不等式への招待第９章 [無断転載禁止]©2ch.net

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/16(金) 10:22:33.88

ここって案外人いるのね

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 19:05:09.70

n∈N、r∈R、r≧1 に対して、
{(n+1)^(r+1)*n^r}/{(n+1)^(r+1) - n^(r+1)} ≧ Σ[k=1 to n] k^r ≧{(n+1)^r*n^(r+1)}/{(n+1)^(r+1) - n^(r+1)}

油断、怠慢、即ち怠惰！

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/24(土) 01:29:07.74

(1) a>b>c> 0 のとき、ax^2+bx+c=0 の解αは、|α|<1 をみたすことを示せ。
(2) x^3 + 3x^2 + 5x + 7 = 0 の解αは、1<|α|≦3 をみたすことを示せ。

あぁぁ、脳が…震える…
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　-‐. . : ヘ三≧-_
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＜: : ／: : : : : : :￣＜三≧
　　　　　　　　　　　　　　　／: : : : : /: : : : : : :／: : : : : : ＜≧
　　　　　　　　　　　　　／: : : : : : / : : : : : :./: : : : : : : : : : : :＜=
　　　　　　　　　　　　／l:⊿i: : : :/:/: : : : : /: : : : : : : : | : : i: : : ＼
　　　　　　　　　　　/´/ ´ 刃: :i :i :{ : : : : :/ : : : : : : : : :| : : | : : : : :.i
　　　　　　　　　　 / /イ´.／: :l 　‐　､ :i: :i : : : :i.: : : :.:. | : : |: : : : : :ﾍ
　　　　　　　　　　レ　/ ./／ ii| 　●　i:::::i : : : .::: : : : : :i : : i: : :i : : : :i
　　　　　　　　　i´ 　 ´ / . 　ヾ､. ＿ﾉ::::..::. : .::::: : : : : :i : : i: : :i : : : :|
三=- ＿＿＿__.| 　　 |.＼.　　￣　　／.,:::::: 　‐　､: :/: : /: : :i.: : : : |
三=---- 三三/　　　 .} 　冫　 ─i´　,,,. ´　 | 　●　i::: : :, :_., : |: : : :.|
´ 　　/　　i　／i. 　　 ./　/ ヘ　　ヾ丶　i　ヾ､. ＿ﾉ　/4/∥:::| : : : |
　　冫"~ ￣　　　　/　/ i .　丶　　￣i　　　￣　 ./　i　i　.|}::/: : : :/
　／　　　　　　　イ　´ / ｀メノ＼　　＼　　　　 |／　|　|.|.: : : :./
　|　　　　=＝　／| i 　｀＜丿メノ｀う　　　ア ´　　／／/: : ／＼　　　　　___
　 ┐　 __　－=三〈　｀ー-＼＼ノメ／／''"　　　 .／／￣ _ - = 三三三三
　　i-'".|三三三三=丶- ､　　＼｀､ノ／/　　　　　,.-'''"　 -=三三三三三三=
　 /　 /三三三三三＝┐ 丶　　-　´, /　　　　　/　-＝三三三三三三三=
. 〈　〈三三三三三三 .|　| └‐-　´i/　　　　　/＝三三三三三三三三〈

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/24(土) 04:17:06.67

>>449
(1)
・解が実数のとき（bb-4ac≧0）
　｜x｜≧1　⇒　axx+bx+c ≧ a|x| -b|x| +c =（a-b)|x｜+ c > c > 0
　∴｜α｜< 1
・解が共軛複素数のとき（bb-4ac<0）
　｜α| = √(αα~）= √(c/a）< 1,

(2)
x≧-2　⇒　x^3 +3x^2 +5x +7 =（x+2)(xx+x+3）+ 1 ≧ 1,
x≦-3　⇒　x^3 +3x^2 +5x +7 =（x+3)(xx+5）-8 ≦ -8
中間値の定理より（-3，-2）に実解ｒがある。

x^3 +3x^2 +5x +7 =（x-r){xx +(3+r)x - 7/r},
xx +（3+r)x - 7/r = 0 は複素数解αをもつ。
解と係数の関係からｒαα~ = -7,
｜α｜= √(αα~） =√(-7/r）,
∴ √(7/3）< ｜α｜ < 2,

・蛇足
ｒ = -1 +（1/3){6(-9+√87)}^(1/3）-（1/3){6(9+√87)}^(1/3)
　= -2.1795090246
｜α｜= 1.79213072

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/24(土) 06:30:05.58

449-450
http://repository.osakafu-u.ac.jp/dspace/bitstream/10466/1911/1/KJ00000331372.pdf

ほらほら、脳が震えてきただろう？ん～？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/24(土) 18:59:44.58

>>436

s = 5/4 とおく。
133 > 131．25 = 84 ss,
110 > 105 = 84 s,
84 = 84,
n^5 > 84^5 *（s^10 + s^5 +1)
= 84^5 *｛(5/4)^10 +（5/4)^5 + 1}
> 84^5 *｛9 + 3 + 1}
= 84^5 * 13
>（84 * 5/3)^5
= 140^5,

∴　141 ≦ n ≦ 147　　　（>>440-441)

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/25(日) 02:17:24.53

>>449
(1）は新潟大学ですね。

>>451
〔掛谷の定理〕
F(x）= a_0 x^n + a_1 x^{n-1} ＋ …… + a_{n-1｝x + a_0,
　a_0 > a_1 > a_2 > …… > a_{n-1｝> a_n > 0
ならば、F(x）= 0 の解の絶対値は１より小さい。

(略証）
F(0）= a_n >0，F(1）> 0,
(1 - 1/x）F(x）/ x^n = a_0 - Σ[j=1，n］（a_{j-1} - a_j)/x^j - a_n / x^(n+1),
x=1 のときは
　0 = a_0 - Σ[j=1，n］(a_{j-1} - a_j）- a_n,
辺々引いて
(1 - 1/x）F(x) / x^n = Σ[j=1，n+1］（a_{j-1} - a_j)(1 - 1/x^j) + a_n（1 - 1/x^{n+1}),
ここで、｜x｜≧1, x≠1 ならば
Re｛1/x^j｝≦｜1/x|^j ≦ 1,
であるが、等号成立は x=1 に限るので
Re｛1 - 1/x^j｝> 0,
∴ Re｛右辺｝> 0,
∴ F(x）≠ 0,
∴｜α｜<1
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/solution/solution.htm

「經濟研究」の別証明は、あまりにも迂回的で逆行的でござるな。
市大とちゃんと統合成立するかなぁ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/25(日) 02:38:57.60

>>453

などと嘯いてたら、間違えてしまった......orz

F（x）= a_0 x^n + a_1 x^{n-1} ＋ …… + a_{n-1｝x + a_ｎ,

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/25(日) 10:26:23.15

>>453-454
あぁぁ…、あなたはなんと勤勉なる事か！
偶々ネットで見かけた掛谷のpdfを見て出題したのでござるが、入試問題まで探してくるとはとはとはとは…！

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/25(日) 10:32:57.68

>>451>>453
その『掛谷の定理』関連について詳しく書かれている本はないかなぁ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/25(日) 12:37:13.03

掛谷宗一
http://wp1.fuchu.jp/~sei-dou/jinmeiroku/kakeya-souichi/kakeya-souichi.htm

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/25(日) 12:46:00.21

根の大きさの限界
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/ouyoukaiseki4/algebraic-equation/kadai-2003-1/node5.html

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/25(日) 16:08:11.57

逆数バージョン

〔掛谷の定理〕　
正係数のn次多項式
　F(x）= a_0 x^n + a_1 x^{n-1} ＋ …… + a_{n-1｝x + a_n,
　0 < a_0 < a_1 < a_2 < …… < a_{n-1｝< a_n
について、F(x）= 0 の解の絶対値は１より大きい。

(略証）
F(0）= a_n >0，F(1）> 0,
(x-1）F(x）= a_0 x^(n+1）+ Σ[j=1，n］（a_{n-j+1｝- a_{n-j}) x^j - a_n,
x=1 のときは
　0 = a_0 + Σ[j=1，n］（a_{n-j+1｝- a_{n-j}）- a_n,
辺々引いて
(x-1）F(x）= a_0（x^{n+1} -1) + Σ[j=1，n］（a_{n-j+1｝- a_{n-j})(x^j -1),
ここで、｜x｜≦ 1, x≠1 ならば
Re｛x^j｝≦｜x|^j ≦ 1,
であるが、等号成立は x=1 に限るので
Re｛x^j -1｝< 0,
∴ Re｛右辺｝< 0,
∴ F(x）≠ 0,
∴｜α｜> 1

(系）　x → 1/x とすれば >>453
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/solution/solution.htm

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/26(月) 05:41:30.17

>>453 >>459

(1)
n次方程式 F(x）= 0 の根｛r_k｝がすべて実数のとき、
　F(x）が極値・停留値をとる点b｛F '(x）= 0 の実数解｝は次をみたす。
　r_min ≦ b ≦ r_max

(2)
n次多項式 F(x）が停留値をとる点β｛F '(x）= 0 の解｝は、
　F(x）= 0 のすべての根を含む凸領域内にある。

例）　すべて単根｛α_k｝のときは
　β = Σ[k=1,n］ｔ_k α_k
　重み　t_k = |β-α_k|^(-2)／{Σ[k=1,n］｜β-α_k｜^(-2)}

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/27(火) 03:08:49.84

>>460
　重み　t_k = |β-α_k|＾(-2)／{Σ[ｊ=1,n］｜β-α_j|＾(-2)}

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/28(水) 05:08:58.38

>>448

r=1 のときは等号になるので r>1 とする。中辺を

S(n）= Σ[k=1，n］ k^r

とおく。問題の式は

1/n ＞ S(n)/n^(r+1）- S(n)/(n+1)^(r+1）＞ 1/(n+1),

S(n)/S(n-1）＞｛(n+1)/n}^(r+1）＞ S(n+1)/S(n),

S(n)/(n+1)^(r+1）＞ S(n-1)/n^(r+1）　…… 増加列
S(n)/n^(r+1）＞ S(n+1)/(n+1)^(r+1）　…… 減少列

{1/(n+1)}Σ[k=1，n］｛k/(n+1)}^r ＞（1/n)Σ[k=1，n-1］（k/n)^r
（1/n)Σ[k=0，n］（k/n)^r ＞ {1/(n+1)}Σ[k=0，n+1］｛k/(n+1)}^r

となる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/28(水) 05:42:35.66

>>448 （続き)

f(x）= x^r　（r≧1）は下に凸だから、下の補題より

S(n)/{n（n+1)^r｝≧ S(n-1)/{(n-1）n^r},

S(n)/{(n+1）n^r｝≧ S(n+1)/{(n+2）（n+1)^r},

これと　n/(n-1）＞（n+1)/n ＞（n+2)/(n+1）　から >>462 が出る。

なお、n >> r では S(n）～｛1/(r+1)}(n + 1/2)^(r+1）

〔補題〕
f(x）が 0<x<1 で下に凸ならば

1）（1/n）Σ[k=1，n］f(k/(n+1)）≧｛1/(n-1)｝Σ[k=1，n-1］f(k/n),

2）｛1/(n+1)｝Σ[k=0，n］f(k/n）≧｛1/(n+2)｝Σ[k=0，n+1］f(k/(n+1)),

(略証)
1）
凸性からJensenにより
｛(n-k)/n｝f(k/(n+1)）+（k/n）f((k+1)/(n+1)）≧ f(k/n),
k=1 から k=n-1 まで加えて（n-1）で割る。
2）
凸性からJensenにより
｛k/(n+1)｝f((k-1)/n）+｛(n+1-k)/(n+1)｝f(k/n）≧ f(k/(n+1)),
k=0 から k=n+1 まで加えて（n+2）で割る。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/01(木) 01:39:41.63

>>462

> r=1 のときは等号になる

は間違いでした。

>>463

2)　f(x）が 0≦x≦1 で下に凸ならば…

http://suseum.jp/gq/question/2868

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/01(木) 03:59:42.98

>>253 , >>259
　掛谷の定理

http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/264

http://suseum.jp/gq/question/2869

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/02(金) 05:19:49.90

〔Popoviciuの不等式〕
f(x) が下に凸ならば、 (a+b+c)/3 = m に対して
f(a) + f(b) + f(c) + 3f(m) ≧ 2f((a+b)/2) + 2f(a+c)/2) + 2f((b+c)/2),

