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πって本当に無理数なの？
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0001１３２人目の素数さん
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2012/03/14(水) 20:04:46.44
もしπが有理数だったら、文科省泣いちゃうよ？
0085１３２人目の素数さん
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2013/09/15(日) 17:28:21.58
>>83　訂正

　a_n = ･･････
　　　= F(0) - F(p/q)cos(p/q) + F '(p/q)sin(p/q),

　そうすれば sin(p/q) = sinπ = 0, cos(p/q) = cosπ = -1, だから、
0087１３２人目の素数さん
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2013/09/21(土) 01:44:40.12
>>86

背理法でπが代数的だったと仮定するとiπも代数的だから -1 = e^(iπ) = (超越数）、となって矛盾を生じることから、πは代数的ではなく超越数だった。（73字）
0089１３２人目の素数さん
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2013/09/24(火) 14:10:04.58
>>5
まだ確認出来てはいないが、π^πは超越数で無理数の筈。
例え有理数だったとしても、分子が1になることはない。
π^πみたいなのになると、バリバリの解析でもしないといけないんだよな。
お手製の武器では不十分だ。まだ武器がない。
0090１３２人目の素数さん
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2013/09/24(火) 14:19:02.53
>>5
>例え有理数だったとしても、分子が1になることはない。
って当然かw
あ〜、π^πは確実に無理数だわ(多分超越数)。
ただ、とんでもない証明になりそうだ。
0091１３２人目の素数さん
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2013/09/29(日) 08:45:15.41
〔リンデマンの定理〕（1882）

　ｎは自然数、
　α_1, α_2, ･････, α_n, c_1, c_2, ･････, c_n は代数的数、
　α_1, α_2, ･････, α_n は相異なる。
　ｅはネイピア数（自然対数の底）、とする。このとき、

　c_1･e^(α_1) + c_2･e^(α_2) + ･･････ + c_n･e^(α_n) = 0

　⇒　(c_1, c_2, ････, c_n) = (0,0,･････,0)
0092１３２人目の素数さん
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2013/09/29(日) 09:11:04.93
>>86

〔系〕
　α（≠0）が代数的ならば、ｅ^α は超越数である。

(証明)
　リンデマンの定理において、n=2, α_1 = 0, α_2 = α とすると、
　１とｅ^α はＱ上一次独立。
0094１３２人目の素数さん
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2014/08/03(日) 01:23:31.47
運営乙
0095１３２人目の素数さん
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2014/08/29(金) 23:43:57.92
言葉の使い方間違ってたら悪い

どんな方法でも代数的に表せない数って存在すんの？
ある数が代数的に表せないことはどうやって証明すんの？
0096１３２人目の素数さん
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2014/08/30(土) 00:20:53.78
代数的ってのは広い意味での代数ね
0097１３２人目の素数さん
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2014/08/30(土) 00:23:13.20
自分から傷を広げなくてもいいよ
0098１３２人目の素数さん
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2014/08/30(土) 00:29:07.05
>>97
うーん。例えば円周率とかだと
π/4＝1-1/3＋1/5-1/7＋……
みたいな数とかで表せるらしいじゃん？
こういう感じに超越数でも何らかの形で代数的に表せるのかなぁって思って
数学詳しくないから教えてほしいんだ
0100１３２人目の素数さん
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2014/08/30(土) 00:43:31.37
>>99
うーん。
うまく言えないけど
加算集合のように、自然数が1から無限まで(有限でもいいが)続いていくのと同じような形を要素として表せる数かな
0101１３２人目の素数さん
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2014/08/30(土) 00:45:55.31
現れる無限に続いていく数は規則的に並んだ数ね。規則的ってなに？と言われるかもしれんが
0103１３２人目の素数さん
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2014/08/30(土) 01:11:09.43
>>102
f(x)＝の形で1番目の数から無限番目まで書ける数たちを規則的に並んでいる、とするのはどうだろう
フィボナッチ数列みたいに初期条件をつけるのもあり

無理数の集合は加算集合ではないのだからすべての実数が加算集合のもので表せるはずがないと言う人がいるかもしれんが
>>101の「規則」たちの集合が不可算集合になっていたり、>>98の「何らかの形で代数的に表せる」の「何らかの形」が不可算なのかもしれないのかなとも思ったり
0104１３２人目の素数さん
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2014/08/30(土) 01:17:49.61
エスパーしたぞ
f：俺にとってきれいで規則的っぽい関数、広い意味での代数な感じ
{an}：俺にとってきれいで規則的っぽい数列、広い意味での代数な感じ

問：lim[n->∞]f(an) で表せない数って存在すんの？
0105１３２人目の素数さん
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2014/08/30(土) 01:36:21.25
>>103
f(x)=(x=1のとき1, x=2のとき4, x=3のとき1, x=4のとき5, x=5のとき9, …)
のような「f(x)=の形」の（無限の長さの）規則はあり？
0108１３２人目の素数さん
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2014/08/30(土) 02:08:08.34
>>107
だって初期条件で無限個を設定してしまったらf(x)が関数じゃなくなるじゃん
関数からはじき出される数の列を規則的であると言うことにする、ていう意味
0111１３２人目の素数さん
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2014/08/30(土) 15:01:01.28
まず、そういう疑問は脇に置いておいて
きちんとした数学の記述が出来るようになる練習をした方が良いよ

>>110
何らかの形で表せない関数って存在するの？
とか言われても「何らかって何だよ　はっきりさせろ」としか言いようがない。

f(11365987.88913416451464652196.........=9871522649542.541026487973645
みたいに非可算個の全ての実数値について値を列挙するのを認めてしまうと
そういう風に表せない関数なんてある訳ない

ただそれもあんまりだから一応答えておくと、
10^10^1000000000文字以内とか、とにかく有限文字で定義できるような数は
定義の表現の数が可算個しかないのだから可算個しかない。
だから何かしら「定義できない」実数が存在することになる。
具体的に一つ挙げてみろ、というのはできない。
何故かは考えてみれば分かると思う。
0113１３２人目の素数さん
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2014/08/30(土) 16:36:49.19
>>111
「定義できない」実数は存在しなくなるんじゃないかと思っていたんだけど存在するのかぁ
加算文字で定義できる数は加算個ってことだよね
ありがとう
0114１３２人目の素数さん
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2014/08/30(土) 16:41:15.65
言葉間違ってたかもしれん
加算文字、加算個はたとえ無限文字、無限個になったとしても自然数の個数と同じ濃度の無限って意味ね
0116１３２人目の素数さん
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2014/08/31(日) 03:58:59.21
典型的な屑哲の頭の中を垣間見れた
やはり一度は数学的訓練を積んで厳密思考の雛型を知っておく必要があるわ
こんなこと言うと屑哲は「偏見に囚われて自由な発想が出来なくなる」などと反論するかもしれないが
0117１３２人目の素数さん
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2015/03/03(火) 14:11:08.83ID:HSC4tz3J
良スレ
0119１３２人目の素数さん
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2015/04/04(土) 22:00:39.90ID:yXv/8fyN
1947 Ivan Morton Nivenが証明
0120１３２人目の素数さん
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2015/04/04(土) 22:07:55.99ID:tpyFwMb+
超越数です
0121１３２人目の素数さん
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2015/04/08(水) 04:55:04.31ID:lKr1fw/Y
remniscateの周長についても同様の証明で超越性がいえますか
0122１３２人目の素数さん
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2015/05/23(土) 23:23:40.07ID:+CLWnHZx
大学入試まで、πを使った計算をやたらさせるくせに、
ほとんどの人は、πがどうやって割り出されたのかは知らない〜
自分も数学専攻じゃないから知らないよ。
0126１３２人目の素数さん
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2015/07/26(日) 00:38:33.47ID:vI5J3CIy
>>125
その円周、割り出すのにπ✖️直径という妙なコトになってるだろ
0127１３２人目の素数さん
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2015/07/26(日) 13:10:05.89ID:vI5J3CIy
その円周、割り出すのにπ×直径という妙なコトになってるだろ
0128１３２人目の素数さん
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2015/07/26(日) 16:24:29.55ID:QJuODZfq
πを求めるのに、円周をその式使って計算するヤツなんかいねーよ。
0129１３２人目の素数さん
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2015/07/26(日) 19:34:15.00ID:ssq/U+Ln
単位円の円周
0131１３２人目の素数さん
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2016/09/17(土) 16:56:47.98ID:jLm9Vy8U
あからさまに無理数やろな。

円に接する三角形に一つ足して四角形にして、というように角を増やしていくと、無限大角形になるとするよね。

すると極限として円に近づくやろ？

でも円そのものにはならん。
つまり、円と完全一致はせんやろ？

だから無理数やな。
0132131
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2016/09/17(土) 17:41:32.23ID:jLm9Vy8U
131やけど、接するのは、内接でも外接でもどっちでもええよ。
0133１３２人目の素数さん
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2017/05/16(火) 14:32:15.90ID:S852pRqt
無理数の証明ってどうやるの？
0145１３２人目の素数さん
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2017/05/26(金) 18:36:12.64ID:mJohJ2SQ
世の中には背理法を使うと発狂する人たちがいるらしい。
0165１３２人目の素数さん
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2018/11/23(金) 00:44:50.19ID:eRIDJVQi
>>162

π は {(x+1)/8}^4 -4{(x+1)/8}^2 +1 = 0 の根だから代数的数ですよん

π = 4(√6 -√2) -1 = 3.1411047


π は {(5x-13)/8}^4 -70{(5x-13)/8}^2 -192{(5x-13)/8} +73 = 0 の根だから代数的数ですよん

π = {13 +8(2√6 -2√2 -√3)}/5 = 3.1416025
0167１３２人目の素数さん
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2018/11/24(土) 12:00:21.93ID:OpCiwKZy
>>162 >>164

x^4 -10x^2 +1 = 0
　π = √2 + √3 = 3.146264

x^6 -10x^4 +x^2 +3 = 0
　π = 3.141314

x^8 -10x^6 +x^4 +3x^2 -2 = 0
　π = 3.141650

x^10 -10x^8 +x^6 +3x^4 -2x^2 +7/2 = 0
　π = 3.1415907
0171１３２人目の素数さん
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2018/12/05(水) 06:45:28.53ID:fLK6/i8S
π = (10 - 3/23)^{1/2} = 3.1415864
π = (31 + 1/155)^{1/3} = 3.1415985
π = (97 + 9/22)^{1/4} = 3.14159265
π = (306 + 1/51)^{1/5} = 3.14159250
0173１３２人目の素数さん
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2018/12/06(木) 03:42:41.70ID:9xq/7gl/
P = ln(640320^3 + 744)/√163
はπと30桁一致するが、πとは異なる超越数である。

[x] はxを超えない整数とすると
N = Σ(n=1,∞) [ n･e^{(π√163)/3} ] / 5^n
は 10^9 桁以上の精度で整数200100と一致するが、整数ではない。


M >>1 とすると、
Q = ln(10)･((1/M)Σ(n=-∞,∞) 10^{-(n/M)^2})^2
はπと (πM/ln(10))^2 桁一致するが、πとは異なる。

「円周率について語り合おう【π】」- 017
0174１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/07(金) 02:50:27.65ID:tc+suZZS
>>162

πは x^5 - 97x - 9/7 = 0 の根だから代数的数ですよ？
π = 3.1415940

>>171

π = (97 + 9/22)^{1/4} = 3.1415926525
は大昔に S.Ramanujan が発見してます。

他にも色々あります。
π= (63/25)[1 + 10/(7+15√5)] = 3.1415926538
π = (99^2)/(2206√2) = 3.141592730
0178１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/14(月) 04:53:25.54ID:VbLIcfRT
祖沖之が錬金術師だったら

約率　(Ti)/(N)
蜜率　355/(Nh)

と言ったかも。
なお、355番元素は未発見。
0179１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/15(火) 00:10:43.29ID:uJxU5NAt
>>98
フーリエ級数展開
　π-θ = 2Σ[n=1,∞] sin(nθ)/n　　(0<θ<2π)
θ = π/2 とおくと
　π/2 = 2Σ[n=1,∞] sin(nπ/2)/n = 2Σ[m=1,∞] (-1)^(m-1) /(2m-1),
0180１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/04/29(月) 01:37:10.72ID:3qGFFixv
πは中間子です。

