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615コメント174KB

集合論について

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0001１３２人目の素数さん
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2013/11/18(月) 04:05:17.08
いくらなんでも数学板に集合論全般を扱うスレがないのはおかしいだろ
0027１３２人目の素数さん
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2013/11/28(木) 01:54:04.39
わかりやすいのと
でたらめ書いて馬鹿にわかった気にさせるのは全然別の事だからな
0028１３２人目の素数さん
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2013/11/28(木) 06:47:09.10
ふーん
0029狸 ◆2VB8wsVUoo
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2013/11/28(木) 07:04:48.59
狸

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0031１３２人目の素数さん
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2013/11/28(木) 10:35:29.26
集合論とは実数について考えるための道具だったのですね
哲学の方から集合論に興味持ったために長いこと勘違いしてました
0032１３２人目の素数さん
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2013/11/28(木) 19:45:11.39
>>30
元気ですか？
0034１３２人目の素数さん
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2013/11/28(木) 20:20:00.33
竹内薫の本バカにされてるけど
そもそも不完全性定理って数学の定理じゃないからｗ
>>31
数学者の使う実数とは違うよ
やるだけ無駄　役に立たない
0036狸 ◆2VB8wsVUoo
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2013/11/28(木) 20:28:12.90
>>32
はい、毎日元気に馬鹿板潰しに精を出してますぅ〜

ケケケ狸
0038狸 ◆2VB8wsVUoo
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2013/11/28(木) 20:55:24.63
運営の失敗と言いたいんだろうか

ケケケ狸
0039１３２人目の素数さん
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2013/11/28(木) 22:10:37.34
ZFCってでかすぎるんだよね
成り立つかどうか胡散臭い定理が結構ある
全体的にあまりに空想的な命題が多すぎて設定次第でどうにでもできてしまうからね
そこが人工的な感じがして今一本気でやればい部分がある
0040１３２人目の素数さん
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2013/11/28(木) 23:25:10.92
>>36
それはよかった、これからも元気に生きてください
0042１３２人目の素数さん
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2013/11/29(金) 20:56:22.16
>>12
> 集合論って、情報系>哲学系>数学系の順に人気があるイメージ

こういう事を書く人って集合論も情報系も全然知らないって自白しているも同然ですね。
情報系にとって興味があるのは基本的に計算可能な対象ですから集合でも高々可算無限濃度まで。
連続体濃度以上の一般の集合は情報系にとって関心はありません。
従って、連続体の濃度がどうだとか巨大基数とかが関心の中心になっている現代の集合論は
情報系の関心の範囲外ですし情報系での応用もありません。
同様に、超準解析を始めとして一般の無限集合を用いるモデル論も情報系にとってはほぼ無縁です。
情報系で関心の高い「モデル論」と言えば有限モデル論(finite model theory)です。

集合論と同様に基礎論系統の分野でも証明論、特にGentzen流の還元的証明論なんかは確かに情報系で
関心のある人も多い（といっても、そもそも理論計算機科学屋そのものが情報系では極めて少数派）ですが。

情報系つまり理論計算機科学屋にとって通常の公理的集合論や一般のモデル論なんて関心ありませんよ。
せいぜい情報系のポストにもぐりこんでいる基礎論屋さんだけです、そんな巨大なサイズの枠組みに興味を持つのは。
0043１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/29(金) 22:29:25.02
>>39
ZFよりはるかに弱い集合論もあるし、それなりに研究もされてるよ

たとえば新井敏康「数学基礎論」にはKripke-Platek集合論の
証明論的分析が載ってる。
同じ本の集合論の章に載ってる「BST」も弱い集合論の一つ。
0044１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/30(土) 03:05:01.88
うお！補足されてる(>>42)、ありがたいですね
実際俺は"集合論も情報系も全然知"らんわ

けど、集合論を勉強しようとした時に内容が最もよく整理されてて
役に立ったのは"情報"分野の本棚ですね
次に哲学。"この公理を採用する正当性は何か？"みたいな
テーマが議論されてて深さという点ではダントツだった
数学の本棚が一番しょぼかった
素人目からは。
0045１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/30(土) 03:14:41.90
↑"しょぼい"は悪い表現だった
内容は豊かでした

なんていうか、公理を定めてどんどん演繹してくんだけど、
公理を疑ったりみたいな話題にはノータッチだった
俺はそこに一番興味があったんだけど
0046１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/30(土) 06:55:35.64
ほんとに素人目だな
ここに無料テキストが山ほどあるから勉強しなすこと
http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&;version=1.0&verb=Display&page=past&handle=euclid.pl
0047１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/30(土) 08:11:14.00
集合は集合か？
0049１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/30(土) 09:16:31.95
公理を疑うというのはナンセンス。
数学は公理を定めてどんどん演繹してくことにより、なにが導かれるかを明確に示してくれる。
それが目的にあわないなら別の公理を用いればよい。
それがいい加減な思考ではなくて論理的に演繹により示されるのに、なにが不満なんだか。
選択公理のない集合論、無限公理のない集合論、基礎の公理のない集合論(や、これらの否定を公理に持つ集合論)などなど、研究されていて面白い結果も導かれている。
0050１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/30(土) 11:53:19.60
>>46
いきなりそのシリーズは無理や

案外キュネンの和訳に載ってる数学の哲学的な部分が良いかも
0053１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/30(土) 19:16:04.59
>>46
助かります！
便利な情報はもっと目立って存在してくれればいいのにと思う
0054１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/30(土) 19:32:58.91
>>49
数学の体系を「この公理を採用したらこれが演繹できる」っていうペアの平等な寄せ集め
と見るならばそうかもしれないけれども、
現実の"数"の性質をどれだけ忠実に表現しているかっていう視点で
公理系を見ることには意味があると思うんです
0055１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/30(土) 19:35:46.55
そういうことは「公理を定めてどんどん演繹して」いかないとわからないよ
もちろん、現実の"数"の性質について知るためには、現実の数学について知らなければならないし
0056１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/30(土) 20:03:26.49
>>53
基礎論は無料でテキストが公開されている場合が多いから
洋書なんかは購入前に調べたほうがいいよ
0058１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/30(土) 20:32:09.82
基礎論やるんだったら以下のページはおさえとくべき

集合論の公理詳細
http://us.metamath.org/index.html

論理体系のリスト
http://home.utah.edu/~nahaj/logic/structures/systems/index.html

計算量クラスのリストとその図
https://www.math.ucdavis.edu/~greg/zoology/relations.html
https://www.math.ucdavis.edu/~greg/zoology/diagram.xml

逆数学とかの小型の数学体系とか
http://rmzoo.uconn.edu/diagrams.html
0059１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/30(土) 21:17:47.76
>>58さん
ありがとうございますm(_ _)m
0062１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/12/16(月) 21:15:09.09
Complexity Zoo とか、種類が多すぎてとても追っかけきれそうもない
どういう態度で臨めばいいんだろう…？
0063１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/12/27(金) 05:54:12.77
a?aa?aaaaaaaaa
0064１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/12/28(土) 11:03:16.00
>>62
文字通り動物図鑑とか昆虫図鑑を見るような態度ではないですか？
動物や昆虫と違うのは、いくらでも人工的に新種を作り出せることですが。
0065裁判負一声会さくら接骨院親分歌代英二
垢版 |
2013/12/28(土) 12:52:09.17
qaz
0066１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/01/05(日) 06:40:16.83
素人なんだけど純粋な疑問がある
空集合って「任意の集合の部分集合」なんだろ？
それで居て空集合は「内部に何も含まない」だろ？
?∋?なのか？　???なの？
どっちなのか分からない
0068１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/01/05(日) 06:53:32.25
空集合は元を含まないので、空集合が空集合の部分集合であっても矛盾しない。
0070１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/01/05(日) 15:20:39.47
>>66 集合をビニール袋だと思え。
空集合は何も中身が入っていないビニール袋だ。

x∈A はAという集合にxが含まれている。
A⊂B は集合Bが集合Aを覆う。（含む含まないという言葉を使わない方が理解しやすい）
BがAを覆うというのは、Bの袋から要素を取り除くという操作をしたかもしくは何も操作しないときに
Aにできるということ。