(略証)
a≦b≦c としてよい。
(i) a，b ≦ m ≦ c のとき
f(a) + f(b) ≧ 2f((a+b)/2),
f(m) + f(c) ≧ 2f((m+c)/2),
2f(m) + 2f((m+c)/2) ≧ 2f((a+c)/2) + 2f((b+c)/2),
辺々たす。

(ii) a ≦ m ≦ b，c のとき
f(a) + f(m) ≧ 2f((a+m)/2)
2f((a+m)/2) + 2f(m) ≧ 2f((a+b)/2) + 2f((a+c)/2),
f(b) + f(c) ≧ 2f((b+c)/2),
辺々たす。

文献［9］佐藤淳郎（訳）p.41 演習問題1.89

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/02(金) 05:34:31.97

>>449
　ムンク「叫び」（1895～1910)

http://giphy.com/gifs/scream-12TN725elPIWkg

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/02(金) 13:52:18.45

>>466
ぬるぽビッチか、何もかもが懐かしい…

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/03(土) 02:38:06.57

a、b、c ∈ (1、∞) または、a、b、c ∈ (0、1) のとき、
log_a(bc) + log_b(ca) + log_c(ab) ≧ 4{ log_(ab)c + log_(bc)a + log_(ca)b }

（参考）
過去スレに、a、b、c ∈ (1、∞) のとき、
　左辺 > 定数
　定数 > 右辺 > 定数
というのを収集して貼ったような希ガス、ハロゲンガス…。

詳細は…不明ですか？あなた、怠惰…ですね
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**１３２人目の素数さん** · 2018/03/03(土) 07:13:06.83

>>469

A = ln(a)，B = ln(b)，C = ln(c) とおく。
題意により、A，B，Cは同符号。
正であるとしても一般性を失わない。

S=A+B+C，T=AB+BC+CA，U=ABC とおく。
(左辺) = (B+C)/A + (C+A)/B + (A+B)/C = (ST-3U)/U,
(右辺) = 4{C/(A+B) + A/(B+C) + B/(C+A)} = 4{S(SS-2T) + 3U}/(ST-U),
(左辺) - (右辺) = {(ST-9U)T + 3SU･F_{-1}) + SSU･F_{-2} }/{T(ST-U)} ≧ 0,
ここに
U･F_{-1} = TT -3SU ≧ 0,
UU･F_{-2} = T^3 -4STU +9UU ≧ 0,

なお、
(右辺) ≧ 6　(Nesbitt、Shapiro-3)

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/03(土) 07:18:06.63

>>466

f(m) + f((m+c)/2) ≧ f((a+c)/2) + f((b+c)/2),
f(m) + f((a+m)/2) ≧ f((a+b)/2) + f((a+c)/2),
のところが分からん？

〔補題〕
f(x) は m，nを含む区間で下に凸
m+d，n-d が mとnの中間にあるとき
　f(m) + f(n) ＞ f(m+d) + f(n-d)

(略証)
m≠n、0<λ<1 に対して
（1-λ)f(m) + λf(n) ＞ f((1-λ)m + λn) = f(m+d)
　λf(m) +（1-λ)f(n) ＞ f(λm + (1-λ)n) = f(n-d)
辺々たす。
ここに、d = λ(n-m) とおいた。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/03(土) 19:46:02.49

>>469

〔補題〕
A，B，C が同符号のとき
(B+C)/A + (C+A)/B + (A+B)/C ≧ 4{A/(B+C) + B/(C+A) + C/(A+B)},

(略証)
AM-HM より
　A(1/B + 1/C）≧ 4A/(B+C),
　B(1/C + 1/A) ≧ 4B/(C+A),
　C(1/A + 1/B) ≧ 4C/(A+B),
辺々たす。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/04(日) 03:52:33.46

>>470

〔Nesbitt、Shapiro-3〕

A/(B+C) + B/(C+A) + C/(A+B) ≧ 3/2,

(左辺) = (A+B+C) {1/(B+C) + 1/(C+A) + 1/(A+B)} - 3
≧ (A+B+C) * 9/ {2(A+B+C)} - 3　　（← AM-HM)
= 9/2 - 3
= 3/2.

(左辺) = (A+B+C) {1/(B+C) + 1/(C+A) + 1/(A+B)} - 3
= (1/2) {(B+C)+(C+A)+(A+B)} {1/(B+C) + 1/(C+A) + 1/(A+B)} - 3
≧ (1/2)(1+1+1)^2 - 3　　（← コーシー）
= 9/2 - 3
= 3/2.

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/13(火) 11:09:49.42

C[n,r]は二項係数とする。

(1) n ∈N (ｎ≧2) に対して、2^{2n-1}/\sqrt(n) < C[2n, n] < 2^{2n-1} を示せ。

(2) n+1 以上 2n-1 以下の素数の積は、2^{2n-2} より小さいことを示せ。
　ただし、該当する素数がないときは、積を1とする。

(3) n 以下の素数の積は、2^{2n-1} 以下であることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/14(水) 01:57:39.77

>>453 >>459

正係数のn次方程式
Σ[j=0，k] a_j {x^(n-j) + x^j} = 0,　（n>2k)
について、

a_0 > a_1 > a_2 > … > a_{n-1} > a_n > 0
ならば、解の絶対値はすべて１である。

http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/141059/1/1665-03.pdf
http://suseum.jp/gq/question/2869　（アンドロメダ氏）
http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/269　（不等式２）

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/14(水) 03:30:09.01

>>474
(1)
2^(2n-1) /√n < C[2n，n] < 2^(2n-1) √{2/(n+1)},

nについて帰納法による。
n=2 のとき、8/√2 < C[4，2] < 8√(2/3)　ゆえ成立。
n-1 について成り立つならば
　2^(2n-3)/√(n-1) < C[2n-2，n-1] < 2^(2n-3)√(2/n),
　4√{(n-1)/n} < 4 (2n-1)/2n < 4√{n/(n+1)},
　辺々かけて
　2^(2n-1)/√n < C[2n，n] = 2^(2n-1)√{2/(n+1)},
∴ n についても成立。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/14(水) 03:46:47.54

>>475
いつもながら実に実に実に～ぃ、素晴らしいデス！
参考資料まで探して頂き、感謝の極みでござるぞ！

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/15(木) 02:36:40.53

>>463

〔補題〕
http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/265 （不等式２）

（２）（x=0，x=1 も含む方）
大関：文献[3] p.130 例題6.

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/15(木) 16:54:44.46

>>476

Stirlingの近似
　n！≒ √(2π）n^(n+1/2）e^{-n + 1/(12n)},
から
　Ｃ［2n，n］=（2n)！/(n！･n！）≒（4^n)/√(πn）・e^{-1/(8n)},

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/20(火) 07:24:26.19

〔問題〕
80.60 < Σ［k=1，24］√k < 80.65 を示せ。

面白スレ２６-103

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/20(火) 23:56:16.21

数学セミナーに不等式の問題あった

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/21(水) 00:14:13.24

信ちゃんのエレ解かな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/21(水) 04:54:09.91

>>480

左側：
　y=√x は上に凸だから、接線が上。
　√k > ∫[k-1/2，k+1/2］√x dx =（2/3)｛(k+1/2)^(3/2）-（k-1/2)^(3/2)｝,
右側：
　y=√x は上に凸だから、割線が下。
　｛√k + √(k+1)}/2 < ∫[k，k+1] √x dx =（2/3)｛(k+1)^(3/2）- k^(3/2)｝,
　ただし、1≦k≦4 は別途たす。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/21(水) 04:59:29.95

〔応用問題〕
　｛√k + √(k+1)}/2 < ∫[k，k+1] √x dx =（2/3)｛(k+1)^(3/2）- k^(3/2)｝,
を用いて次を示せ。

(2)　√2 < 99/70 = 1.41428571… 　　　(k=8)
　　√2 > 1393/985 = 1.41421320… (k=49)
　　 √2 < (19601/6)/2310 = 1.4142135642… (k=288)

(3)　√3 < (1351/6)/130 = 1.73205128… (k=48)

(5)　√5 < 2889/1292 = 2.236068111… 　(k=80)

(6)　√6 < (485/6)/33 = 2.4494949…　　(k=24)

(7)　√7 < 2024/765 = 2.645751634…　　(k=63)

(10)　√10 > 117/37 = 3.16216216…　　　(k=9)
　　　√10 < (27379/6)/1443 = 3.1622776622… (k=360)

(11)　√11 < 3970/1197 = 3.316624895… (k=99)

(17)　√17 > 268/65 = 4.123076923…　　 (k=16)

(37)　√37 > 882/145 = 6.08275862…　　(k=36)

面白スレ２６ - 109～110，117

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/21(水) 05:17:17.36

>>484 に追加

(15)　√15 < 244/63 = 3.87301587…　(k=15)

(35)　√35 < 846/143 = 5.9160839…　 (k=35)

(101)　√101 > 4030/401 = 10.049875311…　(k=100)

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/23(金) 01:31:09.69

>>428
分子を変えた場合に最大最小値はどうなるのか気になるでござる ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！

a、b、c、p、q >0 に対して、
(1)　a/(pa+qb) + b/(pb+qc) + c/(pc+qa)
(2)　b/(pa+qb) + c/(pb+qc) + a/(pc+qa)
(3)　c/(pa+qb) + a/(pb+qc) + b/(pc+qa) ≧ 3/(p+q)

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/23(金) 07:43:00.89

>>486
(3)
c(pa+qb）+ a(pb+qc）+ b(pc+qa）=（p+q)(ab+bc+ca),
コーシーにより
(左辺）≧（a+b+c)^2 /｛(p+q)(ab+bc+ca)｝≧ 3/(p+q),
でござるか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/23(金) 07:49:46.24

>>483
左側：
積分計算を避けるなら、
AM-GM より
（kk -1/4)^3 ≧（kk)(kk -3/8)(kk -3/8),

｛(k+1/2)^(3/2) - (k-1/2)^(3/2)}^2 = 2k(kk +3/4) -2(kk -1/4)^(3/2)
　≦ 2k(kk +3/4) -2k(kk -3/8)
　= 9k/4,

√k ≧ (2/3）｛(k+1/2)^(3/2) - (k-1/2)^(3/2)},
以下は同様。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/24(土) 07:45:51.61

>>483
右側：
｛√(k+1）- √k}^2 = 1/{√(k+1）+ √k}^2 ≧ 1/{2(k+1）+ 2k｝= 1/{2(2k+1)},
より
（右辺)^2 -（左辺)^2 =（4/9）｛(k+1)^(3/2）- k^(3/2)}^2 -（1/4)｛√k + √(k+1）}^2
　=（1/36）［{4(2k+1)^2 +5｝｛√(k+1）- √k}^2 - 2(2k+1）］
　≧(1/36）［{4(2k+1)^2 +5｝/｛2(2k+1)｝- 2(2k+1）］
　=（5/36）/{2(2k+1)},

｛√k + √(k+1)｝/2 <（2/3)｛(k+1)^(3/2）- k^(3/2)},
以下は同様。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/24(土) 19:30:42.65

>>486
(1)　3/p > a/(pa+qb) + b/(pb+qc) + c/(pc+qa) > 0
(2)　3/q > b/(pa+qb) + c/(pb+qc) + a/(pc+qa) > 0

( ﾟ∀ﾟ)　ﾌﾟｩ
ノヽノ) =3'A`)ﾉﾋｬｰ
　くく　へﾍﾉ

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/26(月) 20:49:46.38

>>490
それが限界ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/27(火) 07:17:22.34

>>486

(1) Max{2/p，3/(p+q)｝ > a/(pa+qb) + b/(pb+qc) + c/(pc+qa) > min{3/(p+q)，1/p｝,

(2) Max{2/q，3/(p+q)｝ > b/(pa+qb) + c/(pb+qc) + a/(pc+qa) > min{3/(p+q)，1/q｝,

(3) c/(pa+qb) + a/(pb+qc) + b/(pc+qa) ≧ 3/(p+q),　　　>>487

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/28(水) 05:38:19.81

>>428 >>429

ドイツ Team Selection Test 2010 Vaimo 8, 問2
twitter.com/Inequalitybot/ [129]

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/29(木) 07:31:07.02

>>492
ど、どう証明するのかな？・・・・・･･･ｺﾞｸﾘ。

　　　　ヽ|/
　　　／￣￣￣＼
　　 /　　　　ヽ
　　/　＼　／　　|
　｜ (●)(●)|∥|
　｜ /￣⌒￣ヽ U|
　｜｜i二二ヽ|　|
　｜U＼＿＿_ノ　|
　｜　　　　　|

