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不等式への招待 第９章 [無断転載禁止]©2ch.net

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0001不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)
垢版 |
2017/09/13(水) 11:20:03.95ID:i1anpb+k
ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ

【まとめWiki】　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

【過去スレ】
・不等式スレッド （第１章） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第５章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第６章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待 第７章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待 第８章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・過去スレのミラー置き場　http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ　　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/

【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html
0044１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/17(日) 22:57:20.94ID:8YPByAqq
>>37 (1)
>>40
G1=a，G2=√(ab)，G3=(abc)^(1/3)，…とおく。
コーシーで
（a+a)(a+b）≧（G1+G2)^2,
（a+a+a)(a+G2+b)(a+b+c）≧（G1+G2+G3)^3,
（a+a+a+a)(a+a+b+b)(a+b+G3+c)(a+b+c+d）≧（G1+G2+G3+G4)^4,

>>39
チェビシェフで
｛c(a+b)+a(b+c)+b(c+a)} {2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)｝≦ 6(a+b+c),
∴　1／H(A(a,b)，A(b,c)，A(c,a)）≦ s/t,

｛(a+b)+(b+c)+(c+a)} {2ab/(a+b)+2bc/(b+c)+2ca/(c+a)｝≦ 6(ab+bc+ca),
∴　A(H(a,b)，H(b,c)，H(c,a)）≦ t/s,
　
よって
A(a,b,c)）= A(A(a,b),A(b,c),A(c,a))
≧ H(A(a,b),A(b,c),A(c,a))
≧ A(H(a,b),H(b,c),H(c,a))
≧ H(H(a,b),H(b,c),H(c,a)）= H(a,b,c),
0045１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/17(日) 23:17:44.48ID:DVCxyTo5
>>44
さらに改造。

A(a,b,c)）= A(A(a,b),A(b,c),A(c,a))
≧ H(A(a,b),A(b,c),A(c,a))
≧ A(H(a,b),H(b,c),H(c,a))
≧ G(G(a,b),G(b,c),G(c,a)) = G(a,b,c）　← ココ
≧ H(H(a,b),H(b,c),H(c,a)） = H(a,b,c),

もう一つ、私の計算に間違いがなければ…

G(A(a,b),A(b,c),A(c,a))
≧ A(G(a,b),G(b,c),G(c,a))
≧ G(G(a,b),G(b,c),G(c,a)) = G(a,b,c）
≧ H(G(a,b),G(b,c),G(c,a))
≧ G(H(a,b),H(b,c),H(c,a)）

そして、この２つを合体させようと思いつつも、
>>37 (5)の m = min{a,b,c} を用いない解法を考えながら、
>>5 の M(a,b,c)に使えそうな次の問題の証明を考え中なのであった…。

[問題]--------------------------------
a, b, c >0 かつ a+b+c=2 に対して、
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≦3
-------------------------------------

これは、次数を揃えるには、右辺に {(a+b+c)/2}^6 を掛ければよいのかな？
0046１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/18(月) 03:34:39.74ID:D0klnohz
>>44
まとめて
A(a,b,c）≧ H(A(a,b),A(b,c),A(c,a))
≧（ab+bc+ca)/(a+b+c)
≧ A(H(a,b),H(b,c),H(c,a))
≧ H(a,b,c),

>>45
（上）
（a,b,c）=（1,1,G^3）の場合を考えると…

G < （√13 -1)/6 　⇒　H(A,A,A） > A(H,H,H） > G
（√13 -1)/6 < G < （√13 +1)/2　⇒　H(A,A,A） > G > A(H,H,H)
（√13 +1)/2　< G ⇒　G > H(A,A,A）> A(H,H,H)

（√13 -1)/6 = 0.434258546
（√13 +1)/2 = 2.802775638

（下）
等号成立は（a,b,c）=（1,1,0）とその巡回　｛(1,1,1）では不成立｝
0048１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/18(月) 08:57:46.12ID:D0klnohz
>>37 (3)

（M_3)^3 = (a^3+b^3+c^3)/3
= 9A^3 -8G^3 -（st-9u)
≦ 9A^3 - 8A^3,

（9A-8G)^3 - （M_3)^3
≧（9A-8G)^3 - （9A^3 -8G^3)
= 72(10A^3 -27AAG +24AGG -7G^3)
= 72(10A-7G)(A-G)^2
≧ 0,
∴ 9A-8G ≧ M_3,
ただし、s = a+b+c = 3A、 u = abc = G^3、


>>39
　近畿地方は昨晩通過しますた（ミサイルぢゃなくて台風18号）　快晴でつ。
0049１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/18(月) 12:02:58.60ID:jimNgAXP
>>41 について、載っている書名とか分かりませんか？ 証明方法が知りたいでござる。

>>48
問題>>37(3)は、面白いでござるな。
示すべき不等式が 9A-8G ≧ M_3で、9A^3 - 8G^3 ≧ (M_3)^3 も成立するという。
0050１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/18(月) 13:20:10.34ID:S+ljv5Ld
>>43
a+b+c=3, a>=b>=c とすると c=3-a-b, a+b-3 <= 0, 2a+b-3 >= 0, a+2b-3 >= 0
示すべき不等式は 12 >= (a^2-ab+b^2)(c^2-ca+a^2)(b^2-bc+c^2)
R(a,b,c)=(a^2-ab+b^2)(a^2-ac+c^2)(b^2-bc+c^2)
= (a^2-ab+b^2) (a^2+(a+b-3)(2a+b-3)) (b^2+(a+b-3)(a+2b-3))
<= (a^2-ab+b^2) a^2 b^2
= R(a, b, 0)
よって c=0 のときに不等式を示せばよい
L(a, b, 0) - R(a, b, 0)
= 12((a+b)/3)^6 - (a^2-ab+b^2) a^2 b^2
= ((2a-b)^2 (a-2b)^2 (a^2+11ab+b^2))/243
>= 0

