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【数セミ】エレガントな解答をもとむ2【2016．11】 [無断転載禁止]©2ch.net
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
0715１３２人目の素数さん
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2018/02/20(火) 21:22:33.93ID:Sc+VCWMp
2番って漸化式からすぐに言えるんとちゃんのん？
0717１３２人目の素数さん
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2018/02/21(水) 13:14:32.53ID:05r7aMQa
>>715
「その他、漸化式から証明した人が多数いました」の「多数」の一員でよければどうぞ。
0719１３２人目の素数さん
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2018/02/21(水) 19:17:37.53ID:05r7aMQa
3月号の問2のことだろ。
東大の入試問題としても丁度よさそうなレベル。
漸化式を使って解くのが普通だし、それなら20分もあればちゃんと完答できる。
その回答で満足できるのならそれでいい。ケチをつける気はないよ。
0720１３２人目の素数さん
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2018/02/22(木) 13:17:42.88ID:e0oVX/cg
東大舐めすぎ
0722１３２人目の素数さん
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2018/02/25(日) 06:21:12.27ID:gGaVEUAO
解くべき問題が無くなって暇な人に…

〔掛谷の定理〕
正係数のn次多項式
　F（x）= a_0･x^n + a_1･x^{n-1} ＋ …… + a_{n-1｝･x + a_n,
について
・a_0 > a_1 > a_2 > …… > a_{n-1｝> a_n > 0　ならば
　F（x）= 0 の解の絶対値は１より小さい。
・0 < a_0 < a_1 < a_2 < …… < a_{n-1｝< a_n　ならば
　F（x）= 0 の解の絶対値は１より大きい。
0723１３２人目の素数さん
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2018/02/27(火) 03:14:44.71ID:M/Cc1/YM
(1)
n次方程式 F(x）= 0 の根｛r_k｝がすべて実数のとき、
　F(x）が極値・停留値をとる点b｛F '(x）= 0 の実数解｝は次をみたす。
　r_min ≦ b ≦ r_max

(2)
n次多項式 F(x）が停留値をとる点β｛F '(x）= 0 の解｝は、
　F(x）= 0 のすべての根を含む凸領域内にある。

例）　すべて単根｛α_k｝のときは
　β = Σ[k=1,n］ｔ_k α_k
　重み　t_k = |β-α_k|＾(-2)／{Σ[ｊ=1,n］｜β-α_ｊ|＾(-2)}
0724１３２人目の素数さん
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2018/03/01(木) 16:28:38.74ID:utcJHdiE
f(x) が下に凸であるとは、a≠b、0<λ<1 に対して
　(1-λ)f(a) + λf(b) ＞ f((1-λ)a+λb)
が成り立つこととする。

〔補題〕
f(x）が 0≦x≦1 で下に凸ならば

1）　（1/n）Σ[k=1，n］f(k/(n+1)）＞｛1/(n-1)｝Σ[k=1，n-1］f(k/n),

2）　｛1/(n+1)｝Σ[k=0，n］f(k/n）＞｛1/(n+2)｝Σ[k=0，n+1］f(k/(n+1)),
0725１３２人目の素数さん
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2018/03/02(金) 05:10:33.95ID:IyAEI4K5
f(x) が下に凸であるとは、a≠b、0<λ<1 に対して
　(1-λ)f(a) + λf(b) ＞ f((1-λ)a+λb)
が成り立つこととする。

〔Popoviciuの不等式〕
f(x) が下に凸ならば、 (a+b+c)/3 = m に対して、
f(a) + f(b) + f(c) + 3f(m) ≧ 2f((a+b)/2) + 2f((a+c)/2) + 2f((b+c)/2),

佐藤淳郎（訳）「美しい不等式の世界」 朝倉書店(2013) p.41 演習問題1.89
0726とあるエレ解常連
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2018/03/03(土) 00:03:14.63ID:qWbxhH7e
みなさんが簡単だの受験レベルだの言うので全く手をつけてません
一身上の都合により明日1日で終わらせないといけません
これで簡単でなかったら激オコですよ
0727１３２人目の素数さん
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2018/03/03(土) 05:56:22.65ID:hUH2ieOC
>>669-672

2017年12月号　■出題2

n=6 の解答を残しておく。

A1-A2-A3-A1
A1-B1
A2-B2
A3-B3
以上を色1で
B2-A1-B3-B1　　色2
B3-A2-B1-B2　　色3
B1-A3-B2-B3　　色4

3回（120ﾟ）対称らしい
0729とあるエレ解常連
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2018/03/04(日) 02:58:14.77ID:FuxS60Ot
>>726
> 一身上の都合により明日1日で終わらせないといけません
> これで簡単でなかったら激オコですよ

激オコしかけましたがなんとか大丈夫でした（笑

よい週末を。
0730とあるエレ解常連
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2018/03/10(土) 09:51:13.14ID:L1Ot5zPy
>>683
> ■出題１：レベル6～7（常連正解率50～70％）
> ［ノーヒントならレベル9～10（常連正解率0～10％）］
>
> 2n個の点からランダムにn個の区間を選ぶとき、
> すべての区間と交わる『支配区間』がk個以上できる確率を問う問題。
>
>
> ■出題２：レベル7～8（常連正解率20～40％）
> ［ノーヒントならレベル9～10（常連正解率0～5％）］
>
> 『強正則グラフ』

2問ともノーヒントでレベル9～10という超難問だった1月号の解答がもうすぐ来ます。
待ち遠しいですね。果たして何人解けているのか。
特に出題２をノーヒントで解くのは、とあるエレ解常連レベルでは3ヶ月時間をもらっても無理です。
両問ともヒントを使ったかどうかは解き方を見ればすぐに分かります。
ヒントなしで解いた人間がいたら本スレで崇め奉りたいと思ってます。
0731１３２人目の素数さん
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2018/03/10(土) 22:06:03.45ID:z9TqCAdc
大数3月号の宿題はどうですか
0732１３２人目の素数さん
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2018/03/11(日) 01:18:05.30ID:WtEF6UI/
>>722
〔掛谷の定理〕
　不等式スレ９.453 459 465

>>724
　不等式スレ９.463

>>725
　〔Popoviciuの不等式〕

(i) a, b ≦ m ≦ c のとき
　f(m) + f((m+c)/2) ≧ f((a+c)/2) + f((b+c)/2),
(ii) a ≦ m ≦ b，c のとき
　f((a+m)/2) + f(m) ≧ f((a+b)/2) + f((a+c)/2),
は次から出る。

〔補題471〕
f(x) は m，nを含む区間で下に凸
m+d，n-d が m と n の中間にあるとき
　f(m) + f(n) ＞ f(m+d) + f(n-d)

　不等式スレ９.465 471

>>729
激オコしなかったんですか^^
0733とあるエレ解常連
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2018/03/14(水) 00:23:42.30ID:sLl67O8h
4月号の出題1は一松先生、またの名を「エレガントな解答をもとむコーナーの生ける伝説」です。
ぱっと見、難易度がぜんぜん掴めません。
不等式スレの住人に斥候を頼みたいところです。

出題2は岡本吉央先生。
いつも通りエレガントな問題。安心安定のハイクオリティ。
たぶん相当な難問です。（１）、（２）、（３）までありますよ。気合入れないといかんです。
早めに取り掛かるのが吉。私のように組み合わせ論が苦手な人はなおさらです。

組み合わせ論も不等式も苦手な私は今月覚悟して取り組みます
0734１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/14(水) 05:33:58.00ID:ovqCjVLT
2は気づけばなーんだという問題。(3)まで含めてB5の半分程度で行けるかな。
でも良問だと思う。
0735とあるエレ解常連
垢版 |
2018/03/14(水) 23:20:12.94ID:sLl67O8h
>>734
は、早い・・・もう見通したんですか。
心強いお言葉ですねぇ

出題1もよろしくです。
コメントを聞いてから春旅行のスケジュールを立てますｗ
0736１３２人目の素数さん
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2018/03/15(木) 05:17:24.48ID:HCGObM3W
>>733 >>735

4月号　出題１は…
（1) 通分して多項式で考えるのがシュアーか？
（2) も同様。Ω条件を消したいので○○変換してみる？
（3) 因数分解できるが、対称性は自発的に破れる？
どれも当てにならぬが…
0738とあるエレ解常連
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2018/03/17(土) 14:48:21.44ID:gnHvefDK
自分を信用してないので簡単と言われた出題2に早くも手を付たのですがw、確かに簡単というか、簡単すぎるような。
穴がないかチェックしよう。。
0739とあるエレ解常連
垢版 |
2018/03/17(土) 14:50:28.55ID:gnHvefDK
岡本先生は2年前の赤青問題以来、丸くなってしまったのだろうか。。
あの問題は歴史に残る名作でありました
0741とあるエレ解常連
垢版 |
2018/03/26(月) 01:41:33.59ID:sX2IDXHU
>>736
> どれも当てにならぬが…

どれも解いた人にしか書けないコメントですがｗ
不等式スレの住人には屁の河童かもしれませんね。
0744とあるエレ解常連
垢版 |
2018/04/01(日) 22:28:39.21ID:3+dpOogJ
>>734
> 2は気づけばなーんだという問題。(3)まで含めてB5の半分程度で行けるかな。

コレそんなに簡単ですかね・・？
0746１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/04(水) 17:18:10.44ID:68ibS0+d
さっき気がついたけど、今月から締切日必着じゃなくて消印有効になったんだな。
0757とあるエレ解常連
垢版 |
2018/04/08(日) 11:43:58.38ID:EywXlEJ+
>>734, 745
感嘆。やっと思いつきましたよエレガントな解法を。
これを一瞬で思いつけるのは頭良すぎですよ
0759１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/11(水) 00:12:32.15ID:P2CDN9E5
エレガントな解答を思いつかなかった人もいるので
おそえて下さい
0761１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/11(水) 05:43:52.72ID:upSeUnLx
北か東にしか進めない格子上を(1,1)から(m+1,n)まで移動する経路数と同じでしょ？
0762１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/11(水) 10:29:54.02ID:P2CDN9E5
(1)はいいから(2)(3)ぷりーず
0764１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/11(水) 10:57:37.30ID:ccYYEMFW
(2)は半分より右の経路を左端まで移動して、左半分の経路分を引き算する。これがf2。
(3)は3分割して同じことをやる。
0766１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/11(水) 13:46:48.14ID:vimZpIRa
(1,1)から(2m+1,n)までの経路で、(i,j)から東に進む場合にf(i)=jと定義。
1<=i<=mにおいて
f1(i)=f(i)
f2(i)=f1(i)+f(i+m)-f(m)
と置くと、f1, f2の組み合わせとf（つまり経路）が1対1で対応する。
0767１３２人目の素数さん
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2018/04/11(水) 15:55:54.01ID:ixEOJ+I8
>>766
　
f2(i) - f1(i) = f(i+m) - f(m) が 1≦i≦m で単調非減少の経路はそうですね。

非負でOKなら、部分的に減少する経路も有り得る希ガス
0768１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/11(水) 16:06:35.04ID:ixEOJ+I8
(1) は >>761 のとおり

C(m+n-1，m) = C(m+n-1，n-1)
= Π[j=1，m] Π[k=1，n-1] (j+k)/(j+k-1)
= Π[(j，k)∈B1] (j+k)/(j+k-1)
ここに、B1 = {(j，k) | 1≦j≦m，1≦k≦n-1} は m×(n-1) の長方形ブロック