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/30(金) 06:53:28.40

>>474
(1)
2^(2n-1) /√n < C[2n，n] < 2^(2n) /√(πn),

大関：参考書[3]、p.53　例題10　(1987)
W.F.Sierpinski: "Elementary theory of numbers"，PWN-Polish Sci. Publ. (1964)

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/02(月) 10:26:49.91

〔問題983〕
実数 0 < x < π/6 に対して、不等式
　sin(x) < 2x/(x +π/2）
を示せ。

分かスレ４４１-983、分かスレ４４２-10，28，47

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/02(月) 11:35:20.76

>>496
問題だけじゃなく、証明も貼っておこうぜ！ここは不等式のコレクターのためのスレなんだからな。

> y=π/2 で成り立てば、
> 　2{1-sin(x)}/(π/2 -x) > sin(x)/x,　　　　>>28
> 　x/sin(x) > (π/2 +x)/2,
> ならば十分。そこで
> 　g(x) = x/sin(x),
> とおく。
> ｜x｜<π/2　で g(x) は下に凸。　　　　… (*)
> g(π/6)=π/3 と g(π/2)=π/2 を通る割線を曳く。
> 　z = (π/2 +x)/2,
> -π/2 < x < π/6　のとき　g(x) > (π/2 +x)/2,
>
> (*)
> 1-cos(x) ≧ 0,
> x-sin(x) = ∫[0，x] {1-cos(t)} dt > 0　（x>0)
> sin(x)-x･cos(x) = ∫[0，x] t･sin(t) dt > 0　(0<x<4.4934094579）
> より
> g '(x) = {sin(x)-x･cos(x)}/sin(x)^2,
> g "(x) = {1-cos(x)}/sin(x)・g '(x) + {1+cos(x)}{x-sin(x)}/sin(x)^3 > 0,

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/03(火) 14:36:03.43

〔問題〕
(1)
f(x）g(x） = 1ならば
　f '(x）g '(x） < 0,
さらに f(x）f "(x） < 0 のとき
　f "(x）g "(x） < 0,

(2)
　g(x) = x/sin(x）について、
　|x| < 2.081575977818　⇒　g "(x） > 0,

分かスレ４４２-069

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/03(火) 15:02:35.39

>>498
(1)のf,gって任意の関数かね？

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/03(火) 22:49:34.80

>>499

(1) そうです。（微分可能な…）

(2)
｜x｜< 2.0815759778181　⇒　｛sin(x)/x｝" < 0
を使っていいらしい。

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/04/06(金) 09:34:42.48

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/04/06(金) 09:35:02.15

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/04/06(金) 09:35:19.38

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/04/06(金) 09:35:35.89

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/04/06(金) 09:35:56.14

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￥

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/11(水) 14:21:47.84

ライヒ・シュトレーベルの不等式
レンゲルの不等式

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/12(木) 10:53:44.62

非負実数 a_1、…、a_n に対して、
(Σ[k=1 to n] a_k){Σ[k=1 to n] (a_k)^(n-1)} ≦ n*Π[k=1 to n]a_k + (n-1)*Σ[k=1 to n] (a_k)^n

昔の手書きメモから発掘、詳細不明 ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/14(土) 00:31:34.32

>>512

⊿_n = (右辺) - (左辺)
= (n-1)Σ[k=1,n] (a_k)^n - {Σ[k=1,n] a_k}{Σ[k=1,n] (a_k)^(n-1)} + n･a_1･a_2…a_n,
a_1 = a，a_2 = b，a_3 = c，a_4 = d，a_5 = e，
とおいてシューア展開すると、

⊿_1(a) = 0,
⊿_2(a,b) = 0,
⊿_3(a,b,c) = F_1(a,b,c)
⊿_4(a,b,c,d) = (2/3){F_2(a,b,c) + F_2(b,c,d) + F_2(c,d,a) + F_2(d,a,b)} + (1/3){F_1(a,b,c)d + F_1(b,c,d)a + F_1(c,d,a)b + F_1(d,a,b)c},
⊿_5(a,b,c,d,e) = (1/2)Σ[a,b,c] F_3(a,b,c) + (1/6)Σ[a,b,c] F_2(a,b,c)(d+e) + (1/6)Σ[a,b,c] F_1(a,b,c)de,

ここに Σ[a,b,c] は C[5,3] = 10項の和

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/14(土) 00:53:24.57

>>513

〔Schurの不等式〕
F_m(x,y,z) = (x^m)(x-y)(x-z) + (y^m)(y-z)(y-x) + (z^m)(z-x)(z-y) ≧ 0,

文献[3] 大関(1987)　p.28
文献[8] 安藤(2012)　p.27～28
文献[9] 佐藤(訳)(2013)　p.40

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/15(日) 23:04:58.95

a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、 (a^10 + b^10 + c^10)^2 ≧ 3*(a^13 + b^13 + c^13).

　　　┏　 ━ゝヽ''人∧━∧从━〆Ａ!ﾟ━━┓。
　＜　ゝ＼',冫｡’　 ,,,,　　∧,,∧ ' ゛△´ ' ゝ'┃
∇ 　┠─Σ┼　　,ﾆ,◎､・ω・')　冫／そ', .┨'ﾟ,。
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　。　┃　　 Σ.　〈/"）､〉ﾉノ　､'’ ≦　│て　く
　　　┠─ム┼　（_/_iiiﾉ　　　､,,’.┼ ｧ　Ζ┨　ミｏ'’｀
.。○.〆　　`､,~´＋　! .!　　√ ▽ ',! ヽ.◇ ｏ.┃
　　　┗〆━┷.　Ｚ,..`"┷━''ｏ.ヾｏ┷+＼━┛,゛；

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/16(月) 12:01:31.88

⊿_n = Σ[m=1,n-2] 2(n-m-2)! m!/(n-1)! Σ[a,b,c] F_m(a,b,c) S_{n-m-2}(A-{a,b,c}) ≧0,

　A = {a_1，a_2，…，a_n}
　納a,b,c] は C[n,3] = n(n-1)(n-2)/6 項の和。
　S_j(B) は集合Bの要素で作ったj次の基本対称式
　A = {a_1，a_2，…，a_n}

ついで乍ら
納a,b,c] F_m(a,b,c) = {m(m+1)2}Σ[k=1,n] (a_k)^(m+2) S_{n-m-2}(A-{a_k})
　　- m(n-m-1)納k=1,n] (a_k)^(m+1) S_{n-m-1}(A-{a_k})
　　+ {(n-m)(n-m-1)/2}納k=1,n] (a_k)^m S_{n-m}(A-{a_k})

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/16(月) 12:04:49.28

>>513

⊿_n = Σ[m=1,n-2] 2(n-m-2)! m!/(n-1)! Σ[a,b,c] F_m(a,b,c) S_{n-m-2}(A-{a,b,c}) ≧0,

　A = {a_1，a_2，…，a_n}
　Σ[a,b,c] は C[n,3] = n(n-1)(n-2)/6 項の和。
　S_j(B) は集合Bの要素で作ったj次の基本対称式
　A = {a_1，a_2，…，a_n}

ついで乍ら
Σ[a,b,c] F_m(a,b,c) = {m(m+1)2}Σ[k=1,n] (a_k)^(m+2) S_{n-m-2}(A-{a_k})
　　- m(n-m-1)Σ[k=1,n] (a_k)^(m+1) S_{n-m-1}(A-{a_k})
　　+ {(n-m)(n-m-1)/2}Σ[k=1,n] (a_k)^m S_{n-m}(A-{a_k})

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/17(火) 03:17:29.93

(1/2)*(3/4)*…*(999999/1000000) < 1/1000 を示せ。

　 ∧＿∧　
　（ ´･ω･)　　先月の数蝉に不等式の問題があったような…
　（つ旦と）　
　と＿）＿）

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/17(火) 22:54:13.31

>>518

√((2k-1)(2k+1)) = √(4kk-1) < 2k,

(左辺) = {√(1･3)/2}{√(3･5)/4｝…｛√((2n-1)(2n+1))/(2n)} / √(2n+1)
　　< 1/√(2n+1)
　　< 1/√(2n)
　　= 0.001
　
(別法)
　Stirling の公式から

(左辺) = (2n-1)!! / (2n)!!
　= (2n-1)!! / {(2^n) n!}
　= (1/4)^n・C(2n，n)
　= 1/√(nπ)・{1 - 1/(8n) + 1/(128n^2) + 5/(1024n^3) - …… }
　< 1/√(nπ)
　= 1/√(500000π)
　= 0.00079788456080
　
なお、（左辺) = 0.00079788436133

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/18(水) 13:35:34.72

コレクションになかったのを拾い集めてきた。(A1)以外は、たぶん過去スレにもないと思ふ。

【絶対値絡み】

(A1) a, b, c >0 に対して、|(a-b)/(a+b)| + |(b-c)/(b+c)| ≧ |(a-c)/(a+c)|

(A2) [宜蘭 2007]
相異なる a, b, c >0 に対して、|(a+b)/(a-b) + (b+c)/(b-c) + (c+a)/(c-a)| > 1

(A3) [疑問]
a, b, c >0 に対して、|(a-b)/(a+b) + (b-c)/(b+c) + (c-a)/(c+a)| のとりうる値の範囲は？

【分数式とか】

(B1) [中国 2008]
a, b, c >0 に対して、ab/c + bc/a + ca/b ≧ 2*(a^3 + b^3 + c^3)^(1/3)

(B2) [宜蘭 2010]
a, b, c >0 に対して、1/(a^2) + 1/(b^2) + 1/(c^2) + 1/{(a+b+c)^2} ≧ (7/25)*{1/a + 1/b + 1/c + 1/(a+b+c)}^2

(B3) [IMO short list 2008]
a, b, c, d >0 に対して、(a-b)(a-c)/(a+b+c) + (b-c)(b-d)/(b+c+d) + (c-d)(c-a)/(c+d+a) + (d-a)(d-b)/(d+a+b) ≧ 0

(B4) [不等式bot]
a, b >0 に対して、
(ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3 + 9(abc)^2 + abc(a^3 + b^3 + c^3 + 9abc) ≧ 3abc(a+b)(b+c)(c+a)

不等式botってのを最近見つけたんだけど、何これ？ botって何ぞや？
同じ問題を繰り返し吐き出してるから、自動なのか？
登録してある問題をダブりなしに全部見てみたい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/18(水) 13:36:45.65

【√がらみ】

(C1) [宜蘭 2008]
a, b, c >0 に対して、次式をみたす実数 k の最小値を求めよ。
a√b + b√c + c√a ≦ k√{(a+b)(b+c)(c+a)}

(C2) [香佐富斯坦 2010]
a, b >0 に対して、
√{(a^2-a+1)(b^2-b+1)} + √{(a^2+a+1)(b^2+b+1)} ≧ 2(x+y)

(C3) [スポック 2012]
a, b, c >0 に対して、
(a+b)√{(b+c)(c+a)} + (b+c)√{(c+a)(a+b)} + (c+a)√{(a+b)(b+c)} ≧ 4(ab+bc+ca)

(C4) [中国 2012]
a, b, c∈[0,1] のとき、√|a-b| + √|b-c| + √|c-a| の最大値を求めよ。

(C5) [波蘭 2004]
a, b, c∈R に対して、
√(2a^2+2b^2) + √(2b^2+2c^2) + √(2c^2+2a^2) ≧ √{3(a+b)^2 + 3(b+c)^2 + 3(c+a)^2}

(C6) [墺太利 2008]
a, b, c >0、a+b+c=1 に対して、
√{a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b)} ≦ 1/3

(C7) [土耳古 2005]
a, b, c, d ∈R に対して、
√(a^4 + c^4) + √(a^4 + d^4) + √(b^4 + c^4) + √(b^4 + d^4) ≧ (2√2)*(ad+bc)

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/18(水) 13:37:59.14

【微積分絡み】

(D1) [Putnum 1999]
実関数 f がC^3級で、任意の x∈R に対して、
　0 < f'(x)、 0 < f''(x)、 0 < f'''(x) ≦ f(x)
をみたすとき、f'(x) < 2f(x) を示せ。

(D2) [AoPS]
f は [0,1] で単調増加な凸関数で、f(0)=0、f(1)=1 をみたす。
g を fの逆関数とするとき、x^2 ≧ f(x)g(x) を示せ。

