不等式への招待 第９章 [無断転載禁止]©2ch.net
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n∈N、r∈R、r≧1 に対して、
{(n+1)^(r+1)*n^r}/{(n+1)^(r+1) - n^(r+1)} ≧ Σ[k=1 to n] k^r ≧{(n+1)^r*n^(r+1)}/{(n+1)^(r+1) - n^(r+1)}
油断、怠慢、即ち怠惰！ (1) a>b>c> 0 のとき、ax^2+bx+c=0 の解αは、|α|<1 をみたすことを示せ。
(2) x^3 + 3x^2 + 5x + 7 = 0 の解αは、1<|α|≦3 をみたすことを示せ。
あぁぁ、脳が…震える…
-‐. . : ヘ三≧-_
＜: : ／: : : : : : :￣＜三≧
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三=- ＿＿＿__.| |.＼. ￣ ／.,:::::: ‐ ､: :/: : /: : :i.: : : : |
三=---- 三三/ .} 冫 ─i´ ,,,. ´ | ● i::: : :, :_., : |: : : :.|
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冫"~ ￣ / / i . 丶 ￣i ￣ ./ i i .|}::/: : : :/
／ イ ´ / ｀メ ノ ＼ ＼ |／ | |.|.: : : :./
| =＝ ／| i ｀ ＜丿メノ ｀ う ア ´ ／／/: : ／ ＼ ___
┐ __ －=三〈 ｀ー-＼ ＼ ノメ／／''" .／／ ￣ _ - = 三三三三
i-'".|三三三三=丶- ､ ＼ ｀､ノ／/ ,.-'''" -=三三三三三三=
/ /三三三三三＝┐ 丶 - ´, / / -＝三三三三三三三=
. 〈 〈 三三三三三三 .| | └‐- ´i/ /＝三三三三三三三三 〈 >>449
(1)
・解が実数のとき（bb-4ac≧0）
｜x｜≧1 ⇒ axx+bx+c ≧ a|x| -b|x| +c =（a-b)|x｜+ c > c > 0
∴｜α｜< 1
・解が共軛複素数のとき（bb-4ac<0）
｜α| = √(αα~）= √(c/a）< 1,
(2)
x≧-2 ⇒ x^3 +3x^2 +5x +7 =（x+2)(xx+x+3）+ 1 ≧ 1,
x≦-3 ⇒ x^3 +3x^2 +5x +7 =（x+3)(xx+5）-8 ≦ -8
中間値の定理より（-3，-2）に実解ｒがある。
x^3 +3x^2 +5x +7 =（x-r){xx +(3+r)x - 7/r},
xx +（3+r)x - 7/r = 0 は複素数解αをもつ。
解と係数の関係から ｒαα~ = -7,
｜α｜= √(αα~） =√(-7/r）,
∴ √(7/3）< ｜α｜ < 2,
・蛇足
ｒ = -1 +（1/3){6(-9+√87)}^(1/3）-（1/3){6(9+√87)}^(1/3)
= -2.1795090246
｜α｜= 1.79213072 >>436
s = 5/4 とおく。
133 > 131．25 = 84 ss,
110 > 105 = 84 s,
84 = 84,
n^5 > 84^5 *（s^10 + s^5 +1)
= 84^5 *｛(5/4)^10 +（5/4)^5 + 1}
> 84^5 *｛9 + 3 + 1}
= 84^5 * 13
>（84 * 5/3)^5
= 140^5,
∴ 141 ≦ n ≦ 147 （>>440-441) >>449
(1）は新潟大学ですね。
>>451
〔掛谷の定理〕
F(x）= a_0 x^n + a_1 x^{n-1} ＋ …… + a_{n-1｝x + a_0,
a_0 > a_1 > a_2 > …… > a_{n-1｝> a_n > 0
ならば、F(x）= 0 の解の絶対値は１より小さい。
(略証）
F(0）= a_n >0，F(1）> 0,
(1 - 1/x）F(x）/ x^n = a_0 - Σ[j=1，n］（a_{j-1} - a_j)/x^j - a_n / x^(n+1),
x=1 のときは
0 = a_0 - Σ[j=1，n］(a_{j-1} - a_j）- a_n,
辺々引いて
(1 - 1/x）F(x) / x^n = Σ[j=1，n+1］（a_{j-1} - a_j)(1 - 1/x^j) + a_n（1 - 1/x^{n+1}),
ここで、｜x｜≧1, x≠1 ならば
Re｛1/x^j｝≦｜1/x|^j ≦ 1,
であるが、等号成立は x=1 に限るので
Re｛1 - 1/x^j｝> 0,
∴ Re｛右辺｝> 0,
∴ F(x）≠ 0,
∴｜α｜<1
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/solution/solution.htm
「經濟研究」の別証明は、あまりにも迂回的で逆行的でござるな。
市大とちゃんと統合成立するかなぁ？ >>453
などと嘯いてたら、間違えてしまった......orz
F（x）= a_0 x^n + a_1 x^{n-1} ＋ …… + a_{n-1｝x + a_ｎ, >>453-454
あぁぁ…、あなたはなんと勤勉なる事か！
偶々ネットで見かけた掛谷のpdfを見て出題したのでござるが、入試問題まで探してくるとはとはとはとは…！ >>451>>453
その『掛谷の定理』関連について詳しく書かれている本はないかなぁ？ 掛谷宗一
http://wp1.fuchu.jp/~sei-dou/jinmeiroku/kakeya-souichi/kakeya-souichi.htm 根の大きさの限界
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/ouyoukaiseki4/algebraic-equation/kadai-2003-1/node5.html 逆数バージョン
〔掛谷の定理〕
正係数のn次多項式
F(x）= a_0 x^n + a_1 x^{n-1} ＋ …… + a_{n-1｝x + a_n,
0 < a_0 < a_1 < a_2 < …… < a_{n-1｝< a_n
について、F(x）= 0 の解の絶対値は１より大きい。
(略証）
F(0）= a_n >0，F(1）> 0,
(x-1）F(x）= a_0 x^(n+1）+ Σ[j=1，n］（a_{n-j+1｝- a_{n-j}) x^j - a_n,
x=1 のときは
0 = a_0 + Σ[j=1，n］（a_{n-j+1｝- a_{n-j}）- a_n,
辺々引いて
(x-1）F(x）= a_0（x^{n+1} -1) + Σ[j=1，n］（a_{n-j+1｝- a_{n-j})(x^j -1),
ここで、｜x｜≦ 1, x≠1 ならば
Re｛x^j｝≦｜x|^j ≦ 1,
であるが、等号成立は x=1 に限るので
Re｛x^j -1｝< 0,
∴ Re｛右辺｝< 0,
∴ F(x）≠ 0,
∴｜α｜> 1
(系） x → 1/x とすれば >>453
