面白い問題おしえて～な 二十四問目 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>83
前提として、盤面の向きはどちらが正面かなどわかるものとして考える。
盤面のマスに0から16までの通し番号をつけておく。
悪魔が告げた数が16の時は0とみなす。
Aの行動：悪魔が黒石を置いたマスのすべての番号および悪魔が告げた数を
２進法4桁で表し、それらすべての数について桁毎に排他的論理和をとる。
得られた4桁の２進数に相当するマスに黒石があれば取り除き、なければそこに黒石を置く。
Bの行動：黒石の置いてあるマスのすべての番号を２進法4桁で表し、
それらすべてについて桁毎に排他的論理和をとる。
得られた4桁の２進数に相当する数が悪魔が告げた数。（0のときは16とみなす） >>101
>前提として、盤面の向きはどちらが正面かなどわかるものとして考える
そうですね、ご指摘ありがとうございました >>83
悪魔が配置した黒石の総数が、操作前に偶数なら、操作後の黒石の数は奇数。
操作前に奇数なら、操作後の黒石の数は偶数。
この偶奇は悪魔依存でプレイヤーは変更できない。
操作後の石の総数が偶数の場合、８マスずつに分けると、それぞれのマスの中の
黒石の数は、「偶数と偶数」か「奇数と奇数」になる。
操作後の石の総数が奇数の場合、８マスずつに分けると、それぞれのマスの中の
黒石の数は、「偶数と奇数」か「奇数と偶数」になる。
これらに注意し、盤面に次のように点数を与え、操作後の盤面値が、通告された
整数になるように、いずれか一カ所マスに操作を行う
１列目と２列目の合計８マスの黒石の数が奇数なら８
１列目と３列目の合計８マスの黒石の数が奇数なら４
１行目と２行目の合計８マスの黒石の数が奇数なら２
１行目と３行目の合計８マスの黒石の数が奇数なら１
（操作前の盤面値と、目標の盤面値から、操作すべき一マスが定まる） 悪魔の問題は２進数から１０進数に１０進数から２進数に変換できる方を対象にしています
排他的論理和については知っていれば演算に便利です ０、 １、 ２ 、３
４、 ５、 ６、 ７
８ 、９、 １０ １１
１２、１３、１４、１５ >>97
より
１、３、５，７、９、１１、１３、１５→１桁の１に対応
２、３、６、７、１０、１１、１４、１５→２桁の１に対応
４、５、６、７、１２、１３、１４、１５→３桁の１に対応
８、９、１０、１１、１２、１３、１４、１５→４桁の１に対応 ０から始まる盤面にそれぞれの桁の１に対応する数字を当てはめます
１桁の数字は１の縦列と３の縦列です
２桁の数字は２の縦列と３の縦列です
３桁の数字は４の行と１２の行です
４桁の数字は８の行と１２の行です それぞれの縦列と横行を組み合わせることによって１６通り数に一回の操作で
変換することができます １１１１を一回の操作で００００にするためには４桁の縦列、横行が重なる数字です
つまり１５のマスということになります 初期の２進数で得られた数字をそのまま変換したくないときは
１から４桁のそれぞれの縦、横が重ならない数字
つまり０のマスです
１１２のレスの４桁は１から４桁に変更します 悪魔が設定した盤面が２進数で１１０１（計算は９７、９８参照）、告げられた整数が
１１だとしたら、悪魔の告げた１１は１０進数（１～１６）なので２進数（０～１５）で計算
する場合ー１して１０、１０は２進数で１０１０です
排他的論理和の演算では
１１０１（＋を丸で囲う記号）１０１０＝０１１１、０１１１は７ですので７のマスを操作します ＢはＡが操作した後の盤面から９７，９８の要領で計算すると１０１０が求められます
１０進数にすると１０ですが２進数（０～１５）に基づいて計算した値なので１０進数（１～１６）
では１加えて１１になります 操作する０１１１（７）は１桁、２桁、３桁を同時に切り替えすることになります
１０９のレスにある桁に対応する数字を見ていただくと７は１桁、２桁、３桁にありますが
４桁にはありません
つまり１、２，３桁は変更して４桁は変更しないということです １０９のレスから初期設定で求められた２進数の各桁（各ビット）から
