不等式への招待 第9章 [無断転載禁止]©2ch.net
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
>>394 ヒントぢゃねぇが… x^(1988+n)- x^n +3 ≧ 9^(1/3)x^(4/3) は n≧30 で成立つらしい。 >>393 (1 - 1/nn)^(n+1)< 1 - 1/n <(1 - 1/nn)^n, (右側) {1,1,…,1,1 - 1/n}の n個で GM-AM する。 n-1 個 (左側) {1,1,…,1,1 + 1/(n-1)}の n+1個で AM-GM する。 n個 {1 - 1/(nn-1)}^(n+1)≧ 1 + 1/(n-1), 逆数をとる。 >>395 それを使うと、示すべき右辺 3(a^4 +b^4 +c^4) にAM-MGを使った形になっちまう… (a^2018 -a^30 +3)(b^2018 -b^30 +3)(c^2018 -c^30 +3)≧ 9(abc)^(4/3) >>374 ・n=2 のとき a^3 +(a+b)bb -(1/3)(a+b)^3 ={(2a^3 - 3aab + b^3) + b^3}/9 ≧(b^3)/9 ≧ 0, ・n=3 のとき a^3 +(a+b)bb +(a+b+c)cc -(1/5)(a+b+c)^3 ={(7/4)x^3 +(23/8)y^3 + 4z^3 - 6xyz + 2x(3x/4 -y)^2 + 2x(3x/4 -z)^2 + 2y(3y/4 -z)^2}/5 >{(7/4)x^3 +(20/7)y^3 + 4z^3 - 6xyz}/5 ≧(3{20^(1/3)}xyz - 6xyz)/5 = 3xyz/7 ≧ 0, >>398 の訂正 ・n=3 のとき a^3 +(a+b)bb +(a+b+c)cc -(1/5)(a+b+c)^3 ={(7/4)a^3 +(23/8)b^3 + 4c^3 - 6abc + 2a(3a/4 -b)^2 + 2a(3a/4 -c)^2 + 2b(3b/4 -c)^2}/5 >{(7/4)a^3 +(20/7)b^3 + 4c^3 - 6abc}/5 (23/8 > 20/7) ≧3({20^(1/3)}abc - 2abc)/5 (AM-GM) ≧ 3abc/7 ≧ 0, 三角形の成立条件 a+b>c、b+c>a、c+a>b を当たり前のように使っているけど、 これの証明って、手元にある本には載っていないんだけど、どうやるんだっけ? まず長さaの線分を描いてから、半径b、cの円を描いてみれば分かる >>370-371 もう2つ... ・例1 等比数列 a_k = a_1・r^(k-1), r = 0.636323 a_1 = √(1-rr)= 0.772413 のとき M = 0.393502 < 0.48 ・例2 a_(2k+1)= a_1・r^k, a_(2k+2)= a_2・s^k, a_1 = 0.7141094 r = 0.359890 a_2 = 0.6408248 s = 0.0921138 のとき M = 0.436598 < 0.48 >>370-371 もう1つ... ・例3 a_1 = 0.66763055 a_2 = 0.66280835 a_k = a_2・r^(k-2) (k>2) r ={(7+4√3)^(1/3)+(7-4√3)^(1/3)- 1}/4 = 0.455410041101 (4r^3 +3rr -1 = 0 の実根) のとき M =(2/3)√{(1+r)(1-r^3)/3}= 0.4418722310911 < 0.48 >>403 ・例1 a_1 = 0.7714225971 (a^8 -9a^6 +30a^4 -30a^2 +9 =0 の正根) r = 0.63632317 ((1+r)(1-r^3)-3rr = 0 の実根) M = r(1-rr)^(3/2)/(1-r^3)= 0.393502193 >>404 ・例3 r ={(2+√3)^(2/3)+(2-√3)^(2/3)- 1}/4 = 0.45541 (4r^3 +3rr -1 = 0 の実根) M ={(207+48√3)^(1/3)+(207-48√3)^(1/3)- 1}/24 (M^3 +(1/8)M^2 -(1/6)M -(1/27)= 0 の実根) >>416 コーシーの不等式より n{Σ[k=1,n]s_k (a_k)^2}≧(Σ[k=1,n]a_k √s_k)^2, 0≦x<y に対して、 (y-x)√y > ∫[x,y]√t dt =(2/3){y^(3/2)- x^(3/2)}, ゆえに、k = 1,2,…,n に対して、 a_k √s_k >(2/3){(s_k)^(3/2)-(s_{k-1})^(3/2)} (ただし、s_0 = 0 とする。) k = 1,2,…,n について足し合わせると、 Σ[k=1,n]a_k √s_k >(2/3)(s_n)^(3/2), 以上により n{Σ[k=1,n]s_k(a_k)^2}>(4/9)(s_n)^3, >>417 0≦x,y に対して、 AM-GM で y^(3/2)+ x^(3/2)+ x^(3/2)≧ 3x√y, ∴ (y-x)√y ≧(2/3){y^(3/2)- x^(3/2)}, [3'] 三変数の相加相乗平均の不等式 「a,b,c > 0 に対し、a^3+b^3+c^3 ≧ 3abc」 を証明せよ。 