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【数セミ】エレガントな解答をもとむ2【2016．11】 [無断転載禁止]©2ch.net
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0470とあるエレ解常連
垢版 |
2017/07/12(水) 23:05:40.61ID:2jcMLZk1
>>468-469
参りましたm(_ _)m　お見事です。

2階階差の一手でこんなに見通しがよくなるんですね。
そうであるなら
> 問１：レベル8（常連正解率30％くらいか）
は過大評価でしたか。私のスジが悪かっただけですね。

自分の初手は分母分子を具体的に予想して帰納法というものでしたが、
段数kに関する多項式部分が掴めそうで掴めず、最後は諦めて引き返しました。
後に別解法で解いたときに一般項が閉形式で表せないことを知り、
引き返した自分が正しかった（＝方針がまずかった）ことを認識したのでした。


問2はどうでしょう？
0473１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/17(月) 01:14:23.55ID:2cOdQU+V
>>419 >>456

△ABCの内心： I = △MN(-x）の垂心,
△ABDの内心： J = △NP(-y）の垂心,
△ACDの内心： K = △PQx の垂心,
△BCDの内心： L = △QMy の垂心,
傍心も同様

ていうことだな。
0474１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/23(日) 12:37:58.52ID:yTyAIG7a
>>471 のあらすじ

【補題１】
a,m,q が自然数で a≡1 (mod q）のとき、
　a^(m-1）+ a^(m-2）+ …… + a + 1 ≡ m (mod q)

(略証)
a≡1 (mod q) より a=kq+1 (k≧0 は整数）とかける。
　a^L =（kq+1)^L =（kq)^L +…… + L(kq）+ 1 ≡ 1 (mod q)
L=0 から L=m-1 までたすと
　a^(m-1）+ a^(m-2) + …… + a + 1 ≡ m (mod q) 　(終)

（ネタバレ御勘弁）
0475１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/23(日) 12:40:32.47ID:yTyAIG7a
【補題２】
q が奇数で a≡1（mod q）のとき、
　a^(q-1）+ a^(q-2) + …… + a + 1 ≡ q　（mod qq)

(略証)
a^L = （kq+1)^L ≡ L(kq) + 1 (mod qq）
L=0 から L=q-1 までたすと
a^(q-1）+ a^(q-2) + …… + q + 1
≡｛(q-1)+(q-2)+……+2+1}kq + q
≡｛(q-1)q/2}kq+ q
≡ q　（mod qq)
∵　q は奇数だから 2 |(q-1)　　　(終)
0476１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/23(日) 12:42:27.50ID:yTyAIG7a
【補題３】
m,n を2以上の自然数、b を3以上の奇数とする。
2^m - b^n = 1 を満たす (m,n,2,b) は存在しない。

(略証)
m,n,b が　
(1）　2^m - b^n = 1
を満たすとする。
m≧2 より
　b^n = 2^m - 1 ≡ -1　（mod 4)
∴　b≡-1（mod 4）かつ nは奇数。
∴　b≧3、n≧3

　b^n + 1 = (b+1){b^(n-1）- b^(n-2）+ …… - b +1}

右辺の { ････ ｝内は１より大きく、奇数の奇数個の和と差だから奇数。
一方（1）より偶数または１となるから矛盾する。　(終)
0477１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/23(日) 12:48:33.87ID:yTyAIG7a
【本題】
m,n,a を 2以上の自然数、pを素数とする。
a^m - p^n = 1 を満たす（m,n,a,p）は（2,3,3,2）のみである。

(略証)
補題3により a=2 の解は無い。a≧3 としてよい。
(m,n,a,p) が
(2）　a^m - p^n = 1 を満たすとする。

(2）より
　 p^n = a^m -1 =（a-1){a^(m-1）+ …… + a + 1}
　1 < a-1 < a^(m-1）+ …… + a + 1 だから

(3）　a-1 ≡ 0　　　（mod p)
(4）　a^(m-1）+ …… + a + 1 ≡ 0（mod pp)

(3）と補題１より
　a^(m-1）+ …… + a + 1 ≡ m (mod p) だから
(4）より m ≡ 0　　（mod p)
　つまり m=k･p とかける。