１と４のビットを変更したい場合には１と４のビットのみにある９のマスを操作することになります 尚、石が置いてあるマス、置いてないマスはー１又は＋１ですのでどちらも
偶数から奇数、奇数から偶数に変更できますので石が置いてあるマス、置いてないマス
に関わらず計算には影響を及ぼしません 計算する場合には１１０レスを４Ｘ４の盤面に投影して１ビットの縦列（２）、２ビットの縦列（２）
３ビットの横行（２）、４ビットの横行（２）をイメージして計算し、操作するマスは変更するビット
のみの重複する部分を探すようにすれば脳内計算が楽になるかも とりあえず悪魔の問題の説明は終わらせていただきます
不明な点があれば遠慮なくどうぞ（次の問題が出せないし >>121
数学版は数学やパズルが嫌いな奴の集まりなのか？
パズル版は過疎ってるしな、囲碁や将棋版のほうがいいかもな
特にプロ棋士は考えるのが好きだしな、藤井４段に出してみるか >>100,110
が出ているのに、何をゴチャゴチャ >>106
2マスで1～2もできたけど
2ベキなら同じようにできるの？
それとも2の2ベキ（2，4，16，256…）でないと駄目？ >>89みたいなアホに絡まれてるときは気の毒だと思ったが、
いざ解答が書き込まれても無視してゴチャゴチャと
自分の見解を書くだけの人間だと分かったので
同情の余地なしだわな >>125
106の回答者です。出題者ではありません。問題を見て考え、一定の方法に至り、
回答を作成しアップしましたが、実質的に同じ内容の回答がアップされていて、一番でなかった
のは少々残念でした。排他的論理和という言葉を使えば、すっきりですね。
ただ「４×４の盤」や「碁石」という設定にに即した回答を作り、あのようにしました。
>>それとも2の2ベキ（2，4，16，256…）でないと駄目？
出題者と勘違いされてのご指定だったのかもしれませんが、せっかくなので、私の考えをば。
マスの数は16。このマスのどれかを変更するので、加えられる情報は4ビット。
16マスを8マス－8マスに二分するという二分探索を4回できることに対応します。
この二分探索を適切に行うことを前提にすれば、2のべきのマスなら、可能といえるでしょう。
では、2のべきでない場合、どうでしょうか？
nマスからなる盤面(？)あり、悪魔からは、0～n-1の整数が指定されるとします。
任意の盤面状態から、一マスの状態を変更することで、「盤面値」を0～n-1のどれかに変更
できなければなりません。盤面の状態数は2^n通りあります。盤面値はn通りあるので、
ある盤面値に対し盤面の数は、2^n/nとなります。これは、nが2のべきでないと割り切れません。
つまり、盤面値によって、それに対応する盤面数が異なることがあることを意味します。
対称的でないと成立しなさそうな問題なので、無理なのでは？ というのが私の考えです。 ０、 ①、２、 ③ 初期設定
４ 、⑤、６、 ７
８、 ⑨、⑩、 ⑪
⑫，１３、⑭、１５ 出題者です、８Ｘ８マスで告げられる整数が１から６４の場合は１１１１１１は６３ですので
解答可能ですね
意味不明、パズルとして成立しない、不備だらけなどは嫌がらせとして無視します サイコロがあります、一般に売られている普通のサイコロです
ＡとＢにサイコロを使ったゲームをしてもらいます
まずじゃんけんなどにより、先手、後手を決めてもらい、先手はまずサイコロの目を
表示します、サイコロの一番上の目ですね
次に後手は４つある横の面のどれかに傾けます
例えば先手が１の目を出したら次に後手が出せる目は２、３、４、５のどれかになります
このようにしてサイコロの合計が３１を越えたら負けになるというゲームです
先手必勝か後手必勝か、先手必勝なら最初に出す目は？ 先手が最初にだす目はランダムですけど、目を表示した瞬間に先手必勝か後手必勝か
が決定します
二人零和有限確定完全情報ゲームになりますので必勝法が存在します >>131
合計数が、
3+9kで手番が回ってくると、どのような出目であっても、必敗
1,2,5,6+9kで手番が回ってくると、どのような出目であっても、必勝
0,4,8+9kで手番が回ってくると、出目が、3,4の場合は必敗、その他の場合は必勝
