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３元数できたよ [無断転載禁止]©2ch.net
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0191１３２人目の素数さん
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2016/12/24(土) 14:17:03.42ID:9aBIy+wd
>>180
割り算の計算則と一致しちゃったら、結合則が成り立つことに
なる。ので、一致しなくていい。
0205１３２人目の素数さん
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2016/12/26(月) 17:22:28.96ID:EQ5vFukF
とりあえず八元数でも結合法則は成り立たないけど八元数はある扱い。十六元数は零因子があってax=bを満たすxが存在しないか多数あるかになることもあり無い扱いが普通。
結合法則が成り立たない八元数では交代則が成り立つが十六元数では成り立たず、組成法則も同様。この辺りがまっとうな数学でのあるなしの基準かな。
0208１３２人目の素数さん
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2016/12/30(金) 14:59:26.10ID:K3Q+sHBN
３元数の１次方程式は解けたかな。なんか、ごちゃごちゃしてるけど
実数と複素数の場合を含むとそうなっちゃうんだな。
次は３元数の２次方程式だけど、めんどくさい。やることは中学数学だけど
、だから、めんどくさいな。まずは、ｘ＾２＝−１でも解こう。
期待される解は±iと±ｊだけど、さぁ、どうだ。
結果を書いておこう。
ｘ＿１＝（０、ｘ、−ｘ−１）
ｘ＿２＝（０、ｘ、−ｘ＋１）
２種類の解だけど、まあ、無数にあるんだな。
±iと±ｊも無事含んでました。
無数にあるけど、形は２種類、こういうのなんて言うの？
こうしてみると、複素数の世界ってのは、３元数（複複素数）の世界の
ほんの氷山の一角の１粒の水分子みたいなもんだな。
３元数の深淵をかいま見ちゃったね。我ながら恐ろしいｗ
0210１３２人目の素数さん
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2017/01/01(日) 15:37:08.60ID:vdRUn3bQ
四元数の場合をやったことないのかな
ちなみに二次方程式もax^2とx^2･bが交換法則の成り立たない場合は別の項として扱わなければならないから、まとめられず、面倒くさい
0211１３２人目の素数さん
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2017/01/03(火) 12:16:12.88ID:I+7Hx51C
小川の構成方法でn元数ができそうだけど、そうしてみると、ハミルトンの４元数は２のべき元数としての４元数であってn元数としての４元数ではないのかもな。
誰か小川の構成方法で４元数できるかやってみて。簡単だろ。俺はものぐさ太郎ちゃんだからたのむは。
0213１３２人目の素数さん
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2017/01/03(火) 13:31:28.95ID:pLqMY4Oe
>11がほぼ正しい答を出してるのに，まだ議論してるの?
まず，C^2 は(非可換も含めた)環ではない．
証明. C^2 が(非可換でもよい)環だと仮定する．
(i_1)(-i_1)=1 なので i_1 は可逆元である．
(i_1)^2=-1=(i_1)(i_2) より,
(i_1)((i_1)-(i_2))=0
i_1 は可逆元なので i_1=i_2 となって矛盾
0214１３２人目の素数さん
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2017/01/03(火) 15:17:43.97ID:XA1VBpFd
２３で書いてあるじゃん
0215１３２人目の素数さん
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2017/01/04(水) 01:10:28.56ID:sgR+y8bf
小川代数に興味は感ずるが、
>>1リンク先の手書き文書が何言ってるのかサッパリ判らない。
勝手に、ちょっとまとめてみる。

R^3上に、下記の等式で演算＋と×を定義する。
(a,b,c)＋(x,y,z)=(a+x,b+y,c+z),
(a,b,c)×(x,y,z)=(ax-by-bz-cy-cz,ay+bx,az+cx).
この定義によって、
＋は可換群をなす。
×は非結合的であるが、可換ではある。
分配則が成り立つ。

小川代数は、体でないばかりか
非可換環ですらないので、非常に扱いづらい。
×の可換性も、非結合的なので
ほとんど何の役にも立たない。

R^3上に同値関係 (a,b,c)〜(x,y,z)
⇔ a=x ∧ b+c=y+z を導入すると
商集合R^3/〜において演算＋,×は
0216１３２人目の素数さん
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2017/01/07(土) 17:24:49.11ID:Fp6l9s9r
>>208
x1とx2の積も−１になるんだね。
面白いね。
0217１３２人目の素数さん
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2017/01/08(日) 09:16:16.17ID:S9XmxeLe
>>216
計算間違いでした。−１じゃなくて１でした。
いやぁ、ウェルデファインドだなぁ。
自動的にうまくいくもんなぁ。
0218１３２人目の素数さん
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2017/01/08(日) 09:20:45.06ID:S9XmxeLe
>>215
途中で切れてるけど、どした？
可徐なことに気付いてブルってるのか？w
0219１３２人目の素数さん
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2017/01/08(日) 22:30:16.64ID:Njwrfy5l
対象があまりに煩瑣なので、考察が進まないというか、
時間ばかりかかって面白い話が出てこないのだが、、、

