大学学部レベル質問スレ 8単位目 [無断転載禁止]©2ch.net
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微分係数と線素は定義からして違うものだから「なんで？」と聞かれても困る
記号が同じで変換法則もほぼ同じだから物理数学が勝手に混用してるだけじゃないか？
「微小な〜」とか言い出したら数学的にはもう完全にアウト
ただ一次元の場合に限ればdy/dxを1次微分形式dyとdxの商だと考えても特に問題ない
微分幾何では線素も1次元部分多様体の1次微分形式とみなせるし >>461
こんなとこで活動してたのｗｗｗ
アナタこそ大丈夫な人なのでしょうか？
ｗｗｗｗｗｗ なんでウィキペディアのロピタルの定理の主張で、g' (x)≠0が必要なのでしょうか？
x→cの時f' (x)/g' (x)の極限が存在するならば、g' (x)はcの近くでg' (x)≠0であるから、
余計な記述ではないのでしょうか？ その条件が必要な理由もウィキペディアに書いてあるんだが G:群
G⊃G_1⊃G_2⊃{e},
G⊃H⊃{e},
H_1=H∩G_1, H_2=H∩G_2
G_2 が G_1 の正規部分群だとすると
H_2 も H_1 の正規部分群。
このとき
H_1/H_2 を G_1/G_2 の部分群とみなす方法があるらしいが、それはどういうものですか？ >>469
準同型定理を知らないわけではないけど
どう使うかわからない 各部分集合が部分群ってことでいいならH_1からG_1/G_2への自然な準同型の核はH_2でそ
こんなことするまでもないんだと思うが π:H_1→G_1/G_2, π(x)=xG_2
ですね
よくわかりました >>460
本に頼らず自分で証明するつもりでやれ。
それでも怪しいと思ったら原論文に当たれ。
それでも怪しいと思ったら反例を考えろ。
反例が作れたら論文になる。 初歩の基本事項に今更
反例が見つかると思うのは
単なるトンデモだけどな。 >>462
>>463
答えてる方もなんだかなあという感じ。
まあ微分商は普通の分数「ではない」。 まあライプニッツ則が使えるってだけで普通の分数とはみなさない方がいいと思うよ。 そういう意味であれば、確かにdy/dxは普通の分数とは言えませんね 「くじ引きが無作為である」という帰無仮説のもとで宝くじに当選する確率はとても低い（０．０５未満)。
宝くじに当選者がでたということはp<0.05のことが起こったので「くじ引きが無作為」という帰無仮説は棄却される。
正しい？ 微分形式ならdy=f'dxですから、dxで割ればdy/dx=f'ですよね
割り算になってます 代数色強く認識したいのであれば一般の加群、テンソル代数、微分形式として勉強した方がいいと思うよ。余接空間に住んでる対象物を扱いたいなら。 微分形式じゃなくてdyを関数の微分と考えたらどうですか？ 定義されてないからって普通に定義すりゃ割れるだろ
もちろん座標系には依存するけど 連鎖律があるから座標系に依存しないで定義できるよ
1次元空間上の1次微分形式ωとθに対してθ≠0の領域上でω=ξθなる関数ξが一意に決まるので
ωとθの商 ω/θ=ξ が定義される
例えば座標xの外微分dxと関数y=f(x)の外微分dyとの間にはdy=f'(x)dxの関係があるからdy/dx=f'(x)となる
別の座標tをとると dy/dt = (dy/dx)/(dt/dx) = dy/dx ・ dx/dt などの式も普通に成り立つ ただこれは微分形式を微分形式で割ったら普通の関数になるという程度のもので
体として閉じてないので個人的には分数とは呼びたくないなあ >何かの役に立つんか？
この業界では愚問だなw
>>503は別に1次元の場合に限った話ではなくて
n次元空間上のn次微分系形式の比がただの関数になることはどの微分多様体の本にも書いてる基本事項で
>>503が成り立つことで多様体上の積分が定義できてポアンカレ双対やホッジ作用素など微分幾何の各種定理に繋がっていく >>503
そりゃベクトル商ってやつで
多次元への拡張は結局のところ
dfをdx_iの線型結合で表すってだけの代物で
わざわざ割り算などいらんよ >>508
なんで外積のトップのとこだけ言うん？
dfの話１次だろうがよ 数学科の連中は数式でシコっているというのは本当ですか？ 自分を基準にしちゃいけませんよ、アナタ、分かってます？ 松島与三「多様体入門」 の 逆関数の定理証明(旧版 p18-21) について教えてください。
φはQ(0; r) 上で1:1 の写像って時点で 逆関数 φ^{-1} の存在は保証されているのに、
なんで、φ^{-1}: s ∈ Q(0; r/2) → p ∈ Q(0; r)
を具体的に(極限操作で)構成する必要があるんでしょうか？
C^r 級を示すのだって、 φ(Q(0; r)) ⊃ Q(0; r/2) なんて条件いらなくないですか？ >>528
[逆関数の定理]
φは R^n → R^n の C^k 級連続写像 (k≧1, 簡単のため φ(0) = 0 としてます)
ヤコビアン det(∂φi/∂xj) ≠ 0 (at x=0) の時、十分小さい近傍を取れば逆関数が存在し C^k 級である。
Q(0; r): 中心0, 幅r の超立方体で境界を含まない。
Q^{–}: Qの閉包、つまり境界を含む
本の証明では まず Q^{–}(0, r) 上で 1 : 1 なのを示してます。
>>529
Q^{–}(0, r) 上で 1 : 1 なら 当然 Q(0, r) 上 で 1 : 1 。
しかし、この時点では φ( Q(0, r) ) が開集合である保証はない。
何とかして φ: 開集合 → 開集合 の構図に持っていきたいという事でしょうか。
それなら納得できます。 特定の構成法を使うのは、その方法だとC^rを示せるから
φ(Q(0; r)) ⊃ Q(0; r/2) の条件は縮小拡大を正規化して計算の手間を省くため >>531
いやいや "開" 集合間の写像に持っていくためって事で合ってるでしょう。(つまり「境界を省きたいから」)
逆写像がC^r級 なのを示すのにその辺りは使ってませんよ。
１：１ 連続写像なので、 実は「Q(0; r) 上で φ は 開写像」なんですが、それを保証するのが [領域不変の定理]
だから [領域不変の定理] を認めるなら、Q(0; r/2) (開集合)上で逆関数を具体的に構成する必要なんてないです。
とはいえそっちの定理の証明にはホモロジー代数とかハイレベルな内容(未着手なので詳細は知らない)を含むので、避けるのは当然かなと。 「可算選択公理」って「証明」できないんですか？アタリマエとして「認める」しかないんですか？ 線形代数がよく分かんないのですが僕が悪いんですか？ 納得できなさを突き詰め続けると新しい理論に化けるかもね。 >>535
認めなきゃ数学の議論にならないと思うので認めはしますが，
もっと根源的（？）公理（実数の連続性とか）から証明できないのかなあ…と思って （一般の）選択公理でなくて「可算選択公理」ですが無理なもんは無理ですかね 可算だろうが非可算だろうが、無限個の集合に対する公理がなければ無理だろう 証明できないことを証明するとき、つまりメタレベルでどんな公理を採用するかは問題にされないのが不思議
ヘンテコな数学的公理の下でメタ議論すればZFから選択公理を導ける可能性はあるんじゃないの？ >>548
極端な話、メタ公理系が矛盾していれば選択公理を導けてしまう
そしてもちろん、メタ公理系が無矛盾かどうかを予め知る方法はない 不完全性定理は非常に弱いメタ公理系の下で証明できるので、これは疑っても仕様がない
しかし、選択公理が証明できないことの証明ではメタ公理系として集合論を採用したので、実は別の選択肢もあった気がしてならない >>549
実際書いてミロや
誰も妥当と思わなければ認められないわけ >>551
結局そういうことだよね
「数学は自由だ」という標語があるけど、メタ議論するときは選択の余地なくZFを唯一の真理であるかのように扱う
その自覚すらなくZFに縛られてる人も多いんじゃないかな たとえば>>546だけど、証明できない事が”どんな仮定の下で”証明されているのか、一度でも気に懸けたことはあった？ >>552
ZFはほぼ納得できるからな
要素が同じなら同じ
空集合アリ
和集合アリ
ベキ集合アリ
無限集合（自然数）アリ
置き換えてもイイよ
無限降下はダメよ
こんだけだし >>553
メタ数学はあんまり細かいこと言わないで“普通に”数学だよ
メタ数学の対象になるのが細かい公理的集合論とか諸々 楕円関数の本ちらちら読んでたら無限積Π_(i=1)^∞がでてきたんですが、無限積ってなんですか？
無限級数Σ_(i=1)^∞は部分和の数列の極限値で定義されてて、極限の定義もちゃんと習うけど、
無限積の定義は部分積（？）の数列の極限値だと思えばいいんですか？
パラメータとかいろいろ入っててよくわからないし、発散する場合とか考えなくてもいいんでしょうか。 >>555
メタ数学が対象とする形式的数学は「証明という行為」を理想化したものだから、
飽くまでも理想化された対象にだけ言及するなら、そういう数学理論だと思っていいんだろうね
数理物理が数学理論であるのと同じ意味で
でもメタ数学は形式化されていない生の数学における証明可能性まで主張する（代数幾何でモデル理論を用いたり）
人間が証明を行っているこの宇宙で、まるでZFの公理が成立すると暗に仮定しているかのようだ
ZFは納得がいく、多くの人に支持されている等の根拠では済まされない、重大な間違いの可能性を残してると思う
「ZFは宇宙の真理であり、人間の行為もそれに従う」
ここまで言い切ってしまえば、これはこれで一貫した理論になるけども a, b を
a ≧ b ≧ 0
を満たす整数とする。
a, b の最大公約数をユークリッドの互除法で求める際、
余りを計算する回数を R(a, b) と書くことにする。
(F_n) は フィボナッチ数列 0, 1, 1, 2, 3, …, とする。
n を F_n ≧ a ≧ b ≧ 0 を満たす整数とするとき、
R(a, b) ≦ n
が成り立つことを示せ。 >>556
>無限積の定義は部分積（？）の数列の極限値
これ >>559
a = r[0] = q* b + r[2] ≧ b + r[2]
b = r[1] = q'*r[2] + r[3] ≧ r[2] + r[3]
...
r[R-3] ≧ r[R-2] + r[R-1]
r[R-2] ≧ r[R-1] + r[R]
r[R-1] ≧ r[R] + 0
逆に辿って、
r[R-1] ≧ 1 + 0 = Fib[1]
r[R-2] ≧ Fib[1] + 1 = Fib[2]
r[R-3] ≧ Fib[2] + Fib[1] = Fib[3]
.... r[0] ≧ Fib[R]
Fib[n] ≧ a ≧ Fib[R]
よって n ≧ R ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
