くだらねぇ問題はここへ書け

[0625 １３２人目の素数さん 2024/02/04(日) 08:24:49.53 ID:f0HyDaDn]

m_1,m_2,...,m_nが平方数でない正の整数であるとき，
√m_1 + √m_2 + ... + √m_n が有理数となるような組(m_1,m_2,...,m_n)は存在しますか？

tr (√m_1 + √m_2 + ... + √m_n) = 0

[0626 prime_132 2024/02/05(月) 03:06:57.01 ID:DEvuP4sR]

>>623
問2.
　q_1(100) = 1,
　q_2(99) = 49,
　q_3(97) = 784,
　q_4(94) = 5952,
　q_5(90) = 25337,
　q_6(85) = 65827,
　q_7(79) = 108869,
　q_8(72) = 116263,
　q_9(64) = 79403,
　q_10(55) = 33401,
　q_11(45) = 7972,
　q_12(34) = 905,
　q_13(22) = 30,
　これを合計すると　444793.

これらは漸化式
　q_k(n) = q_{k-1}(n-1) + q_k(n-k),
を満足して，生成関数
　(x^k)／(Π[j=1,k] (1-x^j)) = Σ[n=k,∞] q_k(n)･x^n,
をもつ。

数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社 (1984)　p.58

[0627 prime_132 2024/02/05(月) 13:24:59.43 ID:DEvuP4sR]

(続き)
要素の数をkとする。
k=1,　　　q_1 = 1.
　{100}

k=2,　　　q_2 = 49.
　{i, 100-i}　　　　　　(1≦i≦49)

k=13,　　　q_13 = 30.
　{1〜11, j, 34-j}　　　(12≦j≦16)
　{1〜10, 12, j, 33-j}　(13≦j≦16)
　{1〜10, 13, 14, 18}
　{1〜10, 13, 15, 17}
　{1〜10, 14〜16}
　{1〜9, 11〜13, 19}
　{1〜9, 11, 12, 14, 18}
　{1〜9, 11, 12, 15, 17}
　{1〜9, 11, 13, 14, 17}
　{1〜9, 11, 13, 15, 16}
　{1〜9, 12〜14, 16}
　{1〜8, 10, 11〜13, 18}
　{1〜8, 10〜12, 14, 17}
　{1〜8, 10〜12, 15, 16}
　{1〜8, 10, 11, 13, 14, 16}
　{1〜8, 10, 12〜15}
　{1〜7, 9〜13, 17}
　{1〜7, 9〜12, 14, 16}
　{1〜7, 9〜11, 13〜15}
　{1〜6, 8〜13, 16}
　{1〜6, 8〜12, 14, 15}
　{1〜5, 7〜13, 15}
　{1〜4, 6〜14}

[0628 prime_132 2024/02/10(土) 21:16:41.65 ID:bl3yP4ft]

>>615-616
　97^2 - 3*56^2 = 1, 　　　(ペル方程式)
　√3 < 97/56,
　{(√2 + √6)/2}^2 = 2 + √3 < 2 + 97/56 < 1.93188^2,
　(√2 + √6) /2 < 1.93188
　LL = 2 - (√2 + √6) /2 > 0.068121 = 0.261^2,
　L > 0.261
　π > 12L > 3.132

[0629 １３２人目の素数さん 2024/02/11(日) 14:14:16.87 ID:n0tHiTUW]

import Data.List

sums [] bs = bs
sums (a:as) bs = sums as ( zipWith (+) bs $ ( replicate a 0 ) ++ bs )

main = do
print $ zip [0..] $ sums [1..100] $ 1 : replicate 100 0

{-
[(0,1),(1,1),(2,1),(3,2),(4,2),(5,3),(6,4),(7,5),(8,6),(9,8),(10,10),(11,12),(12,15),(13,18),(14,22),(15,27),(16,32),(17,38),(18,46),(19,54),(20,64),(21,76),(22,89),(23,104),(24,122),(25,142),(26,165),(27,192),(28,222),(29,256),(30,296),(31,340),(32,390),(33,448),(34,512),(35,585),(36,668),(37,760),(38,864),(39,982),(40,1113),(41,1260),(42,1426),(43,1610),(44,1816),(45,2048),(46,2304),(47,2590),(48,2910),(49,3264),(50,3658),(51,4097),(52,4582),(53,5120),(54,5718),(55,6378),(56,7108),(57,7917),(58,8808),(59,9792),(60,10880),(61,12076),(62,13394),(63,14848),(64,16444),(65,18200),(66,20132),(67,22250),(68,24576),(69,27130),(70,29927),(71,32992),(72,36352),(73,40026),(74,44046),(75,48446),(76,53250),(77,58499),(78,64234),(79,70488),(80,77312),(81,84756),(82,92864),(83,101698),(84,111322),(85,121792),(86,133184),(87,145578),(88,159046),(89,173682),(90,189586),(91,206848),(92,225585),(93,245920),(94,267968),(95,291874),(96,317788),(97,345856),(98,376256),(99,409174),(100,444793)]

https://ideone.com/FZTUON
-}

[0630 prime_132 2024/02/11(日) 22:48:07.67 ID:kz7EJAxM]

expand してみた。

(1+x^1)(1+x^2)(1+x^3) …… (1+x^100) …… =

1 + x + x^2 + 2 x^3 + 2 x^4 + 3 x^5
+ 4 x^6 + 5 x^7 + 6 x^8 + 8 x^9
+ 10 x^10 + 12 x^11 + 15 x^12 + 18 x^13 + 22 x^14 + 27 x^15
+ 32 x^16 + 38 x^17 + 46 x^18 + 54 x^19 + 64 x^20
+ 76 x^21 + 89 x^22 + 104 x^23 + 122 x^24 + 142 x^25
+ 165 x^26 + 192 x^27 + 222 x^28 + 256 x^29 + 296 x^30
+ 340 x^31 + 390 x^32 + 448 x^33 + 512 x^34 + 585 x^35
+ 668 x^36 + 760 x^37 + 864 x^38 + 982 x^39 + 1113 x^40
+ 1260 x^41 + 1426 x^42 + 1610 x^43 + 1816 x^44 + 2048 x^45
+ 2304 x^46 + 2590 x^47 + 2910 x^48 + 3264 x^49 + 3658 x^50
+ 4097 x^51 + 4582 x^52 + 5120 x^53 + 5718 x^54 + 6378 x^55
+ 7108 x^56 + 7917 x^57 + 8808 x^58 + 9792 x^59 + 10880 x^60
+ 12076 x^61 + 13394 x^62 + 14848 x^63 + 16444 x^64 + 18200 x^65
+ 20132 x^66 + 22250 x^67 + 24576 x^68 + 27130 x^69 + 29927 x^70
+ 32992 x^71 + 36352 x^72 + 40026 x^73 + 44046 x^74 + 48446 x^75
+ 53250 x^76 + 58499 x^77 + 64234 x^78 + 70488 x^79 + 77312 x^80
+ 84756 x^81 + 92864 x^82 + 101698 x^83 + 111322 x^84 + 121792 x^85
+ 133184 x^86 + 145578 x^87 + 159046 x^88 + 173682 x^89 + 189586 x^90
+ 206848 x^91 + 225585 x^92 + 245920 x^93 + 267968 x^94 + 291874 x^95
+ 317788 x^96 + 345856 x^97 + 376256 x^98 + 409174 x^99 + 444793 x^100
+ 483330 x^101 + ……

[0631 １３２人目の素数さん 2024/02/16(金) 12:36:59.72 ID:gBb8bPRK]

