俺天才高校生、三角関数を二次関数で表すことに成功 [無断転載禁止]©2ch.net

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/04(土) 15:22:28.55

[2]
n次の整多項式U_nを
　U_n(cos(t)) = sin((n+1)t) / sin(t),
　U_n(cosh(t)) = sinh((n+1)t) / sinh(t),
によって定める。
　U_n(x) = Σ(k=0,[n/2]) (-1)^k (n-k)!/{k! (n-2k)!} x^(n-2k),
を示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 04:56:27.57

T_{2r+1}(cosθ) = cos((2r+1)θ),　　　……　第1種チェビシェフ多項式

1 + T_{2r+1}(x) = 0,
の根のうち x=-1 を除いた r個の重根を考える。

積和公式
　2 sin(θ/2) cos((r+1/2)θ) = sin((r+1)θ) - sin(rθ),
から
　{1 + T_{2r+1}(cosθ)} / (1 + cosθ)
　= {1 + cos((2r+1)θ｝/ (1 + cosθ) = {cos((r+1/2)θ)/cos(θ/2)}^2
　= {[sin((r+1)θ) - sin(rθ)]/sinθ}^2
　= {U_r(cosθ) - U_{r-1}(cosθ)}^2　　　……　第2種チェビシェフ多項式

U_r(x) - U_{r-1}(x) のｒ個の単根は
　x = cos((2k-1)π/(2r+1))　　　　　　　(k=1,2,…,r)

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/09(土) 21:59:29.83

x≒0　では　　cot(x) = cos(x)/sin(x) ≒ 1/x
cot(x) は基本周期π をもつ。
この２つから
　cot(x) = 1/x + Σ[k=1,∞) {1/(x-kπ) + 1/(x+kπ)}
　　= 1/x - Σ[k=1,∞) 2x/{(kπ)^2 - xx}
　　= 1/x - x/3 + ････
を予想するのは難しくないだろう。
xをπ/2ずらせば
　tan(x) = Σ[k=0,∞) {1/((k+1/2)π- x) + 1/(-(k+1/2)π- x)}
　　= Σ[k=0,∞) 2x/{[(k+1/2)π]^2 - xx}
　　= x + (1/3)x^3 + ････,
となる。
これらは無限級数だから有理関数ではない。
しかし、有理関数に限りなく近いと考えても良いだろう。
てことは、xが複素数のときも望む精度で計算できる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/09(金) 13:55:42.21

πを平方根で表わすことに成功

　π^2 + (1/π)^2 = (π - 1/π)^2 + 2 ≒ 10,
　π - 1/π ≒ 2√2,
これを改良して
　π - 1/π + 1/(2π^4) = 2√2,
∴　π = 3.141603

　π^2 + (1/π)^2 = (π + 1/π)^2 - 2 ≒ 10,
　π ＋ 1/π ≒ 2√3,
これを改良して
　π + 1/π + 1/((√6)π^4) = 2√3,
∴　π = 3.1416016

また
π = √3 + √2 - (√3 + √2)/((4√3)π^4),
1/π = √3 - √2 + (√3 - √2)/((4√3)π^4),