等号成立が (0, 1, 2) だから模範解答の BW が無難かと
0051１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/18(月) 13:24:41.29ID:S+ljv5Ld
>>49
Kiran Kedlaya, Proof of a Mixed Arithmetic-Mean, Geometric-Mean Inequality, The American Mathematical Monthly, Vol.101, No.4., (Apr., 1994), pp.355-357
平均同士の mixture は結構研究されているみたい（この不等式自体20年も前の研究）
掘るとAM-GMバージョンとか色々と出てくる
0052１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/18(月) 13:44:41.39ID:S+ljv5Ld
>>43
>>50
a+b+c=3 なんてする必要なかった
R(a,b,c) = 4(a+b+c)^6 >= 4(a+b)^6 >= R(a,b,0)
L(a,b,c)
=243 (a^2-ab+b^2) (b^2-(b-c)) (a^2-c(a-c))
<= 243 (a^2-ab+b^2) a^2 b^2
=L(a,b,0)
あとは c=0 のとき不等式を示せばよい

なんて遠回りをしていたんだ
0053１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/18(月) 16:14:25.00ID:jimNgAXP
>>51
ありがとうございます。
これはAMMの記事ですかな？知りたい情報がすぐにネットで読めるとは、よい時代になりましたなあ。

>>52
ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!
これで計算が一気に簡単になります。
0054１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/18(月) 17:16:27.77ID:jimNgAXP
>>45
下側を改造厨が改造中。

　　A(A(a,b),A(b,c),A(c,a)) = A(a,b,c）
≧ G(A(a,b),A(b,c),A(c,a))
≧ (st/9)^(1/3)
≧ (t/3)^(1/2)
≧ A(G(a,b),G(b,c),G(c,a))
≧ G(G(a,b),G(b,c),G(c,a)) = G(a,b,c）
≧ H(G(a,b),G(b,c),G(c,a))
≧ (3u/s)^(1/2)
≧ (9uu/st)^(1/3)
≧ G(H(a,b),H(b,c),H(c,a)）
≧ H(H(a,b),H(b,c),H(c,a)） = H(a,b,c）

大丈夫かな？
0055１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/18(月) 19:16:51.97ID:D0klnohz
>>49 下

A(a,b,c）= A，G(a,b,c）= G，M_3(a,b,c）= M_3　と略記する。

A ≧ M_3(M_3，G，…，G）≧ A(M_3，G，…，G）=（M_3 + 8G)/9,
　　　　　　　　　　8個　　　　　　　　　　　8個
でござるな。

或いは、ｆ(x）= x^3 が下に凸であることから､A≦G≦M に対して
　（A^3 - G^3)/(A-G）≦ 3AA ≦（M^3 - A^3)/(M-A),

これと　8(A^3-G^3）≧ M^3 - A^3　より
　8(A-G）≧ M-A,

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

>>46　　最後
　（2/3，2/3，2/3）では不成立　

>>48　3行目あたり
　≦ 9A^3 - 8G^3
0056１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/19(火) 03:19:34.92ID:SAZ57hNz
>>54

　H(A,A,A）≧ t/s ≧ A(H,H,H),　　>>46
と組み合わせれば
… ≧（st/9)^(1/3）≧ H(A,A,A）≧ t/s ≧ A(H,H,H）≧（9uu/st)^(1/3）≧ …
かな。


（現代語訳）
はじめの A，G，H で大勢は決するんよ。
あとの A，G，H は狭い範囲内のことなんで微調整やなぁ。


>>55 中ほど
…、G≦A≦M に対して
0060１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/19(火) 12:07:24.52ID:SAZ57hNz
n≧3 とする。(*)

（a+b+c)^n ≧ a^n + b^n + c^n + 3(N-1)(abc)^(n/3),
A^n ≧（1/N){(M_n)^n + G^n + … + G^n｝,
　　　　　　　　　　　　　　　　N-1 個
N = 3^(n-1）とおいた。

コーシーあるいは f(x)=x^n の凸性から
A^n ≧（1/N){(M_n)^n + G^n + … + G^n｝≧｛(M_n + G + … + G)/N}^n
∴　A ≧（M_n + G + … + G)/N,
等号成立は M_n = G、a=b=c のとき。

*　n=2のときも成り立つが緩い。
0062１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/19(火) 16:47:58.83ID:WLVpxM+c
さっそく、>>37(3)の類題を作ってみた。

【類題】 （自作なので間違っていたらゴメソ）
a,b,c>0 の相加平均、相乗平均、２乗平均を A、G、Qとする。
(1) 3A ≧ 2G+Q
(2) 9A ≧ 2G+5Q
0064１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/19(火) 23:33:13.01ID:5nXOTef3
>>62
AM >= pGM + qQM
(1) (0.6666666666666666, 0.3333333333333333)
(2) (0.2222222222222222, 0.5555555555555556)
最適値は ((45-7sqrt(7))^(1/3)/9, 5/9) = (0.3311784484968155, 0.5555555555555556)
(3) (1-sqrt(2)/3 sqrt(2)/3) = (0.5285954792089682, 0.4714045207910317)
(4) (5^(2/3)/6, 1/2) = (0.4873362897021443, 0.5)
0065１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/20(水) 00:39:12.82ID:tjSj4nRi
a, b, c>0 とする。(a+b+c)^3 について。

[a] (a+b+c)^3 ≧ (27/8)*(a+b)(b+c)(c+a)
[b] (a+b+c)^3 ≧ 27(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
[c] (a+b+c)^3 ≧ (27/4)*(a^2b + b^2c + c^2a + abc)

[A] (a+b+c)^3 ≦ 9(a^3+b^3+c^3)
[B] (a+b+c)^3 ≦ (a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3)
[C] (a+b+c)^3 ≦ (a^3 +2)(b^3 +2)(c^3 +2)

