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微分積分 [無断転載禁止]©2ch.net
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0323１３２人目の素数さん
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2017/10/11(水) 10:39:21.53ID:HgIAH4lS
アーベルの定理ですが、なぜ以下のように書かないのでしょうか？

x = r > 0 で級数 Σa_n * r^n が収束していれば、 Σa_n * x^n は区間 (-r, r) で収束する。
(-r, r] で定義された関数 f(x) = Σa_n * x^n は x = r で連続である。
0324ル．ヌー
垢版 |
2017/10/12(木) 20:34:20.15ID:Hbkmuqaq
f(z)=z/sinh z,z∈Cにおいて
(1) f(z)はC上正則であることを示せ。
(2) z=0はf(z)の除去可能特異点であることを示せ。
(3) z=0まで定義域を拡大したf(z)のz=0におけるマクローリン展開の2次の項までを求めよ。
(1).(2).(3)の解答をお願い致します。 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:ae2afb6cd11f3e92f5cd12f037b4c3ac)
0336１３２人目の素数さん
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2017/11/01(水) 11:44:22.20ID:JbuIDZZG
次の(1), (2), (3)をみたす R 上の C^∞ 関数 f(x) と g(x) が存在する。

(1) lim_{x → ∞} f(x) = lim_{x → ∞} g(x) = +∞
(2) lim_{x → ∞} f'(x)/g'(x) は存在して有限値
(3) lim_{x → ∞} f(x)/g(x) は存在しない

例

f(x) = x + sin(x)*cos(x)
g(x) = exp(sin(x)) * f(x)

と書いてあるのですが、

g'(x) = exp(sin(x))*(f(x) + 2*cos(x))*cos(x)

なので、

lim_{x → ∞} f'(x)/g'(x) は考えられないと思います。

これはどういうことなのでしょうか？
0337１３２人目の素数さん
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2017/11/01(水) 11:46:48.26ID:JbuIDZZG
>>336

任意の正の実数 K に対して、分母である g'(x) がゼロになるような x (> K) が存在するので。
0338１３２人目の素数さん
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2017/11/01(水) 12:51:26.14ID:Ui7V9dMR
あ
0349１３２人目の素数さん
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2017/11/05(日) 13:27:04.69ID:H+oI+PsN
学部初級の微分積分の本で，オススメはなんですか？

溝畑「数学解析　上下」
でいいですか？
0350１３２人目の素数さん
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2017/11/05(日) 20:44:48.74ID:RSWE/Y5W
レベルは高くないですが、野村隆昭著『微分積分学講義』がおすすめです。
0373１３２人目の素数さん
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2017/11/07(火) 20:41:55.47ID:tIMewAzz
斎藤正彦さんの『行列と群』という本の中で、


f(z) を実係数多項式とし、複素係数の多項式として

f(z) = g(z)*h(z)

と分解されるとする。

このとき、g(z) が実係数多項式ならば h(z) も実係数多項式である


という論法が使われているのですが、証明を教えてください。
0385１３２人目の素数さん
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2017/11/14(火) 12:10:38.53ID:5GwueLvD
区間 [a, b) と R は同相でないことの証明ですが、

[a, b) から1点 a を除いた集合は連結

一方、

R から1点を除いた集合は非連結


という証明がありますが、直接的に証明してください。
0396１３２人目の素数さん
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2017/11/24(金) 12:27:06.34ID:2XbK5FAe
〔問題〕
g_i（ｔ）=（1/π）log｜１-（r_i)/t｜
のとき
∫(-∞，∞）g_1（ｔ）g_2（ｔ） ｄｔ
を求めよ。
0399１３２人目の素数さん
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2017/11/27(月) 10:40:16.99ID:f62zTFKa
〔問題〕
a，b>0 のとき
　(1/π)∫[0,∞）2sin(at）sin(bt)/tt dt
を求めよ。
0400１３２人目の素数さん
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2017/11/27(月) 10:45:00.32ID:f62zTFKa
>>399

積和公式
2 sin(at）sin(bt）= cos((a-b)t）- cos((a+b)t),
より
(1/π)∫[0,∞）2sin(at）sin(bt)/tt dt
=（1/π)∫[0,∞)｛1-cos((a+b)t)}/tt dt -（1/π)∫[0,∞)｛1-cos((a-b)t)}/tt dt
=｛(｜a+b｜-｜a-b｜)/π｝∫[0,∞)｛1-cos(u)}/uu du
=（｜a+b｜-｜a-b｜)/2　　　　(*)
= min｛a，b｝

*）高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店（1961)　 §48，p.169

　森口・宇田川・一松：「数学公式I」岩波全書221（1956）　p.251，p.257
0401１３２人目の素数さん
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2017/11/27(月) 20:36:31.14ID:xEoMPOim
floor(sqrt(x)) = floor(sqrt(floor(x)))

がすべての負でない実数に対して成り立つことを示せ。

解答：

floor(x) ≦ x だから

sqrt(floor(x)) ≦ sqrt(x).
floor(sqrt(floor(x))) ≦ floor(sqrt(x)).

