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集合論について

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0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/18(月) 04:05:17.08
いくらなんでも数学板に集合論全般を扱うスレがないのはおかしいだろ
0284１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/28(月) 16:22:19.89
「『数学上の問題を解くには方程式書いてコツコツやってもはじまらない。仏の境地に
達すれば何だってスラスラ解けるものだ』。こういう表現だったかどうか正確ではないが
確か（岡潔）先生はそういう意味のことをおっしゃったと思う」

--- 広中平祐
0285１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/28(月) 17:44:21.52
　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
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　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　私は死なないわよ。
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　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　 　　　　Windows ver.10 で　　　　
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　元の痩せた姿にしてよね。
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼　　　　　　　　　　 　　　
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0286１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/28(月) 21:48:52.72
>>280, 283
赤さんの本は公理的集合論の本ではないけど、
公理的な集合論を勉強する前に学部レベルの
素朴集合論の本の内容を身につけた方が効率が良いと思う
（ついでに言うと一階述語論理は先に勉強するに越した事は無い）。

難波完爾先生の本は独特な味がある本だけど、初学者には難しい。

正直な所、Kunenを読む一歩手前の人に適当だと言えるような
水準の本は日本語ではなかなか無い。
「ゲーデルと20世紀の論理学」シリーズの四巻第一章が割とそれに近いか。
0287１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/28(月) 21:52:44.05
上のレスのアンカーは>>278>>280の間違い

>>283
具体的に構成したり定義したり出来るような対象は
必ずLに含まれるので、V=Lとその否定のどちらが正しそうかと
集合論の知識の無い非専門家の数学者に聞くと、
V=Lが成り立つ方が尤もらしいと答える人が多い。

V=Lの無矛盾性は、実際にLの要素の集まりを考えて
それがZF+V=Lのモデルになっていることを示すだけで良いけど、
その否定の無矛盾性はその種のVを削るような方法では示せず、
モデルを拡大する操作が必要になる。
0288１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/29(火) 01:43:02.27
>>286
>赤さんの本は公理的集合論の本ではないけど、
>公理的な集合論を勉強する前に学部レベルの
>素朴集合論の本の内容を身につけた方が効率が良いと思う
>（ついでに言うと一階述語論理は先に勉強するに越した事は無い）。

えっと、よくわからないですが、赤さんの文庫本は「学部レベルの素朴集合論の本」ではないんですね？
別の本で「学部レベルの素朴集合論」をやるべきということですね？具体的な書名をおしえてください。
0289１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/29(火) 12:53:55.74
公理論的集合論の本じゃないけど
学部レベルの素朴集合論の本だとは言っても良いんじゃないの？
このレベルの本はどれも大して優劣は無いからどれでも気にいった本で良いよ。