虚数の i = SQRT(-1) なのは当たり前のように理解してるのですが
四元数の i, j, k も = SQRT(-1) なのか？という疑問が湧いてます
i = j = k になってしまうので

[0632 １３２人目の素数さん 2024/02/16(金) 16:44:29.47 ID:RXv22/cg]

xx = -1　を満たす解は何個かあり ±i, ±j, ±k とか書いています。
　ij=-ji=k, jk=-kj=i, ki=-ik=j,
などを追加しても一義的には定まらず、
巡回的に入替えられるらしい。。。

[0633 １３２人目の素数さん 2024/02/16(金) 16:58:46.75 ID:EYC78kDg]

４元数体の実軸以外の原点を通る平面を任意に選べばその平面上の４元数体の全体は加法、乗法で閉じるので C と同型になる。
その中に x^2 = -1 の解が二つずつ出てくるので４元数体全体で x^2 = -1 の解は無限にある

[0634 １３２人目の素数さん 2024/02/16(金) 23:06:29.67 ID:Yc5qetyB]

F(1)＝2
F(0)＝0
F(-1)＝-1/2
で滑らかで単調増加の関数F(x)って　
どんなのがあるかな❓

[0635 634 50％程自己解決 2024/02/17(土) 04:40:39.70 ID:7bH9ipgH]

y＝1/(1-x)-1 but x<1

[0636 634 70点位自己解決 2024/02/17(土) 04:55:27.52 ID:7bH9ipgH]

635よりマシな解だけど
y＝3^x-1 but x＝0か1近傍なら正しい

[0637 634 100点満点中100点を超えた 2024/02/17(土) 05:23:29.93 ID:7bH9ipgH]

>>634は、出題ミスにしてさ
F(1)＝2　∧　F(0)＝0　∧
F(-1)＝-2/3 で滑らかで単調増加の関数F(x)は何かな❓
っていう問題にすり替えるとよろしい💃

お絵かきは、キニシナイでください

[0638 634 実は自作自演 2024/02/17(土) 05:43:07.10 ID:7bH9ipgH]

>>637よ、問題をすり替えるなら、以下のお絵かきの如く
F(1)＝3　∧　F(0)＝0　∧
F(-1)＝-1/3 で滑らかで単調増加の関数F(x)は何かな❓
だ。チミにはわかるかな❓　ポクは今はマダ解らん。今は

[0639 １３２人目の素数さん 2024/02/17(土) 07:48:06.70 ID:8mtp8YUT]

F(x) = 2(4^x - 1)/3,
ぢゃダメか？

[0640 １３２人目の素数さん 2024/02/17(土) 08:07:01.54 ID:8mtp8YUT]

↑ の補足。
c-1/2, c, c+2 が等比数列だと仮定すれば
　0 = (c-1/2)(c+2) - cc = (3/2)c - 1,
∴　c= 2/3.

[0641 634 2024/02/17(土) 09:06:11.98 ID:7bH9ipgH]

>>639 ありがとう。モチロン数学板はポクより天才😺

[0642 １３２人目の素数さん 2024/02/17(土) 14:33:37.24 ID:BFuzaimu]

すいません、健康についての問題なんですが
たぶん三角関数の積分で求められると思うんですが解説見ても自信なく
計算の解説と回答をお願い致します

血の中にとけた糖質量（血糖値）が食事後2時間かけてサインカーブの様にゆっくりと上がって下がると仮定します（1時間後が頂点になる）
て、2時間あたりの血糖値の積分値が2000mg/dlの場合、血糖値のMax値（1時間後と仮定）は
いくらになるのでしょうか？？

∫（サインx+1）dx？？？
2000=-cosx+xぐらい検索したのですがそこから頂点までわからなくなりました?

[0643 642 2024/02/17(土) 16:00:04.51 ID:BFuzaimu]

大事な事、書き忘れました
食事前の血糖値は90mg/dlとします。
食事後90mg/dlから上がって1時間後にmax値になり
2時間後に90mg/dlに戻ります

[0644 １３２人目の素数さん 2024/02/17(土) 16:00:43.00 ID:8mtp8YUT]

>>635
直角双曲線とすると
　F(x) = 4x/(5-3x),
かなぁ。　　x<5/3 に限れば単調増加。
　漸近線は x=5/3 と y=-4/3.
　焦点 ( (5-2√10)/3, (2√10 -4)/3 ) と
　　　 ( (5+2√10)/3, (-2√10 -4)/3 )

[0645 １３２人目の素数さん 2024/02/17(土) 16:06:08.67 ID:/NEZa9so]

球の最密充填計算してあーだこーだしてるんだけど
プログラミングでは球同士が埋もれて重なることがあるんだわ
プログラミングの問題と言えばそうなんだけど
なんだかなぁ、、、
プログラミング板で愚痴るべきか、、、

[0646 １３２人目の素数さん 2024/02/17(土) 16:44:45.64 ID:MCx7mhXt]

大学以降の数学の知識がないと「2の√2乗が超越数であること」を示すのは困難とききました

では、高校数学の範囲内で「2の√2乗が無理数であることを示すこと」は可能なのでしょうか？

[0647 １３２人目の素数さん 2024/02/18(日) 15:51:57.95 ID:zH+eIKQ1]

>>634
3次式
　F(x) = x(xx+3x+4)/4,
　F '(x) = {3(x+1)^2 + 1}/4 ≧ 1/4.　… 単調増加。

[0648 １３２人目の素数さん 2024/02/18(日) 17:26:30.20 ID:zH+eIKQ1]

↑ の補足
3点を通る2次式は x(5+3x)/4 だけど、
これは x<-1 では単調増加にならない。そこで
　F(x) = x(5+3x)/4 + k･x(x-1)(x+1)/4
　　　= x(k･xx + 3x + 5-k)/4,
とおいてみる。
F(x) が単調増加となる条件は
　F '(x) = 0 が2つの実解をもたないこと。
　F '(x) = (3k･xx + 6x + 5-k)/4,
　D = (3/2)^2 - 12k(5-k) ≦ 0,
　0.69722436 < k < 4.30277564
　k = 1, 2, 3, 4 はこれを満たす。

F(x) = x(xx+3x+4)/4,
F(x) = x(2xx+3x+3)/4,
F(x) = x(3xx+3x+2)/4,
F(x) = x(4xx+3x+2)/4,

[0649 １３２人目の素数さん 2024/02/18(日) 19:03:54.87 ID:Ea2C4oOK]

>>647
>>648
なるほどね

[0650 １３２人目の素数さん 2024/02/18(日) 20:48:38.08 ID:zH+eIKQ1]

ナール。

と主人は引張ったが「ほど」を略して考えている。
　　　　　　夏目漱石「吾輩は猫である」(1905-1906)
　　　　　　　↑ 前の千円札の人

[0651 １３２人目の素数さん 2024/02/19(月) 03:40:59.86 ID:VbY3N27r]

＞＞634
　F(x) = (3+5x)/4 - (3/4)k'{(k'+1)/(k'+xx) - 1}

(-1,-1/2) と (1,2) を通る直線 y=(3+5x)/4 は (0,0) を通らない。
そこでローレンツ分布関数を引いて (0,0) も通るようにした。
F(x) は単調増加だから、F '(x)=0 は2実解をもたない。
∴　(557-40√157)/243 ≦ k' ≦ (557+40√157)/243,
　　0.229635541375 < k' < 4.35472659854

[0652 １３２人目の素数さん 2024/02/19(月) 12:11:36.41 ID:VbY3N27r]

