5次方程式の解を表現できる数体系 [転載禁止]©2ch.net
5次方程式はご存知の通り解の公式がございませんね。
しかしそれは我々が知ってる実数の数体系(有理数と有理数の冪根の加減乗除で表される数)で表現できないというだけで、
実数の表現を拡張して、5次方程式の解の公式を一般化する為の実数の新しい表現を与えてやれば表現できるはず。
ガロワはなんでそんな事に気づかなかったんだ？
人類は二次方程式や3次方程式の解を一般化する為に平方根や冪根、複素数を産み出した。
5次方程式の解の公式がそれまでのやり方で得られないからとなぜ諦めるのか？新しい実数表現を作れば良いではないか。 複素数の平方根の方は問題ないんだよね
x^2-y^2=a
2xy=b
を満たす実数x,yは
x^2-(b/2x)^2=a
4x^4-4ax^2-b^2=0
で
t=x^2
と置くと
t^2-at-b^2/4=0
より
t=(a±√(a^2+b^2))/2=(a+√(a^2+b^2))/2>0
x=±√(√(a^2+b^2)+a)/√2
y=±√(√(a^2+b^2)-a)/√2
よって
±√(a+bi)=±{(√(√(a^2+b^2)+a)±i√(√(a^2+b^2)-a)}/√2 ほんと
質問の意味を理解していたのは
>>96 名前:１３２人目の素数さん Mail:sage 投稿日:2017/08/11(金) 02:43:32.65 ID:tTauAROb
だけだとは情けない >>261
>つまり代数的には表せないんじゃないの？
実代数的というべきか
普通言うところの代数的より条件が厳しい >>96の回答では不適切だからしつこく食い下がっていたのでは？ >>267
不適切というのは答えようとして答えが正しくない期待したものではないときに使う言葉
この場合は不適切ではなく不満足・不十分という用語が適切かな この人は既に口喧嘩に勝つことに興味が移ってしまってるね
そんなんじゃまともに相手されないよ >>300
違うよ・・・・
事実と証明を知りたいということが分からないとは
人の気持ちを推し量ることができないのかよ・・・・・ ここを読んでいる人の
誰も分からないということはどうも正しそうだということはだんだん分かってきた
あと方程式の解の表記について無頓着な人が多そうだということも
それから
複素数のベキ乗根では偏角が本質的な役割を果たすので
これを使う限りはある意味代数的な表記とは言えないかもということが理解できていない人も多そうということも もう少し書くと
極表記を使っていいやと思う人は
係数もすべて極凶器で与え解も極表記で与えることを考えてみるのはどうかな？
こちらも全く正数の実ベキ根と四則を使った実代数的には表せないはず
はずとは思うけどこれも証明知らないし事実かどうかも分からないけどさ どう見ても>>96で終わっている話題なのに、何故かこれを不適切・不満だとするポーズをとっている >>306
証明がないからさ
それに
「実ベキ根と四則で表せない」は事実なの？
長らくできなかったが複素ベキ根を使ってできるようになったとしか>>98は書いていないよ どうも
できるできないの証明の重要性ということも分かっていただけないようで残念 >>306
付け加えると
複素数を使えば実数解を表せるということと
そこで使われる複素数が複素ベキ乗根を使うため
実部虚部を実代数的に表せないだろうという予想とは
意味合いが異なる
問題意識を理解したのは>>96だけと書いたが
質問の答えではなかったので不十分・不満足と思っているが
不適切ではないと言っているのを>>306は理解できていないというのも残念 5次以上では複素ベキ根と四則では貝を洗わせないものがあるという証明は厳密で素晴らしいし
4次までの解法についても先人の知恵と言うべきとは思うが
3次以上の方程式に実ベキ根と四則で表す方法がないかどうかとは別のこと
たぶんないと思うけどどう証明したらいいんだろ？ あらかじめ書いておかないといけなかったかもしれないけど
複素数を実2次元と捉えることは複素数の理解としては
ある意味一般的ではあるものの
それが本質というわけではないので複素数を扱う限りは
複素四則とベキ根とが自由に使えるという立場が
実2次元と捉える立場を十分に尊重していなくても