そだね～
0770とあるエレ解常連
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2018/04/12(木) 02:58:02.43ID:RC/XWzxB
>>766
> (1,1)から(2m+1,n)までの経路で、(i,j)から東に進む場合にf(i)=jと定義。
> 1<=i<=mにおいて
> f1(i)=f(i)
> f2(i)=f1(i)+f(i+m)-f(m)
> と置くと、f1, f2の組み合わせとf（つまり経路）が1対1で対応する。

たとえばf(1)<n, f(m)=nなる経路fを取るとf2(i)=f1(i)に限定されます。
任意のiに対しf(i+m)=f(m)=nなので。
しかし実際には別のf2が取れます。
読み違っていたらご指摘ください。

それにしてもいい問題ですねこれ。
翌月号が届くまで暇しなさそうだ。
0772１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/12(木) 12:34:37.16ID:TgaFEakF
>>768

は ブロックB1 に収まるヤング図形を数えたのでござるな。

では、L個の関数 f_1 ≦ f_2 ≦ … ≦ f_L に対しては
ブロックBに収まる３次元ヤング図形の数にならぬか？

Π[i=1，L] Π[j=1，m] Π[k=1，n-1] (i+j+k-1)/(i+j+k-2)
= Π[ (i，j，k) ∈ B] (i+j+k-1)/(i+j+k-2),

ここに、B =｛ (i，j，k) | 1≦i≦L，1≦j≦m，1≦k≦n-1｝は L×m×(n-1) の直方体ブロック
0785とあるエレ解常連
垢版 |
2018/04/14(土) 12:05:31.93ID:OmmA56DO
2018年4月号の講評です。
今月は良質で軽めの問題が1問、エレガントな難問が1問です。

■出題1：レベル4～5 （常連正解率90％）

生ける伝説一松先生の出題。
変数を正としてf(a,b,c;t)≡(a^2+b^2+c^2)-t(ab+bc+ca)+9(t-1)abc/(a+b+c)が
すべてのa,b,cに対して≧0、あるいは≦0となるtの範囲を考えさせる問題。
≦0のときはa,b,cが三角形成立条件を満たすように動く。

一見して数オリの練習問題のようですが実際にそんな感じです。
必要性と十分性をきちんと押さえて議論する必要があり基礎力が問われます。
大学入学を控えた18歳がエレ解の世界へ足を踏み入れる導入問題として
4月号に似つかわしい優れた問題と言えるでしょう。


■出題2：レベル8～？（常連正解率15％～？）

単調非減少な関数f:{1,2,3,...,m}→{1,2,3,...,n}の総数を求める岡本先生の問題。
小問(1)は上記のとおり。(2)は任意のiでf1(i)≦f2(i)を満たす組の総数を求める。
(3)はf1(i)≦f2(i)≦f3(i)を満たす3つ組の総数を求める。

シンプルで難しく、しかし美しい組み合わせ論の問題です。
組み合わせ論はエレガントな問題の宝庫ですね。
私は苦手としているのであんまり出さないでほしいのですがｗ
高校生以下でもチャレンジできますので題材としてはうってつけでしょう。
組み合わせ論はアイデア一発でエレガントな解答が書けることが多いです。
逆にアイデアが浮かばなければ路頭に迷いまくるという困った性質を持ちます。

(1)は重複組み合わせを考えれば終わりなので簡単です。
問題は(2)です。あるf1に対してf2が何通りあるか(*)は論文が出ています。
しかし(f1,f2)の組み合わせの総数については参考文献が見当たりません。
(*)より簡単なのだろうと思いますがエレ解レベルの数学ファンには難しいです。
なんてあたかも私がエレ解ファンの代表かのように語ってますが、
組み合わせ論は『こう解けば簡単じゃん、バカなの？』というコメントで
落ち込まされることが経験上多いので怖いですｗ
0786１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/15(日) 12:12:42.08ID:ZO3/JPf/
2018年4月号

■出題１

〔シューア不等式〕の拡張版
　p,q,r≧0 かつ (a,b,c) と (p,q,r) が同順または逆順のとき
　F(a,b,c) = p(a-b)(a-c) + q(b-c)(b-a) + r(c-a)(c-b) ≧ 0
をまづ示しましょう。
　bとqがそれぞれ中間にあるとして、p-q+r≧0, (a-b)(b-c)≧0,
　F(a,b,c) = p(a-b)^2 + (p-q+r)(a-b)(b-c) + r(b-c)^2 ≧ 0,

(1)
　(a+b+c) f(a,b,c；2) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) ≧ 0,
　t≦2　⇒　f(a,b,c；t) ≧ 0,
　t>2 に対して f(a,b,c；t) < 0 となるような (a,b,c) の例を探す。

(2)
(a,b,c)∈△ のとき
　(a+b+c) f(a,b,c；3) = -(b+c-a)(a-b)(a-c) -(c+a-b)(b-c)(b-a) -(a+b-c)(c-a)(c-b) ≦ 0,
　t≧3　⇒　f(a,b,c；t) ≦ 0,
　0<t<3 に対して f(a,b,c；t) >0 となるような (a,b,c)∈△ の例を探す。

(3)
　t_3 = (t_1 + t_2)/2 = 5/2,
　(a+b+c) f(a,b,c；5/2) = (2a-b-c)(2b-c-a)(2c-a-b)/2 = 0,
　∴ (a,b,c) は等間隔に並ぶ。
　これは (a,b,c) = (1,3,5) のような、△をなさない例も含む。
0787とあるエレ解常連
垢版 |
2018/04/15(日) 15:25:27.83ID:y2agdfqD
>>772
> では、L個の関数 f_1 ≦ f_2 ≦ … ≦ f_L に対しては
> ブロックBに収まる３次元ヤング図形の数にならぬか？

3軸の斜交格子を使って非交差経路の組を数え上げようというわけですか。
f1,f2,f3の経路のスタート、ゴールはある軸方向に1ずつ離れていると。
それは3次元ヤング図形に対応すると。
0788とあるエレ解常連
垢版 |
2018/04/15(日) 15:50:24.38ID:y2agdfqD
>>786
統一された手法で解けるんですね。エレガントです。

> t≧3　⇒　f(a,b,c；t) ≦ 0,

すべてのt≧3で成り立つのは自明ですかね？
0789１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/15(日) 21:32:28.34ID:ZO3/JPf/
>>788

tの1次式で、係数が負。
（a,b,cを固定すれば）tについて単調減少。
問題文にもあった希ガス…
0790とあるエレ解常連
垢版 |
2018/04/15(日) 22:35:07.95ID:dInGck+5
>>789
あのヒントというかお膳立ては必要ない気もしたんですが。
一松センセのあらゆる読者への配慮みたいなものを感じます
0792１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/16(月) 22:48:00.94ID:I9VNB52o
>>789

正三角形を除き、tの係数は負の定数。
tを増大すれば、とこかで負になる。

(a,b,c)∈△ についての上限が t_2 = 3
非△ついては上限なさそう。
(a+1+1) f(a,1,1；ｔ) = (a-1)^2 (a+4-2t)
零点 t = (a+4)/2.
0793１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/20(金) 14:08:29.21ID:W4yzbmXa
数オリとエレガントな解答をもとむって、どちらの方が難しいの？
0794１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/20(金) 23:58:07.64ID:W4yzbmXa
エレガントな解答をもとむと大学へのの宿題となら、どちらの方が難しいのでしょうか？
0796１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/21(土) 19:41:50.90ID:LCJcAykv
近畿大学数学コンテストなんて簡単だよ
エレガントな解答をもとむが一番難しいわ
0797１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/21(土) 19:55:29.52ID:LCJcAykv
難易度：エレガントな解答をもとむ>数オリ>宿題>近畿大学数学コンテスト>学コン>東大理系数学>センター数学
0809とあるエレ解常連
垢版 |
2018/05/12(土) 00:32:12.74ID:h4NJI8KX
18年5月号の講評です。

■出題1：レベル2～3（数学好きの高校生正解率85％）

整数係数n次多項式Pの0≦x≦1における最大値Max(|P|)が
1/sqrt(LCM(1,...,2n+1))以上であることを示す問題。

2n+1はどこから出てくるのでしょうか？
このヒントでピンと来なければ超難問、ピンと来れば超易問。
常連ソルバーには物足りないでしょうが、LCMとの意外な繋がりが美しい良問。


■出題2：レベル1～2（中学受験生正解率50％）

『チェスのナイトが矩形盤のマスを一度ずつ通り元に戻る経路（ナイトツアー）』
が存在しないことを示す問題。

(1)は『ダメなマスの集合Sが存在⇒ナイトツアーが存在しない』を示す問題。
さすがに小学生には無理か？？しかし大した論証ではないと思います。
(2)は大した試行錯誤もせず見つかります。

5月号は新入生歓迎号なのは分かりますがさすがに簡単過ぎではないかと。
出題1はともかく出題2は明らかにヒント過多。
"ダメなマスの集合S"の存在をうまく隠せれば良問になっただけに残念です。
Sを使ったエレガントな解法を自分で見つけたかった人は多かったはず。
0810１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/12(土) 02:26:32.31ID:ERQyPxVg
■出題１

　{P(x)}^2 を展開したとき、x^{奇数｝の係数は偶数だから
　√(2/L）以上であることを示すのかとオモタ。

■出題２

(2)　4×n は 2列ジグザグのSが作れるので存在しない

6×6，8×8，10×10 には存在するらしい。

http://www.geocities.jp/m_hiroi/puzzle/index.html
→　パズルの解法　→　・チェスのパズル　→　騎士の周遊

ワーンスドロフの規則については

秋山 仁・中村義作 共著「ゲームにひそむ数理」森北出版 (1998/Apr) 2376円
の p.72
http://www.morikita.co.jp/books/book/117
0811とあるエレ解常連
垢版 |
2018/05/12(土) 09:53:53.76ID:h4NJI8KX
>>810
リンク先のページではダメ集合Sへの言及はないですね。
ダメ集合Sの効率的な探索法は？という問いはプログラミング的に面白いかもしれない。
0813１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/13(日) 02:42:55.47ID:dQIRZ6zE
>>810

多項式P(x) の一例

・nが奇数のとき
　P(x) = {x(1-x)}^{(n-1)/2}･(2x-1),
　Max{ |P(x)| } = (1/2)^(n-1) √{(n-1)^(n-1) / (n^n)}，　x = 1/2 ± 1/(2√n),

・nが偶数（n≧4)のとき
　P(x) = {x(1-x)}^(n/2 -1)･(2x-1)^2,
　Max{ P(x) }= (1/2)^(n-3) √{(n-2)^(n-2) / (n^n)}，　x = 1/2 ± 1/√(2n),

・nが偶数(n≦4)のとき
　P(x) = {x(1-x)}^(n/2),
　Max{ P(x) } = (1/2)^n，　x = 1/2,

どれも √(2/L) よりかなり大きい…orz

分かスレ443 - 004

>>812

8×8 （チェス盤）はオイラーの時代からあったらしい…
0814とあるエレ解常連
垢版 |
2018/05/13(日) 11:07:41.37ID:3y7zv360
>>813
集合Sが探索効率を上げるんですかね
未解決部分があるようですが最近の研究はどうなっているのか
0815とあるエレ解常連
垢版 |
2018/05/13(日) 11:10:56.05ID:3y7zv360
>>813
多項式の問題すんなりイケました？
実のところそのx(1-x)の形に捕らわれて時間を食いましたわ
0817とあるエレ解常連
垢版 |
2018/05/13(日) 11:33:17.09ID:3y7zv360
どうもチェビシェフを使って振れ幅を最小にできるようで
ちゃんと読んでませんけど
0818とあるエレ解常連
垢版 |
2018/05/13(日) 11:38:39.87ID:3y7zv360
>>816
積分以外の別解法でmax≧1/f≧1/sqrtLCMと押さえられるんでしょうか？
本問のエレガント賞は積分使わなかった人かもw
0819１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/13(日) 20:57:47.74ID:dQIRZ6zE
>>715-719

