不等式への招待 第９章 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>421
(4) a/(a+b）+ b/(b+c）+ c/(c+a）≦ 3{(a+b+c)^2 + (ab+bc+ca)}/{8(ab+bc+ca)} ≦ (a+b+c)^2 / {2(ab+bc+ca)},
(略証）
s = a+b+c,
t = ab+bc+ca,
u = abc,
とおくと
(a+b)(b+c)(c+a) = st-u ≧ 8st/9,
3(st+aab+bbc+cca) = s(ss+t) -a(a-b)^2 -b(b-c)^2 -c(c-a)^2 ≦ s(ss+t),
したがって
(左辺) = (st+aab+bbc+cca)/(st-u)
≦ (1/3)s(ss+t)/(8st/9)
= 3(ss+t)/(8t). >>423
(1)
・n=1 のとき
p≧3 ゆえ、(p-1)^2 - (p+1) = p(p-3) ≧ 0,
φ(p) = p-1 ≧ √(p+1) > √p
・n≧2 のとき
n-1 ≧ n/2,
φ(p^n) = (p-1)･p^(n-1) ≧ (p-1)・p^(n/2) >>419
[3']
（aa+bb+cc)^2 =（bb+cc+aa)(cc+aa+bb）≧（bc+ca+ab)^2,
aa+bb+cc -ab -bc -ca ≧ 0,
よって
a^3 + b^3 + c^3 - 3abc =（a+b+c)(aa+bb+cc-ab-bc-ca）≧ 0, >>423
(1)
p≧3 のとき、(p-1)^2 -（p+1）= p(p-3）≧ 0,
p-1 ≧ √(p+1）> √p,
φ(p^e）=（p-1)p^(e-1）> p^(e-1/2）≧ √(p^e) (e≧1)
(2)
・nが奇数のとき
nの素因数は奇素数のみ。
∴nの素因数pごとに分ければ成立。
・nが4の倍数のとき
e≧2 に対して
φ(2^e）= 2^(e-1）≧ 2^(e/2), …成立。(e=2 のときは等号）
∴nの素因数pごとに分ければ成立。
・n=2･(奇数），n>6 のとき
nは 4より大きい素因数（p>4）または平方因子（e≧2）をもつ。
p>4 ならば（p-1)^2 -（2p+1）= p(p-4）> 0,
p-1 > √(2p+1）> √(2p）
φ(2･p^e）=φ(p^e）=（p-1)p^(e-1）>（√2)p^(e-1/2）≧ √(2･p^e),
e≧2 ならば
φ(2･p^e）=φ(p^e）=（p-1)p^(e-1）≧ 2p^(e-1）> √(2･p^e) a、b、c >0 に対して、
9 > (4a+b)/(a+4b) + (4b+c)/(b+4c) + (4c+a)/(c+4a) > 3/2
これが中学生向けの問題だと！ あぁぁ、脳が…震え… >>428
p≧q ⇒ 4 >（4p+q)/(p+4q）≧1,
p≦q ⇒ 1 ≧（4p+q)/(p+4q）> 1/4,
だから
a≧b≧c ⇒ 4 + 4 + 1 >（中辺）> 1 + 1 + 1/4,
a≦b≦c ⇒ 4 + 1 + 1 >（中辺）> 1 + 1/4 + 1/4,
実際には 8.25 > （中辺）≧ 3.0 らしい… >>429
k≧2,
p = aab+bbc+cca -3abc ≧ 0,
q = abb+bcc+caa -3abc ≧ 0,
とおくと、
（a+kb)(b+kc)(c+ka）= kp + kkq +（1+k)^3･abc,
（ka+b)/(a+kb）+（kb+c)/(b+kc）+（kc+a)/(c+ka）
= 3 +（k-1){(2k-1)p＋k(k-2)q}/{kp+kkq+(1+k)^3･abc}
≧ 3,
上限は 2k + 1/k, >>428-430
JJMO(2008)でござった。
>>430
上限は 2k + 1/k。 これをどうやって示すのか分かりませぬ…。 〔大関の不等式〕
単調減少な正数列 x_1 > x_2 > …> x_j > … > x_n > 0 について
Π[j=1,n］（x_j)^x_{j-1｝＞ Π[j=1,n］（x_j)^x_{j+1},
Σ[j=1,n］ x_{j-1｝log(x_j）＞ Σ[j=1,n］ x_{j+1｝log(x_j),
ただし、x_{n+1｝= x_1，x_0 = x_n とする。
数セミ、2018年3月 NOTE >>431
（ka+b)/(a+kb）+（kb+c)/(b+kc）+（kc+a)/(c+ka）
= 2k + 1/k -｛[2(k-1)^2 +1］kq + (1/k)(2k-1)(k-1)(k+1)^3･abc}/{kp+kkq+(1+k)^3･abc}
≦ 2k + 1/k, >>433
ありがたや～
>>432
『大関の不等式』の大関って、不等式の本書いてる大関親子のどっちか？ それともNOTEに投稿した読者の名前かな？
地方では、雑誌の発売日は翌日以降になるから、まだ読めていないのでござる。 >>433
> （ka+b)/(a+kb）+（kb+c)/(b+kc）+（kc+a)/(c+ka）
> = 2k + 1/k -｛[2(k-1)^2 +1］kq + (1/k)(2k-1)(k-1)(k+1)^3･abc}/{kp+kkq+(1+k)^3･abc}
qの係数は、2(k-1)^2 +1］kq ぢゃなくて、k(k^2-1)q ではござらぬか？ n^5 = 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 をみたす自然数 n を求めるときに、大雑把に n のとりうる値の範囲を絞りたい。
n^5 ≡ 24 (mod 30) から、n = 24+30k で、答えは144なんだが、nの範囲を上手に知りたいのでござる。
下限は、n^5 = 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 > 135^n だから、n>135