まあそれも当然とは思っているのだけど
それを踏まえた上で実2次元というある意味一般的な理解から見た場合の
解の表記問題に疑問を持った訳です 代数方程式の一般解法はある、って聞いた（何次であっても）
あたい素人だからよく判らないわ 「解」と「解法」とは異なるし「代数的に」解けることと解法があることとはこれも異なる エクセル駆使の人の言う通り
arctanなりarccosなり使えば3次方程式は解ける
氏が「代数的解法」の文脈に乗らなかったのは幸か不幸か…
スレのテーマは代数的解法限定ではなさそうだからいいけどね 4次方程式の解の公式が知りたいんですけど、どこにありますか？文献等紹介してお願いします。 >>355
カルダノの解法で３次方程式を解くのに３年かかった。
その結果があったので、フェラーリの解法で４次方程式を
解くのは２週間ほどだった。
フェラーリの解法で検索しなされ。 四元数みたいな実数、第一虚数、第二虚数、第三虚数の組というではなく
「虚数ではないし負数でもないが2乗すると実数になるのに実数ではない数」が定義できれば
5〜8次方程式を代数的に解けるかもね
これを第二実数とすれば、第二虚数も生じ第二複素平面が生じる
元々の複素平面と第二複素平面とで二階建て構造
物理学上の仮説、ホログラフィック理論の如し二階層ホログラフィック複素平面
…ん？ホログラフィック複素平面を狙ったんだが
何か円柱座標をベースにした3次元極座標の積層をイメージさせる様な
ホログラフィック複素平面の話に絞ってしまったな…
発想の限定制約は良くない >>355
過去の書き込みしっかり読め。
>>139にあるだろうが。 3次方程式は三角関数を使った式も有ったね
三角関数が含まれていても手続きとして代数的である事に限定すれば
代数的解法という事ができるね
4次方程式もデカルト、オイラー、ラグランジュの方法も有ったね 四則演算と平方根を使うだけでは５次以上の方程式には一般解は無いが、
楕円関数論のリーマンのテータ関数を使えば５次以上の方程式にも一般解がある。
梅村浩先生の楕円関数論の付記２を参照されたし。 >>360
カルダノの解法ではｘの三次方程式をチルンハウス変換して、
y^3 + py + q = 0 のｙの三次方程式にする。
ｙ = A + B とするのがカルダノの解法の肝である。
ＡとＢの値が求まれば話が早い。 だがA^3 と B^3の値しか求められない。
それでもA^3 と B^3の値が実数なら計算を続行できる。
解は得られるが、重解か一実数解と二複素数解の場合だ。
相異なる三つの実数解の場合は解けない。
相異なる三つの実数解の場合は三角関数を利用したビエタの解法というのがある。
それによって求めることができた。
カルダノの解法では相異なる三つの実数解は解けないと諦めていた。
A^3 と B^3の値が複素数になる場合である。
よく見ると共役複素数の関係になっている。
極座標に変換して、角の三等分をやって計算を続けたら、カルダノの解法でも
相異なる三つの実数解の場合も解けることが分かった。
>>361
5次方程式ではチルンハウス変換を３回やって、
ｙ^5 + py + q = 0 になるところまで、ラグランジュがやったそうである。
そこから先はやれなかったように聞いている。
ちょうどその辺を知りたかった。
何年かかりになるか分からんがセミリタイアの状態なので、死ぬまでには
解いてみたい。
情報ありがとう。 狂化学者、3次方程式をもっとスマートに書き記せぬものか？
>>361
物理学のホログラフィック理論も楕円関数が必要だった様な…
ホログラフィック接続(仮称)なる手法(仮説)が有って
何でも複素記述できる時代にならんもんか
まぁアーベルやガロアが示した以上、複素表現単体で記述できるわけなく
ホログラフィック接続なる手法が複素記述の範疇を超える表現を補完する
次元コンパクト化の手法になるんだろうけどね
つまりホログラフィック接続自体は複素記述で編成できる手法ではないね
でもそんな接続手法が虚説ではなく確立された日には
数学界どころか理工学界の裾野が下がるね
積分も積算シコシコみたいな原理を微分みたいに一発ポンな計算に出来ないかねぇ
留数定理みたいに一発ポン尚且つ汎用性が有る様な… 
