不等式への招待 第9章 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>453 などと嘯いてたら、間違えてしまった......orz F(x)= a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + …… + a_{n-1}x + a_n, >>453-454 あぁぁ…、あなたはなんと勤勉なる事か! 偶々ネットで見かけた掛谷のpdfを見て出題したのでござるが、入試問題まで探してくるとはとはとはとは…! >>451 >>453 その『掛谷の定理』関連について詳しく書かれている本はないかなぁ? 掛谷宗一 http://wp1.fuchu.jp/ ~sei-dou/jinmeiroku/kakeya-souichi/kakeya-souichi.htm 根の大きさの限界 http://nalab.mind.meiji.ac.jp/ ~mk/lecture/ouyoukaiseki4/algebraic-equation/kadai-2003-1/node5.html 逆数バージョン 〔掛谷の定理〕 正係数のn次多項式 F(x)= a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + …… + a_{n-1}x + a_n, 0 < a_0 < a_1 < a_2 < …… < a_{n-1}< a_n について、F(x)= 0 の解の絶対値は1より大きい。 (略証) F(0)= a_n >0,F(1)> 0, (x-1)F(x)= a_0 x^(n+1)+ Σ[j=1,n](a_{n-j+1}- a_{n-j}) x^j - a_n, x=1 のときは 0 = a_0 + Σ[j=1,n](a_{n-j+1}- a_{n-j})- a_n, 辺々引いて (x-1)F(x)= a_0(x^{n+1} -1) + Σ[j=1,n](a_{n-j+1}- a_{n-j})(x^j -1), ここで、|x|≦ 1, x≠1 ならば Re{x^j}≦|x|^j ≦ 1, であるが、等号成立は x=1 に限るので Re{x^j -1}< 0, ∴ Re{右辺}< 0, ∴ F(x)≠ 0, ∴|α|> 1 (系) x → 1/x とすれば >>453 http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/solution/solution.htm >>453 >>459 (1) n次方程式 F(x)= 0 の根{r_k}がすべて実数のとき、 F(x)が極値・停留値をとる点b{F '(x)= 0 の実数解}は次をみたす。 r_min ≦ b ≦ r_max (2) n次多項式 F(x)が停留値をとる点β{F '(x)= 0 の解}は、 F(x)= 0 のすべての根を含む凸領域内にある。 例) すべて単根{α_k}のときは β = Σ[k=1,n]t_k α_k 重み t_k = |β-α_k|^(-2)/{Σ[k=1,n]|β-α_k|^(-2)} >>460 重み t_k = |β-α_k|^(-2)/{Σ[j=1,n]|β-α_j|^(-2)} >>448 r=1 のときは等号になるので r>1 とする。中辺を S(n)= Σ[k=1,n] k^r とおく。問題の式は 1/n > S(n)/n^(r+1)- S(n)/(n+1)^(r+1)> 1/(n+1), S(n)/S(n-1)>{(n+1)/n}^(r+1)> S(n+1)/S(n), S(n)/(n+1)^(r+1)> S(n-1)/n^(r+1) …… 増加列 S(n)/n^(r+1)> S(n+1)/(n+1)^(r+1) …… 減少列 {1/(n+1)}Σ[k=1,n]{k/(n+1)}^r >(1/n)Σ[k=1,n-1](k/n)^r (1/n)Σ[k=0,n](k/n)^r > {1/(n+1)}Σ[k=0,n+1]{k/(n+1)}^r となる。 >>448 (続き) f(x)= x^r (r≧1)は下に凸だから、下の補題より S(n)/{n(n+1)^r}≧ S(n-1)/{(n-1)n^r}, S(n)/{(n+1)n^r}≧ S(n+1)/{(n+2)(n+1)^r}, これと n/(n-1)>(n+1)/n >(n+2)/(n+1) から >>462 が出る。 なお、n >> r では S(n)〜{1/(r+1)}(n + 1/2)^(r+1) 〔補題〕 f(x)が 0<x<1 で下に凸ならば 1)(1/n)Σ[k=1,n]f(k/(n+1))≧{1/(n-1)}Σ[k=1,n-1]f(k/n), 2){1/(n+1)}Σ[k=0,n]f(k/n)≧{1/(n+2)}Σ[k=0,n+1]f(k/(n+1)), (略証) 1) 凸性からJensenにより {(n-k)/n}f(k/(n+1))+(k/n)f((k+1)/(n+1))≧ f(k/n), k=1 から k=n-1 まで加えて(n-1)で割る。 2) 凸性からJensenにより {k/(n+1)}f((k-1)/n)+{(n+1-k)/(n+1)}f(k/n)≧ f(k/(n+1)), k=0 から k=n+1 まで加えて(n+2)で割る。 >>462 > r=1 のときは等号になる は間違いでした。 >>463 2) f(x)が 0≦x≦1 で下に凸ならば… http://suseum.jp/gq/question/2868 〔Popoviciuの不等式〕 f(x) が下に凸ならば、 (a+b+c)/3 = m に対して f(a) + f(b) + f(c) + 3f(m) ≧ 2f((a+b)/2) + 2f(a+c)/2) + 2f((b+c)/2), (略証) a≦b≦c としてよい。 (i) a,b ≦ m ≦ c のとき f(a) + f(b) ≧ 2f((a+b)/2), f(m) + f(c) ≧ 2f((m+c)/2), 2f(m) + 2f((m+c)/2) ≧ 2f((a+c)/2) + 2f((b+c)/2), 辺々たす。 (ii) a ≦ m ≦ b,c のとき f(a) + f(m) ≧ 2f((a+m)/2) 2f((a+m)/2) + 2f(m) ≧ 2f((a+b)/2) + 2f((a+c)/2), f(b) + f(c) ≧ 2f((b+c)/2), 辺々たす。 文献[9]佐藤淳郎(訳)p.41 演習問題1.89 a、b、c ∈ (1、∞) または、a、b、c ∈ (0、1) のとき、 log_a(bc) + log_b(ca) + log_c(ab) ≧ 4{ log_(ab)c + log_(bc)a + log_(ca)b } (参考) 過去スレに、a、b、c ∈ (1、∞) のとき、 左辺 > 定数 定数 > 右辺 > 定数 というのを収集して貼ったような希ガス、ハロゲンガス…。 