(2）より（a^p =A とおくと）
　p^n = A^k - 1 =（A-1){A^(k-1）+ …… + A + 1｝だから

　1 < A-1 なので
(5) p^n' = A-1 = (a-1){a^(p-1）+ …… + a + 1｝とかける。
　（0 < n' < n)

　1 < a-1 < a^(p-1）+ …… + a + 1 なので（5）より
(6）　a-1 ≡ 0　　（mod p)
(7）　a^(p-1）+ …… + a + 1 ≡ 0　（mod pp)

・pが奇素数の場合
(6）と補題２より
a^(p-1）+ …… + a + 1 ≡ p（mod pp）だから
(7）より p≡0（mod pp）で矛盾。

・p=2の場合
(5）より
　2^n' = (a-1)(a+1）
2ベキで差が2となるものは（2,4）に限る。
　a=3
（m,n,a,p）=（2,3,3,2）

いや～素数って、ほんとに強力ですね。それではまたお会いしましょう。
0490とあるエレ解常連
垢版 |
2017/07/23(日) 22:37:47.98ID:6v30lA8y
>>474-477

詳細どうもです。

問2はそこそこ難易度が高いんじゃなかろうかと。
>>467
> 問２：レベル5～7（常連正解率50～85％）
は間違っていないでしょう。
心配すべきはネットにそのものずばりの問題と解答が上がっていた点ですな。
こういう出題はよく見かけますが、金を取る著作物であればオリジナルにこだわってほしいものです。

ところで8月号の岡本氏のコメントにちょっとがっかりしてしまいました。
子曰く、
『以前に何度か出題したが正答者が少なくて残念だった』
『今回は多くの方に正解いただけてホッとしている』

ちがうちがう、そうじゃ、そうじゃな～い、だろ岡本さん
オレは超ムズなアンタが好きだったんだ
正解者1名の2015年5月号の問題、アレ最高だったぜ
49人があっさり答えちゃう問題なんか求めちゃいないんだ
・・・というのがとある常連の所感です。

>>259
> そして今月5月号の問1も離散幾何。
> 岡本吉○氏の出題ですが、氏の2015年5月号の問題は珠玉でしたね。
> 2次元平面に青い点n個と赤い点n個があるとき
> 『同色間のユークリッド距離の総和≦異色間のユークリッド距離の総和』
> が成り立つことを示せ、という問題でした。
>
> 問題もエレガントなら解答もエレガント。
> 世に知られた問題ではなくズルはできない。
> それもあって難易度は抜群に高く、正解者は1名のみ。
> 解答がエレガントでなければ『ああめんどくさい難問だったな』で終わってしまうところですが、
> ここまで解答がエレガントだと素直に『参りました』です。
0503１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/24(月) 10:56:46.33ID:iV1C1oGj
エレ解の難易度って、どれくらいなのですか？
0504￥ ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2017/07/24(月) 11:29:52.23ID:/2fQM0DG
〒〒〒馬鹿板は悪い習慣であり、この行為は脳を悪くする。そやし足を洗いなさい。〒〒〒

￥
0515１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/25(火) 18:54:21.89ID:lGrtnvss
NOTEの話ですが...

△ABCの等角共役点PとQから3辺に垂線を下します。その足6点は、PQの中点を中心とする円周上にあります。
｛外心O、垂心H｝は等角共役点の１例です。（9点円）

点Pと3頂点A、B、Cを結んだ3本の直線はそれぞれの対辺と交わります。点Qについても同様です。
これら6点が、同一円周上にあるとき、｛P、Q｝は木戸共役点であると言いましょう。
｛重心G、垂心H｝は木戸共役点の１例です。(9点円）

ところで、木戸共役点｛P、Q｝の間にどんな関係があるでしょうか？

　数セミ、Vol.50、No.3、p.66 NOTE （2011/3)
0516１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/28(金) 10:42:51.20ID:j+jikqys
>>259

2次元平面に　青い点m個と赤い点n個があるとき、
m=n ならば
Σ（同色の2点の距離） ≦ Σ（異色の2点の距離）

これは｜m-n｜= 1 のときも成り立つんでせうか？

（1，2）は△不等式

（2，3）は Kurschak-1981
10th JMO-2000、本選 第3問
不等式スレの［初代スレ.811(2)，827，870]

（m，n）が大きいときは…
0517１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/30(日) 01:07:56.28ID:jxqKlyAk
>>516