[a] と [b] は合体できるでござる。
[d] (a+b+c)^3 ≧ (27/8)*(a+b)(b+c)(c+a) ≧ 27(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)


[疑問]
(1) [c]の右辺と、[a], [b]の右辺との大小は定まるか？
(2) [A], {B}, {C} の右辺の大小は定まるか？


参考---------------------
[b] [安藤、不等式 P.29]
[c] >>16 [1999 CMO]

[B] [第１章 352]
[C] [第１章 367]
0066１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/20(水) 00:43:50.97ID:tjSj4nRi
>>65
[疑問](1)の訂正。
[a]の右辺と[c]の右辺の大小は一定でないことは、既に確認済み。
反例は、c=1 のときに、(a-1)(b-1)の正負で大小が変わる。

色々計算していたら、調べ終わったことをすっかり忘れていました。
0067１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/20(水) 00:49:55.65ID:tjSj4nRi
>>66
重ね重ねすみません。
>>65の訂正は無かったことに。ホント申し訳ないです。
別の問題とゴチャゴチャになっていました。

比較して大小が定まらなかったのは、次式の右辺の大小でした。
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ 3(a+b+c)^2
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a)

行き詰まったら別の問題へと、あれこれ弄っていたら、ゴチャゴチャになってしまいました。
ひとつ解決するごとに、ちゃんと清書しておくべきですね （切腹AA略）
0068１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/20(水) 02:48:42.32ID:LREZjNa8
>>62 >>64

(1）（p，q）=（2/3，1/3）

　　（p，q）=（3/5，2/5）　　　>>37 参考［第８章.755、808］

は緩く、最良値は

(3）（p，q）=（1 -(√2)/3，（√2)/3）

でござるな。

　（p，q） =（{1+√(1/3)}/3，{2-√(1/3)}/3）=（0.525783423，0.474216577）
　等号成立は（a，b，c）=（1，1，1）と（1，1，(1+√3)/2）

は無理？
0070１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/20(水) 03:18:19.58ID:tjSj4nRi
[1] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a) ≧ 9(ab+bc+ca)
[2] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ 3(a+b+c)^2　　　　　　　 ≧ 9(ab+bc+ca)
[3] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ (2a+2b+2c-abc)^2


（疑問）
[3]の右辺 (2a+2b+2c-abc)^2 と [1],[2]の右辺の３式の大小は定まりますか？
試しにc=0にすると、[3]の右辺の方が大きいようで、定まりそうな希ガス。
差を s,t,u で計算したが無理で、u,v,wで試したが使い慣れていないせいか行き詰まりました。


（参考）
[1] >>4,>>15,>>23
[2] 第８章456
[3] lhs - rhs = 2(ab+bc+ca-abc)^2 ≧0

[1],[2]の中辺の (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a) と 3(a+b+c)^2 の大小は一定でないでござる。
c=1 のときに (a-1)(b-1)の正負で大小が変わるから。
0071１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/20(水) 03:35:09.68ID:tjSj4nRi
>>68
その最良値は、どのようにして求めるのですか？
考え方を教えてください。

-------------------------------------------
>>62を、>>57-59の方法で証明するでござる。

AM-GMより
(a+b+c)^2 = 2(ab+bc+ca) + (a^2+b^2+c^2) ≧ 3(2G^2 + Q^2)

Cauchyより
3A = a+b+c = {(2+1)(2G^2 + Q^2)}^(1/2) ≧ 2G+Q
9A = 3(a+b+c) = {(2+25)(2G^2 + Q^2)}^(1/2) ≧ 2G+5Q
0072１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/20(水) 06:27:39.72ID:LREZjNa8
>>65

［疑問1］

［b］/27 =（a+b-c)(b+c-a)(c+a-b）= abc - F1(a,b,c）≦ abc,

∴ ［a］≧［b］、［c］≧［b］

［a］=（27/8)(st-u）=（[c］+［c~])/2,
［c］=（27/4)(L+u),　　　　>>30
［c~]=（27/4)(R+u),　　　　>>30
　　　
［a］と［c］の大小は定まらず。


［疑問2］

（a^5 -aa +3）-（a^3 +2）=（a^3 -1)(aa-1）≧0,
より
［B］≧［A]，［C］

［A］と［C］の大小は定まらず。
0075１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/20(水) 08:07:59.55ID:tjSj4nRi
>>11
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ 3(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2

この証明を教えてください。
以前まとめたはずが見当たらず、自力で取り組んで挫折しました…。
0076１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/20(水) 08:20:14.90ID:LREZjNa8
>>65
をまとめて

（a^5 -aa+3)(b^5 -bb+3)(c^5 -cc+3)
≧｛(a^3 +2)(b^3 +2)(c^3 +2)，9(a^3 +b^3 +c^3)｝
≧（a+b+c)^3
≧｛(27/8)(st-u)，（27/4)(L+u)，（27/4)(R+u)
≧ 27abc
≧ 27｛abc - F_1(a,b,c)｝
= 27(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b),
0077１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/20(水) 08:27:01.63ID:tjSj4nRi
>>75
自己解決しました。見たことあるような無いような…。

(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) - 3(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2 = ⊿^2
0081１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/20(水) 12:31:22.95ID:ZYqrdhH5
>>68
成り立ちます

>>69
L-R = Aw^3 + B(u, v^2)
A = sqrt(27/2), B は u, v の関数
よって (a, 1, 0), (a, 1, 1) のときに不等式を示せばよい
あとは微分

>>70
いずれも定まらない
a, b を十分大きくとって c = 2(a+b)/(ab-2) とすると [3] の右辺は必ず 0 となる
一方他の辺はすべて非負値を取りうるから考えられるとしたら [3] の右辺が最小
一方 a を大きく b = c = 0 としたら明らかに [3] の右辺が最大
よって定まらない