7+9kで手番が回ってくると、出目が2,5の場合は必敗、その他の場合は必勝
従って、先手が必勝になるのは、最初のサイ振りで、3または4を出したとき。
その他の場合は後手必勝
>>135
高さをhとすると半径は√(1-h^2)
体積をVとすると、
(V/π)^2=(h(1-h^2)/3)^2=(1/9) h^2 (1-h^2)^2=(4/9) h^2 ((1-h^2)/2)^2
≦(4/9) [(h^2 + (1-h^2)/2 + (1-h^2)/2)/3]^3 = (4/9) (1/27)
従って体積の最大値は2π/(9√3) この値は、h^2=(1-h^2)/2 つまり 高さが1/√3 のとき
普通にやると、微分して極値を求める問題になるけど、
V^2で考えると、平易な相加相乗平均の問題にすることができるのが、このスレで出された理由かな >>138
補足
ゴールに近い場合は、特殊処理が必要で、あの一般式は当てはまりらないことがあります。 >>138
最初の目が３の場合には後手は１の目が出せるので合計４になり後手は先手で
４の目を出したことと同じになりますが 合計が４で同じでも、出目の状態が４なのか、１なのかが異なるので、同じ状態ではありません。
先手が３を出し、後手が１を出してきた場合は、先手は４を出し、
「合計８、出目４」の状態で手を渡します
これに対し、後手版は、１２で渡せれば必勝パターンに持ち込めるのですが、現在の出目が４なので、
１２にすることはできません。
あれ！、あなた、出題者さんですよね。 >>142
とある理由で勘違いしてました、どうもすいません
先手が３を出し、後手が１を出し、先手が４を出してきた場合には
後手は５の目をだします
合計１３でのこり３１ー１３＝１８になります >>先手３後手１先手４後手５。
「合計13、出目5」ですね。この状態を [13(5)] と表すことにします。この状態に対する手は４です
[13(5)]→4[17(4)]
>>先手３後手５。
[8(5)]→4[12(4)] >>143
>先手３後手１先手４後手５。
先手３の次後手は６の目をだします あ、ちょっと待ってください。
>>このようにしてサイコロの合計が３１を越えたら負けになるというゲームです
合計31はセーフなのですか？
31以上がアウトとして解きました。32以上がアウトなら、一つづつずれます。 >>145
先手３後手１先手４後手５先手４ですか
この場合後手は５を出します
５の目で次先手、合計２２、３１ー２２＝残り９になります 31以上が負けとして>>138は回答を作りました。
32以上が負けなら、一つずつずれます。勘違いしました。改めてアップします。
合計数が、
4+9kで手番が回ってくると、どのような出目であっても、必敗
2,3,6,7+9kで手番が回ってくると、どのような出目であっても、必勝
0,1,5+9kで手番が回ってくると、出目が、3,4の場合は必敗、その他の場合は必勝
8+9kで手番が回ってくると、出目が2,5の場合は必敗、その他の場合は必勝
従って、先手が必勝になるのは、最初のサイ振りで、4または5を出したとき。
その他の場合は後手必勝。
ただし、ゴール近くでは、上の一般式が当てはまらないことがあります。
先手3は必敗手順になります。 >>151
９Ｋというのは９の倍数という意味でしょうか
先手が５を出した場合には後手は４を出します 悪魔の問題で正方形じゃない場合はということだったんですね
正方形でない場合は考えてませんでした >>151
先手必勝状態は、一つずらしただけでは通用しませんでした。
修正します。３２以上になったら負けという条件では先手必勝は４の時のみです。 >>152
kを整数として、4+9k という形で表せる整数の時という意味です。
つまり、4+9kというのは、4,13,22,31,40,...の値の時という意味です。
>>2,3,6,7+9kで手番が回ってくると、
こちらは、2+9k、または、3+9k、または、6+9k、または、7+9k という意味で書いています。 >>156
4[4(4)]→1[5(1)]→4[9(4)] 以後分岐
→1[10(1)]→3[13(3)]または4[14(4)]
→2[11(2)]→2[13(2)]または3[14(3)]
