微積と線形代数のスレ2 [転載禁止]©2ch.net

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/16(木) 10:27:27.09

微積と線形代数のスレ

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 07:33:46.26

松坂君のくだらない指摘には毎回ウンザリするが、
かといってID:/pRhE1N3の >>27,>>37 のツッコミは
バカすぎて話にならない。

>>27は全く自明ではない。>>37の指摘なんぞは全く間違っている。
一次独立なベクトルの個数の最大値に関する議論では、
松坂君の言う>>28が本質的に効いているのであり、必ず>>28を経由することになる。
すなわち、>>27のどのような証明であっても、必ずどこかで>>28を経由しなければ、
>>27は証明できない。従って、>>37の指摘は全く間違っている。
例えば、>>27は以下のようにして証明できる。

証明：仮定から、<b_1,…,b_n>＝<b_1,…,b_s>である。よって、
dim<b_1,…,b_n>＝dim<b_1,…,b_s> である。dim<b_1,…,b_s>≦s
だから、結局、dim<b_1,…,b_n>≦sである。よって、b_1,…,b_n の中から
s個より多くの一次独立なベクトルを選ぶことはできない。■

この証明では、「 dim<b_1,…,b_s>≦s 」の部分が全く自明ではない。
dim<b_1,…,b_s>≦s の証明には、松坂君の言う>>28が必要である。
そもそも、ベクトル空間の「次元」という概念は、松坂君の言う>>28を、
数学的に便利なツールとして使いやすいように変形しただけの概念であり、
上の証明で>>28が必要になるのは当然のことである。

他の証明を経由しても、最終的には必ず>>28が必要になる。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/17(金) 07:40:19.13

[補足]

ちなみに、件の>>28を証明するには、次が証明できれば十分である。

定理：s 個のベクトルの一次結合であらわされた (s＋1) 個のベクトルは一次従属になる。

この定理は、s に関する数学的帰納法で証明できる。その数学的帰納法の最中で、
一次従属になるような係数を具体的に計算して見つけ出すことになるのだが、
そこで使われるテクニックは、要するに「掃き出し法」である。
数学的帰納法の論理的な性質により、掃き出し法を表面的に「1回」だけ行えば証明が完了する。
帰納法を使わない場合は、いきなり「s個」の状態から出発して、掃き出し法を何度も
繰り返し使うことで証明できる(が、オススメしない)。
帰納法の場合は、この繰り返し部分が帰納法に内包されるので、
1回の掃き出し法で証明が終わるというカラクリになっている。

これは明らかにBの話に肉薄しており、いい加減な書き方をすると
循環論鋒になってしまうので、注意が必要である。
この件に関しては、確かに本の書き方がいい加減であるように見える。