(D3) [近大 2008]
実関数 f がC^2級で、任意の x∈R に対して f''(x)≧f(x) をみたすとき、
f(x) ≧ f(0)*{e^x + e^(-x)}/2 + f'(0)*{e^x - e^(-x)}/2

(D4) [山梨医改、不等式bot]
f(0) = f(1) = 0、f'は[0,1]で連続のとき、∫[0,1] {f'(x)}^2 dx ≧ (π^2)*∫[0,1] {f(x)}^2 dx

(D5) [京大院 2011]
実連続関数 f,φ は区間[a,b]上で狭義単調増加のとき、
∫[a,b] f(x)dx = 0 ならば、∫[a,b] f(x)φ(x)dx > 0 を示せ。

(D6) [羅馬尼亜 2004]
fが[0,1]で積分可能で、∫[0,1] f(x)dx = ∫[0,1] xf(x)dx = 1 のとき、∫[0,1] {f(x)}^2 dx ≧ 4

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/18(水) 13:38:24.42

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　　　　 ""　;ヾ ;ヾﾞヾ ;ヾ ;ヾ;ヾ"ﾞ "iヾ;ヾ;ヾ"　ﾞヾ;ヾ;ヾ"
　　　　　　　""　　 'ヾ;ヾ" || ｌ　| ﾞ|/;ヾ"　　　　 "
　　　　　　　　　　　　 " 　 |l ｉ　ｌﾞｌ|
,,,,　　 ",,,," ,,, " ∧ ∧　,,,　|l | ﾞ｜| ''　,,　"　　"　,, 　　　春は不等式！
　　　　　　　　　( ﾟ∀ﾟ)∬ ノﾉ从ヾヽ、　　　,,,　''　　やうやう白くなりゆく山際
　''　｀　｀　／　（＿）旦.　　／　　　　　　　　　　　　　　少し明かりて、
　　　　／　　　　　　　　　／　　　　''''　　　　　""　紫だちたる雲の細くたなびきたる
　　　　￣￣￣￣￣￣￣

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/19(木) 02:39:28.61

>>520

(A2) [155]
　(左辺) = |(p+q)/(p-q)|,
　ここに p = aab+bbc+cca -3abc ≧ 0，q = abb+bcc+caa -3abc ≧ 0,
　q-p = (a-b)(b-c)(c-a) = ⊿,
　佐藤(訳) 問題3.103

(A3)
　絶対値の中身 = (a-b)(b-c)(c+a)/{(a+b)(b+c)(c+a)},
　-1 ～ +1

(B1) [96]
　 (ab/c + bc/a + ca/b)^3 ≧ 8(aaa+bbb+ccc) + 3abc,
　bc/a=x，ca/b=y，ab/c=z とおく。

(B2) [198]
　a+b+c = s，1/a+1/b+1/c = 3/h とおく。
　s-3h ≧ 0,
　(左辺) ≧ 3/hh + 1/ss,
　(右辺) = (7/25)（3/h+1/s)^2,
　(左辺) - (右辺) ≧ 6(2s-h)(s-3h)/(5hs)^2 ≧ 0,
　等号成立は s-3h = 0，a=b=c.

(B3) [100]
　a-c，b-d の2次形式として正定値。

(B4) [107]
　(左辺) - (右辺) = (sssu+ttt+27uu) - 9stu ≧0　(←AM-GM）
　ここに、s = a+b+c、t = ab+bc+ca、u = abc.

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/19(木) 02:45:19.23

>>521

(C1) [70]
　コーシーにより、
　(左辺)^2 ≦ (a+b+c)(ab+bc+ca) = (a+b)(b+c)(c+a) + abc ≦ (9/8)(a+b)(b+c)(c+a),
　K = 3/√8．
　佐藤(訳) 問題3.113

(C2) [114]
(左辺)^2 = 2{(aa+1)(bb+1) + ab + √(a^4+aa+1)√(1+bb+b^4)}
　= 2{(aa+3ab+bb) + (ab-1)^2 + √(a^4+aa+1)√(1+bb+b^4)}
　≧ 2{(aa+3ab+bb) + (aa+ab+bb)}
　= 4(a+b)^2　　　(←コーシー）
　等号成立は xy=1.

(C3) [16]
　(a+b)√{(b+c)(c+a)} ≧ (a+b){c+√(ab)} ≧ (a+b)c + 2ab，
　循環的にたす。

(C4) [62]
　bはaとcの中間にあるとする。
　√|a-b| + √|b-c| + √|c-a| ≦ (1+√2)|c-a| ≦ 1 + √2、
　等号は（a，b，c）=（0，1/2，1)

(C5) [86]
　2√{3(aa+bb+cc)} ≧ √(2aa+2bb) + √(2bb+2cc) + √(2cc+2aa) ≧ √{3(a+b)^2+3(b+c)^2+3(c+a)^2} ≧ 2(a+b+c),
　(左辺)^2 = 4(aa+bb+cc) + 4√(aa+bb)√(bb+cc) + … + …
　≧ 4(aa+bb+cc) + 2(a+b)(b+c) + 2(b+c)(c+a) + 2(c+a)(a+b)
　= 3(a+b)^2 + 3(b+c)^2 + 3(c+a)^2
　= (中辺)^2.

(C6) [49]
　f(x) = (1-x)log(x) ≦ -(1-x)^2 は 0<x<1 で上に凸。
　f(a) + f(b) + f(c) ≦ 3f((a+b+c)/3) = 2log(1/3)

(C7) [71]
　√(xx+yy) ≧ (x+y)/√2 を使う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/19(木) 02:51:51.34

>>522

(D1) [143]
　未だ解けぬ～

(D2) [164]
{f(x)/x} ' = {xf '(x) - f(x)}/xx =∫[0→x] {f '(x) - f '(t)}dt/xx > 0（←fは凸）
　f(x)/x は単調増加,
　x < g(x) < 1,
　f(x)/x ≦ f(g(x))/g(x) = x/g(x),

(D3) [144]
　0 ≦∫[0，x] {f ''(t) - f(t)}sinh(x-t)dt = [ f(t)cosh(x-t)+f '(t)sinh(x-t) ](t=0，x) = f(x) - f(0)cosh(x) - f '(0)sinh(x).

(D4) [121] (Wirtingerの不等式)
　g(x) = cot(x)とおく。
　g '(x) + g(x)g(x) = -1,
　[f(x)f(x)g(x)](x=0-π) = 0,
　∴ 0 ≦∫｛f '(x)－f(x)g(x)}^2 dx
　= ∫f '(x)f '(x)dx - [f(x)f(x)g(x)](x=0-π) + ∫f(x)f(x){g '(x) + g(x)g(x)}dx
　= ∫f '(x)f '(x)dx - ∫f(x)f(x)dx,
　大関・青柳「不等式」槇書店　p.204

(D5) [211]
　中間値の定理から、a<c<b なるcがあって f(c)=0,
　単調性から、(x-c)f(x)≧0、(x-c){φ(x)-φ(c)}≧0,
　これを入れる。

(D6) [54]
　0 ≦∫{f(x)+2-6x}^2 dx
　= ∫f(x)^2 dx + 4∫f(x)dx -12∫f(x)･x dx +4∫(1-3x)^2 dx
　= ∫f(x)^2 dx + 4 -12 +4.

[　]内は Inequalitybot の番号ですぅ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/19(木) 05:10:55.02

(C8) [月即別 2013] [187]
a≧b≧0 のとき、(a^2+b^2)^(1/2) + (a^3+b^3)^(1/3) + (a^4+b^4)^(1/4) ≦ 3a+b

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/19(木) 13:00:30.09

>>527

(C8) [187]
　(a^2 + b^2)^(1/2) ≦ a + (√2－1)b,
　(a^3 + b^3)^(1/3) ≦ a + {2^(1/3)－1}b,
　(a^4 + b^4)^(1/4) ≦ a + {2^(1/4)－1}b,
辺々たす。
　(左辺) ≦ 3a + 0.8633417b

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/21(土) 09:22:11.44

>>87

　a^(2/3) = A，b^(2/3) = B，c^(2/3) = C とおくと、

　aa+bb+cc - 2(ab+bc+ca) + 2abc+1
　≧ A^3 + B^3 + C^3 - 2{AB(A+B) +BC(B+C) +CA(C+A)} + 3ABC
　= ⊿_3（A，B，C)　　　　　>>513
　= F_1（A，B，C)
　≧ 0,

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/22(日) 13:39:47.36

>>163

〔Turkevici の不等式〕 - 改

a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + 2abcd - {ab(aa+bb) +ac(aa+cc) +ad(aa+dd) +bc(bb+cc) +bd(bb+dd) +cd(cc+dd)}/2
= a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + 2abcd - {(a^3)(b+c+d) -(b^3)(c+d+a) -(c^3)(d+a+b) -(d^3)(a+b+c)}/2
= (1/2)⊿_4
≧ 0,　　　　　>>513

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/22(日) 13:55:51.43

>>163

〔Turkevici の不等式〕- 改

a^4 + b^4 + c^4 + d^4 + 2abcd - {ab(aa+bb) +ac(aa+cc) +ad(aa+dd) +bc(bb+cc) +bd(bb+dd) +cd(cc+dd)}/2
= {3(a^4 + b^4 + c^4 + d^4) -(a+b+c+d)(a^3+b^3+c^3+d^3) + 4abcd}/2
= (1/2)⊿_4
≧ 0　　　　　>>513

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/22(日) 16:33:05.00

( ﾟ∀ﾟ) ﾜｸﾜｸが止まらんね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/24(火) 00:18:06.70

>>515
　a^(10/3) = A，b^(10/3) = B，c^(10/3) = C とおくと本題は
　(A^3+B^3+C^3)^2 ≧ 3(A^4+B^4+C^4)

〔補題〕
　(A^3+B^3+C^3)^2 ≧ (AB+BC+CA)(A^4+B^4+C^4)

m = min{A，B，C} とおき、
{A，B，C} = {m，m+x，m+y}　(x≧0，y≧0)
とする。
(左辺) - (右辺) = (A^3+B^3+C^3)^2 - (AB+BC+CA)(A^4+B^4+C^4)　
　= (m^4)(xx-xy+yy) + (2m^3)xy(x+y) + (2m^2){2xx(x-y)^2 +5xxyy +2yy(x-y)^2} + m(x+y){xx(2x-2.5y)^2 +(7/2)xxyy +yy(2.5x-2y)^2} + (x-y)(x^5-y^5) + 2(xy)^3
　≧ 0,

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/24(火) 11:04:06.96

>>515 >>533

〔補題〕
　(A^3+B^3+C^3)^2 ≧ (AB+BC+CA)(A^4+B^4+C^4)

(左辺) - (右辺) = F_0(A，B，C) F_0(AA，BB，CC) + (ABC)^2 F_{-2}(A，B，C) ≧ 0,

F_0(A，B，C) = (A-B)(A-C) + (B-C)(B-A) + (C-A)(C-B) = {(A-B)^2 + (B-C)^2 + (C-A)^2}/2 ≧ 0,

F_{-2}(A，B，C) = (A-B)(A-C)/AA + (B-C)(B-A)/BB + (C-A)(C-B)/CC = ABC F_1(1/A，1/B，1/C) ≧ 0,

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/24(火) 23:16:08.34

>>533 >>534

〔補題〕
1≦n≦3，A～C≧0 のとき
　(A^n + B^n + C^n)^2 ≧ (AB+BC+CA) {A^(2n-2)+B^(2n-2)+C^(2n-2)} ≧ 3ABC {A^(2n-3)+B^(2n-3)+C^(2n-3)},

右側はチェビシェフなど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/25(水) 00:55:21.59

>>533 >>534 >>535

〔補題〕
1≦n≦5，A～C≧0 のとき
　(A^n + B^n + C^n)^2 ≧ 3ABC {A^(2n-3) + B^(2n-3) + C^(2n-3)},

(例)
n=3 のとき
(左辺) - (右辺) = (A^3 +B^3 +C^3) (A^3 +B^3 +C^3 -3ABC) ≧ 0,

n=4 のとき
(左辺) - (3/2) {(a^3)(b+c) + (b^3)(c+a) + (c^3)(a+b)}
　= (1/2) {(aa-ab+bb)(a-b)^2 + (bb-bc+cc)(b-c)^2 + (cc-ca+aa)(c-a)^2}
　≧ 0,
ここに、a=AA，b=BB，c=CC.

