} = {m,m+x,m+y} (x≧0,y≧0)
とする。
(左辺) - (右辺) = (A^3+B^3+C^3)^2 - (AB+BC+CA)(A^4+B^4+C^4)
= (m^4)(xx-xy+yy) + (2m^3)xy(x+y) + (2m^2){2xx(x-y)^2 +5xxyy +2yy(x-y)^2} + m(x+y){xx(2x-2.5y)^2 +(7/2)xxyy +yy(2.5x-2y)^2} + (x-y)(x^5-y^5) + 2(xy)^3
≧ 0, >>515 >>533
〔補題〕
(A^3+B^3+C^3)^2 ≧ (AB+BC+CA)(A^4+B^4+C^4)
(左辺) - (右辺) = F_0(A,B,C) F_0(AA,BB,CC) + (ABC)^2 F_{-2}(A,B,C) ≧ 0,
F_0(A,B,C) = (A-B)(A-C) + (B-C)(B-A) + (C-A)(C-B) = {(A-B)^2 + (B-C)^2 + (C-A)^2}/2 ≧ 0,
F_{-2}(A,B,C) = (A-B)(A-C)/AA + (B-C)(B-A)/BB + (C-A)(C-B)/CC = ABC F_1(1/A,1/B,1/C) ≧ 0, >>533 >>534
〔補題〕
1≦n≦3,A〜C≧0 のとき
(A^n + B^n + C^n)^2 ≧ (AB+BC+CA) {A^(2n-2)+B^(2n-2)+C^(2n-2)} ≧ 3ABC {A^(2n-3)+B^(2n-3)+C^(2n-3)},
右側はチェビシェフなど。 >>533 >>534 >>535
〔補題〕
1≦n≦5,A〜C≧0 のとき
(A^n + B^n + C^n)^2 ≧ 3ABC {A^(2n-3) + B^(2n-3) + C^(2n-3)},
(例)
n=3 のとき
(左辺) - (右辺) = (A^3 +B^3 +C^3) (A^3 +B^3 +C^3 -3ABC) ≧ 0,
n=4 のとき
(左辺) - (3/2) {(a^3)(b+c) + (b^3)(c+a) + (c^3)(a+b)}
= (1/2) {(aa-ab+bb)(a-b)^2 + (bb-bc+cc)(b-c)^2 + (cc-ca+aa)(c-a)^2}
≧ 0,
ここに、a=AA,b=BB,c=CC.
(3/2) {(a^3)(b+c) + (b^3)(c+a) + (c^3)(a+b)} - (右辺)
= (3/2) {(A^6)(B-C)^2 + (B^6)(C-A)^2 + (C^6)(A-B)^2}
≧ 0, 三角形の辺長 a、b、c に対して、
{√(a+b-c)}/(√a + √b - √c) + {√(b+c-a)}/(√b + √c - √a) + {√(c+a-b)}/(√c + √a - √b) ≦ 3 >>537 [6]
A = √b+√c-√a > 0,
B = √c+√a-√b > 0,
C = √a+√b-√c > 0,
とおく。
b+c-a = AA - (A-B)(A-C)/2,
√(b+c-a) ≦ A - (A-B)(A-C)/4A,
(左辺) = √(b+c-a) /A + √(c+a-b) /B + √(a+b-c) /C
≦ 3 - (A-B)(A-C)/(4AA) - (B-C)(B-A)/(4BB) - (C-A)(C-B)/(4CC)
= 3 - (1/4) F_{-2}(A,B,C)
= 3 - (ABC/4) F_1(1/A,1/B,1/C)
≦ 3.