3月号の出題2

定義
　"number of permutations of n elements with no fixed points"
に基づいて
　d_n = (n-1)(d_{n-1} + d_{n-2}),
を出すのに手間取った。これから
　d_n - n･d_{n-1} = - (d_{n-1} - (n-1)･d_{n-2})
　= ……
　= (-1)^n (d_2 - 2･d_1)
　= (-1)^n,
これを3回使うと「エレガントな漸化式」
　d_n = n(n-1)(n-2) d_{n-3} + (-1)^n (n-1)^2,
が出る。

http://oeis.org/A000166

なお、6月号の締切は　6月8日（消印）
0820とあるエレ解常連
垢版 |
2018/05/14(月) 23:03:48.51ID:EjCwyYuo
>>819
> なお、6月号の締切は　6月8日（消印）

消印締め切りのおかげで投函時に祈らなくてもよくなりました
0821１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/16(水) 02:49:28.54ID:iriy4b81
>>812

ご老公も大昔に出題されてますね^^

数セミ増刊「数学の問題」第(2)集、日本評論社（1978)
の No. 46

>>814

現在は、6×6の盤でも周遊可能のようです。
0822１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/16(水) 15:20:17.92ID:iriy4b81
>>821

6×6 ナイト周遊の例（4回対称）

1 8 23 16 31 10
22 15 2 9 24 17
7 36 21 30 11 32
14 29 12 3 18 25
35 6 27 20 33 4
28 13 34 5 26 19
0823とあるエレ解常連
垢版 |
2018/05/16(水) 20:40:24.04ID:peJi7xrg
>>821
なんと過去に出題済みでしたか
昔の出題分かります？
今より難しかったんじゃなかろうか。
時代への迎合度を測りたい。
0824１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/17(木) 01:07:01.50ID:FDCSht5h
>>823

●４６
　西洋のチェスのナイト（騎士）は、四方八方に桂馬と
びをします。3×4の長方形の盤の各目に 1～12の番号
をふります。このときつぎの2命題を証明してください：

(i)　適当な位置から出発して、つぎつ
ぎにナイトを動かしてゆき、すべての目
をただ一度だけ通ることは可能である。

(ii)　しかし全部を通過して、最後の目
からふたたびナイトの飛び方で出発点に
戻ることは不可能である。

注意　(ii)はもちろんあらゆる可能性をためせば、証
明にはなりますが、もっと＜エレガントな数学的な＞不
可能の証明を期待します。
0825１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/17(木) 05:53:49.67ID:FDCSht5h
>>812 >>814
　n×n (nは偶数)の正方形盤について

　n が4で割り切れない偶数 (n≧6) のとき、4回対称な解がある。
　n が4の倍数 (n≧8) のとき、2回対称な解はあるが、4回対称な解は無い。

I. J. Dejter： Ars. Combin. １６, p.285-295 (1983)
　"Equivalent conditions for Euler's problem on Z_4-Hamilton cycles"

例)

I. Parberry: Discrete Applied Mathematics, ７３, p.251-260 (1997)
　"An efficient algorithm for the Knight's tour problem"
　http://larc.unt.edu/ian/pubs/algoknight.pdf
　http://larc.unt.edu/ian/research/puzzles/knightstour/
0826１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/17(木) 14:55:49.51ID:FDCSht5h
>>812 >>814

10×10 ナイト周遊の例（4回対称）

1, 92, 87, 6, 3, 74, 69, 66, 61, 76,
86, 5, 2, 97, 88, 65, 60, 75, 80, 67,
91, 100, 93, 4, 7, 70, 73, 68, 77, 62,
94, 85, 98, 89, 96, 59, 64, 79, 72, 81,
99, 90, 95, 84, 33, 8, 71, 82, 63, 78,
28, 13, 32, 21, 58, 83, 34, 45, 40, 49,
31, 22, 29, 14, 9, 46, 39, 48, 35, 44,
12, 27, 18, 23, 20, 57, 54, 43, 50, 41,
17, 30, 25, 10, 15, 38, 47, 52, 55, 36,
26, 11, 16, 19, 24, 53, 56, 37, 42, 51,

これも >>822 と同様、分かりづらい…
0827１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/17(木) 16:14:58.24ID:FDCSht5h
>>822

6×6 ナイト周遊（4回対称）　の別解

1, 26, 13, 24, 3, 28,
12, 23, 2, 27, 14, 17,
33, 36, 25, 16, 29, 4,
22, 11, 34, 7, 18, 15,
35, 32, 9, 20, 5, 30,
10, 21, 6, 31, 8, 19,

4つの「結び目」を除いて考えると、外周を3周するだけ…
0828１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/17(木) 17:56:56.89ID:FDCSht5h
>>814

・n×n (正方形盤)
　nが奇数または5以下　→　不可能。
　nが偶数 (n≧6) 　→　可能、2回対称な解もある。
　nが4で割り切れない偶数 (n≧6)　→　4回対称な解もある。

n　　　　合　計　　　　　　4回対称　　2回対称　　　　　非対称
------------------------------------------------------------------
4　　　　　　　　　　0　　　　　0　　　　　 0　　　　　　　　　　0
6　　　　　　　　1,245　　　　　5　　　　　17　　　　　　　　1,223
8　　1,658,420,855,433　　　　　0　　 608,233　　1,658,420,247,200
10　　　　?　　　　　　　　415,902　　　 ?　　　　　　　　?

・3×偶数 (n≦8)　→　不可能。
・3×偶数 (n≧10)　→　可能。n=12を除き、2回対称な解がある。

n　　 合 計　2回対称　　非対称
------------------------------
8　　　　0　　　　0　　　　 0
10　　　　6　　　　4　　　　 2
12　　　 44　　　　0　　　　44
14　　　396　　　 24　　　 372
16　　 3868　　　 24　　　3844
18　　37078　　　292　　 36786
20　 362192　　　176　　362016

・3×(4k+2)　→　2回対称な解と面対称な解は同数ある。
・4×n　→　不可能　…　Sainte-Marie (1887)

"Knight's tour notes"
http://www.mayhematics.com/t/t.htm
0829とあるエレ解常連
垢版 |
2018/05/17(木) 23:53:00.15ID:5HviOqXJ
>>824
> 注意　(ii)はもちろんあらゆる可能性をためせば、証
> 明にはなりますが、もっと＜エレガントな数学的な＞不
> 可能の証明を期待します。

いいじゃないですか。エレ解らしくて。
エレファント解も用意されているのがgood.
集合S以外の解き方はぱっと浮かばず、考えさせられます

対して先月の問題はぜんぜん面白くない。
『問題文に提示されたエレガントな解答の"説明"をもとむ』という名のコーナーじゃないんだが
エレガントな"解答"を求まれたい。

>>809
> 出題1はともかく出題2は明らかにヒント過多。
> "ダメなマスの集合S"の存在をうまく隠せれば良問になっただけに残念です。
> Sを使ったエレガントな解法を自分で見つけたかった人は多かったはず。
0830１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/18(金) 03:17:36.06ID:539vwTx6
>>822 >>827

6×6　4回対称解　の続き

(L)
　 1,　26,　13,　16,　 3,　28,
　12,　15,　 2,　27,　 6,　17,
　25,　36,　23,　14,　29,　 4,
　22,　11,　32,　 5,　18,　 7,
　35,　24,　 9,　20,　33,　30,
　10,　21,　34,　31,　 8,　19,

これは (g) >>827 とよく似ている。

(a)
　 1,　26,　13,　16,　 3,　28,
　12,　15,　 2,　27,　 6,　17,
　25,　36,　23,　14,　29,　 4,
　22,　11,　32,　 5,　18,　 7,
　35,　24,　 9,　20,　33,　30,
　10,　21,　34,　31,　 8,　19,

形は似ているが「結び目」でＵターンするので、結局外周を1回りするだけ。

(i)
　 1,　 8,　31,　16,　 3,　10,
　30,　23,　 2,　 9,　32,　17,
　 7,　36,　15,　24,　11,　 4,
　22,　29,　 6,　33,　18,　25,
　35,　14,　27,　20,　 5,　12,
　28,　21,　34,　13,　26,　19,

これは反転を含んでいる(4回)点で (e) >>822 に似ている。

以上が 6x6 の4回対称解 (a，e，g，i，L)

2回対称解は17種もあるらしい。
0831１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/18(金) 03:32:54.15ID:539vwTx6
>>830
訂正ｽﾏｿ

(a)
　 1,　14,　35,　 6,　 3,　28,
　12,　 7,　 2,　27,　34,　 5,
　15,　36,　13,　 4,　29,　26,
　 8,　11,　22,　31,　18,　33,
　23,　16,　 9,　20,　25,　30,
　10,　21,　24,　17,　32,　19,
0833１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/20(日) 02:23:00.20ID:1IiDnvUy
3×10　ナイト周遊

・ 2回対称解 (Bergholt)　2つ
"NSI"
4, 7, 10, 19, 16, 1, 14, 23, 28, 25,
9, 18, 5, 2, 11, 20, 29, 26, 13, 22,
6, 3, 8, 17, 30, 15, 12, 21, 24, 27,

"NSU”
6, 3, 8, 19, 16, 1, 14, 21, 24, 27,
9, 18, 5, 2, 11, 20, 29, 26, 13, 22,
4, 7, 10, 17, 30, 15, 12, 23, 28, 25,

・ 鏡面対称解 (Sulian)　2つ
"NSI"
4, 7, 10, 29, 16, 1, 14, 25, 22, 19,
9, 28, 5, 2, 11, 26, 17, 20, 13, 24,
6, 3, 8, 27, 30, 15, 12, 23, 18, 21,

"NSU"
6, 3, 8, 29, 16, 1, 14, 23, 18, 21,
9, 28, 5, 2, 11, 26, 17, 20, 13, 24,
4, 7, 10, 27, 30, 15, 12, 25, 22, 19,

（中央で180°ひねったような…）

・非対称解　　2つ

>>828 の下表では　対称解（2回対称または鏡面対称）　とすべきでござった。
0834１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/08(金) 18:44:52.96ID:volchZbj
今月6月号の解答よろぴく
0835１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/10(日) 13:11:19.65ID:8kKQJipm
解答はよ
0837とあるエレ解常連
垢版 |
2018/06/10(日) 17:19:58.88ID:Oq6PatgL
18年6月号の講評です：

■出題1：レベル7～？（常連正解率50％以下）

三角形ABCの3辺を両方向に等距離延長し、各頂点から伸びた2点を結んでできる3直線の交点をA'B'C'とする。
このときAA',BB',CC'が1点に交わることを示す問題。

幾何センスを問われる良難問。
数オリが得意な若い頭脳には簡単なことでしょう。
何度メネラウスを計算したことか。
明けても暮れてもメネラウス。
もう当分のあいだ三角形と直線のなす比は考えたくありません。
締め切り日に気付いたことは相似形とメネラウスだけではダメということです。
延長距離ゼロなら内心で交わることに気付いたPCの前のキミ！
それが何かの役に立ちましたか？