(3/2) {(a^3)(b+c) + (b^3)(c+a) + (c^3)(a+b)} - (右辺)
　= (3/2) {(A^6)(B-C)^2 + (B^6)(C-A)^2 + (C^6)(A-B)^2}
　≧ 0,

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/25(水) 22:02:16.65

三角形の辺長 a、b、c に対して、
　 {√(a+b-c)}/(√a + √b - √c) + {√(b+c-a)}/(√b + √c - √a) + {√(c+a-b)}/(√c + √a - √b) ≦ 3

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/27(金) 02:42:51.45

>>537 [6]

A = √b+√c-√a > 0,
B = √c+√a-√b > 0,
C = √a+√b-√c > 0,
とおく。
b+c-a = AA - (A-B)(A-C)/2,
√(b+c-a) ≦ A - (A-B)(A-C)/4A,
(左辺) = √(b+c-a) /A + √(c+a-b) /B + √(a+b-c) /C
　≦ 3 - (A-B)(A-C)/(4AA) - (B-C)(B-A)/(4BB) - (C-A)(C-B)/(4CC)
　= 3 - (1/4) F_{-2}(A，B，C)
　= 3 - (ABC/4) F_1(1/A，1/B，1/C)
　≦ 3.

　IMOSL-2006 予選 A.6、JMO春合宿
　文献[8] 安藤 (2012)，p.147 例題3.2.3(9)，
　http://www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式1-307、434、437

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/27(金) 02:55:00.93

( ﾟ∀ﾟ) いつも素晴らしいデスネ。GWに精読させていただきます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/27(金) 03:03:26.10

実数 a_k、b_k (1≦k≦n)) に対して、
1 + Σ[k=1 to n] (a_k + b_k)^2 ≦ (4/3)*{1 + Σ[k=1 to n] (a_k)^2}*{1 + Σ[k=1 to n] (b_k)^2}

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/27(金) 07:15:04.11

任意の m、n∈N (m > n) に対して、
lcm(m, n) + lcm(m+1, n+1) > 2mn/{√(m-n)}

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/27(金) 11:37:15.92

>>540

A = Σ[k=1，n] (a_k)^2,
B = Σ[k=1，n] (b_k)^2,
C = Σ[k=1，n] a_k b_k,
とおく。
A+B-2C = Σ[k=1，n] (a_k - b_k)^2 ≧ 0,
AB-CC = Σ[1≦j<k≦n] (a_j b_k - a_k b_j)^2 ≧ 0　　(←コーシー)

(右辺) - (左辺) = (4/3)(1+A)(1+B) - (1+A+B+2C)
= (1/3) (1+A+B+4AB-6C)
= (1/3) {(A+B-2C) + 4(AB-CC) + (1-2C)^2}
≧ 0,

等号成立は a_k = b_k，A = B = C = 1/2.

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/28(土) 00:44:27.52

>>541

gcd(m，n) | (m-n)
gcd(m+1，n+1) | (m-n)
左辺は互いに素ゆえ、 (←背理法で)
gcd(m，n)gcd(m+1，n+1) | (m-n)

lcm(m，n) + lcm(m+1，n+1)
= mn/gcd(m，n) + (m+1)(n+1)/gcd(m+1，n+1)
> mn{1/gcd(m，n) + 1/gcd(m+1，n+1)}
> 2mn/√{gcd(m，n)gcd(m+1，n+1)}　　　　(←AM-GM)
≧ 2mn/√(m-n),

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/29(日) 13:40:34.24

>>374 >>398 >>399 >>416 >>417

　nΣ[k=1，n］ s_k （a_k)^2 ≧ M_n （s_n)^3,
とおく。

M_2 = 0.7377393811182 = 2(47-14√7)/27
　　　(a，b) =（√7 -1，4-√7）（3+√7，2+√7)

M_3 = 0.6481616033162
　　　(a，b，c) = (1.38436，1.13916，1)

M_4 = 0.60233351875
　　　(a，b，c，d) = (1.52472，1.25465，1.10139，1)

M_5 = 0.574255

M_6 = 0.5551782

M = 0.444444 = 4/9　　　(n→∞),

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/29(日) 22:17:02.33

>>544
　Memo.

漸化式は
　a_{n+1} = (1/2) {√(2x-1) - 1} s_n,
　s_{n+1} = s_n + a_{n+1},
　M_n = (n/3) (x-1),
ここに
　x = (1 + a_n/s_n)^2.

(例)

M_1 = 1
　a_1 = s_1 = 1

M_2 = 2(47-14√7)/27 = 0.7377393811182
　a_2 = (√7 -1)/2 = 0.8228756555323
　s_2 = (√7 +1)/2 = 1.8228756555323

M_3 = 0.64816160331616
　a_3 = 0.72235563718495
　s_3 = 2.54523129271725

M_4 = 0.60233351872589
　a_4 = 0.65585825517001
　s_4 = 3.20108954788726

M_5 = 0.57425545264547
　a_5 = 0.60768519695068
　s_5 = 3.80877474483794

M_6 = 0.55517800140267
　a_6 = 0.57066170678793
　s_6 = 4.37943645162587

本題から逸れてしまった…

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/29(日) 22:33:49.66

>>374 (改)

Σ[k=1，n] (s_{k-1} + s_k)/2 ･ (a_k)^2 > (4/9n) (s_n)^3,

便宜上　s_0 = 0 とおいた。

*　中点 (s_{k-1} + s_k)/2 で接線を曳く。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/30(月) 07:31:33.28

>>544
>>545 Memo. の続き

M_10 = 0.51565443182467
　a_10 = 0.47804498656917
　s_10 = 6.41086198943751

M_100 = 0.45433807243808
　a_100 = 0.21749813721698
　s_100 = 32.0226683930223

M_1000 = 0.44575956171259
　a_1000 = 0.10051892239154
　s_1000 = 150.383787216053

M_10000 = 0.44460977509949
　a_10000 = 0.04662595061307
　s_10000 = 699.152499550131

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/02(水) 00:00:30.49

>>545
Memo.

(略証)
nについての帰納法による。
　a_{n+1} = A と略す。
まず s_n を固定して a_1 ～ a_n を動かしたときの最小値は、
　Σ[k=1，n+1] s_k (a_k)^2 - μ(s_{n+1})^3
　= Σ[k=1，n] s_k (a_k)^2 + (s_n + A)A^2 - μ(s_n + A)^3
　≧ (M_n /n)(s_n)^3 + (s_n + A)A^2 - μ(s_n + A)^3　= f(A)
つまり a_1 ～ a_n の比はnの場合と同じでよい。

次に f(A) = 0 が重根をもつようにμを決めるのだが、言い換えれば
f(A) = 0 と f '(A) = 0 が共通根をもつことである。

f(A) = (M_n /n)(s_n)^3 + (s_n + A)A^2 - μ(s_n + A)^3 = 0,
f '(A) = 2(s_n)A + 3A^2 - 3μ(s_n + A)^2 = 0,
から A とμを決める。
まずμを消去すれば
　A(s_n + A) - 3M_n /(2n･s_n) = 0,
∴　A = (1/2){√[1 + 6M_n /(n･(s_n)^3)] -1}s_n,
これを使うとμが求まり
　M_{n+1} = (n+1)μ = {(n+1)/3}([1 + A/s_{n+1}]^2 - 1),
　s_{n+1} = s_n + A,
と表わせる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/02(水) 03:13:46.81

〔問題8〕
閉区間 [0,1] で定義された連続関数f(x)は、次の条件を満たすとする。
ある正の実数Lが存在して、[0,1] 上のすべての実数xにおいて
　0 ≦ f(x) ≦ L∫[0,x] f(t)dt
が成り立つ。
このとき、[0,1] 上のすべての実数xにおいてf(x)=0であることを示せ。
http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai8.php

〔問題12〕
p_1，p_2，…，p_k を m 以下のすべての素数とする。
この時、以下の不等式が成り立つことを示せ。
　log(m) - 1 ≦ (1/m)log(m!) < Σ[i=1,k] log(p_i)/(p_i - 1)
http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai12.php

〔問題18〕
正の実数 a,b,c が ab+bc+ca=1 を満たすとき
　(b+c) {√(aa+1) +a} ≧ 2,
　(c+a) {√(bb+1) +b} ≧ 2,
　(a+b) {√(cc+1) +c} ≧ 2,
が成り立つことを示せ。
http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai18.php

〔問題32〕
nを2以上の整数とする。正の実数 a_1，a_2，…，a_n に対して不等式
　Σ[k=1,n] (kk-2k+2)a_k + Σ[k=1,n-1] (1/a_k)(a_{k+1})^2 ≧ (n^2)a_n
が成り立つことを示せ。また、等号が成立する条件を求めよ。
http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai32.php

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/02(水) 06:04:11.72

( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！ｽﾊﾞﾗｽｨ！

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/02(水) 14:19:59.58

>>548
　訂正ｽﾏｿ

　A (s_n + A) - (3M_n /2n) (s_n)^2 = 0,
∴　A = (1/2) {√(1 + 6M_n /n) - 1} s_n,

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/02(水) 22:45:46.08

[bot 5]
a, b, c≧0 のとき、a(a-b)(a-2b) + b(b-c)(b-2c) + c(c-a)(c-2a) ≧0

(1) この証明は？
(2) a(a-mb)(a-nb) + … とｲﾊﾟｰﾝ化できるでござるか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/03(木) 00:16:14.95

>>552 [111]

(1)
min{a, b, c} = M, {a, b, c} = {M, M+x, M+y} とすると、
(左辺) = 2M(xx-xy+yy) + x(x-2y)^2 + (x-y)^2･y ≧0.

USA.ELMO-2009 day1-Q.3

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/05(土) 12:58:01.27

>>552 [111]

(2)
m(m+1) ≦ 3 + 4√2 のとき
　a(a-b)(a-mb) + b(b-c)(b-mc) + c(c-a)(c-ma) ≧ 0

m(m+1) = 3 + 4√2 の根は
　m_1 = -{√(13+16√2) +1}/2 = -3.4844353317658568752
　m_2 = {√(13+16√2) -1}/2 = 2.4844353317658568752

等号成立条件
・m_1 < m < m_2 のとき (a，b，c) = (1，1，1)
・m = m_1，m_2 のとき
　(a，b，c) = (1，1，1)、(0，t1，1)、(0，1，t2) とそのrotation
　t_1，t_2 は tt - (1+√2)t + 1 = 0　の根
　t_1 = {1+√2 -√(2√2-1)}/2 = 0.531010056459569184633
　t_2 = {1+√2 +√(2√2-1)}/2 = 1.883203505913525864169

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/06(日) 01:42:47.04

>>549　
〔問題18〕
　(a+b)√{(c+b)(c+a)} ≧ (a+b)(c+√ab) ≧ (a+b)c + 2ab,

>>521 >>525 　(C3) [16] と同じ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/07(月) 23:55:33.94

〔問題〕
自然数nに対して

(1)　Ｃ［2n，n] = (2n)! / (n!)^2 ≧ 4^n / (2√n),

(2)　Ｃ［3n，n] = (3n)! / {n!･(2n)!} ≧ (27/4)^n ・4/(9√n),

等号成立は n=1

>>512 >>513
Janos Suranyi の不等式と云うらしい…

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 00:30:20.27

>>556

(1) は >>474 >>476 >>495 と同様

(2) もnについての帰納法で

Ｃ［3n+3，n+1] / C［3n，n］ = {(3n+1)(3n+2)(3n+3)}/{(2n+1)(2n+2)(n+1)}
= (27/4) {(n+1/3)(n+2/3)} / {(n+1/2)(n+1)}
= (27/4) (N + 2/9) / {(n+1/2)(n+1)}　　　　←　N=n(n+1) とおいた。
> (27/4) (N + 1/8) / {(n+1/2)(n+1)}
≧ (27/4) √{N(N+1/4)} / {(n+1/2)(n+1)}
= (27/4) (n+1/2)√{n(n+1)} / {(n+1/2)(n+1)}
= (27/4) √{n/(n+1)},
により成立

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/08(火) 12:23:26.09

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/08(火) 12:23:45.98

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/08(火) 12:24:05.04

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/08(火) 12:24:26.08

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/08(火) 12:24:45.97

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/08(火) 12:25:05.95

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/08(火) 12:25:25.76

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/08(火) 12:25:45.88

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/08(火) 12:26:08.46

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/08(火) 12:26:32.09

￥

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/08(火) 18:14:59.57

>>556 の系

Ｃ［3n，2n] ≧ 4/(9√n)・(27/4)^n,

Ｃ［3n-1，2n-1] = (2/3)Ｃ［3n，2n] ≧ (2/√n)・(27/4)^(n-1),

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/12(土) 19:38:44.22

x^2 + y^2 + z^2 ≧ xy + yz + zx + (3/4)*(x-y)^2

これって既出だっけ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/12(土) 22:48:16.65

>>569 [42]

(xx+yy+zz) - (xy+yz+zx) = (3/4)(x-y)^2＋(1/4)(x+y-2z)^2,

でござる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/19(土) 05:31:14.93

>>549

〔問題8〕の解答

h(x) = e^(-Lx) ∫[0，x] f(t)dt とおくと題意により
　h(x) ≧ 0 = h(0)　　　…… (1)
また　h(x) は（0，1) 上で微分可能で
　h '(x) ≦ 0,
∴　h(x) = h(0) + ∫[0，x] h '(t)dt ≦ h(0)　　…… (2)
(1) (2) により　[0，1] 上で h(x) = h(0) = 0 が成り立つ。
したがって、[0，1] 上のすべての実数xにおいて
　0 ≦ f(x) ≦ L ∫[0，x] f(t)dt = 0,
より、f(x) = 0 である。　　　■

http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai8.php

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/19(土) 07:16:34.16

>>549

〔問題12〕の解答

(左側)
　任意の正の整数mに対し、
　log(m!) = Σ[L=1，m-1] log(L+1) ≧ Σ[L=1，m-1] ∫[L，L+1] log(t)dt = ∫[1，m] log(t)dt = m{log(m) -1} +1,
∴　log(m) - 1 ≦ (1/m)log(m!)

