不等式への招待 第９章 [無断転載禁止]©2ch.net
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
実数列 x_0，x_1，x_2，… が有界であるとは、ある定数Cが存在して、
すべての非負整数ｉ≧ 0 に対して ｜x_i｜ ≦ C,
が成り立つことである。 【三重大】
a,b,c>0 に対して、a+b+c ≧ √(3ab) + √(3bc) - √(ca) >>357
√a = A，√b = B，√c = C とおく。
(左辺）-（右辺）=［B -（√3)(A+C)/2]^2 +（1/4)(A-C)^2 ≧ 0,
等号は（a，b，c）=（1，3，1） a,b,c>0、α+β+γ=πのとき、
a+b+c ≧ 2{√(ab)} cosα + 2{√(bc)} cosβ+ 2{√(ca)} cosγ a,b,c＞0,a+b+c=3のとき、
a/(a+bc)+b/(b+ca)+c/(c+ab)≧3/2
を示せ >>322 >>334
補題1は
g_i(ｔ）= √(2/π）sin（r_i･ｔ)/ｔ,
∫[0，∞）g_i(ｔ）g_j(ｔ）dｔ= min｛r_i，r_j｝
からも出る。
森口・宇田川・一松「数学公式I」岩波全書221（1956）p.251 >>361
積和公式
2 sin(at）sin(bt）= cos((a-b)t）- cos((a+b)t),
より
(1/π)∫[0,∞）2sin(at)sin(bt)/tt dt
=（1/π)∫[0,∞)｛1-cos((a+b)t)}/tt dt -（1/π)∫[0,∞)｛1-cos((a-b)t)}/tt dt
=｛(｜a+b｜-｜a-b｜)/π｝∫[0,∞)｛1-cos(u)}/uu du
=（｜a+b｜-｜a-b｜)/2 (*)
= min｛a，b}.
*）高木「解析概論」改訂第三版、岩波書店（1961)
§48，p.169 >>359
実対称行列Ｓ=
｜1， -cosα，-cosγ｜
｜-cosα，1， -cosβ｜
｜-cosγ，-cosβ，1 ｜
とおく。
題意よりα+β+γ = π,
（cosα)^2 +（cosβ)^2 +（cosγ)^2 + 2cosα cosβ cosγ = 1,
AM-GM と 凸性より
-1 < cosα cosβ cosγ ≦｛cos(π/3)}^3 = 1/8,
Ｓの固有多項式は
｜1-x，-cosα，-cosγ｜
｜-cosα，1-x，-cosβ｜
｜-cosγ，-cosβ，1-x｜
= x{xx -3x +2(1 + cosα cosβ cosγ)}
= x f(x),
f(0）> 0,
f(3/2）= -1/4 + 2 cosα cosβ cosγ < 0,
∴ f(x）は2つの正根をもつ。
Ｓの固有値は 0 と 2つの正値。
∴Ｓは半正値。 >>365
〔例題１〕
任意の実数 a,b,c に対して
aa+bb+cc ≧ 2pab + 2qbc + 2rca
となるための、p,q,r についての条件を求めよ。
(解）
｜p｜≦ 1，｜q｜≦ 1，｜r｜≦ 1，pp+qq+rr + 2pqr ≦ 1.
文献[3］（大関）の冒頭の例題
----------------------------------
本問では
p = cos（A)，q = cos（B)，r = cos（C)
pp + qq + rr + 2pqr = 1.
となるから、上記の条件を満たす。 >>345-346
x_i = k｛ｉ･√m - 1/2}， k = 1 + 2√m,
ここに m は平方数でない自然数。｛ a ｝はaの小数部分
（富蘭平太氏） a_1^2+a_2^2+……+a_100^2=1を満たす、非負実数列a_1,a_2,……,a_100に対して、
a_1^2*a_2+a_2^2*a_3+……+a_100^2*a_1<12/35 >>368
(右辺）= 12/35 = 0.342857
（a_1，a_2，…，a_100）=（√(2/3)，√(1/3)，0，…，0）=（0.81650，0.57735，0，…，0)
のとき
(左辺）= 2/(3√3）= 0.38490
（a_1，a_2，…，a_100）=（2/3，2/3，1/3，0，…，0）=（0.66667，0.66667，0.33333，0，…，0)
のとき
(左辺）= 4/9 = 0.44444 >>369
12/35は12/25の間違いでした。これなら不等式は成立するはずです。すみません >>368 >>370
一例だけど...