■出題2：レベル7（常連正解率50％）

a_i+b_j＝c_{i,j}（{a_i},{b_j} i,j=1～10は0以上の整数列）
が0から99を渡るような{a_i},{b_j}の組を列挙する問題。

本質的な組み合わせが「～通りに限られる」ことを示すのが難しい。
考えやすいように{a_i},{b_j}に適切な制限を加えることがまず必要。
そのうえで0～99まで数字がどのように増えていくかを考えると、
題意を満たす数列のパターンはそう多くないことに気付くでしょう。
厳密に示すのはやはり並の高校生レベルでは厳しいといえます。
解くのが難しいのではなく本質を突く補題を自分で設定して解くところが難しい。
本誌エレ解をもとむコーナーの腕の見せ所はこういうところにあります。
0838１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/11(月) 00:19:45.64ID:6eoyO+PA
問1はベクトルで。単純計算で分点比からチェバる。

>延長距離ゼロなら内心で交わることに気付いたPCの前のキミ！
>それが何かの役に立ちましたか？

役に立ちそうで立たなかった
0839とあるエレ解常連
垢版 |
2018/06/11(月) 00:32:03.74ID:L5NBC2N9
>>838
平面幾何にはベクトルで一刀両断。
エレガンスなんて糞食らえ。同感です。

> 役に立ちそうで立たなかった

ですよね
0840１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/11(月) 12:03:00.02ID:TnGShdQw
>>837

■出題2 は

(ア)　A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
　　　B = { 0,10,20,30,40,50,60,70,80,90}

(イ)　A = { 0, 1,20,21,40,41,60,61,80,81}
　　　B = { 0, 2, 4, 6, 8,10,12,14,16,18}

(ウ)　A = { 0, 1, 2, 3, 4,50,51,52,53,54}
　　　B = { 0, 5,10,15,20,25,30,35,40,45}

(エ)　A = { 0, 1, 4, 5, 8, 9,12,13,16,17}
　　　B = { 0, 2,20,22,40,42,60,62,80,82}

(オ)　A = { 0, 1,10,11,20,21,30,31,40,41}
　　　B = { 0, 2, 4, 6, 8,50,52,54,56,58}

(カ)　A = { 0, 1, 2, 3, 4,10,11,12,13,14}
　　　B = { 0, 5,20,25,40,45,60,65,80,85}

(キ)　A = { 0, 1, 2, 3, 4,25,26,27,28,29}
　　　B = { 0, 5,10,15,20,50,55,60,65,70}

の７とおり（A，Bを入れ替えれば14とおり）かな。。。

Aの等差部分列A’、Bの等差部分列B’とすると、A’(＋)B’は穴のないブロックをなす筈。
0841１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/12(火) 00:38:04.46ID:XI7mPJ/0
おお、問２はどうやら正解っぽい。問１も挑戦したが解けず。垂心かな？と予想したんだけど、とっかかりすらつかめなかった。
0842１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/12(火) 19:01:00.72ID:OOb2Cgfm
今月号の1問目だが、解答者をバカにしたような問題。
間違いなく、ここ数年で一番易しい問題だと思う｡
0844１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/06/17(日) 02:30:53.58ID:lI+JiKnS
〔Igarashi の不等式〕
　a，b，c>0 のとき、
　a/(bb+bc+cc) + b/(cc+ca+aa) + c/(aa+ab+bb) ≧ (a+b+c)/(ab+bc+ca) ≧ 3/(a+b+c),
　2018年7月号NOTE

(略証)
　a' = bb + bc + cc,
　b' = cc + ca + aa,
　c' = aa + ab + bb,
とおくと
　aa' + bb' + cc' = (a+b+c) (ab+bc+ca),　　…　これがミソ（?）

(1) コーシーにより
　(左辺) = a/a' + b/b' + c/c' ≧ (a+b+c)^2 /(aa' + bb' + cc') = (a+b+c)/(ab+bc+ca),

(2)　f(x) = 1/x は下に凸だから、Jensenにより
　(左辺) = a f(a') + b f(b') + c f(c')
　　≧ (a+b+c) f((aa'+bb'+cc')/(a+b+c))
　　= (a+b+c) f(ab+bc+ca)
　　= (a+b+c)/(ab+bc+ca),

不等式スレ９ - 620～623
0845842
垢版 |
2018/07/09(月) 00:48:44.45ID:QA4ysVPG
締め切り過ぎたし、易しいと書いた手前、7月号の1問目の回答らしきもの書いとくかw
「
整数mが4の倍数のとき(m=4h)　4h=(h+1)^2 -(h-1)^2
整数mを4で割ったときの余りが1のとき(m=4h+1)　4h+1=(2h+1)^2 -(2h)^2
整数mを4で割ったときの余りが3のとき(m=4h+3)　4h+3=(2h+2)^2 -(2h+1)^2
よって、mを4で割ったときの余りが2ではないとき、mは平方数の差であることが分かる。

したがって、nが奇数のとき、x(n)≡0 (mod 4)、nが偶数のとき、x(n)≡1 (mod 4)が言えれば題意は言える。
x(0)≡x(2)≡1、x(1)≡0 (mod 4)だから、帰納的に
x(2k+1)≡x(2k)+x(2k-1)ｰx(2k-2)≡1+0-1≡0 (mod 4)
x(2k+2)≡x(2k+1)+x(2k)ｰx(2k-1)≡0+1-0≡1 (mod 4)
がいえるから、題意は言えた。
」
0846１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/09(月) 13:03:47.51ID:TFGOLUbm
>>845
お見事でござる。

小生はまづ、
特性多項式 t^3 -5t^2 -5t +1 = (t+1)(tt-6t+1) の根が
　α^2，αγ=-1，γ^2 となることに注意する。
（α=1-√2，γ=1+√2)
もし　x_n = (y_n)^2 - (z_n)^2　の形に表わせるなら、
{y_n}，{z_n} の特性値は α，γと予想されるから、
特性方程式：　(t-α)(t-γ) = tt-2t-1,
∴　b_{n+1} = 2b_n +b_{n-1}
　y_n = (γ^n + α^n)/2,
　z_n = (γ^n - α^n)/(2√2),
を求めたのであった。
　y_0 = 1，z_0 = 0,
　y_{n+1} = y_n + 2z_n,
　z_{n+1} = y_n + z_n,
ゆえ、{y_n}，{z_n} は自然数である。
なお、これらは「ペル方程式」
　(y_n)^2 - 2(z_n)^2 = (-1)^n
も満たす。
0847とあるエレ解常連
垢版 |
2018/07/09(月) 19:15:04.10ID:f7BKW3Q1
>>846
一般項を求めたかったんですが自分は諦めました
さすがの一言です
0848１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/13(金) 06:33:33.32ID:JMIiTTdZ
わたくしの解法はこうです。
3以上のnについてx(n)の下2桁が周期的にあるパターンを繰り返すことに着目し、すべてのx(n)が奇数×奇数、または偶数×偶数で表されることを示しました。
これをpq(=x(n))と表すと、a+b=p, a-b=qとおいたとき、a, bはともに整数解をもつことが分かります。したがってx(n)=pq=a^2-b^2と表せるので題意は示された。
なんとなく>>845氏の考え方に似ている気がしましたが、氏の解法のほうが洗練されていていいですね。
0849とあるエレ解常連
垢版 |
2018/07/14(土) 09:55:08.45ID:tGdUMoW8
2018年7月号の講評です：

■出題１：レベル3（数学好きな高校生正解率60％）

a_{n＋3}＝5a_{n＋2}＋5a_{n＋1}－a_n
a_0＝1, a_1＝0，a_2＝5
で定まるa_nが平方数の差で表せることを示す問題。

「補題：mod4で2と合同でないなら平方数の差で表せる」
を運悪く知っている人には合同式の初歩的な練習問題でしかない。
>>845は運が悪かった一人ですが、解法は簡潔でエレガントです。
（>>848もこれに似た解法）

しかし、合同式で解いたら問題自体に何も面白さが感じられない。
一般項が求められるからこそ面白い。
>>846はさすがエレ解常連という感じ。
（もう一人のとあるエレ解常連はあっさりギブアップｗ）

いろんな解法があり、簡単過ぎてつまらないとは言い切れない良問でしたが、
もうちょっと難しくても良いかも？
ただ出題2のおかげでバランスは取れていました。


■出題２：レベル8～10（常連正解率20％以下）


正四面体、正八面体の各面に、隣接する2面が
同じ数字にならないように1,2,3,4の番号を振る。
同じ値が連続しない有限数列a0,a1,...,am∈{1,2,3,4}が与えられ、
その数字の面が下になるように平面状で転がしていくとき、
最後に①位置が最初と同じ、②向きが最初と同じ
になる数列の条件を求める問題

山田修司先生の良難問。
エレガントな解法は不明（コメント求む）

正四面体の場合、展開図を平面上に1通りで敷き詰めることができる。
結果的に平面上の各正三角形にはひとつの数字が対応するため
条件①、②を見つけ出すのはそれほど苦労しない。
（論証はそれなりに面倒。レベル6～7）

正八面体の場合、平面上の1つの正三角形は複数の数字をとりうる。
正四面体の場合と違い平面から規則性を見出すアプローチは採りづらい。
予想はなんとなくできるが、有限列と対応させて論証するのは難しい。

正八面体で詰まってしまい正十二面体には手を伸ばせなかった人が多いと予想。
0850とあるエレ解常連
垢版 |
2018/07/14(土) 10:00:58.31ID:tGdUMoW8
>>849
> その数字の面が下になるように平面状で転がしていくとき、

平面上で転がして　です

微妙に日本語として意味が通ってしまうので修正
0851とあるエレ解常連
垢版 |
2018/07/14(土) 10:13:25.11ID:tGdUMoW8
>>809
> 18年5月号の講評です。
>
> ■出題1：レベル2～3（数学好きの高校生正解率85％）
>
> 整数係数n次多項式Pの0≦x≦1における最大値Max(|P|)が
> 1/sqrt(LCM(1,...,2n+1))以上であることを示す問題。
>
> 2n+1はどこから出てくるのでしょうか？
> このヒントでピンと来なければ超難問、ピンと来れば超易問。
> 常連ソルバーには物足りないでしょうが、LCMとの意外な繋がりが美しい良問。


本誌8月号を見ましたが、意外に正解者が少ないです
正解率だけで言えばレベル6～7（常連正解率60％）くらい。
上に書いたように、解法にピンと来なければまず解けない問題です
こういう問題はレベル付けが難しい

私も実は気付くまでに時間がかかりました
2n+1だから気付けましたが、これが2n+1ではない数で
緩く抑えられていたら絶対に解けなかったと思います。


> ■出題2：レベル1～2（中学受験生正解率50％）

鳩ノ巣原理の練習問題ですが、なんと10代の応募がゼロでした
編集部としてはものすごく残念だったことでしょう
0852とあるエレ解常連
垢版 |
2018/07/14(土) 13:14:26.79ID:tGdUMoW8
そろそろ夏休み。一足先に自由研究をば。

［数セミの適正な読者数に関する一考察]

数セミがメディアで紹介され、さらにAIブームに乗じて購読者数が一桁増えたとしよう。
解答にB5 2枚を要するレベル6程度の問題に対して、
これまで数十人の投稿者だったのが数百人になる計算。
果たして出題者はすべての答案にきちんと目を通せるだろうか？
いくら聡明な数学者と言えど心無い汚い文字を読むのに苦労し、
スジが明快でないアマチュアの記述を読むのにまた苦労し、
すべて読み終えるのに軽く丸3日はかかりそうである。
10万程度の謝礼だったらお断りしたいレベル。
よって投稿者が高々数十に収まるよう難問はより難化するのである。