>>71
一個目について
L-R = Aw^3 + B(u, v^2)
A = -p, B は u, v の関数
よって (a, 1, 0), (a, 1, 1) のときに不等式を示せばよい
このときの p, q の領域の端点が最適
ただ解析はさほど知識がないので端点を求められず適当な値を当てはめて妥協したのが >>64
0083１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/20(水) 23:59:51.69ID:602tS/G4
[5] Given real numbers a, b, c satisfying a + b + c = 3 and abc >= -4. Prove that
3(abc+4) >= 5(ab+bc+ca).
[8] Given three circles (O[1]R[1]), (O[2]R[2]), (O[3]R[3]) which are pairwise externally tangent to each other at A, B, C. Let r be the radius of the incircle of ABC. Prove that
r <= (R[1] + R[2] + R[3]) / (6sqrt(3)).
[9] Given positive numbers x, y, z satisfying
x^2 + y^2 - 2z^2 + 2xy + yz + zx <= 0.
Find the minimum value of the expression
P = (x^4 + y^4) / z^4 + (y^4 + z^4) / x^4 + (z^4 + x^4) / y^4.
[10] Find the maximum value of the expression
T = (a+b)/(c+d) * ((a+c)/(a+d) + (b+d)/(b+c))
where a, b, c, d belong to [1/2, 2/3].
【Mathematics and Youth Magazine Problems - Sep 2017, Issue 483】

原文のままだけど [8] は R[1] とかが円の半径なのかな？
0084１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/21(木) 02:33:40.98ID:qsDFDKvR
>>70

［第8章.456］
　Asia-Pacific MO-2004改
　文献 [9] 佐藤(訳)、問題3.85改　p.140

[1］
（中辺）= 1 +2s +（ss+t）+（st-u）≧｛1 +√(t/3）+√(t/3)}^3 ≧ 9t,

[2］
（aa+2)(bb+2)(cc+2）- 3(a+b+c)^2
= 3(a+b+c)^2 +（abc-1)^2 + 2(ab-1)^2 + 2(bc-1)^2 + 2(ca-1)^2 +（2G+1)(G-1)^2
　+｛aa +bb +cc + 3GG - 2(ab+bc+ca)},

｛aa + bb + cc +3GG -2(ab+bc+ca)｝≧ ss -4t +9u/s = F_1/s ≧ 0,
　［第8章.388(3)、403、432］

あるいは　f(x）= exp(2x）は下に凸だから Popoviciu を適用する。
　文献［9］佐藤(訳)、演習問題1.90　p.41

[3］（aa+2)(bb+2)(cc+2）=（2s-u)^2 + 2(t-2)^2,

｛a+√(-2)}{b+√(-2)}{c+√(-2)｝= -(2s -u）+（t-2){√(-2),}
のノルムをとる。
0085１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/21(木) 04:45:31.57ID:qsDFDKvR
>>83

［9］
（x+y+2z)(x+y-z）=（x+y)^2 +(x+y)z -2zz ≦ 0,
題意より x+y+2z > 0
∴　z ≧ x+y,　　（反三角不等式）
w =｛2z/(x+y)}^4 ≧ 16,

P(x,y,z）≧ P((x+y)/2，(x+y)/2，z）
= 2 + 2{(x+y)/2z}^4 + 2{2z/(x+y)}^4
= 2 + 2/w + 2w　　（← w>1 で単調増加）
≧ 2 + 1/8 + 32
= 34 + 1/8,
0086１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/21(木) 07:20:31.67ID:V1vTJB/f
>>4 の (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) を弄っていて、妙なものができたんだけど…
(1), (2)はよくあるけど、(2)を見た後の(3)がなんとも気持ち悪いのでござる。

(1) (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ (ab+2)(bc+2)(ca+2)
(2) (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ (2√2)*(a+b)(b+c)(c+a)
(3) (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ 8*√{(a+b)(b+c)(c+a)}
0088１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/21(木) 08:45:07.32ID:qsDFDKvR
>>86

(1)
｛a+√(-2)}{b-√(-2)｝=（ab+2）+（a-b)√(-2),
（aa+2)(bb+2）≧（ab+2)^2

(2)
｛a+√(-2)}{b+√(-2)｝=（ab-2）+（a+b)√(-2),
（aa+2)(bb+2）≧ 2(a+b)^2,
（左辺）≧(16√2)/9・st ≧（16√6)/9・t^(3/2)

(3)
（1+aa+1)(1+1+bb)
≧（1+a+b)^2　　　（コーシー）
= 4(a+b）+（1-a-b)^2
≧ 4(a+b),　　　　（AM-GM)
（左辺）≧（16/3)√(2st）≧（16/3)√(2√3)・t^(3/4),

(4)
（aa+1+1)(1+bb+1)(1+1+cc）
≧｛a^(2/3）+ b^(2/3）+ c^(2/3)}^3　　（コーシー）
≧ ss +4t +６GG,

気持ち悪い…
0089１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/21(木) 09:23:42.72ID:qsDFDKvR
>>88

(4)
（aa+1+1)(1+bb+1)(1+1+cc）
≧（a+b+1)(1+b+c)(a+1+c）　　　　（コーシー）
≧｛a^(2/3）+ b^(2/3）+ c^(2/3)}^3　　（コーシー）
≧ ss +4t +6u^(2/3)
≧ 8t +（9u + F_1)/s,
0093１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/21(木) 17:39:36.89ID:V1vTJB/f
>>76
> ≧（a+b+c)^3
> ≧｛(27/8)(st-u)，（27/4)(L+u)，（27/4)(R+u)
> ≧ 27abc