IMOSL-2006 予選 A.6、JMO春合宿
文献[8] 安藤 (2012),p.147 例題3.2.3(9),
http://www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式1-307、434、437 ( ゚∀゚) いつも素晴らしいデスネ。GWに精読させていただきます。 実数 a_k、b_k (1≦k≦n)) に対して、
1 + Σ[k=1 to n] (a_k + b_k)^2 ≦ (4/3)*{1 + Σ[k=1 to n] (a_k)^2}*{1 + Σ[k=1 to n] (b_k)^2} 任意の m、n∈N (m > n) に対して、
lcm(m, n) + lcm(m+1, n+1) > 2mn/{√(m-n)} >>540
A = Σ[k=1,n] (a_k)^2,
B = Σ[k=1,n] (b_k)^2,
C = Σ[k=1,n] a_k b_k,
とおく。
A+B-2C = Σ[k=1,n] (a_k - b_k)^2 ≧ 0,
AB-CC = Σ[1≦j<k≦n] (a_j b_k - a_k b_j)^2 ≧ 0 (←コーシー)
(右辺) - (左辺) = (4/3)(1+A)(1+B) - (1+A+B+2C)
= (1/3) (1+A+B+4AB-6C)
= (1/3) {(A+B-2C) + 4(AB-CC) + (1-2C)^2}
≧ 0,
等号成立は a_k = b_k,A = B = C = 1/2. >>541
gcd(m,n) | (m-n)
gcd(m+1,n+1) | (m-n)
左辺は互いに素ゆえ、 (←背理法で)
gcd(m,n)gcd(m+1,n+1) | (m-n)
lcm(m,n) + lcm(m+1,n+1)
= mn/gcd(m,n) + (m+1)(n+1)/gcd(m+1,n+1)
> mn{1/gcd(m,n) + 1/gcd(m+1,n+1)}
> 2mn/√{gcd(m,n)gcd(m+1,n+1)} (←AM-GM)
≧ 2mn/√(m-n), >>374 >>398 >>399 >>416 >>417
nΣ[k=1,n] s_k (a_k)^2 ≧ M_n (s_n)^3,
とおく。
M_2 = 0.7377393811182 = 2(47-14√7)/27
(a,b) =(√7 -1,4-√7)(3+√7,2+√7)
M_3 = 0.6481616033162
(a,b,c) = (1.38436,1.13916,1)
M_4 = 0.60233351875
(a,b,c,d) = (1.52472,1.25465,1.10139,1)
M_5 = 0.574255
M_6 = 0.5551782
M = 0.444444 = 4/9 (n→∞), >>544
Memo.
漸化式は
a_{n+1} = (1/2) {√(2x-1) - 1} s_n,
s_{n+1} = s_n + a_{n+1},
M_n = (n/3) (x-1),
ここに
x = (1 + a_n/s_n)^2.
(例)
M_1 = 1
a_1 = s_1 = 1
M_2 = 2(47-14√7)/27 = 0.7377393811182
a_2 = (√7 -1)/2 = 0.8228756555323
s_2 = (√7 +1)/2 = 1.8228756555323
M_3 = 0.64816160331616
a_3 = 0.72235563718495
s_3 = 2.54523129271725
M_4 = 0.60233351872589
a_4 = 0.65585825517001
s_4 = 3.20108954788726
M_5 = 0.57425545264547
a_5 = 0.60768519695068
s_5 = 3.80877474483794
M_6 = 0.55517800140267
a_6 = 0.57066170678793
s_6 = 4.37943645162587
本題から逸れてしまった… >>374 (改)
Σ[k=1,n] (s_{k-1} + s_k)/2 ・ (a_k)^2 > (4/9n) (s_n)^3,
便宜上 s_0 = 0 とおいた。
* 中点 (s_{k-1} + s_k)/2 で接線を曳く。 >>544
>>545 Memo. の続き
M_10 = 0.51565443182467
a_10 = 0.47804498656917
s_10 = 6.41086198943751
M_100 = 0.45433807243808
a_100 = 0.21749813721698
s_100 = 32.0226683930223
M_1000 = 0.44575956171259
a_1000 = 0.10051892239154
s_1000 = 150.383787216053
M_10000 = 0.44460977509949
a_10000 = 0.04662595061307
s_10000 = 699.152499550131 >>545
Memo.