仮に易問を出したとしよう。
100を超えていた投稿者数が一桁増により1000のオーダーに達する計算。
こうなると「最終的な結論が合っているならOK」という問題に限定しておかないと
答案を見る時間はいくらあっても足りず、出題者は悲惨なことになる。
思いもよらない解法が出てくるのは本コーナーの醍醐味であるが、
そんなのがあったら大変であり、出題者は気を抜くことができない。
よって一目で正誤が判定できる問題に限定され、易問はより易化するのである。

よって問題を難しくしても簡単にしても読者はエレ解から離れ、ひいては数セミから離れていくのである。

ところで購読者が一桁減ったとすると、もはや豊島区大塚の駅近に事務所を構えるのは無理であり、
「数セミ？エレ解？何それトレンド」は加速し、エレ解常連が多けれ少なかれ感じてきた
わずかながらの功名心も失われ、コア層を失う危機がいよいよ到来、雑誌存続は不可となる。

以上を総合すると、現在の読者数は多くも少なくもなく、良い平衡状態にあると言えるのではなかろうか・・・
編集者の給料が上がらないのはとても残念なことだが・・・
0853１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/07/14(土) 14:37:14.37ID:fIrZynJm
5月号■出題1の解説より

lim[n→∞] (Max|P|)^(1/n) = C　とおくと　1/e < C < 1/√5,

文献によれば
　0.4213 < C < 0.4232
らしい。
I.E.Pritsker: J. d'Analyse Math.，９６，p.151-190 (2005)
　"Small polynomials with integer coefficients"
0857１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/04(土) 13:29:18.71ID:Bw0Mcxrs
>>852
解けって言われれば解けるけど、
エレガンスを追求しようと思うと
遠慮しちゃう部分はあるのよねー。
だから、易しい問題のほうが、
本来の趣旨には合ってると思ふ。
0858とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/04(土) 14:01:23.31ID:x3zycMOc
>>857
その意見は理解できます
自分はエレガンスを追求しないので、遠慮なんかしませんけどね。
そもそもエレガントな模範解答が用意されてないことのほうが多いので注意です。
0859１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/04(土) 14:05:02.63ID:6Ul+7C89
エレガントでなくても正解扱いしてくれる出題者がほとんどだから、あまり気にしてないです。
0860とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/04(土) 14:37:40.09ID:x3zycMOc
>>859
> エレガントでなくても正解扱いしてくれる出題者がほとんどだから、

それもありますね。
　XXさんは緻密な計算で解答までたどり着いていました。
　他の解答者はほぼ全員、～変換を施すことで計算量を減らしていました。
って書かれると俺アホなんだな・・と落ち込みますがね
0861１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/04(土) 16:47:07.15ID:Bw0Mcxrs
>>860
出題者は、「（背理法とかを使って）正しいことは証明してるんだけど、
もっと小わかりのする直接的な（たとえば幾何学的な）証明」を求めて
いるから出題してるんじゃないかと思うので、
そのあたりのツボを押さえるかどうかという話なんじゃないだろうか。
0862とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/04(土) 21:49:59.87ID:LQ6snzQH
>>861
出題者が本当の意味でエレガントな解答を求めているケースですか。たしかに、たまにみかけますね。
0863１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/05(日) 09:17:17.48ID:hoqi0kdC
>>861
正解発表号で解答（出題者のも含めて）が掲載されなかったこともありますね。
大昔、竹内郁雄先生（８月号第１問出題）が「たらい回し関数」（計算機学の世界で「竹内関数」とも呼ばれる）の問題を出題されましたが
"エレガントな"解答がなかったためか、解答が掲載されなかった記憶があります。
0865とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/05(日) 10:31:51.30ID:NK4LdsTX
>>863
> 正解発表号で解答（出題者のも含めて）が掲載されなかったこともありますね。

私見ですがT内センセの問題は『この問題捨ててもいいや』と思ってしまう何かがある
0866１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/05(日) 12:13:08.96ID:+Do+cqXV
>>863 >>865
共立出版の『bit』が休刊する前の、
『ナノピコ教室』の最終回に、
「芸術的なプログラムを求む」で
「Tarai 関数」のプログラムが掲載されてた。
0867１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/05(日) 12:22:22.50ID:+Do+cqXV
『エレガントな解答をもとむ』で、直方体のチョコレートケーキ
（チョコレートが入ったケーキではなく、直方体のケーキの表面を
一様な厚さで覆ったケーキ）の表面のチョコと中身のケーキを
含めて三等分しろ。ただし、三つのパーツは（回転・鏡像も含めて）
違う形にすること」というのが思い浮かぶ。
「これは幾何学的に解いてなんぼだ」と思って、最初に中心点から任意の向きに
直線（正確には半線分）で切ったときに、そこから三等分するという条件を
つけて解いて、「いや、これはまだエレガントじゃない」と思って
後から別解答を送った、という記憶がある。
0868１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/05(日) 13:26:12.10ID:hoqi0kdC
締め切りすぎたら　具体的な解答が出てくると思いますが
今月の問１は、エレガントかどうかの違いが　ほとんど出ないのではと思われます。
エレガントにもいろいろありますが
　簡明で普通の高校生でも理解できる。
　一般的である。
　逆に問の条件の特殊性を活用。など
0869とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/05(日) 13:39:38.94ID:NK4LdsTX
>>868
> 今月の問１は、エレガントかどうかの違いが　ほとんど出ないのではと思われます。

きっとあなたは解けたのですな？？すばらしい。
話題のT内さんですが、今月の出題1（2）は面白い、と今まさに書き込もうとしていました。

エレガント（＝シンプル）な式を見つけ、これから証明しようというところ。
で、ふと思ったんだが、この問題は証明を求められているんだろうか？
普通はエレ解で証明ナシはありえんのだがT内さんの場合は分からんｗ
厳密な数学的証明を求めるヒトではなさそうだし、
失礼だが書いたところできちんと読んでくれるのか疑わしい。
n＝１００００００００まで計算機回して一致してりゃ正解、とかじゃないだろうな

14年9月号ニッコリ賢者問題をまだ根に持っておりますｗ
水も漏らさない厳密な証明をがんばって書いたのに誤答扱いしやがってチクシヨウｗ
ニッコリ問題こそプログラムで検証すりゃ良かったのに、まったくもう。

前スレ参照
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1295154182/241
0870とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/05(日) 13:47:45.38ID:NK4LdsTX
>>867
その問題はいかにもエレ解の匂いぷんぷんですな
すぐにはいい方法が浮かびませぬ
0871１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/05(日) 14:12:40.32ID:hoqi0kdC
>>869
> n＝１００００００００まで計算機回して一致してりゃ正解、とかじゃないだろうな

T内さん はハッカー（最j高級計算機屋）ですから、その可能性は完全には否定できませんが、
今回のは一応無限の問題なのでそれはないと思います。

他の出題者だったと思いますが2017年9月問１（有限の問題）で　計算機ですべての場合を求めてプログラムまでつけたけど
模範解答にはなりませんでした。Ｔ内さんなら模範解答だったかも。
0872とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/05(日) 14:19:34.92ID:NK4LdsTX
>>871
> 今回のは一応無限の問題なのでそれはないと思います。

ですよねぇ。
けどニッコリ問題（有限問題）の前科が鮮烈過ぎて信用ならんです
0873とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/05(日) 14:26:32.98ID:NK4LdsTX
>>871
> 他の出題者だったと思いますが2017年9月問１（有限の問題）で　計算機ですべての場合を求めてプログラムまでつけたけど
> 模範解答にはなりませんでした。Ｔ内さんなら模範解答だったかも。

>>601ですね。
この問題は色々解法ありましたね。
これを計算機もちだして解くという発想は出てこないですが、
プログラミングのいい練習問題ではあります。
0874とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/05(日) 16:22:06.91ID:NK4LdsTX
>>868
> 今月の問１は、エレガントかどうかの違いが　ほとんど出ないのではと思われます。

私も証明含めて解き終わりました
>>868さんのように解答のバリエーションまで考察することはできませんでしたが

今月の消印締め切りは8/8。
まだ手を付けていない方、今月は今からでも何とかなります
がんばってくださいまし
0875１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/05(日) 16:42:07.61ID:hoqi0kdC
>>874
知った風に書きましたが、単に私が１とおりの証明しか思いつかなかっただけかも知れません。
0876１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/05(日) 16:46:10.05ID:+Do+cqXV
それ言うたら Maka 10 とか 8 Qeen とか
どないなるんやねん、とかいう話には
なるんスけどね。『ナノピコ教室』がなくなっちゃったんで、
鬱憤が溜まってるんじゃないっスか？
0877とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/05(日) 17:00:22.22ID:NK4LdsTX
>>875
> 知った風に書きましたが、単に私が１とおりの証明しか思いつかなかっただけかも知れません。

証明の方法は1通りだとして、解答のバリエーションはどうでしょうか？
複数あるように思いますが、私は1通り思いついて終わりにしちゃいました。
0878１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/05(日) 17:09:15.44ID:+Do+cqXV
「数学におけるエレガンス」とは何か、というのは
追求すると面白いぞ？
「面積の自乗」とかいうと、「何なんだこれは」と
頭を抱えることになる。
0879１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/06(月) 18:18:07.70ID:QABFtd9V
>>877
>証明の方法は1通りだとして、解答のバリエーションはどうでしょうか？
(2) の式を思いつく過程（実はここが肝心かも知れません）が　いくつかあると思いますが、
明には解答に出てこない可能性があります。
0880学術
垢版 |
2018/08/06(月) 19:23:19.23ID:+5/cclug
エレファントガッツトンズ　ハキョウレギオン
0882１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/08(水) 18:06:32.77ID:WknwQPYm
>>881
今夜24時が締め切り（消印有効）でしたっけ？
0883１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/08(水) 18:25:34.75ID:WknwQPYm
今月の消印締め切りは8/8。 と書いてありました。
0884１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/09(木) 00:00:02.37ID:vMwpaw1t
締め切りになりましたので８月号問１の略解を書きます。

(1)数列を{a(n)} とすると、
「増加数列で,各自然数kについてa((k-1)k+1)=a(k(k+1))=k」であればよい。これを（条件）という。
n=(k-1)k+1のときk=(1+√(4n-3))/2
a(n)=[(1+√(4n-3))/2] とおくと(条件)を満たす。[　]はガウス記号

(2)√{((1)の答え)^2} から推測してa(n)=√(n+√n)とすると(条件)を満たす。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(1)(2)ともに証明は定義にしたがって計算するだけですので容易です。

例えば(2)で
k≧2のとき
　√((k-1)k+1)=k-1 なので、
　 a((k-1)k+1)=√((k-1)k+1+(k-1))=√(k^2)=k
　√(k(k+1))=k なので
　 a(k(k+1))=√(k(k+1)+k)=√(k^2+2k)=k
など。
0885１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/09(木) 14:17:19.03ID:hplqWYiC
>>884
いや、問題を見てないからよくわかんないけどさ、
> √(k^2+2k)=k
っておかしくねぇ？
「√(k^2) = k」とか、
「√(k^2+2k + 1)=k + 1」とか謂うんなら
「だよなー」と思うんだけど。
0886１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/09(木) 15:56:03.90ID:bNvfYm3+
>>885
問題1の(2)では√の定義が「平方根（正）にガウス記号を適用したもの」になってる。
0887１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/09(木) 17:54:47.81ID:vMwpaw1t
>>885
（問題の略記）
k=1,2,3,...が順に2k個ずつ並んだ数列について
(1)第n項をnを１回だけ使って書け
(2)√xを越えない最大の整数を√xと書く
　第n項をn,√,四則演算、カッコのみを使って書け。
　（数値定数は使えない）
問題には書いてないですが　(n+n)/nなどもダメと推定されます。
0890１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/10(金) 10:03:20.71ID:N8ORqZ2w
>>889
「一つの整数を二つの平方数の差で表わす方法 」っていうと、
「偶奇の異なる互いに素な自然数 m,n で原始ピタゴラス数を
表したときの、偶数でも最大数でもない数」っちゅーのが
真っ先に思いうかぶなぁ。
0891１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/10(金) 23:52:51.22ID:MxWQLJMW
それでは解答です！
…と言っても >>867 のですが。
小生は2次元で考えました。