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/solution/solution.htm >>453 >>459
(1)
n次方程式 F(x）= 0 の根｛r_k｝がすべて実数のとき、
F(x）が極値・停留値をとる点b｛F '(x）= 0 の実数解｝は次をみたす。
r_min ≦ b ≦ r_max
(2)
n次多項式 F(x）が停留値をとる点β｛F '(x）= 0 の解｝は、
F(x）= 0 のすべての根を含む凸領域内にある。
例） すべて単根｛α_k｝のときは
β = Σ[k=1,n］ｔ_k α_k
重み t_k = |β-α_k|^(-2)／{Σ[k=1,n］｜β-α_k｜^(-2)} >>460
重み t_k = |β-α_k|＾(-2)／{Σ[ｊ=1,n］｜β-α_j|＾(-2)} >>448
r=1 のときは等号になるので r>1 とする。中辺を
S(n）= Σ[k=1，n］ k^r
とおく。問題の式は
1/n ＞ S(n)/n^(r+1）- S(n)/(n+1)^(r+1）＞ 1/(n+1),
S(n)/S(n-1）＞｛(n+1)/n}^(r+1）＞ S(n+1)/S(n),
S(n)/(n+1)^(r+1）＞ S(n-1)/n^(r+1） …… 増加列
S(n)/n^(r+1）＞ S(n+1)/(n+1)^(r+1） …… 減少列
{1/(n+1)}Σ[k=1，n］｛k/(n+1)}^r ＞（1/n)Σ[k=1，n-1］（k/n)^r
（1/n)Σ[k=0，n］（k/n)^r ＞ {1/(n+1)}Σ[k=0，n+1］｛k/(n+1)}^r
となる。 >>448 （続き)
f(x）= x^r （r≧1）は下に凸だから、下の補題より
S(n)/{n（n+1)^r｝≧ S(n-1)/{(n-1）n^r},
S(n)/{(n+1）n^r｝≧ S(n+1)/{(n+2）（n+1)^r},
これと n/(n-1）＞（n+1)/n ＞（n+2)/(n+1） から >>462 が出る。
なお、n >> r では S(n）～｛1/(r+1)}(n + 1/2)^(r+1）
〔補題〕
f(x）が 0<x<1 で下に凸ならば
1）（1/n）Σ[k=1，n］f(k/(n+1)）≧｛1/(n-1)｝Σ[k=1，n-1］f(k/n),
2）｛1/(n+1)｝Σ[k=0，n］f(k/n）≧｛1/(n+2)｝Σ[k=0，n+1］f(k/(n+1)),
(略証)
1）
凸性からJensenにより
｛(n-k)/n｝f(k/(n+1)）+（k/n）f((k+1)/(n+1)）≧ f(k/n),
k=1 から k=n-1 まで加えて（n-1）で割る。
2）
凸性からJensenにより
｛k/(n+1)｝f((k-1)/n）+｛(n+1-k)/(n+1)｝f(k/n）≧ f(k/(n+1)),
k=0 から k=n+1 まで加えて（n+2）で割る。 >>462
> r=1 のときは等号になる
は間違いでした。
>>463
2) f(x）が 0≦x≦1 で下に凸ならば…
http://suseum.jp/gq/question/2868 〔Popoviciuの不等式〕
f(x) が下に凸ならば、 (a+b+c)/3 = m に対して
f(a) + f(b) + f(c) + 3f(m) ≧ 2f((a+b)/2) + 2f(a+c)/2) + 2f((b+c)/2),
(略証)
a≦b≦c としてよい。
(i) a，b ≦ m ≦ c のとき
f(a) + f(b) ≧ 2f((a+b)/2),
f(m) + f(c) ≧ 2f((m+c)/2),
2f(m) + 2f((m+c)/2) ≧ 2f((a+c)/2) + 2f((b+c)/2),
辺々たす。
(ii) a ≦ m ≦ b，c のとき
f(a) + f(m) ≧ 2f((a+m)/2)
2f((a+m)/2) + 2f(m) ≧ 2f((a+b)/2) + 2f((a+c)/2),
f(b) + f(c) ≧ 2f((b+c)/2),
辺々たす。
文献［9］佐藤淳郎（訳）p.41 演習問題1.89 a、b、c ∈ (1、∞) または、a、b、c ∈ (0、1) のとき、
log_a(bc) + log_b(ca) + log_c(ab) ≧ 4{ log_(ab)c + log_(bc)a + log_(ca)b }
（参考）
過去スレに、a、b、c ∈ (1、∞) のとき、
左辺 > 定数
定数 > 右辺 > 定数
というのを収集して貼ったような希ガス、ハロゲンガス…。
詳細は…不明ですか？ あなた、怠惰…ですね
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＼ .＼//////／ | >>469
A = ln(a)，B = ln(b)，C = ln(c) とおく。
題意により、A，B，Cは同符号。
正であるとしても一般性を失わない。
S=A+B+C，T=AB+BC+CA，U=ABC とおく。
(左辺) = (B+C)/A + (C+A)/B + (A+B)/C = (ST-3U)/U,
(右辺) = 4{C/(A+B) + A/(B+C) + B/(C+A)} = 4{S(SS-2T) + 3U}/(ST-U),
(左辺) - (右辺) = {(ST-9U)T + 3SU･F_{-1}) + SSU･F_{-2} }/{T(ST-U)} ≧ 0,
ここに
U･F_{-1} = TT -3SU ≧ 0,
UU･F_{-2} = T^3 -4STU +9UU ≧ 0,
なお、
(右辺) ≧ 6 (Nesbitt、Shapiro-3) >>466
f(m) + f((m+c)/2) ≧ f((a+c)/2) + f((b+c)/2),
f(m) + f((a+m)/2) ≧ f((a+b)/2) + f((a+c)/2),
のところが分からん？
〔補題〕
f(x) は m，nを含む区間で下に凸
m+d，n-d が mとnの中間にあるとき
f(m) + f(n) ＞ f(m+d) + f(n-d)
(略証)
m≠n、0<λ<1 に対して
（1-λ)f(m) + λf(n) ＞ f((1-λ)m + λn) = f(m+d)
λf(m) +（1-λ)f(n) ＞ f(λm + (1-λ)n) = f(n-d)
辺々たす。
ここに、d = λ(n-m) とおいた。 >>469
〔補題〕
A，B，C が同符号のとき
(B+C)/A + (C+A)/B + (A+B)/C ≧ 4{A/(B+C) + B/(C+A) + C/(A+B)},
(略証)
AM-HM より
A(1/B + 1/C）≧ 4A/(B+C),
B(1/C + 1/A) ≧ 4B/(C+A),
C(1/A + 1/B) ≧ 4C/(A+B),
辺々たす。 >>470
〔Nesbitt、Shapiro-3〕
A/(B+C) + B/(C+A) + C/(A+B) ≧ 3/2,
(左辺) = (A+B+C) {1/(B+C) + 1/(C+A) + 1/(A+B)} - 3
≧ (A+B+C) * 9/ {2(A+B+C)} - 3 （← AM-HM)
= 9/2 - 3
= 3/2.
