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（負の数）×（負の数）＝（正の数）になる理由って中学生に説明できる？ [無断転載禁止]©2ch.net
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0001１３２人目の素数さん
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2016/02/13(土) 20:34:29.73ID:/MKGjzXw
足し算、引き算は数直線使えば説明つくが、
掛け算となると中学生に説明するのは厳しくないか？
0785１３２人目の素数さん
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2018/09/08(土) 20:44:28.32ID:NH7Vyf0M
メビウスの輪は？
0787１３２人目の素数さん
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2018/09/08(土) 22:43:23.94ID:NH7Vyf0M
>>786
表裏がある帯状のものを180度ねじって結束すると
表も裏もないものが出来る。
ということは何を証明することになるんだろう？
0788１３２人目の素数さん
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2018/09/09(日) 01:31:47.88ID:/2eshuqm
メビウスの輪から抜け出せなくなっていくつもの罪を繰り返すようになる
0789１３２人目の素数さん
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2018/09/09(日) 13:03:31.00ID:vfboXXpV
こういう話題の時に、負の数は現実に存在しない〜〜とか言う奴いるが、正の数も存在しないだろ。誤解を生むようなこというなよ。
0790１３２人目の素数さん
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2018/09/09(日) 22:30:54.21ID:UnS5lVgQ
負の数は存在しない。存在するというなら、
マイナス1個のリンゴをここに持ってきてみろ

みたいなスレが昔あったな
0792１３２人目の素数さん
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2018/09/10(月) 20:49:20.56ID:Zj+1TkQF
>>778
その態度は横から見ていて気に入らないな
少なくとも集合論を主張してたやつの方が正面からスレタイに向き合ってる。
中学生はともかく多くの人が根本的に抱く疑問のヒントになる(ような気がする)
あんたは数学に詳しいみたいだからもっと上手く説明してみたらどうだい？
0793１３２人目の素数さん
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2018/09/10(月) 21:24:14.30ID:haj3Lto8
>>792
マイナス×マイナスがプラスになるのは、神の思し召しによるものです
神がそのように定めたので正しいのです

集合論云々の説明は、私には上の説明と同じレベルに感じられます
高級な言葉を使って煙に巻くということは、そういうことです

自分のよく知らない高級な用語を散りばめて煙に巻くというのは、疑似科学の手法と一緒なんですよね
その程度でも納得するような、レベルの低い人にとっては、まあ確かに説明になるのかもしれないですけどね
0794１３２人目の素数さん
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2018/09/10(月) 21:34:05.69ID:QR9gw3pc
乾いても湿ってもない物にコロされた神様が居たな。
インド神話に。
0795１３２人目の素数さん
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2018/09/10(月) 21:34:35.00ID:Zj+1TkQF
>>793
高級な言葉で煙に巻いてないで分かりやすい言葉でマイナスの問題を説明できんのかね？
0797１３２人目の素数さん
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2018/09/10(月) 21:40:05.38ID:Zj+1TkQF
>>796
あんた随分詳しそうだったから期待してたけどその程度か。がっかりだ。もうええわ。さよなら
0798１３２人目の素数さん
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2018/09/10(月) 21:49:21.24ID:haj3Lto8
上の方で私は教育論の問題だと言いましたよね

厳密であることはわかりやすいとは限りません
厳密に説明するなら、環の公理より明らかである、です

私はわかった上で用語を書いてますから、疑似科学ではありませんね
0799１３２人目の素数さん
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2018/09/10(月) 21:55:30.69ID:haj3Lto8
数学は前提が全てです
どのような前提を採用するとどういう結果が得られるというのを調べるのが数学です

今回の問題はある意味その前提を採用する理由を聞いてる質問です
ですから、数学的には、別にそうでなくてもいいよ、そういう前提じゃなくてもいいよ、というのが正解になります
本心では、知るかボケって感じですね

ですから数学的に解決はできないのです
わかりやすい説明を求めるのは、先生の役割です
0800１３２人目の素数さん
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2018/09/10(月) 22:41:05.83ID:koM2hu+M
たとえば、掛け算を次のようにしましょう

プラス×プラス=プラス
プラス×マイナス=マイナス
マイナス×プラス=マイナス
マイナス×マイナス=マイナス

このようにした時、×は結合法則と交換法則を満たしますが、分配法則を満たしません
普通、分配法則も成り立つものがかけ算と呼ばれるので、上の×はかけ算とは呼ばないのです

ですが、こういう計算自体を考えてはいけないという保証はどこにもありません
0801１３２人目の素数さん
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2018/09/10(月) 22:55:56.24ID:koM2hu+M
分配法則が使えないからマイナス×マイナス=プラスだ