(右側)
実数xに対し、x以下の最大の整数を [x] で表わす。
また、0でない整数nと素数pに対し、v_p(n) で、nの素因数分解に現れるpの回数を表わすものとする。
ここで、m! はm以下の素数しか素因数に持たないので、
　log(m!) = Σ[i=1，k] v_pi(m!) log(p_i)
と表わされる。ここで、
　v_p(m!) < m/(p-1)
が分かるのでこれを上の式と組み合わせて
　(1/m)log(m!) < Σ[i=1，k] log(p_i)/(p_i -1)
が示された。（終)

http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai12.php

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/19(土) 07:59:43.93

>>549

〔問題32〕の解答

(a_{k+1})^2 / a_k ≧ 2k･a_{k+1} - kk･a_k,
辺々たして
Σ[k=1，n-1] (a_{k+1})^2 / a_k ≧ Σ[k=2，n] 2(k-1) a_k - Σ[k=1，n-1] kk･a_k
　= nn･a_n - Σ[k=1,n] a_k - Σ[k=1,n] (k-1)^2･a_k
　= nn･a_n - 1 - Σ[k=1,n] (k-1)^2･a_k
を導く。等号成立条件は、各 k=1,2,…,n-1 で a_{k+1} = k･a_k である場合だから、すべての i=1,2,…,n に対し
　a_i = (i-1)! /{Σ[k=1，n] (k-1)!}
が成立することである。

http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai32.php

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/20(日) 11:07:45.50

(a^2 + b^2 + c^2)^2 - (ab+bc+ca)^2 ≧ (√6)(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/20(日) 11:34:45.57

botの192って画像がないな

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/20(日) 18:26:26.97

>>575 [192]

任意の実数a，b，cに対し、
(a-b)(a-c)(aa-bc)^2 + (b-c)(b-a)(bb-ca)^2 + (c-a)(c-b)(cc-ab)^2 ≧ 0,
を示せ。

　//www.casphy.com/bbs/highmath/不等式２-188 （じゅー）

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/20(日) 18:37:09.27

>>574 [104]

s = a+b+c，t = ab+bc+ca，u = abc，⊿ = (a-b)(b-c)(c-a) とおく。
ss-3t≧0,
(左辺) = (ss-2t)^2 -tt
　= (ss-t)(ss-3t)
　= (1/3){2ss + (ss-3t)}(ss-3t)
　≧ {(2√2)/3}|s|(ss-3t)^(3/2),
　≧ (√6)|s⊿|,
∵　4(ss-3t)^3 = 27⊿⊿ + {(a+b-2c)(b+c-2a)(c+a-2b)}^2 ≧ 27⊿⊿,
等号成立は等間隔かつ ss+3t = 0 より｛1-√6，1，1+√6｝

http://www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式２-197

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/20(日) 19:27:29.09

>>572 (右側) 補足

自然数nと素数pに対し、v_p(n) で、nの素因数分解に現れるｐの回数を表わすものとする。
　v_pi(m!) = ［ m/p ］+ [ m/p^2 ] + [ m/p^3 ] + … + [ m/p^d ]
ここに、d = [ log(n)/log(p) ].

これもルジャンドルの定理と云うらしい。
http://mathtrain.jp/legendretheorem

〔補題12〕
　v_p(m!) < m/(p-1)

(略証)
d = [ log(n)/log(p) ] とおくと
　v_pi(m!) ≦ m/p + m/p^2 + m/p^3 ＋ … + m/p^d < m/(p-1),

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/20(日) 20:56:05.37

a, b, c > 0 に対して、a/(b+c) + 20b/(c+a) + 17c/(a+b) > 8

best possible かどうか分からん

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/20(日) 20:57:26.68

√がらみ
http://artofproblemsolving.com/community/c6h1375433p7600195

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/21(月) 00:35:23.92

B. 4931.
Prove that if a, b, c are the sides of a triangle then
{a^2(b+c) + b^2(a+c)} /(abc) > 3.
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&;h=201802&t=mat&l=en

B. 4925.
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&;h=201801&t=mat&l=en

B. 4953.
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&;h=201804&t=mat&l=en

P.1, Problem 1.
https://archives.ust.hk/dspace/bitstream/9999/46212/1/math-02a-a109.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/21(月) 04:03:40.39

>>581

B.4925 (改) (KoMaL，h=201801)
　0<a<n のとき
　a/{a^(n+1) + (n-a)} ≦ 1/n

(略解)
　a^(n+1) -(n+1)a + n
　= (a-1){a^n + a^(n-1) + … + a -n}
　= Σ[k=1，n]　(a-1)(a^k -1)
　≧ 0,

B.4931 （KoMaL，h=201802)
　{aa(b+c) + bb(a+c)}/abc > 3,

(略解)
　aa(b+c) + bb(a+c) = ab(a+b-c) + (a-b)^2･c + 3abc ≧ 3abc,

B.4953 (KoMaL，h=201804)
　log(n) + Σ[k=2,n] √{(k-1)/k} < Σ[k=2,n] √{k/(k-1)},

(略解)
　x>0　⇒　x < sinh(x),
　a>1　⇒　2log(a) < a - 1/a,
　a = √{k/(k-1)}　とおく。
　log(k) - log(k-1) < √{k/(k-1)} - √{(k-1)/k},
k=2 から k=n までたす。

Math. Excalibur，Vol.21，No.4，p.1 (2018)
Problem 1.
　a,b,c >0，a+b+c=1 のとき
　a√(2b-1) + b√(2c+1) + c√(2a+1) ≦ √{2-(aa+bb+cc)},

(略解)
関数f(x) = √x は上に凸ゆえ、Jensenで
(左辺) ≦ √{a(2b+1) + b(2c+1) + c(2a+1)}
　= √{(a+b+c) + 2(ab+bc+ca)} / (a+b+c)
　= √{1 +2(ab+bc+ca)}
　= (右辺)
等号成立は (a,b,c) = (1/3,1/3,1/3)　および (1,0,0) など。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/21(月) 15:35:20.78

>>579

左辺が最小になる点では
(b+c)^2 ： (c+a)^2 ： (a+b)^2 = 1 ： 20 ： 17,
(b+c) ： (c+a) ： (a+b) = √1 ： √20 ： √17,
b+c = √1,
c+a = √20,
a+b = √17,
a = (-√1 +√20 +√17)/2,
b = (+√1 -√20 +√17)/2,
c = (+√1 +√20 -√17)/2,

(左辺) ≧ a√1 + b√20 + c√17
　= √(1･20) +√(20･17) +√(17･1) -19
　= 8.0343304952

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/21(月) 18:58:12.63

>>579 >>583

b+c = A，c+a = B，a+b = C　とおくと

(左辺) = 1･(B+C-A)/(2A) + 20(C+A-B)/(2B) + 17(A+B-C)/(2C)
　= (1/2)(1･B/A + 20A/B) + (1/2)(20C/B + 17B/C) +(1/2)(1･C/A + 17A/C) - (1+20+17)/2
　≧ √(1･20) + √(20･17) + √(17･1) - 19　　(← AM-GM)
等号成立は A：B：C = √1：√20：√17

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/22(火) 01:36:29.77

>>583-584
す、すげぇ…

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/22(火) 05:22:53.47

>>486 >>487 (3)

　文献[9] 佐藤(訳) (2013) p.48 演習問題 1.101

・p=1，q=2 の例
　文献[9] 佐藤(訳) (2013) p.48 例 1.6.7 及び p.131 問題 3.30
　チェコ-スロバキアMO-1999

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/22(火) 05:40:43.12

>>575 >>576 [192]

一次式：φ(x) = (a+b+c)x－(ab+bc+ca）により、
A = φ(a) = aa-bc,
B = φ(b) = bb-ca,
C = φ(c) = cc-ab.
A - B = (a+b+c)(a-b)、etc.
i）a+b+c≠0 のとき、
　(左辺) = {AA(A-B)(A-C) + BB(B-C)(B-A) + CC(C-A)(C-B)}/(a+b+c)^2 = F_2(A、B、C)/(a+b+c)^2 ≧0、
ii）a+b+c=0 のとき、A=B=C.

　http://www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式２-188

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/22(火) 21:32:13.53

一松のじっちゃんが「大学への数学2018年6月号」に不等式の記事を書いておられる。
エルデシュの不等式とか

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/27(日) 01:54:57.05

不等式と聞ゐちゃあ捨て置けねゑ…。このためだけに買ってきた。

タイトル「三角形に関する不等式のいくつか」、４ページ

レムスの不等式と、求角不等式。
内角のcosの等式から、a^2+b^2+c^2 と8R^2の大小関係。
　（中略）
エルデシュの不等式。
過去スレで見たことある不等式。

あと、「老人のグチだが、（中略）近年お数学検定で、不等式の証明問題は成績が悪い傾向が見られる。」
とあるが、検定問題で出題されている不等式を全て公開してほしい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/27(日) 05:51:38.11

ここで不等式解いてる人って50後半の会社員だったりする？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/27(日) 07:16:00.59

>>589

数検専用スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512773695/
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1479394767/
へどうぞ。

〔問題〕
a_n = (1 + 1/n)^n，　b_n = (1 + 1/n)^(n+1)　　　(nは正の整数）
とおくとき、nが増加すると a_n は増加し、b_n は減少することを証明せよ。
　（数検2011-秋-1級-2次-Q2）

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/27(日) 16:46:19.71

>>374 >>416 >>417 >>544 >>545 >>547 >>548

［第7章．939，942-944］

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/28(月) 09:56:02.44

>>589

(aa+bb+cc) - 8RR = 4RR {sin(A)^2 + sin(B)^2 + sin(C)^2 - 2}
= 4RR {1 - cos(A)^2 - cos(B)^2 - cos(C)^2}
= 8RR cos(A) cos(B) cos(C),

〔補題〕
A+B+C = π のとき
　cos(A)^2 + cos(B)^2 + cos(C)^2 + 2cos(A)cos(B)cos(C) = 1,

〔ライプニッツの不等式〕
　9RR - (aa+bb+cc) = 9(OG)^2 ≧ 0,
　O：外心　G:重心

・文献[9] 佐藤(訳) 朝倉書店 (2013) p.87-89　定理2.4.4　定理2.4.5

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/29(火) 02:45:55.24

>>591 は相加-相乗平均（AM-GM）で出るらしい。（出題者・談）

{1，1，…，(n-1)/n}　⇒　a_n > a_{n-1} > … > a_1 = 2

{1，1，…，n/(n-1)}　⇒　b_n < b_{n-1} < … < b_1 = 4

しかし c_n = (1 + 1/n)^(n +1/2) が減少するのを出すのは難しい。
２項定理を使うか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/29(火) 03:01:10.20

>>594

２項定理により、

(1 - 1/nn)^(2n+1) = 1 -2/n + 1/nn -1/(3n^3) +2/(3n^4) -3/(5n^5) +53/(90n^6) -…

　< (1 - 1/n)^2

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 08:12:41.15

>>589
Erdos-Mordell inequality
https://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93Mordell_inequality

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 08:18:45.80

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/01(金) 08:31:09.16

>>597 から

3690.(v38_n1)
　Let a, b, and c be three distinct positive real numbers with a+b+c=s. Show that
　　(5xx-6xy+5yy)(a^3+b^3+c^3) + 12(xx-3xy+yy)abc > (x-y)^2･s^3,

3709.(v38_n1)
　Let a, b, and c be non-negative real numbers, ｋ and Ｌ≧0 and define
　　(a+b)/2 - √ab = k^2，　　(a+b+c)/3 - (abc)^(1/3) = L^2.
　Prove that
　　max(a,b,c) - min(a,b,c) ≧ (3/2)(k-L)^2.