空集合は空集合を覆う。（φ⊂φ）
これは、何もないビニール袋に何も操作しなければなにもないビニール袋のままであるということ。
0072１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/01/30(木) 10:57:19.45
初コメです。
集合論・数理論理学ガチでやりたいんですけど,不完全性定理終えた今からどの分野やったらいいんですかね?
キューネンの独立性証明の集合論にも興味ありますし,様相論理にも興味あるし,・・・
山本新の｢数学基礎論｣は最後までやったほうがいいのかな
0074１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/01/30(木) 21:58:43.73
やりたい分野を片っ端からやるしかないでしょ
0076１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/01/31(金) 01:50:36.01
了解
今一番興味あるのは,｢巨大基数の集合論｣ですけど,結構なハイレベルな気がします。
前提知識はどの位いるのかな？
0078１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/01/31(金) 16:20:35.11
とある場所で
「対角線論法は間違ってる！
　なぜなら実数は無限小数ではないからだ
　無限小数は全ての桁が確定しないから数ではない
　自然数と実数は１対１対応”し続けられる”」
と吠えてるヤツがいるんだが

実数の完備性（コーシー列の収束）は否定してないらしいが
完備性から非可算性も導かれることが全然分かってない
どうにかならんかね？
0079１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/01/31(金) 16:26:50.41
害がないなら珍獣の生態観察をして楽しむのがよろし
0080１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/01/31(金) 19:31:49.39
>>76
二回の反復強制法と多少のモデル理論が分かってれば良い

KunenじゃなくてJechで勉強した、というパターン以外は
キューネンより先にその本読むのはほぼ無理だと思うよ
0084１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/01(土) 01:15:55.15
>>77,80
あざっす


それにしても,公理的集合論,数理論理学を自主勉強でやってきた物だから,
自分がどの程度出来ているor出来ていないのかがわからない
0085１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/01(土) 18:03:01.22
自主勉強の教材の命題を自力で証明できたらその教材は修了
でいいんじゃない？
0087１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/04(火) 17:16:47.27
直観主義解析学でいうところの「実数」は通常の意味での実数とはまったく別物だから注意してね
0092１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/06(木) 00:30:44.88
自然数は存在するけど負の数や有理数は存在しない、というのは
ちょっと過激すぎるよねえ

まあ、体をなさずモノイドにしかならない自然数は軽視されがちだから
その点はありがたいけど
0093１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/08(土) 19:06:33.73
田中の公理的集合論をそらで復唱できるぐらいになるっていうのは修士レベル?
公理的集合論辺りでは,
どの程度出来て学部4年・修士・博士レベルっていうか知りたいんですけど・・・
0094１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/08(土) 19:13:02.30
1回述語論理の完全性定理の証明抑えて学部3年ぐらい,不完全性定理の証明まで
そらで言えるようになって学部4年or修士1年じゃないのかなぁって
個人的には思ってるんですが。
それと,公理的集合論を深くやる人は,数理論理学は
どの程度抑えておいたほうがいいのかも教えて欲しいです
自然数論の無矛盾性の証明は是非抑えておきたいと思いつつも
全然手を付けていないっていう事もあります・・
0100１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/16(日) 16:52:56.34
形式主義を意識しながら圏論を勉強していきたいのですけど,
BGの公理系を学んだ後に圏論やったら見方がどういう風に変わりますかね？
BGの集合論やBGとZFCの関係について学べる本・論文あれば教えてください。
0102１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/22(土) 09:10:34.22
BGの一般存在定理あたりかな。
変数は全て束縛、クラス束縛変数は含まない式Aならクラスとして存在。
系として、任意のZFCの式についてそれを充たすクラスの存在がBGで言える。
公理に関する簡単な議論でZFCで証明できるならBGで証明できる。
でも、ZFCに関するかぎり強さは同等。
BGが書いてある本ならほとんど書いているはず。

