面白い問題おしえて〜な 二十四問目 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>161 相手に手番を渡す場合に 出目に関わらず 4+9K 出目が3又は4で0、1、5+9K 出目が2又は5で8+9K で相手に手番を渡せば必勝という意味ですね 出目に関わらず 4+9K の場合には相手は4の目を出します 出目が3又は4で1+9Kの場合には相手は1の目を出します 出目が3又は4で5+9Kの場合には相手は5の目を出します 出目が2又は5で8+9Kの場合には相手は4の目をだします >>168 はい、その通りです。 >>169 下図左側は>>151 の内容を見やすく表示し直したものです。 手番が来たときの合計数と、出目の状態から、必勝パターンか、必敗パターンかを判断できるものです。 そして、その右側には、それぞれの場合の対応手を添えました。 合計:_出目状態_:対応手 ----:123456: 8+9k:○×○○×○:5 7+9k:○○○○○○:3,6 6+9k:○○○○○○:2,3,4 5+9k:○○××○○:4 4+9k:××××××:無し 3+9k:○○○○○○:1,5 2+9k:○○○○○○:2,3 1+9k:○○××○○:3,4 0+9k:○○××○○:4 >>169 への対応手は、上から順に、8+9kなので5を出し4+9k型へ、2+9kなので2を出し4+9k型か3を出して5+9kの出目3型へ、 1+9kなので3を出して4+9k型か4を出して5+9kの出目4型へ、3+9kなので1を出して4+9k型か5を出して8+9kの出目5型へ 自然数nを選び、2nを元に3倍して2を足す操作を繰り返すと nに関わらず、いつかは2の累乗になる? >>170 に補足します。 これまでにも何度か書きましたが、一般式での判定はゴール近くでは少々変化します。 それに伴い、また、ゴールを越える手は負けになってしまうため、必勝手も変化します。 ゴール近辺での判定表と、対応手をアップします。 __:----:123456: 31:4+9k:××××××:無し 30:3+9k:×○○○○×:1 29:2+9k:○○○○○○:1,2 28:1+9k:○○××○○:3 27:0+9k:○○××○○:4 26:8+9k:○×○○×○:5 25:7+9k:○○○○○○:3,6 24:6+9k:○○○○○○:2,3,4,6 23:5+9k:○○××○○:4 >>172 残り0〜8までの対応手ですね 見たところ間違いはありませんでした >.170 意味がよくわかりません 31を分解すると4+9K(9の倍数)・・・・・・になると思いますが 1+9Kで1を出したら、出目1、0+9Kになりますが 5+9Kで5を出したら、出目5、0+9Kになりますが 8+9Kで4を出したら、出目4、4+9Kになりますが >>174 >>31を分解すると4+9K(9の倍数)・・・・・・になると思いますが 分解という言葉はよく分かりませんが、31は4+9k(型)に分類されます。 >>1+9Kで1を出したら、出目1、0+9Kになりますが なりません。(1+9k)+1=2+9k です >>5+9Kで5を出したら、出目5、0+9Kになりますが なりません。(5+9k)+5=10+9k=1+9(k+1)=1+9k’ です >>8+9Kで4を出したら、出目4、4+9Kになりますが なりません。(8+9k)+4=12+9k=3+9(k+1)=3+9k' です 4+9kなどは、残りの数を表す値では無く、合計値です。 インスタント虎の巻を作るとしたら、 ・残りのサイの目の合計が9の倍数になるようにして手番を渡す。 ・それが出来ないときは4を出して手番を渡す。 これだけでいけますね。 そして、これだけを知っていて、出題したのなら、私の回答には困惑するでしょう。 今そんな状態なんじゃ無いですか? >>出題者さん 先手4後手1先手4後手2。 先手4後手2先手4後手6。 >>177 なるほど、>>176 は終盤状態で使える>>172 だけをみていけそうと思ったけど、 ダメなようですね。>>176 は撤回します。 やはり、>>170 、および、>>172 に書かれている対応手を虎の巻とします。 >>171 a_{k+1}= 3 a_k + 2, a_{k+1}+ 1 = 3(a_k + 1)= … =(3^k)(a_1 + 1) =(3^k)(2n+1), いつかは2ベキになる? 全ての内角が等しく、辺の長さが{1,2^2,3^2,...,12^2}の並び替えであるような凸12角形は存在するか 西暦-gonで{1^2,2^2,3^2,…,西暦^2} >>180 辺長を順に、a[0],a[1],a[2],...,a[11]とすると、 Σ[i=0,11]a[i]*sin(i*π/6)=Σ[i=0,11]a[i]*cos(i*π/6)=0 が必要。√3の無理性を使って整理すると、i=0,1,2,3,...に対し a[i]^2+a[i+2]^2=a[i+6]^2+a[i+8]^2 これを満たす、{1,2^2,3^2,...,12^2}は、特定のiについて成立するものでさえ5組。 異なるiについて同時に成立するものもせいぜい二組しかなく {1,2^2,3^2,...,12^2}と{a[0],a[1],...,a[11]}が一致するものは見つからない。 >>185 i=0,1,2,…,5 に対して a[i] + a[i+2]= a[i+6]] + a[i+8], 特定のiについて成立するもの: {1,4,7,8} {1,8,9,12} {2,5,10,11} {2,6,7,9} {3,7,9,11} の5組 {1,5,5,7}は省いた。 A、B、Cを、同じ文字は連続しないように一列にn個並べるとき、Aがk個含まれる並べ方の個数A(n、k)を求めよ。 >>187 A(n,k)のうち、末尾がAのものを f(n,k),末尾がA以外のものを g(n,k)とする。 A(n,k) = f(n,k) + g(n,k) 漸化式 f(n+1,k)= g(n,k-1), g(n+1,k)= 2f(n,k)+ g(n,k), 初期値 f(n,0)= 0, f(n,1)= g(n,0) = 2, f(n,2)= g(n-1,1)= 4n-10, Σ[n=2k-1,∞]f(n,k) z^n ={(1+z)/2z}{2zz/(1-z)}^k, Σ[k=1,∞]Σ[n=2k-1,∞]f(n,k) z^n t^k =(1+z)zt/(1-z-2tzz), Σ[n=2k,∞]g(n,k)z^n ={(1+z)/(1-z)}{2zz/(1-z)}^k, Σ[k=0,∞]Σ[n=2k,∞]g(n,k) z^n t^k =(1+z)/(1-z-2tzz), Σ[n=2k-1,∞]A(n,k)z^n ={(1+z)(1+tz)/(1-z)}{2zz/(1-z)}^k, Σ[k=0,∞]Σ[n=2k-1,∞]A(n,k) z^n t^k =(1+z)(1+tz)/(1-z-2tzz), むむむ、解けぬ。。。 >>187 A(n,k)の文字列において、B,CをXに置き換えた文字列をA~(n,k)とし、これを考える これは、先頭がAかXか、最後がAかXかにより、四つに分類できる AA型(n≧3,k≧2) k個のAとk-1個のXが交互に並ぶ文字列 AXAX...XA のXのあるところに、n-(2k-1)個のXを挿入すると、A~(n,k)になる これは、H[k-1,n-2k+1]=C[n-k-1,k-2] 通りあり、k-1カ所ある各Xの先頭をAかBに戻すとA(n,k)に戻るので、 2^(k-1)*C[n-k-1,k-2] XA型およびAX型(n≧2,k≧1) k個のAとk個のXが交互に並ぶ文字列 のXのあるところに、n-2k個のXを挿入すると、A~(n,k)になる これは、H[k,n-2k]=C[n-k-1,k-1] 通りあり、kカ所ある各Xの先頭をAかBに戻すとA(n,k)に戻るので、 2^k*C[n-k-1,k-1] XX型(n≧1,k≧0) k個のAとk+1個のXが交互に並ぶ文字列 のXのあるところに、n-2k-1個のXを挿入すると、A~(n,k)になる これは、H[k+1,n-2k-1]=C[n-k-1,k] 通りあり、k+1カ所ある各Xの先頭をAかBに戻すとA(n,k)に戻るので、 2^(k+1)*C[n-k-1,k] これら四つの合計がA(n,k)で、2^(k-1) {1+ 4(n-k)(n-2k+1)/(k(k-1))} C[n-k-1,k-2] 通り? >>180 数学オリンピックの過去問に似た問題あったな >>189 正解ナリ。考え方も同じでおじゃる。 