→5[14(5)]→4[18(4)]
→6[15(6)]→2[17(2)]または3[18(3)]または4[19(4)] >>157
に補足します。>>151を読めば、どのような手を取るか判るはずです。
必勝パターンに入っている場合ですが、次の手を指します。（複数実現できる場合はどれでも可）
・合計を4+9kにする
・3または4を出して、合計を0,1,5+9kにする
・2または5を出して、合計を8+9kにする >>157
先手４、後手１、先手４、後手１、先手３又は４、、、
先手４、後手１、先手４、後手２、先手２又は３、、、、（後手２、先手２？ >>158
>・3または4を出して、合計を0,1,5+9kにする
・2または5を出して、合計を8+9kにする
先手が３又は４を出して合計９Ｋ、１＋９Ｋ、５＋９Ｋ
先手が２又は５を出して合計８＋９Ｋ にして後手に手を渡せば先手必勝という意味ですか >>160
ここで言う、「先手」、「後手」というのは、ゲームスタート時どちらが先に手を打ったかという
意味だと思いますが、この観点は、あの説明には、関係ありません。
先手必勝パターンでスタートし、ずっと必勝パターンを保っていれば先手側への「虎の巻」だし、
先手必勝パターンでスタートしたものの、ミスをして、後手側に勝ち筋がやってきたら、後手側への
「虎の巻」になります。
後手必勝パターンからスタートし、ミスがなければ、後手側への「虎の巻」だし、
ミスをして、先手側に勝ち筋を渡してしまうと、先手側への「虎の巻」になります。
手番が自分に回ってきて、その直後の状態（＝操作を行うまえの状態）か、操作を行った後の状態かに注目します。
・操作を行う前の状態が、これこれの場合は、必勝パターンである／必敗パターンである
・操作を行った直後の状態が、これこれの場合は、必勝パターンである／必敗パターンである
等といろいろな言及の仕方がありますが、>>158で私が行った説明は、
操作直後の状態をこれこれにすれば（自分が）必勝パターンにある、あるいは、これこれにすることが出来るようならば、
必勝パターンにあり、出来ないならば、必敗パターンにあるというような形式での言及です。
自分の手番になって、操作を行い、相手に手番を渡す。
手番を渡す時のサイコロの目の合計を、4+9kにするか、0,1,5+9kにするか（出目は3か4限定）、
8+9kにする(出目は2or5限定) この状態で手番を渡すことが出来れば、（自分の）勝ちパターンだし、
逆に、そのような操作がいずれも出来ないのならば、手番を受け取ったときにすでに負けパターンに陥っていたと言うことです。 さらに補足
>>158は、操作「後」の状態を、これこれに「すれ」ば勝ちパターンという という形で、
勝ちパターンの場合についてのみ説明を与えています。
>>151は、操作「前」の状態を「見て」、これこれの場合は勝ちパターン、これこれの場合は負けパターンと
分類しています。
勝ちパターンを維持するためには、具体的にどのようにすればよいかを、直接的には書かれていませんが、
きちんと読み取れば判ります。
つまり、操作後の状態をここで分類している必敗パターンにすれば、いいのです。
そうすれば、相手は、必敗パターンで手番を受け取ることになるからです。 >>131
> まずじゃんけんなどにより、先手、後手を決めてもらい、先手はまずサイコロの目を
> 表示します、サイコロの一番上の目ですね
この表示って何？
「先手になった人間がサイコロを振る」という意味でいいの？
で、「一番上の目」というのは「普通にサイコロを振って出た目」のこと？
> 次に後手は４つある横の面のどれかに傾けます
「サイコロを傾ける」って何？
『その「ある横の面のどれか」が上になるように転がす』ということ？
> 例えば先手が１の目を出したら次に後手が出せる目は２、３、４、５のどれかになります
>
> このようにしてサイコロの合計が３１を越えたら負けになるというゲームです
で「合計」の対象は、「上になった面の目」の合計で
「次々に足し込んでいく」という計算でいいのかい？
> 先手必勝か後手必勝か、先手必勝なら最初に出す目は？