(左辺) = (A+B+C) {1/(B+C) + 1/(C+A) + 1/(A+B)} - 3
= (1/2) {(B+C)+(C+A)+(A+B)} {1/(B+C) + 1/(C+A) + 1/(A+B)} - 3
≧ (1/2)(1+1+1)^2 - 3 （← コーシー）
= 9/2 - 3
= 3/2. C[n,r]は二項係数とする。
(1) n ∈N (ｎ≧2) に対して、2^{2n-1}/\sqrt(n) < C[2n, n] < 2^{2n-1} を示せ。
(2) n+1 以上 2n-1 以下の素数の積は、2^{2n-2} より小さいことを示せ。
ただし、該当する素数がないときは、積を1とする。
(3) n 以下の素数の積は、2^{2n-1} 以下であることを示せ。 >>474
(1)
2^(2n-1) /√n < C[2n，n] < 2^(2n-1) √{2/(n+1)},
nについて帰納法による。
n=2 のとき、8/√2 < C[4，2] < 8√(2/3) ゆえ成立。
n-1 について成り立つならば
2^(2n-3)/√(n-1) < C[2n-2，n-1] < 2^(2n-3)√(2/n),
4√{(n-1)/n} < 4 (2n-1)/2n < 4√{n/(n+1)},
辺々かけて
2^(2n-1)/√n < C[2n，n] = 2^(2n-1)√{2/(n+1)},
∴ n についても成立。 >>475
いつもながら実に実に実に～ぃ、素晴らしいデス！
参考資料まで探して頂き、感謝の極みでござるぞ！ >>463
〔補題〕
http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/265 （不等式２）
（２）（x=0，x=1 も含む方）
大関： 文献[3] p.130 例題6. >>476
Stirlingの近似
n！≒ √(2π）n^(n+1/2）e^{-n + 1/(12n)},
から
Ｃ［2n，n］=（2n)！/(n！･n！）≒（4^n)/√(πn）・e^{-1/(8n)}, 〔問題〕
80.60 < Σ［k=1，24］√k < 80.65 を示せ。
面白スレ２６-103 >>480
左側：
y=√x は上に凸だから、接線が上。
√k > ∫[k-1/2，k+1/2］√x dx =（2/3)｛(k+1/2)^(3/2）-（k-1/2)^(3/2)｝,
右側：
y=√x は上に凸だから、割線が下。
｛√k + √(k+1)}/2 < ∫[k，k+1] √x dx =（2/3)｛(k+1)^(3/2）- k^(3/2)｝,
ただし、1≦k≦4 は別途たす。 〔応用問題〕
｛√k + √(k+1)}/2 < ∫[k，k+1] √x dx =（2/3)｛(k+1)^(3/2）- k^(3/2)｝,
を用いて次を示せ。
(2) √2 < 99/70 = 1.41428571… (k=8)
√2 > 1393/985 = 1.41421320… (k=49)
√2 < (19601/6)/2310 = 1.4142135642… (k=288)
(3) √3 < (1351/6)/130 = 1.73205128… (k=48)
(5) √5 < 2889/1292 = 2.236068111… (k=80)
(6) √6 < (485/6)/33 = 2.4494949… (k=24)
(7) √7 < 2024/765 = 2.645751634… (k=63)
(10) √10 > 117/37 = 3.16216216… (k=9)
√10 < (27379/6)/1443 = 3.1622776622… (k=360)
(11) √11 < 3970/1197 = 3.316624895… (k=99)
(17) √17 > 268/65 = 4.123076923… (k=16)
(37) √37 > 882/145 = 6.08275862… (k=36)
面白スレ２６ - 109～110，117 >>484 に追加
(15) √15 < 244/63 = 3.87301587… (k=15)
(35) √35 < 846/143 = 5.9160839… (k=35)
(101) √101 > 4030/401 = 10.049875311… (k=100) >>428
分子を変えた場合に最大最小値はどうなるのか気になるでござる ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
a、b、c、p、q >0 に対して、
(1) a/(pa+qb) + b/(pb+qc) + c/(pc+qa)
(2) b/(pa+qb) + c/(pb+qc) + a/(pc+qa)
(3) c/(pa+qb) + a/(pb+qc) + b/(pc+qa) ≧ 3/(p+q) >>486
(3)
c(pa+qb）+ a(pb+qc）+ b(pc+qa）=（p+q)(ab+bc+ca),
コーシーにより
(左辺）≧（a+b+c)^2 /｛(p+q)(ab+bc+ca)｝≧ 3/(p+q),
でござるか。 >>483
左側：
積分計算を避けるなら、
AM-GM より
（kk -1/4)^3 ≧（kk)(kk -3/8)(kk -3/8),
｛(k+1/2)^(3/2) - (k-1/2)^(3/2)}^2 = 2k(kk +3/4) -2(kk -1/4)^(3/2)
≦ 2k(kk +3/4) -2k(kk -3/8)
= 9k/4,
√k ≧ (2/3）｛(k+1/2)^(3/2) - (k-1/2)^(3/2)},
以下は同様。 >>483
右側：
｛√(k+1）- √k}^2 = 1/{√(k+1）+ √k}^2 ≧ 1/{2(k+1）+ 2k｝= 1/{2(2k+1)},
より
（右辺)^2 -（左辺)^2 =（4/9）｛(k+1)^(3/2）- k^(3/2)}^2 -（1/4)｛√k + √(k+1）}^2
=（1/36）［{4(2k+1)^2 +5｝｛√(k+1）- √k}^2 - 2(2k+1）］
≧(1/36）［{4(2k+1)^2 +5｝/｛2(2k+1)｝- 2(2k+1）］