　種　類　　　　　中間子（ゲージボゾン)
　　　　　　　　　　　π±　　　　　　　　　π°
　---------------------------------------------------------------
　電　荷　　　　　　　±e　　　　　　　　　　　0
　クォーク組成　　π+ = ud~, π- = u~d,　　π°= (uu~-dd~)/√2,
　質　量　　　　　139.5700×10^6 [eV]　　　134.9764×10^6 [eV]
　寿　命　　　　　2.603×10^(-8) [s]　　　　8.4×10^(-17) [s]
　スピン　　　　　　　0　　　　　　　　　　　　　0　　　　　　　(スカラー ボゾン)
　アイソスピン　　　　1　　　　　　　　　　　　　1
0181１３２人目の素数さん
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2019/05/09(木) 02:41:51.87ID:7Q6cd3gq
πは（芳香族）有機化合物中の電子軌道です。

・C-2p軌道(2p_z)が重なって生じる。

・原子同士の場合、σ結合の60%ぐらいしか安定化しない。（エチレン）
　　∵　電子雲が平行なのでσ結合よりも重なりＳが小さい。

・Cの数が多いときは平面状に広がって非局在化する。このため（超高圧でない場合）エネルギー的に有利。
　　例：グラフェン、グラファイト

・面対称性により、σ軌道や内殻軌道と直交している。
　クーロン積分・交換積分など低次の積分は０である。
　このため孤立性が強く、π電子だけを考慮する近似が可能。（ヒュッケル近似）
0182１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/05/16(木) 04:10:00.34ID:ZVSQZSvn
まとめ
　22/7 = π + 1.264489E-3　　(バビロニア)
　223/71 = π - 7.47583E-4　　(アルキメデス)
　377/120 = π + 7.401308E-5　　(プトレマイオス)
　355/113 = π - 2.667642E-7　　(祖沖之)

103993/33102 = π - 5.77891E-10
104348/33215 = π + 3.31628E-10

103993/33102 (1個) と 104348/33215 (2個) の「平均」
　312689/99532 = π + 2.91434E-11

103993/33102 (3個) と 104348/33215 (5個) の「平均」
　833719/265381 = π - 8.715467E-12

103993/33102 (4個) と 104348/33215 (7個) の「平均」
　1146408/364913 = π - 1.61074E-12

・連分数表示
　3 + 1･1/{6 + 3･3/[6 + 5･5/(6 + 7･7/(6 + ････))]}

>>15
　グレゴリー・ライプニッツ級数 4arctan(1) は収束が遅い。
0183１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/05/18(土) 08:02:41.74ID:SPl7kJbB
〔問題〕
　10 - 7/48 < 6ζ(2) < (√2 + √3)^2　を示せ。

ただし　ζ(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + ････ = Σ[k=1,∞] 1/kk　である。


〔系〕
　3.139134 < √{6ζ(2)} < √2 + √3 = 3.146264
0184１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/05/18(土) 08:04:21.99ID:SPl7kJbB
右
ζ(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + Σ[k=4,∞] 1/kk
　< 49/36 + Σ[k=4,∞] 1/(kk-1/4)
　= 49/36 + Σ[k=4,∞] {1/(k-1/2) - 1/(k+1/2)}
　= 5/6 + 19/36 + 2/7
　= (5 + 205/42) /6,

∴　6ζ(2) < 5 + 205/42 < 5 + 44/9 < 5 + 2√6 = (√2 + √3)^2,

　6 - (22/9)^2 = 2/81 > 0　より　√6 > 22/9,

左
ζ(2) = Σ[k=1,∞] 1/kk
　= 2 - Σ[k=1,∞] {2/(2k-1) -2/(2k+1) -1/kk}
　= 2 - Σ[k=1,∞] {4/(4kk-1) - 1/kk}
　= 2 - Σ[k=1,∞] 1/{(4kk-1)kk}
　= 2 - 1/3 - 1/60 - 1/315 - Σ[k=4,∞] 1/{(4kk-1)kk}
　> 2 - 89/252 - (1/63)Σ[k=4,∞] 1/kk
　= 2 - 89/252 - (1/63){ζ(2) - 49/36},

∴　6ζ(2) > 10 - 7/48 = 9.854167
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