上限が 174 より小さいってのを一発でエレガントに出すような不等式ってないでござる蟹？ 4^(1/5) = 1.319…
n^5 = 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 < 4*133^5 < (7/5)^5*133^5 = 186.2^5
n^5 = 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 < 4*133^5 < (33/25)^5*133^5 = 177.56^5
この方法はイマイチですな。 金利の計算等でよく知られている72の法則から
2^(1/5)≒1.144≒8/7
27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 < 111^5 + 110^5 + 133^5
≒(111*8/7)^5+133^5≒127^5+133^5 ＜2*133^5≒(133*8/7)^5=152^5 とか >>434
子の清太氏でござる。（今や宇都宮大学も退官されて古希でござるな）
〔補題〕
0 < y < x_1 で Ｆ(y）= log(y/x_1)/(x_1 - y）は単調増加
Ｆ '(y）=｛x_1/y -1 -log(x_1/y)}/(x_1 - y)^2 > 0 から出る。
(左辺)－(右辺）= Σ[j=1,n］｛x_j･log(x_{j+1}）- x_{j+1}･log(x_j)}
= Σ[j=1,n］｛(x_j-x_1)･log(x_{j+1}/x_1）-（x_{j+1}-x_1)･log(x_j/x_1)}
= Σ[j=2,n-1］｛(x_j-x_1)･log(x_{j+1}/x_1）-（x_{j+1}-x_1)･log(x_j/x_1)}
= Σ[j=2,n-1］（x_1-x_j)(x_1-x_{j+1})｛Ｆ(x_j）-Ｆ(x_{j+1})}
> 0 （← x_1 > x_j > x_{j+1}）
>>435
仰るとおり。死んでお詫びを…（AA略 >>436
等比級数と比較する（ダランベールの判定法？）
r = 110/133 とおく。r < 5/6
110 = 133 r,
84 < 90.9774 = 133 r^2,
27 < 75.2445 = 133 r^3,
n^5 < 133^5 (1 + r^5 + r^10 + r^15)
< 133^5/(1-r^5)
= 133^5 /{1-(5/6)^5｝
= 133^5 /0.59812
= （133 * 1.10826)^5,
n < 133 * 1.10826 < 147.4
n = 144 に近い（？） >>436
r = 110/133 とおく。
r^5 < 2/5,
1/(1-r^5）< 5/3,
n < 133･(5/3)^(1/5）= 133･1.10757 = 147.306
r^5 < 12/31,
1/(1-r^5）< 31/19,
n < 133･(31/19)^(1/5）= 133･1.10286 = 146.68
n=144 に近いかも（？） >>438-441
ありがとうございます。いろいろありますね。
> 金利の計算等でよく知られている72の法則から
全く知らなかったでござる。 >>439
清太氏に不等式の本を書いてもらいたい。
まだ書いていないこと沢山あるだろう…。 >>430
p, q を使うという発想が凄いな。鬼がかっている… >>443
もし出たら、餃子を食いながら解こうかな（"＾ω＾）・・・ （宇都宮） 清太氏の最新刊は、数学のかんどころシリーズの不等式だったけど、あのシリーズは、
『OnePoint双書の精神を継承し、ページを押さえ、テーマを絞り、手軽に読めるように』なので、あんまり載ってないんよな。
やはりここは、大関（親）の絶版書の内容も含む３つの著書を含めて、
まだ書いてないこともたくさん入れて、ページ数制限なしで分厚いのを出してほしい。
喩えるなら、「素数全（朝倉書店、2010）」とか「数学の女王（共立出版、2013）」みたいな感じで。 n∈N、r∈R、r≧1 に対して、
{(n+1)^(r+1)*n^r}/{(n+1)^(r+1) - n^(r+1)} ≧ Σ[k=1 to n] k^r ≧{(n+1)^r*n^(r+1)}/{(n+1)^(r+1) - n^(r+1)}
油断、怠慢、即ち怠惰！ (1) a>b>c> 0 のとき、ax^2+bx+c=0 の解αは、|α|<1 をみたすことを示せ。
(2) x^3 + 3x^2 + 5x + 7 = 0 の解αは、1<|α|≦3 をみたすことを示せ。
あぁぁ、脳が…震える…
-‐. . : ヘ三≧-_
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三=---- 三三/ .} 冫 ─i´ ,,,. ´ | ● i::: : :, :_., : |: : : :.|
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／ イ ´ / ｀メ ノ ＼ ＼ |／ | |.|.: : : :./
| =＝ ／| i ｀ ＜丿メノ ｀ う ア ´ ／／/: : ／ ＼ ___
┐ __ －=三〈 ｀ー-＼ ＼ ノメ／／''" .／／ ￣ _ - = 三三三三
i-'".|三三三三=丶- ､ ＼ ｀､ノ／/ ,.-'''" -=三三三三三三=
/ /三三三三三＝┐ 丶 - ´, / / -＝三三三三三三三=
. 〈 〈 三三三三三三 .| | └‐- ´i/ /＝三三三三三三三三 〈 >>449
(1)
・解が実数のとき（bb-4ac≧0）
｜x｜≧1 ⇒ axx+bx+c ≧ a|x| -b|x| +c =（a-b)|x｜+ c > c > 0
∴｜α｜< 1
・解が共軛複素数のとき（bb-4ac<0）
｜α| = √(αα~）= √(c/a）< 1,
(2)
x≧-2 ⇒ x^3 +3x^2 +5x +7 =（x+2)(xx+x+3）+ 1 ≧ 1,