(略証)
nについての帰納法による。
a_{n+1} = A と略す。
まず s_n を固定して a_1 〜 a_n を動かしたときの最小値は、
Σ[k=1,n+1] s_k (a_k)^2 - μ(s_{n+1})^3
= Σ[k=1,n] s_k (a_k)^2 + (s_n + A)A^2 - μ(s_n + A)^3
≧ (M_n /n)(s_n)^3 + (s_n + A)A^2 - μ(s_n + A)^3 = f(A)
つまり a_1 〜 a_n の比はnの場合と同じでよい。
次に f(A) = 0 が重根をもつようにμを決めるのだが、言い換えれば
f(A) = 0 と f '(A) = 0 が共通根をもつことである。
f(A) = (M_n /n)(s_n)^3 + (s_n + A)A^2 - μ(s_n + A)^3 = 0,
f '(A) = 2(s_n)A + 3A^2 - 3μ(s_n + A)^2 = 0,
から A とμを決める。
まずμを消去すれば
A(s_n + A) - 3M_n /(2n・s_n) = 0,
∴ A = (1/2){√[1 + 6M_n /(n・(s_n)^3)] -1}s_n,
これを使うとμが求まり
M_{n+1} = (n+1)μ = {(n+1)/3}([1 + A/s_{n+1}]^2 - 1),
s_{n+1} = s_n + A,
と表わせる。 〔問題8〕
閉区間 [0,1] で定義された連続関数f(x)は、次の条件を満たすとする。
ある正の実数Lが存在して、[0,1] 上のすべての実数xにおいて
0 ≦ f(x) ≦ L∫[0,x] f(t)dt
が成り立つ。
このとき、[0,1] 上のすべての実数xにおいてf(x)=0であることを示せ。
http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai8.php
〔問題12〕
p_1,p_2,…,p_k を m 以下のすべての素数とする。
この時、以下の不等式が成り立つことを示せ。
log(m) - 1 ≦ (1/m)log(m!) < Σ[i=1,k] log(p_i)/(p_i - 1)
http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai12.php
〔問題18〕
正の実数 a,b,c が ab+bc+ca=1 を満たすとき
(b+c) {√(aa+1) +a} ≧ 2,
(c+a) {√(bb+1) +b} ≧ 2,
(a+b) {√(cc+1) +c} ≧ 2,
が成り立つことを示せ。
http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai18.php
〔問題32〕
nを2以上の整数とする。正の実数 a_1,a_2,…,a_n に対して不等式
Σ[k=1,n] (kk-2k+2)a_k + Σ[k=1,n-1] (1/a_k)(a_{k+1})^2 ≧ (n^2)a_n
が成り立つことを示せ。また、等号が成立する条件を求めよ。
http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai32.php >>548
訂正スマソ
A (s_n + A) - (3M_n /2n) (s_n)^2 = 0,
∴ A = (1/2) {√(1 + 6M_n /n) - 1} s_n, [bot 5]
a, b, c≧0 のとき、a(a-b)(a-2b) + b(b-c)(b-2c) + c(c-a)(c-2a) ≧0
(1) この証明は?
(2) a(a-mb)(a-nb) + … とイパーン化できるでござるか? >>552 [111]
(1)
min{a, b, c} = M, {a, b, c} = {M, M+x, M+y} とすると、
(左辺) = 2M(xx-xy+yy) + x(x-2y)^2 + (x-y)^2・y ≧0.