これも確かに説明の一つです

しかし、分配法則がなくても演算としては成立してしまって、結合法則や交換法則などという良い性質も持たせることができてしまう

なぜ、分配法則も成り立たないといけないのか？

こういうことを考えると、必ずしもこの説明が絶対とは限りません
数ある前提からなぜそれを選択したのか、それは数学の世界の外にある
一つの考えとしては、現実世界での具体例をなにか考えてみれば良いでしょう

上の方にも借金とか速度の例が上がっていましたね
そういうのを考えると、マイナス×マイナス=プラスにしたほうが都合が良いことがわかります

あくまで都合が良い、というのであって、そうならなければならない、ではないのがミソですね
0802１３２人目の素数さん
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2018/09/10(月) 22:57:01.50ID:koM2hu+M
つまり、どんなに小難しい話をしようが、反対の反対は元に戻る、に最終的に戻ってくるわけです
教科書にもこういう説明はあるでしょうね
教科書は良いこと言いますね
0803１３２人目の素数さん
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2018/09/11(火) 00:45:15.98ID:rVORUSIf
>>801
実例があって、そう決めると都合が良いから、そう決めたでいいじゃないか。
それ以上だと、中学生の理解の外だ。
0805１３２人目の素数さん
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2018/09/11(火) 18:10:53.87ID:OLgU7Ajs
>>802
反対の反対は元戻る
そんなことは子供でも百も承知の事実

要するに、この説明は数の計算において回転の概念を導入してることになる
そこで誰しもが素朴な疑問を持つ
何で計算のことなのに回転を考えなければならないの？上手く説明できて都合がいいのは分かるけど、そもそもどこから回転の概念なんかが湧いて出てくるの？

高度な数学的な説明になるんだろうけど何とか分かりやすい説明ができないものか。と思うわけ
0806１３２人目の素数さん
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2018/09/11(火) 18:20:30.63ID:R387dlgt
>>805
＞何で計算のことなのに回転を考えなければならないの？上手く説明できて都合がいいのは分かるけど、そもそもどこから回転の概念なんかが湧いて出てくるの？


これはあなたが複素数を知ってるからそう思うだけです

反対の反対は元に戻る、と聞いて回転を思い浮かべる人はいません
0807１３２人目の素数さん
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2018/09/11(火) 18:25:59.17ID:R387dlgt
>>805
＞高度な数学的な説明になるんだろうけど何とか分かりやすい説明ができないものか。と思うわけ


高度な説明では解決できないということを上で説明したつもりなんですけどね
0808１３２人目の素数さん
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2018/09/11(火) 18:28:33.19ID:R387dlgt
反対の反対は元に戻る、は本来あるべき説明を簡単にしたもの、ではなく最も本質的な説明です

直観が成り立つような数体系を採用しようという話なのですから
0809１３２人目の素数さん
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2018/09/11(火) 18:38:02.69ID:OLgU7Ajs
>>806
それはベクトルの話？じゃあそのベクトル考え方はどっから降って湧いて来たの？
ということになる。

あなたは説明は無理と断じているが、上の方の書き込みの方がよっぽど上手く説明している。
同じ演算を繰り返せば元に戻る。この不思議さはどうも構造に原因があるようだ。という点までは理解できた。
0811１３２人目の素数さん
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2018/09/11(火) 18:43:30.60ID:R387dlgt
>>809
高校生ですよね、あなた多分
高校の範囲の用語しか出てきませんから

現代数学で主流な考え方として、形式主義というものがあるんです
そこでは、まず公理という大前提をたてて、そこから話を進めていきます

その公理って正しいの？なんの役に立つの？現実世界の応用例は？こういう質問はナンセンスであり、数学の範疇ではありません

あなたはそこが知りたいわけですよね
でもそれは数学的には解決できないものです

結局、そう決めたからそうなんだ、があなたにとって一番わかりやすいものでしょう

なぜそういうものを選んだのか、それは具体例を見ればヒントが見えてきます
なぜそうでなければならないのか、これは別にそうでなくても良い、と答えることができます

いずれにせよ数学ではこれらの疑問を解決することはできません
0812１３２人目の素数さん
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2018/09/11(火) 18:45:11.41ID:R387dlgt
>>810
マイナスは引き算ですから、マイナスより小さくなったら小さいままですよね