並べることができるのは n≧2k-1 のときで、 (1) A〜A (2) A〜X or X〜A (3) X〜X の場合を考える際に、(1)しかない場合とか、(1)(2)しかない場合があるので、 k=0 (n≧1) k=1 (n=1, n=2, n≧3) k=2 (n=3, n=4, n≧5) k≧3 (n=2k-1, n=2k, n≧2k+1) に分けて計算して、最終的に、 A(1,1) = 1、 (n, k)≠(1,1)のとき、{4n^2 - 3(3k-1)n + 9k^2 - 5k}*2^(k-1)*(n-k-1)!/{(k!)(n-2k+1)!} とまとめられるでおじゃる。 何かの確率の本に載っていた問題。 n 頭の動物の群れから m 頭を捕らえ、目印をつけて逃がす。 (1) 目印のついた r 頭を得るために k 頭捕らえる必要がある確率 Q(k, r) を求めよ。 (2) 目印のついた r 頭を得るために捕らえた動物の期待数 E(r) を求めよ。 とりあえず答えだけ(以下、nCr=C(n,r)と表す) (1) Q(k,r) = C(k-1,r-1)*C(n-k,m-r)/C(n,m) (2) E(r) = r(n+1)/(m+1) >>194 >>192 n頭の動物のうちどのm頭に目印をつけるかということと、 n頭の動物をどういう順番で捕まえるかということは 独立にランダムであると考えると、 目印をつけてから捕まえる順序を決めても、捕まえる順番を決めてから目印をつけても 確率や期待値には影響しないので、後者で考える。 (1) 捕らえる順番のうち、k-1頭目までのうちr-1頭に目印がつき、 ちょうどk頭目にも目印がつき、 残るn-k頭のうちm-r頭にも目印がつく状況を考えるので、 目印をつけるm頭の選び方C(n,m)のうち、 上記条件をみたすm頭の選び方がC(k-1,r-1)*C(n-k,m-r)で、 確率は Q(k,r) = C(k-1,r-1)*C(n-k,m-r)/C(n,m) (2) 捕らえる順番に並べたn頭の動物を、目印をつけるm頭を間仕切りとみなして 目印をつけないn-m頭をm+1のブロックに分割したものとみなすと、目印をつける m頭の選び方は、和がn-mとなるm+1個の非負整数の列 (a(1),a(2),…,a(m+1)), a(1)+a(2)+a(3)+…+a(m+1)=n-m と1対1に対応する。 a(i)の期待値はいずれも(n-m)/(m+1) r頭目の目印のついた動物より前に捕まえる目印のついていない動物の数は a(1)+a(2)+…+a(r)なので、その期待値はr(n-m)/(m+1) よって、r頭目の目印のついた動物が捕まえる順番の何番目であるかの期待値は E(r) = r+r(n-m)/(m+1) = r(n+1)/(m+1) >>192 問題文は相当に変な文章だからやる気起きない f(z)=z/sinz,z∈Cにおいて, (1) z=0はf(z)の除去可能特異点であることを示せ。 (2) f(z)の極をすべて求めよ、また、極での留数を求めよ。 (3) z=0まで定義域を拡大したf(z)のz=0におけるマクローリン展開の2次の項までを求め よ。 (1).(2).(3)の解答をお願い致します。 👀 👀 Rock54: Caution(BBR-MD5:ae2afb6cd11f3e92f5cd12f037b4c3ac) 別の板から転載 137 ( ・∀・)つ〃∩ヘェーヘェーヘェー sage 2017/10/15(日) 01:45:06.10 打ち切りラノベにあったクイズが面白かったので あなたはお祭りの屋台で行われている一回三千円のゲームに参加しています。 正解すれば九千円が貰え、失敗すれば何も貰えません。 ゲームの内容は、三つの箱の中から、中身のある一つの箱を見つけるというものです。 あなたは、三つの箱の中から一つの箱を選びました。すると、店主はある提案をしてきました。 「残りの二つのうち、ハズレのものを一つだけ取り除く。その上で、あなたはもう一度選び直すことができる」 さて、あなたは選ぶ箱を変えるべきでしょうか? それとも、そのままにすべきでしょうか? モンティホールのように一連の処理として書かれてないから意味ない つまり、今オレは散財したい気分なので変えるのが正解 てかこれ普通にこなしても期待値高すぎひん >>202 かならず選び直しができるという前提があったなら変えたほうが期待値は6000円 になるだろ サイコロ31?