日本語の本で
諸定義、集合に関するブール演算、選択公理、濃度、順序数、
という順序で基本的なことを解説するパターンの本はどれでもほぼ同じ。
0290１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/29(火) 20:12:32.06
>>287の前半
>集合論の知識の無い非専門家の数学者に聞くと、
>V=Lが成り立つ方が尤もらしいと答える人が多い。
それは違うのじゃないかな？一般人（非専門家）はむしろ「世界は具体的
に構成したり定義したり出来るような対象だけとは限らないだろう」と
考えて、not{V=L}はあり得ることと考えるのではないか？「V=Lだ！」
とも言わないだろうが。つまり、一般人は、V=Lとnot(V=L)のどちらも
あり得ることだと直感しているのじゃないかな？
0291１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/30(水) 11:57:41.41
無矛盾性（独立性）を示すのに、モデルの存在を示すという方法でなく、
syntacticalにやる方法を書いたものってなにかありますか？
0292１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/30(水) 20:56:21.74
証明論の順序数解析の本とかにはそういう証明があるよ
たとえば新井敏康の数学基礎論の第八章（証明論の章）には
集合論KPの無矛盾性の統語論的証明がある
0293１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/30(水) 21:06:35.91
>>292
ありがとうございます。見てみます。（モデルの有無だけでは、なぜ無矛盾
なのかはわかりにくいと思ったので）
0295１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/01(木) 07:58:11.74
>>294
完全性定理ですね。それはわかっているのですが、
私が「なぜ」と言ったのは、「どういうしくみ・理由で」無矛盾なのかを知りたい
という意味でした。モデルの存在からは、「とにかく無矛盾」としかわからないと
思うので。
0296１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/01(木) 08:07:27.46
間違えました。健全性でした。
0297１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/01(木) 21:07:07.92
どういうも何も、定義上
M |- not φ は M |- φの否定と同値だから
矛盾した理論を解釈するモデルがあったら
意味論のレベルで矛盾律（Aかつnot Aとはならない）が
破綻してしまう。だから
矛盾律 ⇒ 矛盾した理論にはモデルは無い i.e. モデルがあるなら無矛盾
としか言いようがない気がする。
0298１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/01(木) 22:24:07.38
集合論の公理系に限らず、およそ公理系を設定する人は、まあ間違うこと
なく無矛盾で独立な公理系を設定するものだ。
そのとき彼らは必ずしもモデルの存在を確認してそれらの公理系を設定する
わけではないだろう（たとえばユークリッドも）。
ということは、モデルの存在というのは力ずくの最終確認手段に過ぎず、
無矛盾性や独立性を察知するもっと早い方法があるということなのじゃ
ないかな？
0300１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 01:05:46.05
フレーゲが最初に定義した述語論理の体系は矛盾していた。
チャーチの論理定数を含むラムダ計算の体系も矛盾していたため
数学の基礎付けに使おうという元の目的は達しなかった。
ラインハルト基数も矛盾していることが分かった対象の例。
およそ公理系を設定する人は〜というのは何を根拠に言ってるのか。

証明論的に無矛盾を示すためには、可算順序数で整列順序が複雑なものを
表記法を工夫して相当テクニカルに示さないといけないので
モデルを構成するよりも難しくて面倒で「もっと早い方法」とは到底言えない。
0301１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 01:53:49.43
デブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ね
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0302１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 09:17:05.88
>>300
まあ間違わないと言っただけで、間違う場合もあるでしょう。
それに、フレーゲ、チャーチの場合は（ラインハルトは知らないが）、
公理系の矛盾と言うより、言語そのものに内在したパラドクスと言うべきと
思うのだが。
3次元空間で4つの基底を指定されたときにはすぐに独立でないと察知できる
わけだが、公理系の場合も或る程度それに似たことができるのではないかな？
少し前に議論されていたACなんかも、ACを一見しただけで、ZFからはそれ
（あるいはその否定）が出てくるはずはないと察知できるよね？
0305１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 12:58:00.50
>3次元空間で4つの基底を指定されたときにはすぐに独立でないと察知できる
さすがクズ哲はあたまいいねー
0307１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 13:32:33.95
なんかウヨウヨわいてきたな
0309１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 15:56:03.76
集合論を勉強しようというわけでもないのに集合論のテクニカルな部分を知りたがる

まともではない
0310１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 21:31:12.78
＞公理系の矛盾と言うより、言語そのものに内在したパラドクス
述語論理のような論理学や言語の部分も公理や推論規則を立てて
形式的に扱うべきだ、というのがツェルメロ・フレンケル・スコーレムや
ゲーデル・ノイマン以後の集合論の考え方。
そうしないと、「きっと独立に違いない」とただ信じることは出来ても独立性を証明することはできない。

＞公理系の場合も或る程度それに似たことができるのではないかな？
「或る程度」、多少はね。ただモデルがあるかどうかはっきりせず、
意味論を後から考えないといけないような場合には一般には難しい。
0311１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 21:32:44.59
＞ACを一見しただけで、ZFからはそれ
＞（あるいはその否定）が出てくるはずはないと察知できるよね？
じゃあ例えば>>248や
http://ai.2ch.net/test/read.cgi/math/1348851752/561 の疑問にすぐに答えられる？
ここは集合論を勉強する上で初学者がかなり引っ掛かりやすいポイントで、
でも個人的にはかなり微妙で面白い部分だと思う。