長方形を (0,0) (a,0) (a,b) (0,b) とする。a≧b>0
外周上に「等間隔に」3点 P1，P2，P3 をとる。すなわち
　P1 (0，0)
　P2 (a，(2b-a)/3)　…　(2b≧a≧b のとき)
　P2 (2(a+b)/3，0)　…　(a≧2b のとき)
　P3 ((2a-b)/3，b)

(解1)
　長方形の内部に1点Qをとり、線分 P1-Q，P2-Q，P3-Q で切る。
　周長と面積とを同時に3等分するので、題意を満たす。
・2b≧a≧b のとき
　P1(0，0)　P2(a，(2b-a)/3)　P3((2a-b)/3，b)
　Q(a(2aa-ab+3bb)/[2(a+b)^2]，b(3aa-ab+2bb)/[2(a+b)^2])

・a≧2b のとき
　P1(0，0)　P2(2(a+b)/3，0)　P3((2a-b)/3，b)
　Q((2aa+bb)/[3(a+b)]，ab/(a+b))

(解2)
　短辺の2等分線上に2点Q1，Q2をとり、線分 P1-Q1-P3-Q2-P2 で切る。
　周長と面積とを同時に3等分するので、題意を満たす。
・a≧2b のとき
　P1(0，0)　P2(2(a+b)/3，0)　P3((2a-b)/3，b)
　Q1((2a+b)/6，b/2)　Q2((4a-b)/6，b/2)
0892１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/11(土) 07:16:02.77ID:ea3fG3JL
８月号問１の(2)の式を(1)からの何となくの推測ではなくて　必然的な定め方をした方おられますか？
0893１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/11(土) 10:33:15.63ID:glOU+rdd
>>891
おー、やったやった。おれは五日じゃ解けなかった。
たしか一九九三年あたりの号で出題・解答されてたはずなので、
ちょっとバックナンバー漁ってみる。
0894とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/11(土) 11:27:21.25ID:pNrzjEr9
18年8月号の講評：

■出題１：レベル3（数学好きな高校生正解率60％）

k＝1,2,3,...が2k個ずつ並んだ数列の一般項を
(1) nを一回だけ使う
(2) √x≡floor(sqrt(x))と再定義された√,n,四則,括弧のみを使う（数値定数は使用不可）
の2通りの条件で表す問題。

(1)は等差数列と二次方程式が分かれば解けるのでレベル2くらい。
問題は(2)だが、数値定数が使えないという厳しすぎる条件下で、
なるべく(1)に似せようと思ったときに最初に浮かぶ式が正解となる。

>>884のようにfloor(sqrt())が綺麗に外せることに気付けば証明は簡単。
外せることに気付かなかったとあるエレ解常連は
『数値計算で正解を確認した後、証明方法に悩んだあげく泥臭い方法で式を評価』
していました。

>>869は『なんか証明難しそうだなぁ』と悩んでいるさなかのアホコメント。
こんな阿呆でも解けるんだからエレ解の間口は広いんです。
まだ投稿したことのない人は9月号からLet'sチャレンジ。

> エレガント（＝シンプル）な式を見つけ、これから証明しようというところ。
> で、ふと思ったんだが、この問題は証明を求められているんだろうか？

さて小問(3)を追加します：
(3) (2)の条件を満たす式は幾つあるか？


■出題２：レベル6（常連正解率75％)

エレ解頻出の二項係数です。[n,k]=n!/(k!(n-k)!)、F_nをフィボナッチ数として
(1) Σ_{k=0 to floor(n/2)} (-1)^k [n-k,k]
(2) Σ_{k=0 to floor(n/2)} (-1)^k [n-k+1,k] F_{n-2k+1}
を求める問題。

floor関数がある時点でげんなりするが、実は2問とも長手数だが
　[n+1,k+1]＝[n,k+1]+[n,k]
　F_{n+2}＝F_{n+1}+F_n
を使うだけで解けてしまう
（エレガント解答は不明。コメントもとむ）

１．最初の数項を調べる
２．和の規則性を発見する
３．証明すべき漸化式を見出す
４．漸化式を証明する
という至ってオーソドックスな方法で解けるが、
この問題は１に手数がかかるので諦めてしまった人が多いかもしれない。
0895とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/11(土) 11:45:07.43ID:pNrzjEr9
>>892
> ８月号問１の(2)の式を(1)からの何となくの推測ではなくて　必然的な定め方をした方おられますか？

必然的ではなく、なんとなくの推測もほどほどに、そもそも使用できる記号とその組み合わせが少なすぎるので
こういう組み合わせしかないよねーと1個式を作ってみたらそれが正解でした。
この式で全域一致するのは面白いなあと思いました。
必然的に導けた人がいたら私も聞いてみたいです。

割り算が使えるので、√を重ねがけした関数を互いに割り算すれば無かったこと（＝0）に出来ますかね・・
>>894の小問(3)は愚問でしたか。
0896１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/11(土) 13:02:01.93ID:O3XHe6Z3
>>894

■出題２

(1) はパスカルの公式(?)
　 C[n+1,k+1] = C[n,k+1] + C[n,k]　　{ ただし C[n,n+1] = C[n,-1] = 0 とする.}
から漸化式
　a_{n+1} = a_n - a_{n-1} = -a_{n-2},
が出る。　周期6

(2) n次の整係数多項式を
　u_n(x) = Σ_{k=0 ～ floor(n/2)} (-1)^k C[n-k,k] (2x)^(n-2k)
とおくと、漸化式は (1)と同様にして
　u_{n+1}(x) + u_{n-1}(x) = 2x･u_n(x)
これと　u_0 = 1，u_1(x) = 2x，u_2(x) = 4xx -1 から
u_n(x) = U_n(x)　　… 第二種チェビシェフ多項式

これとフィボナッチ数の「ビネの式」
　F_m = {φ^m - (-1/φ)^m}/√5，　　　φ = (1+√5)/2 = 1.618034
を使いましたが…
0897１３２人目の素数さん
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2018/08/11(土) 13:09:37.22ID:O3XHe6Z3
>>896
　U_n(cos(t)) = sin((n+1)t) / sin(t),
　U_n(cosh(t)) = sinh((n+1)t) / sinh(t),
によって定まる n次の整係数多項式。
0898とあるエレ解常連
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2018/08/11(土) 13:48:38.09ID:pNrzjEr9
>>896-897
最新装備＆最短時間で目標を破壊するかのような米軍的解法ですね。
一方私が示した漸化式はa_{n+4}－a_{n+3}－a_{n+2}－a_{n+1}－a_n＝0というものです。
貧弱装備で苦しい行軍だが戦陣訓の精神で乗り切ろうという帝国陸軍的解法です。
季節柄不謹慎な例えですみません。
0899とあるエレ解常連
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2018/08/11(土) 13:49:34.31ID:pNrzjEr9
> a_{n+4}－a_{n+3}－a_{n+2}－a_{n+1}－a_n＝0

思い切り間違えたｗ
正しくは
a_{n+4}－a_{n+3}＋a_{n+2}－a_{n+1}＋a_n＝0
です
0900１３２人目の素数さん
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2018/08/11(土) 14:15:16.25ID:ea3fG3JL
T内先生のエレガントな解答を求む出題の最強問題（レベル5)
整数x,y,zについて関数f(x,y,z)　（竹内のたらい回し関数）
を
　x≦yのときf(x,y,z)=y
　x＞yのときf(x,y,z)=f(f((x-1),y,z),f(y-1,z,x),f(z-1,x,y))で定める。
f(x,y,z)をfを使わず表せ。
0901１３２人目の素数さん
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2018/08/11(土) 14:20:27.99ID:ea3fG3JL
>>900
10段階ならレベル10
0902１３２人目の素数さん
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2018/08/11(土) 16:18:10.34ID:glOU+rdd
うちの近所の本屋が閉店しちゃったんで、
『数セミ』が なかなか買えねぇんだよなぁ ……
定期購読したらいいんだろうと思うんだけど、
おまいらどうしてる？
0903１３２人目の素数さん
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2018/08/11(土) 16:25:04.07ID:glOU+rdd
>>900 >>901
自慢しちゃうけど、おれは『bit』の『ナノピコ教室』の
『芸術的なプログラムを求む』で、竹内先生の Tarai 関数
プログラムと一緒に掲載されたことがある。
『エレガントな解答を求む』と『ナノピコ教室』は
学生の頃から憧れだったんだよ（二冠達成）。
最近はなんかねぇのかなぁ ……
0904とあるエレ解常連
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2018/08/11(土) 17:50:39.74ID:pNrzjEr9
amazonで『続 ナノピコ教室―プログラミング問題集』をチラ見できますね

こんな記述も
https://www.wdic.org/w/SCI/bit%20%28%E9%9B%91%E8%AA%8C%29

1969(昭和44)年に創刊し、2001(平成13)年4月号で休刊、すなわち事実上の廃刊となった。

研究者の間では、この雑誌に載るのがステータスとなっていた。本当なら電気通信学会誌などの方が上なのだが、学会誌は一般向きでは無いため、一般技術者の間ではこの雑誌の人気が高かった。
0905とあるエレ解常連
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2018/08/11(土) 18:09:27.62ID:pNrzjEr9
>>902
毎月エレ解に投稿するなら定期購読ですよ
なるべく早めに問題を見て、頭のなかで転がせておくべし
0906１３２人目の素数さん
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2018/08/11(土) 18:43:11.50ID:glOU+rdd
>>904
そうそう。円周率の世界記録も、『ナノピコ教室』で
「円周率への収束が速い公式を探せ」というので
「マーチンの公式」が着目されたことから、
金田さんが挑戦したんで達成された、っていうのが
あるんだよな。
あと、入山徳夫さんの「入山のアルゴリズム」とかな。
「入選」で名前が出るだけで嬉しかったなぁ。
0907１３２人目の素数さん
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2018/08/12(日) 00:36:02.94ID:QnRFj99l
>>899
出題２　（2)
その式から
　a_{n+5} = a_{n+4} - a_{n+3} + a_{n+2} - a_{n+1} = - a_n
が出ますね。　周期10

また　a_{6-n} = a_n
0910とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/12(日) 10:07:54.12ID:06ak2/9f
>>907
Fが掛かるとこの漸化式が現れるのは不思議。
(2)はグラフ的な解き方があるんだろうか。
この和は一体どこからやってきたのかとか、
色々分からないことが多い。
0911とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/12(日) 12:39:19.16ID:fPthmLRd
>>910
> (2)はグラフ的な解き方があるんだろうか。