＞＞634
　F(x) = (3+5x)/4 - (3/4){e^(1-xx) - 1}/(e-1),

(-1,-1/2) と (1,2) を通る直線 y=(3+5x)/4 は (0,0) を通らない。
そこで正規分布関数を引いて (0,0) も通るようにした。
F '(x)=0 は実解をもたないから F(x) は単調増加。

[0653 １３２人目の素数さん 2024/02/19(月) 17:14:19.22 ID:uwAjb1g9]

球充填問題について書かれた本ってありますか？
どの分野の書籍を探せばいいんだろ
線形代数かな？
何か知ってたら教えて下さい

[0654 prime_132 2024/02/19(月) 23:52:04.75 ID:VbY3N27r]

かなり古いけど…

一松 信：「パッキングの問題」,
　　数セミ増刊『数学100の問題』, 日本評論社（1984/Sept)
　　p.27-29

一松 信：京都大学 数理解析研究所 講究録, No.676, p.1-4 (1988/Dec)

スローン (町田 元･訳)「球の充填問題」,
　『サイエンス』1984年3月号, 日経サイエンス社

J.H.Conway - N.J.A.Sloane "Sphere packings, lattices and groups"
Springer-Verlag (1998)

N.J.A.Sloane, “The sphere-packing problem”.
　Documenta Mathematika 3, p.387–396. (1998)

[0655 １３２人目の素数さん 2024/02/20(火) 01:39:10.33 ID:KeqwjEjH]

F(x) = {(x+1)^c - 1}/2,
　　　x≧-1 で単調増加。
　　c = log(5)/log(2) = 2.3219280948873623478703194294893901758648313930245806120547563958...

[0656 １３２人目の素数さん 2024/02/21(水) 01:59:32.02 ID:dlGX9fRT]

三角関数
　F(x) = (5x+3)/4 - (3/8){1+cos(πx)},
　F '(x) = 5/4 + (3π/8)sin(πx)
　　　= 1.25 + 1.1781sin(πx)
　　　≧ 0.0719

[0657 １３２人目の素数さん 2024/02/21(水) 14:50:23.94 ID:dlGX9fRT]

↑をチョト改良?
　F(x) = (5x+3)/4 - (3/4){(1/√2) + cos(3πx/4)}/(1/√2 + 1),
　F '(x) = 5/4 + (3/4)(3π/4)sin(3πx/4)/(1/√2 + 1)
　　　= 1.25 + 1.03517 sin(3πx/4)
　　　≧ 0.21483

[0658 １３２人目の素数さん 2024/02/22(木) 13:50:54.38 ID:wH5ypcTk]

4次元立方体をテセラクトというのはわかったのですが
5次元、6次元と増やしていったときそれぞれの立方体の名前は何というのでしょうか？
なんか名前がかっこいいから調べたく思いまして

[0659 １３２人目の素数さん 2024/02/22(木) 16:47:10.78 ID:I42Wi42C]

>>644
双曲線なら斜交の方がいい？
　F(x) = (5/4){x + √(xx +(8/15)^2)} - 2/3,

[0660 １３２人目の素数さん 2024/02/24(土) 01:15:57.45 ID:V+z7u92t]

大学以降の数学の知識がないと「2の√2乗が超越数であること」を示すのは困難と聞きました

では、高校数学の範囲内で「2の√2乗が無理数であること」を示すのは可能なのでしょうか？

[0661 １３２人目の素数さん 2024/02/24(土) 16:31:04.39 ID:8e2wHLHp]

[第1段]：2^{√2} が代数的数であるとする
a＝2^{√2} とおく
仮定から、aは実数であって、aは実数の代数的数である
a＝2^{√2} とおいているから log_|a|＝√2×log|2| である
よって a＝2^{√2} から 2^{√2}＝e^{√2×log|2|} が成り立つ
[第2段]：ところで、1＜√2＜3/2 だから 2^{√2}＜2^{3/2} である
また e＞2 から log|2|＜1 であって、4/3＜√2＜3/2 だから
log|2|＜4/3＜√2×log|2|＜3/2×log|2| から e^{√2×log|2|}＞e^{4/3} である
よって、2^{√2}＞e^{4/3} を得る
[第3段]：故に、log_2|e^{4/3}|＜√2 から log_2|e|＜3/4×√2 であって、
e＜2^{3/4×√2} から 1＜3/4×√2×log|2|、即ち e^{(2√2)/3}＜2 である
よって、e＜3 から 3^{(2√2)/3}＜2 であって、3^{2√2}＜8 を得る
[第4段]：しかし、3^{2√2}＞3^2＝9 だから、3^{2√2}＜8 が得られたことは
3^{2√2}＞8 なることに反し、矛盾する
この矛盾は 2^{√2} が超越数ではないとしたことから生じたから、
背理法により 2^{√2} は超越数である

eの近似値や 2＜e＜3 などの大小関係は高校数学の範囲の筈だから、
超越数の定義が分かっていれば 2^{√2} の超越性も
高校数学の範囲で示せる気がしないでもないんだが…

[0662 １３２人目の素数さん 2024/02/24(土) 17:37:10.94 ID:mfihncTu]

>>661
なんでいつも出鱈目書いてるの

[0663 １３２人目の素数さん 2024/02/24(土) 18:03:01.67 ID:8e2wHLHp]

[第3段]：故に、log_2|e^{4/3}|＜√2 から log_2|e|＜3/4×√2 であって、
e＜2^{3/4×√2} から 1＜3/4×√2×log|2|、即ち e^{(2√2)/3}＜2 である
よって、e^{2√2}＜8 を得る
[第4段]：しかし、e^{√2}＞8^{1/2}＝2√2 だから e^{2√2}＞8 である
故に、e^{2√2}＜8 が得られたことは e^{2√2}＞8 なることに反し、矛盾する
この矛盾は 2^{√2} が超越数ではないとしたことから生じたから、
背理法により 2^{√2} は超越数である

[0664 １３２人目の素数さん 2024/02/24(土) 18:04:34.49 ID:8e2wHLHp]

>>662
間違えたところは訂正した

[0665 １３２人目の素数さん 2024/02/24(土) 18:27:40.03 ID:mfihncTu]

>>663
>>664
根本的に間違ってるから無意味

どこにも代数的数であることを使ってないから代数的数を超越数に書き換えれば超越数ではない「証明」になるから間違い

[0666 １３２人目の素数さん 2024/02/24(土) 18:35:42.79 ID:8e2wHLHp]

>>665
>代数的数を超越数に書き換えれば超越数ではない「証明」になる
ゲルフォント・シュナイダーの定理から、そうはならない

[0667 １３２人目の素数さん 2024/02/24(土) 18:49:01.45 ID:8e2wHLHp]

体Q上 a＝2^√2 のn次の最小多項式を考えても、
その次数が1であることは明らかだから、
結局はaの無理性の証明に帰着する

[0668 １３２人目の素数さん 2024/02/24(土) 19:05:34.41 ID:mfihncTu]

>>666
だから>>661>>663は間違い

[0669 １３２人目の素数さん 2024/02/24(土) 19:20:32.42 ID:8e2wHLHp]

>>668
ゲルフォント・シュナイダーの定理に従えば、そうはならないという事実がある
2^√2 の無理性の証明を高校数学の範囲で証明してもつまらない
2^√2 を互いに素な整数を使って有理数で表して議論していって矛盾を導く可能性が高い

[0670 １３２人目の素数さん 2024/02/24(土) 19:21:14.82 ID:mfihncTu]