実際にそういう察知が出来てればカントルはあんなに苦労してなかったはずだし、
（カントルやツェルメロの時代の数学者は>>>302に比べてバカばかりだったとでも言わない限り）
ツェルメロの公理系の選択公理に対する否定的反応も起こらなかったはず。
それにヒルベルトの23問題の第1問題は連続体仮説だけど、彼や当時のその他大勢の数学者は
連続体仮説が集合論の公理系から証明も否定もできない、という可能性は
あまり深刻に考えてなかったはずだよ。
それとも連続体仮説は証明できそうに思えても仕方ないが選択公理はそうではない、
と言えるに足る理由が何かある？

歴史をあまり知らないと後知恵で当然だと思ってしまうことも、
知識が無い段階でいざ証明しようとすると全く自明でないことがしばしばある。

ニュートン曰く、" If I have seen further it is by standing on ye sholders of Giants."
私がより遠くまで見渡せたとするならば、それは巨人の肩の上に乗っていたからだ。
"Dicebat Bernardus Carnotensis nos esse quasi nanos, gigantium humeris insidentes,
ut possimus plura eis et remotiora videre, non utique proprii visus acumine,
aut eminentia corporis, sed quia in altum subvenimur et extollimur magnitudine gigantea."
Bernard de Chartres(12C)
0312１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/06(火) 08:17:04.64
>>248
>ZF の任意の可算モデルを M とします。...
>従って、M 内で AC は真。したがって、完全性定理より、ZF から AC は証明可能。
ここは単に、Mが「任意のモデル」でないので完全性定理を適用できないだけではないの？
0313１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/06(火) 11:51:04.33
そこはレーヴェンハイム・スコーレムの下降定理から
非可算でACが成立しないモデルがあったら
可算でACが成立しないモデルも取れるから良いんじゃないの？
0314１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/06(火) 17:59:38.53
>>313
ゆっくり言ってくれる？
0316１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/06(火) 21:42:40.15
>>314
L-S-下降定理:
　言語 L 上の理論 T の任意のモデル M は
　濃度κ = max(|L|, ω)の初等部分構造 N ＜ M を持つ。
　（とくにNとMは全ての閉論理式の真偽が同じになる。）

ZFの言語は可算だからκはアレフ0になる。

だから>>248の最初の文は
「ZFの任意のモデルをM'とし、その可算な初等部分構造を M とします。」
とすれば、最後の部分も
「したがって M 内でACは真、したがって M' 内でACは真、したがって、完全性定理より」
とすれば通用する。
まあその間の部分に間違いがあるから結局ダメなんだけど。
0317１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/06(火) 22:12:52.18
モデルの濃度については、可算モデルの範囲でのみ考えていいんだよ。
完全性定理の証明を読んだことがあるならば、判るはずだ。
0318１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/06(火) 22:21:02.71
あ、ZF について言えばね。
0319１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/07(水) 23:53:49.21
わしらスコーレムのパラドックスからしてよう分からん
モデルの内外って分かりにくいわ
0320１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/08(木) 12:45:18.95
モデルの内外なんて難しいことを考えるとわからなくなるよ（教科書には
そう書いてあるものが多いが）。
無限公理とベキ集合公理を満足するモデルを空集合から始めて地道に構成
して行ってみればわかるよ。
0321１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/08(木) 12:56:17.36
>>316
>「ZFの任意のモデルをM'とし、その可算な初等部分構造を M とします。」
ここでACを使っていないの？
0322１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/08(木) 20:00:37.74
集合論の言語は有限文字しかないから
論理式の集まりに整列順序を入れられる。
だからこの場合ACは無くても可算な初等部分構造を取れる。
0323１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/08(木) 20:02:56.41
というか
「Tからφが証明できる⇔Tの任意のモデルでφが真」
を示すのにACが必要だという話と、
TがACを含まないZFだという話は水準が違う話だから区別しないと。
0324１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/10(土) 12:19:33.56
>>322
それってV=Lを仮定した議論じゃない？
0326１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/10(土) 13:59:23.54
なんとまた、香ばしい話の展開だ。
0327１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/19(月) 18:51:54.49
>>298 >>300
遅レスだが、ZFCの公理の中では、正則性公理だけが（集合存在について）禁止的公理だ。
だから、正則性公理を除いた公理系が無矛盾であることはほぼ自明であるし、
正則性公理を除かない場合も、無矛盾性を示すには正則性公理だけに注意しておけばよい、
なんていうことはないの？ｗ
0328１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/19(月) 21:44:07.11
>>327
> 禁止的公理だ。