とりあえず、小川代数の中で、
集合{(x,0,0)|x∈R}がなす部分代数が実数体と
環同型である。また、この部分代数の元との乗算が
実多元環としての小川代数のスカラー倍と一致する。
これにより、i=(0,1,0), j=(0,0,1)と置いて
小川代数の元を(x,y,z)=z+yi+zjと書くことが
正当化される。
右辺の加法乗法は、小川代数の＋,×である。

さて、この道具立ての下で、小川代数/〜の
welldefinedness を検討すると
0221１３２人目の素数さん
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2017/01/11(水) 03:29:29.62ID:q8BVSjyg
小川代数は乗法非結合だが、実数を掛けるときには結合的で
∀a,b∈R, ∀x,y∈R^3, (ax)(by)=(ab)(xy) が成り立つ。
これと、分配則と、確認容易な ii=ij=jj=-1 から、
掛け算と割り算の式
(a+bi+cj)(x+yi+zj)=(ax-by-bz-cy-cz)+(ay+bx)i+(az+cx)j,
1/(a,b,c)=(a-bi-cj)/{a^2+(b+c)^2} ←[*] が検証できる。
これで、やっとアヤシゲな部分は潰せたかなと。
0222１３２人目の素数さん
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2017/01/11(水) 03:31:09.23ID:q8BVSjyg
その上で、R^3 に二項関係
(a,b,c)〜(x,y,z) ⇔ a=x ∧ b+c=y+z を導入する。
小川の加法乗法は商集合 R^3/〜 上で well-defined であって、
小川代数/〜 が定義されるが、この代数は複素数体と同型となる。

さて、ここで、0〜x≠0 なる小川代数の元 x に対して
1/x が定義されれば、0 除算について面白いことが起こるのだが、、、
残念。小川代数/〜 の 0 に対応する小川代数の元は
(a,b,c), a=b+c=0 であって、[*]式でわかるように
小川代数の非正則元と一致してしまっている。
つまり、複素数体を小川代数ヘ拡張しても、0 除算は可能にならない。
0223１３２人目の素数さん
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2017/01/11(水) 18:36:21.75ID:CKwjIu8G
０除算て必要あるの？
０虚数以外で割り算できればいいんだってば。
０虚数は吸着元つーか吸着集合になってるんだから、０の拡張
なんです！
0224１３２人目の素数さん
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2017/01/11(水) 22:44:02.64ID:wTOrP7oP
０除算が目的ではないのか。ふうん。
＞０虚数は０の拡張なんです！
というのが、差が０虚数であることが
差が無いことの拡張だという意味なら、
前述の 〜 を「ほぼ差が無い」ことと見なす
ということになるね？
０虚数は、０とほぼ差が無い数だから除数になれない。
それ以外の元も、ほぼ差が無い元ごとに
グループになっていて、各グループが
ひとつの複素数に対応している。

さて、複素数を拡張して計算規則に制限のある
小川三元数にすることに何の意味があるんだろうね？
そこが面白ければ、小川代数に価値があるのだろうけど。
0225１３２人目の素数さん
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2017/01/13(金) 09:45:18.69ID:N0/3EmEJ
>>224

ぼくちん数学者じゃないもーん。
後は世界の数学者の仕事だ。
乗り遅れるなよ。w
0226１３２人目の素数さん
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2017/01/13(金) 23:36:05.23ID:I9elmAwH
AIIBかよ。
趣味でやってるからこそ、面白さが大事だろ？

単に隠し変数を入れて、計算しずらい代数を定義したいだけなら、
こんなのもある↓　簡潔だが、やってることは小川とほぼ同じ。

R^2 上に、以下のように加法、乗法を定義する。
(a,b)＋(x,y)=(a+x,b+y),
(a,b)×(x,y)=(ax+by,ay+bx).
この代数を、(a,b)〜(x,y) ⇔ a-b=x-y で
類別すると何が起こる？