(1) W氏の解
　xよりも左側にある青点の数を B(x)、赤点の数を R(x) とおく。
　S, Dのうち、点xを通る線分の本数を S(x), D(x）とおく。
　S(x) = B(x){m-B(x)} + R(x){n-R(x)},
　D(x) = B(x){n-R(x)} + R(x){m-B(x)},
∴　S(x) - D(x) = -{B(x)-R(x)}{B(x)-R(x)+n-m} ≦ 0,　(← |m-n|≦1)
これを -∞ < x < ∞ で積分すると
　S - D ≦ 0,
0518１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/07/30(日) 01:14:10.12ID:jxqKlyAk
>>516

(2) 出題者解
　青点、赤点の数を (n+1,n) とする。
　m=nのときは端から順に見ていくのだが、ここでは両端から探す。
　青点のうちで最小・最大のものを b_n, b_(n+1) とする。
　b_n ≦ x ≦ b_(n+1) ⇒　d(b_n, x) + d(b_(n+1), x) = d(b_n, b_(n+1)) = d_o,
　それ以外　⇒　d(b_n, x) + d(b_(n+1), x) > d(b_n, b_(n+1)) = d_o,
　b_n, b_(n+1) を追加した際の S, D の増加分⊿S, ⊿D は
　⊿S = d(b_n, b_(n+1)) + Σ[i=1,n-1] {d(b_i, b_n) + d(b_i, b_(n+1))}
　= d_o + Σ[i=1,n-1] d_o = n d_o,
　⊿D = Σ[j=1,n] {d(b_n, r_j）+ d(b_(n+1), r_j)｝
　≧ Σ[j=1,n] d_o = n d_o,
　⊿S - ⊿D ≦ 0,
　帰納法の仮定より、b_n と b_(n+1) を除去した（n-1,n）の場合には成立つ。
　∴ S - D ≦ 0.
0524１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/08/07(月) 15:19:56.87ID:8+FZkWXB
>>523
教えてもらって投稿して満足なのか？
「とあるエレ解常連」氏って、そういう類だったのか。過大評価していたようだな。
0525とあるエレ解常連
垢版 |
2017/08/07(月) 20:38:16.36ID:ItW1Eker
>>524
コメントありがとう。
私なんか貴方の評価に値しませんよ

なにせ今月の問1はホントに詰まり気味。
　もっと早くやってりゃよかった
なんて何年同じこと言ってんだか、な有様です。

あと数日あります。
諦めないのが私の唯一の取り柄です。

で、あなた問1解けました？
0526とあるエレ解常連
垢版 |
2017/08/10(木) 21:24:00.84ID:vo2ETQF/
今日は締め切り日です
問1にはだいぶ悩まされましたがなんとかカントカ答案を仕上げました
後日講評にて

そして私の手元には９月号が届きました
問2の解答文の出だしに思わず笑っちゃいましたよ

>>365
> 簡単すぎたと感じたのなら、本当にそれで証明に穴がないかを
> チェックした方が良いかと思う。

>>365さん！思わせぶったことを私に謝ってください(笑)

>>371
> いまだに俺には中学生の方程式の問題にしか見えない。
> こんなのを最終問題に付け加えた意図もまったく分からん。
> 何の解釈も付かないと気味が悪くて仕方ない。

何の裏もない中学生の問題だったというオチ(笑)
0527１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/08/10(木) 21:31:24.92ID:ZcMNVdrv
>>526
> 問2の解答文の出だしに思わず笑っちゃいましたよ

気になる！ 田舎だから読めるのは14日以降になるから。
まさか、出題者のブラックリストに加わりそうな解答でしたか？
0528とあるエレ解常連
垢版 |
2017/08/10(木) 21:46:43.98ID:vo2ETQF/
>>527
> 気になる！ 田舎だから読めるのは14日以降になるから。

1行にまとめると次のようになります：

　編集者の良心と出題者の独善

> まさか、出題者のブラックリストに加わりそうな解答でしたか？

ハナからブラックですｗ
2014年2月『砲丸投げ問題』という前科を持っています。
0529とあるエレ解常連
垢版 |
2017/08/10(木) 22:07:12.31ID:vo2ETQF/
>>526
> 問2の解答文の出だしに思わず笑っちゃいましたよ