「禁止的公理」ってなんだよ。任意の公理は（お前の言う）禁止的にも非禁止的にも表現できるぞ。

> 正則性公理を除いた公理系が無矛盾であることはほぼ自明である

数学を学ばないやつってある意味無敵、の一例だな。
0329１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/19(月) 22:03:57.17
>「禁止的公理」ってなんだよ。任意の公理は（お前の言う）禁止的にも非禁止的にも表現できるぞ。
どれか他の公理を禁止的に書いてみてくれるか？
0330１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/19(月) 22:30:20.09
数学村では定義がなされない自分用語を用いた質問を繰り返すと相手にされなくなる
0331１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/19(月) 23:07:50.97
正則性公理を使って ¬∃X∀x[x∈X] が証明されるから,
"禁止的"って言うニュアンスを込めたように,俺は読める。
0332１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/19(月) 23:18:31.10
>>330
>任意の公理は（お前の言う）禁止的にも非禁止的にも表現できるぞ。
こう言ってるかれ（きみか？）は、定義がわかってるはずだよｗ
0335１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/20(火) 07:59:09.38
選択公理は整列できない集合が存在しえないと言ってるんだから
禁止的じゃないのかとか言わると困るんじゃないのかと思うんだけどね。

それに任意の集合族に選択函数が存在するという選択公理と
任意の無限ゲームに必勝法が存在するという決定の公理は矛盾するし。
0336334
垢版 |
2014/05/20(火) 08:58:02.97
任意の公理は禁止的には非禁止的にも表現できる

という>>328の主張に興味がわいたので質問しただけです。
>>328以外の方はスルーしてください。
0337１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/20(火) 09:49:10.26
流れからはずれるのですが、
正則性公理をはずすと、∃X∀x[x∈X] を公理に加えても矛盾しなくなり
ますが、これでなにかおもしろいことは起きるのでしょうか？
正則性公理をはずした時点で超集合論ができることは知っていますが。
0339１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/20(火) 16:34:29.17
>> 334
任意の集合 B について、{A_λ}_{λ∈Λ} をどれも空集合でないような集合の族とすると、それらの直積が
(∏_{λ∈Λ}A_λ) ⊂ B となるような {A_λ} は存在しない。
0343１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/20(火) 17:35:35.32
>まず公理が禁止的という表現の解説を頼む。
>>335によって粉砕された模様
0345１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/21(水) 07:45:18.33
それなら「P(A)を満たすAが存在する」形式は「¬P(A)を満たすAが存在しない」と書き換えて終わる
0346１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/21(水) 09:12:28.34
>>345
はあ？
0348１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/21(水) 10:45:12.28
>>337
∃X∀x[x∈X]を公理にすると分出公理からラッセル集合が作れるので正則公理無しでも矛盾します
0349１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/21(水) 11:12:37.03
なるほど。
∃X∀x[x∈X]で存在保証されたXをAとおいて、
B={x∈A|not(x∈x)}を考えれば不合理に陥りますね。
空集合の反対があってもよいのにと思ったのですが、
うまくいかないものですね。なぜでしょうか？ｗ
0350１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/21(水) 11:36:40.54
空集合の逆なら、∃X∀x[¬(X∈x)]なのでは？
これならどうなる？
0351１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/21(水) 11:39:52.05
それは全然だめ。対公理に反する
0353１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/21(水) 15:13:19.92
こんな超基本的なことも自分で分からないまま、
「証明は奴隷の仕事。俺は哲学徒だから物事を俯瞰的に観るのだ」などとほざいてんだろうなあ
0355１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/23(金) 23:44:33.55
皆のコメをぼーっと見てたんだけど,博士課程以上のトークしている人も居れば,
集合論の話をブルーバックス程度で聞きかじった程度の知識で無知さらけ出してる人も居るようですね。
0360１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/24(土) 21:05:36.57
>>348
> 分出公理からラッセル集合が作れる