（a+b+c)^3 ≧ a^3 + b^3 + c^3 + 24abc ≧ 27abc もありますね。

(a^3 + b^3 + c^3 + 24abc) - (27/8)(st-u)
= F_1 - 19(st-9u)/8

大小は定まりそうになさそう？
0094１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/21(木) 22:17:34.65ID:V1vTJB/f
>>11
a, b, c >0 に対して、
(1) 3(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2) ≧ (ab+bc+ca)^3　←>>11
(2) 3(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2) ≧ abc(a+b+c)^3　←出典は下に。

右辺の2式の大小は定まらないですよね？
一息つく間もないでござるな。

(ab+bc+ca)^3 - abc(a+b+c)^3 = u^2 F_{-2} - uF_1

出典
(2) Old and New Inequalities 問42
0095１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/21(木) 23:59:22.71ID:LqEF6rzR
>>90
そこが肝

次の強力な定理が成り立つ（厳密には存在性が必要）
i) u, v^2 を固定すると w^3 は c=0 または c=b のときのみ最大・最小となりうる
ii) u, w^3 を固定すると v^2 は c=0 または c=b のときのみ最大・最小となりうる
iii) v^2, w^3 を固定すると u は c=0 または c=b のときのみ最大・最小となりうる

リンク先は違う置換の方法だけど、一般的な（係数と次数を調整した）置換 3u=a+b+c, 3v^2=ab+bc+ca, w^3=abc をすると不等式は
(2-12u)w^3+18v^4-15v^2+7 >= 0
となる。これは u, v^2 を固定すると w^3 についての一次関数。一次関数は区間の端点、つまり w^3 が最大・最小となるときに関数値が最小となる。定理 i) から右辺は c=0 または c=b のときに最小となりうるのでこのときだけ不等式を示せばよい

定理自体は uvw とは関係なく ABC Theorem として知られる。(洋書文献[3],p.155)
この定理を用いると五次以下の対称不等式は (a, b, 0), (a, b, b) のとき、さらに斉次のときは (a, 1, 0), (a, 1, 1) のときに不等式を示せばよいことがわかる
0096１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/22(金) 00:01:35.33ID:wfEa8qDX
>>94
c=0 とすると正の値を取りうることは明らか
abc = 1 とすると L -R は簡単に因数分解できて符号は因数 ab+bc+ca-a-b-c で決まる
b = c -> 0 とすれば a -> inf でこれは負となる
実際 L-R = -(a^2-bc)(b^2-ca)(c^2-ab) となり符号は定まらない
0097１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/22(金) 01:13:33.43ID:dxvc1idi
>>40-42

５文字のときもコーシーで　　　>>44

(a+a+a+a+a)(a+a+G2+b+b)(a+G2+b+C'+c)(a+b+C'+D'+d)(a+b+c+d+e）≧（G1+G2+G3+G4+G5)^5,

ここに
　G2 = √(ab）≦（a+b)/2,
　G3 =（abc)^(1/3）≦（a+b+c)/3,
　C ' = √(G3･c）≦（G3+c)/2 ≦（a+b+4c)/6，
　D ' =（G3･ccd)^(1/4）≦（G3+2c+d)/4 ≦（a+b+7c+3d)/12,

今回は非対角要素まで補正した。もちろん、実対称ではござるが。
0098１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/22(金) 02:12:22.64ID:dxvc1idi
>>94

(1）　　　　コーシーで　（>>9 最後）

3LR - t^3
=（1+1+1)(aab+bbc+cca)(abb+bcc+caa）-（ab+bc+ca)^3
= 3u(s^3 -4st +9u）+ 2(t^3 -4stu +9uu) +2u(st-9u)
= 3u F_1(a,b,c）+ 2 F_1(ab,bc,ca）+ 2u(st-9u),

(2)
3LR - us^3
= 2u(s^3 -4st +9u）+ 3(t^3 -4stu +9uu) +2u(st-9u)
= 2u F_1(a,b,c）+ 3 F_1(ab,bc,ca）+ 2u(st-9u),

F_1(ab,bc,ca）= uu F_{-2}(a,b,c)

大小は定まらず。
0099１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/22(金) 06:37:35.19ID:dxvc1idi
>>94　続き

F_1(ab,bc,ca）- u F_1(a,b,c)
=（t^3 -4stu +9uu）- u(s^3 -4st +9u)
= t^3 - us^3
=（ab)^3 +（bc)^3 +（ca)^3 -abc(a^3 + b^3 + c^3)
= aab･abb + bbc･bcc + cca･caa - aab･caa - bbc･abb - cca･bcc

の符号は決まらず。
0100１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/22(金) 14:32:29.99ID:qCni587U
>>95-96
詳しくありがとうございます。（未だ理解できていませんが）
洋書文献[3],p.155を調べてみます。
0101１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/22(金) 14:40:37.63ID:qCni587U
追加。
右辺が >>4 >>70 >>86 >>88 >> 90 の右辺のいずれかと大小関係があるのかはチェックしきれていないが

(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ (1/2)*(a+√2)(b+√2)(c+√2)(abc+2√2) ≧ 16abc√2
0102１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/22(金) 14:51:31.66ID:5a1XuEA5
>>92
これかなり強い不等式な気がするけどどうなんだろう
成り立ちそうだけど証明できない
0103１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/22(金) 15:52:23.29ID:qCni587U
>>98
> (2)
> 3LR - us^3
> = 2u(s^3 -4st +9u）+ 3(t^3 -4stu +9uu) +2u(st-9u)
> = 2u F_1(a,b,c）+ 3 F_1(ab,bc,ca）+ 2u(st-9u),

Schur の使い方に F_1(ab,bc,ca） を利用するとは！！
これは、次数が高くなったときに、(su, t, u^2) → (s,t,u) と置き換えているんですね。
0104１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/22(金) 15:53:06.94ID:qCni587U
>>103
訂正

