BGの一般存在定理あたりかな。
変数は全て束縛、クラス束縛変数は含まない式Aならクラスとして存在。
系として、任意のZFCの式についてそれを充たすクラスの存在がBGで言える。
公理に関する簡単な議論でZFCで証明できるならBGで証明できる。
でも、ZFCに関するかぎり強さは同等。
BGが書いてある本ならほとんど書いているはず。

倉田令二朗、篠田寿一公理的集合論の初めの方など

圏論の見方がどう変わるかはわからない。
クラスに意識はすると思うが。