小川同様、対して内容は無いが。
0227１３２人目の素数さん
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2017/01/14(土) 00:01:47.16ID:5UblrJkB
環の数だけ幾何学があると思えば小川代数も何らかの幾何学の座標と見なせるだろうけど、
それだけでは面白さや有用性なんて出てこないのよね
0228１３２人目の素数さん
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2017/01/15(日) 12:08:02.65ID:xpBgi6e6
何か応用できないかと思案しています。
おいらの中学数学脳で考えています。抽象はさっぱり分からん。数学者ってのはあれで
分かるんだから大したもんだ。
幾何的に考えたい。３元数の四則ができるってことは3次元の関数を
(x,y,x^2−y^2)みたいに３元数で書いた場合、この四則ができるってことだな。
３次元の関数の四則ができる。面白くない？
0229１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/01/15(日) 12:44:16.35ID:ALWBgJB1
体どころか環ですらないものを「三元数」と呼ぶのは
どうにも違和感があるね。

少し計算してみると判るが、小川代数の非結合性は
頑なに式変形を拒むので、四則ができるという感じ
はあまりしないし、楽しいというより息苦しい。

何か楽しいことを見つけたら、教えてほしいな。
興味はあるが、期待はしてない。
0230１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/01/15(日) 13:35:32.27ID:wfzF71e1
数論や代数幾何には綺麗な代数系しか出てこないけど、組合せ論や離散幾何にはヘンテコなのがあるからね
そっち方面で探してみたら
0231１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/01/15(日) 15:45:51.72ID:pZ4QykRi
８元数でも結合法則は成立しないけど、交代則が成り立つから、逆数を掛けて消すような操作はできる。16元数だとそれすらできない。
それでも16元数では
x^(n+1)=(x^n)x
として、
x^m*x^n=x^(m+n)
が成り立つのはましだけど。二重化続けるとこれすら成り立たなくなる。
0232１３２人目の素数さん
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2017/01/15(日) 18:13:34.38ID:ALWBgJB1
小川代数は、{1,i,j}を基底にするよりも
{1,i,j-i}を基底にしたほうが、
(複素数)+(０虚数)の構造が見易い。
q=j-i と置いて、qq=iq=jq=0 だから
(a+bi+cq)(x+yi+zq)=(ax-by)+(ay+bx)i+(az+cx)q,
1/(a+bi+cq)=(a-bi-cq)/(aa+bb).
割り算は、w=a+bi と置いて
1/(w+cq)=(1/w)+(-c/｜w｜)q
のほうが見よいかもしれない。
0234１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/01/16(月) 20:14:07.94ID:iDviEo6+
非結合と零因子で悲鳴上げるなよw
ベクトル場の特異点でも効いたけど、小川の３元数空間の特質は
０虚数直線だな。これを利用する形で応用を考えたい。
何かアイデアあったら教えてよチュ
n乗とか基本的な部分でも抽象になるか計算してみたいんだが、A4のノートじゃ
せまくてな。ということで１m×2mのホワイトボードシート注文したから
これ届いたらチマチマ計算してみるわ。たかが趣味だから気楽にやるお。
かっけー俺かっけーよ。そもそも俺は地球の精神の王だからな。この
俺の定義がウェルデファインドなら自動的にうまくいくはずなんだ!
君たちも自分をうまく定義したまえ。そしたらうまくいく。下手に定義して
爆弾抱えて走ることのないようにな。
0237１３２人目の素数さん
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2017/01/17(火) 23:46:48.17ID:3vQPUPcS
>>234
＞これを利用する形で応用を考えたい。

本人が何か発見するのを待とう。

再度、
＞興味はあるが、期待はしてない。
0238１３２人目の素数さん
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2017/01/26(木) 17:20:32.70ID:m4s1eBrN
>>234
幾何的にっていってもいまいちだな。素養がないのでノーアイデァアだな。
ちゅうことで、３元数を利用して５時方程式を代数的に解こうと思う。
不可解の証明は３元数想定してないだろ。解ける気がする。
５項に分解して未知係数が７５個使えるからたくさんあって良さそう。
出だし始めとこなんで、なんとも言えんが。
0239１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/01/26(木) 17:32:48.67ID:m4s1eBrN
話題投下。
マックスウェルの方程式のオリジナル版だって。３元数使うらしい。
http://nanamas.my.coocan.jp/nana25a161.html
物理得意な人、何かやってみてよ。
統一場理論できるかもよ。
あと、量子力学にも自然に応用できそうだな。
３元数の３つの積ってのは２つ値持ってるから、それっぽくない？
非結合の８元数が利用できるんだったら、３元数もいけそうだけどな。
８より少なくて楽そうだし。
0240１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/01/26(木) 17:58:45.08ID:j2A74GYu
アホか
そのページの著者は、四元数の使用と対比して、通常の三次元ベクトル積を「三元数」と気取って書いてみただけだ
0242１３２人目の素数さん
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2017/01/26(木) 18:16:12.93ID:IlQqHifY
>>238
話を三元代数へ移す部分も、三元代数で解いた後に
答えを複素数へ戻す部分も、成分計算は代数的だから、
それができたらアーベルの結果に矛盾する。
0253１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/03/26(日) 16:28:02.23ID:uOPGJF8e
まだ５次方程式は解けてません。
非結合をうまく使えば対称性が崩れる気がする。