=（5/36）/{2(2k+1)},
｛√k + √(k+1)｝/2 <（2/3)｛(k+1)^(3/2）- k^(3/2)},
以下は同様。 >>486
(1) 3/p > a/(pa+qb) + b/(pb+qc) + c/(pc+qa) > 0
(2) 3/q > b/(pa+qb) + c/(pb+qc) + a/(pc+qa) > 0
( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟｩ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ >>486
(1) Max{2/p，3/(p+q)｝ > a/(pa+qb) + b/(pb+qc) + c/(pc+qa) > min{3/(p+q)，1/p｝,
(2) Max{2/q，3/(p+q)｝ > b/(pa+qb) + c/(pb+qc) + a/(pc+qa) > min{3/(p+q)，1/q｝,
(3) c/(pa+qb) + a/(pb+qc) + b/(pc+qa) ≧ 3/(p+q), >>487 >>428 >>429
ドイツ Team Selection Test 2010 Vaimo 8, 問2
twitter.com/Inequalitybot/ [129] >>492
ど、どう証明するのかな？ ・・・・・･･･ｺﾞｸﾘ。
ヽ|/
／￣￣￣＼
/ ヽ
/ ＼ ／ |
｜ (●)(●)|∥|
｜ /￣⌒￣ヽ U|
｜｜i二二ヽ| |
｜U＼＿＿_ノ |
｜ | >>474
(1)
2^(2n-1) /√n < C[2n，n] < 2^(2n) /√(πn),
大関：参考書[3]、p.53 例題10 (1987)
W.F.Sierpinski: "Elementary theory of numbers"，PWN-Polish Sci. Publ. (1964) 〔問題983〕
実数 0 < x < π/6 に対して、 不等式
sin(x) < 2x/(x +π/2）
を示せ。
分かスレ４４１-983、分かスレ４４２-10，28，47 >>496
問題だけじゃなく、証明も貼っておこうぜ！ ここは不等式のコレクターのためのスレなんだからな。
> y=π/2 で成り立てば、
> 2{1-sin(x)}/(π/2 -x) > sin(x)/x, >>28
> x/sin(x) > (π/2 +x)/2,
> ならば十分。そこで
> g(x) = x/sin(x),
> とおく。
> ｜x｜<π/2 で g(x) は下に凸。 … (*)
> g(π/6)=π/3 と g(π/2)=π/2 を通る割線を曳く。
> z = (π/2 +x)/2,
> -π/2 < x < π/6 のとき g(x) > (π/2 +x)/2,
>
> (*)
> 1-cos(x) ≧ 0,
> x-sin(x) = ∫[0，x] {1-cos(t)} dt > 0 （x>0)
> sin(x)-x･cos(x) = ∫[0，x] t･sin(t) dt > 0 (0<x<4.4934094579）
> より
> g '(x) = {sin(x)-x･cos(x)}/sin(x)^2,
> g "(x) = {1-cos(x)}/sin(x)・g '(x) + {1+cos(x)}{x-sin(x)}/sin(x)^3 > 0, 〔問題〕
(1)
f(x）g(x） = 1ならば
f '(x）g '(x） < 0,
さらに f(x）f "(x） < 0 のとき
f "(x）g "(x） < 0,
(2)
g(x) = x/sin(x） について、
|x| < 2.081575977818 ⇒ g "(x） > 0,
分かスレ４４２-069 >>499
(1) そうです。（微分可能な…）
(2)
｜x｜< 2.0815759778181 ⇒ ｛sin(x)/x｝" < 0
を使っていいらしい。 非負実数 a_1、…、a_n に対して、
(Σ[k=1 to n] a_k){Σ[k=1 to n] (a_k)^(n-1)} ≦ n*Π[k=1 to n]a_k + (n-1)*Σ[k=1 to n] (a_k)^n
昔の手書きメモから発掘、詳細不明 ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ >>512
⊿_n = (右辺) - (左辺)
= (n-1)Σ[k=1,n] (a_k)^n - {Σ[k=1,n] a_k}{Σ[k=1,n] (a_k)^(n-1)} + n･a_1･a_2…a_n,
a_1 = a，a_2 = b，a_3 = c，a_4 = d，a_5 = e，
とおいてシューア展開すると、
⊿_1(a) = 0,
⊿_2(a,b) = 0,
⊿_3(a,b,c) = F_1(a,b,c)
⊿_4(a,b,c,d) = (2/3){F_2(a,b,c) + F_2(b,c,d) + F_2(c,d,a) + F_2(d,a,b)} + (1/3){F_1(a,b,c)d + F_1(b,c,d)a + F_1(c,d,a)b + F_1(d,a,b)c},
⊿_5(a,b,c,d,e) = (1/2)Σ[a,b,c] F_3(a,b,c) + (1/6)Σ[a,b,c] F_2(a,b,c)(d+e) + (1/6)Σ[a,b,c] F_1(a,b,c)de,
ここに Σ[a,b,c] は C[5,3] = 10項の和 >>513
〔Schurの不等式〕
F_m(x,y,z) = (x^m)(x-y)(x-z) + (y^m)(y-z)(y-x) + (z^m)(z-x)(z-y) ≧ 0,
文献[3] 大関(1987) p.28
文献[8] 安藤(2012) p.27～28
文献[9] 佐藤(訳)(2013) p.40 a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、 (a^10 + b^10 + c^10)^2 ≧ 3*(a^13 + b^13 + c^13).