> > (2)
> > 3LR - us^3
> > = 2u(s^3 -4st +9u）+ 3(t^3 -4stu +9uu) +2u(st-9u)
> > = 2u F_1(a,b,c）+ 3 F_1(ab,bc,ca）+ 2u(st-9u),
>
> Schur の使い方に F_1(ab,bc,ca） を利用するとは！！
> これは、次数が高くなったときに、(su, t, u^2) → (s,t,u) と置き換えているんですね。
> これは、次数が高くなったときに、(su, t, u^2) → (s,t,u) と置き換えているんですね。
0105１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/22(金) 15:53:54.27ID:qCni587U
すみません、誤送信です

(誤) (su, t, u^2) → (s,t,u)
(正) (su, t, u^2) → (t,s,u)
0107１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/23(土) 05:55:49.72ID:uwLyIFub
[問題] a, b, c, d ≧0 のとき、
(1) {(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}^3 ≧ 16(abcd)^2*(a+b+c+d)^4
(2) (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≧ (a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab)
(3) (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≧ (a+b+c-d)(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c)

似たようなやつを集めたでござる。

疑問
[1] (2)と(3)の右辺の大小はどうなんだろう。
[2] (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)の入った類題が他にあれば教えてください。
[3] a,b,c,d>0の面白いのがあれば、教えてください。

Old and New Inequalities 90など
0108１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/23(土) 11:30:08.53ID:NoROM9hj
>>107

(2）
(a+b)(b+c)(c+d)(d+a）-（a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab）=（ac-bd)^2 ≧ 0,

等号成立は ac=bd

s = a+b+c+d,
t = ab+ac+ad+bc+bd+cd,
u = abc+bcd+cda+dab,
v = abcd,
とおく。
Newtonの不等式
（t/6)/(s/4）≧（u/4)/(t/6）≧ v/(u/4),
から t を消して
　u ≧（16vvs)^(1/3),

変数の１つが飛びぬけて大きいとき、（3）は負。

∴（2）≧（1)，(3)

（1）と（3）の大小は定まらず。
0109１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/23(土) 15:28:49.51ID:NoROM9hj
>>40-42 >>97

５文字のときもコーシーで　　　>>44

2文字混合のみで可能でござった...orz

（a+a+a+a+a)(a+m22+m23+m24+b)(a+m32+m33+m34+c)(a+m42+m43+m44+d)(a+b+c+d+e）≧（G1+G2+G3+G4+G5)^5,

ここに
　m22 =（aaab)^(1/4）≦（3a+b)/4,
　m23 = m32 =（aab)^(1/3）≦（2a+b)/3,
　m24 = m42 =（abbb)^(1/4）≦（a+3b)/4,
　m33 =（b^5･c)^(1/6）≦（5b+c)/6,
　m34 = m43 = √(bc）≦（b+c)/2,
　m44 =（bbbc)^(1/4）≦（3b+c)/4,
0110１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/23(土) 15:30:29.43ID:NoROM9hj
>>40-42 >>97

６文字のときもコーシーで　　　>>44

(a+a+a+a+a+a)(a+m22+a+G2+m25+b)(a+a+m33+b+m35+c)(a+G2+b+m44+m45+d)(a+m52+m53+m54+m55+e)(a+b+c+d+e+f）≧（G1+G2+G3+G4+G5+G6)^6,

ここに
　G2 = √(ab）=（a+b)/2,
　m22 =（a^3･b^7)^(1/10）≦（3a+7b)/10,
　m25 = m52 =（abbbb)^(1/5）≦（a+4b)/5,
　m33 =（bbbcc)^(1/5）≦（3b+2c)/5,
　m35 = m53 =（bbccc)^(1/5）≦（2b+3c)/5,
　m44 =（c^9･d)^(1/10）≦（9c+d)/10,
　m45 = m54 =（cccdd)^(1/5）≦（3c+2d)/5,
　m55 =（dddde)^(1/5）≦（4d+e)/5,
0111１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/24(日) 00:17:36.33ID:+GWHsYBd
>>109-110

m_{i,1｝= m_{1,i｝= a_1,

　… 略 …

m_{i,n-1｝= m_{n-1,i｝=（a_{i-1}）^{(i-1)/(n-1)｝（a_i)^{(n-i)/(n-1)}

m_{i,n｝= m_{n,i｝= a_i

だが、残りをどうするか...
0113１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/24(日) 11:48:50.52ID:+GWHsYBd
>>112

>>107 より
（1）=（16vv･s^4)^(1/3),

（2）= su = 16v + cd(a-b)^2 + … + ab(c-d)^2,

（3）=（a+b+c-d)(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c),
　　= 16v -（a+b+c+d)(a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)
　　= 16v +（a+b+c+d){(c+d-a-b)(a-b)^2 + … +（a+b-c-d)(c-d)^2}/3

さて、どうするか…
0115１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/24(日) 15:20:49.88ID:mlF1dqOj
>>107
(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≦ (1/16)*(a+b+c+d)^4
(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≧ (a+b+c-d)(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c)
(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≧ (a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab) ≧ {16(abcd)^2*(a+b+c+d)^4}^(1/3)
(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≧ (a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab) ≧ 4(ab+bc+cd+da)(abc+bcd+cda+dab)/(abcd)

とりあえず、ここまで。
(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab) ≧ (a+b+c-d)(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c) が証明できない。
0116１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/24(日) 15:23:35.45ID:mlF1dqOj
>>115
{16(abcd)^2*(a+b+c+d)^4}^(1/3) と 4(ab+bc+cd+da)(abc+bcd+cda+dab)/(abcd) の大小は、次数が高くて挫折…
0117１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/24(日) 15:24:44.42ID:mlF1dqOj
>>115
4つ目の式の訂正。
(誤) (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≧ (a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab) ≧ 4(ab+bc+cd+da)(abc+bcd+cda+dab)/(abcd)
(正) (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≧ (a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab) ≧ 4(ab+bc+cd+da)(abc+bcd+cda+dab)/(a+b+c+d)
0118１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/24(日) 19:00:55.77ID:mlF1dqOj
[1999 USAMO]
x, y, z>1 のとき、x^(xx+2yz)*y^(yy+2zx)*z^(zz+2xy) ≧ (xyz)^(xy+yz+zx)