グラフというか組み合わせ論。
出てくる値が1, 0, -1で、何かを判定しているかのようです。
0912１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/12(日) 14:10:40.01ID:GhtpkIOj
昔の話で恐縮ですが、『数学セミナー』創刊３０周年で、
『試脳賞』として「エレガントな問題をもとむ」
（一九九二年四月号）という企画があったのをご存じでしょうか？
「試脳賞」の受賞者は、宇和島市の国村史子さんで、問題は
「凸五角形の面積を S、対角線でつくられる小五角形の面積を
S' とするとき、S'/S の最大値を求めてください。」です。
解答者は、東京工業大学理学部数学科の増田一男・宍倉充広両氏。
四月号・七月号・八月号・十一月号と、四回にわたって悪戦苦闘の
記録が遺されているので一読されるとよろしいかと思います。
なお、一松信先生のコメントによれば、「このような問題が今日まで
残っていた（？）のは、たぶん誰しも思いついて答の見当はつくものの、
容易には解けなかったせいだろう。この種の幾何学的な問題は、
おそらくまだ多数埋もれているものと思う。」だそうです。
このスレでも、解答だけじゃなくって問題も募集するのも面白いかもしれません。
だけど『５ちゃんねる』だと図も HTML5 の数式も入れられないしなー、
なんかそういうサイトとかあったらいいなー、とも思いますけど。
0913１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/12(日) 14:18:58.14ID:nkfjD/hk
読者が作った問題（命題など）と解答（証明）が掲載されるコーナーとしては、「NOTE」がありますが
NOTE コーナーは、いつごろから出来て現在どのくらいの累積件数になっているのでしょうか？
0914１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/12(日) 15:30:31.60ID:GhtpkIOj
>>913
当時、病気療養中だったので詳しいことは分かりませんが、
一九九五年にはまだなかったらしくて、一九九八年には
確実にあったということは、バックナンバーで確認できました。
0915とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/12(日) 15:44:57.91ID:wqROEwtT
>>907
もしかしていきなり a_{n+5} = - a_n を示すこともできたのかな。分かりませんが。
0916１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/12(日) 16:44:40.53ID:7y1x3HOt
NOTEのコーナーって問題というより、自分で発見した定理みたいな感じでしょ。ちょっと敷居が高い。
0917１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/12(日) 17:31:07.62ID:GhtpkIOj
>>916
> 自分で発見した定理みたいな感じでしょ。ちょっと敷居が高い。
学問の世界は、「発表しない奴はどっか逝け（Publish or perish）」だから、
「それは××年にダレソレが証明してる。この先がんばれ」って
返事が返ってくるだけマシじゃねぇの？
そんなん、研究者だったら「恥掻いてなんぼ」の世界じゃん。
おまえ、一生「ヘタレ」って呼ばれたいの？
「独立に証明したんだから、俺様スゲェ！」って胸張れよ。
0919１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/12(日) 19:06:10.08ID:GhtpkIOj
>>918
一九八〇年っていうと、現在の「雪より白い」って
云われる表紙になる前ですよね？
そっちの方は見てませんでした。ちょっと探して
みます。
0920１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/12(日) 21:55:12.37ID:7y1x3HOt
>>917
ごめん、ちょっと何言ってるのか分からない。そういうことを言ってるわけじゃないんだ。
0921とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/12(日) 22:18:35.62ID:wqROEwtT
>>920
私もNOTEは敷居が高いですｗ
毎月エレ解を考えるのに精一杯で自由研究するには力不足です
でもこのスレには非常に優れた人もいらっしゃってるので
>>912のような取り組みは面白いんじゃないかと思います
> このスレでも、解答だけじゃなくって問題も募集するのも面白いかもしれません。
0924１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/12(日) 22:25:29.20ID:GhtpkIOj
>>920
まぁ、怖気（おじけ）づくのはしょうがないよね。
だって、うちらからしてみれば、「雲の上の人」みたいな
ひとが、本気で見てるんだもん。
だけど、「数学が好き」っていう気持はいっしょだよね？
「振られるのは覚悟してるけど、アタックしなかったら後悔する！」
みたいな感じで突撃するのが正解だと思うのよ。
だって、『エレガントな解答をもとむ』だって、高校生でも
解けるような（って言っちゃあ、高校生に申し訳ないけど）
レベルの問題があるじゃない！
一松先生と細矢治夫先生が、「これが解けないのは、癪に障る」と
仰ってた問題を、行列を使わないで幾何学的に解いた、っていうのが
あたしらの自慢なのよ（そうよ。ここで自慢しなかったら、他で
自慢できないじゃない！）。
「こんなことを考えてみました」って言って怒る数学好きは
いないと思う（もっとも、数学嫌いの数学教師みたいなのは
いたりするんですけどね）ので、まずは『数セミ』編集部に
ファンレターを出すあたりから始めてみれば？
0925１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/12(日) 22:31:25.88ID:GhtpkIOj
>>922
いかにも私らでございます m(_ _)m
所長、わたくしこと Mr.Moto 、Maria と三人で
お邪魔しております（なんか、うちのメンバーの一員である
M.B. っちゅーのも出没してて、そっちでも評判を落としております）。
あっちゃこっちゃの板で、スレッドを荒らしまくっておりますので、
かなり評判が悪いのは存じておりますが、なにとぞ
ご容赦のほどお願い申し上げます。
0927とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/12(日) 22:54:21.63ID:1k8EjaSj
9月号のピーターフランクル出題1はなかなか手強そうです
出題2の岩沢氏も手強い問題を出すに決まってます（問題文長いのでまだ読んでないw）

8月9月は観光シーズンです。
予定調整のため、斥候部隊の早目の報告をお待ちしてます。
0928Mr.Moto
垢版 |
2018/08/12(日) 23:06:37.53ID:GhtpkIOj
>>926
> なかなかマニアックな方達とお見受けしました
だろうなぁ（笑）
もともとは東京都立日比谷高校全日制普通科の
天文部 OB 会（『星和会』）が、『bit』の『ナノピコ教室』で、
常勝軍団のだった東大の「TULIPS」とか早稲田の「WINKS」
とかに対抗して作ったプログラマ集団だったんだけどね。
その後、所長が『発達障礙者相互支援ネットワーク』っちゅーのに
関わってから、なんかしら連合して、『秘密結社A』っつー名前で
地下に潜伏したのが発祥だから。
0929とあるエレ解常連
垢版 |
2018/08/12(日) 23:45:05.47ID:1k8EjaSj
出題2は私の好物であるロジック物、戦略形ゲームです
ワクワクがとまりません

>>928
今月の出題1はプログラミング問題としても楽しめそうですよ
0930１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/13(月) 00:28:49.05ID:1N1Ao5YG
>>910 >>911

■出題２
　C(n+1,k+1) = C(n,k+1) + C(n,k)　　… パスカルの公式
　F_{m+2} = F_{m+1} + F_m
から
　F_{m+1} = Σ(j=0 ～ floor(m/2)) C(m-j,j)
が出る。
これを使えば組み合せ論っぽくなる。（？)
0933１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/13(月) 21:15:42.86ID:R6ZI2WdW
>>917
既知かどうかの判断は難しいですね。（今はネットで検索するとかなり情報が得られますが）
投稿する価値があるかどうかはさらにむつかしいです。
そこはNOTEの講評と解説者のZZZ氏（大学教授？）にお任せするしかないですね。
0936１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/15(水) 10:21:25.52ID:HKfY+w2Q
「コーシーも筆の誤り」

(大意)
解析学の名人であるコーシー大師にも書き損じはある、の意で、その道にすぐれている人でも、時には失敗することがあるという譬え。
猿も木から落ちる。
河童(かつぱ)の川流れ。
0937１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/15(水) 13:09:13.05ID:2117hSpy
>>936
ギブスの相律も、厳密には成り立たないらしい。
と、いうわけで、「ギブスも木から落ちる」。
だれか、「河童の川流れ」で創作してくれんか。
0938１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/15(水) 23:49:03.73ID:HKfY+w2Q
>>936
・天狗の飛び損ない
・釈迦も経の読み違い
・千慮の一失　または　智者の一失
・上手の手から水が漏る
もあります。。。
0939１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/16(木) 10:46:20.53ID:CPmN/Dpt
>>896 修正

これとフィボナッチ数の「ビネの公式」
　F_m = {(2cos36ﾟ)^m - (2cos108ﾟ)^m} /√5,
を使いました…
0940１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/16(木) 13:04:50.45ID:L+d8I1cI
>>927
>出題2の岩沢氏も手強い問題を出すに決まってます（問題文長いのでまだ読んでないw）

２，３回読んだけど読解できてないです。
ラッキーナンバー0なら全員不正解ってことは、全員正解と同じことになりそう。
確率の問題ではないよね。何度も読んでみます。
0941１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/16(木) 13:37:37.89ID:siFDFOBN
>>938
おまえ、いい奴だな。
あとはガウスとかヒルベルトとかの予想が
否定的に解決された例を探して例示してくれると、
後進の育成に役立つと思う。
0942１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/16(木) 18:41:04.46ID:L+d8I1cI
9月問２の（１）、（２）、（３）のときはそれぞれ確実作戦が存在する。前提での出題と考えていいのでしょうか？
もちろん出題者が間違えていることもあり得ますが。
0943高添沼田の親父「糞関東連合テメエらまとめてぶち殺すっ!!」
垢版 |
2018/08/16(木) 21:19:43.82ID:dZ5ratnn
高添沼田（葛飾区青戸6－２３－２１ハイツニュー青戸103号室）の挑発
高添沼田の親父「関東連合文句があったらいつでも孫を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!!　関東連合の糞野郎どもは俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!!糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」 (挑戦状)
0944１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/17(金) 00:51:34.47ID:Gc1LSwS6
>>940 >>942

確実に「全員正解 または 全員不正解」となる作戦は存在します。
たとえば、
　Pが真なら全員正解
　Pが偽なら全員不正解
となるような命題Pを探せば…
0946１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/17(金) 07:20:49.17ID:Dms4jb0g
>>944
なるほど
全員正解 、 全員不正解どちらかで良いんですね。
大きなヒント頂いてしまいました。　
私は正解へは遠いですが。
0947１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/17(金) 13:01:16.13ID:5QyvDwxU
>>936 >>938 >>941

・フェルマーの川流れ
フェルマー数 F_n = 2^(2^n) + 1 は素数であろうという予想は誤り。
　F_5 = 2^32 + 1 = 641 × 6700417（オイラーが発見）

・オイラーの飛び損ない
n≧4 のとき
(x_1)^n + (x_2)^n + … + (x_{n-1})^n = (x_n)^n,
となる自然数 {x_1,x_2,…,x_n} は存在しないだろうというオイラーの予想は誤り。
n=5, {27,84,110,133,144}
0950１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/17(金) 15:38:12.75ID:5QyvDwxU
>>938 >>941 >>947

・ケルビンも立体の読み違い
同じ体積の泡の集合体で境界面が最小となる泡、つまり最も効率よく空間を充填する立体の形はケルビンの14面体だろう、という予想は誤り。現時点で未解決。
　切頂正8面体（正方形×6、正6角形×8）

反例：ウィア・フェランの極小多面体(1994)
同じ体積の2種類の多面体による空間充填であって，不等辺5角形の面をもつ歪12面体（5角形×12）と歪14面体（5角形×12、6角形×2）が 1:3 の割合で並んだものである。

・阿竹の一失(?)
すべての多面体は、一つの面からスタートし、辺を介して隣り合う面を辿って一筆書き状に展開できるだろう、という多面体の「皮むき可能予想」は誤り。

皮むき不可能な多面体の例：
立方8面体（正8面体の各頂点を、各辺の中点まで切り落とした14面体）(正方形×6、正3角形×8)
http://blog.atake-i.com/?day=20130609
http://blog.atake-i.com/?day=20140108
http://blog.atake-i.com/?day=20140114
0952１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/18(土) 14:24:46.91ID:pesXjZDB
>>946