USA.ELMO-2009 day1-Q.3 >>552 [111]
(2)
m(m+1) ≦ 3 + 4√2 のとき
a(a-b)(a-mb) + b(b-c)(b-mc) + c(c-a)(c-ma) ≧ 0
m(m+1) = 3 + 4√2 の根は
m_1 = -{√(13+16√2) +1}/2 = -3.4844353317658568752
m_2 = {√(13+16√2) -1}/2 = 2.4844353317658568752
等号成立条件
・m_1 < m < m_2 のとき (a,b,c) = (1,1,1)
・m = m_1,m_2 のとき
(a,b,c) = (1,1,1)、(0,t1,1)、(0,1,t2) とそのrotation
t_1,t_2 は tt - (1+√2)t + 1 = 0 の根
t_1 = {1+√2 -√(2√2-1)}/2 = 0.531010056459569184633
t_2 = {1+√2 +√(2√2-1)}/2 = 1.883203505913525864169 >>549
〔問題18〕
(a+b)√{(c+b)(c+a)} ≧ (a+b)(c+√ab) ≧ (a+b)c + 2ab,
>>521 >>525 (C3) [16] と同じ。 〔問題〕
自然数nに対して
(1) C[2n,n] = (2n)! / (n!)^2 ≧ 4^n / (2√n),
(2) C[3n,n] = (3n)! / {n!・(2n)!} ≧ (27/4)^n ・4/(9√n),
等号成立は n=1
>>512 >>513
Janos Suranyi の不等式と云うらしい… >>556
(1) は >>474 >>476 >>495 と同様
(2) もnについての帰納法で
C[3n+3,n+1] / C[3n,n] = {(3n+1)(3n+2)(3n+3)}/{(2n+1)(2n+2)(n+1)}
= (27/4) {(n+1/3)(n+2/3)} / {(n+1/2)(n+1)}
= (27/4) (N + 2/9) / {(n+1/2)(n+1)} ← N=n(n+1) とおいた。
> (27/4) (N + 1/8) / {(n+1/2)(n+1)}
≧ (27/4) √{N(N+1/4)} / {(n+1/2)(n+1)}
= (27/4) (n+1/2)√{n(n+1)} / {(n+1/2)(n+1)}
= (27/4) √{n/(n+1)},
により成立 >>556 の系
C[3n,2n] ≧ 4/(9√n)・(27/4)^n,
C[3n-1,2n-1] = (2/3)C[3n,2n] ≧ (2/√n)・(27/4)^(n-1), x^2 + y^2 + z^2 ≧ xy + yz + zx + (3/4)*(x-y)^2
これって既出だっけ? >>569 [42]
(xx+yy+zz) - (xy+yz+zx) = (3/4)(x-y)^2+(1/4)(x+y-2z)^2,
でござる。 >>549
〔問題8〕の解答
h(x) = e^(-Lx) ∫[0,x] f(t)dt とおくと題意により
h(x) ≧ 0 = h(0) …… (1)
また h(x) は(0,1) 上で微分可能で
h '(x) ≦ 0,
∴ h(x) = h(0) + ∫[0,x] h '(t)dt ≦ h(0) …… (2)
(1) (2) により [0,1] 上で h(x) = h(0) = 0 が成り立つ。
したがって、[0,1] 上のすべての実数xにおいて
0 ≦ f(x) ≦ L ∫[0,x] f(t)dt = 0,
より、f(x) = 0 である。 ■
http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai8.php >>549
〔問題12〕の解答
(左側)
任意の正の整数mに対し、
log(m!) = Σ[L=1,m-1] log(L+1) ≧ Σ[L=1,m-1] ∫[L,L+1] log(t)dt = ∫[1,m] log(t)dt = m{log(m) -1} +1,
∴ log(m) - 1 ≦ (1/m)log(m!)
(右側)
実数xに対し、x以下の最大の整数を [x] で表わす。
また、0でない整数nと素数pに対し、v_p(n) で、nの素因数分解に現れるpの回数を表わすものとする。
ここで、m! はm以下の素数しか素因数に持たないので、
log(m!) = Σ[i=1,k] v_pi(m!) log(p_i)
と表わされる。ここで、
v_p(m!) < m/(p-1)
が分かるのでこれを上の式と組み合わせて
(1/m)log(m!) < Σ[i=1,k] log(p_i)/(p_i -1)
が示された。(終)
http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai12.php >>549
〔問題32〕の解答
(a_{k+1})^2 / a_k ≧ 2k・a_{k+1} - kk・a_k,
辺々たして
Σ[k=1,n-1] (a_{k+1})^2 / a_k ≧ Σ[k=2,n] 2(k-1) a_k - Σ[k=1,n-1] kk・a_k
= nn・a_n - Σ[k=1,n] a_k - Σ[k=1,n] (k-1)^2・a_k
= nn・a_n - 1 - Σ[k=1,n] (k-1)^2・a_k
を導く。等号成立条件は、各 k=1,2,…,n-1 で a_{k+1} = k・a_k である場合だから、すべての i=1,2,…,n に対し