詳細は…不明ですか? あなた、怠惰…ですね ____________ >/////////::::::丶 //////////:::::::::::::::::::::\ ////////,/:::::::::\:::::::::::::::::::丶 .//////, イ::::::::::::::::::::::::::ヽ::::::::::::::::::\ ////::::::::::::\:::::\::::::::::::::::::::::::::::::::::::::`i //:::::::::::::::::::::::::\:::::\:::::::::::::::::::::::::::::::::::i , __ /::::i:::::::::ヾi:::::::::::::::::::::::::::::\:::::::::::: rヘ:::::::::ト / ! |:::::|::i::::::::::リ:::::::::/:::::,:::f´⌒ヽ .V:::::',::ヾi:::i::::! / ! i:::::|:::|:::::::/:i:i::`:::,:イ≡i ゚゙● i .V::::::'::::y:ィリ ̄ ! .|::::::::|::::::::::::j,:イ≡彡 `==彳 ,, V::::::':::/ ヽ///,i / |::::::::ト::::イi´●゙ ー ´ 7 Y:::::::∧ 人/// /----y i::::::::::::::::::弋゙_丿', / ;} i:::::i ゞ / /ヽ / i:::::::::::\:::∧ '- ´ /ヽイ;;;} !::/i ',./i /ソ ノ \::::ヽ:::::::└-i- ム-<丶tt i };} レ丶 ./ / /::/ /\ \::::::::/ `\\,エィ ´ ;; / ´/ ./ ‖/ .\ ヽ::/ !/,`丶; ; ;イ ノ /! / ! j ヾ `ト ヽ///!ー イ ´//// ソ i \ \//////////./ i \ .\/////// | >>469 A = ln(a),B = ln(b),C = ln(c) とおく。 題意により、A,B,Cは同符号。 正であるとしても一般性を失わない。 S=A+B+C,T=AB+BC+CA,U=ABC とおく。 (左辺) = (B+C)/A + (C+A)/B + (A+B)/C = (ST-3U)/U, (右辺) = 4{C/(A+B) + A/(B+C) + B/(C+A)} = 4{S(SS-2T) + 3U}/(ST-U), (左辺) - (右辺) = {(ST-9U)T + 3SU・F_{-1}) + SSU・F_{-2} }/{T(ST-U)} ≧ 0, ここに U・F_{-1} = TT -3SU ≧ 0, UU・F_{-2} = T^3 -4STU +9UU ≧ 0, なお、 (右辺) ≧ 6 (Nesbitt、Shapiro-3) >>466 f(m) + f((m+c)/2) ≧ f((a+c)/2) + f((b+c)/2), f(m) + f((a+m)/2) ≧ f((a+b)/2) + f((a+c)/2), のところが分からん? 〔補題〕 f(x) は m,nを含む区間で下に凸 m+d,n-d が mとnの中間にあるとき f(m) + f(n) > f(m+d) + f(n-d) (略証) m≠n、0<λ<1 に対して (1-λ)f(m) + λf(n) > f((1-λ)m + λn) = f(m+d) λf(m) +(1-λ)f(n) > f(λm + (1-λ)n) = f(n-d) 辺々たす。 ここに、d = λ(n-m) とおいた。 >>469 〔補題〕 A,B,C が同符号のとき (B+C)/A + (C+A)/B + (A+B)/C ≧ 4{A/(B+C) + B/(C+A) + C/(A+B)}, (略証) AM-HM より A(1/B + 1/C)≧ 4A/(B+C), B(1/C + 1/A) ≧ 4B/(C+A), C(1/A + 1/B) ≧ 4C/(A+B), 辺々たす。 >>470 〔Nesbitt、Shapiro-3〕 A/(B+C) + B/(C+A) + C/(A+B) ≧ 3/2, (左辺) = (A+B+C) {1/(B+C) + 1/(C+A) + 1/(A+B)} - 3 ≧ (A+B+C) * 9/ {2(A+B+C)} - 3 (← AM-HM) = 9/2 - 3 = 3/2. (左辺) = (A+B+C) {1/(B+C) + 1/(C+A) + 1/(A+B)} - 3 = (1/2) {(B+C)+(C+A)+(A+B)} {1/(B+C) + 1/(C+A) + 1/(A+B)} - 3 ≧ (1/2)(1+1+1)^2 - 3 (← コーシー) = 9/2 - 3 = 3/2. C[n,r]は二項係数とする。 (1) n ∈N (n≧2) に対して、2^{2n-1}/\sqrt(n) < C[2n, n] < 2^{2n-1} を示せ。 (2) n+1 以上 2n-1 以下の素数の積は、2^{2n-2} より小さいことを示せ。 ただし、該当する素数がないときは、積を1とする。 (3) n 以下の素数の積は、2^{2n-1} 以下であることを示せ。 >>474 (1) 2^(2n-1) /√n < C[2n,n] < 2^(2n-1) √{2/(n+1)}, nについて帰納法による。 n=2 のとき、8/√2 < C[4,2] < 8√(2/3) ゆえ成立。 n-1 について成り立つならば 2^(2n-3)/√(n-1) < C[2n-2,n-1] < 2^(2n-3)√(2/n), 4√{(n-1)/n} < 4 (2n-1)/2n < 4√{n/(n+1)}, 辺々かけて 2^(2n-1)/√n < C[2n,n] = 2^(2n-1)√{2/(n+1)}, ∴ n についても成立。 >>475 いつもながら実に実に実に〜ぃ、素晴らしいデス! 参考資料まで探して頂き、感謝の極みでござるぞ! >>463 〔補題〕 http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/265 (不等式2) (2)(x=0,x=1 も含む方) 大関: 文献[3] p.130 例題6. >>476 Stirlingの近似 n!≒ √(2π)n^(n+1/2)e^{-n + 1/(12n)}, から C[2n,n]=(2n)!/(n!・n!)