┏ ━ゝヽ''人∧━∧从━〆Ａ!ﾟ━━┓。
＜ ゝ＼',冫｡’ ,,,, ∧,,∧ ' ゛△´ ' ゝ'┃
∇ ┠─Σ┼ ,ﾆ,◎､・ω・') 冫／ そ', .┨'ﾟ,。
.。冫▽ ＜ 冫 ｒ'/ミ/〉⊂ノ 乙 ≧ ▽
。 ┃ Σ. 〈/"）､〉ﾉノ ､'’ ≦ │て く
┠─ム┼ （_/_iiiﾉ ､,,’.┼ ｧ Ζ┨ ミｏ'’｀
.。○.〆 `､,~´＋ ! .! √ ▽ ',! ヽ.◇ ｏ.┃
┗〆━┷. Ｚ,..`"┷━''ｏ.ヾｏ┷+＼━┛,゛； ⊿_n = Σ[m=1,n-2] 2(n-m-2)! m!/(n-1)! Σ[a,b,c] F_m(a,b,c) S_{n-m-2}(A-{a,b,c}) ≧0,
A = {a_1，a_2，…，a_n}
納a,b,c] は C[n,3] = n(n-1)(n-2)/6 項の和。
S_j(B) は集合Bの要素で作ったj次の基本対称式
A = {a_1，a_2，…，a_n}
ついで乍ら
納a,b,c] F_m(a,b,c) = {m(m+1)2}Σ[k=1,n] (a_k)^(m+2) S_{n-m-2}(A-{a_k})
- m(n-m-1)納k=1,n] (a_k)^(m+1) S_{n-m-1}(A-{a_k})
+ {(n-m)(n-m-1)/2}納k=1,n] (a_k)^m S_{n-m}(A-{a_k}) >>513
⊿_n = Σ[m=1,n-2] 2(n-m-2)! m!/(n-1)! Σ[a,b,c] F_m(a,b,c) S_{n-m-2}(A-{a,b,c}) ≧0,
A = {a_1，a_2，…，a_n}
Σ[a,b,c] は C[n,3] = n(n-1)(n-2)/6 項の和。
S_j(B) は集合Bの要素で作ったj次の基本対称式
A = {a_1，a_2，…，a_n}
ついで乍ら
Σ[a,b,c] F_m(a,b,c) = {m(m+1)2}Σ[k=1,n] (a_k)^(m+2) S_{n-m-2}(A-{a_k})
- m(n-m-1)Σ[k=1,n] (a_k)^(m+1) S_{n-m-1}(A-{a_k})
+ {(n-m)(n-m-1)/2}Σ[k=1,n] (a_k)^m S_{n-m}(A-{a_k}) (1/2)*(3/4)*…*(999999/1000000) < 1/1000 を示せ。
∧＿∧
（ ´･ω･) 先月の数蝉に不等式の問題があったような…
（つ旦と）
と＿）＿） >>518
√((2k-1)(2k+1)) = √(4kk-1) < 2k,
(左辺) = {√(1･3)/2}{√(3･5)/4｝…｛√((2n-1)(2n+1))/(2n)} / √(2n+1)
< 1/√(2n+1)
< 1/√(2n)
= 0.001
(別法)
Stirling の公式から
(左辺) = (2n-1)!! / (2n)!!
= (2n-1)!! / {(2^n) n!}
= (1/4)^n・C(2n，n)
= 1/√(nπ)・{1 - 1/(8n) + 1/(128n^2) + 5/(1024n^3) - …… }
< 1/√(nπ)
= 1/√(500000π)
= 0.00079788456080
なお、（左辺) = 0.00079788436133 コレクションになかったのを拾い集めてきた。(A1)以外は、たぶん過去スレにもないと思ふ。
【絶対値絡み】
(A1) a, b, c >0 に対して、|(a-b)/(a+b)| + |(b-c)/(b+c)| ≧ |(a-c)/(a+c)|
(A2) [宜蘭 2007]
相異なる a, b, c >0 に対して、|(a+b)/(a-b) + (b+c)/(b-c) + (c+a)/(c-a)| > 1
(A3) [疑問]
a, b, c >0 に対して、|(a-b)/(a+b) + (b-c)/(b+c) + (c-a)/(c+a)| のとりうる値の範囲は？
【分数式とか】
(B1) [中国 2008]
a, b, c >0 に対して、ab/c + bc/a + ca/b ≧ 2*(a^3 + b^3 + c^3)^(1/3)
(B2) [宜蘭 2010]
a, b, c >0 に対して、1/(a^2) + 1/(b^2) + 1/(c^2) + 1/{(a+b+c)^2} ≧ (7/25)*{1/a + 1/b + 1/c + 1/(a+b+c)}^2
(B3) [IMO short list 2008]
a, b, c, d >0 に対して、(a-b)(a-c)/(a+b+c) + (b-c)(b-d)/(b+c+d) + (c-d)(c-a)/(c+d+a) + (d-a)(d-b)/(d+a+b) ≧ 0
(B4) [不等式bot]
a, b >0 に対して、
(ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3 + 9(abc)^2 + abc(a^3 + b^3 + c^3 + 9abc) ≧ 3abc(a+b)(b+c)(c+a)
不等式botってのを最近見つけたんだけど、何これ？ botって何ぞや？
同じ問題を繰り返し吐き出してるから、自動なのか？
登録してある問題をダブりなしに全部見てみたい。 【√がらみ】
(C1) [宜蘭 2008]
a, b, c >0 に対して、次式をみたす実数 k の最小値を求めよ。
a√b + b√c + c√a ≦ k√{(a+b)(b+c)(c+a)}
(C2) [香佐富斯坦 2010]
a, b >0 に対して、
√{(a^2-a+1)(b^2-b+1)} + √{(a^2+a+1)(b^2+b+1)} ≧ 2(x+y)
(C3) [スポック 2012]
a, b, c >0 に対して、
(a+b)√{(b+c)(c+a)} + (b+c)√{(c+a)(a+b)} + (c+a)√{(a+b)(b+c)} ≧ 4(ab+bc+ca)
(C4) [中国 2012]
a, b, c∈[0,1] のとき、√|a-b| + √|b-c| + √|c-a| の最大値を求めよ。
(C5) [波蘭 2004]
a, b, c∈R に対して、
√(2a^2+2b^2) + √(2b^2+2c^2) + √(2c^2+2a^2) ≧ √{3(a+b)^2 + 3(b+c)^2 + 3(c+a)^2}
(C6) [墺太利 2008]
a, b, c >0、a+b+c=1 に対して、
√{a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b)} ≦ 1/3