a_i = (i-1)! /{Σ[k=1,n] (k-1)!}
が成立することである。
http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai32.php (a^2 + b^2 + c^2)^2 - (ab+bc+ca)^2 ≧ (√6)(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) >>575 [192]
任意の実数a,b,cに対し、
(a-b)(a-c)(aa-bc)^2 + (b-c)(b-a)(bb-ca)^2 + (c-a)(c-b)(cc-ab)^2 ≧ 0,
を示せ。
//www.casphy.com/bbs/highmath/不等式2-188 (じゅー) >>574 [104]
s = a+b+c,t = ab+bc+ca,u = abc, = (a-b)(b-c)(c-a) とおく。
ss-3t≧0,
(左辺) = (ss-2t)^2 -tt
= (ss-t)(ss-3t)
= (1/3){2ss + (ss-3t)}(ss-3t)
≧ {(2√2)/3}|s|(ss-3t)^(3/2),
≧ (√6)|s處,
∵ 4(ss-3t)^3 = 27刧 + {(a+b-2c)(b+c-2a)(c+a-2b)}^2 ≧ 27刧,
等号成立は等間隔かつ ss+3t = 0 より{1-√6,1,1+√6}
http://www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式2-197 >>572 (右側) 補足
自然数nと素数pに対し、v_p(n) で、nの素因数分解に現れるpの回数を表わすものとする。
v_pi(m!) = [ m/p ]+ [ m/p^2 ] + [ m/p^3 ] + … + [ m/p^d ]
ここに、d = [ log(n)/log(p) ].
これもルジャンドルの定理と云うらしい。
http://mathtrain.jp/legendretheorem
〔補題12〕
v_p(m!) < m/(p-1)
(略証)
d = [ log(n)/log(p) ] とおくと
v_pi(m!) ≦ m/p + m/p^2 + m/p^3 + … + m/p^d < m/(p-1), a, b, c > 0 に対して、a/(b+c) + 20b/(c+a) + 17c/(a+b) > 8
best possible かどうか分からん B. 4931.
Prove that if a, b, c are the sides of a triangle then
{a^2(b+c) + b^2(a+c)} /(abc) > 3.
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201802&t=mat&l=en
B. 4925.
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201801&t=mat&l=en
B. 4953.
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201804&t=mat&l=en
P.1, Problem 1.
https://archives.ust.hk/dspace/bitstream/9999/46212/1/math-02a-a109.pdf >>581
B.4925 (改) (KoMaL,h=201801)
0<a<n のとき
a/{a^(n+1) + (n-a)} ≦ 1/n
(略解)
a^(n+1) -(n+1)a + n
= (a-1){a^n + a^(n-1) + … + a -n}
= Σ[k=1,n] (a-1)(a^k -1)
≧ 0,
B.4931 (KoMaL,h=201802)
{aa(b+c) + bb(a+c)}/abc > 3,
(略解)
aa(b+c) + bb(a+c) = ab(a+b-c) + (a-b)^2・c + 3abc ≧ 3abc,
B.4953 (KoMaL,h=201804)
log(n) + Σ[k=2,n] √{(k-1)/k} < Σ[k=2,n] √{k/(k-1)},
(略解)
x>0 ⇒ x < sinh(x),
a>1 ⇒ 2log(a) < a - 1/a,
a = √{k/(k-1)} とおく。
log(k) - log(k-1) < √{k/(k-1)} - √{(k-1)/k},
k=2 から k=n までたす。
Math. Excalibur,Vol.21,No.4,p.1 (2018)
Problem 1.
a,b,c >0,a+b+c=1 のとき
a√(2b-1) + b√(2c+1) + c√(2a+1) ≦ √{2-(aa+bb+cc)},
(略解)
関数f(x) = √x は上に凸ゆえ、Jensenで
(左辺) ≦ √{a(2b+1) + b(2c+1) + c(2a+1)}
= √{(a+b+c) + 2(ab+bc+ca)} / (a+b+c)
= √{1 +2(ab+bc+ca)}
= (右辺)
等号成立は (a,b,c) = (1/3,1/3,1/3) および (1,0,0) など。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています