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【数セミ】エレガントな解答をもとむ2【2016．11】 [無断転載禁止]©2ch.net
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0617１３２人目の素数さん
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2017/10/04(水) 17:02:37.56ID:b3VxdH4G
今月号の問題、難しくてまだ解けず…
0619とあるエレ解常連
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2017/10/08(日) 01:27:49.12ID:xd1uUTzk
なんとかかんとか問1もいけそうです。

今月は問1も問2も良問なので食わず嫌いの人も是非チャレンジしてください。
よほど腕の立つ人でないと、今更取り掛かっても間に合わないと思いますが。
0620１３２人目の素数さん
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2017/10/11(水) 09:23:02.24ID:acXKCTJa
10月号の講評……ぢゃないよ。

■第１話：「初めての旅立ち（水戸〜いわき）」　10/4（水）放送
　御老公が八戸を目指し世直しの旅を開始！
　第一話は武田鉄矢さんの代表作「３年Ｂ組金八先生」の共演者、佐野泰臣さんやあ直江喜一さんがゲスト出演！
　さらには、物語の舞台、東北の出身、宮路オサムさん、あばれる君なども登場します！

■第２話：「想い繋いだ左馬茶碗（浪江）」　10/11（水）放送
　舞台は福島県浪江町辺りの大堀村。
　劇中に出てくる『相馬駒焼』は茶器の多くに走馬が絵付けされている江戸時代からの名産品。
　若き焼き物名手の思いを利用した悪党退治に御老公一行が挑む！

http://www.bs-tbs.co.jp/mitokomon/index.html
0621とあるエレ解常連
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2017/10/12(木) 00:33:24.21ID:H93MHJ7w
11月号が届くまでの数日間、つかの間の平和を楽しみましょう。
水戸黄門の話題で盛り上がるも良しです（笑）
0623１３２人目の素数さん
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2017/10/12(木) 04:00:32.56ID:saIb7jMi
それでは・・・

〔問１〕
a>0 とする。任意の x>0 に対して、
　a^x + a^(1/x) ≦ a^(x + 1/x）
が成り立つための a の条件を求めよ。（1991年11月）


〔問２〕
自然数 n≧2、Ｃ[n，k] は二項係数とするとき、次を示せ。
(1) Σ[k=1〜n］（-1)^(k+1）Ｃ[n，k］（1/n)^(2k） < 1/n,
(2) Σ[k=1〜n］Ｃ[n，k］｛1/(nn-1)}^k > 1/n,
(3) Σ[k=1〜2n］Ｃ[2n，k］｛1/(nn-1)}^k > 2/(n-1).
（2013年10月）
0625とあるエレ解常連
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2017/10/12(木) 23:31:26.71ID:H93MHJ7w
>>621
> 11月号が届くまでの数日間、つかの間の平和を楽しみましょう。

と言ったその日に届く11月号
エレ解戦士に休息なし
0626とあるエレ解常連
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2017/10/14(土) 00:32:33.57ID:j+pUvk2E
今週の水戸黄門は、、じゃなくて10月号の講評です。

■問１：レベル6〜7（常連正解率60〜75％）

ある多項式関数fの合成冪に関する問題。

時弘先生の問題は例年難しく、正解者1〜2名なんてときもありました。
解答がエレガントかどうかなんてどうでもいい。補題の5個6個は当たり前。
論理を正確に紡いでゴールにたどり着け。こじゃれた解答は求めない。
そんな硬派な問題が多いことから本スレでは男塾長という別名で親しまれています（？）

本問も一見そびえ立つ山のように見えます。
アタックしようにも登山口が一向に見つからない。
苦しい状況が数日続いた方も多いと思いますが、ひとたび手がかりを
見つけるとスムーズに解けてしまうのが本問の面白いところです。
解答を書き上げた後にその内容のシンプルさを見て「なぜ当初あんなにも
紆余曲折してしまったのか」と自分のセンスの無さにがっかりしました。

取り掛かってからどのくらい短時間で手がかりを見つけるか？
数学的洞察力を測るのに最適な問題です。
汗だらだらの例年の問題とは趣が異なりますが、これはこれで時弘先生らしい、
解いている時も解いた後も唸らされる良問でした。


■問２：レベル6〜7（常連正解率60〜75％）

F1方式でn＝3人が点数を争ったとき、特定の2人が引き分けになる確率を評価する問題。

本問は準備問題がなければかなりの難問だったと思います。
準備問題(1)ではn＝2のケースで確率と多項式の関係に気付かせ、
(2)で確率を上から押さえる方法に気付かせる。
この準備問題(1),(2）だけでもレベル5（常連正解率90％)の難度があります。
この(1),(2)を理解してから問題に挑むわけですが、(2)を用いる前に一工夫が必要です。
自分はこの一工夫に気付かず長時間ハマッてしまいました。

本問も問1と同様に数学感覚を問われる良問です。
(1)も(2)も大学初年度の知識が必要で、この点もエレ解らしくて良いと思いました。
0627１３２人目の素数さん
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2017/10/14(土) 05:30:47.16ID:WYmPKYWn
>>626

■出題１
ラグランジュの補間多項式を知っている人には、問題の式が
f(j）= j+1，（j=1,2,…,k-1）
f(k）= 1,
という巡回置換を意味することは明らかでしょう。
しかし、知らない人にはそびえ立つ山のようなもので、登山口が一向に見つからない…

巡回置換から不動点を出すだけだと見え見え（？）なので隠れ蓑を付けた感じですが、
ここで「足切り」されては面白くないので何かヒントがほしいかも？

■出題２は煩雑そうなのでパス（"＾ω＾）・・・
0628とあるエレ解常連
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2017/10/14(土) 10:13:00.45ID:j+pUvk2E
>>627
> 巡回置換から不動点を出すだけだと見え見え（？）なので隠れ蓑を付けた感じですが、
> ここで「足切り」されては面白くないので何かヒントがほしいかも？

むむ。隠れ蓑・・・？見え見え？？

> f(j）= j+1，（j=1,2,…,k-1）
> f(k）= 1,
> という巡回置換

これ自体は登山口ではなく山に向かう麓のバス停みたいなものです。
この巡回置換に気付けば、>>627さんにとっては解法は見え見えだったということですか？
解法を知った今は、何でもっと早く気付けなかったのかとも思うのですが・・。
この巡回置換でぱっと察することができるのはかなりのツワモノとお見受けしました。
0629とあるエレ解常連
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2017/10/14(土) 10:16:00.87ID:j+pUvk2E
>>627
> ■出題２は煩雑そうなのでパス（"＾ω＾）・・・

たしかに煩雑ではあるのですが、最後の不等式にいたるまでの各ステップが技巧的で面白かったです。
0630とあるエレ解常連
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2017/10/14(土) 11:51:47.28ID:j+pUvk2E
>>538
> ■問1：難易度6〜?（常連正解率 数%〜70%）

8月号の解答編が11月号に掲載されています。
二項係数の中央項をnで割った余りが筋をなす理由を問う問題でした。
正答者数からレベルを再評価すると難易度8（常連正解率 30％）というところでしょうか。

> 所感として本問題は
> ・ヒントが適切適量
> ・ネットに解答が落ちてない（たぶん）
> ・難易度は高め
> ・解答者の力量に合わせてレベルが変わる
> 稀に見るエレガントな問題です。

と書きましたが、私の想像以上に「解答者の力量に合わせてレベルが変わる」問題でした。
各人がどこまで証明できたか○と※でマーキングされています。
そして個数評価については全員が出題者の要求レベルに及ばなかったようです。
この意味では難易度10（正解率0％）ともいえます。

これほど深みのある問題は滅多にありません。
エレガントな問題を出してくれた山田修司氏を本スレはこれからも応援していきます。
（2chに応援されても困るかｗ）


> ■問2：難易度2（高校生正解率90％くらい）
>
> 問1のエレガントな出題に対し何たる手抜き問題か。
> 対比の不運もありますが、晴れて堂々、
> ブラックリスト入りが決定でございます(笑)

こちらも再評価しましたがやはりレベルは2です。
10代4名、20代4名が全員正解。
「高校生くらいからチャレンジできるレベルに設定していた」
とありますが、本当に高校の期末試験のような問題を出してくるとは。
「高校生でも解ける」のは構いませんが、期末試験や入学試験レベルの問題なら
期末試験や入学試験の対策本に掲載したらいいんじゃないでしょうか。

こういうショボイ問題を出した人の多くが
「沢山の方々に挑戦していただけて嬉しく思います」
的なコメントを吐いて自分を正当化します。
それが嬉しいなら中学の期末試験問題を出すとよいでしょう。
応募者が200名を超えるかもしれません。
後に残るのは「エレ解は期末試験レベルの難易度である」という評判です。
これを投函して何が得られるのか、82円切手を見ながら考えに沈むことがたまにあります。

ブラックリスト入りのT中R太郎氏。その名前忘るまじ。
0632１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/10/15(日) 06:57:35.70ID:qbyQ3Mho
■出題１

>>627 のあと

g = f ^(k-1）は連続で、
g(1）= k，g(2）= 1,
だから、中間値の定理を使えば
　g(a_j）= j　（j=1，2，…，k）
をみたす減少列
　2 = a_1 > a_2 > … > a_{k-1｝> a_k = 1
が（芋蔓式に）出ます。

（この辺が登山口でしょうか？）

あとは
h(x）= f^n(x） - x　とおいて、
h(a_j）h(a_{j+1}）< 0
から
h(x）=0，a_{j+1｝<x<a_j
をみたすxを出す方針で…
0633とあるエレ解常連
垢版 |
2017/10/15(日) 09:28:50.52ID:pQLgFnHE
>>632
どうもです。

> g = f ^(k-1）は連続で、
> g(1）= k，g(2）= 1,

> （この辺が登山口でしょうか？）

そこは登山口ではなく、登山口の先の高速リフトに座って動き出したあたりです。

巡回置換なのでk-1でこうなることは当たり前ですが、
いきなりここに着目できるのは貴方が切れ者だからでしょう。

もう解答バレしてることだし、恥ずかしながら努力型一般人の私の思考プロセスを公開しましょうか。

１）登山口が見つからず紆余曲折
「・・・（ぶつぶつ）f(i)＝i+1か。これをどう使えばいいのやら」
「・・・（ぶつぶつ）中間値の定理をどこで使うのか？まずは関数を調べにゃ」
「・・・（ぶつぶつ）分からないときはビブンで微分せよ・・、あら不思議、もっと分からなくなった」
「・・・（ぶつぶつ）合成を反復するとどんどん複雑になる。これまともにやったらあかんやつや」
「・・・（ぶつぶつ）f(x)＝xの不動点を発見！でもまったく役に立たないYO」
「・・・（ぶつぶつ）帰納法で示すにしてもf^kで既に複雑だし。参ったな、全然分からん」

２）登山口を発見したとき
「・・・（ぶつぶつ）f(k-1)＝k，f(k)＝1だからk-1≦x≦kから1≦y≦kへは全射。・・・あっ！」

３）登山口から高速リフトで頂上へ
「・・・（ぶつぶつ）要はf^nが1≦x≦2で1≦f^n≦kを渡るならf^{n+1}＝f(f^n)も然りってわけだ・・・」
「・・・（ぶつぶつ）f^{k-1}を考えれば・・なんだ簡単じゃんこの問題」
（以下略）
0634とあるエレ解常連
垢版 |
2017/10/15(日) 09:45:48.75ID:pQLgFnHE
>>626で私は
> 解答を書き上げた後にその内容のシンプルさを見て「なぜ当初あんなにも
> 紆余曲折してしまったのか」と自分のセンスの無さにがっかりしました。

> 取り掛かってからどのくらい短時間で手がかりを見つけるか？
> 数学的洞察力を測るのに最適な問題です。

と書きました。>>633のプロセスを見れば理解いただけると思いますが、

>>632さんのように一瞬で
> g = f ^(k-1）は連続で、
> g(1）= k，g(2）= 1,

に着目できる人には意味が分からなかったかもしれませんね。

（１）で私が右往左往したのは注目すべき点が見えていなかったからです。
ここにたどり着くスピードは人によって違いますが、何に起因しているのか？と考えてしまいました。
頭の良し悪しといってしまえばそれまでですが。

>>633
> ２）登山口を発見したとき
> 「・・・（ぶつぶつ）f(k-1)＝k，f(k)＝1だからk-1≦x≦kから1≦y≦kへは全射。・・・あっ！」

これが登山口であることに気付けたのは、>>633の（１）のプロセスを経た結果
「たぶん帰納法でしか示せない」ことが頭のどこかにあったからです（実際はそうでなかったにしても）。
巡回置換であることが分かった時点でf(k-1)＝k，f(k)＝1は知っていたわけで、
一度目はこのポイントを素通りしてしまっています。
一度素通りしてしまうと往々にして再び着目するまで時間がかかります。
そんなこんなで手がかりの発見まで時間を要してしまいました。
分かれば簡単な問題なのに、注目すべきポイントを素通りしている限り難問に見える。
そのような問題の典型例だと思いました。

>>632さんはどんな思考プロセスで高速リフトにたどり着いたのでしょうか。
頭の良い人はどのように考えたのか、頭をかち割って公開してほしいです（笑）
0635１３２人目の素数さん
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2017/10/15(日) 18:48:28.96ID:qbyQ3Mho
>>632 のあと

・nがkの倍数でないとき
　n≡k-j　（mod k)
　1≦ j ≦k-1,
として
　f ^n 〜 f ^(2k-j）= f^(k-j+1）・g,
　f ^n(a_j）= f ^(k-j+1)(g(a_j)）= f ^(k-j+1)(j）= 1,
　f ^n(a_{j+1}）= f ^(k-j+1)(g(a_{j+1})）= f ^(k-j+1)(j+1）= 2,
より
　h(a_j）= 1-a_j < 0,
　h(a_{j+1}）= 2 - a_{j+1｝> 0,
ゆえ
　h(x）= f^n(x） - x = 0,
　a_{j+1｝< x < a_j
となる x= x_n がある。

・nがkの倍数のときは
　f ^n(1）= 1，f ^n(2）=2.
0636１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/10/20(金) 08:25:00.30ID:auvGi4HJ
〔問題１〕
1辺の長さが１の正三角形ABCがある。
AP=a，BP=b，CP=c がすべて有理数である点Pを全有理距離点とよぶ。

（初級問題）　正三角形の辺上および外接円の周上に
全有理距離点が無限個あることを証明してください。

（上級問題）　正三角形の内部にある全有理距離点
（3個の距離）を挙げてください。

（2009年5月）

［Vol6．440-442］
0638１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/10/21(土) 11:38:00.65ID:juihTYxZ
つ[参考書]

数セミ増刊　（日本評論社）
「数学の問題　第１集」（1977/Feb）　1404円
「数学の問題　第２集」（1978/May）　1728円
「数学の問題　第３集」（1988/Sep）　1728円
　　http://www.nippyo.co.jp/shop/book/1589.html
「エレガントな解答をもとむ selections」（2001/June）　2052円
　　http://www.nippyo.co.jp/shop/book/1721.html


矢野健太郎「エレガントな解答」ちくま学芸文庫（2007/Nov）　1080円
　http://www.chikumashobo.co.jp/product/9784480091178
0649１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/11/14(火) 23:04:24.38ID:8GRq7eAg
拙者は風車の弥七って忍びの者でござる。
このスレには誰も居らぬでござるな。
されば天井裏に忍んで、今月の水戸黄門でも思い出すでござるよ。
0650１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/11/14(火) 23:06:44.72ID:8GRq7eAg
>>649

■第３話：「旅籠で格さん瓜二つ（福島)」　　 10/18（水)

第３話では、渥美格之進役の荒井敦史が２役に挑戦！旅籠の主人、多一郎と格さんを演じる。
御老公一行の悪党退治の末に感動のラストシーンが！？
さらに、福島県北部で親しまれている郷土料理・いかニンジンも劇中に登場。

■第４話：「悪を糺した弥治郎こけし（白石)」 10/25（水)

第４話では、舞台となる白石市の伝統工芸品「弥治郎こけし」が登場。
宮城県伝統こけしの一つとして、素朴で童のあどけない面立ちが特色。
劇中でも、色とりどりのこけしが立ち並ぶ。

■第５話：「硯の里の仇討ち（雄勝)」　　 11/01（水)

第５話の劇中では、宮城県石巻市の伝統工芸品「雄勝硯」が登場。
雄勝硯の歴史はとても古く、室町時代から伝わるとも言われている。
程よい固さとなめらかさを併せ持ち、墨の発色が良いのが特徴。
さらに今回は東北出身ゲストとして、大船渡市出身の歌手・新沼謙治さんが登場。

■第６話：「愛しき妻は里隠れ（志津川)」　 11/08（水)

第６話からは、新キャストが登場！
元AKB・篠田麻里子さんが、里隠れのくの一として御老公一行の前に立ちはだかります。
さらに、敵役として忍びの頭目・蛇骨の升六を中村嘉葎雄さんが演じます。
後半に向けてますます悪党退治の旅が盛り上がりを見せます！

■第７話：「時の太鼓とじゃじゃ馬姫（一関)」　11/15（水)

第７話の劇中に出てくる「時の太鼓」は、実際に江戸期幕府から一関藩が特別待遇を受けて許されていたもの。
民に昼夜12時を知らせる役目を果たしていたといいます。
そして、今回のゲストには子役としてドラマ、CMなどで活躍中の鈴木梨央ちゃんが登場！

http://www.bs-tbs.co.jp/mitokomon/index.html
0651１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/11/14(火) 23:59:48.60ID:8GRq7eAg
で、エレ解の方ですが…

9月号問題１の解答で、立方陣が可能（冨永氏）なのは驚きでした。

具体的には手前から
［10，26， 6］［23， 3，16］［ 9，13，20］
［24， 1，17］［ 7，14，21］［11，27， 4］
［ 8，15，19］［12，25， 5］［22， 2，18］
のように並べたものです。

各要素から１を引いて、3進数で表わすと、
［100，221，012］［211，002，120］［022，110，201］
［212，000，121］［020，111，202］［101，222，010］
［021，112，200］［102，220，011］［210，001，122］
となり、各桁が（3次元の）ラテン方格になっています。すなわち、
上の桁の数は mod(i+j+k-2，3)
中の桁の数は mod(-i+j+k，3)
下の桁の数は mod(i-j+k，3)
ここでｉは左から右へ、ｊは上から下へ、ｋは手前から奥へ増加する座標で｛0,1,2｝の値をとります。

この種の立方陣は何通りできるんでしょう？
0652１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/11/16(木) 02:32:09.61ID:+0/ZGG+j
何言ってるのかサパーリ分かんねぇ？　それぢゃ…

　　　ｋ
　　↗
　・→ｉ
　↓
　ｊ

上の桁の数は　…　mod(i+j+k-2，3)
［1，2，0］　［2，0，1］　［0，1，2］
［2，0，1］　［0，1，2］　［1，2，0］
［0，1，2］　［1，2，0］　［2，0，1］


中の桁の数は　…　mod(-i+j+k，3)
［0，2，1］　［1，0，2］　［2，1，0］
［1，0，2］　［2，1，0］　［0，2，1］
［2，1，0］　［0，2，1］　［1，0，2］

下の桁の数は　…　mod(i-j+k，3)
［0，1，2］　［1，2，0］　［2，0，1］
［2，0，1］　［0，1，2］　［1，2，0］
［1，2，0］　［2，0，1］　［0，1，2］

となり、それぞれ（3次元の）ラテン方格になっています。
0653１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/11/17(金) 14:31:35.10ID:VLF4tQu0
>>651

立方体の中心を「１」と決めると
その上下、左右、前後 はそれぞれ｛0,2｝か｛2，0｝の 2とおり、全部で 8とおり です。
中心をとおる断面は
［ 1，a，b ］　［ b，a，1 ］
［ b，1，a ］　［ a，1，b ］
［ a，b，1 ］　［ 1，b，a ］
となるので、いずれか１つに決まります。
8頂点の要素も１とおりに決まります。
∴ １つの桁について、8とおりです。

なお、この8つは、１つを（上下、前後、左右に）鏡映したものです。

上下方向に 0→1→2→0 となるか、 0←1←2←0 となるか　は
中心をとおる3つにより決まります。

左右方向、前後方向でも同様ですね。
0654１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/11/17(金) 17:39:47.22ID:VLF4tQu0
>>653

中心を通って 0→1→2 となるような向きを i '軸（左右），j '軸（上下），k '軸（前後）とします。

数字は　mod（i '+j '+k '-2，3）と表わせます。

対応する体対角線に垂直な平面上に、同じ数字が並びます。
0655とあるエレ解常連
垢版 |
2017/11/18(土) 00:29:21.13ID:s5IEY3g0
17年11月号の講評です。

■出題１：　(1)はレベル4 （常連正解率95％），(2)はレベル8〜？（常連正解率20％以下）

加古先生出題の良問。
周期関数を要素とする行列の正則性を問う問題でした。
(1)は正攻法で解けるので余裕でしょう。
場合分けが出てきますがこれで手こずるようでは修行が足りません。

(2)は七転八倒必至の難問に感じました（正攻法で突っ込みすぎたか。）
あっさり解けた人がいるなら手を挙げてください。
栄えある『とあるエレ解常連』の称号を譲ります。
その代わり来月から講評をお願いします。


■出題２：　問題1, 2はレベル3（常連正解率100％），番外問題はレベル4？（常連正解率90〜95％？）

岩I先生の問題。
ビギナー向け教科書のcoffee breakコーナーにあるような軽めの問題。
「滑らか」の定義を知らないとポカーンとなってしまいそうですが
よもや数セミ読者で困ってしまう人はいないでしょう。
番外問題がちょっとだけ面白かったかな？程度の印象。

決して悪い問題ではないのですが、私は時弘先生や加古先生が出題するような
骨も心もバッキバキに折れそうな難問が好みです。
税込1177円で何日何時間も我を忘れて熱中できるのですから安いものでしょう。
難しすぎて絶対解けないというならストレスフルで嫌にもなりますが、
諦めなければいつかは解ける（解けないときもあるが）という絶妙な按配。
ファンは私以外にも多いはずです。絶対。知らんけど。
0656とあるエレ解常連
垢版 |
2017/11/18(土) 08:31:26.73ID:s5IEY3g0
>>245
9月号の解答編について：

>>601
> (3)N個の式をエレガントに網羅する
>
> のは簡単ではない。
> ここを深く考察してくるのが常連のトップレベル。
> 果たして分かりやすい表示があるでしょうか？
>
> 考え過ぎ！と思う向きがあるかもしれませんが、
> 平太氏がこの考察の準備なしに出題したとは思えません。

えっとまあ考えすぎでしたねｗ
平太氏も準備がなかったと。そういうことでした。
一番深い考察は一般の場合まで調べた>>608さんです。
>>651-654の三次元構造を考察するところはさすが本物の常連ですね。
とある名無しの常連とはレベルが違います。
0658とあるエレ解常連
垢版 |
2017/11/18(土) 09:12:42.87ID:s5IEY3g0
9月号の解答編について（続き）：

出題2はT内氏の素数クロスワード。
（最初にはっきり言っておきますが私はアンチです。ファンの方ごめんなさいｗ）

設計図が重要とおっしゃるが阿呆の直感でスっと出来ましたよ。
ただただ可逆素数表とにらめっこ。
0を意識しないといけない？そんなの当たりまえでしょう。
誰だってわかりますよ。そういう人為的ルールなんだから。
ここにはめてやれ、どうだ！いけた！やったーなんて調子。
408点がすごい？まあ確かにすごいですよ。
こんな問題にエレガントな解答をひねくりだすK原氏は文句なくすごいですよ。
逆にK原氏の解答がなければ3ページも記事書けてませんよあなた。

数学知識を盛り込んだエレガントなプログラムが用意されてるんだろう。
誰しもそう思いましたよ。
　設計図をベースに乱数でテキトウに割り当てていくといういい加減なプログラム
やっぱりそうかそうきたかと。正直なT内氏に逆に好感を抱いちゃったり。

数学を解いているというより単なる作業。家内制手工業。
3ヶ月後に待っていた報酬がこれかと。
やりきれませんが誰でも出来る仕事に報酬が少ないのは仕方ない。
注目すべきは31名しか投稿がなかったことです。
単純簡単な問題なのになぜ投稿が少ないのか？
ネットで可逆素数表を見れる環境なら誰でもアプローチできるのになぜ？
その意味を雑誌関係者はよく考えていただきたい。
本問も解いてきたのはほとんど常連ばかりでしたよね。
彼らは悪く言えば惰性で毎月投稿してくるんですよ。
問題がつまらなくてもきちんと解答を書いて投稿します。
自分のライフワーク、ずっと続けてきた習慣を崩したくないからです。
習慣を崩したくないという動機だけで私は解きましたよ。
最後に。フォローするわけではないが、問題と解答が間違ってないだけ
T内氏の出題としてはマシだったと思います。

これだけ言ってやればT内氏のファンは黙ってないだろう。
異論反論オブジェクションをどうぞｗ
0659１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/11/18(土) 11:49:00.85ID:zyffN9l2
個人的には、こういう正解のない、または最適解を求めるのがほとんど不可能な問題は嫌いじゃない。
まあエレ解に出すのはどうよって意見もあるだろうが、あくまで「もとむ」だから良いんじゃない？
今回の問題だって、誰かがエレガントな方法で最大値を証明する可能性だってあったわけで。
0660とあるエレ解常連
垢版 |
2017/11/18(土) 12:37:20.90ID:s5IEY3g0
>>659
楽しめたなら何よりです。私はダメでした。
408点を目指せ、という問題だったら良かったのかな。
ルールもなんだか人為的すぎて思い入れがなく。
れっきとした数学でしょうけど、この問題の研究に時間を使うんだったら別の本でも読みたいなとｗ
研究派の常連さんには良問だったかもしれませんね。
0661１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/11/19(日) 17:33:42.44ID:PrPXB/k6
>>655

■出題２：　番外問題ですが、小生は
４つの側面を
⌒　
⌒　
⌒　
⌒
にするのと、ねじって
〜
〜
〜
〜
にするのを出しました
（天面と底面はほとんど自動的に決まりました。）
0662とあるエレ解常連
垢版 |
2017/11/19(日) 18:22:01.28ID:mm/NR720
こんばんは

>>661
> ■出題２：　番外問題ですが、小生は
> ４つの側面を
> ⌒　
> ⌒　
> ⌒　
> ⌒
> にするのと、ねじって
> 〜
> 〜
> 〜
> 〜
> にするのを出しました
> （天面と底面はほとんど自動的に決まりました。）

番外問題は1個見つけて終わりにしてしまいました
何通りあるかを考えるのも面白い？？
0663１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/11/22(水) 13:20:38.48ID:XxzuuRWx
さて、今月も皆さんお帰りのようでござる。
拙者の出番でござるな。
…と、天井裏から降りてきて水戸黄門のみどころを

■第８話「盗まれた印籠（花巻）」　11/22（水）

第８話は、花巻石鳥谷の酒蔵が舞台。石鳥谷は、日本三大杜氏の一つに謳われる”南部杜氏”発祥の地と言われている。
長い歴史を持つ”南部杜氏”は現在も全国にその技術を伝えています。
そして、今回のゲストには「3年B組 金八先生」で生徒役として武田鉄矢さんと共演した川上麻衣子さんが登場！
0664１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/11/24(金) 22:12:24.74ID:2XbK5FAe
■第９話「風来坊の片想い（浄法寺）」　11/29（水）

第９話の舞台は岩手県の北端、二戸市。
劇中にも登場する「浄法寺塗」は二戸市の伝統工芸品。
国内で採れる漆のおよそ７割が二戸地域のもの。
生産量だけでなく質の高さにも定評があり、使うほどに艶や輝きが増していくのが特徴。
さらには、日本最古の盆踊りと言われる「ナニャトヤラ」という伝統芸能も劇中に登場。
古くから二戸に伝わる太鼓のリズムと歌に合わせて繰り広げられる踊り。
村人を集めた盆踊りのシーンでは、ドラマではあまり見かけない人が登場するかも！？
0665とあるエレ解常連
垢版 |
2017/11/25(土) 11:16:35.79ID:fXah2w3K
>>663-664
スレチですがエレ解常連の年齢層を考えるとずっぽしというw
しかも何だか観たくなります
番宣屋さんと呼ばせてもらいます
0667１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/05(火) 20:29:12.67ID:E3mLmu88
■第10話【最終回】：「炎に消えた黄門様（八戸)」　　 12/06（水)

いよいよ最終回！
ゲストには、女優。松坂慶子さんが登場。役どころはなんと、黄門様の初恋相手！
また、劇中で松坂さんが作っている「南部姫毬」は、八戸に伝わる名産品の一つ。
平安時代に子どもたちの遊び道具として生まれた手毬を観賞用にしたもの。
糸を幾重にも巻き上げ、菱型や三角形を組み合わせた色鮮やかな模様を施している「南部毛毬」は、飾られた家の邪気を払いながら色あせていく、その家のお守り。
結婚や出産のお祝い品としても重宝されている。

最後に出演者全員で「贈ることば」を合唱？（「金八先生」1st シリーズの主題歌だったなぁ…）

http://www.bs-tbs.co.jp/mitokomon/index.html

（長い間ご愛読ありがとうございました。）
0668とあるエレ解常連
垢版 |
2017/12/06(水) 23:37:48.78ID:vkpD5gDG
2017年6月号から「問題のご感想も歓迎します」って注記されてるんですね
気付かなかった
0669とあるエレ解常連
垢版 |
2017/12/09(土) 09:20:25.61ID:p52Yk7RK
17年12月号の講評です

■出題１：レベル5（常連正解率90％）

やや易しめの良問。
隣り合う数字が連続する条件下では魔方陣が成立しないこと示す問題。
一見すると整数問題だが、グラフを考えることがエレガントに解く鍵となる。


■出題２：n＝４，５はレベル2〜3（高校生正解率90％），n＝6はレベル5（常連正解率90％）

n＝４，５はとても易しい。問題なのはn＝６でかなり悩まされた。
長時間悩んだ結果めでたく解答の道筋が立ち、
論理を整理しつつB5用紙に解答を清書していったところ
出来上がった答案は当初書くはずだった結論の逆を証明していた、という珍しい体験をした（←アホ）
0670１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/10(日) 20:39:52.02ID:W/9Gj/R8
今月は早いでござるな。それでは…

■出題２　（と言っても蛇足だが）

・n≧3、奇数の場合の１例

単色点M（他のn-1点と同色の辺でつながる点）が１つある。
他の n-1点も、同色の辺でつながる対をなす。
M−A(2k-1)−A(2k)−M　　　色1
それ以外の辺はすべて違う色とする。

（多数の三角形が１点を共有するイメージ。）

・n≧8、偶数の場合の１例

上記の n-1点の例に、点Bと次の辺を追加する。
B−A1　　　　　　　色1
B−A3−A1　　　　色2
B−A(k+2)−Ak　　色k
B−A2−A(n-3)　　色n-3
B−A4−A(n-2)　　色n-2
これ以外の辺はすべて違う色とする。
0671１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/12(火) 01:02:06.03ID:A7tAwVS8
>>670 （蛇足）の下の方は

k = 3，…，n-4 です。

我ながら、何ともセコい解だ。。。

で、本題の n=6 の方でござるが、
長時間悩んだが解答の道筋も立たず、でござった。
修行が足りぬ。。。
0672とあるエレ解常連
垢版 |
2017/12/13(水) 00:09:28.00ID:VzDBlmx4
>>671
> 長時間悩んだが解答の道筋も立たず、でござった。

n＝6にエレガントな解法があるのか疑問です。
解答編を楽しみに待ちましょう。

>>670は凄いですねえ。よく一般のケースを考えようと思いましたね。
n≧8が簡単なんて想像してませんでしたよ。
n＝6が特異なんですね。面白いです。
0673１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/26(火) 04:59:12.17ID:YnF5Qwmi
問１が手がかりすら掴めん・・・
２０１１年８＋９月号なんて手元にないよ(；´Д｀)
内容知ってる人教えてもらえませんか
0675１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/27(水) 12:05:49.33ID:SBGZPQuO
>>674
そう。停電というよりこの頃は製紙工場が被災して、とにかく紙が足りなかった。実質9月号を飛ばしたことになる。
じゃあこの年はエレ解が11ヶ月分しか出なかったかというとそうではなくて、9月号分はネットで出題された。
0676とあるエレ解常連
垢版 |
2018/01/03(水) 22:30:31.82ID:ck/F8hfZ
>>673
> 問１が手がかりすら掴めん・・・

というコメントを読んで問2から手をつけましたが、(2)は無茶苦茶骨が折れます
これから問1を考えます。間に合うだろうか・・・
0677１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/05(金) 07:23:13.83ID:wRuETOK7
1は3通りの方法で解いてみたが、互いに微妙に違う上に、正解とも異るという
0678１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/05(金) 23:30:16.18ID:TIUiz4a3
>>673

数学セミナー，2011年 8/9月号，p.65-71 (2011)
岩沢宏和：「とっておきの」確率パズル
　（「確率パズルの迷宮」連載●第５回）

次の本の紹介記事

ピーター・ウィンクラー「とっておきの数学パズル」日本評論社（2011/July)
　坂井・岩沢・小副川（訳）　　2592円

最後の問題27　＝　本書の§4．9　＝　出題1（n=500，k=1）

「同書に収められている解答は、なかなか秀逸な着想に基づき、難しい計算をいっさい使わずに、2/3が答えであることの証明を行なっている。
だが、その内容自体は、そう簡単ではなく、数ページに及ぶ長いものである。
やはりこの問題は相当に難しいようだ。」

がんばれ
0681１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/15(月) 00:05:16.35ID:jq3xvZvh
2月号
数学基礎論の特集

「今は昔の竹内物語」に
竹内外史先生（1926/01/25〜2017/05/10）の思い出話があって、

６．辻先生が「竹の内君」と云った話（p.20）がある。

竹内端三先生（東大、1887/06/〜1945/08/07）のことだったようですが…

今の人ならきっと
竹之内脩先生（阪大・基礎工、函数解析）
と思うでしょうね。
0683とあるエレ解常連
垢版 |
2018/01/17(水) 00:50:28.74ID:U4C1l9Ky
2018年1月号の講評です。

■出題１：レベル6〜7（常連正解率50〜70％）
［ノーヒントならレベル9〜10（常連正解率0〜10％）］

2n個の点からランダムにn個の区間を選ぶとき、
すべての区間と交わる『支配区間』がk個以上できる確率を問う問題。
親切にもヒント付きなので苦労しつつも解けた人が多いのではないでしょうか。
果たしてこの問題をノーヒントで解ける読者がいるんだろうかと思いますね。
あんな解法は100年かかっても思いつけない自信が私にはあります。
世の中には恐ろしく頭の良い人がいるものです。
良い問題、良い解法、凄い数学者、いろんな出会いのある良問でした。
エレガントな別解があるのか、解答編も楽しみです。


■出題２：レベル7〜8（常連正解率20〜40％）
［ノーヒントならレベル9〜10（常連正解率0〜5％）］

『強正則グラフ』というワードを知っている人はヒントにたどり着けたでしょう。
しかしヒント付きでもグラフの数え上げ、もっといえばuniquenessの証明は決して簡単ではないです。
そんなわけでレベルは7〜8程度と高めです。
ノーヒントなら限りなくレベル10（正解者0〜1人レベル）です。
特にn＝9, n＝10の一部のグラフを自力で探すのは無理ゲーではないか。
仮に探せたとしてもその唯一性を示すのがまた無理ゲー。
ヒント付きでも解答をきちんと記述するのは大変です。

一見とっつきやすそうな問題だけにノーヒントで突き進んだ人も多いと思いますが、
早めに情報収集して武装するのが吉という問題でした。
ノーヒントで解けた人は大いに自慢してよいと思います。
はっきりいってイチ数学ファンのレベルを超えていますから。
あるいは武装せずともエレガントに解けるんでしょうか？

----

２問とも
・オリジナリティがなく他所で情報を拾えてしまう
・ヒントがなければ超難問である
・ヒント付きでもそこそこの難問である
という共通項がありました。
ある意味悪問と言えなくもないですが、
両問とも我を忘れて熱中できる面白さがありました。
ゆっくり時間を取れる冬休みの宿題としては良いレベルだったと思います。
0684１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/17(水) 03:13:28.16ID:K1wc0vuW
1月号
岩澤理論の特集　……　代数的整数論の中心的なテーマ

（岩澤加群・セルマー群 と p進ζ関数・p進L関数 とが本質的に一致する？）

それはさて置き、出題１はのちのち、支配区間論における岩沢理論とでも呼ばれるでしょうか？

ジャステイツ氏の秀逸な着想に基づき、難しい計算を使わずに解けるらしいですが…　　>>678
0685とあるエレ解常連
垢版 |
2018/01/17(水) 22:52:58.56ID:U4C1l9Ky
>>684
Justiczの論文の『秀逸な着想』は２ページにまとまってますね。
any k＜nは"With slightly more care"で解けるとあります。
Justiczにとってのslightは私にとってのslightではないので困ります。
0686１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/18(木) 00:24:15.71ID:3VMTZnuL
>>685

最後の4数（a〜d）もA(n-1)，B(n-1)，A(n)，B(n）で表わしましょう。

本書の解は

支配区間が１つある　⇔　最後の2つの区間（n-1とn）が「左側〜右側」

（初めのn-2の区間は無関係）というものですね。

これを slight 拡張すると、

支配区間がｋ個ある　⇔　最後のk+1の区間が「左側〜右側」

（初めのn-k-1の区間は無関係）

となり、証明もほとんど同様にできそう。

・補足

定義により、A（j）とB（j）とが
「左側〜右側」　⇔　「右向き」あるいは「左向き」の区間が継続する。
「同じ側」　⇔　「右向き」と「左向き」が反転する。このとき区間１〜区間ｊはいずれも支配区間でなくなる。（頓死）
0687１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/18(木) 00:31:10.14ID:3VMTZnuL
>>686 訂正

「支配区間」が（１つ以上）ある　⇔　最後の2つの区間（n-1とn）が「左側〜右側」

「支配区間」がｋ個以上ある　⇔　最後のk+1の区間（n-k〜n）が「左側〜右側」
0688とあるエレ解常連
垢版 |
2018/01/19(金) 00:56:53.35ID:keGyyLu4
>>686
> となり、証明もほとんど同様にできそう。

必要性をきっちり証明するのは自分には面倒でslight careでは済まなかったです。
細心のcareをしました。

>>687
> 「支配区間」がｋ個以上ある　⇔　最後のk+1の区間（n-k〜n）が「左側〜右側」

これって正確ですか？
0689１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/19(金) 01:53:54.91ID:4j7tlg3r
>>688

any k＜n では…

なお、n-1個あるなら当然n個ありますが、これは「n-1個」と云うことにしました。
0690とあるエレ解常連
垢版 |
2018/01/20(土) 09:12:38.01ID:ViA3eIh+
2ケースあるので場合分けしなければいけないですよね。
0691とあるエレ解常連
垢版 |
2018/01/20(土) 09:51:20.82ID:fNIqamCN
先月は斥候>>673氏のコメントのおかげで早めに着手し、間に合いました。
今月はどうでしょうか？
0693１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/20(土) 14:29:54.41ID:BdHhmenA
・A(j）とB(j）が「同じ側」のとき、区間１〜区間ｊはいずれも支配区間でなくなる。（トン死）
・最後のk+1個の区間がすべて「左側〜右側」なら、最後のk個が支配区間になる。
ことを示せばOK
0695１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/21(日) 03:26:33.09ID:SUkk+U6n
>>694
　確かにそうですね。
　区間jが左向き　B(j）> A(j）のケースでは、右側の未定数が左側より２個多く、
　次の区間の「同じ側」と「反対側」が入れ替わるので面倒ですね。
　というわけで、　「右向き」と「左向き」に戻しましょう^^

j=n-2 の例で考えると、a<b<c<d としたので
　A(n-2）< B(n-2）：右向きのとき、b <｛n，A(j)｝< c
　A(n-2）> B(n-2）：左向きのとき、a <｛n，A(j)｝< b
（j≦n-2）

このとき A(n-1）= b で、最後の区間nはつねに右向きになります。

・B(n-1）= a なら区間n-1 は左向き、区間nは右向き となります。向きが変わったので支配区間はありません。（頓死）

・B(n-1）= c または d なら区間n-1 〜 区間n で右向きが継続し、支配区間が（１つ以上）あります。
0697とあるエレ解常連
垢版 |
2018/01/21(日) 10:37:00.26ID:JR12JicI
［何しゃべってるかわからん！という方はまず下の論文のp.7,8をお読みください］
https://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/22/Ford/Joyce-Scheinerman881-889.pdf

>>695-696
そうですね。「右向き区間の連続」が必要十分です。
論文ではそのような書き方はされていないのでany kではちょっと悩みました。
まずここに気付けるかどうかが第一関門です。

十分性は明らかで必要性が問題ですね。
示すべきは「連続しなければ支配区間は高々k-1個となる」ことです。
これを証明できるかが第二関門です。

n-k番目から始めてn-k+a番目(0≦a≦k-1）で右向きの連続が途絶えたとすれば
[1] n-k+a 〜 n番目が支配区間となりうるのは高々k-1-a個
[2] 1 〜 n-k+a-1 番目は支配区間にならない
が成り立ちます。[1]と[2]の両方を、
■case1：左側と右側の点が同数の場合
■case2：左側よりも右側の方が2点多い場合
の2ケースで示せばOKということになります。
証明は論文の方法と同様なので"With slightly more care"なんでしょうね。
0698とあるエレ解常連
垢版 |
2018/01/21(日) 11:00:20.50ID:JR12JicI
>>697の出題は岩沢先生ですが補足にあるヒントの書き方は絶妙だなと思いました。
私のようなチキンはこの補足を読んですぐに「自力では無理」と悟りました（笑）
結果として論文を読んでもなお難しいと感じたので、ネット情報で武装したのは正解でした。
論文の方法を自力で編み出すのは私の能力の遥か遠方を飛び越えます。

>>677氏は自力で3通りの方法を試したようです。
結果が不正解だったにせよ3通りも編み出すのは凄いと思いますね。
>>677
> 1は3通りの方法で解いてみたが、互いに微妙に違う上に、正解とも異るという

３ヶ月後の解答編が楽しみです。
１）論文にあるエレガントな方法
２）論文にある積分の方法（この方針で解けるのか私は知りません）
２通り以上の解答を期待。
0699１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/22(月) 01:15:14.15ID:EFMpeTLH
>>697

逆に辿る方が簡単？
for any k＜n,
最後のk+1区間（n-k〜n）が右向き、区間n-k-1が左向きとすると
最後のk区間（n-k+1 〜 n）が支配区間で、初めのn-k区間（1〜n-k）は支配区間でない。
（区間n-k-1 と区間n-kは重ならない。）

>>687
区間j-1 と区間j が同じ向き　⇔　A(j)，B(j）が反対側
区間j-1 と区間j が逆向き　　⇔　A(j)，B(j）が同じ側
なので、
最後のk+1区間（n-k〜n）が同じ向き　⇔　最後のk区間（n-k+1 〜n）でA(j）とB(j）が反対側

（区間nが右向きということを使えば、まだ改良できるけど…）
0700とあるエレ解常連
垢版 |
2018/01/22(月) 22:35:35.85ID:+Yy6qakN
>>699
なるほど・・
「向きが左（右）へ変わったら、その左向き（右向き）区間と、そこまでに連続した右（左）区間たちはすべて支配区間でない」
これは直感的に理解できますね。これを押さえれば必要条件も見通しよく書けそうです。
n個の区間を　「向きが連続した区間列」の列　と捉え、最後の区間が左向きでないことに注意すれば、必要十分条件は容易に導けそうです。

難問が易問に変わりました。
それもこれもエレガントな手法のおかげです。
組み合わせ論おそるべし。
0701１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/24(水) 01:26:42.65ID:9ooAixL8
>700
支配区間がｋ個以上あるかどうかは、最後のk+1区間の向きで決まり、それより前の向きに依らない。
k+1区間のすべてが支配区間になる確率の問題に帰着するから、難しい計算を使わずに解ける。
これはｎに依らない。（解決）

それはそうと、今月の問題もナニだ・・･･
0702とあるエレ解常連
垢版 |
2018/01/26(金) 00:56:37.32ID:y7mLXSVj
>>701
> それはそうと、今月の問題もナニだ・・･･

そうですかナニですか・・
出題2の問題2で手が止まってます。
出題1は問題文だけは読みましたが、難しそうなので後回しに・・
0703１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/01/26(金) 03:31:06.37ID:dGgp4j0R
>>702

出題１は、n+3 を n で表わして、出てきた末項たちをまとめると、
末項 ｖｓ 総和、つまり「末項勝負」になる？

（1）の（1+x)^n はΣの隣項比から末項率が押さえられるか？
（2）の（1+x+xx)^n は準・末項がズラズラ…　一体どうするんでしょうね？

もちろん、当てにはなりませんが。
0704とあるエレ解常連
垢版 |
2018/01/28(日) 10:20:08.29ID:JN2hGa2G
>>703
> 末項 ｖｓ 総和、つまり「末項勝負」になる？

朝方に読んで吹き出しましたわ
0705とあるエレ解常連
垢版 |
2018/02/10(土) 10:57:54.92ID:puSUR9wA
2018年2月号の講評です。
今月は締め切りが9日でした。
問題の難易度が高く間に合わなかった方も多かったのでは。

■出題1：問題1はレベル6（常連正解率70〜80％）、問題2はレベル8（常連正解率20％）

徳重典英先生の出題。
n個の整数x_k∈{0,1}［{0,1,2}］の和がfloor(n/3)［floor(2n/3)］以下となる組み合わせの総数がc^n（c＜2）［d^n（d＜3］で押さえられるかを問う問題。
問題文はsimpleですが、simpleな問題は往々にして難しいという典型例。
良問ですが良く知られた有名問題の匂いがします。

上のレベルは正攻法で解いた場合です。
おそらくエレガントな解答が用意されています。
正攻法では知識と多少面倒な計算が必要です。
問題文には『根拠を示して答えよ』とあります。
これは裏を返せば『厳密でなくてもよい』という意味かもしれません。
正攻法で厳密な議論を展開するのはなかなか面倒です。

阿呆のコメントはひとまずこれくらいに。
ぬるぽさんか早解きさんか水戸黄門さんか、どなたかのコメントを待って議論したいと思います。


■出題2：問題1はレベル2〜3（高校生正解率80％）、問題2はレベル7〜8（常連正解率20〜30％）

丹下基生先生の出題。
凸多角形の隣接3点を使った等積変形（I-変形と名付けられている）で凸性を保ちながら正多角形にできるかを問う問題。
n角形（n≧4）では対角線を底辺とするI-変形のみが許される。
こちらも良問と言ってよいと思います。

ウォーミングアップ問題、問題1は瞬殺ですが、問題2の凸5角形のケースは簡単ではないです。
スジさえ通っていればマルがもらえるかもしれませんが、『どんな点配置でもこの変形が可能か？』を厳密に考えると結構大変です。
それを解答として記述するのもまた大変。


先月に続き、今月も本誌名物コーナー『エレガントな解答をもとむ』の醍醐味が存分に味わえる美味しい月でした。
2問とも良問なのはうれしいですね。
5chで愚問悪問排除運動を推し進めた成果が出始めているのかｗ
0707１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/13(火) 19:12:05.80ID:ZOqrSE8B
>>670

・nが奇数のとき

正n角形の任意の2頂点p,qに対して、それから等距離な頂点がちょうど１つある。
　↓
辺と対角線を長さごとに彩色すれば、題意を満たす。

美しく、かつエレガントな結果です。（なかなか出て来ない…）

・n≧8、偶数の場合

これも おkでしたね^^（清水氏）
0708１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/14(水) 17:03:04.49ID:/bHsoXtp
2018年3月号の講評です。
（えっ！まだ出たばかりぢゃ？）

といっても NOTE の、ですが。
（なーんだ）

■長岡京の公式

1+2+……+k = T_k
とおくと「図」から
k = T_k - T_{k-1},
kk = Ｔ_k + T_{k-1}
辺々掛けてたす。
Σ[k=1,n］ k^3 = Σ[k=1,n］（T_k - T_{k-1}）（T_k + T_{k
-1}）
= Σ[k=1,n］（(T_k)^2 -（T_{k-1})^2）
=（T_n)^2,　　　（← T_0=0）

なんともエレガント。
クスコ副将軍の墳墓は立方体を重ねた形にしてほしい、という程でござる。

■宇都宮の不等式

単調減少な正数列 x_1 > x_2 > …… > x_n > 0 について
Σ[j=1,n］（x_j)^x_{j-1｝＞ Σ[k=1,n］（x_j)^x_{j+1}
　ただし、x_0 = x_n，x_{n+1}= x_1 とする。

これも美しい不等式。
名著「不等式への招待」の著者も今や古希でござる。
0709とあるエレ解常連
垢版 |
2018/02/15(木) 00:42:18.78ID:83qwjldB
>>707
> ・n≧8、偶数の場合
>
> これも おkでしたね^^（清水氏）

そう簡単に思いつけないと思うんですけどね。
>>670で気付かれていたのはさすがの一言です。

解答編>>669で
> n＝４，５はとても易しい。問題なのはn＝６でかなり悩まされた。
> 長時間悩んだ結果めでたく解答の道筋が立ち、
> 論理を整理しつつB5用紙に解答を清書していったところ
> 出来上がった答案は当初書くはずだった結論の逆を証明していた、という珍しい体験をした（←アホ）

と書きましたが、まったく同じことを答案にコメントした人が居たみたいですね。
私のドッペルゲンガーかと。ビックリしました。
0710とあるエレ解常連
垢版 |
2018/02/15(木) 00:54:15.67ID:83qwjldB
>>709に補足。

本誌に『苦労の時間は至福のときだったのではないでしょうか？』とありますが、
さすがにこの苦労は至福とはいえなかったですね・・ｗ
方針がまったく定まらず、題意を満たすグラフがあるのかないのか分からず。
いよいよどうしようもなくなり非存在をシラミツブシで調べることにしたという経緯なわけで。
絵に描いたようなエレファントロードです。
オレは才能ないんだなーと悲しみを抱えつつ虱を潰してました。
そして最後には『グラフあるんかーい！』でずっこけて大団円というオチ。
0712とあるエレ解常連
垢版 |
2018/02/17(土) 16:02:19.94ID:qinAy9D+
>>711
> 今月は両方解けそうだ。エレガントかどうかは別として。

斥候ご苦労！

今月はゆったりできそうですね
0713１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/18(日) 03:25:45.94ID:e4NqLH6n
2月号　
■出題1
問題（1）
　x_1 + x_2 + …… + x_n = k　となる解（x_1，x_2，……，x_n）の個数はＣ[n，k］
求めるものは
　f_n = Σ(k=0，m）Ｃ(n，k)，　　　m =［n/3]
ところで、k < n/3 のとき
　Ｃ(n，k）=｛(k+1)/(n-k)}Ｃ(n，k+1）<（1/2)Ｃ(n，k+1)
　< … <（1/2)^(m-k）Ｃ(n，m).

　f_n = Σ(k=0，m）Ｃ(n，k)
　< Ｃ(n，m）（1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …）
　< Ｃ(n，m）* 2

〔補題〕
n≧2 のとき　Ｃ(n，m）≦（4/9)c^n,
ただし、c = 3/4^(1/3）= 1.889881575

(略証)
　Ｃ(2，0）= 1 < 4^(1/3）=（4/9)c^2,
　Ｃ(3，1）= 3 =（4/9)c^3,
　Ｃ(4，1）= 4 < 9/4^(1/3）=（4/9)c^4,
これと
　Ｃ(n+3，m+1）=｛(n+3)(n+2)(n+1)/[(m+1)(n-m+2)(n-m+1)]}Ｃ(n,m)
　<（27/4)Ｃ(n,m)
から出る。(終)

∴　f_n < c^n,
0714とあるエレ解常連
垢版 |
2018/02/18(日) 10:45:54.76ID:2pXRmNxD
>>713
> Ｃ(n+3，m+1）　=　｛(n+3)(n+2)(n+1)/[(m+1)(n-m+2)(n-m+1)]}Ｃ(n,m)　<　（27/4)Ｃ(n,m)

この漸化式で帰納法ですか。
さらっと書いてますけど思い付かんでしょうねフツーはｗ

微妙な差はありますが、
f_n＜A x Ｃ(n，m）＜B x c^n
というステップを踏むところは私と同じです
やはりこれが本筋ですね
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