≒(4^n)/√(πn)・e^{-1/(8n)}, 〔問題〕 80.60 < Σ[k=1,24]√k < 80.65 を示せ。 面白スレ26-103 >>480 左側: y=√x は上に凸だから、接線が上。 √k > ∫[k-1/2,k+1/2]√x dx =(2/3){(k+1/2)^(3/2)-(k-1/2)^(3/2)}, 右側: y=√x は上に凸だから、割線が下。 {√k + √(k+1)}/2 < ∫[k,k+1] √x dx =(2/3){(k+1)^(3/2)- k^(3/2)}, ただし、1≦k≦4 は別途たす。 〔応用問題〕 {√k + √(k+1)}/2 < ∫[k,k+1] √x dx =(2/3){(k+1)^(3/2)- k^(3/2)}, を用いて次を示せ。 (2) √2 < 99/70 = 1.41428571… (k=8) √2 > 1393/985 = 1.41421320… (k=49) √2 < (19601/6)/2310 = 1.4142135642… (k=288) (3) √3 < (1351/6)/130 = 1.73205128… (k=48) (5) √5 < 2889/1292 = 2.236068111… (k=80) (6) √6 < (485/6)/33 = 2.4494949… (k=24) (7) √7 < 2024/765 = 2.645751634… (k=63) (10) √10 > 117/37 = 3.16216216… (k=9) √10 < (27379/6)/1443 = 3.1622776622… (k=360) (11) √11 < 3970/1197 = 3.316624895… (k=99) (17) √17 > 268/65 = 4.123076923… (k=16) (37) √37 > 882/145 = 6.08275862… (k=36) 面白スレ26 - 109〜110,117 >>484 に追加 (15) √15 < 244/63 = 3.87301587… (k=15) (35) √35 < 846/143 = 5.9160839… (k=35) (101) √101 > 4030/401 = 10.049875311… (k=100) >>428 分子を変えた場合に最大最小値はどうなるのか気になるでござる ( ゚∀゚) ウヒョッ! a、b、c、p、q >0 に対して、 (1) a/(pa+qb) + b/(pb+qc) + c/(pc+qa) (2) b/(pa+qb) + c/(pb+qc) + a/(pc+qa) (3) c/(pa+qb) + a/(pb+qc) + b/(pc+qa) ≧ 3/(p+q) >>486 (3) c(pa+qb)+ a(pb+qc)+ b(pc+qa)=(p+q)(ab+bc+ca), コーシーにより (左辺)≧(a+b+c)^2 /{(p+q)(ab+bc+ca)}≧ 3/(p+q), でござるか。 >>483 左側: 積分計算を避けるなら、 AM-GM より (kk -1/4)^3 ≧(kk)(kk -3/8)(kk -3/8), {(k+1/2)^(3/2) - (k-1/2)^(3/2)}^2 = 2k(kk +3/4) -2(kk -1/4)^(3/2) ≦ 2k(kk +3/4) -2k(kk -3/8) = 9k/4, √k ≧ (2/3){(k+1/2)^(3/2) - (k-1/2)^(3/2)}, 以下は同様。 >>483 右側: {√(k+1)- √k}^2 = 1/{√(k+1)+ √k}^2 ≧ 1/{2(k+1)+ 2k}= 1/{2(2k+1)}, より (右辺)^2 -(左辺)^2 =(4/9){(k+1)^(3/2)- k^(3/2)}^2 -(1/4){√k + √(k+1)}^2 =(1/36)[{4(2k+1)^2 +5}{√(k+1)- √k}^2 - 2(2k+1)] ≧(1/36)[{4(2k+1)^2 +5}/{2(2k+1)}- 2(2k+1)] =(5/36)/{2(2k+1)}, {√k + √(k+1)}/2 <(2/3){(k+1)^(3/2)- k^(3/2)}, 以下は同様。 >>486 (1) 3/p > a/(pa+qb) + b/(pb+qc) + c/(pc+qa) > 0 (2) 3/q > b/(pa+qb) + c/(pb+qc) + a/(pc+qa) > 0 ( ゚∀゚) プゥ ノヽノ) =3'A`)ノ ヒャー くく へヘノ >>486 (1) Max{2/p,3/(p+q)} > a/(pa+qb) + b/(pb+qc) + c/(pc+qa) > min{3/(p+q),1/p}, (2) Max{2/q,3/(p+q)} > b/(pa+qb) + c/(pb+qc) + a/(pc+qa) > min{3/(p+q),1/q}, (3) c/(pa+qb) + a/(pb+qc) + b/(pc+qa) ≧ 3/(p+q), >>487 >>428 >>429 ドイツ Team Selection Test 2010 Vaimo 8, 問2 twitter.com/Inequalitybot/ [129] >>492 ど、どう証明するのかな? ・・・・・・・・ゴクリ。 ヽ|/ / ̄ ̄ ̄\ / ヽ / \ / | | (●)(●)|‖| | / ̄⌒ ̄ヽ U| ||i二二ヽ| | |U\___ノ | | | >>474 (1) 2^(2n-1) /√n < C[2n,n] < 2^(2n) /√(πn), 大関:参考書[3]、p.53 例題10 (1987) W.F.Sierpinski: "Elementary theory of numbers",PWN-Polish Sci. Publ. (1964) 〔問題983〕 実数 0 < x < π/6 に対して、 不等式 sin(x) < 2x/(x +π/2) を示せ。 分かスレ441-983、分かスレ442-10,28,47 >>496 問題だけじゃなく、証明も貼っておこうぜ! ここは不等式のコレクターのためのスレなんだからな。 > y=π/2 で成り立てば、 > 2{1-sin(x)}/(π/2 -x) > sin(x)/x, >>28 > x/sin(x) > (π/2 +x)/2, > ならば十分。そこで > g(x) = x/sin(x), > とおく。 > |x|<π/2 で g(x) は下に凸。 … (*) > g(π/6)=π/3 と g(π/2)=π/2 を通る割線を曳く。 > z = (π/2 +x)/2, > -π/2 < x < π/6 のとき g(x) > (π/2 +x)/2, > > (*) > 1-cos(x) ≧ 0, > x-sin(x) = ∫[0,x] {1-cos(t)} dt > 0 (x>0) > sin(x)-x・cos(x) = ∫[0,x] t・sin(t) dt > 0 (0<x<4.4934094579) > より > g '(x) = {sin(x)-x・cos(x)}/sin(x)^2, > g "(x) = {1-cos(x)}/sin(x)・g '(x) + {1+cos(x)}{x-sin(x)}/sin(x)^3 > 0, 〔問題〕 (1) f(x)g(x) = 1ならば f '(x)g '(x) < 0, さらに f(x)f "(x) < 0 のとき f "(x)g "(x) < 0, (2) g(x) = x/sin(x) について、 |x| < 2.081575977818 ⇒ g "(x) > 0, 分かスレ442-069 >>499 (1) そうです。(微分可能な…) (2) |x|< 2.0815759778181 ⇒ {sin(x)/x}" < 0 を使っていいらしい。 非負実数 a_1、…、a_n に対して、 (Σ[k=1 to n] a_k){Σ[k=1 to n] (a_k)^(n-1)} ≦ n*Π[k=1 to n]a_k + (n-1)*Σ[k=1 to n] (a_k)^n 昔の手書きメモから発掘、詳細不明 ( ゚∀゚) ウヒョッ >>512 兩n = (右辺) - (左辺) = (n-1)Σ[k=1,n] (a_k)^n - {Σ[k=1,n] a_k}{Σ[k=1,n] (a_k)^(n-1)} + n・a_1・a_2…a_n, a_1 = a,a_2 = b,a_3 = c,a_4 = d,a_5 = e, とおいてシューア展開すると、 兩1(a) = 0, 兩2(a,b) = 0, 兩3(a,b,c) = F_1(a,b,c) 兩4(a,b,c,d) = (2/3){F_2(a,b,c) + F_2(b,c,d) + F_2(c,d,a) + F_2(d,a,b)} + (1/3){F_1(a,b,c)d + F_1(b,c,d)a + F_1(c,d,a)b + F_1(d,a,b)c}, 兩5(a,b,c,d,e) = (1/2)Σ[a,b,c] F_3(a,b,c) + (1/6)Σ[a,b,c] F_2(a,b,c)(d+e) + (1/6)Σ[a,b,c] F_1(a,b,c)de, ここに Σ[a,b,c] は C[5,3] = 10項の和 >>513 〔Schurの不等式〕 F_m(x,y,z) = (x^m)(x-y)(x-z) + (y^m)(y-z)(y-x) + (z^m)(z-x)(z-y) ≧ 0, 文献[3] 大関(1987) p.28 文献[8] 安藤(2012) p.27〜28 文献[9] 佐藤(訳)(2013) p.40 a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、 (a^10 + b^10 + c^10)^2 ≧ 3*(a^13 + b^13 + c^13). ┏ ━ゝヽ''人∧━∧从━〆A!゚━━┓。 < ゝ\',冫。’ ,,,, ∧,,∧ ' ゛△´ ' ゝ'┃ ∇ ┠─Σ┼ ,ニ,◎、・ω・') 冫/ そ', .┨'゚,。 .。冫▽ < 冫 r'/ミ/〉⊂ノ 乙 ≧ ▽ 。 ┃ Σ. 〈/")、〉ノノ 、'’ ≦ │て く ┠─ム┼ (_/_iiiノ 、,,’.┼ ァ Ζ┨ ミo'’` .。○.〆 `、,~´+ ! .! √ ▽ ',! ヽ.◇ o.┃ ┗〆━┷. Z,..`"┷━''o.ヾo┷+\━┛,゛; 兩n = Σ[m=1,n-2] 2(n-m-2)! m!/(n-1)! Σ[a,b,c] F_m(a,b,c) S_{n-m-2}(A-{a,b,c}) ≧0, A = {a_1,a_2,…,a_n} 納a,b,c] は C[n,3] = n(n-1)(n-2)/6 項の和。 S_j(B) は集合Bの要素で作ったj次の基本対称式 A = {a_1,a_2,…,a_n} ついで乍ら 納a,b,c] F_m(a,b,c) = {m(m+1)2}Σ[k=1,n] (a_k)^(m+2) S_{n-m-2}(A-{a_k}) - m(n-m-1)納k=1,n] (a_k)^(m+1) S_{n-m-1}(A-{a_k}) + {(n-m)(n-m-1)/2}納k=1,n] (a_k)^m S_{n-m}(A-{a_k}) >>513 兩n = Σ[m=1,n-2] 2(n-m-2)! m!/(n-1)! Σ[a,b,c] F_m(a,b,c) S_{n-m-2}(A-{a,b,c}) ≧0, A = {a_1,a_2,…,a_n} Σ[a,b,c] は C[n,3] = n(n-1)(n-2)/6 項の和。 S_j(B) は集合Bの要素で作ったj次の基本対称式 A = {a_1,a_2,…,a_n} ついで乍ら Σ[a,b,c] F_m(a,b,c) = {m(m+1)2}Σ[k=1,n] (a_k)^(m+2) S_{n-m-2}(A-{a_k}) - m(n-m-1)Σ[k=1,n] (a_k)^(m+1) S_{n-m-1}(A-{a_k}) + {(n-m)(n-m-1)/2}Σ[k=1,n] (a_k)^m S_{n-m}(A-{a_k}) (1/2)*(3/4)*…*(999999/1000000) < 1/1000 を示せ。 ∧_∧ ( ´・ω・) 先月の数蝉に不等式の問題があったような… (つ旦と) と_)_) >>518 √((2k-1)(2k+1)) = √(4kk-1) < 2k, (左辺) = {√(1・3)/2}{√(3・5)/4}…{√((2n-1)(2n+1))/(2n)} / √(2n+1) < 1/√(2n+1) < 1/√(2n) = 0.001 (別法) Stirling の公式から (左辺) = (2n-1)!! / (2n)!! = (2n-1)!! / {(2^n) n!} = (1/4)^n・C(2n,n) = 1/√(nπ)・{1 - 1/(8n) + 1/(128n^2) + 5/(1024n^3) - …… } < 1/√(nπ) = 1/√(500000π) = 0.00079788456080 なお、(左辺) = 0.00079788436133 コレクションになかったのを拾い集めてきた。(A1)以外は、たぶん過去スレにもないと思ふ。 【絶対値絡み】 (A1) a, b, c >0 に対して、|(a-b)/(a+b)| + |(b-c)/(b+c)| ≧ |(a-c)/(a+c)| (A2) [宜蘭 2007] 相異なる a, b, c >0 に対して、|(a+b)/(a-b) + (b+c)/(b-c) + (c+a)/(c-a)| > 1 (A3) [疑問] a, b, c >0 に対して、|(a-b)/(a+b) + (b-c)/(b+c) + (c-a)/(c+a)| のとりうる値の範囲は? 