倉田令二朗、篠田寿一公理的集合論の初めの方など

圏論の見方がどう変わるかはわからない。
クラスに意識はすると思うが。
0103１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/22(土) 23:08:24.51
別に大して見方は変わらず、圏論を集合論的に定式化する方法の
一つを学べるだけだよ
0105１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/23(日) 14:48:40.14
クラスなんて大したもんじゃないよ

集合全体の集まりをＳとすると
クラスというのは２＾Ｓの要素
そのうちもとのＳに対応するものを
除いたのが集合以外の固有クラス

クラスの要素は集合だから
クラスを要素とする集まりは
クラスですらない
0106１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/25(火) 23:27:59.31
明日の16時39分頃に気をつけて下さい。
日本にも世界にも巨大地震が起きませんように。
皆さんも一緒に祈って下さい。

太陽フレアのＸが発生したそうです。
太陽黒点数の100越えが24日間継続しているようです。
0107１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/28(金) 02:35:59.16
セマンティクスを使わずに
３つの公理スキーマとＭＰだけを使って
命題論理式の証明を自動で導く
アルゴリズムの名前を教えてください
0109１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/28(金) 14:36:25.68
命題論理が完全であり決定可能であるという証明で使われている手法で定理を生み出していくアルゴリズムとはまた違うアルゴリズムなんですか？
0111107
垢版 |
2014/02/28(金) 16:34:36.53
スレ違いスンマセン

論理学スレはどれも荒れていて
こちらのスレの雰囲気が良かったので

そういうようなアルゴリズムがあったら教えて
あるいは、関連する研究があったら教えて
という意図での質問でした

誰かしら研究はされてるはずと思っているのですがなかなか見つからない

ゲーデル数を使ったアルゴリズムは読んでいる教科書で軽くスケッチされているけど
細かい部分がよくわからないのでレシピがあったら読みたい

たぶん直接的に組むと指数関数的爆発だろうから
素人目には枝刈りのやり方とか研究のしがいがありそうな気が
0112１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/03/01(土) 01:39:26.64
>>110
"順に"っていうならゲーデル数で考えたくなりますけど,ゲーデル数は理屈上の概念であって
実用上あんな巨大な数はまず計算が間に合わないでしょうから っていうのが私の印象
0113１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/03/01(土) 01:51:08.20
変数記号を無限個 {x1、x2、x3、x4、……} 用意するんじゃなくて
{x'、x''、x'''、x''''、……} で代用してコード化すると有限文字（N文字）しか要らないから、
それぞれの文字を0〜N-1と対応させてそのまま読むと
m文字の論理式はN進法でm桁のゲーデル数を対応させられる。
つまり N^m くらいしか要らない。

スマリヤンの本にあるゲーデル数化の方法だけど
m文字以下の論理式はある定数c、kに対してc^(m/k)程度はあるから、
このコード化は割と良い線言ってると思うよ。
0115１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/03/05(水) 11:46:52.07
WangのアルゴリズムでLKの証明は作れるから
LKとヒルベルトスタイルの同等性の証明をじっと見つめれば
0116107
垢版 |
2014/03/05(水) 20:56:52.52
Wang のほうの資料は見つかったけど
同等性のほうの参考文献みつけられません…

同等性はセマンティクスを経由せずに証明できますか？
Deduction Theorem や完全性定理を仮定せずに証明できそうですか？

３つの公理スキーマについては、どの３種類を選ぶかは固定しておりませんが
その手法はそれでも適用できそうですか？
0117107
垢版 |
2014/03/07(金) 22:24:34.33
セマンティクスを経由しないでという意味が分かりづらかったので説明します

３つの公理スキーマ
（Ａ１） Ｂ⇒（Ｃ⇒Ｂ）
（Ａ２） （Ｂ⇒（Ｃ⇒Ｄ））⇒（（Ｂ⇒Ｃ）⇒（Ｂ⇒Ｄ））
（Ａ３） （¬Ｃ⇒¬Ｂ）⇒（（¬Ｃ⇒Ｂ）⇒Ｃ）
とＭＰからなる公理系から出発すると、Deduction定理などを経由して完全系定理を示すことができて
この公理系はトートロジーの集合と一致することが示せます

一方、ルカシーヴィッツの公理系
（Ｌ１） （¬Ｂ⇒Ｂ）⇒Ｂ
（Ｌ２） Ｂ⇒（¬Ｂ⇒Ｃ）
（Ｌ３） （Ｂ⇒Ｃ）⇒（（Ｃ⇒Ｄ）⇒（Ｂ⇒Ｄ））
も同等の性質を持つ公理系らしいので、完全性定理の証明ができるはずですが
導くのにヒラメキが必要そうで、自分では証明を構成できていません

自分の第一の動機は、ルカシーヴィッツの公理系を出発点にした
完全性定理の証明を見つけたいので、コンピュータを援用したいという動機です

そして、一般の公理系は、適当に３つの公理スキーマを指定して考えることができるので、
適当に３つの公理スキーマが与えられたときに、それが完全性定理を満足するかを
ヒラメキなして自動的に判断するアルゴリズムが必要だろう、というのが第２の動機です

よろしくお願いします
0118１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/03/07(金) 22:56:10.71
二つの体系S1、S2が同等であることを確かめるには

S1の公理がS2で証明できることと、S1の推論規則がS2の推論を（何回か）使ってできること
S1とS2を入れ替えて上と同じこと

を確かめればよい
0119107
垢版 |
2014/03/07(金) 23:13:42.15
(A1)〜(A3) が定理であることが示せれば
それを使って完全性定理を示せ、
逆に完全性定理を示せるなら
(A1)〜(A3) が定理であることが示せるので、
>118 の条件と >117 の条件は同じ意味になると思います

その >118 での確かめるアルゴリズムがあったらいいのですが…
0120１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/03/08(土) 01:52:42.79
このスレはちょっと活発そうなので,ここで聞いてみたいんですけど,
公理的集合論･数理論理学･証明論･モデル理論と 代数･幾何･解析を扱う方の数学をまたぐ分野ってありますか？
そういう分野,研究にかなり興味あるんですけど。
数学基礎論の理論を代数･幾何･解析の土俵で扱うことが出来るような研究にも興味あります(逆も勿論興味あります)

何で現在,こんなにも｢情報数理と純粋数学｣って住み分けが進んでいるんだろうなっていう気分です。
0122１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/03/08(土) 02:15:11.17
その言葉聴いた事ある・・・でも知らない・
特殊な微積分を構築するんですか・・
0126１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/03/08(土) 12:48:38.78
MSRIって凄いですな 日本で言えば,京大のリポジトリで過去のRIMS研究集会の講演内容を公開してる感じなのかな
0127１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/03/08(土) 16:26:39.54
>>107と>>117でだいぶ言ってることが違ってる気がするけど。
>>116までを読む限り、公理系が完全なのは前提みたいな書き方だから
2^n通りを虱潰しに調べりゃ良いじゃないか、ということになる。

なんで命題論理の公理図式は一般に3つだと思うようになったのか知らないけど
その体系の公理図式が3つであるのは偶然で、大した意味は無いよ
メレディスの図式みたいに一個からトートロジーを全て導き出せるようなものもある

ウカシェヴィチの公理系から上の三つを頑張って示すか、
ウカシェヴィチの公理系が完全であることの証明が載ってる文献を探すのが一番近道だと思う。

＞ヒラメキなして自動的に判断するアルゴリズムが必要
そんなアルゴリズムあるのかなあ。そもそも無い可能性もある気がするけど。
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