a_1 = 0.000835
a_2 = 0.587293
a_3 = 0.677084 〜 65/96
a_4 = 0.422379
a_5 = 0.134393
a_6 = 0.0133427
a_7 = 0.000305
a_k = 0 （k≧8）
のとき
M = 0.451389 〜 65/144 < 12/25,
12/25 まで解けぬでござるか… >>360
s = a+b+c，t = ab+bc+ca，u = abc,
とおくと、
(左辺）=｛3u +2(tt-2su）+（ss-2t)u}/{u +（tt-2su）+（ss-2t)u + uu},
2(分子）-3(分母）= 3u +（tt-2su）-（ss-2t)u -3uu
=（t^3 -4stu +9uu)/t + (tt-3su)u/t +（st-9u)u/3 (s=3)
≧ 0,
t^3 -4stu +9uu = uuＦ_{-2}(a,b,c）≧ 0,
tt -3su = uＦ_{-1}(a,b,c）≧ 0,
st -9u = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 ≧ 0, >>323
ありませんね。
ヒルベルト空間、バナッハ空間、シュワルツ空間、ハーディ空間、BMO空間、ベゾフ空間、トリーベル・リゾルキン空間
なんかに興味があるようでつ… 正値数列 {a_n} の初項から第 k 項までの和を s_k とおくとき、
Σ[k=1 to n] (s_k)*(a_k)^2 > {4*(s_n)^3}/(9n) を証明せよ。 実数 x に対して、8^x + 27^x + 64^x + 125^x ≧ 24^x + 30^x + 40^x + 60^x >>385
2^x = A，3^x = B，4^x = C，5^x = D
とおくと
A^3 + B^3 + C^3 + D^3 ≧ ABC + ABD + ACD + BCD
以下、相加-相乗平均で…
等号成立は A=B=C=D より x=0
∧＿∧
（ ´Д｀ ） 新年あけまして
/ ヽ
し、__X__,ノJ
/´⌒⌒ヽ
ｌ⌒ ⌒ｌ おめでとうございます
⊂ （ ） ⊃
V￣V 正の数 a、b、c に対して、
(a^{2018}-a^{30}+3)(b^{2018}-b^{30}+3)(c^{2018}-c^{30}+3) ≧ 9(a^2+b^2+c^2)
人
／⌒＼ （＿_）
＼●／（＿＿）／⌒＼
∩ （・∀・ ）＼●／ あけおめでござる
Y ￣ ||ｙ|| ￣`''φ
Lノ /ニ|| ! ソ >
乂/ﾉ ﾊ ヽー´
`ー-、＿_| >>387-388
0.9347299 < a = b = c < 1
うーむ 〔問題387〕
実数 a，b，c について
（a^2018 -a^30 +3）（b^2018 -b^30 +3）（c^2018 -c^30 +3）≧ 3（a^4 +b^4 +c^4), >>390
（a^2018 -a^30 +3）（b^2018 -b^30 +3）（c^2018 -c^30 +3）
≧ （a^1988 +2）（b^1988 +2）（c^1988 +2）
≧ 3（a^1988 + b^1988 +1）（1+1+c^1988）
≧ 3（a^994 + b^994 + c^994）^2
≧ (1/3)*（a^497 + b^497 + c^497）^4