これって、x, y, z >0 でいいのでは？
0121１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/24(日) 21:18:47.14ID:wAMa4j2r
>>107
Vasile の不等式 (Algebraic Inequalities Old and New Methods, pp.271, 6.3 problem 4a)
Σx^3 + 3Σxyz >= Σxy(x+y)
より強い（Vasile は n 変数で成り立つ）

解答自体は d=1 として三変数に持ち込んでuvwで終わりだけど、よい証明が見つからない
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1288719p6809821
https://artofproblemsolving.com/community/c6h605279p3595439
スレッドあっても解答ないのが見つかるだけ
等号成立は (a,a,0,0), (a,a,a,0), (a,a,a,a) and sym perm…

疑問[2]
あんまないけど
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1184068p5743836
0126１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/26(火) 09:40:42.11ID:EHLZfEpP
>>123
　0<x,y,z≦1 で等比数列のとき、不成立？


>>125
（1+aa)(1+bb)(1+cc)(1+dd)
≧ 1 +（aa+bb+cc+dd)
=（a+b+c+d）+（1/2 -a)^2 +（1/2 -b)^2 +（1/2-c)^2 +（1/2-d)^2
≧ a+b+c+d,
0127１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/26(火) 10:09:49.45ID:DASjoAs7
>>126
なんと！ そんなに簡単に証明できたんですね。ありがとうございます。
実にゆるゆるな不等式ですね。
0128１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/26(火) 10:10:20.62ID:EHLZfEpP
>>125

〔類題〕
（1+aa）≧ 2a,
（3+aa)(3+bb）≧ 8(a+b),
（5+aa)(5+bb)(5+cc）≧ 72(a+b+c),
（7+aa)(7+bb)(7+cc)(7+dd）≧ 1024(a+b+c+d),
（9+aa)(9+bb)(9+cc)(9+dd)(9+ee）≧ 20000(a+b+c+d+e),
0129１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/26(火) 10:24:08.94ID:DASjoAs7
>>128
つまり （1+aa)(1+bb)(1+cc)(1+dd) ≧ λ(a+b+c+d) は、λ = 1024/{343(√7)} が最良値でござるか？
0130１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/26(火) 13:58:53.45ID:EHLZfEpP
>>37 >>119

>>37 参考(1）は Carleman でござるか。

等号成立の位置が異なるゆえ

(1）の右辺と Carleman の右辺の大小は定まらぬ…
0132１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/27(水) 00:54:28.91ID:CgrFdG5y
a,b,c∈Rに対して、
(1)　(a^8-a^2+3)(b^8-b^2+3)(c^8-c^2+3) ≧ (a^2+b^2+c^2)^3

a, b, c≧0に対して,
(2)　(a^5-a^3+3)(b^5-b^3+3)(c^5-c^3+3) ≧ 9(a^2+b^2+c^2)
(3)　(2a^-2a+3)(2b^2-2b+3)(2c^2-2c+3) ≧ 9(a^2+b^2+c^2)
--------------------------------------------------

(1)
x^8-x^2+3 ≧ x^6+2 より、

(a^8-a^2+3)(b^8-b^2+3)(c^8-c^2+3)
≧ (a^6+2)(b^6+2)(c^6+2)
＝ (a^6+1+1)(1+b^6+1)(1+1+c^6)
≧ (a^2+b^2+c^2)^3

(2)
(x^5-x^3+3)^3 ≧ 9(x^6+2) より、

{(a^5-a^3+3)(b^5-b^3+3)(c^5-c^3+3)}^3
≧ (9^3)(a^6+2)(b^6+2)(c^6+2)
＝ (9^3)(a^6+1+1)(1+b^6+1)(1+1+c^6)
≧ (9^3)(a^2+b^2+c^2)^3

(3)
(2x^2-2x^2+3)^3 ≧ 9(x^6+2) が十分大きな x で成り立たないから、同じ方法は使えないでござる
0134１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/27(水) 13:34:23.43ID:8Sv8e3rv
>>124 (2)(3)

k>0 とする。
（ka+b)(kb+c)(kc+d)(kd+a)/(k+1)^4 は k=1 で最大となり、両側で単調。
k=2 が成立てば k>2 も成立つはず...

（2a+b)(2b+a)(2c+d)(2d+c）≦（81/32)(ac+bd)(a+b+c+d)^2,
0136１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/27(水) 16:39:57.10ID:8Sv8e3rv
>>134-135

k<5 では不成立でござった。。。死んでお詫びを…（AA略）

反例：
　k=4　（a,b,c,d）=（１，1/64，1/2048，√(1/2)）
0137１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/27(水) 22:04:26.24ID:8Sv8e3rv
>>134

kについて降べきの順(?)に並べると
（ka+b)(kb+c)(kc+d)(kd+a)/(k+1)^4 = abcd +｛(aabc+bbcd+ccda+ddab-4abcd)k^3 +（abbc+bccd+cdda+daab+aacc+bbdd-6abcd)k^2 +（abcc+bcdd+cdaa+dabb-4abcd)k}/(k+1)^4,

ここで、k/(k+1)^4，kk/(k+1)^4 は単調減少、k^3/(k+1)^3 も k≧3 で単調減少でござる。
∴ k が 1～2 の辺りで最大か。
0138１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/28(木) 07:56:21.57ID:Zf2OsKu8
>>92
> a,b,c>0 に対して、（a^5 -aa+3)(b^5 -bb+3)(c^5 -cc+3) ≧ 9(a^3 +b^3 +c^3)