x≦-3 ⇒ x^3 +3x^2 +5x +7 =（x+3)(xx+5）-8 ≦ -8
中間値の定理より（-3，-2）に実解ｒがある。
x^3 +3x^2 +5x +7 =（x-r){xx +(3+r)x - 7/r},
xx +（3+r)x - 7/r = 0 は複素数解αをもつ。
解と係数の関係から ｒαα~ = -7,
｜α｜= √(αα~） =√(-7/r）,
∴ √(7/3）< ｜α｜ < 2,
・蛇足
ｒ = -1 +（1/3){6(-9+√87)}^(1/3）-（1/3){6(9+√87)}^(1/3)
= -2.1795090246
｜α｜= 1.79213072 >>436
s = 5/4 とおく。
133 > 131．25 = 84 ss,
110 > 105 = 84 s,
84 = 84,
n^5 > 84^5 *（s^10 + s^5 +1)
= 84^5 *｛(5/4)^10 +（5/4)^5 + 1}
> 84^5 *｛9 + 3 + 1}
= 84^5 * 13
>（84 * 5/3)^5
= 140^5,
∴ 141 ≦ n ≦ 147 （>>440-441) >>449
(1）は新潟大学ですね。
>>451
〔掛谷の定理〕
F(x）= a_0 x^n + a_1 x^{n-1} ＋ …… + a_{n-1｝x + a_0,
a_0 > a_1 > a_2 > …… > a_{n-1｝> a_n > 0
ならば、F(x）= 0 の解の絶対値は１より小さい。
(略証）
F(0）= a_n >0，F(1）> 0,
(1 - 1/x）F(x）/ x^n = a_0 - Σ[j=1，n］（a_{j-1} - a_j)/x^j - a_n / x^(n+1),
x=1 のときは
0 = a_0 - Σ[j=1，n］(a_{j-1} - a_j）- a_n,
辺々引いて
(1 - 1/x）F(x) / x^n = Σ[j=1，n+1］（a_{j-1} - a_j)(1 - 1/x^j) + a_n（1 - 1/x^{n+1}),
ここで、｜x｜≧1, x≠1 ならば
Re｛1/x^j｝≦｜1/x|^j ≦ 1,
であるが、等号成立は x=1 に限るので
Re｛1 - 1/x^j｝> 0,
∴ Re｛右辺｝> 0,
∴ F(x）≠ 0,
∴｜α｜<1
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/solution/solution.htm
「經濟研究」の別証明は、あまりにも迂回的で逆行的でござるな。
市大とちゃんと統合成立するかなぁ？ >>453
などと嘯いてたら、間違えてしまった......orz
F（x）= a_0 x^n + a_1 x^{n-1} ＋ …… + a_{n-1｝x + a_ｎ, >>453-454
あぁぁ…、あなたはなんと勤勉なる事か！
偶々ネットで見かけた掛谷のpdfを見て出題したのでござるが、入試問題まで探してくるとはとはとはとは…！ >>451>>453
その『掛谷の定理』関連について詳しく書かれている本はないかなぁ？ 掛谷宗一
http://wp1.fuchu.jp/~sei-dou/jinmeiroku/kakeya-souichi/kakeya-souichi.htm 根の大きさの限界
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/ouyoukaiseki4/algebraic-equation/kadai-2003-1/node5.html 逆数バージョン
〔掛谷の定理〕
正係数のn次多項式
F(x）= a_0 x^n + a_1 x^{n-1} ＋ …… + a_{n-1｝x + a_n,
0 < a_0 < a_1 < a_2 < …… < a_{n-1｝< a_n
について、F(x）= 0 の解の絶対値は１より大きい。
(略証）
F(0）= a_n >0，F(1）> 0,
(x-1）F(x）= a_0 x^(n+1）+ Σ[j=1，n］（a_{n-j+1｝- a_{n-j}) x^j - a_n,
x=1 のときは
0 = a_0 + Σ[j=1，n］（a_{n-j+1｝- a_{n-j}）- a_n,
辺々引いて
(x-1）F(x）= a_0（x^{n+1} -1) + Σ[j=1，n］（a_{n-j+1｝- a_{n-j})(x^j -1),
ここで、｜x｜≦ 1, x≠1 ならば
Re｛x^j｝≦｜x|^j ≦ 1,
であるが、等号成立は x=1 に限るので
Re｛x^j -1｝< 0,
∴ Re｛右辺｝< 0,
∴ F(x）≠ 0,
∴｜α｜> 1
(系） x → 1/x とすれば >>453
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/solution/solution.htm >>453 >>459
(1)
n次方程式 F(x）= 0 の根｛r_k｝がすべて実数のとき、
F(x）が極値・停留値をとる点b｛F '(x）= 0 の実数解｝は次をみたす。
r_min ≦ b ≦ r_max
(2)
n次多項式 F(x）が停留値をとる点β｛F '(x）= 0 の解｝は、
F(x）= 0 のすべての根を含む凸領域内にある。
例） すべて単根｛α_k｝のときは
β = Σ[k=1,n］ｔ_k α_k
重み t_k = |β-α_k|^(-2)／{Σ[k=1,n］｜β-α_k｜^(-2)} >>460
重み t_k = |β-α_k|＾(-2)／{Σ[ｊ=1,n］｜β-α_j|＾(-2)} >>448
r=1 のときは等号になるので r>1 とする。中辺を
S(n）= Σ[k=1，n］ k^r
とおく。問題の式は
1/n ＞ S(n)/n^(r+1）- S(n)/(n+1)^(r+1）＞ 1/(n+1),
S(n)/S(n-1）＞｛(n+1)/n}^(r+1）＞ S(n+1)/S(n),