屁理屈ではなく自分の胸に手を当てて落ち着いて考えてみてくださいね

これも上の方と同じで定義次第でマイナス+マイナス=プラスとできます
でもそれは普通は足し算とは呼ばないのです
性質が良くないから
0813１３２人目の素数さん
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2018/09/11(火) 18:52:01.44ID:OLgU7Ajs
>>811
いまいち意図が伝わってないなあ
複素数平面での回転の話や数直線の向きの話は負の数の説明でおなじみだけど何でそういう概念が出てくるの？と言っている。
公理からいきなりそういうものだから仕方がないと言われてもなあ。間があるでしょ間が
0815１３２人目の素数さん
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2018/09/11(火) 18:55:25.70ID:R387dlgt
>>813
間は数学の世界にはありません

昔の偉い人が考えたんでしょうね
マイナスは反対の数だって

ちなみにヨーロッパで出てきたマイナスの数は借金を表すために生まれたみたいですよ
概念的にはヨーロッパで生まれるもっと前からあったみたいですけどそこらへんはよくわかりませんけど

つまり、マイナスの間は借金なんですね



数学は意外にも人為的なものですよ
勉強してみるとよくわかりますね
真理の追求などではないわけです
0816１３２人目の素数さん
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2018/09/11(火) 19:06:22.25ID:rVORUSIf
>>815
その間をあからさまに説明すれば良いんだよw
数学の範疇だろうがそうではないだろうが。
0817１３２人目の素数さん
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2018/09/11(火) 19:08:00.33ID:R387dlgt
そういえ説明はもうありますよね？

反対の反対は元に戻るだとか、借金の例だとか、速さが云々とか
0819１３２人目の素数さん
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2018/09/11(火) 19:16:15.02ID:rVORUSIf
>>818
反対の反対いかがなものかと思うな。掛け算になる理由が無い。
それから、借金を返すのがなんでマイナスの掛け算になるんだ？
その他はいいな。
0820１３２人目の素数さん
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2018/09/11(火) 19:17:51.19ID:ePFlar7I
借金の例えが根本的な説明なのは分かる
また、数直線や複素数平面の説明も完全に矛盾しない
この両者には明らかに関連がある
それはなぜか？
一方は純粋に計算の話
もう一方は図形的な話
このつながりが分からんと言いたいのだろう
0822１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/11(火) 19:19:14.91ID:R387dlgt
納得する説明が見つかったようですね
そういう例があるから、マイナス×マイナス=プラスになると都合がいいとわかりました
ある公理を採用するとそういう結果が得られます
ですから、その公理を採用するメリットが見つかったので、普通はそういうルールを採用しているわけです

解決ですね
0824１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/09/11(火) 19:22:49.30ID:R387dlgt
もしかして、反対の反対は元に戻る、それ自身に対して突っ込んでたわけですか？
具体例を挙げることが唯一の説明だ、という方法論ではなく
0825１３２人目の素数さん
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2018/09/11(火) 19:26:49.44ID:rVORUSIf
>>824
俺はそうだけど、途中で形式主義万能論的なコト言っていたじゃないか。
それにも違和感あったな。
0828１３２人目の素数さん
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2018/09/11(火) 20:26:10.35ID:69pXaB5T
複素平面の前にゼロという中心点がある実数直線の定規を思い浮かべる方が先だけどね。
0829１３２人目の素数さん
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2018/09/11(火) 20:45:26.00ID:ePFlar7I
>>828
順番はそうだけど回転という本質は同じ
実数の数直線では向きが逆になる事が実は180度の回転を意味する
どうもそういう意識の無いレスが散見されるな
0831１３２人目の素数さん
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2018/09/12(水) 08:40:51.04ID:L56v9uvC
面積という幾何の概念で積を発見的に定義したとしても表裏は幾何学的トポロジーの概念だろう。

二次元上のグラフとして考えて象元ごとに面積に表裏の属性が付いている様に定義されてると考えるのが妥当か。
0834１３２人目の素数さん
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2018/10/19(金) 09:50:59.68ID:o3ZZ4Lvv
実数体における足し算と掛け算の定義の話から始めればよろしい
結合法則と分配法則で示せるしょ
0836１３２人目の素数さん
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2018/10/24(水) 15:24:51.49ID:cpTDn+1l
正×正 例えば 6×3は
6+6+6=18

負×正 例えば-6×3は
(-6)+(-6)+(-6)
-6-6-6=-18

正×負 例えば 6×−3は
0-6-6-6=-18

負×負 例えば-6×-3は
0-(-6)-(-6)-(-6)
0+6+6+6=18
0838１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/25(木) 11:43:11.88ID:Cu6dT4yC
1 * 3 = -1 * -3

1 * 3 = 0 + 1 + 1 + 1
-1 * 3 = 0 + -1 + -1 + -1
1 * -3 = 0 - 1 - 1 - 1
-1 * -3 = 0 - (-1) - (-1) - (-1) = 0 + 1 + 1 + 1