今、仮に、 floor(sqrt(floor(x))) < floor(sqrt(x))

が成り立つような負でない実数が存在すると仮定する。

x が整数ならば floor(sqrt(floor(x))) = floor(sqrt(x)) だから、 x は整数ではない。

x は整数ではないからもちろん sqrt(x) も整数ではない。

よって、 floor(sqrt(x)) < sqrt(x)

sqrt(floor(x)) < floor(sqrt(x)) が成り立つ。なぜなら、 floor(sqrt(x)) ≦ sqrt(floor(x))

と仮定すると、 floor(sqrt(x)) ≦ floor(sqrt(floor(x))) となってしいまい仮定に反するからである。

以上より、 sqrt(floor(x)) < floor(sqrt(s)) < sqrt(x).

x < floor(x) + 1 だから sqrt(x) < sqrt(floor(x) + 1).

∴ sqrt(floor(x)) < floor(sqrt(x)) < sqrt(floor(x) + 1)

sqrt(floor(x)) < sqrt((floor(sqrt(x)))^2) < sqrt(floor(x) + 1)

floor(x) と floor(x) + 1 の間に整数 (floor(sqrt(x)))^2 が存在することはあり得ない。

これは矛盾である。

したがって、

floor(sqrt(x)) = floor(sqrt(floor(x)))

がすべての負でない実数に対して成り立つ。 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f)
0402１３２人目の素数さん
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2017/12/07(木) 22:02:26.00ID:PGE1ivVB
時枝正さんの You Tube の講義動画を見ました。

メビウスの帯をセンターラインで切ると4回ねじれた帯ができますが、
これはどう考えれば分かりやすいんですか？
0403１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/21(木) 09:48:16.01ID:KTVs56hk
0 ≦ x ≦ s
0 ≦ y ≦ s
0 ≦ z ≦ s
x + y + z = 2*s

という条件をみたす点 (x, y, z) の集合はコンパクト集合である。

f は連続写像だからこのコンパクト集合上で最大値をとる。

点 (2*s/3, 2*s/3, 2*s/3) はこのコンパクト集合上の点であり、
f(2*s/3, 2*s/3, 2*s/3) = (1/27)*s^3 > 0 である。

x, y, z のどれかが s であれば f = 0 であるからそのような (x, y, z) は最大点ではない。
x, y, z のどれかが 0 であるとする。例えば、 x = 0 であるとする。

このとき、

y + z = 2*s
0 ≦ y ≦ s
0 ≦ z ≦ s

であるから y = z = s でなければならない。

f(0, s, s) = 0 である。

よって、 x, y, z のどれかが 0 であるような点 (x, y, z) は最大点ではない。

以上から、最大点を (x, y, z) とすると、

x, y, z は、

0 < x < s
0 < y < s
0 < z < s
x + y + z = 2*s

という条件をみたす。

よって、

x, y, z が

0 < x < s
0 < y < s
0 < z < s
x + y + z = 2*s

という条件をみたすとき、

f(x, y, z) = (s - x)*(s - y)*(s - z)

を最大にする点 (x, y, z) は存在する。
0405１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/01(月) 19:30:36.59ID:MtjEXQ7g
連続関数 f(x, y) が全平面で 0 にならないと仮定する。
2変数連続関数の中間値の定理により、

f(x, y) > 0 for all (x, y)

または、

f(x, y) < 0 for all (x, y)

が成り立つ。
0406１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/04(木) 22:18:03.09ID:q45yvd8D
〔補題〕
a_i≧0，x_iは実数のとき
Σ[1≦i，j≦n］min｛a_i，a_j｝x_i xj ≧ 0　（半正値）

(略証）
　>>396-400 から出る。
0417１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/02(金) 14:03:40.43ID:qNa0b/Hk
{a} ⊂ A ⊂ {a, b} ⇒ A = {a} または A = {a, b}

これはどうやって証明するんですか？
0419１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/05(月) 12:40:36.66ID:NBMTNhVs
一般のバナッハ空間で、
f(x+h)=f(x)+f'(x)h+|h|ε
で微分係数f'(x)を（普通に）定義するとして、
fがC1級の時、f'(x0)が逆を持てばfはx0で局所的に
逆写像を持つのは普通にいえますが、
線型写像としてのf'(x0)の核が0（つまり単射）のとき、
fがx0で局所的に単射になることは言えるのでしょうか？
バナッハ空間が有限次元ならやさしいのですが、
一般の場合がわかりません。どなたか偉い人、証明を
教えていただけないでしょうか。
それとも無限次元では言えないのかなあ。
0420１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/06(火) 05:13:22.12ID:prVkj7SB
>>419 もう少し条件を付け足せば、無限次元でも、成り立ちます。

f を バナッハ空間 E の開集合 U からバナッハ空間 F への C^1 級写像で、
U のある点 x_0 に対し、 Ker(Df(x_0)) = {0}, かつ Im(Df(x_0)) が F の閉部分線型空間の時、
E における x_0 の閉近傍 V⊆U が存在し、f は V から f(V) への位相同型となり、
f(V) は F の閉集合であるようにできます。

Im(Df(x_0)) が F で閉でないときは、僕にはわかりません。
0421419
垢版 |
2018/02/06(火) 17:11:43.09ID:f7xgRLJ1
>>420
レスありがとうございます。すごいですね。証明の概略だけでもおしえていただけませんか。
0422１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/06(火) 17:51:27.99ID:prVkj7SB
>>421

ここに pdf があります。証明がついていますので、ダウンロードして見てください。

ttps://box.yahoo.co.jp/guest/viewer?sid=box-l-acm4ry5jroxcmimohztk3mtseu-1001&uniqid=cbb8be2e-d92f-441e-a4f2-6b7a00d3c056&viewtype=detail
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