「最初に出す目」って『最初に「振って出てほしい目」』のことでいいんだろ？
なんか意味の取りずらい表現の連続だなあ 置くんじゃねえの？
問題の内容からして振る場面は一度もないんじゃないかと理解した
しかし「置く」と書くだけではっきりするのにとも思った
サイコロの通常の使用方法とは違うということをはっきりさせないとわかりにくい 単に置くということだと、先手は勝つという意図をもって置くことになるのだろうから
>>132 にある「先手が最初にだす目はランダム」とはどういう意味なんだろ サイコロ３１の出題者です
分かりづらい点があるということですね
サイコロは最初に目を指定して置くと考えてください
数える目はサイコロの一番上の目です、一番上の目の合計ですね >>161
相手に手番を渡す場合に
出目に関わらず ４＋９Ｋ
出目が３又は４で０、１、５＋９Ｋ
出目が２又は５で８＋９Ｋ
で相手に手番を渡せば必勝という意味ですね 出目に関わらず ４＋９Ｋ の場合には相手は４の目を出します
出目が３又は４で１＋９Ｋの場合には相手は１の目を出します
出目が３又は４で５＋９Ｋの場合には相手は５の目を出します
出目が２又は５で８＋９Ｋの場合には相手は４の目をだします >>168
はい、その通りです。
>>169
下図左側は>>151の内容を見やすく表示し直したものです。
手番が来たときの合計数と、出目の状態から、必勝パターンか、必敗パターンかを判断できるものです。
そして、その右側には、それぞれの場合の対応手を添えました。
合計:＿出目状態＿:対応手
----:１２３４５６:
8+9k:○×○○×○:5
7+9k:○○○○○○:3,6
6+9k:○○○○○○:2,3,4
5+9k:○○××○○:4
4+9k:××××××:無し
3+9k:○○○○○○:1,5
2+9k:○○○○○○:2,3
1+9k:○○××○○:3,4
0+9k:○○××○○:4
>>169への対応手は、上から順に、8+9kなので5を出し4+9k型へ、2+9kなので2を出し4+9k型か3を出して5+9kの出目3型へ、
1+9kなので3を出して4+9k型か4を出して5+9kの出目4型へ、3+9kなので1を出して4+9k型か5を出して8+9kの出目5型へ 自然数nを選び、2nを元に3倍して2を足す操作を繰り返すと
nに関わらず、いつかは2の累乗になる？ >>170に補足します。
これまでにも何度か書きましたが、一般式での判定はゴール近くでは少々変化します。
それに伴い、また、ゴールを越える手は負けになってしまうため、必勝手も変化します。
ゴール近辺での判定表と、対応手をアップします。
＿＿：----:１２３４５６:
３１：4+9k:××××××:無し
３０：3+9k:×○○○○×:1
２９：2+9k:○○○○○○:1,2
２８：1+9k:○○××○○:3
２７：0+9k:○○××○○:4
２６：8+9k:○×○○×○:5
２５：7+9k:○○○○○○:3,6
２４：6+9k:○○○○○○:2,3,4,6
２３：5+9k:○○××○○:4 >>172
残り０～８までの対応手ですね
見たところ間違いはありませんでした >.170
意味がよくわかりません
３１を分解すると４＋９Ｋ（９の倍数）・・・・・・になると思いますが
１＋９Ｋで１を出したら、出目１、０＋９Ｋになりますが
５＋９Ｋで５を出したら、出目５、０＋９Ｋになりますが
８＋９Ｋで４を出したら、出目４、４＋９Ｋになりますが >>174
>>３１を分解すると４＋９Ｋ（９の倍数）・・・・・・になると思いますが
分解という言葉はよく分かりませんが、31は4+9k(型)に分類されます。
>>１＋９Ｋで１を出したら、出目１、０＋９Ｋになりますが
なりません。(1+9k)+1=2+9k です
>>５＋９Ｋで５を出したら、出目５、０＋９Ｋになりますが
なりません。(5+9k)+5=10+9k=1+9(k+1)=1+9k’ です
>>８＋９Ｋで４を出したら、出目４、４＋９Ｋになりますが
なりません。(8+9k)+4=12+9k=3+9(k+1)=3+9k' です
4+9kなどは、残りの数を表す値では無く、合計値です。 インスタント虎の巻を作るとしたら、
