Xを集合とし、X上の整列順序全体の集合を X’とする。
整列可能定理とは、任意の集合Xに対してX’≠φが成り立つということ。

選択公理とは、添え字付けられた空でない集合の族(A_λ｜λ∈∧)に対して
Π_λ A_λ ≠ φが成り立つということ。

選択公理を証明するとはすなわち、単にΠ_λ A_λ ≠ φを示すことに他ならない。
Π_λ A_λ ≠ φを示すには、空でない集合YであってY⊂Π_λ A_λを満たすものを
1つ作れば十分である。

添え字付けられた空でない集合の族(A_λ｜λ∈∧)は(∪_λ A_λ)’≠φを満たすとする。
写像 F：(∪_λ A_λ)’→ Π_λ A_λを以下のように定める。
まず、ρ∈(∪_λ A_λ)’を任意に取る。このとき、(∪_λ A_λ, ρ)は整列集合である。
各λ∈∧に対して、f(λ)：＝min A_λとして写像 f ：∧→∪_λ A_λを定める。
ただし、右辺のminは(∪_λ A_λ, ρ)におけるminとする。従って、このfはρごとに定まる。
F(ρ)：＝f として F(ρ) を定義すれば F(ρ)：∧→∪_λ A_λである。
特にF(ρ)∈Π_λ A_λである。ρ∈(∪_λ A_λ)’だったから、以上より
写像 F：(∪_λ A_λ)’→ Π_λ A_λが定義できた。
Y＝{ F(ρ)｜ρ∈(∪_λ A_λ)’}と置けば、(∪_λ A_λ)’≠φにより Y ≠ φ である。
また、F：(∪_λ A_λ)’→ Π_λ A_λにより Y ⊂ Π_λ A_λ である。
従って φ ≠ Y ⊂ Π_λ A_λ となったので、Π_λ A_λ≠φである。以上より、次が言えた。

・添え字付けられた空でない集合の族 (A_λ｜λ∈∧) が (∪_λ A_λ)’≠φを満たすならば、
　Π_λ A_λ ≠ φである。

系：整列可能定理が成り立てば選択公理も成り立つ。