ただし、不等式評価には次の不等式のみを用いること。 「任意の実数 p,q,r,x,y,z に対して (pp+qq+rr)(xx+yy+zz)≧(px+qy+rz)^2」 [4] xは実数とする。 2+√2 ≦ √{1+sin(x)}+√{1+cos(x)}+√{1-sin(x)}+√{1-cos(x)}≦ √{2(2+√2)}+√{2(2-√2)} を示せ。 最小は x=nπ/2,最大は x=nπ/2 + π/4 のとき。 (http://twitter.com/perfect08641086/ ) 〔類題〕 -1≦y≦1 ⇒ √(1+y)+√(1-y)≦2 等号成立は y=0. 〔問題〕 a,b,c >0 のとき、 (1) a/(b+c)+ b/(c+a)+ c/(a+b)≧ 3/2, (Nesbitt,Shapiro-3) (2) a/(a+b)+ b/(b+c)+ c/(c+a)≦{(a+b+c)^2 + 3(ab+bc+ca)}/{4(ab+bc+ca)}, (3) a/(a+b)+ b/(b+c)+ c/(c+a)≦(ab+bc+ca)^2/{2abc(a+b+c)}, 【オイラーのφ関数】 (1) 奇素数 p、自然数 n に対して、φ(p^n) > √(p^n) を示せ。 (2) 自然数 n (≠2、6) に対して、φ(n) > √(n) を示せ。 あぁぁ、脳が…震え… >>421 (4) a/(a+b)+ b/(b+c)+ c/(c+a)≦ 3{(a+b+c)^2 + (ab+bc+ca)}/{8(ab+bc+ca)} ≦ (a+b+c)^2 / {2(ab+bc+ca)}, (略証) s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc, とおくと (a+b)(b+c)(c+a) = st-u ≧ 8st/9, 3(st+aab+bbc+cca) = s(ss+t) -a(a-b)^2 -b(b-c)^2 -c(c-a)^2 ≦ s(ss+t), したがって (左辺) = (st+aab+bbc+cca)/(st-u) ≦ (1/3)s(ss+t)/(8st/9) = 3(ss+t)/(8t). >>423 (1) ・n=1 のとき p≧3 ゆえ、(p-1)^2 - (p+1) = p(p-3) ≧ 0, φ(p) = p-1 ≧ √(p+1) > √p ・n≧2 のとき n-1 ≧ n/2, φ(p^n) = (p-1)・p^(n-1) ≧ (p-1)・p^(n/2) >>419 [3'] (aa+bb+cc)^2 =(bb+cc+aa)(cc+aa+bb)≧(bc+ca+ab)^2, aa+bb+cc -ab -bc -ca ≧ 0, よって a^3 + b^3 + c^3 - 3abc =(a+b+c)(aa+bb+cc-ab-bc-ca)≧ 0, >>423 (1) p≧3 のとき、(p-1)^2 -(p+1)= p(p-3)≧ 0, p-1 ≧ √(p+1)> √p, φ(p^e)=(p-1)p^(e-1)> p^(e-1/2)≧ √(p^e) (e≧1) (2) ・nが奇数のとき nの素因数は奇素数のみ。 ∴nの素因数pごとに分ければ成立。 ・nが4の倍数のとき e≧2 に対して φ(2^e)= 2^(e-1)≧ 2^(e/2), …成立。(e=2 のときは等号) ∴nの素因数pごとに分ければ成立。 ・n=2・(奇数),n>6 のとき nは 4より大きい素因数(p>4)または平方因子(e≧2)をもつ。 p>4 ならば(p-1)^2 -(2p+1)= p(p-4)> 0, p-1 > √(2p+1)> √(2p) φ(2・p^e)=φ(p^e)=(p-1)p^(e-1)>(√2)p^(e-1/2)≧ √(2・p^e), e≧2 ならば φ(2・p^e)=φ(p^e)=(p-1)p^(e-1)≧ 2p^(e-1)> √(2・p^e) a、b、c >0 に対して、 9 > (4a+b)/(a+4b) + (4b+c)/(b+4c) + (4c+a)/(c+4a) > 3/2 これが中学生向けの問題だと! あぁぁ、脳が…震え… >>428 p≧q ⇒ 4 >(4p+q)/(p+4q)≧1, p≦q ⇒ 1 ≧(4p+q)/(p+4q)> 1/4, だから a≧b≧c ⇒ 4 + 4 + 1 >(中辺)> 1 + 1 + 1/4, a≦b≦c ⇒ 4 + 1 + 1 >(中辺)> 1 + 1/4 + 1/4, 実際には 8.25 > (中辺)≧ 3.0 らしい… >>429 k≧2, p = aab+bbc+cca -3abc ≧ 0, q = abb+bcc+caa -3abc ≧ 0, とおくと、 (a+kb)(b+kc)(c+ka)= kp + kkq +(1+k)^3・abc, (ka+b)/(a+kb)+(kb+c)/(b+kc)+(kc+a)/(c+ka) = 3 +(k-1){(2k-1)p+k(k-2)q}/{kp+kkq+(1+k)^3・abc} ≧ 3, 上限は 2k + 1/k, >>428-430 JJMO(2008)でござった。 >>430 上限は 2k + 1/k。 これをどうやって示すのか分かりませぬ…。 〔大関の不等式〕 単調減少な正数列 x_1 > x_2 > …> x_j > … > x_n > 0 について Π[j=1,n](x_j)^x_{j-1}> Π[j=1,n](x_j)^x_{j+1}, Σ[j=1,n] x_{j-1}log(x_j)> Σ[j=1,n] x_{j+1}log(x_j), ただし、x_{n+1}= x_1,x_0 = x_n とする。 数セミ、2018年3月 NOTE >>431 (ka+b)/(a+kb)+(kb+c)/(b+kc)+(kc+a)/(c+ka) = 2k + 1/k -{[2(k-1)^2 +1]kq + (1/k)(2k-1)(k-1)(k+1)^3・abc}/{kp+kkq+(1+k)^3・abc} ≦ 2k + 1/k, >>433 ありがたや〜 >>432 『大関の不等式』の大関って、不等式の本書いてる大関親子のどっちか? それともNOTEに投稿した読者の名前かな? 地方では、雑誌の発売日は翌日以降になるから、まだ読めていないのでござる。 >>433 > (ka+b)/(a+kb)+(kb+c)/(b+kc)+(kc+a)/(c+ka) > = 2k + 1/k -{[2(k-1)^2 +1]kq + (1/k)(2k-1)(k-1)(k+1)^3・abc}/{kp+kkq+(1+k)^3・abc} qの係数は、2(k-1)^2 +1]kq ぢゃなくて、k(k^2-1)q ではござらぬか? n^5 = 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 をみたす自然数 n を求めるときに、大雑把に n のとりうる値の範囲を絞りたい。 n^5 ≡ 24 (mod 30) から、n = 24+30k で、答えは144なんだが、nの範囲を上手に知りたいのでござる。 下限は、n^5 = 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 > 135^n だから、n>135 上限が 174 より小さいってのを一発でエレガントに出すような不等式ってないでござる蟹? 4^(1/5) = 1.319… n^5 = 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 < 4*133^5 < (7/5)^5*133^5 = 186.2^5 n^5 = 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 < 4*133^5 < (33/25)^5*133^5 = 177.56^5 この方法はイマイチですな。 金利の計算等でよく知られている72の法則から 2^(1/5)≒1.144≒8/7 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 < 111^5 + 110^5 + 133^5 ≒(111*8/7)^5+133^5≒127^5+133^5 <2*133^5≒(133*8/7)^5=152^5 とか >>434 子の清太氏でござる。(今や宇都宮大学も退官されて古希でござるな) 〔補題〕 0 < y < x_1 で F(y)= log(y/x_1)/(x_1 - y)は単調増加 F '(y)={x_1/y -1 -log(x_1/y)}/(x_1 - y)^2 > 0 から出る。 (左辺)−(右辺)= Σ[j=1,n]{x_j・log(x_{j+1})- x_{j+1}・log(x_j)} = Σ[j=1,n]{(x_j-x_1)・log(x_{j+1}/x_1)-(x_{j+1}-x_1)・log(x_j/x_1)} = Σ[j=2,n-1]{(x_j-x_1)・log(x_{j+1}/x_1)-(x_{j+1}-x_1)・log(x_j/x_1)} = Σ[j=2,n-1](x_1-x_j)(x_1-x_{j+1}){F(x_j)-F(x_{j+1})} > 0 (← x_1 > x_j > x_{j+1}) >>435 仰るとおり。死んでお詫びを…(AA略 >>436 等比級数と比較する(ダランベールの判定法?) r = 110/133 とおく。r < 5/6 110 = 133 r, 84 < 90.9774 = 133 r^2, 27 < 75.2445 = 133 r^3, n^5 < 133^5 (1 + r^5 + r^10 + r^15) < 133^5/(1-r^5) = 133^5 /{1-(5/6)^5} = 133^5 /0.59812 = (133 * 1.10826)^5, n < 133 * 1.10826 < 147.4 n = 144 に近い(?) >>436 r = 110/133 とおく。 r^5 < 2/5, 1/(1-r^5)< 5/3, n < 133・(5/3)^(1/5)= 133・1.10757 = 147.306 r^5 < 12/31, 1/(1-r^5)< 31/19, n < 133・(31/19)^(1/5)= 133・1.10286 = 146.68 n=144 に近いかも(?) >>438-441 ありがとうございます。