(C7) [土耳古 2005]
a, b, c, d ∈R に対して、
√(a^4 + c^4) + √(a^4 + d^4) + √(b^4 + c^4) + √(b^4 + d^4) ≧ (2√2)*(ad+bc) 【微積分絡み】
(D1) [Putnum 1999]
実関数 f がC^3級で、任意の x∈R に対して、
0 < f'(x)、 0 < f''(x)、 0 < f'''(x) ≦ f(x)
をみたすとき、f'(x) < 2f(x) を示せ。
(D2) [AoPS]
f は [0,1] で単調増加な凸関数で、f(0)=0、f(1)=1 をみたす。
g を fの逆関数とするとき、x^2 ≧ f(x)g(x) を示せ。
(D3) [近大 2008]
実関数 f がC^2級で、任意の x∈R に対して f''(x)≧f(x) をみたすとき、
f(x) ≧ f(0)*{e^x + e^(-x)}/2 + f'(0)*{e^x - e^(-x)}/2
(D4) [山梨医改、不等式bot]
f(0) = f(1) = 0、f'は[0,1]で連続のとき、∫[0,1] {f'(x)}^2 dx ≧ (π^2)*∫[0,1] {f(x)}^2 dx
(D5) [京大院 2011]
実連続関数 f,φ は区間[a,b]上で狭義単調増加のとき、
∫[a,b] f(x)dx = 0 ならば、∫[a,b] f(x)φ(x)dx > 0 を示せ。
(D6) [羅馬尼亜 2004]
fが[0,1]で積分可能で、∫[0,1] f(x)dx = ∫[0,1] xf(x)dx = 1 のとき、∫[0,1] {f(x)}^2 dx ≧ 4 ;ヾ ;ヾ ;";ヾ;" ;ヾ ;ヾ ;
;ヾ ;ヾ ;ヾ";ヾ;ヾ ';ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ
;ヾ.;ヾ ';ヾ ;ヾ ;ヾ;ヾ ';ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ"ﾞ
""ヾﾞ;ヾ〃;ヾ ;ヾﾞ;ヾ ;ヾ ;ヾ"〃ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ;ヾ
"';ヾ;ヾ ;ヾ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;//;ヾ;ヾ〃ﾞ;ヾ ;ヾ;ヾ"
""";ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ" ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ;ヾ"
""ヾ;ヾ ;ヾ ;ヾ ﾞ;ヾ〃ﾐヾ ;ヾﾞ;ヾ ;ヾ 〃;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ;ヾ
;ヾ ;ヾ 〃;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ ;ヾ"
"" ;ヾ ;ヾﾞヾ ;ヾ ;ヾ;ヾ"ﾞ "iヾ;ヾ;ヾ" ﾞヾ;ヾ;ヾ"
"" 'ヾ;ヾ" || ｌ | ﾞ|/;ヾ" "
" |l ｉ ｌﾞｌ|
,,,, ",,,," ,,, " ∧ ∧ ,,, |l | ﾞ ｜| '' ,, " " ,, 春は不等式！
( ﾟ∀ﾟ)∬ ノﾉ 从ヾ ヽ、 ,,, '' やうやう白くなりゆく山際
'' ｀ ｀ ／ （＿）旦. ／ 少し明かりて、
／ ／ '''' "" 紫だちたる雲の細くたなびきたる
￣￣￣￣￣￣￣ >>520
(A2) [155]
(左辺) = |(p+q)/(p-q)|,
ここに p = aab+bbc+cca -3abc ≧ 0，q = abb+bcc+caa -3abc ≧ 0,
q-p = (a-b)(b-c)(c-a) = ⊿,
佐藤(訳) 問題3.103
(A3)
絶対値の中身 = (a-b)(b-c)(c+a)/{(a+b)(b+c)(c+a)},
-1 ～ +1
(B1) [96]
(ab/c + bc/a + ca/b)^3 ≧ 8(aaa+bbb+ccc) + 3abc,
bc/a=x，ca/b=y，ab/c=z とおく。
(B2) [198]
a+b+c = s，1/a+1/b+1/c = 3/h とおく。
s-3h ≧ 0,
(左辺) ≧ 3/hh + 1/ss,
(右辺) = (7/25)（3/h+1/s)^2,
(左辺) - (右辺) ≧ 6(2s-h)(s-3h)/(5hs)^2 ≧ 0,
等号成立は s-3h = 0，a=b=c.
(B3) [100]
a-c，b-d の2次形式として正定値。
(B4) [107]
(左辺) - (右辺) = (sssu+ttt+27uu) - 9stu ≧0 (←AM-GM）
ここに、s = a+b+c、t = ab+bc+ca、u = abc. >>521
(C1) [70]
コーシーにより、
(左辺)^2 ≦ (a+b+c)(ab+bc+ca) = (a+b)(b+c)(c+a) + abc ≦ (9/8)(a+b)(b+c)(c+a),
K = 3/√8．
佐藤(訳) 問題3.113
(C2) [114]
(左辺)^2 = 2{(aa+1)(bb+1) + ab + √(a^4+aa+1)√(1+bb+b^4)}
= 2{(aa+3ab+bb) + (ab-1)^2 + √(a^4+aa+1)√(1+bb+b^4)}
≧ 2{(aa+3ab+bb) + (aa+ab+bb)}
= 4(a+b)^2 (←コーシー）
等号成立は xy=1.
(C3) [16]
(a+b)√{(b+c)(c+a)} ≧ (a+b){c+√(ab)} ≧ (a+b)c + 2ab，
循環的にたす。
(C4) [62]
bはaとcの中間にあるとする。
√|a-b| + √|b-c| + √|c-a| ≦ (1+√2)|c-a| ≦ 1 + √2、
等号は（a，b，c）=（0，1/2，1)
(C5) [86]
2√{3(aa+bb+cc)} ≧ √(2aa+2bb) + √(2bb+2cc) + √(2cc+2aa) ≧ √{3(a+b)^2+3(b+c)^2+3(c+a)^2} ≧ 2(a+b+c),
(左辺)^2 = 4(aa+bb+cc) + 4√(aa+bb)√(bb+cc) + … + …
≧ 4(aa+bb+cc) + 2(a+b)(b+c) + 2(b+c)(c+a) + 2(c+a)(a+b)
= 3(a+b)^2 + 3(b+c)^2 + 3(c+a)^2
= (中辺)^2.
