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線形代数学ムズすぎワロタw w w [転載禁止]©2ch.net
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0131１３２人目の素数さん
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2016/12/19(月) 14:12:56.70ID:4qCEI1DC
〔問題〕
　⊿(t1,t2,･･･,tn) = Π_[1≦i<j≦n] (t_j-t_j)
をｔの差積という。（行列式の形で表わすことも可能）

　I_n = ∫[0<t1<…<tn<1] ⊿(t1,t2,････,tn) dt1 … dtn
に対して、
　I_{n+1}／I_n = n!･n!/(2n+1)!
が成り立つでしょうか？

初めの方は
I_1 = 1,
I_2 / I_1 = 1/6,
I_3 / I_2 = 1/30,
I_4 / I_3 = 1/140,
I_5 / I_4 = 1/630,
I_6 / I_5 = 1/2772,
I_7 / I_6 = 1/12012,
0132１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/02/09(木) 06:25:15.48ID:8w5nXYYM
X = (a, b)
　　(c, d)

Y = (a', b')
　　(c', d')
とする。

(1)
Xの固有値は tr(X)=a+d と det(A)=ad-bc で決まることを示せ。

(2)
Xの固有ベクトルは (a-d)：b：c の比で決まることを示せ。

(3)
XとYが交換可能（XY=YX）ならば、
　(a-d)：b：c = (a'-d')：b'：c'
となることを示せ。

(4)
交換可能な行列は、固有ベクトルが一致することを示せ。

(5)
交換可能な行列は、同じ直交行列Tにより対角化できることを示せ。
0133１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/02/10(金) 00:29:14.71ID:NScJQibH
訂正

(5)
〔対角化可能な行列について〕
交換可能な行列は同じ正則行列により対角化できることを示せ。

(6)
〔対称行列（b=c~）について〕
・異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する。
・直交行列により対角化できる。
ことを示せ。
0134１３２人目の素数さん
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2017/02/13(月) 07:44:25.04ID:jwjGj+UW
>>132
(4)
Aの固有ベクトルをuとすると、
　A(Bu）= B(Au）= a(Bu),
∴ Bu もAの固有ベクトル,
∴ Bu = bu,
∴ uはBの固有ベクトルでもある。

>>133
(5)
　固有ベクトルを並べた行列をTとする。
　A、Bは正則行列Tにより対角化できる。
0135１３２人目の素数さん
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2017/02/16(木) 09:17:20.13ID:Evel7Aab
>>132
(1)
固有多項式
det(x･Ｉ-Ａ) = xx－tr(A)･x＋det(A),


>>133
(6)
Au = a1･u，Av = a2･v，a1≠a2
とする。
Aは対称行列だから
0 =（v，Au）-（A~v，u）=（v，a1･u）-（a2~･v，u）= (a2-a1)(v，u)
ここで a2-a1≠0 だから（v，u）= 0,
0136１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/19(水) 11:26:15.17ID:hBN+Qmpx
このはしために教えてください。

正方行列Aを行基本変形を行い階段行列を行う際、掃き出し法によって(1,1)成分は必ず1にしないといけないのですか？
0138１３２人目の素数さん
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2017/05/05(金) 23:55:02.44ID:60atbvIQ
佐竹一郎さんがお亡くなりになっていたとはなあ
昔数学ガイダンスという日本評論社の数セミ付録の佐竹先生の
書いたものを読ませてもらった。写経をするといいと書いてあった。
手元にある数学セミナー2013年2月の小林昭七さん特集に佐竹先生は小林昭七くんの
思い出という記事を書かれておられる。
0139１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/05(金) 23:55:24.08ID:60atbvIQ
あげておきたいので再度書いてあげます
0140１３２人目の素数さん
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2017/05/06(土) 00:23:02.39ID:oAu8sH8R
　
　線形代数も解析学と同じ使い道の多い数学、ってことだわ。
　
0141１３２人目の素数さん
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2017/05/06(土) 18:17:47.76ID:B6+1cQfp
理系教養レベルの線形代数（受験勉強に余裕があったら高校生でも独学可）
面白い。数学的な考え方が身につく。他の分野でも幅広く応用できる
特に実験データなども要らない。
となるとベースとしては最強。
ただしっかり深く理解して身につけようとするとなかなか。
0152１３２人目の素数さん
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2017/06/06(火) 08:54:38.23ID:tpt12kwV
工学部だとそこまで深くやらなくていいしな
0153１３２人目の素数さん
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2017/06/06(火) 10:24:34.95ID:bIxrqy+c
冗談標準形が難しいなら、まあ仕方ない。最初は皆そういうものさ。でももし一次変換の行列表示
が難しいなら、君は向いていないかもしれん。
0164１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/31(土) 12:06:30.67ID:eMUGV7fL
〔補題〕
Ａはn次の正方行列
A_{i，j} = P_j(x_i)　　　P_j は多項式
1≦i≦n，1≦j≦n，とする。
このとき、det(Ａ) は差積⊿(x) = Π[1≦i<j≦n] (x_i - x_j) で割り切れる：
det(Ａ) = ⊿(x)・Sym(ｘ),

(略証)
det(Ａ) は｛ｘ｝の交代式だから

〔系〕
さらに各P_j がn-1次以下のときは、det(Ａ) = Ｃ⊿(x)