3712.(v38_n2)
　Prove that for any positive numbers a,b,c
　　√{a(aa+bc)/(b+c)} + √{b(bb+ca)/(c+a)} + √{c(cc+ab)/(a+b)} ≧ a+b+c.

3719.(v38_n3，Replacement)
　Prove that if a,b,c>0, then
　a/√{bb+(1/4)bc+cc} + b/√{cc+(1/4)ca+aa} + c/√{aa+(1/4)ab+bb} ≧ 2.

3723.(v38_n3)
　Let a,b,c be positive real numbers such that a+b+c=s. If ｎ is a positive integer, prove that
　(3a)^n /{(b+s)(c+s)} + (3b)^n /{(c+s)(a+s)} + (3c)^n /{(a+s)(b+s)} ≧ (27/16)s^(n-2).

3731.(v38_n4)
　Let a,b,c be positive real numbers such that a+b+c=s. Prove that
　　a^(n+1) + b^(n+1) + c^(n+1) ≧ (aa+bb+cc)^n / s^(n-1),
　for all non-negative integers n.

3737.(v38_n4)
　Four non-negative real numbers a,b,c,d are given. Show that
　　1/(a^3+b^3) + 1/(b^3+c^3) + 1/(c^3+d^3) + 1/(a^3+c^3) + 1/(b^3+d^3) + 1/(a^3+d^3) ≧ 243/{2(a+b+c+d)^3},
　Equality:　{a,b,c,d} = {0,1,1,1}

3741.(v38_n5)
　Find the largest value of ａ and the smallest value of ｂ for which the inequalties
　　ax/(a+xx) < sin(x) < bx/(b+xx)
　hold for all 0<x<π/2.

3744.(v38_n5)
　Let a,b,c be positive real numbers with sum ｓ. Prove that
　　(a^8+b^8)/(aa+bb)^2 + (b^8+c^8)/(bb+cc)^2 + (c^8+a^8)/(cc+aa)^2 ≧ (a^3+b^3+c^3-abc)s/4.

3752.(v38_n6)
　Show that if ｎ≧2 is a positive integer then
　(1/2)(1 +1/n -1/nn)^2 < (1 - 1/2^3)(1 - 1/3^3) … (1 - 1/n^3).

Crux mathematicorum, Vol.38 (2012)、一部改作

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/01(金) 08:45:52.63

>>597 から

3763.(v38_n7)
　Let a,b,c be positive real numbers. Prove that
　　a/(2a+b+c) + b/(2b+c+a) + c/(2c+a+b) ≦ a/(2b+2c) + b/(2c+2a) + c/(2a+2b).

3793.(v38_n10)
　Let a, b, and c be positive real numbers such that
　　√a + √b + √c = 2014/√2.
　Show that
　　2014 ≦ √(a+b) + √(b+c) + √(c+a) ≦ 2014√2,
　Equality:(LHS)　√a = √b = √c = 2014/(3√2)，(RHS) √a = 2014/√2，b=c=0,

・三角形関係

3726.(v38_n3)
　Let a,b,c,s,r,R represent the angles (measured in radians)，the semi-perimeter，the in-radius and the circum-radius of a triangle，respectively.
　Prove that
　　(A/B + B/C + C/A)^3 ≧ 2ss/(Rr).

3729.(v38_n3)
　If a,b,c are the side lengths of a triangle，prove that
　　(b+c)/(aa+bc) + (c+a)/(bb+ca) + (a+b)/(cc+ab) ≦ 3(a+b+c)/(ab+bc+ca).

3757.(v38_n7)
　Let A, B, C be the angles (measured in radians)，Ｒ the circum-radius and ｒ the in-radius of a triangle.
　Prove that
　1/A + 1/B + 1/C ≦ (9/2π)(R/r).

3767.(v38_n7)
　Let Ｒ，ｒ be the circum-radius and in-radius of a right-angled triangle.
　Prove that
　　R/r + r/R ≧ 2√2.

3776.(v38_n8)　別名「富士山」
　In △ABC prove that
　tan(A/2) + tan(B/2) + tan(C/2) ≧ (1/2){1/cos(A/2) + 1/cos(B/2) + 1/cos(C/2)}.

Crux mathematicorum, Vol.38 (2012)、一部改作

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/01(金) 11:22:47.44

>>598

3690.
軸を45°回して (x+y)/√2 = u，(x-y)/√2 = v とおく。
5xx-6xy+5yy = 2uu +8vv,
12(xx-3xy+yy) = -6uu +30vv,
(x-y)^2 = 2vv,
これを入れて
(左辺) - (右辺) = (2uu+8vv)(a^3+b^3+c^3) + (-6uu+30vv)abc -2vv(a+b+c)^3
　= 2(a^3+b^3+c^3 -3abc)uu + 6F_1(a,b,c)vv　　　(←シューア)
　≧ 0,

>>3723.
通分すると
(分子) = (a+s)(3a)^n + (b+s)(3b)^n + (c+s)(3c)^n
　≧ (4s/3){(3a)^n + (3b)^n + (3c)^n}　　(←チェビシェフ)
　= (4s)(3^n)(a^n + b^n + c^n)/3
　≧ (4s)s^n,
(分母) = (a+s)(b+s)(c+s) ≦ (4s/3)^3,　　　(← GM-AM)
(左辺) ≧ (27/16)s^(n-2),

>>3731.
コーシーの拡張より
　(a+b+c)(a+b+c) … (a+b+c){a^(n+1) + b^(n+1) + c^(n+1)} ≧ (aa+bb+cc)^n,
　　　　(n-1)個

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/02(土) 06:34:19.54

>>598

3741.
a = ππ/{2(π-2)} = 4.322734721
　b = 6

　cos(t) < 1　を [0，x] で逐次積分すると、
　sin(x) < x,　　(x>0)
-cos(x) < -1 + xx/2!,
-sin(x) < -x + (x^3)/3!,　　(x>0)
　cos(x) < 1 - xx/2! + (x^4)/4!,
　sin(x) < x - (x^3)/3! + (x^5)/5!
　　= {x - ((14-xx)/720)x^5}/(1+xx/6)
　　< x/(1+xx/6),　　　(0<x<π/2)

3752.
　a_n = 1 +1/n -1/nn = (nn+n-1)/nn,
とおく。
　a_n / a_{n-1} = (n-1)^2･(nn+n-1)/{nn(nn-n-1)}
　= 1 - (nn-3n+1)/{nn(nn-n-1)}
　≦ 1 - 1/(2nn)　　　　　(n≧5)

∵ 2(nn-3n+1) - (nn-n-1) = n(n-5) + 3 ≧ 3　　(n≧5)

　(a_n / a_{n-1})^2 ≦ {1 - (1/2nn)}^2
　= 1 - 1/nn + 1/(4n^4)
　< 1 - 1/n^3,

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/02(土) 13:03:43.11

正整数nと1より大きい正の実数xに対し、
Σ[k=1,n]{kx}/[kx]<Σ[k=1,n]1/(2k-1)
{kx}はkxの小数部分を表し、[kx]はkxの整数部分を表すものとする

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/05(火) 10:01:49.78

>>599

3763.
(左)　HM-AM より
　a/(2a+b+c) ≦ (1/4){a/(a+b) + a/(a+c)},
　b/(2b+c+a) ≦ (1/4){b/(b+c) + b/(b+a)},
　c/(2c+a+b) ≦ (1/4){c/(c+a) + c/(c+b)},
辺々たすと
　(左辺) ≦ 3/4,

(右)
　a/(2b+2c) = (a+b+c)/(2b+2c) - 1/2
　b/(2c+2a) = (a+b+c)/(2c+2a) - 1/2
　c/(2a+2b) = (a+b+c)/(2a+2b) - 1/2
辺々たすと
　(右辺) = (a+b+c){1/(2b+2c) + 1/(2c+2a) + 1/(2a+2b)} - 3/2
　≧ (a+b+c)･9/{4(a+b+c)} - 3/2　(← AM-HM)
　= 9/4 - 3/2
　= 3/4,　　　　　 (Nesbitt，Shapiro-3)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 08:56:29.19

>>593

〔Chapple - Euler の不等式〕
外接円の半径をR、内接円の半径をrとするとき
　R(R-2r) = OI^2 ≧ 0
　O：外心　I：内心

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 17:21:28.63

>>602

　x → x+1 とすれば分母が k 増えるので左辺は減少する。1≦x≦2 で考える。
　(m-1)/n ≦ {x} < m/n　となるmをとる。
　m = [nx] - n[x] +1，　(1≦m≦n)

〔補題〕
　Σ[k=1,n] {kx}/[kx] < Σ[k=1,m-1] 1/(2k-1) + ({x} - (m-1)/n)/(2m-1),

右辺は、(1，0) - (1+1/n，1) - (1+2/n，1+1/3) - …… - (1+m/n，Σ[k=1,m] 1/(2k-1)) - …… (2，Σ[k=1,n] 1/(2k-1)) を結んだ折れ線を表わす。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/09(土) 21:53:12.92

bot[195]
6(x^3 + y^3 + z^3)^2 ≦ (x^2 + y^2 + z^2)^3

これはシュワちゃんと関係あるん？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/10(日) 17:09:15.57

>>606 [195]

x+y+z = 0 より
　x^3+y^3+z^3 = 3xyz,
　xx+yy+zz = [(x-y)^2 + 3zz]/2,
xとyは同符号とすれば
0 ≦ 4xy ≦(x+y)^2 = zz,

(左辺) = 6(3xyz)^2 = 54(xy)(xy)(zz) ≦ (3zz/2)^3 ≦ {[(x-y)^2 +3zz]/2}^3 = (xx+yy+zz)^3.