【分数式とか】 (B1) [中国 2008] a, b, c >0 に対して、ab/c + bc/a + ca/b ≧ 2*(a^3 + b^3 + c^3)^(1/3) (B2) [宜蘭 2010] a, b, c >0 に対して、1/(a^2) + 1/(b^2) + 1/(c^2) + 1/{(a+b+c)^2} ≧ (7/25)*{1/a + 1/b + 1/c + 1/(a+b+c)}^2 (B3) [IMO short list 2008] a, b, c, d >0 に対して、(a-b)(a-c)/(a+b+c) + (b-c)(b-d)/(b+c+d) + (c-d)(c-a)/(c+d+a) + (d-a)(d-b)/(d+a+b) ≧ 0 (B4) [不等式bot] a, b >0 に対して、 (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3 + 9(abc)^2 + abc(a^3 + b^3 + c^3 + 9abc) ≧ 3abc(a+b)(b+c)(c+a) 不等式botってのを最近見つけたんだけど、何これ? botって何ぞや? 同じ問題を繰り返し吐き出してるから、自動なのか? 登録してある問題をダブりなしに全部見てみたい。 【√がらみ】 (C1) [宜蘭 2008] a, b, c >0 に対して、次式をみたす実数 k の最小値を求めよ。 a√b + b√c + c√a ≦ k√{(a+b)(b+c)(c+a)} (C2) [香佐富斯坦 2010] a, b >0 に対して、 √{(a^2-a+1)(b^2-b+1)} + √{(a^2+a+1)(b^2+b+1)} ≧ 2(x+y) (C3) [スポック 2012] a, b, c >0 に対して、 (a+b)√{(b+c)(c+a)} + (b+c)√{(c+a)(a+b)} + (c+a)√{(a+b)(b+c)} ≧ 4(ab+bc+ca) (C4) [中国 2012] a, b, c∈[0,1] のとき、√|a-b| + √|b-c| + √|c-a| の最大値を求めよ。 (C5) [波蘭 2004] a, b, c∈R に対して、 √(2a^2+2b^2) + √(2b^2+2c^2) + √(2c^2+2a^2) ≧ √{3(a+b)^2 + 3(b+c)^2 + 3(c+a)^2} (C6) [墺太利 2008] a, b, c >0、a+b+c=1 に対して、 √{a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b)} ≦ 1/3 (C7) [土耳古 2005] a, b, c, d ∈R に対して、 √(a^4 + c^4) + √(a^4 + d^4) + √(b^4 + c^4) + √(b^4 + d^4) ≧ (2√2)*(ad+bc) 【微積分絡み】 (D1) [Putnum 1999] 実関数 f がC^3級で、任意の x∈R に対して、 0 < f'(x)、 0 < f''(x)、 0 < f'''(x) ≦ f(x) をみたすとき、f'(x) < 2f(x) を示せ。 (D2) [AoPS] f は [0,1] で単調増加な凸関数で、f(0)=0、f(1)=1 をみたす。 g を fの逆関数とするとき、x^2 ≧ f(x)g(x) を示せ。 (D3) [近大 2008] 実関数 f がC^2級で、任意の x∈R に対して f''(x)≧f(x) をみたすとき、 f(x) ≧ f(0)*{e^x + e^(-x)}/2 + f'(0)*{e^x - e^(-x)}/2 (D4) [山梨医改、不等式bot] f(0) = f(1) = 0、f'は[0,1]で連続のとき、∫[0,1] {f'(x)}^2 dx ≧ (π^2)*∫[0,1] {f(x)}^2 dx (D5) [京大院 2011] 実連続関数 f,φ は区間[a,b]上で狭義単調増加のとき、 ∫[a,b] f(x)dx = 0 ならば、∫[a,b] f(x)φ(x)dx > 0 を示せ。 (D6) [羅馬尼亜 2004] fが[0,1]で積分可能で、∫[0,1] f(x)dx = ∫[0,1] xf(x)dx = 1 のとき、∫[0,1] {f(x)}^2 dx ≧ 4 ;ヾ ;ヾ ;";ヾ;" ;ヾ ;ヾ ; ;ヾ ;ヾ ;ヾ";ヾ;ヾ ';ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ.;ヾ ';ヾ ;ヾ ;ヾ;ヾ ';ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ"゙ ""ヾ゙;ヾ〃;ヾ ;ヾ゙;ヾ ;ヾ ;ヾ"〃ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ;ヾ "';ヾ;ヾ ;ヾ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;//;ヾ;ヾ〃゙;ヾ ;ヾ;ヾ" """;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ" ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ;ヾ" ""ヾ;ヾ ;ヾ ;ヾ ゙;ヾ〃ミヾ ;ヾ゙;ヾ ;ヾ 〃;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ;ヾ ;ヾ ;ヾ 〃;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ" "" ;ヾ ;ヾ゙ヾ ;ヾ ;ヾ;ヾ"゙ "iヾ;ヾ;ヾ" ゙ヾ;ヾ;ヾ" "" 'ヾ;ヾ" || l | ゙|/;ヾ" " " |l i l゙l| ,,,, ",,,," ,,, " ∧ ∧ ,,, |l | ゙ || '' ,, " " ,, 春は不等式! ( ゚∀゚)∬ ノノ 从ヾ ヽ、 ,,, '' やうやう白くなりゆく山際 '' ` ` / (_)旦. / 少し明かりて、 / / '''' "" 紫だちたる雲の細くたなびきたる  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ >>520 (A2) [155] (左辺) = |(p+q)/(p-q)|, ここに p = aab+bbc+cca -3abc ≧ 0,q = abb+bcc+caa -3abc ≧ 0, q-p = (a-b)(b-c)(c-a) = , 佐藤(訳) 問題3.103 (A3) 絶対値の中身 = (a-b)(b-c)(c+a)/{(a+b)(b+c)(c+a)}, -1 〜 +1 (B1) [96] (ab/c + bc/a + ca/b)^3 ≧ 8(aaa+bbb+ccc) + 3abc, bc/a=x,ca/b=y,ab/c=z とおく。 (B2) [198] a+b+c = s,1/a+1/b+1/c = 3/h とおく。 s-3h ≧ 0, (左辺) ≧ 3/hh + 1/ss, (右辺) = (7/25)(3/h+1/s)^2, (左辺) - (右辺) ≧ 6(2s-h)(s-3h)/(5hs)^2 ≧ 0, 等号成立は s-3h = 0,a=b=c. (B3) [100] a-c,b-d の2次形式として正定値。 (B4) [107] (左辺) - (右辺) = (sssu+ttt+27uu) - 9stu ≧0 (←AM-GM) ここに、s = a+b+c、t = ab+bc+ca、u = abc. >>521 (C1) [70] コーシーにより、 (左辺)^2 ≦ (a+b+c)(ab+bc+ca) = (a+b)(b+c)(c+a) + abc ≦ (9/8)(a+b)(b+c)(c+a), K = 3/√8. 佐藤(訳) 問題3.113 (C2) [114] (左辺)^2 = 2{(aa+1)(bb+1) + ab + √(a^4+aa+1)√(1+bb+b^4)} = 2{(aa+3ab+bb) + (ab-1)^2 + √(a^4+aa+1)√(1+bb+b^4)} ≧ 2{(aa+3ab+bb) + (aa+ab+bb)} = 4(a+b)^2 (←コーシー) 等号成立は xy=1. (C3) [16] (a+b)√{(b+c)(c+a)} ≧ (a+b){c+√(ab)} ≧ (a+b)c + 2ab, 循環的にたす。 (C4) [62] bはaとcの中間にあるとする。 √|a-b| + √|b-c| + √|c-a| ≦ (1+√2)|c-a| ≦ 1 + √2、 等号は(a,b,c)=(0,1/2,1) (C5) [86] 2√{3(aa+bb+cc)} ≧ √(2aa+2bb) + √(2bb+2cc) + √(2cc+2aa) ≧ √{3(a+b)^2+3(b+c)^2+3(c+a)^2} ≧ 2(a+b+c), (左辺)^2 = 4(aa+bb+cc) + 4√(aa+bb)√(bb+cc) + … + … ≧ 4(aa+bb+cc) + 2(a+b)(b+c) + 2(b+c)(c+a) + 2(c+a)(a+b) = 3(a+b)^2 + 3(b+c)^2 + 3(c+a)^2 = (中辺)^2. (C6) [49] f(x) = (1-x)log(x) ≦ -(1-x)^2 は 0<x<1 で上に凸。 f(a) + f(b) + f(c) ≦ 3f((a+b+c)/3) = 2log(1/3) (C7) [71] √(xx+yy) ≧ (x+y)/√2 を使う。 >>522 (D1) [143] 未だ解けぬ〜 (D2) [164] {f(x)/x} ' = {xf '(x) - f(x)}/xx =∫[0→x] {f '(x) - f '(t)}dt/xx > 0(←fは凸) f(x)/x は単調増加, x < g(x) < 1, f(x)/x ≦ f(g(x))/g(x) = x/g(x), (D3) [144] 0 ≦∫[0,x] {f ''(t) - f(t)}sinh(x-t)dt = [ f(t)cosh(x-t)+f '(t)sinh(x-t) ](t=0,x) = f(x) - f(0)cosh(x) - f '(0)sinh(x). (D4) [121] (Wirtingerの不等式) g(x) = cot(x)とおく。 g '(x) + g(x)g(x) = -1, [f(x)f(x)g(x)](x=0-π) = 0, ∴ 0 ≦∫{f '(x)−f(x)g(x)}^2 dx = ∫f '(x)f '(x)dx - [f(x)f(x)g(x)](x=0-π) + ∫f(x)f(x){g '(x) + g(x)g(x)}dx = ∫f '(x)f '(x)dx - ∫f(x)f(x)dx, 大関・青柳「不等式」槇書店 p.204 (D5) [211] 中間値の定理から、a<c<b なるcがあって f(c)=0, 単調性から、(x-c)f(x)≧0、(x-c){φ(x)-φ(c)}≧0, これを入れる。 (D6) [54] 0 ≦∫{f(x)+2-6x}^2 dx = ∫f(x)^2 dx + 4∫f(x)dx -12∫f(x)・x dx +4∫(1-3x)^2 dx = ∫f(x)^2 dx + 4 -12 +4. [ ]内は Inequalitybot の番号ですぅ。 (C8) [月即別 2013] [187] a≧b≧0 のとき、(a^2+b^2)^(1/2) + (a^3+b^3)^(1/3) + (a^4+b^4)^(1/4) ≦ 3a+b >>527 (C8) [187] (a^2 + b^2)^(1/2) ≦ a + (√2−1)b, (a^3 + b^3)^(1/3) ≦ a + {2^(1/3)−1}b, (a^4 + b^4)^(1/4) ≦ a + {2^(1/4)−1}b, 辺々たす。 (左辺) ≦ 3a + 0.8633417b >>87 a^(2/3) = A,b^(2/3) = B,c^(2/3) = C とおくと、 aa+bb+cc - 2(ab+bc+ca) + 2abc+1 ≧ A^3 + B^3 + C^3 - 2{AB(A+B) +BC(B+C) +CA(C+A)} + 3ABC = 兩3(A,B,C) >>513 = F_1(A,B,C) ≧ 0, >>163 〔Turkevici の不等式〕 - 改 a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + 2abcd - {ab(aa+bb) +ac(aa+cc) +ad(aa+dd) +bc(bb+cc) +bd(bb+dd) +cd(cc+dd)}/2 = a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + 2abcd - {(a^3)(b+c+d) -(b^3)(c+d+a) -(c^3)(d+a+b) -(d^3)(a+b+c)}/2 = (1/2)兩4 ≧ 0, >>513 >>163 〔Turkevici の不等式〕- 改 a^4 + b^4 + c^4 + d^4 + 2abcd - {ab(aa+bb) +ac(aa+cc) +ad(aa+dd) +bc(bb+cc) +bd(bb+dd) +cd(cc+dd)}/2 = {3(a^4 + b^4 + c^4 + d^4) -(a+b+c+d)(a^3+b^3+c^3+d^3) + 4abcd}/2 = (1/2)兩4 ≧ 0 >>513 >>515 a^(10/3) = A,b^(10/3) = B,c^(10/3) = C とおくと本題は (A^3+B^3+C^3)^2 ≧ 3(A^4+B^4+C^4) 〔補題〕 (A^3+B^3+C^3)^2 ≧ (AB+BC+CA)(A^4+B^4+C^4) m = min{A,B,C} とおき、 {A,B,C} = {m,m+x,m+y} (x≧0,y≧0) とする。 (左辺) - (右辺) = (A^3+B^3+C^3)^2 - (AB+BC+CA)(A^4+B^4+C^4) = (m^4)(xx-xy+yy) + (2m^3)xy(x+y) + (2m^2){2xx(x-y)^2 +5xxyy +2yy(x-y)^2} + m(x+y){xx(2x-2.5y)^2 +(7/2)xxyy +yy(2.5x-2y)^2} + (x-y)(x^5-y^5) + 2(xy)^3 ≧ 0, >>515 >>533 〔補題〕 (A^3+B^3+C^3)^2 ≧ (AB+BC+CA)(A^4+B^4+C^4) (左辺) - (右辺) = F_0(A,B,C) F_0(AA,BB,CC) + (ABC)^2 F_{-2}(A,B,C) ≧ 0, F_0(A,B,C) = (A-B)(A-C) + (B-C)(B-A) + (C-A)(C-B) = {(A-B)^2 + (B-C)^2 + (C-A)^2}/2 ≧ 0, F_{-2}(A,B,C) = (A-B)(A-C)/AA + (B-C)(B-A)/BB + (C-A)(C-B)/CC = ABC F_1(1/A,1/B,1/C) ≧ 0, >>533 >>534 〔補題〕 1≦n≦3,A〜C≧0 のとき (A^n + B^n + C^n)^2 ≧ (AB+BC+CA) {A^(2n-2)+B^(2n-2)+C^(2n-2)} ≧ 3ABC {A^(2n-3)+B^(2n-3)+C^(2n-3)}, 右側はチェビシェフなど。 >>533 >>534 >>535 〔補題〕 1≦n≦5,A〜C≧0 のとき (A^n + B^n + C^n)^2 ≧ 3ABC {A^(2n-3) + B^(2n-3) + C^(2n-3)}, (例) n=3 のとき (左辺) - (右辺) = (A^3 +B^3 +C^3) (A^3 +B^3 +C^3 -3ABC) ≧ 0, n=4 のとき (左辺) - (3/2) {(a^3)(b+c) + (b^3)(c+a) + (c^3)(a+b)} = (1/2) {(aa-ab+bb)(a-b)^2 + (bb-bc+cc)(b-c)^2 + (cc-ca+aa)(c-a)^2} ≧ 0, ここに、a=AA,b=BB,c=CC. (3/2) {(a^3)(b+c) + (b^3)(c+a) + (c^3)(a+b)} - (右辺) = (3/2) {(A^6)(B-C)^2 + (B^6)(C-A)^2 + (C^6)(A-B)^2} ≧ 0, 三角形の辺長 a、b、c に対して、 {√(a+b-c)}/(√a + √b - √c) + {√(b+c-a)}/(√b + √c - √a) + {√(c+a-b)}/(√c + √a - √b) ≦ 3 >>537 [6] A = √b+√c-√a > 0, B = √c+√a-√b > 0, C = √a+√b-√c > 0, とおく。 b+c-a = AA - (A-B)(A-C)/2, √(b+c-a) ≦ A - (A-B)(A-C)/4A, (左辺) = √(b+c-a) /A + √(c+a-b) /B + √(a+b-c) /C ≦ 3 - (A-B)(A-C)/(4AA) - (B-C)(B-A)/(4BB) - (C-A)(C-B)/(4CC) = 3 - (1/4) F_{-2}(A,B,C) = 3 - (ABC/4) F_1(1/A,1/B,1/C) ≦ 3. IMOSL-2006 予選 A.6、JMO春合宿 文献[8] 安藤 (2012),p.147 例題3.2.3(9), http://www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式1-307、434、437 ( ゚∀゚) いつも素晴らしいデスネ。GWに精読させていただきます。 実数 a_k、b_k (1≦k≦n)) に対して、 1 + Σ[k=1 to n] (a_k + b_k)^2 ≦ (4/3)*{1 + Σ[k=1 to n] (a_k)^2}*{1 + Σ[k=1 to n] (b_k)^2} 任意の m、n∈N (m > n) に対して、 lcm(m, n) + lcm(m+1, n+1) > 2mn/{√(m-n)} >>540 A = Σ[k=1,n] (a_k)^2, B = Σ[k=1,n] (b_k)^2, C = Σ[k=1,n] a_k b_k, とおく。 A+B-2C = Σ[k=1,n] (a_k - b_k)^2 ≧ 0, AB-CC = Σ[1≦j<k≦n] (a_j b_k - a_k b_j)^2 ≧ 0 (←コーシー) (右辺) - (左辺) = (4/3)(1+A)(1+B) - (1+A+B+2C) = (1/3) (1+A+B+4AB-6C) = (1/3) {(A+B-2C) + 4(AB-CC) + (1-2C)^2} ≧ 0, 等号成立は a_k = b_k,A = B = C = 1/2. >>541 gcd(m,n) | (m-n) gcd(m+1,n+1) | (m-n) 左辺は互いに素ゆえ、 (←背理法で) gcd(m,n)gcd(m+1,n+1) | (m-n) lcm(m,n) + lcm(m+1,n+1) = mn/gcd(m,n) + (m+1)(n+1)/gcd(m+1,n+1) > mn{1/gcd(m,n) + 1/gcd(m+1,n+1)} > 2mn/√{gcd(m,n)gcd(m+1,n+1)} (←AM-GM) ≧ 2mn/√(m-n), >>374 >>398 >>399 >>416 >>417 nΣ[k=1,n] s_k (a_k)^2 ≧ M_n (s_n)^3, とおく。 M_2 = 0.7377393811182 = 2(47-14√7)/27 (a,b) =(√7 -1,4-√7)(3+√7,2+√7) M_3 = 0.6481616033162 (a,b,c) = (1.38436,1.13916,1) M_4 = 0.60233351875 (a,b,c,d) = (1.52472,1.25465,1.10139,1) M_5 = 0.574255 M_6 = 0.5551782 M = 0.444444 = 4/9 (n→∞), >>544 Memo. 