書き換えた「証明」

-------------------------------------------------------------------------------

[第1段]：2^{√2} が超越数であるとする
a＝2^{√2} とおく
仮定から、aは実数であって、aは実数の超越数である
a＝2^{√2} とおいているから log_|a|＝√2×log|2| である
よって a＝2^{√2} から 2^{√2}＝e^{√2×log|2|} が成り立つ
[第2段]：ところで、1＜√2＜3/2 だから 2^{√2}＜2^{3/2} である
また e＞2 から log|2|＜1 であって、4/3＜√2＜3/2 だから
log|2|＜4/3＜√2×log|2|＜3/2×log|2| から e^{√2×log|2|}＞e^{4/3} である
よって、2^{√2}＞e^{4/3} を得る
[第3段]：故に、log_2|e^{4/3}|＜√2 から log_2|e|＜3/4×√2 であって、
e＜2^{3/4×√2} から 1＜3/4×√2×log|2|、即ち e^{(2√2)/3}＜2 である
よって、e^{2√2}＜8 を得る
[第4段]：しかし、e^{√2}＞8^{1/2}＝2√2 だから e^{2√2}＞8 である
故に、e^{2√2}＜8 が得られたことは e^{2√2}＞8 なることに反し、矛盾する
この矛盾は 2^{√2} が代数的数ではないとしたことから生じたから、
背理法により 2^{√2} は代数的数である

[0671 １３２人目の素数さん 2024/02/24(土) 22:20:27.85 ID:V+z7u92t]

>>670
「背理法により 2^{√2} は代数的数である」とあるが
2^{√2} はゲルフォント・シュナイダーの定理より超越数であることが判明しているので
その証明は誤っている

[0672 １３２人目の素数さん 2024/02/24(土) 22:23:38.33 ID:V+z7u92t]

>>669
高校の数学教師が高校生に対して「2の√2乗が無理数であることを示せ」という証明問題を出すのは
無理なのでしょうか？

[0673 １３２人目の素数さん 2024/02/24(土) 23:03:40.47 ID:mfihncTu]

>>671
だから>>661>>663は間違い

[0674 １３２人目の素数さん 2024/02/25(日) 02:18:44.81 ID:yxgjgyBu]

>>670
>>673
コピペした証明が間違っている

[第1段]：2^{√2} が代数的数であるとする
a＝2^{√2} とおく
仮定から、aは実数であって、aは実数の代数的数である
a＝2^{√2} とおいているから log|a|＝√2×log|2| である
よって a＝2^{√2} から 2^{√2}＝e^{√2×log|2|} が成り立つ
[第2段]：ところで、1＜√2＜3/2 だから 2^{√2}＜2^{3/2} である
また e＞2 から log|2|＜1 であって、4/3＜√2＜3/2 だから
log|2|＜4/3＜√2×log|2|＜3/2×log|2| から e^{√2×log|2|}＞e^{4/3} である
よって、2^{√2}＞e^{4/3} を得る
[第3段]：故に、log_2|e^{4/3}|＜√2 から log_2|e|＜3/4×√2 であって、
e＜2^{3/4×√2} から 1＜3/4×√2×log|2|、即ち e^{(2√2)/3}＜2 である
よって、e^{2√2}＜8 を得る
[第4段]：しかし、e^{√2}＞8^{1/2}＝2√2 だから e^{2√2}＞8 である
故に、e^{2√2}＜8 が得られたことは e^{2√2}＞8 なることに反し、矛盾する
この矛盾は 2^{√2} を代数的数と仮定したことから生じたから、
背理法により 2^{√2} は超越数である

集合Aを A＝{2^x| xは代数的無理数 } と定義すれば、
Aは区間 [0、+∞) 上のルベーグ測度に関する零集合である
同様に、実数の代数的数全体の集合Bは
区間 (-∞、+∞) 上のルベーグ測度に関する零集合である
2^{√2} を代数的数と仮定すると、同時に2つの零集合A、B上で
議論していって矛盾が得られるようになっているから、正しい

[0675 １３２人目の素数さん 2024/02/25(日) 02:44:54.60 ID:f53st12k]

>>674
間違い

[0676 １３２人目の素数さん 2024/02/25(日) 02:51:55.98 ID:yxgjgyBu]

>>675
2^{√2} を代数的数と仮定すると A⊂B が成り立つから、零集合A上で議論して矛盾を得る

[0677 １３２人目の素数さん 2024/02/25(日) 03:18:08.69 ID:yxgjgyBu]

A⊂B → 2^{√2}∈A∪B
零集合A上 → 零集合 A∪B 上

[0678 １３２人目の素数さん 2024/02/25(日) 03:27:26.35 ID:yxgjgyBu]

>>672
こういう問題を高校生に出すのは止めた方がいい
多分、出題しても完答できる人は殆どいないと思う
無理性を証明するにしても、乗法的独立の知識は要する

[0679 １３２人目の素数さん 2024/02/25(日) 12:31:59.03 ID:Ettcwn1v]

連立方程式で質問です
1個１００円のりんごと1個100円の梨を10個1000円分買いました
りんごと梨はいくつ購入されたでしょう

ってなったとき答えって10通りあると思うんですけど式を解くと0ででてきちゃいます
解き方が間違ってるんでしょうか

[0680 １３２人目の素数さん 2024/02/25(日) 12:45:36.60 ID:GlKsqPxK]

りんごも梨も少なくとも1つは買ってるなら、9通り？

[0681 １３２人目の素数さん 2024/02/25(日) 14:35:34.45 ID:GlKsqPxK]

梨はナシでもいいが、りんごがないのは無しだ？
それなら 10通り…

[0682 １３２人目の素数さん 2024/02/25(日) 14:45:43.90 ID:gJoC49sx]

>>679
それは連立してないからです
100円が意味をなしてないからです

[0683 １３２人目の素数さん 2024/02/25(日) 14:58:27.46 ID:r3jtDAq3]

>>659
双曲線 (斜交)

漸近線は　y = -2/3　と　y = m･x - 2/3,　(m=5/2).

焦点 ( ±(8/15)√(2√29)･sin(θ/2), -(2/3) 干 (8/15)√(2√29)･cos(θ/2) )
　= ( ±(4/15)√(√29 - 2), -(2/3) 干 (4/15)√(√29 + 2) )
ここに　θ = arctan(m),

[0684 ６７２ 2024/02/27(火) 10:54:20.18 ID:1guH9Us7]

>>678
ありがとうございます

やはり高校数学の範囲を逸脱しているのかあ…

[0685 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 06:56:21.78 ID:ijdyqSaZ]

>>684
2^{√2} が代数的数であるとする
a＝2^{√2} とおく
aは実数の代数的数である
指数関数 y＝2^x は単調増加で正の値を取るから、
仮定から a＞2 であって、a^2＞4 を得る
また、仮定から a^{√2}＝2^2＝4 であって、(1/a)^{√2}＝1/4 である
a＞1 から指数関数 y＝(1/a)^x は単調減少で正の値を取るから、1/a＞1/4 である
よって、4＞a＞2 であって、2＞a＞√a＞√2 から 4＞a^2＞a＞2 である
故に、a^2＞4 と a^2＜4 が両立し、実数の大小関係に反し矛盾が生じる
この矛盾は実数 2^{√2} を代数的数と仮定したことから、2^{√2} は実数の超越数である
実数の超越数は無理数だから、2^{√2} は無理数である

今更だが、有理数(または実数の代数的数)の稠密性を使えば、こういう証明はある

[0686 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 07:04:49.78 ID:GD05aVNN]