r〜〜〜〜〜
＿_ _ﾉ うっうっうっ・・・
／__ ｀ヽ_ ⌒ヽ〜〜〜〜〜
|〈___ﾉf レ1(
,L| しL.し'ﾞ"
"｀ "′ >>391
１に関して同じ側にある２つをa，bとしたでござるな。つまり
（a-1)(b-1）≧ 0. ( ﾟ∀ﾟ)つ 0.9999^101 < 0.99 < 0.9999^100 を示せ。 >>394
ヒントぢゃねぇが…
x^(1988+n）- x^n +3 ≧ 9^(1/3）x^(4/3）
は n≧30 で成立つらしい。 >>393
(1 - 1/nn)^(n+1）< 1 - 1/n <（1 - 1/nn)^n,
(右側)
｛1，1，…，1，1 - 1/n｝の n個で GM-AM する。
n-1 個
(左側)
｛1，1，…，1，1 + 1/(n-1)｝の n+1個で AM-GM する。
n個
｛1 - 1/(nn-1)}^(n+1）≧ 1 + 1/(n-1),
逆数をとる。 >>395
それを使うと、示すべき右辺 3（a^4 +b^4 +c^4) にAM-MGを使った形になっちまう…
（a^2018 -a^30 +3）（b^2018 -b^30 +3）（c^2018 -c^30 +3）≧ 9（abc)^(4/3) >>374
・n=2 のとき
a^3 +（a+b)bb -（1/3)(a+b)^3
=｛(2a^3 - 3aab + b^3) + b^3}/9
≧（b^3)/9
≧ 0,
・n=3 のとき
a^3 +（a+b)bb +（a+b+c)cc -（1/5)(a+b+c)^3
=｛(7/4)x^3 +（23/8)y^3 + 4z^3 - 6xyz + 2x(3x/4 -y)^2 + 2x(3x/4 -z)^2 + 2y(3y/4 -z)^2}/5
＞｛(7/4)x^3 +（20/7)y^3 + 4z^3 - 6xyz}/5
≧（3{20^(1/3)}xyz - 6xyz)/5
= 3xyz/7
≧ 0, >>398 の訂正
・n=3 のとき
a^3 +（a+b)bb +（a+b+c)cc -（1/5)(a+b+c)^3
=｛(7/4)a^3 +（23/8)b^3 + 4c^3 - 6abc + 2a(3a/4 -b)^2 + 2a(3a/4 -c)^2 + 2b(3b/4 -c)^2}/5
＞｛(7/4)a^3 +（20/7)b^3 + 4c^3 - 6abc}/5 （23/8 > 20/7）
≧3（{20^(1/3)}abc - 2abc)/5 （AM-GM）
≧ 3abc/7
≧ 0, 三角形の成立条件 a+b>c、b+c>a、c+a>b を当たり前のように使っているけど、
これの証明って、手元にある本には載っていないんだけど、どうやるんだっけ？ まず長さaの線分を描いてから、半径b、cの円を描いてみれば分かる >>370-371
もう２つ...
・例１ 等比数列
a_k = a_1・r^(k-1),
r = 0.636323 a_1 = √(1-rr）= 0.772413
のとき
M = 0.393502 < 0.48
・例２
a_(2k+1）= a_1・r^k,
a_(2k+2）= a_2・s^k,
a_1 = 0.7141094 r = 0.359890
a_2 = 0.6408248 s = 0.0921138
のとき
M = 0.436598 < 0.48 >>370-371
もう１つ...