　蕪湖市数学競技会

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/11(月) 23:56:07.74

>>607
相加、相乗か！　ﾋﾟｺｰﾝ！

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/12(火) 00:18:29.69

以下、x、y、z∈R とする。

(1)　(x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧ 6(x^3 + y^3 + z^3)^2
(2)　(x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧(x^3 + y^3 + z^3　- 3xyz)^2 + (ab+bc+ca)^3
(3)　(x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧ 2{(x-y)(y-z)(z-x)}^2
(4)　2(x^2 + y^2)(y^2 + z^2)(z^2 + x^2) ≧ {(x-y)(y-z)(z-x)}^2
(5)　合体 or 改造できるかな？

出典
(1) >>606、bot195、蕪湖市数学競技会
(2)(3)(4)は過去に扱ったと思うが、元ネタを記録していないので詳細不明

　　∧＿∧
　　( ;´∀｀) ＜　むむむ…、我慢できないでござる！
　人　Y　/　　　
　(　ヽし
　（＿）＿）

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/12(火) 00:20:38.29

詳細不明…、不明デスか？　あなた…、怠惰デスネ！

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/12(火) 00:44:08.66

>>609 の続き

(6)　(x^2 + y^2 + z^2)^3 ≧ 8(x^2 - yz)(y^2 - zx)(z^2 - xy)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/12(火) 16:00:37.51

>>609

(1)　x+y+z=0 のとき、…

(2)
　xx+yy+zz = S2，xy+yz+zx = t,
とおく。
　S2 - t = {(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2}/2 ≧ 0,
(S2)^3 - t^3 = {(S2)^2 + S2･t +tt}(S2-t)
　≧ {(S2)^2 + S2･t - 2tt}(S2-t)
　= (S2+2t)(S2-t)^2
　= (x+y+z)^2･{(xx+yy+zz) -(xy-yz-zx)}^2
　= (x^3+y^3+z^3 -3xyz)^2,

(3)
　yはxとzの中間にあるとしてよい。
　0 ≦ (x-y)(y-z) ≦ (1/4)(x-z)^2,
　xx+yy+zz = (1/2)(x+z)^2 + (1/2)(x-z)^2 + yy ≧ (1/2)(x-z)^2,
　(左辺) ≧ (1/8)(x-z)^6 ≧ 2(x-z)^2 {(x-y)(y-z)}^2 = (右辺),

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/14(木) 22:38:12.04

Asia Pacific Mathematical Olympiad APMO 2004
でググって５番目あたりに出てくるPDFの Problem 5。

模範解答がワケワカメ…。
これより強い不等式を、前スレでやったような排気ガス…

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/15(金) 00:29:19.87

数学セミナーエレガントな解法2月号にある不等式の問題の正解率が異様に低かったらしい
そもそも問題すら理解してない回答が多かったって講評だった

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/15(金) 02:05:18.57

>>609
(4)
(1-ｉ)(x+ｉy)(y+ｉz)(z+ｉx) = (1-ｉ){-(xyy+yzz+zxx-xyz) +ｉ(xxy+yyz+zzx-xyz)}
= -(x-y)(y-z)(z-x) +ｉ{(x+y)(y+z)(z+x)-4xyz},
絶対値の2乗をとって
　2(xx+yy)(yy+zz)(zz+xx) = {(x-y)(y-z)(z-x)}^2 + {(x+y)(y+z)(z+x) -4xyz}^2,

>>613
　[前スレ.456]
(abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca）≧ 0　を使う？
文献[9] 佐藤(訳)、問題3.85改、練習問題1.90(i)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/15(金) 02:30:14.62

なるほど！

>>613
x、y、z∈R のとき、(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 9(ab+bc+ca)

[前スレ.456]
x、y、z∈R のとき、(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2

合体！
(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2 ≧ 9(ab+bc+ca)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/15(金) 02:32:47.15

>>609 (4)　>>615
　s = x+y+z,
　t = xy+yz+zx,
　u = xyz,
　⊿ = (x-y)(y-z)(z-x),
で表わせば
　2(ss-2t)(tt-2su) -2uu = ⊿⊿ + (st-5u)^2,

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/15(金) 02:38:30.76

左辺を見て、昨夏の不等式三昧の夜を思い出す ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！

[前スレ.469前後]
x、y、z∈R 、k≧0 のとき、(aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (3kk/4)*(a+b+c)^2 などなど…

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/15(金) 02:40:06.93

>>614
もう最新号出る時期か。よし明日読みに行こう。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 01:22:10.06

立ち読みで疎覚えだが、数蝉NOTE。

a、b、c >0、a+b+c=1 のとき、Σ[cyc] a/(b^2+bc+c^2) ≧3.

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 01:33:38.57

>>619

〔Igarashi の不等式〕
　a，b，c>0 のとき、
　a/(bb+bc+cc) + b/(cc+ca+aa) + c/(aa+ab+bb) ≧ (a+b+c)/(ab+bc+ca) ≧ 3/(a+b+c),
　2018年7月号NOTE

(略証)
　a ' = bb + bc + cc,
　b ' = cc + ca + aa,
　c ' = aa + ab + bb,
とおくと
　aa ' + bb ' + cc ' = (a+b+c) (ab+bc+ca),　　…　これがミソ（?）
コーシーにより
　(左辺) = a/a ' + b/b' + c/c' ≧ (a+b+c)^2 /(aa ' + bb ' + cc ') = (a+b+c)/(ab+bc+ca),

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 01:44:34.71

>>621
おお、これだ。さんくす。
解説でZZZが一般化してたけど、なんかよく分からなかった…。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 01:45:36.54

>>620 >>621
　被りました。

　f(x) = 1/x は下に凸だから、Jensenにより
　(左辺) = a f(a ') + b f(b ') + c f(c ')
　　≧ (a+b+c) f((aa'+bb'+cc')/(a+b+c))
　　= (a+b+c) f(ab+bc+ca)
　　= (a+b+c)/(ab+bc+ca),

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 01:46:16.03

>>621
> 　a ' = bb + bc + cc,
> 　b ' = cc + ca + aa,
> 　c ' = aa + ab + bb,
> とおくと
> 　aa ' + bb ' + cc ' = (a+b+c) (ab+bc+ca),　　…　これがミソ（?）

この変形は初めて見た。コレクションに入れておこう。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 01:48:52.60

あと一松じっちゃんの不等式の解説で、s(2(s^2-2t)-5t)+27u の因数分解があったような。
立ち読みだったんで s、t、u で覚えて帰ったから怪しいが…。
手計算で因数分解しようとして挫折した。手計算でできるのか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 02:42:52.98

>>625

(b+c-2a)(c+a-2b)(a+b-2c) = (s-3a)(s-3b)(s-3c) = -2s^3 +9st -27u,
を使うでござる。

エレ解スレ【2016.11】
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1476702312/785-786

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/18(月) 22:44:29.14

>>622
Nesbittと合体したでござるか…

〔Nesbitt-Igarashi の不等式〕
　a，b，c>0 のとき、
　(a+b+c) {a/(bb+bc+cc) + b/(cc+ca+aa) + c/(aa+ab+bb)}
　≧ 2 {a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)}
　≧ (a+b+c)^2 /(ab+bc+ca)
　≧ 3,
　数セミ、2018年7月号NOTE-改

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/19(火) 02:28:33.39

>>614
よく分からぬ難しげな不等式で、攻めづらかったかも。
この式が出てきた背景は、解説で触れていたけれど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/19(火) 02:47:35.19

うむ、よう分からなんだ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/19(火) 05:03:35.48

botの101の問題、分かりますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/19(火) 13:57:17.17

>>630 [101]

a～d>0、a+b+c+d-1=0 のとき
　6(a^3 + b^3 + c^3 + d^3) ≧ aa+bb+cc+dd + 1/8.
　フランス TeamSelectionTest-2007 Q.2

(略解)
　f(x) = 6x^3 - (xx + 1/32)
　= (5/8)(x-1/4) + 2(3x+1)(x-1/4)^2
　≧ (5/8)(x-1/4),
より
　f(a) + f(b) + f(c) + f(d) ≧ (5/8)(a+b+c+d-1) = 0.

｛x = 1/4 で接線を曳く。f '(1/4) = 5/8｝

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/19(火) 17:30:30.95

>>631
さんくす。4月から見てるけど、101だけ出てこないのだ。
画像のない192は頻繁に出てくるのにな。偏りすぎている。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/20(水) 02:26:05.78

>>632 [192]
　
任意の実数a,b,cに対し、
　(a-b)(a-c)(aa-bc)^2 + (b-c)(b-a)(bb-ca)^2 + (c-a)(c-b)(cc-ab)^2 ≧ 0,
を示せ。
　casphy! - highmath(高校数学) - 不等式２-188
　じゅー君が高校生のとき作ったヤツ(?)

(略証)
i）a+b+c≠0 のとき、
　A = aa-bc，B = bb-ca，C = cc-ab，
とおくと
　A-B = (a+b+c)(a-b)，etc.
(左辺) = {AA(A-B)(A-C)＋BB(B-C)(B-A)＋CC(C-A)(C-B)}/(a+b+c)^2
　= F_2(A，B，C)/(a+b+c)^2　　(←シューア)
　≧0，
ii）a+b+c=0 のとき、
　A = B = C，
　(左辺) = AA F_0(a、b、c) ≧ 0.
これで ☆9 だって。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/20(水) 23:16:58.87

>>613 >>615

〔補題〕
a,b,c≧0 のとき
(abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca）≧ 0,

(略証)
a = A^(3/2)，b = B^(3/2)，c = C^(3/2) とおくと
　(abc)^2 + 2 -3ABC = (ABC)^3 +1 +1 -3ABC ≧ 0,　　(←AM-GM)
　A(A-B)(A-C) + B(B-C)(B-A) + C(C-A)(C-B) = F1(A,B,C) ≧ 0,
　AB(A+B) -2ab = AB(√A - √B)^2 ≧ 0，etc.
辺々たす。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 04:52:05.21

>>634
　>>529 ( Suranyi-3，　>>512 >>513　を使った）からも出る…

>>555
　>>549 〔問題18〕は [204] でござった ...orz

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/22(金) 11:12:57.72

不等式に関する研究
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/100782

ちと古いがな。他にないかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 07:31:00.50

>>611
これはどう証明するのですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 18:12:52.09

〔問題677〕

Ｐを凸多面体とし、Ｐの辺を L_1，L_2，…，L_n とする。
各 1≦i≦n について L_i を辺にもつＰの2つの面を考え、
その2つの面のなす角を外側から測ったものを θ_i とする。
(2面の外向き法線のなす角。2面角)

このとき、Σ[i=1，n] θ_i ≧ 3π であることを示せ。

JMO夏季セミナー
http://jmoss.jp/mon/old.php　→ 第9回 (G，入江)

面白スレ２６-677

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 22:49:56.64

[213]
正の実数列 {a_k} が各自然数kに対して
a_{k+1} ≧ k･a_k / {(a_k)^2 + (k-1)}
を満たすとする。すべての n≧2 に対して
a_1 + a_2 + … + a_n ≧ n,
を示せ。
　IMO Shortlist 2015 A.2　☆2

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 23:13:45.08

>>639 [213]
nについての帰納法による。

・n=2 のとき
　a_1 + a_2 ≧ a_1 + 1/a_1 ≧ 2　　(← AM-GM)

・n>2 のとき
　a_n ≧1 のときは明らかに成立つ。
　a_n ≦1 のとき　題意より
　k/a_{k+1} ≦ (k-1)/a_k + a_k,
　a_k ≧ k/a_{k+1} - (k-1)/a_k,
　k=1,…,n-1 でたす。
　a_1 + a_2 + … + a_{n-1} ≧ (n-1)/a_n,
　a_1 + a_2 + … + a_n ≧ (n-1)/a_n + a_n
　　= n + (n-1 - a_n)(1 - a_n)/a_n
　　≧ (n-2) + 1/a_n + a_n
　　≧ n,　　　(← 0 < a_n ≦1)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 23:13:45.10

>>639 [213]
nについての帰納法による。

・n=2 のとき
　a_1 + a_2 ≧ a_1 + 1/a_1 ≧ 2　　(← AM-GM)

・n>2 のとき
　a_n ≧1 のときは明らかに成立つ。
　a_n ≦1 のとき　題意より
　k/a_{k+1} ≦ (k-1)/a_k + a_k,
　a_k ≧ k/a_{k+1} - (k-1)/a_k,
　k=1,…,n-1 でたす。
　a_1 + a_2 + … + a_{n-1} ≧ (n-1)/a_n,
　a_1 + a_2 + … + a_n ≧ (n-1)/a_n + a_n
　　= n + (n-1 - a_n)(1 - a_n)/a_n
　　≧ (n-2) + 1/a_n + a_n
　　≧ n,　　　(← 0 < a_n ≦1)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 04:02:09.24

>>632 [101]

25分前に出ますた。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 05:10:52.64

>>642
きたか…！！

　　( ﾟдﾟ )　ｶﾞﾀｯ
　　.r　　ヾ
＿_|_|　/￣￣￣/＿
　　＼/　　　　/

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 05:15:05.23

あとは消失した192を作り直してもらうことと、224問目以降を作ってもらうことだな

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/25(月) 23:38:45.92

>>611 >>637

基本対称式を x+y+z = s，xy+yz+zx = t，xyz = u とおく。
　xx-yz = xs-t，yy-zx = ys-t，zz-xy = zs-t,
より
　(左辺) - (右辺) = (ss-2t)^3 - 8(xs-t)(ys-t)(zs-t)
　= (ss-2t)^3 - 8(us^3 - t^3)
　= ss{(ss-3t)^2 + (8/3)(tt-3su) + (1/3)tt}
　≧ 0,
等号成立は x+y+z = 0.

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/25(月) 23:48:14.02

>>611 の〔類題〕

x,y,z ∈ R のとき
-(35+13√13)/486 ≦ (xx-yz)(yy-zx)(zz-xy)/(xx+yy+zz)^3 ≦ 1/8,
　-0.1684612481

　左側等号は (x，y，z) = ((3-√13)/2，1，1) など。　　-0.302775637732