-1 * -3 = 0 - (-1) - (-1) - (-1) = 0 + 1 + 1 + 1 = 1 * 3
0839１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/25(木) 11:57:19.95ID:Cu6dT4yC
-1 * 3 = 0 + -1 + -1 + -1 = 0 - 1 - 1 - 1 = 0 - (1 + 1 + 1) = 0 - 3
3 * -1 = 0 - 3
-3 * 1 = 0 + -3 = 0 - 3
1 * -3 = 0 - 1 - 1 - 1 = 0 - (1 + 1 + 1) = 0 - 3

1 * 3 = 0 + 1 + 1 + 1 = 0 + 3
3 * 1 = 0 + 3
-1 * -3 = 0 - (-1) - (-1) - (-1) = 0 + 1 + 1 + 1 = 0 + 3
-3 * -1 = 0 - (-3) = 0 + 3
0840１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/25(木) 12:05:02.62ID:Cu6dT4yC
0.5 * 2 = 0.5 + 0.5 = 1
しかし
2 * 0.5 = 0 + ?
先生！　0.5回足すってどういうこと？
累加の概念の限界？
0841１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/25(木) 12:24:21.30ID:Cu6dT4yC
計算技術的には
2 * 0.5 = (0 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2) / 10
5 * 1.1 = (0 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5) / 10
/が入るのは反則？
0842１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/25(木) 12:44:46.18ID:Cu6dT4yC
速度 * 時間 = 距離
負の速度 * 負の時間 = 距離

負の速度：速度をベクトルと考えて逆向きに進む速さを負とする？
列車なら上りと下り？
負の時間：過去のこと、つまり何時間前のことと考える？
0845１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/31(木) 19:29:24.00ID:PD6YY5h9
>>844
その親から見て、先取りし過ぎと感じたんだろ。
子供にあまりに抽象的な事を教えすぎると、理解不能で数学に拒否感を感じてしまうんだよ。
0846１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/06/10(月) 15:59:26.84ID:/KbqWNUf
嫌いなやつは-
怪我するのは-
嫌いなやつが怪我すると嬉しいから+

よって-×-=+

みたいな感じで紹介してた画像みたことある
0847１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/06/10(月) 17:03:26.00ID:ovSso2B/
何で負債を消したら儲けになるってわからんのかね
0848１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/06/10(月) 17:55:54.71ID:RB3HbQPD
いろいろ怪説するより、短い説明
「計算が合わなくなるから」
と解説とよい。
さらに、
「数学は考えて答えを出す学問です」
とウンチクすると更に良い。
0849１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/06/10(月) 23:14:42.57ID:OD6dtmuu
>>848
それだけだと、中学生は抽象的で実感できんよ。

現実は（ここの過去ログにあるような具体例）みたいなモノだから、その具体例に合わせて各種法則を
設定したんだよ。

でいいだろ。
0850１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/06/10(月) 23:26:52.49ID:L3FJvBM3
幾何学でもとりわけトポロジー的な直観的説明なら裏の裏は表。

居んねん
裏無い
売らない
商い
あきた
0851１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/06/10(月) 23:28:55.08ID:L3FJvBM3
「裏返す」と「裏」の操作と状態を暗黙裡に同一視してるのがなんか難しいのかもしれない。

裏飯屋
アンチヒーロー
反キリスト
0852１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/06/11(火) 21:17:35.00ID:V1PtfeD1
なんで、裏とかけ算が関係あるんだよ。

いや…あるんだけどね。それをどうやって実感させるんだって話。
0853１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/06/11(火) 22:15:39.98ID:VM7G9Pk9
237 自分：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/06/11(火) 18:59:42.26 ID:VM7G9Pk9
界面で言えば泡と雫だよね。
負と正。

半導体で言う正孔とおんなじ。
0858１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/07/20(土) 11:17:20.78ID:bSAoQnjE
1730
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！

ｈｔｔｐｓ://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg
ｈｔｔｐｓ://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
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0859１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/18(水) 15:45:31.74ID:hnzvx822
正数と負数って向きと大きさをもった数、つまりベクトルですか？
0861１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/18(水) 16:20:19.58ID:1cpSFXJw
(-a)×(-b) = (-1)×(-1)×a×b なので
(-1)×(-1) = 1 を説明すれば十分な話