>>685
間違い

[0687 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 07:15:42.22 ID:ijdyqSaZ]

>>686
実数体R上、実数の代数的数の全体は加減乗除の演算に関して体をなし、
実数の代数的数は有理数と同様に実数体R上稠密である

[0688 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 07:22:01.52 ID:ijdyqSaZ]

>>686
実数論の有理数の稠密性も分からない人間に間違いって判定されたくない

[0689 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 07:49:43.06 ID:ijdyqSaZ]

>この矛盾は実数 2^{√2} を代数的数と仮定したことから
>「生じたから」、2^{√2} は実数の超越数である

[0690 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 07:52:16.12 ID:ijdyqSaZ]

>>684
2^{√2} が代数的数であるとする
a＝2^{√2} とおく
aは実数の代数的数である
指数関数 y＝2^x は単調増加で正の値を取るから、
仮定から a＞2 であって、a^2＞4 を得る
また、仮定から a^{√2}＝2^2＝4 であって、(1/a)^{√2}＝1/4 である
a＞1 から指数関数 y＝(1/a)^x は単調減少で正の値を取るから、1/a＞1/4 である
よって、4＞a＞2 であって、2＞a＞√a＞√2 から 4＞a^2＞a＞2 である
故に、a^2＞4 と a^2＜4 が両立し、実数の大小関係に反し矛盾が生じる
この矛盾は実数 2^{√2} を代数的数と仮定したことから
生じたから、2^{√2} は実数の超越数である
実数の超越数は無理数だから、2^{√2} は無理数である

[0691 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 08:47:58.92 ID:GD05aVNN]

2^{3/2} が代数的数であるとする
a＝2^{3/2} とおく
aは実数の代数的数である
指数関数 y＝2^x は単調増加で正の値を取るから、
仮定から a＞2 であって、a^2＞4 を得る
また、仮定から a^{2/(3/2)}＝2^2＝4 であって、(1/a)^{2/(3/2)}＝1/4 である
a＞1 から指数関数 y＝(1/a)^x は単調減少で正の値を取るから、1/a＞1/4 である
よって、4＞a＞2 であって、2＞a＞√a＞√2 から 4＞a^2＞a＞2 である
故に、a^2＞4 と a^2＜4 が両立し、実数の大小関係に反し矛盾が生じる
この矛盾は実数 2^{3/2} を代数的数と仮定したことから
生じたから、2^{3/2} は実数の超越数である

[0692 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 10:27:53.48 ID:ijdyqSaZ]

>>691
2^{3/2} が代数的数であることは確定しているから 2^{3/2} にその論法は通用しない
原理的には、実数論では有理数の加減乗除をもとに無理数を定義して有理数体Qを完備化するのと同様に、
実数の代数的数の加減乗除をもとに実数の超越数を定義して実数の代数的数の全体を完備化出来る
その後、実関数について微分積分を展開していくという理論展開も原理的には出来る
その考え方を応用しただけ

[0693 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 10:38:28.88 ID:ijdyqSaZ]

>>691
注意しておくけど、2^{3/2}＝2√2 は
有理数体Qに √2 を添加した代数拡大体 Q(√2) に属し、
Q(√2) は超越拡大体ではない

[0694 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 10:40:05.03 ID:y7FRk2+2]

こいつ前もおんなじ突っ込み受けてたやつやろ
一ミリも成長してない

[0695 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 10:43:09.56 ID:GD05aVNN]

>>692
2^{√2} が代数的数であるなら>>690は使えないから
>>690の前に2^{√2} が代数的数でないことを証明しないと

[0696 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 10:45:05.76 ID:ijdyqSaZ]

>>694
そういう微分積分の理論展開も原理的には出来るから、本でも読んでよく考えてみな

[0697 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 10:49:14.50 ID:GD05aVNN]

1<r<2のとき2^{r} が代数的数であるとする
a＝2^{r} とおく
aは実数の代数的数である
指数関数 y＝2^x は単調増加で正の値を取るから、
仮定から a＞2 であって、a^2＞4 を得る
また、仮定から a^{2/r}＝2^2＝4 であって、(1/a)^{2/r}＝1/4 である
a＞1 から指数関数 y＝(1/a)^x は単調減少で正の値を取るから、1/a＞1/4 である
よって、4＞a＞2 であって、2＞a＞√a＞√2 から 4＞a^2＞a＞2 である
故に、a^2＞4 と a^2＜4 が両立し、実数の大小関係に反し矛盾が生じる
この矛盾は実数 2^{r} を代数的数と仮定したことから
生じたから、2^{r} は実数の超越数である

[0698 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 10:58:51.29 ID:ijdyqSaZ]

有理数体Qに実数の超越数eを添加した超越拡大体 Q(e) の加減乗除をもとに
超越数を定義して Q(e) を完備化することは原理的には出来るが、
このときは超越拡大体 Q(e) を完備化する前に実数の超越数eが既に含まれているので、
体 Q(e) を完備化した後微分積分を理論展開して
それを超越性を示すのに応用することは一般には出来ない

[0699 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 11:00:39.05 ID:ijdyqSaZ]

>>697

>>698でも読んでどうぞ

[0700 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 11:07:41.61 ID:ijdyqSaZ]

>>698と同様なことは、一般に実数体Rの部分体なる超越拡大体についていえる

[0701 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 12:22:15.14 ID:ijdyqSaZ]

>>697
という訳で、実数の代数的数の全体をAで表わすことにすれば、
体Aの超越拡大体 A(2^{√2}) についても>>698と同様なことがいえる
だから、>>697の考え方は実数について代数的数か超越数かの判定には適用できない

[0702 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 14:00:54.59 ID:y7FRk2+2]

そもそも>>691の言ってる事が理解できてない時点で数学Aすら理解できてない。
数学Aの時点で自分が落ちこぼれてることすら理解できる知能がない。

[0703 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 16:02:47.38 ID:ijdyqSaZ]

>>702
そもそも、>>690は高校ではなく大学の微分積分に基づいた証明である

[0704 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 16:26:43.49 ID:y7FRk2+2]

数学Aで落ちこぼれてる人間が大学の微積の議論できるはずないやろ
そんなレベルの話すら理解できる知能がないんだよ。

[0705 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 16:33:55.99 ID:ijdyqSaZ]

>>704
高校の微分積分と大学の微分積分が同じだと思ったら大間違い
高校の微分積分では実数論が幾何的直観に基づいていて曖昧だが、
大学の微分積分では幾何的直観に基づかず実数論をする

[0706 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 16:36:51.96 ID:ijdyqSaZ]

>>704
第一、高校の微分積分ではε-δ論法をしていないだろ

[0707 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 17:07:59.85 ID:y7FRk2+2]

まぁ高木といっしょ
自分の事世紀の天才とでも思ってるんやろ
高校数学の時点で落ちこぼれてるゴミ

[0708 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 17:12:39.85 ID:GD05aVNN]

指摘が難しすぎるようなので簡単に
4＞a＞2から2＞aは出ない

[0709 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 17:16:40.16 ID:ijdyqSaZ]

>>707
高校数学は計算が大半を占めていて論理的に曖昧な部分があるから
大学数学を理解するのに高校数学をしっかり理解する必要はない
高校の実数論は、連結な数直線の幾何的直観に基づいているから曖昧である

[0710 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 17:30:14.99 ID:ijdyqSaZ]

>>709
間違いの指摘をするなら、回りくどい指摘ではなく
そのように簡単にしてくれた方が分かり易くてありがたい

[0711 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 17:31:33.37 ID:y7FRk2+2]