S(n)/(n+1)^(r+1）＞ S(n-1)/n^(r+1） …… 増加列
S(n)/n^(r+1）＞ S(n+1)/(n+1)^(r+1） …… 減少列
{1/(n+1)}Σ[k=1，n］｛k/(n+1)}^r ＞（1/n)Σ[k=1，n-1］（k/n)^r
（1/n)Σ[k=0，n］（k/n)^r ＞ {1/(n+1)}Σ[k=0，n+1］｛k/(n+1)}^r
となる。 >>448 （続き)
f(x）= x^r （r≧1）は下に凸だから、下の補題より
S(n)/{n（n+1)^r｝≧ S(n-1)/{(n-1）n^r},
S(n)/{(n+1）n^r｝≧ S(n+1)/{(n+2）（n+1)^r},
これと n/(n-1）＞（n+1)/n ＞（n+2)/(n+1） から >>462 が出る。
なお、n >> r では S(n）～｛1/(r+1)}(n + 1/2)^(r+1）
〔補題〕
f(x）が 0<x<1 で下に凸ならば
1）（1/n）Σ[k=1，n］f(k/(n+1)）≧｛1/(n-1)｝Σ[k=1，n-1］f(k/n),
2）｛1/(n+1)｝Σ[k=0，n］f(k/n）≧｛1/(n+2)｝Σ[k=0，n+1］f(k/(n+1)),
(略証)
1）
凸性からJensenにより
｛(n-k)/n｝f(k/(n+1)）+（k/n）f((k+1)/(n+1)）≧ f(k/n),
k=1 から k=n-1 まで加えて（n-1）で割る。
2）
凸性からJensenにより
｛k/(n+1)｝f((k-1)/n）+｛(n+1-k)/(n+1)｝f(k/n）≧ f(k/(n+1)),
k=0 から k=n+1 まで加えて（n+2）で割る。 >>462
> r=1 のときは等号になる
は間違いでした。
>>463
2) f(x）が 0≦x≦1 で下に凸ならば…
http://suseum.jp/gq/question/2868 〔Popoviciuの不等式〕
f(x) が下に凸ならば、 (a+b+c)/3 = m に対して
f(a) + f(b) + f(c) + 3f(m) ≧ 2f((a+b)/2) + 2f(a+c)/2) + 2f((b+c)/2),
(略証)
a≦b≦c としてよい。
(i) a，b ≦ m ≦ c のとき
f(a) + f(b) ≧ 2f((a+b)/2),
f(m) + f(c) ≧ 2f((m+c)/2),
2f(m) + 2f((m+c)/2) ≧ 2f((a+c)/2) + 2f((b+c)/2),
辺々たす。
(ii) a ≦ m ≦ b，c のとき
f(a) + f(m) ≧ 2f((a+m)/2)
2f((a+m)/2) + 2f(m) ≧ 2f((a+b)/2) + 2f((a+c)/2),
f(b) + f(c) ≧ 2f((b+c)/2),
辺々たす。
文献［9］佐藤淳郎（訳）p.41 演習問題1.89 a、b、c ∈ (1、∞) または、a、b、c ∈ (0、1) のとき、
log_a(bc) + log_b(ca) + log_c(ab) ≧ 4{ log_(ab)c + log_(bc)a + log_(ca)b }
（参考）
過去スレに、a、b、c ∈ (1、∞) のとき、
左辺 > 定数
定数 > 右辺 > 定数
というのを収集して貼ったような希ガス、ハロゲンガス…。
詳細は…不明ですか？ あなた、怠惰…ですね
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＼ .＼//////／ | >>469
A = ln(a)，B = ln(b)，C = ln(c) とおく。
題意により、A，B，Cは同符号。
正であるとしても一般性を失わない。
S=A+B+C，T=AB+BC+CA，U=ABC とおく。
(左辺) = (B+C)/A + (C+A)/B + (A+B)/C = (ST-3U)/U,
(右辺) = 4{C/(A+B) + A/(B+C) + B/(C+A)} = 4{S(SS-2T) + 3U}/(ST-U),
(左辺) - (右辺) = {(ST-9U)T + 3SU･F_{-1}) + SSU･F_{-2} }/{T(ST-U)} ≧ 0,
ここに
U･F_{-1} = TT -3SU ≧ 0,
UU･F_{-2} = T^3 -4STU +9UU ≧ 0,
なお、
(右辺) ≧ 6 (Nesbitt、Shapiro-3) >>466
f(m) + f((m+c)/2) ≧ f((a+c)/2) + f((b+c)/2),
f(m) + f((a+m)/2) ≧ f((a+b)/2) + f((a+c)/2),
のところが分からん？
〔補題〕
f(x) は m，nを含む区間で下に凸
m+d，n-d が mとnの中間にあるとき
f(m) + f(n) ＞ f(m+d) + f(n-d)
(略証)
m≠n、0<λ<1 に対して
（1-λ)f(m) + λf(n) ＞ f((1-λ)m + λn) = f(m+d)
λf(m) +（1-λ)f(n) ＞ f(λm + (1-λ)n) = f(n-d)
辺々たす。
ここに、d = λ(n-m) とおいた。 >>469
〔補題〕
A，B，C が同符号のとき
(B+C)/A + (C+A)/B + (A+B)/C ≧ 4{A/(B+C) + B/(C+A) + C/(A+B)},
(略証)
AM-HM より
A(1/B + 1/C）≧ 4A/(B+C),
B(1/C + 1/A) ≧ 4B/(C+A),
C(1/A + 1/B) ≧ 4C/(A+B),
辺々たす。 >>470
〔Nesbitt、Shapiro-3〕
A/(B+C) + B/(C+A) + C/(A+B) ≧ 3/2,
(左辺) = (A+B+C) {1/(B+C) + 1/(C+A) + 1/(A+B)} - 3
≧ (A+B+C) * 9/ {2(A+B+C)} - 3 （← AM-HM)
= 9/2 - 3
= 3/2.