・例３
a_1 = 0.66763055
a_2 = 0.66280835
a_k = a_2･r^(k-2） (k>2)
r =｛(7+4√3)^(1/3）+（7-4√3)^(1/3）- 1}/4 = 0.455410041101
（4r^3 +3rr -1 = 0 の実根)
のとき
M =（2/3)√{(1+r)(1-r^3)/3｝= 0.4418722310911 < 0.48 >>403
・例１
a_1 = 0．7714225971
（a^8 -9a^6 +30a^4 -30a^2 +9 =0 の正根）
r = 0．63632317
（(1+r)(1-r^3）-3rr = 0 の実根）
M = ｒ(1-rr)^(3/2)/(1-r^3）= 0．393502193
>>404
・例３
r =｛(2+√3)^(2/3）+（2-√3)^(2/3）- 1}/4 = 0.45541
（4r^3 +3rr -1 = 0 の実根）
M =｛(207+48√3)^(1/3）+（207-48√3)^(1/3）- 1}/24
（M^3 +（1/8)M^2 -（1/6)M -（1/27）= 0 の実根） >>416
コーシーの不等式より
n｛Σ[k=1，n］s_k （a_k)^2｝≧（Σ[k=1，n］a_k √s_k)^2,
0≦x<y に対して、
（y-x）√y > ∫[x，y］√t dt =（2/3）｛y^(3/2）- x^(3/2)},
ゆえに、k = 1，2，…，n に対して、
a_k √s_k >（2/3)｛（s_k)^(3/2）-（s_{k-1})^(3/2)｝
（ただし、s_0 = 0 とする。）
k = 1，2，…，n について足し合わせると、
Σ[k=1，n］a_k √s_k >（2/3）（s_n)^(3/2),
以上により
n｛Σ[k=1，n］s_k（a_k)^2｝>（4/9）（s_n)^3, >>417
0≦x，y に対して、 AM-GM で
y^(3/2）+ x^(3/2）+ x^(3/2）≧ 3x√y,
∴ （y-x）√y ≧（2/3）｛y^(3/2）- x^(3/2)}, [3']
三変数の相加相乗平均の不等式
「a,b,c > 0 に対し、a^3+b^3+c^3 ≧ 3abc」
を証明せよ。
ただし、不等式評価には次の不等式のみを用いること。
「任意の実数 p,q,r，x,y,z に対して （pp+qq+rr）（xx+yy+zz）≧（px+qy+rz)^2」
[4]
xは実数とする。
2+√2 ≦ √{1+sin(x)}＋√{1+cos(x)｝＋√{1-sin(x)｝+√{1-cos(x)｝≦ √{2(2+√2)}＋√{2(2-√2)}
を示せ。
最小は x=nπ/2，最大は x=nπ/2 + π/4 のとき。
（http://twitter.com/perfect08641086/） 〔類題〕
-1≦y≦1 ⇒ √(1+y）＋√(1-y）≦2
等号成立は y=0. 〔問題〕
a，b，c >0 のとき、
（1） a/(b+c）+ b/(c+a）+ c/(a+b）≧ 3/2, （Nesbitt，Shapiro-3）
（2） a/(a+b）+ b/(b+c）+ c/(c+a）≦｛(a+b+c)^2 + 3(ab+bc+ca)}/{4(ab+bc+ca)},
（3） a/(a+b）+ b/(b+c）+ c/(c+a）≦（ab+bc+ca)^2／{2abc(a+b+c)}, 【オイラーのφ関数】
(1) 奇素数 p、自然数 n に対して、φ(p^n) > √(p^n) を示せ。
(2) 自然数 n (≠2、6) に対して、φ(n) > √(n) を示せ。
あぁぁ、脳が…震え… >>421
(4) a/(a+b）+ b/(b+c）+ c/(c+a）≦ 3{(a+b+c)^2 + (ab+bc+ca)}/{8(ab+bc+ca)} ≦ (a+b+c)^2 / {2(ab+bc+ca)},
(略証）
s = a+b+c,
t = ab+bc+ca,
u = abc,
とおくと
(a+b)(b+c)(c+a) = st-u ≧ 8st/9,
3(st+aab+bbc+cca) = s(ss+t) -a(a-b)^2 -b(b-c)^2 -c(c-a)^2 ≦ s(ss+t),
したがって
(左辺) = (st+aab+bbc+cca)/(st-u)
≦ (1/3)s(ss+t)/(8st/9)
= 3(ss+t)/(8t). >>423
(1)
・n=1 のとき
p≧3 ゆえ、(p-1)^2 - (p+1) = p(p-3) ≧ 0,