ですが 31を4+9+9+9に分解します 先手必勝で4の目です、9の倍数は後手必勝になります 3、4出目で・・・(3,4、7,8)+9の倍数叉は3、4、7,8 2、5出目で・・・・5+9の倍数叉は5 赤 @ A B C D E F G H I 青 @ A B C D E F G H I 黄 @ A B C D E F G H I 交互に数字を消していきます、1から3まで連番で数字を消すことができます 例えばB、C、DとかB、C、Gは連番でないので消せません 待ったは出来ません、必ず一つは消していきます 最後の数字を消したほうが負けです 先手必勝か後手必勝か、どのように消していったらよいでしょうか? >>206 同じ色の数字のみ連番で消せます、一度に違う色をまたがっては消せません >>208 どうもすいませんでした。 B、C、Dは連番で消せます 先手が赤のBを消したら後手は赤の@、A、Cとは消せません @、Aは消せますが >>198 f(z)=x/(x-x^3/3!+x^5/5!+…)=1/(1-x^2/3!+x^4/5!+…)=1+x^2/3!+((1/3!)^2-1/5!)x^4+… sinz=(e^iz-e^-iz)/2i=0 e^2iz=1 z=nπ f(z+nπ)=(z+nπ)/sin(z+nπ)=(z+nπ)/(-1)^nsinz=(-1)^n(1+nπ/z)f(z) Res(nπ,f(z))=(-1)^nnπ >>206 先手必勝 先手は初手、例えば黄色の56を消す 赤と青への着手に対しては、相手と同じように消し、赤と青で同じ形を保つようにして消す。 黄色は四つの塊が二つある状態に手をつけることになるが(これを(4,4)と表す)、これは必敗形。 この状態から手をつけると、最初に手をつけた方が最後の一つを消すことになり、負ける。 他にも、(1,2,3)、(2,2)、(1,1,1)も必敗形なので、これらの形にして手番を渡せばよい。 >>202 この文面のままでは、店主の提案が、 1.当たりを引いていた時に限定して行われているもの 2.常に行われるもの 3.気まぐれに行われるもの のどれなのか不明。 >>216 ああそうか 店主がこの時点で解を知っているかどうかか ドヤ顔でモンティーホール問題を持ち出した奴は間違い 選ぶ箱を変えないのが正解 自分が選んでから店主が提案してきたのは、 店主が当たりの箱を知っていて、コッチが当たりの箱を選んでしまったので変えさせようと思っているから 中途半端にモンティーホール問題を知っていると、まんまと罠に嵌まる >>214 はい、正解です。 偶数は偶数個、奇数(1)は偶数個 1010 0100→4 1010 0100→4 1010 1010→10 ーーーー 1010→10 1010 −−−− 0000にして手渡す 当たりを選んでいようがそうでなかろうが提案してくるんじゃないのかこれ 店主が当たり外れの箱を事前に知っていて残りの箱から必ず外れを見せるという 前提でなければ確率の問題にならないよな だからモンティの亜種にさえなってないというか、設問になってないし意味がないっての 引用にあるように"クイズ"なんだろうし、少なくともこの板このスレではいいだろもう 引き算(差)の問題です。 例 B A 3と2の差は1です @ では ○ ○ ○ 1から6までの数字を入れてください ○ ○ ○ 1〜6を一度だけ入れる 左上-右上の場合は解なし |左上-右上|の場合は 1,6,4 -> 5,2 -> 3 2,6,5 -> 4,1 -> 3 4,1,6 -> 3,5 -> 2 4,6,1 -> 2,5 -> 3 5,2,6 -> 3,4 -> 1 5,6,2 -> 1,4 -> 3 6,1,4 -> 5,3 -> 2 6,2,5 -> 4,3 -> 1 の8通り >>227 はい、正解です、次は1から10です 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 1から10まで一度だけ○に入れてください 1辺の長さ1の正方形の頂点からの距離が全て有理数となる平面上の点は存在するか? 