・残りのサイの目の合計が９の倍数になるようにして手番を渡す。
・それが出来ないときは４を出して手番を渡す。
これだけでいけますね。
そして、これだけを知っていて、出題したのなら、私の回答には困惑するでしょう。
今そんな状態なんじゃ無いですか？ >>出題者さん 先手４後手１先手４後手２。
先手４後手２先手４後手６。 >>177
なるほど、>>176は終盤状態で使える>>172だけをみていけそうと思ったけど、
ダメなようですね。>>176は撤回します。
やはり、>>170、および、>>172 に書かれている対応手を虎の巻とします。 >>171
a_{k+1｝= 3 a_k + 2,
a_{k+1｝+ 1 = 3(a_k + 1）= … =（3^k)(a_1 + 1) =（3^k)(2n+1),
いつかは2ベキになる？ 全ての内角が等しく、辺の長さが{1,2^2,3^2,...,12^2}の並び替えであるような凸12角形は存在するか 西暦-gonで{1^2,2^2,3^2,…,西暦^2} >>180
辺長を順に、a[0],a[1],a[2],...,a[11]とすると、
Σ[i=0,11]a[i]*sin(i*π/6)=Σ[i=0,11]a[i]*cos(i*π/6)=0
が必要。√3の無理性を使って整理すると、i=0,1,2,3,...に対し
a[i]^2+a[i+2]^2=a[i+6]^2+a[i+8]^2
これを満たす、{1,2^2,3^2,...,12^2}は、特定のiについて成立するものでさえ5組。
異なるiについて同時に成立するものもせいぜい二組しかなく
{1,2^2,3^2,...,12^2}と{a[0],a[1],...,a[11]}が一致するものは見つからない。 >>185
i=0,1,2,…,5 に対して
a[i］ + a[i+2］= a[i+6]］ + a[i+8],
特定のiについて成立するもの：
｛1,4,7,8｝
｛1,8,9,12｝
｛2,5,10,11｝
｛2,6,7,9｝
｛3,7,9,11｝
の5組
｛1,5,5,7｝は省いた。 A、B、Cを、同じ文字は連続しないように一列にｎ個並べるとき、Aがｋ個含まれる並べ方の個数A(n、k)を求めよ。 >>187
A(n，k）のうち、末尾がAのものを f(n，k)，末尾がA以外のものを g(n,k）とする。
A(n，k) = f(n，k) + g(n，k)
漸化式
f(n+1，k）= g(n，k-1),
g(n+1，k）= 2f(n，k）+ g(n，k),
初期値
f(n，0）= 0，
f(n，1）= g(n，0) = 2，
f(n，2）= g(n-1，1）= 4n-10,
Σ[n=2k-1，∞］f(n,k) z^n =｛(1+z)/2z}{2zz/(1-z)}^k,
Σ[k=1，∞］Σ[n=2k-1，∞］f(n,k) z^n t^k =（1+z)zt/(1-z-2tzz),
Σ[n=2k，∞］g(n,k）z^n =｛(1+z)/(1-z)}{2zz/(1-z)}^k,
Σ[k=0，∞］Σ[n=2k，∞］g(n,k) z^n t^k =（1+z)/(1-z-2tzz),
Σ[n=2k-1，∞］A(n,k）z^n =｛(1+z)(1+tz)/(1-z)}{2zz/(1-z)}^k,
Σ[k=0，∞］Σ[n=2k-1，∞］A(n,k) z^n t^k =（1+z)(1+tz)/(1-z-2tzz),
むむむ、解けぬ。。。 >>187
A(n,k)の文字列において、B,CをXに置き換えた文字列をA~(n,k)とし、これを考える
これは、先頭がAかXか、最後がAかXかにより、四つに分類できる
AA型(n≧3,k≧2)
k個のAとk-1個のXが交互に並ぶ文字列 AXAX...XA のXのあるところに、n-(2k-1)個のXを挿入すると、A~(n,k)になる
これは、H[k-1,n-2k+1]=C[n-k-1,k-2] 通りあり、k-1カ所ある各Xの先頭をAかBに戻すとA(n,k)に戻るので、
2^(k-1)*C[n-k-1,k-2]
XA型およびAX型(n≧2,k≧1)
k個のAとk個のXが交互に並ぶ文字列 のXのあるところに、n-2k個のXを挿入すると、A~(n,k)になる
