不等式への招待 第９章 [無断転載禁止]©2ch.net
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三角形の辺長 a,b,c、外接円の半径R、内接円の半径 r に対して
(1) a^2+ b^2 + c^2 ≦ 9R^2
(2) a^2+ b^2 + c^2 ≦ 8R^2 + 4r^2 >>270
正弦定理より
aa+bb+cc = 4RR｛sin(A)^2 + sin(B)^2 + sin(C)^2},
sin(A)^2 + sin(B)^2 + sin(C)^2 = 2 + 2cos(A）cos(B）cos(C）- 4cos((A+B+C)/2）cos((-A+B+C)/2）cos((A-B+C)/2）cos((A+B-C)/2)
= 2 + 2cos(A）cos(B）cos(C), （← A+B+C=π）
(1)
・鈍角または直角⊿ のときは 左辺 ≦ 2,
・鋭角△ のときは AM-GM と凸性より
cos(A）cos(B）cos(C）≦［｛cos(A)+cos(B)+cos(C)}/3 ]^3 ≦［ cos((A+B+C)/3）]^3 = ［ cos(π/3）]^3 = 1/8,
左辺 ≦ 2 + 1/4 = 9/4,
∴ aa+bb+cc ≦ 9RR,
等号成立は A=B=C（正△）のとき >>270
(2)
正弦定理より
（a+b-c)/c = 2sin(A/2)sin(B/2)/sin(C/2)，etc.
r/R =（2S/(a+b+c))(4S/abc)
=（a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)/(2abc)
= 4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2),
(r/R)^2 = 2[1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)],
したがって、補題より
sin(A)^2 + sin(B)^2 + sin(C)^2
= 2 + 2cos(A)cos(B)cos(C)
≦ 2 + 2[1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)]
= 2 +｛4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)}^2
= 2 +（r/R)^2,
【補題】A+B+C=π, 0<A,B,C のとき、
cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8.
［初代スレ.580］
【系】
｛(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}^2 ≧ (aa+bb-cc)(bb+cc-aa)(cc+aa-bb),
［1992 Poland］44th，1st round（1992 Sept-Dec）No.9
［初代スレ.538(3)］ >>282 〔補題〕
・鈍角または直角⊿のとき
cos(A）cos(B）cos(C）≦ 0 で成立。
・鋭角△のとき
(右辺）-（左辺）
=［1-cos(A)］［1-cos(B)］［1-cos(C)］- cos(A）cos(B）cos(C)
=［1-cos(A)］［1-cos(B)］-4sin(A/2）sin(B/2）cos((A-B)/2）cos(C）+［cos(C)]^2
=｛2sin(A/2）sin(B/2）- cos(C)}^2 + 4sin(A/2）sin(B/2）［1-cos((A-B)/2)］
≧0. >>282 〔系〕
b+c-a = x，c+a-b = y，a+b-c = z,
とおく。（Ravi変換）
（左辺）-（右辺）=（xyz)^2 -（aa+bb-cc)(bb+cc-aa)(cc+aa-bb）
= 2abxyzz -2(a+b)xyz(aa+bb-cc）+ 2cc(aa+bb-cc)^2
= 2{z√(abxy）-c(aa+bb-cc)}^2 + 2(√xy)z(aa+bb-cc){2c√(ab）-(a+b)√(xy)}
≧ 0,
∵ 2c√(ab）= c√{(a+b)^2 -（a-b)^2}
≧（a+b)√{cc -（a-b)^2}
=（a+b)√(xy), >>304 (補足)
右辺： a，b，c の符号によらない。
左辺： a，b，c が同符号のとき（|a|+|b|+|c|）の因子を含まず、最も小さい。
よって a，b，c ≧0 としてよい。
a+b < c のときは aa+bb-cc < 0、右辺 < 0 となり成立。 >>282
> ｛(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}^2 ≧ (aa+bb-cc)(bb+cc-aa)(cc+aa-bb)
>>270 (2) がこんな形になろうとは… >>282 (系）
>>317
Schur の拡張より
（左辺）-（右辺）= p(a-b)(a-c）+ q(b-c)（b-a）+ r(c-a)(c-b）≧ 0
p = 2aa（a+c-b)(a+b-c）≧0,
q = 2bb（b+a-c)(b+c-a）≧0,
r = 2cc（c+b-a)(c+a-b）≧0,
は a，b，c と同順序 任意の二つの非負実数列｛a_n｝,｛b_n｝に対して、
納i,j=1,n]min｛a_ia_j,b_ib_j｝≦納i,j=1,n]min｛a_ib_j,a_jb_i}
USAMO-2000 >>248 (訂正)
(12)
∵ x^3 -（17/9)xx + 1 = 31/(27^3) +（x +17/27)(x -34/27)^2 ≧ 31/19683 = 0.0015750 >>248
(11）AM-GM で
x^3 + a^3 + a^3 ≧ 3aax,
2xx + 2aa ≧ 4ax,
辺々たすと
x^3 + 2xx + 2aa(a+1）≧ a(3a+4),
ここで 2aa(a+1）= 1 すなわち a = 0.565198… とすれば
x^3 + 2xx +1 ≧ a(3a+4)x = 3.21914 x,
3x^(7/3）+ 4(2/7)^(7/4）≧ 3x,
>>320
(12）AM-GM で
x^3 + 4(17/27)^3 =（1/2)x^3 + (1/2)x^3 + 4(17/27)^3 ≧ 3(17/27)xx =（17/9)xx, >>319
〔補題1〕
r_i ≧ 0 のとき、実対称行列 min｛r_i，r_j｝は半正値。
(略証）
0 = r_0 ≦ r_1 ≦ r_2 ≦ …… ≦ r_n としてよい。
Σ[i，j］min｛r_i，r_j｝x_i x_j = Σ[i=1，n］r_i（(x_i)^2 + 2Σ[j=i+1,n] x_i x_j）
= Σ[i=1，n］r_i（(Σ[j=i，n］x_j)^2 -（Σ[j=i+1，n］x_j)^2）
= Σ[i=1，n]（r_i - r_{i-1}）（Σ[j=i，n］x_j)^2
≧ 0,
〔補題2〕
min｛a_i b_j，a_j b_i｝- min｛a_i a_j，b_i b_j｝= min｛r_i，r_j｝x_i x_j
ここに、
r_i = max｛a_i/b_i，b_i/a_i｝
x_i = sgn(a_i-b_i）min｛a_i，b_i｝
とおいた。（証明略）
これらを使うと解けるらしいよ。
USAMO-2000 Problem_6
http://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=2000_USAMO ここの人達は
ソボレフの不等式とかポアンカレの不等式とかの解析の不等式は興味ないの？ >>322
補題1は
g_i(ｔ）=（1/π）log｜１-（r_i)/ｔ｜
∫(-∞，∞）g_i(ｔ）g_j(ｔ）dｔ= min｛r_i，r_j｝
からも出る。
森口・宇田川・一松「数学公式I」岩波全書221（1956）p.242
>>323
ageるな危険 〔Problem 6〕
次の不等式をみたす有界無限実数列： x_0，x_1，x_2，… を１つ与えよ。
i≠j ⇒ ｜x_i - x_j｜｜i - j｜ > 1,
Construct a bounded infinite swquence x_0，x_1，x_2，…… such that ｜x_i - x_j｜｜i - j｜ > 1 for every pair of distinct i，j.
IMO-1991（32nd，Sweden） modified. 実数列 x_0，x_1，x_2，… が有界であるとは、ある定数Cが存在して、
すべての非負整数ｉ≧ 0 に対して ｜x_i｜ ≦ C,
が成り立つことである。 【三重大】
a,b,c>0 に対して、a+b+c ≧ √(3ab) + √(3bc) - √(ca) >>357
√a = A，√b = B，√c = C とおく。
(左辺）-（右辺）=［B -（√3)(A+C)/2]^2 +（1/4)(A-C)^2 ≧ 0,
等号は（a，b，c）=（1，3，1） a,b,c>0、α+β+γ=πのとき、
a+b+c ≧ 2{√(ab)} cosα + 2{√(bc)} cosβ+ 2{√(ca)} cosγ a,b,c＞0,a+b+c=3のとき、
a/(a+bc)+b/(b+ca)+c/(c+ab)≧3/2
を示せ >>322 >>334
補題1は
g_i(ｔ）= √(2/π）sin（r_i･ｔ)/ｔ,
∫[0，∞）g_i(ｔ）g_j(ｔ）dｔ= min｛r_i，r_j｝
からも出る。
森口・宇田川・一松「数学公式I」岩波全書221（1956）p.251 >>361
積和公式
2 sin(at）sin(bt）= cos((a-b)t）- cos((a+b)t),
より
(1/π)∫[0,∞）2sin(at)sin(bt)/tt dt
=（1/π)∫[0,∞)｛1-cos((a+b)t)}/tt dt -（1/π)∫[0,∞)｛1-cos((a-b)t)}/tt dt
=｛(｜a+b｜-｜a-b｜)/π｝∫[0,∞)｛1-cos(u)}/uu du
=（｜a+b｜-｜a-b｜)/2 (*)
= min｛a，b}.
*）高木「解析概論」改訂第三版、岩波書店（1961)
§48，p.169 >>359
実対称行列Ｓ=
｜1， -cosα，-cosγ｜
｜-cosα，1， -cosβ｜
｜-cosγ，-cosβ，1 ｜
とおく。
題意よりα+β+γ = π,
（cosα)^2 +（cosβ)^2 +（cosγ)^2 + 2cosα cosβ cosγ = 1,
AM-GM と 凸性より
-1 < cosα cosβ cosγ ≦｛cos(π/3)}^3 = 1/8,
Ｓの固有多項式は
｜1-x，-cosα，-cosγ｜
｜-cosα，1-x，-cosβ｜
｜-cosγ，-cosβ，1-x｜
= x{xx -3x +2(1 + cosα cosβ cosγ)}
= x f(x),
f(0）> 0,
f(3/2）= -1/4 + 2 cosα cosβ cosγ < 0,
∴ f(x）は2つの正根をもつ。
Ｓの固有値は 0 と 2つの正値。
∴Ｓは半正値。 >>365
〔例題１〕
任意の実数 a,b,c に対して
aa+bb+cc ≧ 2pab + 2qbc + 2rca
となるための、p,q,r についての条件を求めよ。
(解）
｜p｜≦ 1，｜q｜≦ 1，｜r｜≦ 1，pp+qq+rr + 2pqr ≦ 1.
文献[3］（大関）の冒頭の例題
----------------------------------
本問では
p = cos（A)，q = cos（B)，r = cos（C)
pp + qq + rr + 2pqr = 1.
となるから、上記の条件を満たす。 >>345-346
x_i = k｛ｉ･√m - 1/2}， k = 1 + 2√m,
ここに m は平方数でない自然数。｛ a ｝はaの小数部分
（富蘭平太氏） a_1^2+a_2^2+……+a_100^2=1を満たす、非負実数列a_1,a_2,……,a_100に対して、
a_1^2*a_2+a_2^2*a_3+……+a_100^2*a_1<12/35 >>368
(右辺）= 12/35 = 0.342857
（a_1，a_2，…，a_100）=（√(2/3)，√(1/3)，0，…，0）=（0.81650，0.57735，0，…，0)
のとき
(左辺）= 2/(3√3）= 0.38490
（a_1，a_2，…，a_100）=（2/3，2/3，1/3，0，…，0）=（0.66667，0.66667，0.33333，0，…，0)
のとき
(左辺）= 4/9 = 0.44444 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