四角錐の体積が2次元方程式の自然解であれば成立する 〔問題1〕 1辺の長さが1の正三角形ABCがある。 AP=a,BP=b,CP=c がすべて有理数である点Pを全有理距離点とよぶ。 (初級問題) 正三角形の辺上および外接円の周上に 全有理距離点が無限個あることを証明してください。 (上級問題) 正三角形の内部にある全有理距離点 (3個の距離)を挙げてください。 (数セミ,2009年5月/8月) [エレ解スレVol6.440-442] [エレ解2スレ(2016.11).636] >>232 リマソン(2a-b=1)上に無限個ある。 (M先生のメモ) a =(n^4 +10n^2 +9)/L, b =(n^4 -4n^3 +10n^2 +12n+9)/L, c =(8n^3 +24n)/L L = n^4 +4n^3 +10n^2 -12n+9, ただし,nは自然数で n≧5 とする。 [エレ解スレVol6.449-450] [エレ解2スレ(2016.11).637] http://www.geocities.jp/elegantnakama/mizutani.html Q.異なるn個の点を通る次数が(n-1)以下の多項式は存在するのだろうか?もし存在するならばどんな形で書けるか? という問いについて問題を作ってみました! 以下α_1,…,α_nを相違なる実数とし、β_1,…,β_nは任意の実数とします。 ⑴g(x)=(x-α_1)(x-α_2)…(x-α_n) とする。g'(α_k)≠0(k=1,…,n)で成り立つ事を示せ。 ⑵f(x)を(n-1)次以下の多項式とする。 f(x)/g(x)= A_1/(x-α_1)+…+ A_n/(x-α_n) と書ける事を示せ。 ⑶⑵の両辺に(x-α_k)をかけ、極限をとる事により A_k=f(α_k)/g'(α_k) (k=1,…,n)を示せ。 ⑷f(α_k)=β_k (k=1,…,n) を満たす(n-1)次以下の多項式が存在する事を示し、g(x),β_1,…,β_n などを用いて表せ。 ラングジュの補完公式...物足りないな笑 これを拡張した問題なんか作れませんかね笑 A町からB町まで車で平均時速60キロでしたが帰りの平均時速は40キロでした では往復の平均時速は何キロでしょうか? ラングジュって誰やねん (2x)/((x/60)+(x/40))=48 km/h あら、間違えてたorz ラングジュって誰なんでしょうね笑 面白い問題スレなので幾何の自作問題出しときますね♪ (1)或る9つの異なる点において,次の条件を満たすとき,9つのうち8つが同一円周上に存在することを示せ. 条件:どの5点に於いても,そのうち4点が同一円周上に存在する. (2)三角形ABCに於いて,∠A内の傍心をI_Aとおく.辺BC,AB,AC上にそれぞれ点D,P,Qが在って,AP=CD,AQ=BDを満たしている. また,三角形PBDと三角形QCD其々の外接円は2点で交わるとする. この2つの交点のうち点Dでないものを点Eとおく.このとき,点I_A,D,Eは同一直線上に在ることを示せ. >>239 横から失礼。独立なのは4種類(左右反転をいれると8種類)あったよ。 >>228 の拡張 三角形を五段にして、使う数字を1から15までにしたものは何通り可能か? さらに拡張 三角形を6段にして、使う数字を1から21までにしたものは不可能だが、 使う数字を1から22までにするると一通り可能となる。使わない数字は何か? J国とC国が海を隔てて存在している。 海上に国境を引いて、国境上のどの地点から見ても 両国の領土までの距離が等しくなるようにしたい。 そのように国境を引くことは可能か? G I B H A F E D @ C 1から10まで一つ入れました >>243 J 国とC国は形、面積が同じなんだろ(丸とか >>243 まあ、可能でしょうなあ。 d=(J国からの距離)-(C国からの距離)というのを、海上の座標を定義域とする 関数とすると、明らかに連続で、C国の海岸線ではプラス、J国の海岸線ではマイナスに なっているので、その値が0になるところを辿ればいいのだから。 入り江がある場合も? >>241 此の幾何問題むずくね? 特に後者... 問題を6問出しておこう @a,bを実数とする.