(左辺) = (A+B+C) {1/(B+C) + 1/(C+A) + 1/(A+B)} - 3
= (1/2) {(B+C)+(C+A)+(A+B)} {1/(B+C) + 1/(C+A) + 1/(A+B)} - 3
≧ (1/2)(1+1+1)^2 - 3 （← コーシー）
= 9/2 - 3
= 3/2. C[n,r]は二項係数とする。
(1) n ∈N (ｎ≧2) に対して、2^{2n-1}/\sqrt(n) < C[2n, n] < 2^{2n-1} を示せ。
(2) n+1 以上 2n-1 以下の素数の積は、2^{2n-2} より小さいことを示せ。
ただし、該当する素数がないときは、積を1とする。
(3) n 以下の素数の積は、2^{2n-1} 以下であることを示せ。 >>474
(1)
2^(2n-1) /√n < C[2n，n] < 2^(2n-1) √{2/(n+1)},
nについて帰納法による。
n=2 のとき、8/√2 < C[4，2] < 8√(2/3) ゆえ成立。
n-1 について成り立つならば
2^(2n-3)/√(n-1) < C[2n-2，n-1] < 2^(2n-3)√(2/n),
4√{(n-1)/n} < 4 (2n-1)/2n < 4√{n/(n+1)},
辺々かけて
2^(2n-1)/√n < C[2n，n] = 2^(2n-1)√{2/(n+1)},
∴ n についても成立。 >>475
いつもながら実に実に実に～ぃ、素晴らしいデス！
参考資料まで探して頂き、感謝の極みでござるぞ！ >>463
〔補題〕
http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/265 （不等式２）
（２）（x=0，x=1 も含む方）
大関： 文献[3] p.130 例題6. >>476
Stirlingの近似
n！≒ √(2π）n^(n+1/2）e^{-n + 1/(12n)},
から
Ｃ［2n，n］=（2n)！/(n！･n！）≒（4^n)/√(πn）・e^{-1/(8n)}, 〔問題〕
80.60 < Σ［k=1，24］√k < 80.65 を示せ。
面白スレ２６-103 >>480
左側：
y=√x は上に凸だから、接線が上。
√k > ∫[k-1/2，k+1/2］√x dx =（2/3)｛(k+1/2)^(3/2）-（k-1/2)^(3/2)｝,
右側：
y=√x は上に凸だから、割線が下。
｛√k + √(k+1)}/2 < ∫[k，k+1] √x dx =（2/3)｛(k+1)^(3/2）- k^(3/2)｝,
ただし、1≦k≦4 は別途たす。 〔応用問題〕
｛√k + √(k+1)}/2 < ∫[k，k+1] √x dx =（2/3)｛(k+1)^(3/2）- k^(3/2)｝,
を用いて次を示せ。
(2) √2 < 99/70 = 1.41428571… (k=8)
√2 > 1393/985 = 1.41421320… (k=49)
√2 < (19601/6)/2310 = 1.4142135642… (k=288)
(3) √3 < (1351/6)/130 = 1.73205128… (k=48)
(5) √5 < 2889/1292 = 2.236068111… (k=80)
(6) √6 < (485/6)/33 = 2.4494949… (k=24)
(7) √7 < 2024/765 = 2.645751634… (k=63)
(10) √10 > 117/37 = 3.16216216… (k=9)
√10 < (27379/6)/1443 = 3.1622776622… (k=360)
(11) √11 < 3970/1197 = 3.316624895… (k=99)
(17) √17 > 268/65 = 4.123076923… (k=16)
(37) √37 > 882/145 = 6.08275862… (k=36)
面白スレ２６ - 109～110，117 >>484 に追加
(15) √15 < 244/63 = 3.87301587… (k=15)
(35) √35 < 846/143 = 5.9160839… (k=35)
(101) √101 > 4030/401 = 10.049875311… (k=100) >>428
分子を変えた場合に最大最小値はどうなるのか気になるでござる ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
a、b、c、p、q >0 に対して、
(1) a/(pa+qb) + b/(pb+qc) + c/(pc+qa)
(2) b/(pa+qb) + c/(pb+qc) + a/(pc+qa)
(3) c/(pa+qb) + a/(pb+qc) + b/(pc+qa) ≧ 3/(p+q) >>486
(3)
c(pa+qb）+ a(pb+qc）+ b(pc+qa）=（p+q)(ab+bc+ca),
コーシーにより