(略証)
det(Ａ) は各x_iについてn-1次以下で、⊿(ｘ）はn-1次だから、係数はx_iを含まない。

〔例〕
P_j(x) = x^(j-1) のとき
det(Ａ) = ⊿(ｘ)　　…　Vandermonde の行列式
0165１３２人目の素数さん
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2018/03/31(土) 12:07:54.32ID:eMUGV7fL
〔Krattenthalerの公式〕
Ａはn次の正方行列
A_{i，j} = P_j(x_i),
P(x) =｛Π[k=1，j-1] (x + b_k)｝｛Π[k=j，n-1] (x + a_k)}
1≦i≦n，1≦j≦n　とする。
このとき、
det(Ａ) =｛Π[1≦i<j≦n-1] (b_i - a_j)｝⊿(ｘ),
差積⊿(ｘ) = Π[1≦i<j≦n] (x_i - x_j),
0168１３２人目の素数さん
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2020/04/10(金) 18:07:27.64ID:IAsBrfBV
det(A)≠0 とする。
　B := A^(-1) とおくと
　det(B) = 1/det(A),
　det(xI- B) = det(B) (-x)^n det((1/x)I - A),

分かスレ４５９-124
0169１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/20(月) 18:57:58.09ID:ALqCLPeC
基本的な部分だけなら難しくないかもしれないけど
いくつか急激に難しくなる部分はあるんじゃないか
例えば複素数まで取り扱って計算するようになると結構な難度に
0170１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/09/09(水) 22:35:49.19ID:IR7822fG
教科書を行間を埋めて読むしかない
イメージだの腑に落ちる説明だのなんて
単にいい加減な理解でごまかしているに過ぎない
0171１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/09/13(日) 09:20:15.52ID:ytzI3Vl9
>>170
証明の論理を無視した説明は、百害あって一利もないね
証明の各ステップをイメージとして説明するのはあり

要するにイメージ＝悪というわけではなく使いようなんだな
例えば行列の階段化と平行体の形状変更の対応を知れば
行列の操作と図形の操作の関係が分かるだろう
0172１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/30(月) 00:29:44.87ID:Jl3CpvQN
二次正方行列
A = [a,b]
　　[c,d]
を考える。

Aの固有値は2次方程式
　0 = (x-a)(x-d) - bc = x^2 - (a+d)x + (ad-bc),
の根。
∴　a+d, ad-bc により 2つの固有値が決まる。

一方、固有ヴェクトルを (cosθ, sinθ) とすれば
　tanθ = {-(a-d) ± √[(a-d)^2+4bc]}/2b,　(b≠0)
　cos(2θ) = {bb - cc ± (a-d)√[(a-d)^2+4bc]}/{(a-d)^2 + (b+c)^2},
∴　2つの固有ヴェクトルθが (a-d)：b：c の比により決まる。

逆に
　a+d = α,
　b/(a-d) = β,
　c/(a-d) = γ,
　ad - bc = δ,
のときは
　a-d = ±√{(αα-4δ)/(1+4βγ)},
だから
　a = {α + (a-d)}/2,
　b = β(a-d),
　c = γ(a-d),
　d = {α - (a-d)}/2,
と決まる。(a≠d のとき)
0173１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/30(月) 01:18:13.88ID:Jl3CpvQN
相似変換
　A ' = PAP^{-1}
により固有ヴェクトルは変更を受けるが、
a+d と ad-bc,　一般に det(xE-A) が保存するので固有値も保存する。

[分かスレ４６４．505,510,513]
0174１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/30(月) 14:29:15.57ID:Jl3CpvQN
固有値は
　λ = {α - √(αα-4δ)}/4,
　μ = {α + √(αα-4δ)}/4,
　λ+μ = α,　λ･μ = δ,

「固有」ヴェクトルは
　tanθ = {-1 ± √(1+4βγ)}/(2β),　　(β≠0)
　cos(2θ) = {ββ-γγ ± √(1+4βγ)}/{1+(β+γ)^2},

[分かスレ４６４．522]
0175１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/01(火) 01:28:37.78ID:GQSfN/Ph
３次正方行列
　A = ( a_{i,j} )
については
　|xE - A| = x^3 - αx^2 + εx - δ,
　α ＝ tr(A) = a11 + a22 + a33,
　ε = a11･a22 + a22･a33 + a33･a11 - a12･a21 - a23･a32 - a31･a13,
　δ = det(A),
∴　3つの固有値は α, ε, δ の3つで決まる。

3本の「固有」ヴェクトルは、残りの6変数で決まる。
0176１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/06(日) 03:27:09.18ID:KT/cOuDT
二次正方行列
A = [a,b]
　　[c,d]
と
A' = [a',b']
　　[c',d']
が可換となるのは
固有ヴェクトルが一致するとき
　(a-d)：b：c = (a'-d')：b'：c'
0177１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/12/09(水) 20:34:11.03ID:nSTBriB8
A A' - A' A = [ bc' - b'c,　　　(a-d)b' - (a'-d')b ]
　　　　　　　　[ - (a-d)c' +(a'-d')c,　b'c - bc' ]

AA' - A'A = O　の条件は
　(a-d)：b：c = (a'-d')：b'：c'
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