方程式ax^2-2ax-b=0が0≦x≦3に実数解をもつような点(a,b)の範囲をab平面上に図示せよ. A袋の中に1の数字が書かれたカードが1枚,2の数字が書かれたカードが2枚,3の数字が書かれたカードが3枚ある. 袋の中から1枚のカードを取り出し,カードに書かれた数字を確認し袋に戻すという操作を繰り返す. n回操作を繰り返した後,取り出したカードに書かれた数字の総和が3の倍数となる確率を求めよ. B点Oを中心とする半径rの球面Sがある.平面Fは球面Sと共有点をもち,その共有点全体は円Cをなす.Fが動くとき,円Cを底面,点Oを頂点とする塩水の体積の最大値を求めよ. Cpを素数,sをpの倍数でない整数とする. (1)st-1がpの倍数となる整数tが存在することを示せ. (2)s^2-1がpの倍数となるための必要十分条件は,sをpで割った余りが1またはp-1となることを示せ. (3)(p-1)!+1はpの倍数であることを示せ. Dxy平面上に2点O(0,0),A(2,1)がある.点Pが曲線y=e^2上を動くとき,線分の長さの和OP+PAの最小値を求めよ. E数列{a_n}をa_n=∫[0,1]x^n*e^xdx(n=0,1,2,...)で定める. (1)n=0,1,2,...に対し,a_(n+1)をa_nで表せ. (2)無限級数Σ[n=0,∞]1/n!の和を求めよ. 学校の宿題レベルが面白いとは、呆れるのを通り越して哀れみを感じる >>241 (1) 或る5点を選ぶと、その4点は円周C上に存在する。(題意) 1点を別の点で置き換えても、その4点は円周D上に存在する。(題意) ∴ C,Dは異なる3個以上の点を共有する。 ∴ C=D、「同一円周」はじつは同一の円周である。 5点をどう選んでも、そのうちの4点はC上に存在する。 ∴ C上に存在しない点は高々1個しかない。 >>251 奇数番目 (1) a≠0 のとき x = 1±√(1+ b/a), -1 ≦ b/a ≦ 3, a=0 のときは b=0, (3) 点Oと平面Fの距離を h とすると、円Cの半径は √(rr-hh) V(h)=(π/3)(rr-hh)h =(2π/3)(r/√3)^3 -(π/3){(r/√3)^3 +(r/√3)^3 + h^3 - rrh} ≦(2π/3)(r/√3)^3, (← AM-GM) 最大は h = r/√3 のとき。 (5)直線 y=ee ? A '(2,2ee-1)とおく。 OP + PA = OP + PA '≧ OA '= √{4 + (2ee-1)^2} >>253 ABCDE,ABCDF,ABCDG,ABCDH,ABCDIのそれぞれの5点のうち4点が同一円周上にあってもABCDが同一円周上にあればいいのでEFGHIがその円周上にあるとは言えない。 >>253 三つの円の二円ずつの交点の六点をとると 六点のうちどの五点をとってもそのうち四点が同一円周上にあるけど 六点のうち五点が同一円周上にあるとはいえないので 証明には九点というのを使う必要がある。 >>254 (1) a=0のとき -b=0よりb=0 したがってa=0のとき、b=0となり、このときは任意のxが解であるためこの点(原点)は条件を満たす a≠0のとき ax^2-2ax-b=0 これは二次方程式であるためこれが0≦x≦3を満たす解を持つことを考える。 関数f(x)=(左辺)を考えると f(x)=a(x-1)^2-a-b これが0≦x≦3にx軸と交点を持つための条件は (i)a>0のとき -a-b≦0かつf(3)≧0 (ii)a<0のとき -a-b≧0かつf(3)≦0 では? 偶数番は難しくてとっつけないな... >>251 A f(x)= ( (x^1+2x^2+3x^3) / 6 )^n と置く。f(x)=Σ[k=0〜∞] a_k x^k と展開するとき、r=0,1,2 に対して f_r(x)=Σ[0≦k, k≡r (mod 3)] a_k x^k と置けば、f(x)=f_0(x)+f_1(x)+f_2(x) となる。また、求める確率は f_0(1) である。 ω=e^{2πi/3} と置けば、l=0,1,2 に対して f(ω^l)=f_0(ω^l)+f_1(ω^l)+f_2(ω^l) となる。 簡単な考察により、r=1,2 に対して Σ[l=0〜2] f_r(ω^l) = 0 となることが分かる。 また、f_0(ω^l)=f_0(1) (l=0,1,2) である。