ラッセル集合って真のクラスであって集合の元にはならないから、
分出公理からラッセル集合は作れないと思うのだが
0361１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/25(日) 13:36:36.03
>>351-352
よくわからんが X∈{X} が成り立たないような X が存在してほしい、ってことなんじゃないの？
そのためには対集合を作る操作に制限をかけざるを得ないが。
0364１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/25(日) 15:14:39.07
わざわざ
＞∃X∀x[x∈X] を公理に加え
と書くくらいなのだから
>>337は、Xをクラスではなく集合のつもりで書いてあるのでは？
0365360
垢版 |
2014/05/25(日) 15:25:33.52
ああ、理解した。色々誤解してたすまん。
0367１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/25(日) 20:51:09.33
>359
>>311はその道のプロ。
その他はだいたいふつうの愛好家。
集合論を学んでいるｗことを特別なことのように思っている若い学生が少し居るｗ
0368359
垢版 |
2014/05/25(日) 22:04:52.83
まあ>>311は俺が書いた訳なんだけど。

平均的な数学研究者よりは詳しいかもしれないけど
集合論の博士課程レベルの話じゃないよ。
学部には普通は集合論の講義は無いけど、
Kunen一冊読めば分かるレベルだからせいぜい修士初年級のレベル。
0369１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/25(日) 22:41:21.77
>>311 の一連のコメントがよいのは全体にopenな感じだからかな？
詳しいかどうかよりも。でもニュートンはいらんかったかな？ｗ
0370１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/26(月) 01:19:31.61
やっぱりKunenは有名なんだな
カナモリの巨大基数挑戦したいしKunenも挑戦したい
0372１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/26(月) 10:05:42.00
KunenとAwodeyではどっちを勉強するのがよいでしょうか
0373１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/27(火) 00:26:05.59
いや分野違うし

ほとんど数学と文学どっちを勉強するのが良いですか？って質問に近いぞ
0374１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/27(火) 00:31:05.98
>>371
新版は、
・モデル理論などの或る程度の知識を前提としているので
その分self-containedではない
・その代わり旧版よりかなり議論が整理されている。
・旧版出版後に分かって来た事実についてかなりupdateされている。
・演習問題が、旧版では章末に纏められていたけど新版では本文の間に挿入されている
・旧版の演習問題は、訳者が解答集を作成している
0375１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/27(火) 10:46:25.65
>>373
そんなに違わんやろｗ
英語と独語のどっち、くらいの違いだがや
答えてやれよ
0376１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/27(火) 11:19:46.06
オレ的には躊躇なくKunen。Awodeyは時間を無駄にする可能性が大いにある。
0377１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/08/06(水) 10:27:46.77
{}
0378１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/08/07(木) 20:18:01.68
そんなつまんないことよりも、こっちこっち↓笑える休憩タイム。


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http://blog.goo.ne.jp/nichikon1/c/aab06d5a40edbe719a91303f8cd9be11
http://blog.goo.ne.jp/nichikon1/c/ae90214bf06a9430fcfabfde25b2141f
http://blog.goo.ne.jp/nichikon1/c/677e5914e5ebf50fffbd0f963732410b
http://www.reinou.jp/bai.html
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http://www.reinou.jp
http://blog.goo.ne.jp/nichikon1

八意先生が口にしたことは絶対に起こりませんｗ
でも、人生の悩みなんて、八意先生が指ぱっちんで解決してくれます。

一応、コメントも含めてすべて読んでみてください。
☆コメントの書き込みも大歓迎です。☆
0379１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/09/11(木) 17:21:24.81
大平さんの『関数のはなし』を読んでいたら、
その昔、関数とは1対1または多対１の因果関係を指すとはかぎらず、
何価関数なんて言葉もあったそうで、現在の意味での関数は写像と
読んでいたということが書いてありました。

しかし集合論の発展によって、従来のそうした概念は棄てられ、
現在の意味での関数という概念になったということが書いてあります。

詳しいことはその本では触れていません。この経緯について簡単に
解説してくださったり、その点について詳しく書かれている集合論の
著書をご存知でしたら、ぜひとも教えていただきたいです。
0381１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/09/11(木) 19:14:28.83
ディリクレの定義だね（別の教科書で間接的に知ったから詳しくはわからないけど
どうもいろんな数学者ごとの類似の概念がいくつも混在していた時期があったらしい
0382１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/09/11(木) 21:35:24.64
>>379
へーッ。昔の関数概念の方が自然で好きだな。
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