高木ということ一緒
おそらく糖質なんやろ
少なくとも高校の段階から知能の向上が止まってっる
もっと前かもしれないが

[0712 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 17:32:05.91 ID:ijdyqSaZ]

>>708

>>710は>>708へのレス

[0713 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 17:34:57.36 ID:ijdyqSaZ]

>>711
くどくど他人のこというなら、>>690のような証明に成功してからいってくれ

[0714 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 17:58:47.43 ID:GD05aVNN]

>>710
背理法で証明するなら仮定を使って矛盾を導かなければできないっていう根本的な指摘だよ

[0715 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 17:59:46.40 ID:GD05aVNN]

>>713
成功してない

[0716 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 18:09:45.25 ID:ijdyqSaZ]

>>714-715
理解出来ない人間には理解出来ないだろうが、実は>>674の証明は正しい

[0717 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 19:12:29.16 ID:GD05aVNN]

>>716
>>714での指摘通り全部間違った証明だよ

[0718 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 20:36:15.10 ID:rXTULRav]

【デコホーム】　北海道に　｀中国人専用´　住宅街
https://mao.5ch.net/test/read.cgi/build/1709004231/l50

[0719 １３２人目の素数さん 2024/02/28(水) 23:16:32.58 ID:9tUy1VVA]

高木そっくりwwwwwww

[0720 １３２人目の素数さん 2024/02/29(木) 02:10:14.79 ID:f0/HMLwN]

>>717
元々、微分積分の理論を有理数から無理数を定義したときと同様に
実数論から再構成してから微分積分の理論を再展開し、
それを実数の超越性の証明に応用して示す長い証明である
>>716では結果だけを切り取って書いたから間違いに見えるだけ

[0721 １３２人目の素数さん 2024/02/29(木) 02:12:10.41 ID:f0/HMLwN]

>>716では → >>674では

[0722 １３２人目の素数さん 2024/02/29(木) 02:18:07.65 ID:f0/HMLwN]

>>717
実数の代数的数の全体がなす体から実数の超越性を定義して
実数論を再展開するときは最小多項式の次数や
ディオファンタス近似などを使う必要があって、
有理数から無理数を定義した実数論とは様相が全く違う

[0723 １３２人目の素数さん 2024/02/29(木) 02:49:35.18 ID:f0/HMLwN]

>>674では集合 A＝{a^x| xは代数的無理数、aは1より大きい代数的数 } と
実数の代数的数の全体がなす体Bの共通部分 A∩B が空集合であることを示した方が速い

[0724 １３２人目の素数さん 2024/02/29(木) 03:02:44.91 ID:f0/HMLwN]

実数の代数的数の全体がなす体から実数の超越性を定義して
実数論を再展開して微分積分の理論を再展開しても、
その再展開した微分積分は従来の微分積分と殆ど同じで、
再展開した微分積分には殆ど使い道がなく意味は殆どないだろうから、
>>674では結果だけを切り取って書いた

[0725 １３２人目の素数さん 2024/02/29(木) 05:20:02.57 ID:KWhjrVeT]

4/3=1.3333333333<0.9802581434=sqrt(2)log(2).

[0726 １３２人目の素数さん 2024/02/29(木) 10:42:57.75 ID:f0/HMLwN]

[第1段]：集合Aを A＝{a^x| xは代数的無理数、aは1より大きい実数の代数的数 }
と定義する。Bを実数の代数的数の全体がなす体と定義する
集合Aと体Bの共通部分 A∩B について、A∩B≠∅ と仮定する
集合Aと体Bの定義から、或る代数的無理数x、或る a＞1 なる a∈B が存在して、
a^x∈A∩B であって、A∩B⊂B だから a^x∈B である
nを a^x の最小多項式の次数とする
Case1)：n≧2 のとき。このとき、a^x はn次の代数的無理数だから、
リウビルの定理より a^x に対して或る c＞0 なる実数cが存在して、
両方共に任意の整数p、q p≧1 に対して、|a^x−q/p|＞c/(p^n) である
また、無理数 a_x を連分数展開して考えれば、a^x に対して可算無限個の
既約分数 q'/p' p'≧2 が存在して |a^x−q'/p'|＜1/(p')^2 が成り立つ
よって、a^x に対して可算無限個の既約分数 q'/p' p'≧2 が存在して
c/(p')^n＜|a^x−q'/p'|＜1/(p')^2 であって、
c/(p')^{n-2}＜(p')^2|a^x−q'/p'|＜1 即ち (p')^2|a^x−q'/p'|＜1 である
故に、既約分数 q'/p' p'≧2 について分母の p' が p'→+∞ と+∞に発散させて
既約分数 q'/p' p'≧2 を取れば、或る既約分数 q'/p' p'≧2 が取れて
既約分数 q'/p' p'≧2 は (p')^2|a^x−q'/p'|≧1 を満たし矛盾が生じる

[0727 １３２人目の素数さん 2024/02/29(木) 10:45:31.62 ID:f0/HMLwN]

Case2)：n＝1 のとき。このとき、a^x は正の有理数だから、
a^x に対して両方共に或る互いに素な整数 p、q p≧1 が存在して a^x＝q/p である
また、仮定からxは代数的無理数である。
xの最小多項式の次数をmとすると、m≧2 であってxはm次の代数的無理数である
よって、Case1)の議論におけるnをmで、a^x をxで、それぞれ書き換えて
Case1)と同様な議論を繰り返せば、矛盾を得る
Case1)、Case2)から、起こり得るすべての場合について矛盾が生じる
この矛盾は、A∩B≠∅ と仮定したことから生じたから、背理法により A∩B＝∅ である
[第2段]：よって、AとBの各定義から、Aに属する実数の代数的数は存在しない
故に、Aの定義から、任意の1より大きい実数の代数的数a、
任意の代数的無理数xに対して、a^x は実数の超越数である
[第3段]：故に、任意の正の代数的数a、任意の代数的無理数x
に対して、a^x は実数の超越数である
[第4段]：√2 は代数的無理数なることに注意すれば 2^{√2} は実数であって超越数である

[0728 １３２人目の素数さん 2024/02/29(木) 11:28:32.36 ID:f0/HMLwN]

訂正：
[第3段]：任意の正の代数的数a → 任意の1とは異なる正の代数的数a

[第1段]のCase1)の最後の行の補足：
(p')^2|a^x−q'/p'|≧1 → (p')^2|a^x−q'/p'|≧1＞(p')^2|a^x−q'/p'|

[0729 １３２人目の素数さん 2024/02/29(木) 18:31:29.67 ID:4ajbydc1]

xは代数的無理数であるというだけで矛盾するってことは
代数的無理数は存在しないってことになるんだが

[0730 １３２人目の素数さん 2024/03/01(金) 11:17:35.68 ID:4RjaehFr]