(C6) [49]
f(x) = (1-x)log(x) ≦ -(1-x)^2 は 0<x<1 で上に凸。
f(a) + f(b) + f(c) ≦ 3f((a+b+c)/3) = 2log(1/3)
(C7) [71]
√(xx+yy) ≧ (x+y)/√2 を使う。 >>522
(D1) [143]
未だ解けぬ～
(D2) [164]
{f(x)/x} ' = {xf '(x) - f(x)}/xx =∫[0→x] {f '(x) - f '(t)}dt/xx > 0（←fは凸）
f(x)/x は単調増加,
x < g(x) < 1,
f(x)/x ≦ f(g(x))/g(x) = x/g(x),
(D3) [144]
0 ≦∫[0，x] {f ''(t) - f(t)}sinh(x-t)dt = [ f(t)cosh(x-t)+f '(t)sinh(x-t) ](t=0，x) = f(x) - f(0)cosh(x) - f '(0)sinh(x).
(D4) [121] (Wirtingerの不等式)
g(x) = cot(x)とおく。
g '(x) + g(x)g(x) = -1,
[f(x)f(x)g(x)](x=0-π) = 0,
∴ 0 ≦∫｛f '(x)－f(x)g(x)}^2 dx
= ∫f '(x)f '(x)dx - [f(x)f(x)g(x)](x=0-π) + ∫f(x)f(x){g '(x) + g(x)g(x)}dx
= ∫f '(x)f '(x)dx - ∫f(x)f(x)dx,
大関・青柳「不等式」槇書店 p.204
(D5) [211]
中間値の定理から、a<c<b なるcがあって f(c)=0,
単調性から、(x-c)f(x)≧0、(x-c){φ(x)-φ(c)}≧0,
これを入れる。
(D6) [54]
0 ≦∫{f(x)+2-6x}^2 dx
= ∫f(x)^2 dx + 4∫f(x)dx -12∫f(x)･x dx +4∫(1-3x)^2 dx
= ∫f(x)^2 dx + 4 -12 +4.
[ ]内は Inequalitybot の番号ですぅ。 (C8) [月即別 2013] [187]
a≧b≧0 のとき、(a^2+b^2)^(1/2) + (a^3+b^3)^(1/3) + (a^4+b^4)^(1/4) ≦ 3a+b >>527
(C8) [187]
(a^2 + b^2)^(1/2) ≦ a + (√2－1)b,
(a^3 + b^3)^(1/3) ≦ a + {2^(1/3)－1}b,
(a^4 + b^4)^(1/4) ≦ a + {2^(1/4)－1}b,
辺々たす。
(左辺) ≦ 3a + 0.8633417b >>87
a^(2/3) = A，b^(2/3) = B，c^(2/3) = C とおくと、
aa+bb+cc - 2(ab+bc+ca) + 2abc+1
≧ A^3 + B^3 + C^3 - 2{AB(A+B) +BC(B+C) +CA(C+A)} + 3ABC
= ⊿_3（A，B，C) >>513
= F_1（A，B，C)
≧ 0, >>163
〔Turkevici の不等式〕 - 改
a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + 2abcd - {ab(aa+bb) +ac(aa+cc) +ad(aa+dd) +bc(bb+cc) +bd(bb+dd) +cd(cc+dd)}/2
= a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + 2abcd - {(a^3)(b+c+d) -(b^3)(c+d+a) -(c^3)(d+a+b) -(d^3)(a+b+c)}/2
= (1/2)⊿_4
≧ 0, >>513 >>163
〔Turkevici の不等式〕- 改
a^4 + b^4 + c^4 + d^4 + 2abcd - {ab(aa+bb) +ac(aa+cc) +ad(aa+dd) +bc(bb+cc) +bd(bb+dd) +cd(cc+dd)}/2
= {3(a^4 + b^4 + c^4 + d^4) -(a+b+c+d)(a^3+b^3+c^3+d^3) + 4abcd}/2
= (1/2)⊿_4
≧ 0 >>513 >>515
a^(10/3) = A，b^(10/3) = B，c^(10/3) = C とおくと本題は
(A^3+B^3+C^3)^2 ≧ 3(A^4+B^4+C^4)
〔補題〕
(A^3+B^3+C^3)^2 ≧ (AB+BC+CA)(A^4+B^4+C^4)
m = min{A，B，C} とおき、
{A，B，C} = {m，m+x，m+y} (x≧0，y≧0)
とする。
(左辺) - (右辺) = (A^3+B^3+C^3)^2 - (AB+BC+CA)(A^4+B^4+C^4)
= (m^4)(xx-xy+yy) + (2m^3)xy(x+y) + (2m^2){2xx(x-y)^2 +5xxyy +2yy(x-y)^2} + m(x+y){xx(2x-2.5y)^2 +(7/2)xxyy +yy(2.5x-2y)^2} + (x-y)(x^5-y^5) + 2(xy)^3
≧ 0, >>515 >>533
〔補題〕
(A^3+B^3+C^3)^2 ≧ (AB+BC+CA)(A^4+B^4+C^4)
(左辺) - (右辺) = F_0(A，B，C) F_0(AA，BB，CC) + (ABC)^2 F_{-2}(A，B，C) ≧ 0,
F_0(A，B，C) = (A-B)(A-C) + (B-C)(B-A) + (C-A)(C-B) = {(A-B)^2 + (B-C)^2 + (C-A)^2}/2 ≧ 0,
F_{-2}(A，B，C) = (A-B)(A-C)/AA + (B-C)(B-A)/BB + (C-A)(C-B)/CC = ABC F_1(1/A，1/B，1/C) ≧ 0, >>533 >>534
〔補題〕
1≦n≦3，A～C≧0 のとき
(A^n + B^n + C^n)^2 ≧ (AB+BC+CA) {A^(2n-2)+B^(2n-2)+C^(2n-2)} ≧ 3ABC {A^(2n-3)+B^(2n-3)+C^(2n-3)},
右側はチェビシェフなど。 >>533 >>534 >>535
〔補題〕
1≦n≦5，A～C≧0 のとき
(A^n + B^n + C^n)^2 ≧ 3ABC {A^(2n-3) + B^(2n-3) + C^(2n-3)},
(例)
n=3 のとき
(左辺) - (右辺) = (A^3 +B^3 +C^3) (A^3 +B^3 +C^3 -3ABC) ≧ 0,
n=4 のとき
(左辺) - (3/2) {(a^3)(b+c) + (b^3)(c+a) + (c^3)(a+b)}
= (1/2) {(aa-ab+bb)(a-b)^2 + (bb-bc+cc)(b-c)^2 + (cc-ca+aa)(c-a)^2}
≧ 0,
ここに、a=AA，b=BB，c=CC.