φ(p) = p-1 ≧ √(p+1) > √p
・n≧2 のとき
n-1 ≧ n/2,
φ(p^n) = (p-1)･p^(n-1) ≧ (p-1)・p^(n/2) >>419
[3']
（aa+bb+cc)^2 =（bb+cc+aa)(cc+aa+bb）≧（bc+ca+ab)^2,
aa+bb+cc -ab -bc -ca ≧ 0,
よって
a^3 + b^3 + c^3 - 3abc =（a+b+c)(aa+bb+cc-ab-bc-ca）≧ 0, >>423
(1)
p≧3 のとき、(p-1)^2 -（p+1）= p(p-3）≧ 0,
p-1 ≧ √(p+1）> √p,
φ(p^e）=（p-1)p^(e-1）> p^(e-1/2）≧ √(p^e) (e≧1)
(2)
・nが奇数のとき
nの素因数は奇素数のみ。
∴nの素因数pごとに分ければ成立。
・nが4の倍数のとき
e≧2 に対して
φ(2^e）= 2^(e-1）≧ 2^(e/2), …成立。(e=2 のときは等号）
∴nの素因数pごとに分ければ成立。
・n=2･(奇数），n>6 のとき
nは 4より大きい素因数（p>4）または平方因子（e≧2）をもつ。
p>4 ならば（p-1)^2 -（2p+1）= p(p-4）> 0,
p-1 > √(2p+1）> √(2p）
φ(2･p^e）=φ(p^e）=（p-1)p^(e-1）>（√2)p^(e-1/2）≧ √(2･p^e),
e≧2 ならば
φ(2･p^e）=φ(p^e）=（p-1)p^(e-1）≧ 2p^(e-1）> √(2･p^e) a、b、c >0 に対して、
9 > (4a+b)/(a+4b) + (4b+c)/(b+4c) + (4c+a)/(c+4a) > 3/2
これが中学生向けの問題だと！ あぁぁ、脳が…震え… >>428
p≧q ⇒ 4 >（4p+q)/(p+4q）≧1,
p≦q ⇒ 1 ≧（4p+q)/(p+4q）> 1/4,
だから
a≧b≧c ⇒ 4 + 4 + 1 >（中辺）> 1 + 1 + 1/4,
a≦b≦c ⇒ 4 + 1 + 1 >（中辺）> 1 + 1/4 + 1/4,
実際には 8.25 > （中辺）≧ 3.0 らしい… >>429
k≧2,
p = aab+bbc+cca -3abc ≧ 0,
q = abb+bcc+caa -3abc ≧ 0,
とおくと、
（a+kb)(b+kc)(c+ka）= kp + kkq +（1+k)^3･abc,
（ka+b)/(a+kb）+（kb+c)/(b+kc）+（kc+a)/(c+ka）
= 3 +（k-1){(2k-1)p＋k(k-2)q}/{kp+kkq+(1+k)^3･abc}
≧ 3,
上限は 2k + 1/k, >>428-430
JJMO(2008)でござった。
>>430
上限は 2k + 1/k。 これをどうやって示すのか分かりませぬ…。 〔大関の不等式〕
単調減少な正数列 x_1 > x_2 > …> x_j > … > x_n > 0 について
Π[j=1,n］（x_j)^x_{j-1｝＞ Π[j=1,n］（x_j)^x_{j+1},
Σ[j=1,n］ x_{j-1｝log(x_j）＞ Σ[j=1,n］ x_{j+1｝log(x_j),
ただし、x_{n+1｝= x_1，x_0 = x_n とする。
数セミ、2018年3月 NOTE >>431
（ka+b)/(a+kb）+（kb+c)/(b+kc）+（kc+a)/(c+ka）
= 2k + 1/k -｛[2(k-1)^2 +1］kq + (1/k)(2k-1)(k-1)(k+1)^3･abc}/{kp+kkq+(1+k)^3･abc}
≦ 2k + 1/k, >>433
ありがたや〜
>>432
『大関の不等式』の大関って、不等式の本書いてる大関親子のどっちか？ それともNOTEに投稿した読者の名前かな？
地方では、雑誌の発売日は翌日以降になるから、まだ読めていないのでござる。 >>433
> （ka+b)/(a+kb）+（kb+c)/(b+kc）+（kc+a)/(c+ka）
> = 2k + 1/k -｛[2(k-1)^2 +1］kq + (1/k)(2k-1)(k-1)(k+1)^3･abc}/{kp+kkq+(1+k)^3･abc}
qの係数は、2(k-1)^2 +1］kq ぢゃなくて、k(k^2-1)q ではござらぬか？ n^5 = 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 をみたす自然数 n を求めるときに、大雑把に n のとりうる値の範囲を絞りたい。