2(1) は >>944
2(2) は 3組に分け、各々の命題Q1、Q2、Q3を探す。
　　3つ全部または１つだけが真になるように（相関を持たせるため）捻ってある。
0954１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/19(日) 01:27:01.38ID:n8UKk8zi
ヒント以前にそういうのはやめてほしいな。問題文も含めて自力で考えないとだめでしょ。
0955１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/19(日) 12:16:57.08ID:gAyXq2Bp
>>953 >>954
ヒントのようでいて、じつは引っかけかも知れませんよ？
そういうチラリズムも数エレの愉しみだと思えば
ご趣向ではありませんこと？
0957１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/27(月) 20:58:52.66ID:Xl6gyqAj
みんな、答えどうなった？
書いて？
0959１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/28(火) 14:23:28.05ID:GwhNTSC6
ベビーメタルかよ！？
0960１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/28(火) 22:53:24.10ID:GwhNTSC6
エレ解と大学への数学の宿題って、どちらの方が難しいの？
0962１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/29(水) 06:37:16.12ID:YqTLWLyn
ケマルのが難しいよな
0963１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/08/30(木) 06:33:34.77ID:oQ9Boi3K
エレ解のが宿題よりも難しいね
0964１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/07(金) 16:02:43.77ID:PxqM2nVX
20399999..........99980？
0965とあるエレ解常連
垢版 |
2018/09/08(土) 09:54:02.14ID:gF6Ad0LW
消印有効日になっちゃいましたね
ラストスパートがんばりましょう
0966１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/08(土) 12:57:31.90ID:qsKxbcat
今日が消印有効日？
0968１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/08(土) 20:00:12.06ID:3n75oG1o
NOTEが一番レベル高い。
誰も正解をしらない現象を世界で初めて発表するんだからな。
エレガント、宿題、学コン、IMOも出題者は解答を知ってるわけさ。
黒川大先生も高校時代から自分で問題発見されてたろう？
当然、NOTE掲載者はエレガントも宿題も学コンもIMOも解けるわな。
予想を提唱する人が一番独創的と思う。
0969１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/09(日) 00:24:27.68ID:MYGAesBf
締切すぎた。　　　>>958

■出題２

(1) の例　　>>944

P 「全員(15人)中、赤帽が偶数で白帽が奇数」
（赤/白を入れ替えても同様）

(2) の例　　>>952

5人づつ3組（G1、G2、G3）に分ける。
Q1　「G1+G2 の10人中、赤も白も偶数」
Q2　「G2+G3 の10人中、赤も白も偶数」
Q3　「G3+G1 の10人中、赤も白も偶数」

#{G1+G2中の赤} + #{G2+G3中の赤} + #{G3+G1中の赤} = 2 #{全員中の赤} = (偶数)
左辺は、3つ全部 または １つだけが偶数。
Q1～Q3は、3つ全部 または １つだけが真。
0970１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/09(日) 07:57:42.03ID:3fF/J/ay
ピータ先生の方はどうよ？
0971とあるエレ解常連
垢版 |
2018/09/09(日) 12:58:03.25ID:PYgUx78p
18年9月号の講評です。
今月は2問とも良問でした。

■出題１　レベル5 常連正解率90%（完答はレベル8～9 常連正解率10～30%）

ピーター氏出題。数オリに出てきそうな良問。
数字和が2020、かつ2020を約数にもつ出来るだけ小さな数（→ハーシャッド数）を求める問題。
余力ある方は2020を2018, 2019に変えたバージョンにトライせよとある。
計算機による網羅探索は基本的に認められない（前回実績より）

どのバージョンでもまず必要桁数を押さえることから始まる。
2020については、
・下二桁目までが限定されること
・10^i（mod2020）の周期性が見やすいこと
などを利用して絞り込んでいく。
力技による絞りこみをどれだけ減らせるかが本問のポイント。

2020, 2019はまあなんとか。
2018も含め全て計算機を使わずに解いた方はかなりの数学力の持ち主。


■出題２　(2)までレベル5（常連正解率90%), (3)はレベル6～7（同60～80%）, (4)の完答はレベル8以上(30%以下）


定番のhat pazzle。既知の問題と思いきやそこは流石の岩沢先生、極上の新作を持ってきました。

15人が赤or白の帽子を被らされ、他人の帽子の色は見える。
事前にどんな相談をしてもよいが、帽子を被らされてゲームスタートした後は一切の情報交換が許されない。
各人は他人の帽子の色を見て、一斉に赤or白と答える。
答えた色が自身の帽子の色と一致している正解者の数が15人
もしくはn人(ラッキーナンバー）であれば全員解放、
そうでなければ全員処刑されるという残酷なゲーム。
特定のラッキーナンバーに対して全員解放が約束される「確実作戦」を見出す。

(1)はn＝0, (2)はn＝5, (3)はn＝7, (4)はそれ以外のnについて確実作戦を示すか、または非存在を証明する。

解いた方は分かると思うがまず小問の構成がすばらしい。
(2)は(1)を応用し、(3)は(2)を応用することで確実作戦を見出せる。
(4)はシンプルな議論で非存在を示せる。ただしn＝3を除いて。
n＝3の存在/非存在の証明が本問の完答を斥ける最大の山場。
小問(3)n＝7の作戦がトリッキーというか気付きづらいために
(4)まで手が回らない解答者が多かったのではと予想する。
0972１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/09(日) 13:29:57.91ID:7tHvU6tP
エれか常連様は数学者ですか？
0974１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/09(日) 23:49:11.82ID:MYGAesBf
>>972

訊き方が (・A・) イクナイ。

「 ∫[-∞，∞] exp(-xx) dx = √π　と　2x2=4　はどちらが簡単ですか？」

と訊けばすぐ分かるよ。
0975１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/10(月) 04:52:07.57ID:3cPf5e0b
>>974

高橋「可換Banach環を知ろう」
http://www.jstage.jst.go.jp/article/emath1996/2008/Spring-Meeting/2008_Spring-Meeting_72/_pdf/-char/ja

ドイツ語で言うと、
"Ein Mathematiker ist jemand, fuer den dieses (∫=√π) genau so selbstverstaendlich ist wie fuer Sie 2･2=4.
Liouville war ein Mathematiker." (Lord Kelvin)
　　----- Hans Triebel: "Analysis und mathematische Physik" Springer Basel AG (1982)
0976１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/10(月) 14:55:19.63ID:C/ZJUd7B
エレガント、9月10日必着でなかった？
0977１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/10(月) 17:06:47.00ID:jQkwW03Q
田舎に住んでるんで、数セミおいてる本屋が近くにない。
よって発売日に問題確認＋本編記事確認し、本編記事が面白い→購入。
エレガントだけ面白い→問題暗記自宅でチャレンジみたいな
効率的購買が不可能。困ってるんだ。
0978１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/10(月) 17:08:08.46ID:jQkwW03Q
2019年1月号はICMレポートなので必ず購入します。
0983１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/12(水) 11:10:17.88ID:+wY4lTYn
エレガント解答も出版社側からすれば販売促進効果を持つ目玉。チラ見は無理でしょう。
本編はチラ見希望です。
0984１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/13(木) 06:41:52.85ID:FJXqJvMw
>>983

そういえば、詰将棋もフェアリー詰（協力詰etc.）に入りました。
いよいよ佳境？
0985１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/14(金) 17:53:40.51ID:T2FVJAFw
みんなエレ解の解答教えてよ
0986とあるエレ解常連
垢版 |
2018/09/15(土) 12:09:40.88ID:6eF26psv
>>983
雑誌を買ってくれないのにエレガントだけ投稿されるのは出版社視点では損ですよね。
雑誌の一部を切り取って応募券代わりにするとかはどうですかね。
あるいは出版社がそうしないのは、買ってくれなくても投稿してくれるだけで良し、と考えているのでしょうか。
本編も数ページで一遍の記事を構成していることが多く、見せるとしても1ページがせいぜいかもしれませんね。
0987１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/15(土) 15:04:52.91ID:ciVP3fdi
今日、エレガント問題、本編確認するつもりでイオン本屋行ったけど、数セミおいてない。
ジュンク堂クラスでないと置かんのか？
本編は体特集じゃからおもろそうなんだけど。
有限体なんかgood。
0988１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/16(日) 10:34:06.82ID:Ut4mZv0O
今日、国内某所の書店行った。高校への数学、大学への数学、現代数学、数理科学置いてあるのに
数セミなし。あれ？って思って店員に聞いて探してもらったら教育関連の棚に置いてあった。
問題確認しましたぜよ。
0989１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/16(日) 14:52:50.26ID:3uLWvj/w
※読むと頭が悪くなります

全ての実数が0であることの証明
全ての実数をkと置く
k=0と仮定する
両辺を0で割ると
k/0=0/0
0=0

∴全ての実数は0である
＼(＾q＾)／く反論してみろや
0991１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/16(日) 17:57:18.83ID:uUek6v1Y
三省堂ではないです。でも、ジャンルを勘違いされて、あるべき棚にないところもありそう。
ジャンルを周知徹底すべし。
0992１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/16(日) 18:02:47.71ID:6niZD5CO
なんでなの？
0993１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/16(日) 19:07:09.63ID:rJ0i3sNt
俺が行ってる本屋では科学系の雑誌コーナーと数学書のコーナー、両方に置いてある。
0994とあるエレ解常連
垢版 |
2018/09/16(日) 20:50:16.22ID:rVKo91E6
>>991
私も全く同じ体験しました。
誰もアクセスしない教職者用の棚に置かれててガクッとなりました。
0995とあるエレ解常連
垢版 |
2018/09/16(日) 21:09:35.02ID:rVKo91E6
>>993
デキる書店員がいるかいないかで天と地の差が出ますね

数セミの存在を知ってる我々でも
・大学への数学
・ニュートン
・NHKテキスト棚
の近くを探して無ければ大抵諦めるわけですが、
こんな大きい本屋（三省堂）にないわけなかろうと端末使って探したら、地価の低い教育関係の棚にあったという。
こんなんじゃ読者の裾野は広がりませんやね

塾の先生で利用されている方はそこそこいるみたいですが、中高の教職員は…どうなんでしょうね。
0996とあるエレ解常連
垢版 |
2018/09/16(日) 21:20:35.43ID:rVKo91E6
なんかふと、数学セミナーよりも数学の楽しみのほうがタイトルとして相応しいような気がしてきた。
セミナーなんて名前だから趣味本が実務本として扱われちゃったんじゃないかなと。


とここまで書いて思ったんですが、そもそも数学セミナーの図書分類コードは幾つなのか。
裏表紙に書いてありますかね。いま出先で見れませんが。
三省堂はそれに従って機械的に配置しただけかもしれませんね
0998とあるエレ解常連
垢版 |
2018/09/17(月) 08:27:36.02ID:yWPtscJj
>>996
図書分類コードはないようです。
図書ではなく雑誌だからでしょうか


図書と雑誌
https://www.google.com/url?q=http://www.lib.iwate-med.ac.jp/mm/mm22.pdf&sa=U&ved=2ahUKEwj0n8vr1MDdAhUKvbwKHa8pC3QQFjAEegQICRAC&usg=AOvVaw31tETJKXP7R9wUkaDTraRQ

雑誌コード
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%91%E8%AA%8C%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%89

図書コード
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%9B%B3%E6%9B%B8%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%89
1000１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/17(月) 14:56:58.06ID:FnrnWGEq
おわり
10011001
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