いろいろありますね。 > 金利の計算等でよく知られている72の法則から 全く知らなかったでござる。 >>439 清太氏に不等式の本を書いてもらいたい。 まだ書いていないこと沢山あるだろう…。 >>430 p, q を使うという発想が凄いな。鬼がかっている… >>443 もし出たら、餃子を食いながら解こうかな("^ω^)・・・ (宇都宮) 清太氏の最新刊は、数学のかんどころシリーズの不等式だったけど、あのシリーズは、 『OnePoint双書の精神を継承し、ページを押さえ、テーマを絞り、手軽に読めるように』なので、あんまり載ってないんよな。 やはりここは、大関(親)の絶版書の内容も含む3つの著書を含めて、 まだ書いてないこともたくさん入れて、ページ数制限なしで分厚いのを出してほしい。 喩えるなら、「素数全(朝倉書店、2010)」とか「数学の女王(共立出版、2013)」みたいな感じで。 n∈N、r∈R、r≧1 に対して、 {(n+1)^(r+1)*n^r}/{(n+1)^(r+1) - n^(r+1)} ≧ Σ[k=1 to n] k^r ≧{(n+1)^r*n^(r+1)}/{(n+1)^(r+1) - n^(r+1)} 油断、怠慢、即ち怠惰! (1) a>b>c> 0 のとき、ax^2+bx+c=0 の解αは、|α|<1 をみたすことを示せ。 (2) x^3 + 3x^2 + 5x + 7 = 0 の解αは、1<|α|≦3 をみたすことを示せ。 あぁぁ、脳が…震える… -‐. . : ヘ三≧-_ <: : /: : : : : : : ̄<三≧ /: : : : : /: : : : : : :/: : : : : : <≧ /: : : : : : / : : : : : :./: : : : : : : : : : : :<= /l:冓: : : :/:/: : : : : /: : : : : : : : | : : i: : : \ /´/ ´ 刃: :i :i :{ : : : : :/ : : : : : : : : :| : : | : : : : :.i / /イ´./: :l ‐ 、 :i: :i : : : :i.: : : :.:. | : : |: : : : : :ヘ レ / .// ii| ● i:::::i : : : .::: : : : : :i : : i: : :i : : : :i i´ ´ / . ヾ、. _ ノ::::..::. : .::::: : : : : :i : : i: : :i : : : :| 三=- _____.| |.\.  ̄ /.,:::::: ‐ 、: :/: : /: : :i.: : : : | 三=---- 三三/ .} 冫 ─i´ ,,,. ´ | ● i::: : :, :_., : |: : : :.| ´ / i /i. ./ / ヘ ヾ丶 i ヾ、. _ ノ /4/‖:::| : : : | 冫"~  ̄ / / i . 丶  ̄i  ̄ ./ i i .|}::/: : : :/ / イ ´ / `メ ノ \ \ |/ | |.|.: : : :./ | == /| i ` <丿メノ ` う ア ´ ///: : / \ ___ ┐ __ −=三〈 `ー-\ \ ノメ//''" .//  ̄ _ - = 三三三三 i-'".|三三三三=丶- 、 \ `、ノ// ,.-'''" -=三三三三三三= / /三三三三三=┐ 丶 - ´, / / -=三三三三三三三= . 〈 〈 三三三三三三 .| | └‐- ´i/ /=三三三三三三三三 〈 >>449 (1) ・解が実数のとき(bb-4ac≧0) |x|≧1 ⇒ axx+bx+c ≧ a|x| -b|x| +c =(a-b)|x|+ c > c > 0 ∴|α|< 1 ・解が共軛複素数のとき(bb-4ac<0) |α| = √(αα~)= √(c/a)< 1, (2) x≧-2 ⇒ x^3 +3x^2 +5x +7 =(x+2)(xx+x+3)+ 1 ≧ 1, x≦-3 ⇒ x^3 +3x^2 +5x +7 =(x+3)(xx+5)-8 ≦ -8 中間値の定理より(-3,-2)に実解rがある。 x^3 +3x^2 +5x +7 =(x-r){xx +(3+r)x - 7/r}, xx +(3+r)x - 7/r = 0 は複素数解αをもつ。 解と係数の関係から rαα~ = -7, |α|= √(αα~) =√(-7/r), ∴ √(7/3)< |α| < 2, ・蛇足 r = -1 +(1/3){6(-9+√87)}^(1/3)-(1/3){6(9+√87)}^(1/3) = -2.1795090246 |α|= 1.79213072 >>436 s = 5/4 とおく。 133 > 131.25 = 84 ss, 110 > 105 = 84 s, 84 = 84, n^5 > 84^5 *(s^10 + s^5 +1) = 84^5 *{(5/4)^10 +(5/4)^5 + 1} > 84^5 *{9 + 3 + 1} = 84^5 * 13 >(84 * 5/3)^5 = 140^5, ∴ 141 ≦ n ≦ 147 (>>440-441 ) >>449 (1)は新潟大学ですね。 >>451 〔掛谷の定理〕 F(x)= a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + …… + a_{n-1}x + a_0, a_0 > a_1 > a_2 > …… > a_{n-1}> a_n > 0 ならば、F(x)= 0 の解の絶対値は1より小さい。 (略証) F(0)= a_n >0,F(1)> 0, (1 - 1/x)F(x)/ x^n = a_0 - Σ[j=1,n](a_{j-1} - a_j)/x^j - a_n / x^(n+1), x=1 のときは 0 = a_0 - Σ[j=1,n](a_{j-1} - a_j)- a_n, 辺々引いて (1 - 1/x)F(x) / x^n = Σ[j=1,n+1](a_{j-1} - a_j)(1 - 1/x^j) + a_n(1 - 1/x^{n+1}), ここで、|x|≧1, x≠1 ならば Re{1/x^j}≦|1/x|^j ≦ 1, であるが、等号成立は x=1 に限るので Re{1 - 1/x^j}> 0, ∴ Re{右辺}> 0, ∴ F(x)≠ 0, ∴|α|<1 http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/solution/solution.htm 「經濟研究」の別証明は、あまりにも迂回的で逆行的でござるな。 市大とちゃんと統合成立するかなぁ? >>453 などと嘯いてたら、間違えてしまった......orz F(x)= a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + …… + a_{n-1}x + a_n, >>453-454 あぁぁ…、あなたはなんと勤勉なる事か! 偶々ネットで見かけた掛谷のpdfを見て出題したのでござるが、入試問題まで探してくるとはとはとはとは…! >>451 >>453 その『掛谷の定理』関連について詳しく書かれている本はないかなぁ? 掛谷宗一 http://wp1.fuchu.jp/ ~sei-dou/jinmeiroku/kakeya-souichi/kakeya-souichi.htm 根の大きさの限界 http://nalab.mind.meiji.ac.jp/ ~mk/lecture/ouyoukaiseki4/algebraic-equation/kadai-2003-1/node5.html 逆数バージョン 〔掛谷の定理〕 正係数のn次多項式 F(x)= a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + …… + a_{n-1}x + a_n, 0 < a_0 < a_1 < a_2 < …… < a_{n-1}< a_n について、F(x)= 0 の解の絶対値は1より大きい。 (略証) F(0)= a_n >0,F(1)> 0, (x-1)F(x)= a_0 x^(n+1)+ Σ[j=1,n](a_{n-j+1}- a_{n-j}) x^j - a_n, x=1 のときは 0 = a_0 + Σ[j=1,n](a_{n-j+1}- a_{n-j})- a_n, 辺々引いて (x-1)F(x)= a_0(x^{n+1} -1) + Σ[j=1,n](a_{n-j+1}- a_{n-j})(x^j -1), ここで、|x|≦ 1, x≠1 ならば Re{x^j}≦|x|^j ≦ 1, であるが、等号成立は x=1 に限るので Re{x^j -1}< 0, ∴ Re{右辺}< 0, ∴ F(x)≠ 0, ∴|α|> 1 (系) x → 1/x とすれば >>453 http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/solution/solution.htm >>453 >>459 (1) n次方程式 F(x)= 0 の根{r_k}がすべて実数のとき、 F(x)が極値・停留値をとる点b{F '(x)= 0 の実数解}は次をみたす。 r_min ≦ b ≦ r_max (2) n次多項式 F(x)が停留値をとる点β{F '(x)= 0 の解}は、 F(x)= 0 のすべての根を含む凸領域内にある。 例) すべて単根{α_k}のときは β = Σ[k=1,n]t_k α_k 重み t_k = |β-α_k|^(-2)/{Σ[k=1,n]|β-α_k|^(-2)} >>460 重み t_k = |β-α_k|^(-2)/{Σ[j=1,n]|β-α_j|^(-2)} >>448 r=1 のときは等号になるので r>1 とする。中辺を S(n)= Σ[k=1,n] k^r とおく。問題の式は 1/n > S(n)/n^(r+1)- S(n)/(n+1)^(r+1)> 1/(n+1), S(n)/S(n-1)>{(n+1)/n}^(r+1)> S(n+1)/S(n), S(n)/(n+1)^(r+1)> S(n-1)/n^(r+1) …… 増加列 S(n)/n^(r+1)> S(n+1)/(n+1)^(r+1) …… 減少列 {1/(n+1)}Σ[k=1,n]{k/(n+1)}^r >(1/n)Σ[k=1,n-1](k/n)^r (1/n)Σ[k=0,n](k/n)^r > {1/(n+1)}Σ[k=0,n+1]{k/(n+1)}^r となる。 >>448 (続き) f(x)= x^r (r≧1)は下に凸だから、下の補題より S(n)/{n(n+1)^r}≧ S(n-1)/{(n-1)n^r}, S(n)/{(n+1)n^r}≧ S(n+1)/{(n+2)(n+1)^r}, これと n/(n-1)>(n+1)/n >(n+2)/(n+1) から >>462 が出る。 なお、n >> r では S(n)〜{1/(r+1)}(n + 1/2)^(r+1) 〔補題〕 f(x)が 0<x<1 で下に凸ならば 1)(1/n)Σ[k=1,n]f(k/(n+1))≧{1/(n-1)}Σ[k=1,n-1]f(k/n), 2){1/(n+1)}Σ[k=0,n]f(k/n)≧{1/(n+2)}Σ[k=0,n+1]f(k/(n+1)), (略証) 1) 凸性からJensenにより {(n-k)/n}f(k/(n+1))+(k/n)f((k+1)/(n+1))≧ f(k/n), k=1 から k=n-1 まで加えて(n-1)で割る。 2) 凸性からJensenにより {k/(n+1)}f((k-1)/n)+{(n+1-k)/(n+1)}f(k/n)≧ f(k/(n+1)), k=0 から k=n+1 まで加えて(n+2)で割る。 >>462 > r=1 のときは等号になる は間違いでした。 >>463 2) f(x)が 0≦x≦1 で下に凸ならば… http://suseum.jp/gq/question/2868 〔Popoviciuの不等式〕 f(x) が下に凸ならば、 (a+b+c)/3 = m に対して f(a) + f(b) + f(c) + 3f(m) ≧ 2f((a+b)/2) + 2f(a+c)/2) + 2f((b+c)/2), (略証) a≦b≦c としてよい。 (i) a,b ≦ m ≦ c のとき f(a) + f(b) ≧ 2f((a+b)/2), f(m) + f(c) ≧ 2f((m+c)/2), 2f(m) + 2f((m+c)/2) ≧ 2f((a+c)/2) + 2f((b+c)/2), 辺々たす。 (ii) a ≦ m ≦ b,c のとき f(a) + f(m) ≧ 2f((a+m)/2) 2f((a+m)/2) + 2f(m) ≧ 2f((a+b)/2) + 2f((a+c)/2), f(b) + f(c) ≧ 2f((b+c)/2), 辺々たす。 文献[9]佐藤淳郎(訳)p.41 演習問題1.89 a、b、c ∈ (1、∞) または、a、b、c ∈ (0、1) のとき、 log_a(bc) + log_b(ca) + log_c(ab) ≧ 4{ log_(ab)c + log_(bc)a + log_(ca)b } (参考) 過去スレに、a、b、c ∈ (1、∞) のとき、 左辺 > 定数 定数 > 右辺 > 定数 というのを収集して貼ったような希ガス、ハロゲンガス…。 詳細は…不明ですか? あなた、怠惰…ですね ____________ >/////////::::::丶 //////////:::::::::::::::::::::\ ////////,/:::::::::\:::::::::::::::::::丶 .//////, イ::::::::::::::::::::::::::ヽ::::::::::::::::::\ ////::::::::::::\:::::\::::::::::::::::::::::::::::::::::::::`i //:::::::::::::::::::::::::\:::::\:::::::::::::::::::::::::::::::::::i , __ /::::i:::::::::ヾi:::::::::::::::::::::::::::::\:::::::::::: rヘ:::::::::ト / ! |:::::|::i::::::::::リ:::::::::/:::::,:::f´⌒ヽ .V:::::',::ヾi:::i::::! / ! i:::::|:::|:::::::/:i:i::`:::,:イ≡i ゚゙● i .V::::::'::::y:ィリ ̄ ! .|::::::::|::::::::::::j,:イ≡彡 `==彳 ,, V::::::':::/ ヽ///,i / |::::::::ト::::イi´●゙ ー ´ 7 Y:::::::∧ 人/// /----y i::::::::::::::::::弋゙_丿', / ;} i:::::i ゞ / /ヽ / i:::::::::::\:::∧ '- ´ /ヽイ;;;} !::/i ',./i /ソ ノ \::::ヽ:::::::└-i- ム-<丶tt i };} レ丶 ./ / /::/ /\ \::::::::/ `\\,エィ ´ ;; / ´/ ./ ‖/ .\ ヽ::/ !/,`丶; ; ;イ ノ /! / ! j ヾ `ト ヽ///!ー イ ´//// ソ i \ \//////////./ i \ .\/////// | >>469 A = ln(a),B = ln(b),C = ln(c) とおく。 