[第1段]：集合Aを A＝{a^x| xは代数的無理数、aは1より大きい実数の代数的数 }
と定義する。Bを実数の代数的数の全体がなす体と定義する
集合Aと体Bの共通部分 A∩B について、A∩B≠∅ と仮定する
集合Aと体Bの定義から、或る代数的無理数x、或る a＞1 なる a∈B が存在して、
a^x∈A∩B であって、A∩B⊂B だから a^x∈B である
nを a^x の最小多項式の次数とする
Case1)：n≧2 のとき。このとき、a^x はn次の代数的無理数だから、
リウビルの定理より a^x に対して或る c＞0 なる実数cが存在して、
両方共に任意の整数p、q p≧1 に対して、|a^x−q/p|＞c/(p^n) である
また、無理数 a_x を連分数展開して考えれば、a^x に対して可算無限個の
既約分数 q'/p' p'≧2 が存在して |a^x−q'/p'|＜1/(p')^2 が成り立つ
よって、a^x に対して可算無限個の既約分数 q'/p' p'≧2 が存在して
c/(p')^n＜|a^x−q'/p'|＜1/(p')^2 であって、
c/(p')^{n-2}＜(p')^2|a^x−q'/p'|＜1 即ち (p')^2|a^x−q'/p'|＜1 である
故に、既約分数 q'/p' p'≧2 について分母の p' が p'→+∞ と+∞に発散させて
既約分数 q'/p' p'≧2 を取れば、或る既約分数 q'/p' p'≧2 が取れて
既約分数 q'/p' p'≧2 は (p')^2|a^x−q'/p'|≧1＞(p')^2|a^x−q'/p'|
を満たし矛盾が生じる
Case2)：n＝1 のとき。このとき、a^x は正の有理数だから、
a^x に対して両方共に或る互いに素な整数 p、q p≧1 が存在して a^x＝q/p である
また仮定から、aは代数的数だから、aの最小多項式の次数をmとすれば、
m≧1 であってaはm次の代数的数である

[0731 １３２人目の素数さん 2024/03/01(金) 11:20:33.75 ID:4RjaehFr]

Case2-1)：m≧2 のとき。このとき、aはm次の代数的無理数であって、
Case1)の議論におけるnをmで、a^x をaで、それぞれ書き換えて
Case1)と同様な議論を繰り返せば、矛盾を得る
Case2-2)：m＝1 のとき。このとき、aは1より大きい正の有理数だから
aに対して両方共に或る互いに素な整数 p''、q'' p''≧1 が存在して a＝q''/p'' である
よって、(q''/p'')^x＝q/p であって、q≧1 から (q''/p'')^x・(p/q)＝1 である
しかし、仮定からxは代数的無理数だから、1とxは有理数体Q上1次独立である
また、有理整数環Zは体Q上の単位元1を含む単位的部分環である
故に、環Z上の加群を考えれば、(q''/p'')^x・(p/q)≠1 であって、矛盾が生じる
Case2-1)、Case2-2)から、n＝1 のときにすべての起こり得る場合について矛盾を得る
Case1)、Case2)から、すべての起こり得る場合について矛盾が生じる
この矛盾は、A∩B≠∅ と仮定したことから生じたから、背理法により A∩B＝∅ である
[第2段]：よって、AとBの各定義から、Aに属する実数の代数的数は存在しない
故に、Aの定義から、任意の1より大きい実数の代数的数a、
任意の代数的無理数xに対して、a^x は実数の超越数である
[第3段]：故に、任意の正の代数的数a、任意の1とは異なる代数的無理数x
に対して、a^x は実数の超越数である
[第4段]：a＝2、x＝√2 のとき。√2 は代数的無理数なること
に注意すれば 2^{√2} は実数であって超越数である

[0732 １３２人目の素数さん 2024/03/01(金) 11:26:28.28 ID:4RjaehFr]

[第3段]について
任意の正の代数的数a、任意の1とは異なる代数的無理数x
→ 任意の1とは異なる正の代数的数a、任意の代数的無理数x

[0733 １３２人目の素数さん 2024/03/01(金) 22:56:52.83 ID:C0z/65RY]

〔問題〕
a,b,c を正の整数とし、1≦a<b<c とする。
　M = 1 + 3^a + 3^b + 3^c
が立方数となるような (a,b,c) の組は無数にあることを示せ。

・高校数学の質問スレ_Part432 - 883

[0734 １３２人目の素数さん 2024/03/02(土) 14:00:51.98 ID:pz54UFyP]

有理数と無理数はどちらも無限大に存在するが、仮に有理数と無理数を同数無限大に出尽くしたとしても、更に無理数のほうが多く存在することを証明せよ

[0735 １３２人目の素数さん 2024/03/02(土) 21:25:10.60 ID:ZADy0LT/]

有理数を小数で表わすと、
有限桁で切れるか又は循環小数となる。
その循環節の間に1桁ずつ数字を挟もう。

たとえば 3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,7,9,3,2,…
の 第k項、k+L項、k+2L項、…は循環しないので、
それらを挟んでいくと、すべて無理数になる。
(k, L) の取り方は無限にあるから、
1個の有理数が無限個の無理数に対応する。。。

[0736 １３２人目の素数さん 2024/03/09(土) 18:28:10.26 ID:9TLceQPN]

>>733
　(a, b, c) = (n+1, 2n+1, 3n)
　M = (1+3^n)^3,

面白スレ43問目　318-319

[0737 １３２人目の素数さん 2024/03/20(水) 19:47:12.86 ID:kos/Cx4z]

一つの無理数、たとえばπにたいして有理数は3、3.1、3.14、3.141、...って無限にあるけど
有理数も無理数もどちらも無限大でいいんじゃね

[0738 １３２人目の素数さん 2024/04/16(火) 15:27:08.91 ID:02gDREfj]

〔問題104〕
　∫[0,π/2] sin(x)/{1+√sin(2x)} dx
を求めよ。
　高校数学の質問スレ_Part434−104,117

[0739 １３２人目の素数さん 2024/04/16(火) 15:40:56.89 ID:02gDREfj]

x ⇔ π/2−x　の対称性から
(与式)
　= (1/2)∫[0,π/2] (sin(x)+cos(x))/(1+√sin(2x)) dx
　= ∫[0,π/4] (sin(x)+cos(x))/(1+√sin(2x)) dx
ここで
　cos(x)−sin(x) = sin(t),
　−(sin(x)+cos(x)) dx = cos(t) dt,
とおく。
(与式) = ∫[0,π/2] cos(t)/(1+cos(t)) dt
　= ∫[0,π/2] {1−1/(1+cos(t))} dt
　= ∫[0,π/2] {1−1/[2cos(t/2)^2]} dt
　= [ t−tan(t/2) ](0→π/2)
　= π/2 − 1.

[0740 １３２人目の素数さん 2024/04/17(水) 00:30:46.79 ID:qbH/8Fwh]

∫1/(1+cos(t)) dt
　= sin(t)/(1+cos(t))
　= (1-cos(t))/sin(t)
　= tan(t/2),

(参考書)
森口・宇田川・一松 (著)「数学公式I」岩波全書221,新装版 (1987)
　第�W篇, 第3章, §40, p.187-192

[0741 １３２人目の素数さん 2024/04/21(日) 00:14:29.56 ID:WdKvRNb8]

素因数分解のプログラムを作成予定です。
これを1時間で解けたら世界トップクラスなど、処理速度を評価する目安があれば教えてください。

[0742 １３２人目の素数さん 2024/04/21(日) 02:37:39.74 ID:34PQz0TW]

〔問題336〕
　∫ (cos x)/(cos x + sin x) dx
を求めよ。

　高校数学の質問スレ_Part434−336,356

[0743 １３２人目の素数さん 2024/04/21(日) 02:46:16.53 ID:34PQz0TW]

　1/(1+tan x) = (cos x)/(cos x + sin x)
　　= {1 + (−sin x + cos x)/(cos x + sin x)}/2
　　= {1 + (cos x + sin x) ' /(cos x + sin x)/2,
より
∫ 1/(1+tan x) dx = {x + log|cos x + sin x|}/2,

x - π/4 = y　とおけば　分母は (√2)cos y　ゆえ、
積分すべきは (1/2)(tan y) と定数になる。

[0744 １３２人目の素数さん 2024/04/24(水) 11:32:58.69 ID:OH+8ZW3D]