-1 との和が 0 となる数は 1 のみ。
ところで分配法則から (-1)×(-1) + (-1) = (-1)×(-1) + 1×(-1) = (-1+1)×(-1) = 0 が成り立つので
(-1)×(-1) = 1 ///
0863１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/18(水) 17:41:05.53ID:1cpSFXJw
実数同士の掛け算と足し算は分配法則が成り立つように組み立てられているからだよ
って言えば満足か？
順序数の話から始めれば満足か？
集合論の話から始めれば満足か？
きりがねえな
0864１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/18(水) 18:26:29.96ID:fqyUWG+P
>>863
負の数×負の数=正の数

になるから分配則は正しいんだよ…てか

なんというトートロジー
0865１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/18(水) 18:32:17.72ID:1cpSFXJw
>>864
そんな主張はしていない
(R,+,×)がフィールドだから分配則が成り立つのであって、
負の数×負の数=正の数になるから分配則は正しいとはどう導かれるのか？
0868１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/18(水) 19:40:45.83ID:1cpSFXJw
>>865
「フィールドだから」という書き方は、結果フィールドになっているということだから語弊があるな
0869１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/19(木) 00:22:46.14ID:mgMEJGNP
>>867
それを読んだら、ペアノ公理系を設定して自然数と加法を定義した後に、乗法を定義する際に
公理として分配則と必要十分条件になるモノを導入していたよ。
だから、なぜ分配則が成り立つかって疑問は数の構成法では解決しない。公理に入っているからだ。

中学生が普通疑問に思うのはなぜ分配則が成立するかってことだからね。
で、それでは公理に押し込めているから上から「納得せよ」としか言えないって話。
納得するわけはない。
0870１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/19(木) 00:56:03.13ID:TRhtkhr8
>>869
では順序数の加法と乗法がどのように定められているか確認してください
順序数に定まる演算を自然数に制限したものが自然数の足し算と掛け算です
そこで分配則が定理として得られます
これで十分ですか？
0871１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/19(木) 01:02:04.88ID:mgMEJGNP
乗法を導入する際に、分配則の必要充分条件が公理に入っているのだから、それは当たり前。
何故公理に入れるのかって疑問には何ら答えがない。
0872１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/19(木) 01:26:33.85ID:TRhtkhr8
>>871
君は演算がなぜそう定義されているのかという点に疑問を持っているの？

直感的に成り立つことを集合論の上にのせているだけでは？と思う
0873１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/19(木) 01:59:11.19ID:mgMEJGNP
>>872
だから、中学生にはその直感を示せばよいんだよ。
少なくとも、分配則は中学生は複雑で不可思議と感じる訳だ。
それを公理に載せる必然性を、直感的に示して「だからこうなる（こう定義する）必要性があるよね」と示すと。
0874１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/19(木) 03:06:01.86ID:suEBp2OO
毎日千円ずつ食事代に消えていきます。
さあ問題です。
昨日は今日よりいくら多かったでしょうか？

こんなんで良いよ。
当たり前やん！って直感でわかることが大切。
0875１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/19(木) 03:14:47.56ID:suEBp2OO
>>874
追加。教員になったつもりでクソ丁寧に書くと。

1日後は今日に比べて-1000円になって、1日前は今日に比べて+1000円になっている。
1日後を計算式に書くと
-1000円×1日＝-1000円
では昨日は？
-1000円×-1日＝+1000円
だからマイナス×マイナスはプラスなんだ。
0877１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/19(木) 13:07:23.08ID:JNTZUaff
・（負の数）×（負の数）＝（負の数）
・（負の数）×（負の数）＝　（常に）０
・（負の数）×（負の数）＝【冥界の数】←（正の数、負の数以外の数）
・（負の数）×（負の数）等という計算は許されない。

等の定義でもかまわない。解釈をそうすればよい。
（実際数世紀前はそれに近い状況だった。）

ただし、（負の数）×（負の数）＝（正の数）とすることで、
（もしかすると、負の数や正の数の解釈に微調整が要求されるかもしれない）
整合性を保ちつつ、数の世界を再構成／拡張することが可能なので、これを採用しているだけ。
後付けの解釈は重要では無い。
そのようにルール化され、そのルールが「感覚的にも合っている」という境地に至れば、
くだらない事で悩んでいたんだと振り返ることになるだろう。
0878１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/19(木) 19:56:35.03ID:7GQwcv+X
（３−１）×（３−１）＝３×３−１×３−３×１＋１×１＝４
0883１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/20(金) 02:58:54.68ID:iUhYmnfU
>>876
割り算は割り算で別の方式で教えればいいのでは？
数学が得意とする層に教えるのであれば、分配法則とかでもいいんだけど、過半の子達は？？？ってなるよ。
数学アレルギーが発症しないように、具体例を持って直感的に教えるのが大切。
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