これは、H[k,n-2k]=C[n-k-1,k-1] 通りあり、kカ所ある各Xの先頭をAかBに戻すとA(n,k)に戻るので、
2^k*C[n-k-1,k-1]
XX型(n≧1,k≧0)
k個のAとk+1個のXが交互に並ぶ文字列 のXのあるところに、n-2k-1個のXを挿入すると、A~(n,k)になる
これは、H[k+1,n-2k-1]=C[n-k-1,k] 通りあり、k+1カ所ある各Xの先頭をAかBに戻すとA(n,k)に戻るので、
2^(k+1)*C[n-k-1,k]
これら四つの合計がA(n,k)で、2^(k-1) {1+ 4(n-k)(n-2k+1)/(k(k-1))} C[n-k-1,k-2] 通り？ >>180
数学オリンピックの過去問に似た問題あったな >>189
正解ナリ。考え方も同じでおじゃる。
並べることができるのは n≧2k-1 のときで、
(1) A～A
(2) A～X or X～A
(3) X～X
の場合を考える際に、(1)しかない場合とか、(1)(2)しかない場合があるので、
k=0 (n≧1)
k=1 (n=1, n=2, n≧3)
k=2 (n=3, n=4, n≧5)
k≧3 (n=2k-1, n=2k, n≧2k+1)
に分けて計算して、最終的に、
A(1,1) = 1、
(n, k)≠(1,1)のとき、{4n^2 - 3(3k-1)n + 9k^2 - 5k}*2^(k-1)*(n-k-1)!/{(k!)(n-2k+1)!}
とまとめられるでおじゃる。 何かの確率の本に載っていた問題。
n 頭の動物の群れから m 頭を捕らえ、目印をつけて逃がす。
(1) 目印のついた r 頭を得るために k 頭捕らえる必要がある確率 Q(k, r) を求めよ。
(2) 目印のついた r 頭を得るために捕らえた動物の期待数 E(r) を求めよ。 とりあえず答えだけ（以下、nＣr=C(n,r)と表す）
(1) Q(k,r) = C(k-1,r-1)*C(n-k,m-r)/C(n,m)
(2) E(r) = r(n+1)/(m+1) >>194 >>192
n頭の動物のうちどのm頭に目印をつけるかということと、
n頭の動物をどういう順番で捕まえるかということは
独立にランダムであると考えると、
目印をつけてから捕まえる順序を決めても、捕まえる順番を決めてから目印をつけても
確率や期待値には影響しないので、後者で考える。
(1) 捕らえる順番のうち、k-1頭目までのうちr-1頭に目印がつき、
ちょうどk頭目にも目印がつき、
残るn-k頭のうちm-r頭にも目印がつく状況を考えるので、
目印をつけるm頭の選び方C(n,m)のうち、
上記条件をみたすm頭の選び方がC(k-1,r-1)*C(n-k,m-r)で、
確率は Q(k,r) = C(k-1,r-1)*C(n-k,m-r)/C(n,m)
(2) 捕らえる順番に並べたn頭の動物を、目印をつけるm頭を間仕切りとみなして
目印をつけないn-m頭をm+1のブロックに分割したものとみなすと、目印をつける
m頭の選び方は、和がn-mとなるm+1個の非負整数の列
(a(1),a(2),…,a(m+1)), a(1)+a(2)+a(3)+…+a(m+1)=n-m
と1対1に対応する。
a(i)の期待値はいずれも(n-m)/(m+1)
r頭目の目印のついた動物より前に捕まえる目印のついていない動物の数は
a(1)+a(2)+…+a(r)なので、その期待値はr(n-m)/(m+1)
よって、r頭目の目印のついた動物が捕まえる順番の何番目であるかの期待値は
E(r) = r+r(n-m)/(m+1) = r(n+1)/(m+1) >>192
問題文は相当に変な文章だからやる気起きない f(z)=z/sinz,z∈Cにおいて,
(1) z=0はf(z)の除去可能特異点であることを示せ。
(2) f(z)の極をすべて求めよ、また、極での留数を求めよ。
(3) z=0まで定義域を拡大したf(z)のz=0におけるマクローリン展開の2次の項までを求め よ。
(1).(2).(3)の解答をお願い致します。 👀 👀
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