(左辺）≧（a+b+c)^2 /｛(p+q)(ab+bc+ca)｝≧ 3/(p+q),
でござるか。 >>483
左側：
積分計算を避けるなら、
AM-GM より
（kk -1/4)^3 ≧（kk)(kk -3/8)(kk -3/8),
｛(k+1/2)^(3/2) - (k-1/2)^(3/2)}^2 = 2k(kk +3/4) -2(kk -1/4)^(3/2)
≦ 2k(kk +3/4) -2k(kk -3/8)
= 9k/4,
√k ≧ (2/3）｛(k+1/2)^(3/2) - (k-1/2)^(3/2)},
以下は同様。 >>483
右側：
｛√(k+1）- √k}^2 = 1/{√(k+1）+ √k}^2 ≧ 1/{2(k+1）+ 2k｝= 1/{2(2k+1)},
より
（右辺)^2 -（左辺)^2 =（4/9）｛(k+1)^(3/2）- k^(3/2)}^2 -（1/4)｛√k + √(k+1）}^2
=（1/36）［{4(2k+1)^2 +5｝｛√(k+1）- √k}^2 - 2(2k+1）］
≧(1/36）［{4(2k+1)^2 +5｝/｛2(2k+1)｝- 2(2k+1）］
=（5/36）/{2(2k+1)},
｛√k + √(k+1)｝/2 <（2/3)｛(k+1)^(3/2）- k^(3/2)},
以下は同様。 >>486
(1) 3/p > a/(pa+qb) + b/(pb+qc) + c/(pc+qa) > 0
(2) 3/q > b/(pa+qb) + c/(pb+qc) + a/(pc+qa) > 0
( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟｩ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ >>486
(1) Max{2/p，3/(p+q)｝ > a/(pa+qb) + b/(pb+qc) + c/(pc+qa) > min{3/(p+q)，1/p｝,
(2) Max{2/q，3/(p+q)｝ > b/(pa+qb) + c/(pb+qc) + a/(pc+qa) > min{3/(p+q)，1/q｝,
(3) c/(pa+qb) + a/(pb+qc) + b/(pc+qa) ≧ 3/(p+q), >>487 >>428 >>429
ドイツ Team Selection Test 2010 Vaimo 8, 問2
twitter.com/Inequalitybot/ [129] >>492
ど、どう証明するのかな？ ・・・・・･･･ｺﾞｸﾘ。
ヽ|/
／￣￣￣＼
/ ヽ
/ ＼ ／ |
｜ (●)(●)|∥|
｜ /￣⌒￣ヽ U|
｜｜i二二ヽ| |
｜U＼＿＿_ノ |
｜ | >>474
(1)
2^(2n-1) /√n < C[2n，n] < 2^(2n) /√(πn),
大関：参考書[3]、p.53 例題10 (1987)
W.F.Sierpinski: "Elementary theory of numbers"，PWN-Polish Sci. Publ. (1964) 〔問題983〕
実数 0 < x < π/6 に対して、 不等式
sin(x) < 2x/(x +π/2）
を示せ。
分かスレ４４１-983、分かスレ４４２-10，28，47 >>496
問題だけじゃなく、証明も貼っておこうぜ！ ここは不等式のコレクターのためのスレなんだからな。
> y=π/2 で成り立てば、
> 2{1-sin(x)}/(π/2 -x) > sin(x)/x, >>28
> x/sin(x) > (π/2 +x)/2,
> ならば十分。そこで
> g(x) = x/sin(x),
> とおく。
> ｜x｜<π/2 で g(x) は下に凸。 … (*)
> g(π/6)=π/3 と g(π/2)=π/2 を通る割線を曳く。
> z = (π/2 +x)/2,
> -π/2 < x < π/6 のとき g(x) > (π/2 +x)/2,
>
> (*)
> 1-cos(x) ≧ 0,
> x-sin(x) = ∫[0，x] {1-cos(t)} dt > 0 （x>0)
> sin(x)-x･cos(x) = ∫[0，x] t･sin(t) dt > 0 (0<x<4.4934094579）
> より
> g '(x) = {sin(x)-x･cos(x)}/sin(x)^2,
> g "(x) = {1-cos(x)}/sin(x)・g '(x) + {1+cos(x)}{x-sin(x)}/sin(x)^3 > 0, 〔問題〕
(1)
f(x）g(x） = 1ならば
f '(x）g '(x） < 0,
さらに f(x）f "(x） < 0 のとき
f "(x）g "(x） < 0,
(2)
g(x) = x/sin(x） について、
|x| < 2.081575977818 ⇒ g "(x） > 0,
分かスレ４４２-069 >>499
(1) そうです。（微分可能な…）
(2)
｜x｜< 2.0815759778181 ⇒ ｛sin(x)/x｝" < 0