題意により、A,B,Cは同符号。 正であるとしても一般性を失わない。 S=A+B+C,T=AB+BC+CA,U=ABC とおく。 (左辺) = (B+C)/A + (C+A)/B + (A+B)/C = (ST-3U)/U, (右辺) = 4{C/(A+B) + A/(B+C) + B/(C+A)} = 4{S(SS-2T) + 3U}/(ST-U), (左辺) - (右辺) = {(ST-9U)T + 3SU・F_{-1}) + SSU・F_{-2} }/{T(ST-U)} ≧ 0, ここに U・F_{-1} = TT -3SU ≧ 0, UU・F_{-2} = T^3 -4STU +9UU ≧ 0, なお、 (右辺) ≧ 6 (Nesbitt、Shapiro-3) >>466 f(m) + f((m+c)/2) ≧ f((a+c)/2) + f((b+c)/2), f(m) + f((a+m)/2) ≧ f((a+b)/2) + f((a+c)/2), のところが分からん? 〔補題〕 f(x) は m,nを含む区間で下に凸 m+d,n-d が mとnの中間にあるとき f(m) + f(n) > f(m+d) + f(n-d) (略証) m≠n、0<λ<1 に対して (1-λ)f(m) + λf(n) > f((1-λ)m + λn) = f(m+d) λf(m) +(1-λ)f(n) > f(λm + (1-λ)n) = f(n-d) 辺々たす。 ここに、d = λ(n-m) とおいた。 >>469 〔補題〕 A,B,C が同符号のとき (B+C)/A + (C+A)/B + (A+B)/C ≧ 4{A/(B+C) + B/(C+A) + C/(A+B)}, (略証) AM-HM より A(1/B + 1/C)≧ 4A/(B+C), B(1/C + 1/A) ≧ 4B/(C+A), C(1/A + 1/B) ≧ 4C/(A+B), 辺々たす。 >>470 〔Nesbitt、Shapiro-3〕 A/(B+C) + B/(C+A) + C/(A+B) ≧ 3/2, (左辺) = (A+B+C) {1/(B+C) + 1/(C+A) + 1/(A+B)} - 3 ≧ (A+B+C) * 9/ {2(A+B+C)} - 3 (← AM-HM) = 9/2 - 3 = 3/2. (左辺) = (A+B+C) {1/(B+C) + 1/(C+A) + 1/(A+B)} - 3 = (1/2) {(B+C)+(C+A)+(A+B)} {1/(B+C) + 1/(C+A) + 1/(A+B)} - 3 ≧ (1/2)(1+1+1)^2 - 3 (← コーシー) = 9/2 - 3 = 3/2. C[n,r]は二項係数とする。 (1) n ∈N (n≧2) に対して、2^{2n-1}/\sqrt(n) < C[2n, n] < 2^{2n-1} を示せ。 (2) n+1 以上 2n-1 以下の素数の積は、2^{2n-2} より小さいことを示せ。 ただし、該当する素数がないときは、積を1とする。 (3) n 以下の素数の積は、2^{2n-1} 以下であることを示せ。 >>474 (1) 2^(2n-1) /√n < C[2n,n] < 2^(2n-1) √{2/(n+1)}, nについて帰納法による。 n=2 のとき、8/√2 < C[4,2] < 8√(2/3) ゆえ成立。 n-1 について成り立つならば 2^(2n-3)/√(n-1) < C[2n-2,n-1] < 2^(2n-3)√(2/n), 4√{(n-1)/n} < 4 (2n-1)/2n < 4√{n/(n+1)}, 辺々かけて 2^(2n-1)/√n < C[2n,n] = 2^(2n-1)√{2/(n+1)}, ∴ n についても成立。 >>475 いつもながら実に実に実に〜ぃ、素晴らしいデス! 参考資料まで探して頂き、感謝の極みでござるぞ! >>463 〔補題〕 http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/265 (不等式2) (2)(x=0,x=1 も含む方) 大関: 文献[3] p.130 例題6. >>476 Stirlingの近似 n!≒ √(2π)n^(n+1/2)e^{-n + 1/(12n)}, から C[2n,n]=(2n)!/(n!・n!)≒(4^n)/√(πn)・e^{-1/(8n)}, 〔問題〕 80.60 < Σ[k=1,24]√k < 80.65 を示せ。 面白スレ26-103 >>480 左側: y=√x は上に凸だから、接線が上。 √k > ∫[k-1/2,k+1/2]√x dx =(2/3){(k+1/2)^(3/2)-(k-1/2)^(3/2)}, 右側: y=√x は上に凸だから、割線が下。 {√k + √(k+1)}/2 < ∫[k,k+1] √x dx =(2/3){(k+1)^(3/2)- k^(3/2)}, ただし、1≦k≦4 は別途たす。 〔応用問題〕 {√k + √(k+1)}/2 < ∫[k,k+1] √x dx =(2/3){(k+1)^(3/2)- k^(3/2)}, を用いて次を示せ。 (2) √2 < 99/70 = 1.41428571… (k=8) √2 > 1393/985 = 1.41421320… (k=49) √2 < (19601/6)/2310 = 1.4142135642… (k=288) (3) √3 < (1351/6)/130 = 1.73205128… (k=48) (5) √5 < 2889/1292 = 2.236068111… (k=80) (6) √6 < (485/6)/33 = 2.4494949… (k=24) (7) √7 < 2024/765 = 2.645751634… (k=63) (10) √10 > 117/37 = 3.16216216… (k=9) √10 < (27379/6)/1443 = 3.1622776622… (k=360) (11) √11 < 3970/1197 = 3.316624895… (k=99) (17) √17 > 268/65 = 4.123076923… (k=16) (37) √37 > 882/145 = 6.08275862… (k=36) 面白スレ26 - 109〜110,117 >>484 に追加 (15) √15 < 244/63 = 3.87301587… (k=15) (35) √35 < 846/143 = 5.9160839… (k=35) (101) √101 > 4030/401 = 10.049875311… (k=100) >>428 分子を変えた場合に最大最小値はどうなるのか気になるでござる ( ゚∀゚) ウヒョッ! a、b、c、p、q >0 に対して、 (1) a/(pa+qb) + b/(pb+qc) + c/(pc+qa) (2) b/(pa+qb) + c/(pb+qc) + a/(pc+qa) (3) c/(pa+qb) + a/(pb+qc) + b/(pc+qa) ≧ 3/(p+q) >>486 (3) c(pa+qb)+ a(pb+qc)+ b(pc+qa)=(p+q)(ab+bc+ca), コーシーにより (左辺)≧(a+b+c)^2 /{(p+q)(ab+bc+ca)}≧ 3/(p+q), でござるか。 >>483 左側: 積分計算を避けるなら、 AM-GM より (kk -1/4)^3 ≧(kk)(kk -3/8)(kk -3/8), {(k+1/2)^(3/2) - (k-1/2)^(3/2)}^2 = 2k(kk +3/4) -2(kk -1/4)^(3/2) ≦ 2k(kk +3/4) -2k(kk -3/8) = 9k/4, √k ≧ (2/3){(k+1/2)^(3/2) - (k-1/2)^(3/2)}, 以下は同様。 >>483 右側: {√(k+1)- √k}^2 = 1/{√(k+1)+ √k}^2 ≧ 1/{2(k+1)+ 2k}= 1/{2(2k+1)}, より (右辺)^2 -(左辺)^2 =(4/9){(k+1)^(3/2)- k^(3/2)}^2 -(1/4){√k + √(k+1)}^2 =(1/36)[{4(2k+1)^2 +5}{√(k+1)- √k}^2 - 2(2k+1)] ≧(1/36)[{4(2k+1)^2 +5}/{2(2k+1)}- 2(2k+1)] =(5/36)/{2(2k+1)}, {√k + √(k+1)}/2 <(2/3){(k+1)^(3/2)- k^(3/2)}, 以下は同様。 >>486 (1) 3/p > a/(pa+qb) + b/(pb+qc) + c/(pc+qa) > 0 (2) 3/q > b/(pa+qb) + c/(pb+qc) + a/(pc+qa) > 0 ( ゚∀゚) プゥ ノヽノ) =3'A`)ノ ヒャー くく へヘノ >>486 (1) Max{2/p,3/(p+q)} > a/(pa+qb) + b/(pb+qc) + c/(pc+qa) > min{3/(p+q),1/p}, (2) Max{2/q,3/(p+q)} > b/(pa+qb) + c/(pb+qc) + a/(pc+qa) > min{3/(p+q),1/q}, (3) c/(pa+qb) + a/(pb+qc) + b/(pc+qa) ≧ 3/(p+q), >>487 >>428 >>429 ドイツ Team Selection Test 2010 Vaimo 8, 問2 twitter.com/Inequalitybot/ [129] >>492 ど、どう証明するのかな? ・・・・・・・・ゴクリ。 ヽ|/ / ̄ ̄ ̄\ / ヽ / \ / | | (●)(●)|‖| | / ̄⌒ ̄ヽ U| ||i二二ヽ| | |U\___ノ | | | >>474 (1) 2^(2n-1) /√n < C[2n,n] < 2^(2n) /√(πn), 大関:参考書[3]、p.53 例題10 (1987) W.F.Sierpinski: "Elementary theory of numbers",PWN-Polish Sci. Publ. (1964) ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
read.cgi ver 07.5.5 2024/06/08 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる