不等式への招待 第9章 [無断転載禁止]©2ch.net
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今は昔、高校時代のZ会の通信添削より。
a,b,c≧0に対して、
(1) x^(1/3) + y^(1/3) ≦ {4(x+y)}^(1/3)
(2) x^(1/3) + y^(1/3) + z^(1/3) ≦ {9(x+y+z)}^(1/3) >>222
今見ると簡単すぎて泣ける。
当時は Power Mean とか知らなんだし…。 a,b,c≧0に対して、
(9/4)(a+b+c)^5 ≧ 10(a^3 + b^3 + c^3)(a+b+c)^2 - 9(a^5 + b^5 + c^5) ≧ (a+b+c)^5
右側は簡単だったけど、左側は挫折…。 a,b,c≧0に対して、
a^3 + b^3 + c^3 + (6/7)abc ≧ (1/7)(a+b+c)^3
苦手な非同次の不等式。 >>224
s = a+b+c,t = ab+bc+ca,u = abc,
とおく。
a^3 +b^3 +c^3 = s(ss-3t)+3u,
a^5 +b^5 +c^5 = s^5 - 5(a+b)(b+c)(c+a)(ss-t)= s^5 - 5(st-u)(ss-t),
(左辺)-(中辺)=(5/4)s(ss-6t)^2 + 15(ss-3t)u ≧ 0,
(中辺)-(右辺)= 15(st-u)(ss-3t)≧ 0,
>>225
(左辺)-(右辺)=(3/7){s(ss-3t)+(s^3-4st+9u)}=(3/7)(s・F_0 + F_1)≧ 0,
F_0 = ss-3t ≧ 0,
F_1 = s^3 -4st +9u ≧ 0. >>224
等号成立は
左側:{a,b,c}={0,√3-1,√3+1}
右側:{a,b,c}={1,1,1} 〔Jordanの不等式〕
0<θ<π/2 のとき、
sinθ >(2/π)θ,
文献[3]大関、p.38-39 例題2.
[分かスレ436.016](微分を使わない方法) >>228
ABを直径とする円をcとする。(半径r)
A,Bを通るもう一つの円をCとする。(半径 R >r)
このとき
2R sinθ= AB = 2r,
また横方向のズレ幅からみて、明らかに
弧AcB > 弧ACB,
πr > 2R θ,
辺々掛けて
sinθ >(2/π)θ,
[分かスレ436.016] 〔問題〕
0≦a,b,c≦1 かつ (1-a)(1-b)(1-c)= abc のとき
(a+b+c)(aa+bb+cc-ab-bc-ca)+8abc ≧1, >>226
かたじけのうござる。
次数が高いと、非負の和に変形するのが大変でござるな。 a,b,c≧0に対して、
(1) (a^3 + b^3 + c^3 + 15abc)^3 ≧ 216abc(ab+bc+ca)^3
(2) (a+b+c)^5 ≧ 12{(a^4)(b+c) + (b^4)(c+a) + (c^4)(a+b)} a,b,c≧0に対して、
(3) {a^2 + b^2 + c^2 + 9(ab+bc+ca)}^3 ≧ 1000abc(a+b+c)^3 >>231
全くでござるよ。
>>232 (2)
(左辺)-(右辺)
= s^5 -12(s^3・t -3stt -ssu +5tu)
= s(ss -6t +5u/s)^2 +(2ss -25u/s)u
≧ ssu, (← s^3≧27u) >>231
そうでもない?
>>232 (2)
(a+b+c)^6 ={(a^3+b^3+c^3)+ 3(a+b)(b+c)(c+a)}^2
≧12(a^3+b^3+c^3)(a+b)(b+c)(c+a)
> 12{(a^4)(b+c)+(b^4)(c+a)+(c^4)(a+b)}(a+b+c),
∵
(a+b)(b+c)> b(a+b+c),
(b+c)(c+a)> c(a+b+c),
(c+a)(a+b)> a(a+b+c), >>234
こういう変形はどうやって思いつくんでせうか?
>>235
これはすごい… a,b,c≧0 かつ a+b+c>0 かつ a^2+b^2+c^2-2abc=1 のとき、(a-1)(b-1)(c-1)≧0 >>237
0 < |α|,|β|,|γ| < π/2,
γ = α±β,
(a,b,c)=(cosα,cosβ,cosγ)
のとき
(a-1)(b-1)(c-1)< 0 ?
(1-aa)(1-bb)=(c-ab)^2 ≧ 0 ゆえ
a-1,b-1,c-1 は同符号だが… ごめんなさい。問題文を書き間違えていました。(切腹)
a,b,c≧0 かつ a+b+c>3 かつ a^2+b^2+c^2-2abc=1 のとき、(a-1)(b-1)(c-1)≧0
↑ 自然数 n に対して、
n+3 < {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)}^(1/6) < n+(7/2)
どっかの入試問題だったと思うけど、メモしていない…。 >>240
左側
(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)-(n+3)^6 =(n+3)(3n^4 +31n^3 +102nn +103n -3)> 0,
右側は GM-AM で
蛇足だが…
{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)}^(1/6)= n +7/2 -35/(24n)+245/(48nn)-23597/(1152n^3)+69139/(768n^4)-34892549/(82944n^5)+340456375/(165888n^6)-… >233 (3)
s = a+b+c,t = ab+bc+ca,u = abc,
とおく。
同次式なので u=1 としてもよい。s≧3,t≧3.
t(tt-4s+3)≧ t^3 -4stu +9uu ≧ 0,
∴ t ≧ √(4s-3)≧ s(10-s)/7,
∴ ss+7t ≧ 10s,
∴ aa+bb+cc + 9(ab+bc+ca)≧ 10(a+b+c),
かなあ。 >>232 (1)
F_2 = s^4 -5sst +4tt +6su ≧ 0, (Schur)
これをtについて解くと
t ≦[5ss -√{3s(3s^3 -32u)}]/8,
u=1 として
t ≦[5ss -√{3s(3s^3 -32u)}]/8 ≦(s^3 +18u)/{3(s+2)},
∴(s^3 -3st+3u)+ 15u ≧ 6t,
∴ a^3 +b^3 +c^3 + 15abc ≧ 6(ab+bc+ca),
かなあ。
>>233 (3) >>242
√(4s-3)≧ s(10-s)/7 のところ
s≧4 のとき
√(4s-3)≧ 25/7 ≧ s(10-s)/7,
3≦s≦4 のとき
(4s-3)-{s(10-s)/7}^2 =(s-3)(49-49s+17ss-s^3)/49 ≧0, a,b,c ∈R のとき
(1) (a^2 + b^2 + c^2)^2 ≧ 3(a^3b + b^3c + c^3a)
(2) a^4 + b^4 + c^4 ≧ 2(a^3b + b^3c + c^3a) - (ab^3 + bc^3 + ca^3)
(3) a^4 + b^4 + c^4 ≧ 6(a+b+c)(a^2b + b^2c + c^2a) - 17{(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2}
(4) 3(a^4 + b^4 + c^4 - a^3b + b^3c + c^3a) ≧ a^2(b-c)^2 + b^2(c-a)^2 + c^2(a-b)^2
a,b,c≧0 のとき
(11) a^3 + b^3 + c^3 ≧ 3(ab^2 + bc^2 + ca^2) - 2(a^2b + b^2c + c^2a)
(12) a^3 + b^3 + c^3 ≧ (17/9)(a^2b + b^2c + c^2a) - (8/3)abc
(13) a^4 + b^4 + c^4 ≧ (9/4)(ab^3 + bc^3 + ca^3) - (5/4)(a^3b + b^3c + c^3a)
(14) a^4 + b^4 + c^4 ≧ 6{(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2} - 5(a^3b + b^3c + c^3a)
(15) a^4 + b^4 + c^4 ≧ (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 + 2(a^3b + b^3c + c^3a - ab^3 - bc^3 - ca^3)
(16) a^4 + b^4 + c^4 ≧ abc(a+b+c) + (2√2)(a^3b + b^3c + c^3a - ab^3 - bc^3 - ca^3)
巡回式は嫌いでござる。 >>242
> ∴ t ≧ √(4s-3)≧ s(10-s)/7,
√(4s-3)≧ s(10-s)/7 って、不等号の向きが一定でないような… >>245
まづ AM-GMより s ≧ 3u^(1/3)= 3,
あとは >>243 (下)を参照。 >>244
〔4次巡回不等式の基本定理〕(定理2.3.3)
a^4 + b^4 + c^4 - p(a^3b+b^3c+c^3a)- q(ab^3+bc^3+ca^3)+{(pp+pq+qq)/3 -1}(aabb+bbcc+ccaa)+{p+q-(pp+pq+qq)/3}abc(a+b+c)
={(A-B)^2+(B-C)^2+(C-A)^2}/6,
ただし、A,B,Cは
A = aa-bb +pbc -qca,
B = bb-cc +pca -qab,
C = cc-aa +pab -qbc,
(1)(p,q)=(3,0)
(2)(p,q)=(2,-1) 例題2.3.10(8)*
(3)(p,q)=(6,0) 例題2.3.10(7)
(4)(p,q)=(1,0) 例題2.3.10(4)
(13) 例題2.3.11(2) (2)を精密化したもの。 {右辺の係数を α+1、-α として α≦1.379…}
(14) 例題2.3.12(3)次の(15)から出る。{右辺の係数をγ+1,-γ として γ≦5.0779…}
(15) 例題2.3.11(5)
(16) 例題2.3.12(4)
* a:b:c = sin(π/9):{sin(2π/9)-sin(π/3)}:sin(2π/9)
のとき等号が成立するらしい。
文献[8]安藤「不等式」数学書房(2012)
§2.3(4次斉次不等式) >>244
min{a,b,c}= m とし、{a,b,c}={m,m+x,m+y}とする。(x,y≧0)
(11)
(左辺)-(右辺)= m(xx-xy+yy)+(x^3 + 2xxy -3xyy + y^3)≧0,
∵ x^3 +2xx -3x +1 ≧ 3x^(7/3)-3x + 1 ≧ 1 - 4・(3/7)^(7/4)= 0.091969
(12)
(左辺)-(右辺)= 10m(xx-xy+yy)/9 +{x^3 -(17/9)xxy + y^3}≧0,
∵ x^3 -(17/9)xx + 1 ≧ 1 -2・(17/27)^(3/2)= 0.00078779, >>248
xx-xy+yy ≧ 0,
(左辺−右辺)はmについて単調増加。
∴{a,b,c}の差(x,y)を固定して一斉に増加すれば増加する。
∴ m=0 の場合を考えれば十分。
(sageるのを忘れてしまった…) 三角形の辺長 a,b,c、外接円の半径R、内接円の半径 r に対して
(1) a^2+ b^2 + c^2 ≦ 9R^2
(2) a^2+ b^2 + c^2 ≦ 8R^2 + 4r^2 >>270
正弦定理より
aa+bb+cc = 4RR{sin(A)^2 + sin(B)^2 + sin(C)^2},
sin(A)^2 + sin(B)^2 + sin(C)^2 = 2 + 2cos(A)cos(B)cos(C)- 4cos((A+B+C)/2)cos((-A+B+C)/2)cos((A-B+C)/2)cos((A+B-C)/2)
= 2 + 2cos(A)cos(B)cos(C), (← A+B+C=π)
(1)
・鈍角または直角 のときは 左辺 ≦ 2,
・鋭角△ のときは AM-GM と凸性より
cos(A)cos(B)cos(C)≦[{cos(A)+cos(B)+cos(C)}/3 ]^3 ≦[ cos((A+B+C)/3)]^3 = [ cos(π/3)]^3 = 1/8,
左辺 ≦ 2 + 1/4 = 9/4,
∴ aa+bb+cc ≦ 9RR,
等号成立は A=B=C(正△)のとき >>270
(2)
正弦定理より
(a+b-c)/c = 2sin(A/2)sin(B/2)/sin(C/2),etc.
r/R =(2S/(a+b+c))(4S/abc)
=(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)/(2abc)
= 4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2),
(r/R)^2 = 2[1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)],
したがって、補題より
sin(A)^2 + sin(B)^2 + sin(C)^2
= 2 + 2cos(A)cos(B)cos(C)
≦ 2 + 2[1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)]
= 2 +{4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)}^2
= 2 +(r/R)^2,
【補題】A+B+C=π, 0<A,B,C のとき、
cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8.
[初代スレ.580]
【系】
{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}^2 ≧ (aa+bb-cc)(bb+cc-aa)(cc+aa-bb),
[1992 Poland]44th,1st round(1992 Sept-Dec)No.9
[初代スレ.538(3)] >>282 〔補題〕
・鈍角または直角凾フとき
cos(A)cos(B)cos(C)≦ 0 で成立。
・鋭角△のとき
(右辺)-(左辺)
=[1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)]- cos(A)cos(B)cos(C)
=[1-cos(A)][1-cos(B)]-4sin(A/2)sin(B/2)cos((A-B)/2)cos(C)+[cos(C)]^2
={2sin(A/2)sin(B/2)- cos(C)}^2 + 4sin(A/2)sin(B/2)[1-cos((A-B)/2)]
≧0. >>282 〔系〕
b+c-a = x,c+a-b = y,a+b-c = z,
とおく。(Ravi変換)
(左辺)-(右辺)=(xyz)^2 -(aa+bb-cc)(bb+cc-aa)(cc+aa-bb)
= 2abxyzz -2(a+b)xyz(aa+bb-cc)+ 2cc(aa+bb-cc)^2
= 2{z√(abxy)-c(aa+bb-cc)}^2 + 2(√xy)z(aa+bb-cc){2c√(ab)-(a+b)√(xy)}
≧ 0,
∵ 2c√(ab)= c√{(a+b)^2 -(a-b)^2}
≧(a+b)√{cc -(a-b)^2}
=(a+b)√(xy), >>304 (補足)
右辺: a,b,c の符号によらない。
左辺: a,b,c が同符号のとき(|a|+|b|+|c|)の因子を含まず、最も小さい。
よって a,b,c ≧0 としてよい。
a+b < c のときは aa+bb-cc < 0、右辺 < 0 となり成立。 >>282
> {(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}^2 ≧ (aa+bb-cc)(bb+cc-aa)(cc+aa-bb)
>>270 (2) がこんな形になろうとは… >>282 (系)
>>317
Schur の拡張より
(左辺)-(右辺)= p(a-b)(a-c)+ q(b-c)(b-a)+ r(c-a)(c-b)≧ 0
p = 2aa(a+c-b)(a+b-c)≧0,
q = 2bb(b+a-c)(b+c-a)≧0,
r = 2cc(c+b-a)(c+a-b)≧0,
は a,b,c と同順序 任意の二つの非負実数列{a_n},{b_n}に対して、
納i,j=1,n]min{a_ia_j,b_ib_j}≦納i,j=1,n]min{a_ib_j,a_jb_i}
USAMO-2000 >>248 (訂正)
(12)
∵ x^3 -(17/9)xx + 1 = 31/(27^3) +(x +17/27)(x -34/27)^2 ≧ 31/19683 = 0.0015750 >>248
(11)AM-GM で
x^3 + a^3 + a^3 ≧ 3aax,
2xx + 2aa ≧ 4ax,
辺々たすと
x^3 + 2xx + 2aa(a+1)≧ a(3a+4),
ここで 2aa(a+1)= 1 すなわち a = 0.565198… とすれば
x^3 + 2xx +1 ≧ a(3a+4)x = 3.21914 x,
3x^(7/3)+ 4(2/7)^(7/4)≧ 3x,
>>320
(12)AM-GM で
x^3 + 4(17/27)^3 =(1/2)x^3 + (1/2)x^3 + 4(17/27)^3 ≧ 3(17/27)xx =(17/9)xx, >>319
〔補題1〕
r_i ≧ 0 のとき、実対称行列 min{r_i,r_j}は半正値。
(略証)
0 = r_0 ≦ r_1 ≦ r_2 ≦ …… ≦ r_n としてよい。
Σ[i,j]min{r_i,r_j}x_i x_j = Σ[i=1,n]r_i((x_i)^2 + 2Σ[j=i+1,n] x_i x_j)
= Σ[i=1,n]r_i((Σ[j=i,n]x_j)^2 -(Σ[j=i+1,n]x_j)^2)
= Σ[i=1,n](r_i - r_{i-1})(Σ[j=i,n]x_j)^2
≧ 0,
〔補題2〕
min{a_i b_j,a_j b_i}- min{a_i a_j,b_i b_j}= min{r_i,r_j}x_i x_j
ここに、
r_i = max{a_i/b_i,b_i/a_i}
x_i = sgn(a_i-b_i)min{a_i,b_i}
とおいた。(証明略)
これらを使うと解けるらしいよ。
USAMO-2000 Problem_6
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