を使っていいらしい。 非負実数 a_1、…、a_n に対して、
(Σ[k=1 to n] a_k){Σ[k=1 to n] (a_k)^(n-1)} ≦ n*Π[k=1 to n]a_k + (n-1)*Σ[k=1 to n] (a_k)^n
昔の手書きメモから発掘、詳細不明 ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ >>512
⊿_n = (右辺) - (左辺)
= (n-1)Σ[k=1,n] (a_k)^n - {Σ[k=1,n] a_k}{Σ[k=1,n] (a_k)^(n-1)} + n･a_1･a_2…a_n,
a_1 = a，a_2 = b，a_3 = c，a_4 = d，a_5 = e，
とおいてシューア展開すると、
⊿_1(a) = 0,
⊿_2(a,b) = 0,
⊿_3(a,b,c) = F_1(a,b,c)
⊿_4(a,b,c,d) = (2/3){F_2(a,b,c) + F_2(b,c,d) + F_2(c,d,a) + F_2(d,a,b)} + (1/3){F_1(a,b,c)d + F_1(b,c,d)a + F_1(c,d,a)b + F_1(d,a,b)c},
⊿_5(a,b,c,d,e) = (1/2)Σ[a,b,c] F_3(a,b,c) + (1/6)Σ[a,b,c] F_2(a,b,c)(d+e) + (1/6)Σ[a,b,c] F_1(a,b,c)de,
ここに Σ[a,b,c] は C[5,3] = 10項の和 >>513
〔Schurの不等式〕
F_m(x,y,z) = (x^m)(x-y)(x-z) + (y^m)(y-z)(y-x) + (z^m)(z-x)(z-y) ≧ 0,
文献[3] 大関(1987) p.28
文献[8] 安藤(2012) p.27～28
文献[9] 佐藤(訳)(2013) p.40 a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、 (a^10 + b^10 + c^10)^2 ≧ 3*(a^13 + b^13 + c^13).
┏ ━ゝヽ''人∧━∧从━〆Ａ!ﾟ━━┓。
＜ ゝ＼',冫｡’ ,,,, ∧,,∧ ' ゛△´ ' ゝ'┃
∇ ┠─Σ┼ ,ﾆ,◎､・ω・') 冫／ そ', .┨'ﾟ,。
.。冫▽ ＜ 冫 ｒ'/ミ/〉⊂ノ 乙 ≧ ▽
。 ┃ Σ. 〈/"）､〉ﾉノ ､'’ ≦ │て く
┠─ム┼ （_/_iiiﾉ ､,,’.┼ ｧ Ζ┨ ミｏ'’｀
.。○.〆 `､,~´＋ ! .! √ ▽ ',! ヽ.◇ ｏ.┃
┗〆━┷. Ｚ,..`"┷━''ｏ.ヾｏ┷+＼━┛,゛； ⊿_n = Σ[m=1,n-2] 2(n-m-2)! m!/(n-1)! Σ[a,b,c] F_m(a,b,c) S_{n-m-2}(A-{a,b,c}) ≧0,
A = {a_1，a_2，…，a_n}
納a,b,c] は C[n,3] = n(n-1)(n-2)/6 項の和。
S_j(B) は集合Bの要素で作ったj次の基本対称式
A = {a_1，a_2，…，a_n}
ついで乍ら
納a,b,c] F_m(a,b,c) = {m(m+1)2}Σ[k=1,n] (a_k)^(m+2) S_{n-m-2}(A-{a_k})
- m(n-m-1)納k=1,n] (a_k)^(m+1) S_{n-m-1}(A-{a_k})
+ {(n-m)(n-m-1)/2}納k=1,n] (a_k)^m S_{n-m}(A-{a_k}) >>513
⊿_n = Σ[m=1,n-2] 2(n-m-2)! m!/(n-1)! Σ[a,b,c] F_m(a,b,c) S_{n-m-2}(A-{a,b,c}) ≧0,
A = {a_1，a_2，…，a_n}
Σ[a,b,c] は C[n,3] = n(n-1)(n-2)/6 項の和。
S_j(B) は集合Bの要素で作ったj次の基本対称式
A = {a_1，a_2，…，a_n}
ついで乍ら
Σ[a,b,c] F_m(a,b,c) = {m(m+1)2}Σ[k=1,n] (a_k)^(m+2) S_{n-m-2}(A-{a_k})
- m(n-m-1)Σ[k=1,n] (a_k)^(m+1) S_{n-m-1}(A-{a_k})
+ {(n-m)(n-m-1)/2}Σ[k=1,n] (a_k)^m S_{n-m}(A-{a_k}) (1/2)*(3/4)*…*(999999/1000000) < 1/1000 を示せ。
∧＿∧
（ ´･ω･) 先月の数蝉に不等式の問題があったような…
（つ旦と）
と＿）＿） >>518
√((2k-1)(2k+1)) = √(4kk-1) < 2k,
(左辺) = {√(1･3)/2}{√(3･5)/4｝…｛√((2n-1)(2n+1))/(2n)} / √(2n+1)
< 1/√(2n+1)
< 1/√(2n)
= 0.001
(別法)
Stirling の公式から
(左辺) = (2n-1)!! / (2n)!!