とりあえず、ｎ元数の構成をアップしました。
http://ogawapc.myhome.cx/Ngensuu.htm
0254１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/02(日) 22:37:12.96ID:sTKGBIvZ
次は実係数の２次方程式の３元数解をアップするわ。
0255１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/03(月) 19:06:05.55ID:JUNd3XUS
アップしました。
http://ogawapc.myhome.cx/jitu2ho3genkai.htm
次は３次方程式やります。できるかな。
結局、４次までかなぁ。どうだろう！？
うーむ。（・＿・）
0256１３２人目の素数さん
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2017/04/10(月) 11:32:24.58ID:9julmUPI
３次方程式の３元数解は簡単にはもとまらんわ。うーん。試行錯誤ちゅうー。
0257１３２人目の素数さん
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2017/04/11(火) 20:47:55.33ID:6zXiWVmt
３次方程式の３元数解うまくいった気がしる。
途中だけど。へーそうきたかって感じ。３乗根使ってないけど２じほうていぢk
0258１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/11(火) 20:48:26.47ID:6zXiWVmt
っw
0259１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/11(火) 20:52:23.54ID:6zXiWVmt
スマホうぜ。
２次方程式に還元できたわ。複素数表示に戻すときにiが付くからいいんだろうな。
いやぁ、おそるべしウェルデファインド♪
たぶん、うまくいった。たぶん。
0260学術
垢版 |
2017/04/11(火) 21:22:38.37ID:Z4fW1E3H
クララメールの公式。ぐらいまででアップ。
0261１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/12(水) 10:58:48.15ID:Rv4U0BPl
なにそれ？(゜o゜)
３次方程式の３元数解眺めた感じでは５次方程式射程に入ったぜ。命中するかはまだ分からんが。(-。-)y-~
0262学術
垢版 |
2017/04/12(水) 12:52:07.65ID:9vdVAMvL
五次方程式は知らん世代。共通三次とはいかないし、
センターは二次は不利益だったからパスしてたけど。
0263１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/12(水) 16:34:24.11ID:REvjbxAa
係数のケースバイになって一部３乗根出てきたわ。
面白いのは、０虚数で除算できないとしたけど、
それは分母からiを消そうとする場合であって、そのままならいいつーか、
そういう計算になってる。そのままで、再度分子に来て１になるちゅー寸法ですわ。
近々アップするんでお楽しみに。
うまくできてる。アーベルちゃんとか
ルフィニちゃんとかガロアちゃんとかラグランジュちゃんとかガウスちゃんに
見せたかったなぁ。これはまるっきり、
群の範疇ではないや。５次の場合でも
不可能性の証明にはかからない予感。
たまげたわ。((((；゜Д゜)))
0264学術
垢版 |
2017/04/12(水) 19:54:57.39ID:9vdVAMvL
ラグランジュだけ既知か。ふけたな。
0265１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/14(金) 11:39:08.85ID:KyZxDFa9
うーん。係数の式にはなったんだけど不正解だった。途中で２乗したからかな。ふりだしでしゅ。(。>д<)
0266１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/14(金) 19:25:41.06ID:s4Bd3t5Y
頑張ってね。３次とか、４次とか、期待している。
５次以上については、>>242に書いたとおりだけど。
0277１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/11/13(月) 11:22:36.35ID:Xk3J1ufN
3元数はこれでいいんじゃね？

ii=-1
jj=-1
ij=-ji

(a+bi+cj)(a-bi-cj)=a^2+b^2+c^2

(a+bi+cj)(x+yi+zj)=(ax-by-cz)+(ay+bx)i+(az+cx)j+(bz-cy)ij
0278１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/11/16(木) 14:33:51.66ID:MDLaHJHa
四元数へ自然に拡張できるからこれでいいじゃん
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