n^5 ≡ 24 (mod 30) から、n = 24+30k で、答えは144なんだが、nの範囲を上手に知りたいのでござる。
下限は、n^5 = 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 > 135^n だから、n>135
上限が 174 より小さいってのを一発でエレガントに出すような不等式ってないでござる蟹？ 4^(1/5) = 1.319…
n^5 = 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 < 4*133^5 < (7/5)^5*133^5 = 186.2^5
n^5 = 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 < 4*133^5 < (33/25)^5*133^5 = 177.56^5
この方法はイマイチですな。 金利の計算等でよく知られている72の法則から
2^(1/5)≒1.144≒8/7
27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 < 111^5 + 110^5 + 133^5
≒(111*8/7)^5+133^5≒127^5+133^5 ＜2*133^5≒(133*8/7)^5=152^5 とか >>434
子の清太氏でござる。（今や宇都宮大学も退官されて古希でござるな）
〔補題〕
0 < y < x_1 で Ｆ(y）= log(y/x_1)/(x_1 - y）は単調増加
Ｆ '(y）=｛x_1/y -1 -log(x_1/y)}/(x_1 - y)^2 > 0 から出る。
(左辺)−(右辺）= Σ[j=1,n］｛x_j･log(x_{j+1}）- x_{j+1}･log(x_j)}
= Σ[j=1,n］｛(x_j-x_1)･log(x_{j+1}/x_1）-（x_{j+1}-x_1)･log(x_j/x_1)}
= Σ[j=2,n-1］｛(x_j-x_1)･log(x_{j+1}/x_1）-（x_{j+1}-x_1)･log(x_j/x_1)}
= Σ[j=2,n-1］（x_1-x_j)(x_1-x_{j+1})｛Ｆ(x_j）-Ｆ(x_{j+1})}
> 0 （← x_1 > x_j > x_{j+1}）
>>435
仰るとおり。死んでお詫びを…（AA略 >>436
等比級数と比較する（ダランベールの判定法？）
r = 110/133 とおく。r < 5/6
110 = 133 r,
84 < 90.9774 = 133 r^2,
27 < 75.2445 = 133 r^3,
n^5 < 133^5 (1 + r^5 + r^10 + r^15)
< 133^5/(1-r^5)
= 133^5 /{1-(5/6)^5｝
= 133^5 /0.59812
= （133 * 1.10826)^5,
n < 133 * 1.10826 < 147.4
n = 144 に近い（？） >>436
r = 110/133 とおく。
r^5 < 2/5,
1/(1-r^5）< 5/3,
n < 133･(5/3)^(1/5）= 133･1.10757 = 147.306
r^5 < 12/31,
1/(1-r^5）< 31/19,
n < 133･(31/19)^(1/5）= 133･1.10286 = 146.68
n=144 に近いかも（？） >>438-441
ありがとうございます。いろいろありますね。
> 金利の計算等でよく知られている72の法則から
全く知らなかったでござる。 >>439
清太氏に不等式の本を書いてもらいたい。
まだ書いていないこと沢山あるだろう…。 >>430
p, q を使うという発想が凄いな。鬼がかっている… >>443
もし出たら、餃子を食いながら解こうかな（"＾ω＾）・・・ （宇都宮） 清太氏の最新刊は、数学のかんどころシリーズの不等式だったけど、あのシリーズは、
『OnePoint双書の精神を継承し、ページを押さえ、テーマを絞り、手軽に読めるように』なので、あんまり載ってないんよな。
やはりここは、大関（親）の絶版書の内容も含む３つの著書を含めて、
まだ書いてないこともたくさん入れて、ページ数制限なしで分厚いのを出してほしい。
喩えるなら、「素数全（朝倉書店、2010）」とか「数学の女王（共立出版、2013）」みたいな感じで。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