= (2n-1)!! / {(2^n) n!}
= (1/4)^n・C(2n，n)
= 1/√(nπ)・{1 - 1/(8n) + 1/(128n^2) + 5/(1024n^3) - …… }
< 1/√(nπ)
= 1/√(500000π)
= 0.00079788456080
なお、（左辺) = 0.00079788436133 コレクションになかったのを拾い集めてきた。(A1)以外は、たぶん過去スレにもないと思ふ。
【絶対値絡み】
(A1) a, b, c >0 に対して、|(a-b)/(a+b)| + |(b-c)/(b+c)| ≧ |(a-c)/(a+c)|
(A2) [宜蘭 2007]
相異なる a, b, c >0 に対して、|(a+b)/(a-b) + (b+c)/(b-c) + (c+a)/(c-a)| > 1
(A3) [疑問]
a, b, c >0 に対して、|(a-b)/(a+b) + (b-c)/(b+c) + (c-a)/(c+a)| のとりうる値の範囲は？
【分数式とか】
(B1) [中国 2008]
a, b, c >0 に対して、ab/c + bc/a + ca/b ≧ 2*(a^3 + b^3 + c^3)^(1/3)
(B2) [宜蘭 2010]
a, b, c >0 に対して、1/(a^2) + 1/(b^2) + 1/(c^2) + 1/{(a+b+c)^2} ≧ (7/25)*{1/a + 1/b + 1/c + 1/(a+b+c)}^2
(B3) [IMO short list 2008]
a, b, c, d >0 に対して、(a-b)(a-c)/(a+b+c) + (b-c)(b-d)/(b+c+d) + (c-d)(c-a)/(c+d+a) + (d-a)(d-b)/(d+a+b) ≧ 0
(B4) [不等式bot]
a, b >0 に対して、
(ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3 + 9(abc)^2 + abc(a^3 + b^3 + c^3 + 9abc) ≧ 3abc(a+b)(b+c)(c+a)
不等式botってのを最近見つけたんだけど、何これ？ botって何ぞや？
同じ問題を繰り返し吐き出してるから、自動なのか？
登録してある問題をダブりなしに全部見てみたい。 【√がらみ】
(C1) [宜蘭 2008]
a, b, c >0 に対して、次式をみたす実数 k の最小値を求めよ。
a√b + b√c + c√a ≦ k√{(a+b)(b+c)(c+a)}
(C2) [香佐富斯坦 2010]
a, b >0 に対して、
√{(a^2-a+1)(b^2-b+1)} + √{(a^2+a+1)(b^2+b+1)} ≧ 2(x+y)
(C3) [スポック 2012]
a, b, c >0 に対して、
(a+b)√{(b+c)(c+a)} + (b+c)√{(c+a)(a+b)} + (c+a)√{(a+b)(b+c)} ≧ 4(ab+bc+ca)
(C4) [中国 2012]
a, b, c∈[0,1] のとき、√|a-b| + √|b-c| + √|c-a| の最大値を求めよ。
(C5) [波蘭 2004]
a, b, c∈R に対して、
√(2a^2+2b^2) + √(2b^2+2c^2) + √(2c^2+2a^2) ≧ √{3(a+b)^2 + 3(b+c)^2 + 3(c+a)^2}
(C6) [墺太利 2008]
a, b, c >0、a+b+c=1 に対して、
√{a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b)} ≦ 1/3
(C7) [土耳古 2005]
a, b, c, d ∈R に対して、
√(a^4 + c^4) + √(a^4 + d^4) + √(b^4 + c^4) + √(b^4 + d^4) ≧ (2√2)*(ad+bc) 【微積分絡み】
(D1) [Putnum 1999]
実関数 f がC^3級で、任意の x∈R に対して、
0 < f'(x)、 0 < f''(x)、 0 < f'''(x) ≦ f(x)
をみたすとき、f'(x) < 2f(x) を示せ。
(D2) [AoPS]
f は [0,1] で単調増加な凸関数で、f(0)=0、f(1)=1 をみたす。
g を fの逆関数とするとき、x^2 ≧ f(x)g(x) を示せ。
(D3) [近大 2008]
実関数 f がC^2級で、任意の x∈R に対して f''(x)≧f(x) をみたすとき、
f(x) ≧ f(0)*{e^x + e^(-x)}/2 + f'(0)*{e^x - e^(-x)}/2
(D4) [山梨医改、不等式bot]
f(0) = f(1) = 0、f'は[0,1]で連続のとき、∫[0,1] {f'(x)}^2 dx ≧ (π^2)*∫[0,1] {f(x)}^2 dx
(D5) [京大院 2011]
実連続関数 f,φ は区間[a,b]上で狭義単調増加のとき、
∫[a,b] f(x)dx = 0 ならば、∫[a,b] f(x)φ(x)dx > 0 を示せ。
(D6) [羅馬尼亜 2004]
fが[0,1]で積分可能で、∫[0,1] f(x)dx = ∫[0,1] xf(x)dx = 1 のとき、∫[0,1] {f(x)}^2 dx ≧ 4 ;ヾ ;ヾ ;";ヾ;" ;ヾ ;ヾ ;
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"" ;ヾ ;ヾﾞヾ ;ヾ ;ヾ;ヾ"ﾞ "iヾ;ヾ;ヾ" ﾞヾ;ヾ;ヾ"
"" 'ヾ;ヾ" || ｌ | ﾞ|/;ヾ" "
" |l ｉ ｌﾞｌ|
,,,, ",,,," ,,, " ∧ ∧ ,,, |l | ﾞ ｜| '' ,, " " ,, 春は不等式！
( ﾟ∀ﾟ)∬ ノﾉ 从ヾ ヽ、 ,,, '' やうやう白くなりゆく山際
'' ｀ ｀ ／ （＿）旦. ／ 少し明かりて、
／ ／ '''' "" 紫だちたる雲の細くたなびきたる
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