(3/2) {(a^3)(b+c) + (b^3)(c+a) + (c^3)(a+b)} - (右辺)
= (3/2) {(A^6)(B-C)^2 + (B^6)(C-A)^2 + (C^6)(A-B)^2}
≧ 0, 三角形の辺長 a、b、c に対して、
{√(a+b-c)}/(√a + √b - √c) + {√(b+c-a)}/(√b + √c - √a) + {√(c+a-b)}/(√c + √a - √b) ≦ 3 >>537 [6]
A = √b+√c-√a > 0,
B = √c+√a-√b > 0,
C = √a+√b-√c > 0,
とおく。
b+c-a = AA - (A-B)(A-C)/2,
√(b+c-a) ≦ A - (A-B)(A-C)/4A,
(左辺) = √(b+c-a) /A + √(c+a-b) /B + √(a+b-c) /C
≦ 3 - (A-B)(A-C)/(4AA) - (B-C)(B-A)/(4BB) - (C-A)(C-B)/(4CC)
= 3 - (1/4) F_{-2}(A，B，C)
= 3 - (ABC/4) F_1(1/A，1/B，1/C)
≦ 3.
IMOSL-2006 予選 A.6、JMO春合宿
文献[8] 安藤 (2012)，p.147 例題3.2.3(9)，
http://www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式1-307、434、437 ( ﾟ∀ﾟ) いつも素晴らしいデスネ。GWに精読させていただきます。 実数 a_k、b_k (1≦k≦n)) に対して、
1 + Σ[k=1 to n] (a_k + b_k)^2 ≦ (4/3)*{1 + Σ[k=1 to n] (a_k)^2}*{1 + Σ[k=1 to n] (b_k)^2} 任意の m、n∈N (m > n) に対して、
lcm(m, n) + lcm(m+1, n+1) > 2mn/{√(m-n)} >>540
A = Σ[k=1，n] (a_k)^2,
B = Σ[k=1，n] (b_k)^2,
C = Σ[k=1，n] a_k b_k,
とおく。
A+B-2C = Σ[k=1，n] (a_k - b_k)^2 ≧ 0,
AB-CC = Σ[1≦j<k≦n] (a_j b_k - a_k b_j)^2 ≧ 0 (←コーシー)
(右辺) - (左辺) = (4/3)(1+A)(1+B) - (1+A+B+2C)
= (1/3) (1+A+B+4AB-6C)
= (1/3) {(A+B-2C) + 4(AB-CC) + (1-2C)^2}
≧ 0,
等号成立は a_k = b_k，A = B = C = 1/2. >>541
gcd(m，n) | (m-n)
gcd(m+1，n+1) | (m-n)
左辺は互いに素ゆえ、 (←背理法で)
gcd(m，n)gcd(m+1，n+1) | (m-n)
lcm(m，n) + lcm(m+1，n+1)
= mn/gcd(m，n) + (m+1)(n+1)/gcd(m+1，n+1)
> mn{1/gcd(m，n) + 1/gcd(m+1，n+1)}
> 2mn/√{gcd(m，n)gcd(m+1，n+1)} (←AM-GM)
≧ 2mn/√(m-n), >>374 >>398 >>399 >>416 >>417
nΣ[k=1，n］ s_k （a_k)^2 ≧ M_n （s_n)^3,
とおく。
M_2 = 0.7377393811182 = 2(47-14√7)/27
(a，b) =（√7 -1，4-√7）（3+√7，2+√7)
M_3 = 0.6481616033162
(a，b，c) = (1.38436，1.13916，1)
M_4 = 0.60233351875
(a，b，c，d) = (1.52472，1.25465，1.10139，1)
M_5 = 0.574255
M_6 = 0.5551782
M = 0.444444 = 4/9 (n→∞), >>544
Memo.
漸化式は
a_{n+1} = (1/2) {√(2x-1) - 1} s_n,
s_{n+1} = s_n + a_{n+1},
M_n = (n/3) (x-1),
ここに
x = (1 + a_n/s_n)^2.
(例)
M_1 = 1
a_1 = s_1 = 1
M_2 = 2(47-14√7)/27 = 0.7377393811182
a_2 = (√7 -1)/2 = 0.8228756555323
s_2 = (√7 +1)/2 = 1.8228756555323
M_3 = 0.64816160331616
a_3 = 0.72235563718495
s_3 = 2.54523129271725
M_4 = 0.60233351872589
a_4 = 0.65585825517001
s_4 = 3.20108954788726
M_5 = 0.57425545264547
a_5 = 0.60768519695068
s_5 = 3.80877474483794
M_6 = 0.55517800140267
a_6 = 0.57066170678793
s_6 = 4.37943645162587
本題から逸れてしまった… >>374 (改)
Σ[k=1，n] (s_{k-1} + s_k)/2 ･ (a_k)^2 > (4/9n) (s_n)^3,
便宜上 s_0 = 0 とおいた。
* 中点 (s_{k-1} + s_k)/2 で接線を曳く。 >>544
>>545 Memo. の続き
M_10 = 0.51565443182467
a_10 = 0.47804498656917
s_10 = 6.41086198943751
M_100 = 0.45433807243808
a_100 = 0.21749813721698
s_100 = 32.0226683930223
M_1000 = 0.44575956171259
a_1000 = 0.10051892239154
s_1000 = 150.383787216053
M_10000 = 0.44460977509949
a_10000 = 0.04662595061307
s_10000 = 699.152499550131 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