漸化式は a_{n+1} = (1/2) {√(2x-1) - 1} s_n, s_{n+1} = s_n + a_{n+1}, M_n = (n/3) (x-1), ここに x = (1 + a_n/s_n)^2. (例) M_1 = 1 a_1 = s_1 = 1 M_2 = 2(47-14√7)/27 = 0.7377393811182 a_2 = (√7 -1)/2 = 0.8228756555323 s_2 = (√7 +1)/2 = 1.8228756555323 M_3 = 0.64816160331616 a_3 = 0.72235563718495 s_3 = 2.54523129271725 M_4 = 0.60233351872589 a_4 = 0.65585825517001 s_4 = 3.20108954788726 M_5 = 0.57425545264547 a_5 = 0.60768519695068 s_5 = 3.80877474483794 M_6 = 0.55517800140267 a_6 = 0.57066170678793 s_6 = 4.37943645162587 本題から逸れてしまった… >>374 (改) Σ[k=1,n] (s_{k-1} + s_k)/2 ・ (a_k)^2 > (4/9n) (s_n)^3, 便宜上 s_0 = 0 とおいた。 * 中点 (s_{k-1} + s_k)/2 で接線を曳く。 >>544 >>545 Memo. の続き M_10 = 0.51565443182467 a_10 = 0.47804498656917 s_10 = 6.41086198943751 M_100 = 0.45433807243808 a_100 = 0.21749813721698 s_100 = 32.0226683930223 M_1000 = 0.44575956171259 a_1000 = 0.10051892239154 s_1000 = 150.383787216053 M_10000 = 0.44460977509949 a_10000 = 0.04662595061307 s_10000 = 699.152499550131 >>545 Memo. (略証) nについての帰納法による。 a_{n+1} = A と略す。 まず s_n を固定して a_1 〜 a_n を動かしたときの最小値は、 Σ[k=1,n+1] s_k (a_k)^2 - μ(s_{n+1})^3 = Σ[k=1,n] s_k (a_k)^2 + (s_n + A)A^2 - μ(s_n + A)^3 ≧ (M_n /n)(s_n)^3 + (s_n + A)A^2 - μ(s_n + A)^3 = f(A) つまり a_1 〜 a_n の比はnの場合と同じでよい。 次に f(A) = 0 が重根をもつようにμを決めるのだが、言い換えれば f(A) = 0 と f '(A) = 0 が共通根をもつことである。 f(A) = (M_n /n)(s_n)^3 + (s_n + A)A^2 - μ(s_n + A)^3 = 0, f '(A) = 2(s_n)A + 3A^2 - 3μ(s_n + A)^2 = 0, から A とμを決める。 まずμを消去すれば A(s_n + A) - 3M_n /(2n・s_n) = 0, ∴ A = (1/2){√[1 + 6M_n /(n・(s_n)^3)] -1}s_n, これを使うとμが求まり M_{n+1} = (n+1)μ = {(n+1)/3}([1 + A/s_{n+1}]^2 - 1), s_{n+1} = s_n + A, と表わせる。 〔問題8〕 閉区間 [0,1] で定義された連続関数f(x)は、次の条件を満たすとする。 ある正の実数Lが存在して、[0,1] 上のすべての実数xにおいて 0 ≦ f(x) ≦ L∫[0,x] f(t)dt が成り立つ。 このとき、[0,1] 上のすべての実数xにおいてf(x)=0であることを示せ。 http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai8.php 〔問題12〕 p_1,p_2,…,p_k を m 以下のすべての素数とする。 この時、以下の不等式が成り立つことを示せ。 log(m) - 1 ≦ (1/m)log(m!) < Σ[i=1,k] log(p_i)/(p_i - 1) http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai12.php 〔問題18〕 正の実数 a,b,c が ab+bc+ca=1 を満たすとき (b+c) {√(aa+1) +a} ≧ 2, (c+a) {√(bb+1) +b} ≧ 2, (a+b) {√(cc+1) +c} ≧ 2, が成り立つことを示せ。 http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai18.php 〔問題32〕 nを2以上の整数とする。正の実数 a_1,a_2,…,a_n に対して不等式 Σ[k=1,n] (kk-2k+2)a_k + Σ[k=1,n-1] (1/a_k)(a_{k+1})^2 ≧ (n^2)a_n が成り立つことを示せ。また、等号が成立する条件を求めよ。 http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai32.php >>548 訂正スマソ A (s_n + A) - (3M_n /2n) (s_n)^2 = 0, ∴ A = (1/2) {√(1 + 6M_n /n) - 1} s_n, [bot 5] a, b, c≧0 のとき、a(a-b)(a-2b) + b(b-c)(b-2c) + c(c-a)(c-2a) ≧0 (1) この証明は? (2) a(a-mb)(a-nb) + … とイパーン化できるでござるか? >>552 [111] (1) min{a, b, c} = M, {a, b, c} = {M, M+x, M+y} とすると、 (左辺) = 2M(xx-xy+yy) + x(x-2y)^2 + (x-y)^2・y ≧0. USA.ELMO-2009 day1-Q.3 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
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