ここでいう笑いは『ハハ・・、馬鹿言ってんじゃねーぞオイ』な笑いです。
決して楽しかったり面白かったりしたわけじゃないですので。
編集部の良心を知れたのは個人的にうれしかったですが。

彼には時弘塾長の爪の垢を煎じて飲ませてやりたいです。
エレ解を毎月解くサレオツな趣味を持つ大のオトナが大勢、
こんなクソ問題の解答を書かされたと思うと。ホント罪重いです。

あ、中学レベルだ！やったーラッキー！とは絶対思いませんから。
ナニコレ？なんかおれ問題読み違えてる？
こんな簡単な問題なわけないよね？
エレ解で中学期末試験レベルはありえないでしょ？
何がオカシイ？オレの頭がオカシクなってるの？
となって>>386-388のように錯乱するわけです。ホント罪重いです。
0530１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/08/11(金) 03:16:11.98ID:XzY0B0Bq
>>529
> 編集部の良心を知れたのは個人的にうれしかったですが。

ココがよく分からん。
エレ解に、中学生レベルの糞問を出題する常習者の解答文の出だしと、編集部とどういう関係があるのか？
0531とあるエレ解常連
垢版 |
2017/08/11(金) 09:23:05.12ID:8aJE1AgU
>>530
　エレ解の問題はどうあるべきか
編集部がそれをどう考えているかが窺い知れるコメントがあるんですわ
さらには編集部の立場の弱さ、出題者の手抜き＆思慮不足も垣間見えますわ
９月号は必読！(笑)
0532１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/08/11(金) 09:44:49.85ID:XzY0B0Bq
なるほど。
回答者の答案に面白い考察があるが紙面の都合で略ってのも、なんとかならんのかな？
0533とあるエレ解常連
垢版 |
2017/08/11(金) 11:07:25.80ID:8aJE1AgU
>>532
> 回答者の答案に面白い考察があるが紙面の都合で略ってのも、なんとかならんのかな？

まあたしかに残念ですよね。
紙面が余ってるのか知りませんが、
　「筋が悪い」　「イマイチ」、
と書かれるのも嫌なものですけどね(笑)
0535とあるエレ解常連
垢版 |
2017/08/11(金) 11:20:58.43ID:8aJE1AgU
>>534
流行りモノですからねえｗ
拡販には良い試みじゃないですかね。
自分が将棋好きなのでちょっとバイアスかかった意見ですけど。
0536１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/08/11(金) 12:00:52.39ID:XzY0B0Bq
詰将棋も詰碁も大好きだけど、わざわざ数学雑誌でやるなと言いたいね
0537とあるエレ解常連
垢版 |
2017/08/11(金) 12:35:48.49ID:8aJE1AgU
>>536
まあ前連載のパズルと一緒で、息抜きみたいなもんじゃないですかね。
私はパズルを一回もやったことなかったですけど
0538とあるエレ解常連
垢版 |
2017/08/11(金) 12:45:45.33ID:8aJE1AgU
17年8月号の講評です。

■問1：難易度6～?（常連正解率 数%～70%）

とても面白い問題だったので掘り下げたいと思います。
本問題を考えた方はお付き合いください。

小問１：≡924（mod n)となるnはどのような数か？
小問２：n≦5000の範囲で≡924となる数のおおよその個数を求めよ
小問３：二項係数(2n n)≡924 (mod n)となるnが筋をなす理由を答えよ

本問題はこのような小問に分けられます。

実際のところ、題意を満たすnは100個強あります。
そのうち90%以上は特有の性質Aをもちます。
Aは最初の数例から発見できますが、
「A　⇒　≡924」ではないのが本問の難しいところ。
Aに加え、ある条件Bも満たさなければいけません。

[1] Aを満たすnがある条件Bを満たせば≡924となること
[2] Aを満たすnのうち条件Bを満たすものが大多数であること
[3] Aを満たすnがおおよそ100個強であること
[4] [2][3]より筋をなすこと（これは簡単に示せる）

これらを示せば小問1～3に答えたことになりますね。
「数値計算により示される. QED」で済めば[1][4]を示すだけで
よいのですがそれでハナマルをくれることはないでしょうね。

[1]～[4]が示せたとしましょう。ここで終わりにしてもよいですが、
上級者はAの性質を持たない例外についても言及したくなるでしょう。
凡人の私はそこまで深入りできませんが。

所感として本問題は
・ヒントが適切適量
・ネットに解答が落ちてない（たぶん）
・難易度は高め
・解答者の力量に合わせてレベルが変わる
稀に見るエレガントな問題です。
エレ解の常連としては本問に熱中できただけでも
お金を払った価値があるというものです。

別アプローチであっさり解けた方はいますか？
本スレではよくあるパターン。心配です（笑)

■問2：難易度2（高校生正解率90％くらい）

「方法はどうあれ解けば勝者」
このようなマインドを持つ私に対して
「エレガントな解答を期待します」
という要求は意味をもちません。

問1のエレガントな出題に対し何たる手抜き問題か。
対比の不運もありますが、晴れて堂々、
ブラックリスト入りが決定でございます(笑)
0539１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/08/11(金) 13:49:23.62ID:OXujv9yn
>>490

2015年5月号の問題

m=n+1 の場合はネットに上がっていますね。 >>519-520

それで m=n に変えたものを出題したんでしょうね。

尤も、そのものずばり（m=n）の問題と解答がどこかに上がってないとは言えませんが…
0540とあるエレ解常連
垢版 |
2017/08/11(金) 14:01:40.93ID:8aJE1AgU
>>539
解き方のヒントがネットにあったのですね。
2chおそるべし(笑)

> それで m=n に変えたものを出題したんでしょうね。

岡本氏いわく、別の問題を考える過程で証明が必要になった問題。
検索をかけたが世に知られた問題ではなさそうだったので、
エレ解に良いと思い出題した、ということでした。
0541１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/08/11(金) 19:31:47.35ID:OXujv9yn
>>540

(2,2）は例外的に△不等式だけで出ますが、”距離”を１つ追加して「Hlawka型」にすると無理ですね。（Euclid性が必要)
　
（ベクトルｄとしては異色間ベクトルを取ります。たとえば、
　d_1 = b1 - r1，d_2 = r1 - b2，d_3 = b2-r2，d1+d2+d3 = b1 - r2,
　同色間ベクトル： d1+d2 = b1-b2，d2+d3 = r1-r2,　追加ベクトル：d3+d1）

Hlawkaの不等式も射影して１次元で考えた方が簡単かも知れません。１次元の問題が↓にあります。

佐藤淳郎(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店(2013)、演習問題1.6


大関「不等式への招待」近代科学社(1987）、例題8　p.33-34
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/388 ,450
では式の変形で出していますが、うまいものと感心するばかりです。
0542１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/08/12(土) 20:50:24.97ID:Q6GNyTGG
>「方法はどうあれ解けば勝者」
>このようなマインドを持つ私に対して
>「エレガントな解答を期待します」
>という要求は意味をもちません。

だったら「エレガントな解答をもとむ」という趣旨のコーナーに立ち入るなよアホか
こんな当たり屋みたいなチンピラ風情に「手抜き問題」とか言われてたら
さすがに作問者が不憫だわ。
0543１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/08/12(土) 21:25:59.15ID:TyY2Rmyb
エレ解と数オリって、どっちが難しいの？
0555とあるエレ解常連
垢版 |
2017/08/13(日) 00:03:14.35ID:oMGTk7tv
>>554
そのリンク先の方はエレ解の常連ですね。
エレ解以外でも活躍していて、その手広さに感心してます。

>>542
> だったら「エレガントな解答をもとむ」という趣旨のコーナーに立ち入るなよアホか
> こんな当たり屋みたいなチンピラ風情に「手抜き問題」とか言われてたら
> さすがに作問者が不憫だわ。

私は実際に解いた。
そして手抜きだと思った。
こんな問題なら私でも出せる。
この傾向が続くなら私は本誌の継続購入を止める。
それだけのことです。

簡単すぎる問題の解答にエレガントさを要求する出題者を私は好まない。
そもそも自分の解答がエレガントなのかどうかさえ分からない状況で、
こんな低レベルの問題の別解を根詰めて考えようなんて気は起きない。
エレガントな解答がないのにエレガントさを要求する出題者よりはマシですがね。

個人的意見ですよ。あまり深刻に捉えて憤らないように！
そういうあなたは問2を楽しめたのですか？
どうぞ感想をお書きになってください。
0566１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/08/13(日) 07:34:37.20ID:6tBbpmj+
>>554
大数の宿題が一番難しいの？
数オリよりも？
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