よって、Σ[l=0〜2] f(ω^l)=3f_0(1) となるので、 f_0(1)=(1/3)Σ[l=0〜2] f(ω^l)=(途中計算省略)= ( 1+((√3)/6)^n * 2cos(πn/6) ) / 3 となる。よって、( 1+((√3)/6)^n * 2cos(πn/6) ) / 3 が求める確率である。 >>241 (1) >>255 X,Y等は{E,F,G,H,I}のどれかを表わすとする。 5点{A,B,C,X,Y}に於いて、XもYもABCの外接円上に存在しない。 ・4点{A,B,X,Y}が同一円周上に存在する. ・4点{B,C,X,Y}が同一円周上に存在する. ・4点{C,A,X,Y}が同一円周上に存在する. のいずれか1つだけが成り立つ。(2つ以上 成り立てば矛盾) 5点{A,B,D,X,Y} 5点{A,C,D,X,Y} 5点{B,C,D,X,Y} に於いても同様だから、 ・4点{A,B,X,Y}{C,D,X,Y}が同一円周上に存在する. ・4点{B,C,X,Y}{A,D,X,Y}が同一円周上に存在する. ・4点{C,A,X,Y}{B,D,X,Y}が同一円周上に存在する. の1つだけが成り立つ。(2つ以上 成り立てば矛盾) {X,Y}の組は C[5,2]= 10 とおりある。 それらは上記の3種のいずれかに属するから、いずれか1種に4組以上が属する。(鳩ノ巣原理) その4組の{X,Y}の中に、文字の重複が3回以上ある。 第1種の場合については (1)4文字循環の場合 {A,B,X,Y,Z,W}{C,D,X,Y,Z,W}が同一円周上に存在する。 ∴ 8点{A,B,C,D,X,Y,Z,W}が同一円周上に存在する。 (2)それ以外の場合 9点が同一円周上に存在する。 私には解けないのでここで1問(謎) asinθ+bcosθが最大値をとる時のtanθの値を求めよ。ただし、a,b,sinθ,cosθは実数とし、b≠0である。 >>261 asin+bcos≦√(a^2+b^2)√(sin^2+cos^2)=√(a^2+b^2) 等号はacos=bsinのとき よってtan=a/b 半径1の円周を直径を折り目として、直角に折ったものをMとする このとき、Mを境界に持つ曲面の面積の最小値を求めよ >>259 訂正 最後の辺り (1)文字循環がある場合(3文字 or 4文字) (2)文字循環がない場合 >>264 プラトー問題ですな。 数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社(1984/Sep) p.188-189 >>241 (2) 簡単に概略、特殊な場合を除いた解答 直線CI_AとQCDの外接円の交点でC以外の方をC'、直線BI_AとPCDの外接円の交点でB以外の交点をB'とする 一致した場合は別で解ける 角の二等分線からC'D=C'Qで∠DC'Q=∠BCA、B'D=B'Pで∠PB'D=∠ABC △C'QA≡△C'DB、△B'PA≡△B'DCから∠AC'B=∠ACB、∠AB'C=∠ABC よってAB'BCC'の5点は同一円周上 よってBI_A×B'I_A=CI_A×C'I_A 直線DI_AとQCDの外接円の交点、PCDの外接円の交点でDと異なる方をそれぞれE'、E"とすれば E'I_A×DI_A=C'I_A×CI_A=B'I_A×BI_A=E"I_A×DI_A なのでE'I_A=E"I_Aから、E'とE"は一致 点の取り方から、E'(=E")は二つの外接円の交点でDと異なる方であり、これはEと一致する したがって、E, D, I_Aは同一直線上にある a,bを自然数として、 k=(aab+a+b)/(abb+b+7)とする。 kが自然数になるときを考える。 (1) b=1のとき、aを求めよ。 (2) b=2のとき、aを求めよ。 (3) b≧3のときを考える。 (i) k<(a/b+1/b)を示せ。 (ii) b≧3のとき(b-7/b)>0になることを利用して、(a/b-1/b)<kを示せ。 (iii) aをkとbで表せ。 (iv) bをkで表せ。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
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