>>114の x^5 -x^2 +3 ≧ 3(x^5 +4)/5 より、
(a^5 -a^2 +3)(b^5 -b^2 +3)(b^5 -b^2 +3) ≧ (27/125)*(a^5+4)(b^5+4)(c^5+4)

したがって、以下が成り立てばよいのだが、分からない…
(a^5+4)(b^5+4)(c^5+4) ≧ (125/3)*(a^3 +b^3 +c^3) … ★

>>132 の方法を使うには、x^5 +4 ≧ (125/3)*(a^9 +2) が成り立てばいいが、成り立たず。
遡って、x^5 -x^2 +3 ≧ 9(x^9 +2) が成り立てばいいが、これも成り立たず。

お手上げでござる。
0139１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/29(金) 18:52:53.17ID:ccDcp6Fb
>>92
(a^5-a^2+3)^3 >= 3(2a^9+3a^3+4)
とかから a^3 -> a と置き換えて不等式に当てはめると
　(2a^3+3a+4)(2b^3+3b+4)(2c^3+3c+4) >= 27(a+b+c)^3
を示せばよい。

いま (a^5-a^2+3)^3 >= ra^9+(27-3r)+2r は r <= 8.98395 に対して成り立つ
特にもとの不等式に適用できそうなのは m = 9/2^(2/3) = 5.66964 <= r の範囲
r = 8, 7, 6, m に対して書き下してみると
・(8a^3+3a+16)(8b^3+3b+16)(8c^3+3c+16) >= 729(a+b+c)^3
・(7a^3+6a+14)(7b^3+6b+14)(7c^3+6c+14) >= 729(a+b+c)^3
・(2a^3+3a+4)(2b^3+3b+4)(2c^3+3c+4) >= 27(a+b+c)^3
・Π(a^3+ka+2) >= 4(a+b+c)^3 where k = 3(2^(2/3)-1)
このいずれかの不等式を示せばよい

r=6 のときはきれいで頑張れば示せそう
r=m の限界値も不等式自体は悪くないからうまく示せそう
（uvw で表すと唯一 u^3 の項が消える）

あとは任せたでござる
0140１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/09/30(土) 17:59:19.43ID:QFGPsK6W
>>139

a^9 -3a^3 +2 = (a^3 +2)(a^3 -1)^2 ≧ 0 ゆえ

r a^9 +（27-3r）a^3 + 2r は r について単調増加

>>114 と比べると

・r < 6.59 のとき、a^5 -aa +3 ≧ 3(a^5 +4)/5 ≧｛r a^9 +（27-3r）a^3 + 2r}^(1/3),

・r > 6.59 のとき、大小定まらず。
0141１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/10/01(日) 01:08:20.63ID:wkWWtqrc
>>132
> a,b,c∈Rに対して、
> (3)　(2a^2-2a+3)(2b^2-2b+3)(2c^2-2c+3) ≧ 9(a^2+b^2+c^2)
> --------------------------------------------------
>
> (2x^2-2x^2+3)^3 ≧ 9(x^6+2) が十分大きな x で成り立たないから、同じ方法は使えないでござる

x=2a-1, y=2b-1, z=2c-1 とおくと、x, y, z ≧-1で、示すべき不等式は
(x^2+5)(y^2+5)(z^2+5) ≧ 18{(x+1)^2 + (y+1)^2 + (z+1)^2}

等号が x=y=z=1 で成立することに注意して、未定係数法で力ずくで平方和に分解。

lhs - rhs
= (u-s/3)^2 + (8/9)(s^2-3t) + (28/9)(t^2-3su) + 6(s-3)^2 + (17/9)(t-3)^2
≧0
　　┏━━━┓
　　┃ Q.E.D. ┃
　　┗━┳━┛
( ﾟ∀ﾟ) ノ


この方法を >>92 に使おうと思ったが、よい置き換えが思いつかぬでござる。
0142１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/10/01(日) 14:40:49.65ID:wkWWtqrc
[初等的な不等式Ⅱ P.65 問36]
a, b, c≧0に対して、{(a+b)(b+c)(c+a)}^2 ≧ 4(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)

模範解答は、aを最小として b=a+p、c=a+q を代入して差をとり、
aの6次式の係数がすべて0以上であることを確認していますが、
手計算じゃ大変だから、別解があれば教えてください。

s,t,uで計算してSchurを考えたけど （自分では）うまくいかず、
Lhs - Rhs = (st)^2 - 4(s^3)u + 22stu - 4t^3 - 31u^2

次に b を中央の数として (a+b)(b+c) - 2(b^2+ca) = (a-b)(b-c) ≧0 より
Lhs ≧ 2(a+b)(b+c)(c+a)^2(b^2+ca) だから、
(a+b)(b+c)(c+a)^2 ≧ 2(a^2+bc)(c^2+ab)
が成り立つことが示せれば…と計算して挫折

さらに(c+a)^2 = (c-a)^2 + 4ca より、 Lhs ≧ 8ca(a+b)(b+c)(b^2+ca) として、
2(a+b)(b+c) ≧ (a^2+bc)(c^2+ab)
が成り立つことが示せれば…と計算して挫折

>>52みたいな、いい方法ないかなあ…
0144１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/10/01(日) 15:12:37.49ID:wkWWtqrc
>>142の不等式を改造するでござる。

a, b, c≧0に対して、
(64/27)(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
≧ {(a+b)(b+c)(c+a)}^2　　　　　　　←[>>7]
≧ 4(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)
≧ 4abc(a+b)(b+c)(c+a)

参考 [>>11]
(64/27)(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
≧ [(a+b)(b+c)(c+a)]^2
≧ (64/81)[(a+b+c)(ab+bc+ca)]^2
≧ (64/27)(ab+bc+ca)^3

(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab) と (16/81)[(a+b+c)(ab+bc+ca)]^2 ≧ (16/27)(ab+bc+ca)^3
の大小も気になるでござる
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