本当にくだらねぇ質問だと感じるとは思いますが、

https://pachimaga.com/free/column/9efd320cf25de1bb99db35ed171b50e9fbdd0094.php
ＳＴ中に当たる確率は
＝1-(1-1/99.4)＾163＝0.807593
≒80.76％
これを確率分母に掛ける。
＝99.4✕0.807953
＝80.2748回
残り保留4個分も含めると81.0408回となる(残り保留の計算方法については次回具体的に説明する)

とありますが、次回の具体的説明というのが無かったので何故保留4個を含めると80.2748が81.0408になるのかがわかりません。
これはどんな計算で求めているのでしょうか？

[0745 １３２人目の素数さん 2024/04/24(水) 11:38:33.10 ID:OH+8ZW3D]

あっと、確率分母にかけるとこの数値はミスってますね
99.4×0.807593がただしい

[0746 １３２人目の素数さん 2024/04/25(木) 18:21:56.57 ID:Bm/wI22/]

ウンコを微分せよ。

[0747 １３２人目の素数さん 2024/05/05(日) 12:36:33.78 ID:IFtE60+o]

〔問題829-改〕
一辺の長さが2の正三角形ABCがある。
その内接円の内部or周上に点Pをとる。
このとき積 AP･BP･CP の最大値を求めよ。

　高校数学の質問スレ_Part434 - 829

[0748 １３２人目の素数さん 2024/05/07(火) 01:33:19.53 ID:OgbPgxVI]

内接円の半径r = 1/√3,
内心Iのまわりの極座標を ρ, φ とすると
　0 ≦ ρ ≦ r,
　AP・BP・CP = √{(64/27 + ρ^6) + 2(8/√27)ρ^3･cos(3φ)},

最大値　9/√27 = √3　(ρ=1/√3, φ=0)
中央値　8/√27　　　　(ρ=0)
最小値　7/√27 　　　　(ρ=1/√3, φ=±60°)

[0749 １３２人目の素数さん 2024/05/07(火) 01:43:27.18 ID:OgbPgxVI]

〔問題883-改〕
一辺の長さが1の正三角形ABCがある。
その外接円の周上に点Qをとる。
このとき和 AQ+BQ+CQ の取りうる値の範囲を求めよ。

　高校数学の質問スレ_Part434 - 883

[0750 １３２人目の素数さん 2024/05/07(火) 02:12:35.12 ID:OgbPgxVI]

外接円の半径 R= 1/√3,
外心Oのまわりの方位角を θ とすると
∠AOQ = 60°−θ,
∠BOQ = 60° +θ,
∠COQ = 180°−θ,

AQ + BQ + CQ
　= 2R{sin(30°−θ/2) + sin(30°+θ/2) + sin(90°−θ/2)}
　= 2R{cos(θ/2) + cos(θ/2)} 　　　　← 和積公式
　= 4R cos(θ/2),

最大値 4/√3　　(θ=0)
最小値　2　　　(θ=±60°)

[0751 １３２人目の素数さん 2024/05/07(火) 16:59:35.71 ID:OgbPgxVI]

↑
A：　60°
B：　−60°
C：　180°
Q：　θ　　(-60°≦θ≦60°)
とした。

[0752 １３２人目の素数さん 2024/05/07(火) 20:04:16.74 ID:OgbPgxVI]

↑
θ/2 方向の単位ヴェクトルをｅとすると、
↑OA・ｅ = R cos(60°−θ/2) = R sin((60°+θ)/2) = BQ/2,
↑OB・ｅ = R cos(60°+θ/2) = R sin((60°−θ)/2) = AQ/2,
↑OC・ｅ = −R cos(θ/2) = −R sin(90°−θ/2) =−CQ/2,
これと
　↑OA +↑OB +↑OC = ↑0
から
　BQ + AQ −CQ = 0,

∴　AQ + BQ + CQ = 2CQ.

[0753 １３２人目の素数さん 2024/05/08(水) 21:05:22.25 ID:/PMdnc9j]

ここって自作問題を投下してもいいところ？

[0754 １３２人目の素数さん 2024/05/08(水) 22:48:14.20 ID:9b91wrP+]

くだらねぇ問題ならいい。作者にはよらない。

[0755 １３２人目の素数さん 2024/05/09(木) 09:55:06.19 ID:xTfUXmfc]

自作問題でも構いませんが良問の投稿は禁止です。

[0756 １３２人目の素数さん 2024/05/09(木) 14:38:16.53 ID:7hFC8QRz]

そしたら、これ
a^n+b^m=2024となるような自然数の組(a,b,n,m)を全て求めよ。

[0757 １３２人目の素数さん 2024/05/09(木) 23:11:15.86 ID:vS28WcMc]

うむ。確かに くだらねぇ。
特に n=1 や m=1 も含めた くだらなさが 際立ってるね。
もし n≧2, m≧2 にしたら 良問になりそうだから禁止ですね。

(a,b,n,m)
(41,7,2,3)　(7,41,3,2)
(32,10,2,3)　(10,32,3,2)
(10,4,3,5) 　(4,10,5,3)

[0758 １３２人目の素数さん 2024/05/09(木) 23:24:34.48 ID:93jHN3Aw]

m,n≧2に制限してもくだらない
そう思えないなら感覚が狂ってる

[0759 １３２人目の素数さん 2024/05/10(金) 00:39:07.95 ID:ZOfbeqGP]

abc conjecture

[0760 １３２人目の素数さん 2024/05/10(金) 16:33:33.99 ID:hfGXUFEm]

>>757
(10,2,3,10)　(2,10,10,3)

[0761 １３２人目の素数さん 2024/05/15(水) 21:01:14.39 ID:KzIMAqFi]

文系なんで教えてください
コンウェイのチェーン表記
３→２→２っていくつ？

[0762 １３２人目の素数さん 2024/05/18(土) 11:34:11.20 ID:zioSuWLF]

27

3→2→2
=3→(3→1→2)→1
=3→(3↑↑1)→1
=3→3→1
=3→3
=3^3

[0763 １３２人目の素数さん 2024/05/20(月) 03:45:49.71 ID:Zwcbbpmn]

R環として平坦 R 加群の直和因子は全て平坦であることを証明して下さい。

[0764 １３２人目の素数さん 2024/05/20(月) 11:15:36.15 ID:L5PJsM9W]

くだらないね

[0765 １３２人目の素数さん 2024/05/21(火) 12:56:06.60 ID:f6payQiI]

分からないんですねw

[0766 １３２人目の素数さん 2024/05/21(火) 23:46:38.14 ID:hL+1ms/7]

質問

000から999まで1,000通りあるクジを毎日引くとき

a) 特定の三桁の数字を固定する（たとえば943とか）
b) 毎回適当な三桁の数字にする（たとえば昨日は123で今日は852とか）

1,000日繰り返したとして、クジに当たる確率はaもbも同じ

↑
直観的にはaのほうが当たりそうだけど、aもbも当たる確率は同じですよね？

まあこれナンバーズ3をコンピュータで自動購入してる話なんですけど

[0767 １３２人目の素数さん 2024/05/22(水) 03:08:46.81 ID:bq08hf8k]

当選番号が公開されるなら、
長期間のデータを集めれば各番号の当選確率を推測できそう。

b) で一番当たりやすい番号を買えば良いかな？